WBSSC SLST Math XI & XII : NUMERICAL ANALYSIS

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) The computer uses a finite number of bits to represent a number / কম্পিউটার একটি সংখ্যাকে উপস্থাপন করতে সীমিত সংখ্যক বিট ব্যবহার করে

Explanation / ব্যাখ্যা: Computers cannot store real numbers with infinite precision. They approximate them using a fixed number of bits, leading to small errors known as round-off errors. / কম্পিউটার অসীম নির্ভুলতার সাথে বাস্তব সংখ্যা সংরক্ষণ করতে পারে না। তারা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বিট ব্যবহার করে সেগুলিকে আনুমানিক মানে প্রকাশ করে, যার ফলে রাউন্ড-অফ ত্রুটি নামে পরিচিত ছোটখাটো ভুল হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 4

Explanation / ব্যাখ্যা: Leading zeros are not significant. Trailing zeros after a decimal point are significant. So, the significant digits are 4, 5, 0, 0. / প্রথম দিকের শূন্যগুলো সার্থক নয়। দশমিক বিন্দুর পরে শেষের শূন্যগুলো সার্থক। সুতরাং, সার্থক অঙ্কগুলি হলো 4, 5, 0, 0।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Approximating an infinite process by a finite one / একটি অসীম প্রক্রিয়াকে একটি সসীম প্রক্রিয়া দ্বারা আনুমানিক করার কারণে

Explanation / ব্যাখ্যা: Truncation error occurs when a mathematical procedure, often an infinite series, is “truncated” or stopped after a finite number of terms. For example, using only the first few terms of a Taylor series expansion. / ট্রাঙ্কেশান ত্রুটি ঘটে যখন একটি গাণিতিক প্রক্রিয়া, প্রায়শই একটি অসীম সিরিজ, একটি সসীম সংখ্যক পদের পরে “ছেঁটে” বা থামিয়ে দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, টেলর সিরিজের সম্প্রসারণের শুধুমাত্র প্রথম কয়েকটি পদ ব্যবহার করা।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) To reduce round-off error during intermediate calculations / মধ্যবর্তী গণনার সময় রাউন্ড-অফ ত্রুটি কমানো

Explanation / ব্যাখ্যা: A guard digit is an extra digit carried during intermediate steps of a calculation. It helps to maintain precision and reduces the cumulative effect of round-off errors, especially in operations like subtraction of nearly equal numbers. / গার্ড ডিজিট হল একটি অতিরিক্ত অঙ্ক যা গণনার মধ্যবর্তী ধাপে বহন করা হয়। এটি নির্ভুলতা বজায় রাখতে সাহায্য করে এবং রাউন্ড-অফ ত্রুটির ক্রমবর্ধমান প্রভাব কমায়, বিশেষত প্রায় সমান সংখ্যার বিয়োগের মতো ক্রিয়াকলাপে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 0.5 x 10^-4

Explanation / ব্যাখ্যা: When rounding to ‘n’ decimal places, the maximum absolute error is 0.5 x 10^-n. Here n=4, so the error is at most 0.5 x 10^-4. / যখন ‘n’ দশমিক স্থান পর্যন্ত রাউন্ড করা হয়, তখন সর্বোচ্চ পরম ত্রুটি হলো 0.5 x 10^-n। এখানে n=4, তাই ত্রুটি সর্বোচ্চ 0.5 x 10^-4 হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Significant digits / সার্থক অঙ্ক

Explanation / ব্যাখ্যা: This phenomenon is called catastrophic cancellation. For example, subtracting 0.123456 from 0.123457 gives 0.000001. The result has only one significant digit, while the original numbers had six. / এই ঘটনাটিকে ‘catastrophic cancellation’ বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 0.123457 থেকে 0.123456 বিয়োগ করলে 0.000001 পাওয়া যায়। ফলাফলে মাত্র একটি সার্থক অঙ্ক রয়েছে, যেখানে মূল সংখ্যাগুলিতে ছয়টি ছিল।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Inherent error / অন্তর্নিহিত ত্রুটি

Explanation / ব্যাখ্যা: Inherent errors (or data errors) are errors in the initial data values, often due to measurement limitations or previous calculations. They are not created by the solution process itself. / অন্তর্নিহিত ত্রুটি (বা ডেটা ত্রুটি) হলো প্রাথমিক ডেটা মানগুলির মধ্যে ত্রুটি, যা প্রায়শই পরিমাপের সীমাবদ্ধতা বা পূর্ববর্তী গণনার কারণে ঘটে। এগুলি সমাধান প্রক্রিয়া দ্বারা তৈরি হয় না।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) |Absolute Error| / True Value / |পরম ত্রুটি| / প্রকৃত মান

Explanation / ব্যাখ্যা: Relative error is the ratio of the absolute error to the true value of the quantity. It gives a measure of the error in relation to the size of the quantity. If the true value is unknown, the approximate value is often used in the denominator. / আপেক্ষিক ত্রুটি হলো পরম ত্রুটি এবং রাশির প্রকৃত মানের অনুপাত। এটি রাশির আকারের সাপেক্ষে ত্রুটির একটি পরিমাপ দেয়। যদি প্রকৃত মান অজানা থাকে, তবে প্রায়শই হর-এ (denominator) আনুমানিক মান ব্যবহার করা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Subtraction of nearly equal numbers / প্রায় সমান সংখ্যার বিয়োগ

Explanation / ব্যাখ্যা: As explained before (catastrophic cancellation), subtracting nearly equal numbers can drastically reduce the number of correct significant digits, thus magnifying the relative error. / যেমন আগে ব্যাখ্যা করা হয়েছে (catastrophic cancellation), প্রায় সমান সংখ্যা বিয়োগ করলে সঠিক সার্থক অঙ্কের সংখ্যা নাটকীয়ভাবে কমে যেতে পারে, যার ফলে আপেক্ষিক ত্রুটি বহুগুণ বেড়ে যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Both A and B are possible depending on rounding or chopping / রাউন্ডিং বা চপিংয়ের উপর নির্ভর করে A এবং B উভয়ই সম্ভব

Explanation / ব্যাখ্যা: If we use ‘chopping’ (truncation), we get 0.3333. If we use ’rounding’ (to the nearest), since the 5th digit is 3 (< 5), it would also be 0.3333. However, if the number was, say, 2/3 = 0.66666..., rounding would give 0.6667 while chopping would give 0.6666. The question implies the general case. A better example is 1/3. With standard rounding, the 5th digit (3) is less than 5, so it rounds down to 0.3333. If it were 2/3 (0.6666...), it would round up to 0.6667. Chopping always results in 0.3333. Therefore, the representation depends on the method used. / যদি আমরা 'চপিং' (truncation) ব্যবহার করি, আমরা 0.3333 পাই। যদি আমরা 'রাউন্ডিং' (নিকটতম মানে) ব্যবহার করি, যেহেতু ৫ম অঙ্কটি 3 (< 5), এটিও 0.3333 হবে। যাইহোক, যদি সংখ্যাটি, ধরা যাক, 2/3 = 0.66666... হতো, রাউন্ডিং 0.6667 দিত এবং চপিং 0.6666 দিত। প্রশ্নটি সাধারণ পরিস্থিতি বোঝাচ্ছে। 1/3-এর ক্ষেত্রে, চপিং করলে 0.3333 এবং রাউন্ডিং করলেও 0.3333 হয়। তবে, পদ্ধতিটি চপিং না রাউন্ডিং তার উপর ফলাফল নির্ভর করে, তাই D সঠিক।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) The value of a function within the given range of discrete data points / বিচ্ছিন্ন ডেটা পয়েন্টগুলির প্রদত্ত পরিসরের মধ্যে একটি ফাংশনের মান

Explanation / ব্যাখ্যা: Interpolation is used to estimate intermediate values between known data points. Finding values outside the range is called extrapolation. / ইন্টারপোলেশন পরিচিত ডেটা পয়েন্টগুলির মধ্যে মধ্যবর্তী মান অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়। পরিসরের বাইরের মান খুঁজে বের করাকে এক্সট্রাপোলেশন বলা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Equally spaced data points, especially for values near the beginning of the table / সমান দূরত্বে থাকা ডেটা পয়েন্টের জন্য, বিশেষত টেবিলের শুরুর দিকের মানের জন্য

Explanation / ব্যাখ্যা: The forward difference formula uses differences calculated from the top of the difference table, making it most accurate for interpolating values near the start of the data set. / ফরোয়ার্ড ডিফারেন্স সূত্রটি ডিফারেন্স টেবিলের উপরের অংশ থেকে গণনাকৃত পার্থক্য ব্যবহার করে, যা ডেটা সেটের শুরুর কাছাকাছি মান ইন্টারপোলেট করার জন্য এটিকে সবচেয়ে সঠিক করে তোলে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Lagrange’s formula or Newton’s divided difference formula / ল্যাগ্রাঞ্জের সূত্র বা নিউটনের ডিভাইডেড ডিফারেন্স সূত্র

Explanation / ব্যাখ্যা: Both Lagrange’s and Newton’s divided difference formulae are designed to work with data points that are not necessarily at equal intervals. / ল্যাগ্রাঞ্জ এবং নিউটনের ডিভাইডেড ডিফারেন্স উভয় সূত্রই এমন ডেটা পয়েন্টগুলির সাথে কাজ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে যা সমান ব্যবধানে থাকা আবশ্যক নয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) A constant / একটি ধ্রুবক

Explanation / ব্যাখ্যা: A fundamental property of divided differences is that for a polynomial of degree n, the n-th divided differences are constant, and the (n+1)-th divided differences are zero. / ডিভাইডেড ডিফারেন্সের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো, একটি n-ডিগ্রি বহুপদীর জন্য, n-তম ডিভাইডেড ডিফারেন্সগুলি ধ্রুবক হয়, এবং (n+1)-তম ডিভাইডেড ডিফারেন্সগুলি শূন্য হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Δ²y₁ – Δ²y₀

Explanation / ব্যাখ্যা: The definition of the forward difference operator is Δⁿy_k = Δ^n-1y_k+1 – Δ^n-1y_k. For n=3 and k=0, this becomes Δ³y₀ = Δ²y₁ – Δ²y₀. Option D is also correct as it is the expansion in terms of y values, but A is the direct definition from the preceding differences. In a typical MCQ, the most direct definition is preferred. / ফরোয়ার্ড ডিফারেন্স অপারেটরের সংজ্ঞা হলো Δⁿy_k = Δ^n-1y_k+1 – Δ^n-1y_k। n=3 এবং k=0 এর জন্য এটি হয় Δ³y₀ = Δ²y₁ – Δ²y₀। বিকল্প D-ও সঠিক কারণ এটি y মানগুলির হিসাবে সম্প্রসারণ, কিন্তু A হলো পূর্ববর্তী পার্থক্যগুলি থেকে সরাসরি সংজ্ঞা। একটি সাধারণ MCQ-তে, সবচেয়ে সরাসরি সংজ্ঞাটি অগ্রাধিকার পায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Near the central value of the data set / ডেটা সেটের কেন্দ্রীয় মানের কাছাকাছি অবস্থিত

Explanation / ব্যাখ্যা: Stirling’s formula is a central difference interpolation formula, which is an average of Newton’s forward and backward formulae. It is most accurate for interpolating values near the center of the range of data points. / স্টার্লিং-এর সূত্রটি একটি কেন্দ্রীয় পার্থক্য ইন্টারপোলেশন সূত্র, যা নিউটনের ফরোয়ার্ড এবং ব্যাকওয়ার্ড সূত্রের গড়। এটি ডেটা পয়েন্টের পরিসরের কেন্দ্রের কাছাকাছি মান ইন্টারপোলেট করার জন্য সবচেয়ে সঠিক।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Near 0.5 / 0.5 এর কাছাকাছি

Explanation / ব্যাখ্যা: Bessel’s formula is another central difference formula that performs best when the point of interpolation lies in the middle of an interval (i.e., when u = (x – x₀)/h is close to 0.5). / বেসেলের সূত্রটি আরেকটি কেন্দ্রীয় পার্থক্য সূত্র যা সর্বোত্তম কাজ করে যখন ইন্টারপোলেশনের বিন্দুটি একটি ব্যবধানের মাঝখানে থাকে (অর্থাৎ, যখন u = (x – x₀)/h এর মান 0.5 এর কাছাকাছি থাকে)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) The value of x for a given y / একটি প্রদত্ত y এর জন্য x এর মান

Explanation / ব্যাখ্যা: In standard interpolation, we find y = f(x) for a given x. In inverse interpolation, we are given a value of y and we need to find the corresponding x such that f(x) = y. It essentially treats y as the independent variable. / সাধারণ ইন্টারপোলেশনে, আমরা একটি প্রদত্ত x এর জন্য y = f(x) খুঁজে বের করি। ইনভার্স ইন্টারপোলেশনে, আমাদের একটি y এর মান দেওয়া থাকে এবং আমাদের সংশ্লিষ্ট x খুঁজে বের করতে হয় যাতে f(x) = y হয়। এটি মূলত y-কে স্বাধীন চলক হিসাবে বিবেচনা করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) f(x+h)

Explanation / ব্যাখ্যা: E is the shift operator. It shifts the function argument by one interval ‘h’. So, E f(x) = f(x+h). / E হলো শিফট অপারেটর। এটি ফাংশনের আর্গুমেন্টকে একটি ব্যবধান ‘h’ দ্বারা এগিয়ে নিয়ে যায়। সুতরাং, E f(x) = f(x+h)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Δ = E – 1

Explanation / ব্যাখ্যা: By definition, Δf(x) = f(x+h) – f(x). We also know E f(x) = f(x+h). Substituting this, we get Δf(x) = E f(x) – f(x) = (E – 1)f(x). Therefore, Δ = E – 1. / সংজ্ঞা অনুসারে, Δf(x) = f(x+h) – f(x)। আমরা আরও জানি E f(x) = f(x+h)। এটি প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই, Δf(x) = E f(x) – f(x) = (E – 1)f(x)। সুতরাং, Δ = E – 1।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) ∇f(x) = f(x) – f(x-h)

Explanation / ব্যাখ্যা: The backward difference operator ∇ (nabla) finds the difference between the function value at a point and the value at the preceding point. / ব্যাকওয়ার্ড ডিফারেন্স অপারেটর ∇ (nabla) একটি বিন্দুতে ফাংশনের মান এবং তার পূর্ববর্তী বিন্দুতে মানের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) ∇ = 1 – E^-1

Explanation / ব্যাখ্যা: We have ∇f(x) = f(x) – f(x-h). The inverse shift operator is E^-1f(x) = f(x-h). So, ∇f(x) = f(x) – E^-1f(x) = (1 – E^-1)f(x). Thus, ∇ = 1 – E^-1. / আমাদের আছে ∇f(x) = f(x) – f(x-h)। ইনভার্স শিফট অপারেটর হলো E^-1f(x) = f(x-h)। সুতরাং, ∇f(x) = f(x) – E^-1f(x) = (1 – E^-1)f(x)। অতএব, ∇ = 1 – E^-1।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Zero / শূন্য

Explanation / ব্যাখ্যা: The n-th difference of a polynomial of degree n is constant. Therefore, the (n+1)-th difference will be zero. Here, n=2, so the 3rd difference (n+1) will be zero. / একটি n-ডিগ্রি বহুপদীর n-তম পার্থক্য ধ্রুবক হয়। সুতরাং, (n+1)-তম পার্থক্য শূন্য হবে। এখানে, n=2, তাই ৩য় পার্থক্য (n+1) শূন্য হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Two or more data points coincide, and derivative values are known / দুই বা ততোধিক ডেটা পয়েন্ট মিলে যায়, এবং ডেরিভেটিভের মান জানা থাকে

Explanation / ব্যাখ্যা: Confluent divided differences are a generalization of divided differences for the case where some of the interpolation nodes are identical. This allows incorporating derivative information into the interpolating polynomial, leading to Hermite interpolation. / কনফ্লুয়েন্ট ডিভাইডেড ডিফারেন্স হলো ডিভাইডেড ডিফারেন্সের একটি সাধারণীকরণ, যা এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে কিছু ইন্টারপোলেশন নোড অভিন্ন। এটি ডেরিভেটিভের তথ্যকে ইন্টারপোলেটিং বহুপদীতে অন্তর্ভুক্ত করার সুযোগ দেয়, যা হারমাইট ইন্টারপোলেশনের দিকে নিয়ে যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) True / সত্য

Explanation / ব্যাখ্যা: For a given set of n+1 distinct data points, there is only one polynomial of degree at most n that passes through all the points. While it can be written in different forms (Lagrange, Newton), the polynomial itself is unique. / একটি প্রদত্ত n+1টি ভিন্ন ডেটা পয়েন্টের সেটের জন্য, সর্বোচ্চ n-ডিগ্রির কেবল একটিই বহুপদী আছে যা সমস্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়। যদিও এটি বিভিন্ন রূপে (ল্যাগ্রাঞ্জ, নিউটন) লেখা যেতে পারে, তবে বহুপদীটি নিজে অনন্য।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) It amplifies errors in the data / এটি ডেটার মধ্যে থাকা ত্রুটিকে বাড়িয়ে তোলে

Explanation / ব্যাখ্যা: Differentiation involves finding the difference between two close values (f(x+h) – f(x)) and dividing by a small number ‘h’. If there are small round-off errors in f(x) and f(x+h), their difference can still be significant, and dividing by a small ‘h’ magnifies this error. / অবকলনে দুটি কাছাকাছি মানের (f(x+h) – f(x)) মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করে একটি ছোট সংখ্যা ‘h’ দিয়ে ভাগ করা হয়। যদি f(x) এবং f(x+h) তে ছোট রাউন্ড-অফ ত্রুটি থাকে, তবে তাদের পার্থক্যটি বড় হতে পারে এবং একটি ছোট ‘h’ দিয়ে ভাগ করলে এই ত্রুটিটি আরও বড় হয়ে যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) (1/h) * [Δy₀ – (1/2)Δ²y₀ + …]

Explanation / ব্যাখ্যা: By differentiating Newton’s forward interpolation formula with respect to the parameter u and then setting u=0 (for x=x₀), we get dy/dx ≈ (1/h) * [Δy₀ – (1/2)Δ²y₀ + (1/3)Δ³y₀ – …]. / নিউটনের ফরোয়ার্ড ইন্টারপোলেশন সূত্রটিকে প্যারামিটার u এর সাপেক্ষে অবকলন করে এবং তারপর u=0 (x=x₀ এর জন্য) বসিয়ে আমরা পাই dy/dx ≈ (1/h) * [Δy₀ – (1/2)Δ²y₀ + (1/3)Δ³y₀ – …]।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) All of the above / উপরের সবগুলো

Explanation / ব্যাখ্যা: (A) is the central difference formula, (B) is the forward difference formula, and (C) is the backward difference formula. All are valid two-point approximations for the first derivative, though the central difference is generally more accurate. / (A) হলো কেন্দ্রীয় পার্থক্য সূত্র, (B) হলো ফরোয়ার্ড পার্থক্য সূত্র, এবং (C) হলো ব্যাকওয়ার্ড পার্থক্য সূত্র। সবগুলিই প্রথম ডেরিভেটিভের জন্য বৈধ দুই-পয়েন্ট আসন্ন মান, যদিও কেন্দ্রীয় পার্থক্য সূত্রটি সাধারণত বেশি সঠিক হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) O(h²)

Explanation / ব্যাখ্যা: Using Taylor series expansions for f(x+h) and f(x-h), it can be shown that the leading error term in the central difference formula is proportional to h². This makes it more accurate than the forward or backward difference formulas, which have errors of O(h). / f(x+h) এবং f(x-h) এর জন্য টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে দেখা যায় যে কেন্দ্রীয় পার্থক্য সূত্রে প্রধান ত্রুটি পদটি h² এর সমানুপাতিক। এটি এটিকে ফরোয়ার্ড বা ব্যাকওয়ার্ড পার্থক্য সূত্রের চেয়ে বেশি সঠিক করে তোলে, যেগুলোর ত্রুটি O(h) অর্ডারের।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Both A and C / A এবং C উভয়ই

Explanation / ব্যাখ্যা: (A) is the central difference formula for the second derivative. (C) is the forward difference formula for the second derivative, as it can be derived from Δ²f(x). Both are valid approximations. / (A) হলো দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য কেন্দ্রীয় পার্থক্য সূত্র। (C) হলো দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য ফরোয়ার্ড পার্থক্য সূত্র, কারণ এটি Δ²f(x) থেকে উদ্ভূত হতে পারে। উভয়ই বৈধ আসন্ন মান।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) First find the Lagrange interpolating polynomial and then differentiate it / প্রথমে ল্যাগ্রাঞ্জ ইন্টারপোলেটিং বহুপদী খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপর সেটিকে অবকলন করতে হবে

Explanation / ব্যাখ্যা: The general approach for numerical differentiation is to fit a polynomial to the data points and then differentiate that polynomial. For unequally spaced points, Lagrange’s polynomial is a common choice. / সংখ্যাসূচক অবকলনের সাধারণ পদ্ধতি হলো ডেটা পয়েন্টগুলিতে একটি বহুপদী ফিট করা এবং তারপর সেই বহুপদীটিকে অবকলন করা। অসম ব্যবধানের পয়েন্টের জন্য, ল্যাগ্রাঞ্জের বহুপদী একটি সাধারণ পছন্দ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Moderately small, but not too small / মাঝারিভাবে ছোট, কিন্তু খুব বেশি ছোট নয়

Explanation / ব্যাখ্যা: There is a trade-off. A smaller ‘h’ reduces the truncation error (e.g., O(h²)), but it increases the round-off error because we are dividing by a very small number. Therefore, an optimal, moderately small ‘h’ exists that minimizes the total error. / এখানে একটি ভারসাম্য বজায় রাখতে হয়। একটি ছোট ‘h’ ট্রাঙ্কেশান ত্রুটি (যেমন, O(h²)) কমায়, কিন্তু এটি রাউন্ড-অফ ত্রুটি বাড়ায় কারণ আমরা একটি খুব ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করছি। সুতরাং, একটি সর্বোত্তম, মাঝারিভাবে ছোট ‘h’ বিদ্যমান যা মোট ত্রুটিকে সর্বনিম্ন করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Backward differences (∇) / ব্যাকওয়ার্ড ডিফারেন্স (∇)

Explanation / ব্যাখ্যা: Newton’s backward interpolation formula is expressed in terms of backward differences (∇). Differentiating this formula provides an approximation for the derivative at points near the end of the data set, like x_n. / নিউটনের ব্যাকওয়ার্ড ইন্টারপোলেশন সূত্রটি ব্যাকওয়ার্ড ডিফারেন্স (∇) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এই সূত্রটিকে অবকলন করলে ডেটা সেটের শেষের দিকের বিন্দুগুলিতে, যেমন x_n-এ, ডেরিভেটিভের জন্য একটি আনুমানিক মান পাওয়া যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) First order backward difference formula / প্রথম ক্রমের ব্যাকওয়ার্ড ডিফারেন্স সূত্র

Explanation / ব্যাখ্যা: This formula uses the point x and a point “behind” it, x-h. This is the definition of a backward difference approximation. Its error is of order O(h), making it a “first order” method. / এই সূত্রটি x বিন্দু এবং তার “পেছনের” একটি বিন্দু x-h ব্যবহার করে। এটি ব্যাকওয়ার্ড ডিফারেন্স আসন্ন মানের সংজ্ঞা। এর ত্রুটি O(h) অর্ডারের, যা এটিকে একটি “প্রথম ক্রমের” পদ্ধতি করে তোলে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) True / সত্য

Explanation / ব্যাখ্যা: Integration is a smoothing process. It involves summing many values, which tends to average out and reduce the effect of random round-off errors in individual function values. Differentiation, in contrast, amplifies these errors. / সমাকলন একটি মসৃণকরণ প্রক্রিয়া। এতে অনেক মান যোগ করা জড়িত, যা স্বতন্ত্র ফাংশন মানগুলিতে থাকা এলোমেলো রাউন্ড-অফ ত্রুটিগুলির প্রভাবকে গড় করে কমিয়ে দেয়। অন্যদিকে, অবকলন এই ত্রুটিগুলিকে বাড়িয়ে তোলে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Polynomial / বহুপদী

Explanation / ব্যাখ্যা: The degree of precision of a quadrature rule is defined as the largest positive integer ‘n’ such that the rule is exact for all polynomials of degree less than or equal to ‘n’. / একটি কোয়াড্রেচার নিয়মের ‘ডিগ্রি অফ প্রিসিশন’ কে সংজ্ঞায়িত করা হয় বৃহত্তম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ‘n’ হিসাবে, যার জন্য নিয়মটি ‘n’ বা তার কম ডিগ্রির সমস্ত বহুপদীর জন্য নির্ভুল হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Linear function (first-degree polynomial) / রৈখিক ফাংশন (প্রথম-ডিগ্রি বহুপদী)

Explanation / ব্যাখ্যা: The Trapezoidal rule approximates the area under the curve in each subinterval by the area of a trapezoid, which is equivalent to replacing the function f(x) with a straight line (a first-degree polynomial) connecting the endpoints. / ট্রাপিজয়েডাল নিয়ম প্রতিটি উপ-ব্যবধানের বক্ররেখার নীচের ক্ষেত্রফলকে একটি ট্রাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল দ্বারা আনুমানিক করে, যা ফাংশন f(x)-কে প্রান্তবিন্দুগুলিকে সংযোগকারী একটি সরলরেখা (প্রথম-ডিগ্রি বহুপদী) দ্বারা প্রতিস্থাপন করার সমতুল্য।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 1

Explanation / ব্যাখ্যা: Since the Trapezoidal rule is based on a linear (degree 1) polynomial approximation, it is exact for any polynomial of degree 0 or 1. Thus, its degree of precision is 1. / যেহেতু ট্রাপিজয়েডাল নিয়মটি একটি রৈখিক (ডিগ্রি 1) বহুপদী আসন্ন মানের উপর ভিত্তি করে তৈরি, এটি ডিগ্রি 0 বা 1 এর যেকোনো বহুপদীর জন্য নির্ভুল। সুতরাং, এর ‘ডিগ্রি অফ প্রিসিশন’ হলো 1।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) An even number / একটি জোড় সংখ্যা

Explanation / ব্যাখ্যা: Simpson’s 1/3 rule works by taking pairs of subintervals and fitting a parabola (quadratic polynomial) through the three points. Therefore, the total number of subintervals must be even. / সিম্পসনের 1/3 নিয়মটি একজোড়া উপ-ব্যবধান নিয়ে কাজ করে এবং তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি প্যারাবোলা (দ্বিঘাত বহুপদী) ফিট করে। সুতরাং, উপ-ব্যবধানের মোট সংখ্যা অবশ্যই জোড় হতে হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 3

Explanation / ব্যাখ্যা: Simpson’s 1/3 rule is derived by fitting a quadratic (degree 2) polynomial. However, due to symmetry, the error term for the cubic term cancels out, making the rule exact for polynomials up to degree 3. So, its degree of precision is 3. / সিম্পসনের 1/3 নিয়মটি একটি দ্বিঘাত (ডিগ্রি 2) বহুপদী ফিট করে উদ্ভূত হয়। যাইহোক, প্রতিসাম্যের কারণে, ত্রিঘাত পদের জন্য ত্রুটি পদটি বাতিল হয়ে যায়, যা নিয়মটিকে ডিগ্রি 3 পর্যন্ত বহুপদীর জন্য নির্ভুল করে তোলে। সুতরাং, এর ‘ডিগ্রি অফ প্রিসিশন’ হলো 3।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) A multiple of 6 / 6 এর গুণিতক

Explanation / ব্যাখ্যা: Weddle’s rule is derived from the Newton-Cotes formula for n=6. Therefore, to apply it over a larger interval, the total number of subintervals must be a multiple of 6. / ওয়েডলের নিয়মটি n=6 এর জন্য নিউটন-কোটস সূত্র থেকে উদ্ভূত। সুতরাং, একটি বৃহত্তর ব্যবধানে এটি প্রয়োগ করার জন্য, উপ-ব্যবধানের মোট সংখ্যা অবশ্যই 6 এর গুণিতক হতে হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) All of the above / উপরের সবগুলো

Explanation / ব্যাখ্যা: Closed-type Newton-Cotes formulas use the function values at the endpoints of the interval of integration. The Trapezoidal, Simpson’s, and Weddle’s rules all use the endpoint values (y₀ and yₙ) and are therefore closed-type formulas. / ক্লোজড-টাইপ নিউটন-কোটস সূত্রগুলি সমাকলন ব্যবধানের প্রান্তবিন্দুগুলিতে ফাংশনের মান ব্যবহার করে। ট্রাপিজয়েডাল, সিম্পসনের এবং ওয়েডলের নিয়মগুলি সবই প্রান্তবিন্দুর মান (y₀ এবং yₙ) ব্যবহার করে এবং তাই এগুলি ক্লোজড-টাইপ সূত্র।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) (h/3) * [y₀ + 4(y₁+y₃+…) + 2(y₂+y₄+…) + y_n]

Explanation / ব্যাখ্যা: This is the standard composite Simpson’s 1/3 rule. It gives a weight of 1 to the endpoints, 4 to the odd-indexed interior points, and 2 to the even-indexed interior points. / এটি হলো স্ট্যান্ডার্ড কম্পোজিট সিম্পসনের 1/3 নিয়ম। এটি প্রান্তবিন্দুগুলিতে 1, বিজোড়-সূচকযুক্ত অভ্যন্তরীণ বিন্দুগুলিতে 4, এবং জোড়-সূচকযুক্ত অভ্যন্তরীণ বিন্দুগুলিতে 2 ওজন দেয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Does not use the function values at the endpoints of the integration interval / সমাকলন ব্যবধানের প্রান্তবিন্দুগুলিতে ফাংশনের মান ব্যবহার করে না

Explanation / ব্যাখ্যা: Open formulas are useful when the function may have a singularity or is undefined at an endpoint. They use only interior points for the approximation. The Midpoint rule is a simple example. / ওপেন সূত্রগুলি কার্যকর যখন ফাংশনের কোনো প্রান্তবিন্দুতে সিঙ্গুলারিটি থাকতে পারে বা অসংজ্ঞায়িত হতে পারে। তারা আসন্ন মানের জন্য শুধুমাত্র অভ্যন্তরীণ বিন্দু ব্যবহার করে। মিডপয়েন্ট নিয়মটি একটি সহজ উদাহরণ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) O(h²)

Explanation / ব্যাখ্যা: The error for a single application of the Trapezoidal rule is O(h³). However, for the composite rule over an interval [a, b] with n subintervals (so h = (b-a)/n), the total error is the sum of errors from n subintervals, which results in a global error of O(h²). / ট্রাপিজয়েডাল নিয়মের একটি একক প্রয়োগের জন্য ত্রুটি হলো O(h³)। যাইহোক, [a, b] ব্যবধানে n উপ-ব্যবধানের (তাই h = (b-a)/n) জন্য কম্পোজিট নিয়মের ক্ষেত্রে, মোট ত্রুটি n উপ-ব্যবধানের ত্রুটির যোগফল, যার ফলে একটি গ্লোবাল ত্রুটি O(h²) অর্ডারের হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Increase the number of subintervals (decrease h) / উপ-ব্যবধানের সংখ্যা বাড়ানো (h কমানো)

Explanation / ব্যাখ্যা: The error in Simpson’s 1/3 rule is proportional to h⁴. By making h smaller (which means increasing the number of subintervals, n), the error decreases very rapidly, leading to a more accurate result. / সিম্পসনের 1/3 নিয়মে ত্রুটিটি h⁴ এর সমানুপাতিক। h-কে ছোট করে (যার অর্থ উপ-ব্যবধানের সংখ্যা, n বাড়ানো), ত্রুটি খুব দ্রুত হ্রাস পায়, যা আরও সঠিক ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 5

Explanation / ব্যাখ্যা: Weddle’s rule is derived from the Newton-Cotes formula with n=6. The error term for n=6 involves the 7th derivative. By a small modification, Weddle’s rule is made exact for polynomials of degree up to 5. So its precision is 5, although it is derived from n=6 points. / ওয়েডলের নিয়মটি n=6 এর জন্য নিউটন-কোটস সূত্র থেকে উদ্ভূত। n=6 এর জন্য ত্রুটি পদে ৭ম ডেরিভেটিভ জড়িত। একটি ছোট পরিবর্তনের মাধ্যমে, ওয়েডলের নিয়মটিকে ডিগ্রি 5 পর্যন্ত বহুপদীর জন্য নির্ভুল করা হয়। তাই এর প্রিসিশন 5, যদিও এটি n=6 পয়েন্ট থেকে উদ্ভূত।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Improve accuracy by dividing the integration interval into smaller subintervals / সমাকলন ব্যবধানকে ছোট উপ-ব্যবধানগুলিতে ভাগ করে নির্ভুলতা উন্নত করতে

Explanation / ব্যাখ্যা: Basic rules like Trapezoidal or Simpson’s are applied to a small number of points. To integrate over a large interval, we break it into many smaller subintervals and apply the basic rule to each one, summing the results. This is the essence of a composite rule. / ট্রাপিজয়েডাল বা সিম্পসনের মতো মৌলিক নিয়মগুলি অল্প সংখ্যক পয়েন্টে প্রয়োগ করা হয়। একটি বড় ব্যবধানের উপর সমাকলন করতে, আমরা এটিকে অনেক ছোট উপ-ব্যবধানগুলিতে বিভক্ত করি এবং প্রতিটিতে মৌলিক নিয়মটি প্রয়োগ করি, ফলাফলগুলি যোগ করে। এটিই একটি কম্পোজিট নিয়মের সারমর্ম।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) n = 3

Explanation / ব্যাখ্যা: Simpson’s 3/8 rule is obtained by setting n=3 in the general Newton-Cotes formula. It fits a cubic polynomial through four points. / সাধারণ নিউটন-কোটস সূত্রে n=3 বসিয়ে সিম্পসনের 3/8 নিয়মটি পাওয়া যায়। এটি চারটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি কিউবিক বহুপদী ফিট করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Using a large number of subintervals (very small ‘h’) / অনেক সংখ্যক উপ-ব্যবধান ব্যবহার করা (খুব ছোট ‘h’)

Explanation / ব্যাখ্যা: To accurately capture the “ups and downs” of a highly oscillatory function, the sampling points must be close together. This requires a very small step size ‘h’, which means a large number of subintervals. / একটি অত্যন্ত দোদুল্যমান ফাংশনের “ওঠা-নামা” সঠিকভাবে ক্যাপচার করার জন্য, স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলি অবশ্যই কাছাকাছি থাকতে হবে। এর জন্য একটি খুব ছোট ধাপের আকার ‘h’ প্রয়োজন, যার অর্থ অনেক সংখ্যক উপ-ব্যবধান।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Intermediate Value Theorem / মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য

Explanation / ব্যাখ্যা: The bisection method relies on the Intermediate Value Theorem, which states that if a continuous function f(x) has values of opposite sign at the endpoints of an interval [a, b] (i.e., f(a) * f(b) < 0), then there must be at least one root within that interval. / বাইসেকশন পদ্ধতি মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যের উপর নির্ভর করে, যা বলে যে যদি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f(x) এর একটি ব্যবধান [a, b] এর প্রান্তবিন্দুগুলিতে বিপরীত চিহ্নের মান থাকে (অর্থাৎ, f(a) * f(b) < 0), তবে সেই ব্যবধানের মধ্যে কমপক্ষে একটি মূল অবশ্যই থাকবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Bisection Method / বাইসেকশন পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: The Bisection method is guaranteed to converge to a root, provided a valid starting interval [a, b] where f(a) and f(b) have opposite signs is found. Other methods might diverge if the initial guess is poor or certain conditions are not met. / বাইসেকশন পদ্ধতি একটি মূলে অভিসারী হওয়ার নিশ্চয়তা দেয়, যদি একটি বৈধ প্রারম্ভিক ব্যবধান [a, b] পাওয়া যায় যেখানে f(a) এবং f(b) এর বিপরীত চিহ্ন রয়েছে। অন্যান্য পদ্ধতিগুলি বিচ্যুত (diverge) হতে পারে যদি প্রাথমিক অনুমানটি খারাপ হয় বা নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ না হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Quadratic (Order 2) / দ্বিঘাত (অর্ডার ২)

Explanation / ব্যাখ্যা: The Newton-Raphson method has quadratic convergence, meaning the number of correct decimal places roughly doubles with each iteration, provided the initial guess is close enough to the root. This makes it very fast. / নিউটন-র‍্যাফসন পদ্ধতির অভিসরণ দ্বিঘাত, যার অর্থ প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে সঠিক দশমিক স্থানের সংখ্যা প্রায় দ্বিগুণ হয়ে যায়, যদি প্রাথমিক অনুমানটি মূলের যথেষ্ট কাছাকাছি থাকে। এটি এটিকে খুব দ্রুত করে তোলে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n)

Explanation / ব্যাখ্যা: The method approximates the function with its tangent line at x_n and finds the x-intercept of that line to get the next approximation, x_n+1. The formula for this process is x_n+1 = x_n – f(x_n)/f'(x_n). / এই পদ্ধতিটি x_n-এ ফাংশনটিকে তার স্পর্শক রেখা দ্বারা আনুমানিক করে এবং পরবর্তী আনুমানিক মান, x_n+1 পাওয়ার জন্য সেই রেখার x-অক্ষের ছেদবিন্দু খুঁজে বের করে। এই প্রক্রিয়ার সূত্রটি হলো x_n+1 = x_n – f(x_n)/f'(x_n)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) |g'(x)| < 1

Explanation / ব্যাখ্যা: The Fixed Point Theorem states that if g(x) maps an interval [a,b] to itself and |g'(x)| < 1 for all x in [a,b], then the iteration x_n+1 = g(x_n) will converge to the unique fixed point in the interval. / ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্য বলে যে যদি g(x) একটি ব্যবধান [a,b]-কে নিজের মধ্যে ম্যাপ করে এবং [a,b]-এর সমস্ত x-এর জন্য |g'(x)| < 1 হয়, তবে x_n+1 = g(x_n) ইটারেশনটি ব্যবধানের মধ্যে থাকা অনন্য ফিক্সড পয়েন্টে অভিসারী হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Method of false position / ফলস পজিশন পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: Regula-Falsi is Latin for “rule of false position”. It is similar to the bisection method but instead of taking the midpoint, it takes the x-intercept of the secant line connecting the points (a, f(a)) and (b, f(b)). / রেগুলা-ফলসি হলো “ফলস পজিশন নিয়মের” ল্যাটিন শব্দ। এটি বাইসেকশন পদ্ধতির মতো, কিন্তু মধ্যবিন্দু নেওয়ার পরিবর্তে, এটি (a, f(a)) এবং (b, f(b)) বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী ছেদক রেখার x-অক্ষের ছেদবিন্দু নেয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) It requires the calculation of the derivative of the function / এতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করার প্রয়োজন হয়

Explanation / ব্যাখ্যা: The formula x_n+1 = x_n – f(x_n)/f'(x_n) explicitly requires the derivative f'(x). For complex functions, finding and evaluating the derivative can be difficult or computationally expensive. / x_n+1 = x_n – f(x_n)/f'(x_n) সূত্রটিতে স্পষ্টভাবে ডেরিভেটিভ f'(x) প্রয়োজন। জটিল ফাংশনগুলির জন্য, ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা এবং তার মান নির্ণয় করা কঠিন বা গণনার দিক থেকে ব্যয়বহুল হতে পারে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Linear / রৈখিক

Explanation / ব্যাখ্যা: The bisection method has linear convergence with a rate of 0.5. This means the error is halved at each step. While it’s guaranteed to converge, it does so relatively slowly compared to methods like Newton-Raphson. / বাইসেকশন পদ্ধতির রৈখিক অভিসরণ রয়েছে যার হার 0.5। এর মানে হলো প্রতিটি ধাপে ত্রুটি অর্ধেক হয়ে যায়। যদিও এটি অভিসারী হওয়ার নিশ্চয়তা দেয়, এটি নিউটন-র‍্যাফসনের মতো পদ্ধতির তুলনায় তুলনামূলকভাবে ধীরে কাজ করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Highly convex or concave near the root / মূলের কাছে অত্যন্ত উত্তল বা অবতল

Explanation / ব্যাখ্যা: In such cases, one of the endpoints of the interval may get “stuck” and move very little, while the other endpoint converges to the root. This leads to very slow convergence. The bisection method does not suffer from this problem. / এই ধরনের ক্ষেত্রে, ব্যবধানের একটি প্রান্তবিন্দু “আটকে” যেতে পারে এবং খুব সামান্য নড়াচড়া করতে পারে, যখন অন্য প্রান্তবিন্দুটি মূলের দিকে অভিসারী হয়। এটি খুব ধীর অভিসরণের দিকে পরিচালিত করে। বাইসেকশন পদ্ধতিতে এই সমস্যাটি হয় না।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Both A and B / A এবং B উভয়ই

Explanation / ব্যাখ্যা: If f'(x) is near zero, the tangent is nearly horizontal, and its x-intercept can be very far away, causing divergence. A poor initial guess can also lead to divergence or convergence to an unintended root. / যদি f'(x) শূন্যের কাছাকাছি হয়, তবে স্পর্শকটি প্রায় অনুভূমিক হয়, এবং এর x-ছেদবিন্দু অনেক দূরে হতে পারে, যা বিচ্যুতির কারণ হয়। একটি খারাপ প্রাথমিক অনুমানও বিচ্যুতি বা একটি অনাকাঙ্ক্ষিত মূলে অভিসরণের কারণ হতে পারে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Newton-Raphson method / নিউটন-র‍্যাফসন পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: The Secant method avoids calculating the derivative f'(x) by approximating it with a finite difference: f'(x_n) ≈ [f(x_n) – f(x_n-1)] / [x_n – x_n-1]. It’s essentially Newton’s method with an approximate derivative. / সেক্যান্ট পদ্ধতি ডেরিভেটিভ f'(x) গণনা করা এড়িয়ে যায় এবং এটিকে একটি সসীম পার্থক্য দ্বারা আনুমানিক করে: f'(x_n) ≈ [f(x_n) – f(x_n-1)] / [x_n – x_n-1]। এটি মূলত একটি আনুমানিক ডেরিভেটিভ সহ নিউটনের পদ্ধতি।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 1.618 (Super-linear) / ১.৬১৮ (সুপার-রৈখিক)

Explanation / ব্যাখ্যা: The rate of convergence for the Secant method is the golden ratio, φ ≈ 1.618. This is called super-linear convergence, which is faster than linear but slower than the quadratic convergence of the Newton-Raphson method. / সেক্যান্ট পদ্ধতির অভিসরণের হার হলো গোল্ডেন রেশিও, φ ≈ 1.618। এটিকে সুপার-রৈখিক অভিসরণ বলা হয়, যা রৈখিকের চেয়ে দ্রুত কিন্তু নিউটন-র‍্যাফসন পদ্ধতির দ্বিঘাত অভিসরণের চেয়ে ধীর।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) By tabulation or graphical methods / ট্যাবুলার বা গ্রাফিকাল পদ্ধতির মাধ্যমে

Explanation / ব্যাখ্যা: A common way to get a good initial guess is to tabulate the function for several values of x to find where f(x) changes sign, or to plot the function y = f(x) and see where it crosses the x-axis. / একটি ভালো প্রাথমিক অনুমান পাওয়ার একটি সাধারণ উপায় হলো x-এর বিভিন্ন মানের জন্য ফাংশনটিকে সারণিবদ্ধ করা যাতে f(x) কোথায় চিহ্ন পরিবর্তন করে তা খুঁজে বের করা যায়, অথবা y = f(x) ফাংশনটি প্লট করে দেখা যে এটি কোথায় x-অক্ষকে অতিক্রম করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) (b-a) / 2ⁿ

Explanation / ব্যাখ্যা: The bisection method halves the interval in each iteration. If the initial interval is [a, b] with length (b-a), after n iterations, the length will be (b-a) divided by 2, n times. / বাইসেকশন পদ্ধতি প্রতিটি ইটারেশনে ব্যবধানকে অর্ধেক করে। যদি প্রাথমিক ব্যবধান [a, b] হয় যার দৈর্ঘ্য (b-a), তবে nটি ইটারেশনের পরে, দৈর্ঘ্য হবে (b-a) কে 2 দ্বারা n বার ভাগ করার সমান।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Regula-Falsi / রেগুলা-ফলসি

Explanation / ব্যাখ্যা: Both Bisection and Regula-Falsi are “bracketing” methods. They require starting with an interval [a, b] such that f(a) * f(b) < 0, which ensures a root lies between them. The Secant method also uses two points, but they do not need to bracket the root. / বাইসেকশন এবং রেগুলা-ফলসি উভয়ই "ব্র্যাকেটিং" পদ্ধতি। তাদের একটি ব্যবধান [a, b] দিয়ে শুরু করতে হয় যাতে f(a) * f(b) < 0 হয়, যা নিশ্চিত করে যে তাদের মধ্যে একটি মূল রয়েছে। সেক্যান্ট পদ্ধতিও দুটি বিন্দু ব্যবহার করে, কিন্তু তাদের মূলটিকে আবদ্ধ করার প্রয়োজন নেই।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)

Explanation / ব্যাখ্যা: Euler’s method is the simplest numerical method for ODEs. It approximates the solution by taking a small step along the tangent line at the current point (x_n, y_n). The slope of the tangent is given by f(x_n, y_n). / অয়লারের পদ্ধতি হলো ODE-এর জন্য সবচেয়ে সহজ সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। এটি বর্তমান বিন্দু (x_n, y_n)-তে স্পর্শক রেখা বরাবর একটি ছোট পদক্ষেপ নিয়ে সমাধানের আনুমানিক মান বের করে। স্পর্শকের ঢাল f(x_n, y_n) দ্বারা দেওয়া হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Single-step method / একক-ধাপ পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: A single-step method only needs information from the previous point (x_n, y_n) to compute the next point (x_n+1, y_n+1). Both Euler’s and RK4 methods are single-step. Multi-step methods (like Milne’s) require information from several previous points. / একটি একক-ধাপ পদ্ধতির পরবর্তী বিন্দু (x_n+1, y_n+1) গণনা করার জন্য শুধুমাত্র পূর্ববর্তী বিন্দু (x_n, y_n) থেকে তথ্যের প্রয়োজন হয়। অয়লার এবং RK4 উভয় পদ্ধতিই একক-ধাপ। বহু-ধাপ পদ্ধতি (যেমন মিলনের) বেশ কয়েকটি পূর্ববর্তী বিন্দু থেকে তথ্যের প্রয়োজন হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) It has a much higher order of accuracy / এটির নির্ভুলতার ক্রম অনেক বেশি

Explanation / ব্যাখ্যা: The local truncation error for Euler’s method is O(h²), while for RK4 it is O(h⁵). This means RK4 is significantly more accurate for the same step size ‘h’, or it can achieve the same accuracy with a much larger ‘h’, reducing total computation. / অয়লার পদ্ধতির জন্য স্থানীয় ট্রাঙ্কেশান ত্রুটি হলো O(h²), যেখানে RK4 এর জন্য এটি O(h⁵)। এর মানে হলো একই ধাপের আকার ‘h’ এর জন্য RK4 উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি নির্ভুল, অথবা এটি অনেক বড় ‘h’ দিয়ে একই নির্ভুলতা অর্জন করতে পারে, যা মোট গণনা কমিয়ে দেয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Predictor-corrector method / প্রিডিক্টর-কারেক্টর পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: Milne’s method first uses a “predictor” formula to get an initial estimate of y_n+1, and then uses a “corrector” formula to refine this estimate. This two-stage process is characteristic of predictor-corrector methods. / মিলনের পদ্ধতি প্রথমে y_n+1-এর একটি প্রাথমিক অনুমান পেতে একটি “প্রিডিক্টর” সূত্র ব্যবহার করে, এবং তারপর এই অনুমানটিকে পরিমার্জন করার জন্য একটি “কারেক্টর” সূত্র ব্যবহার করে। এই দ্বি-পর্যায়ের প্রক্রিয়াটি প্রিডিক্টর-কারেক্টর পদ্ধতির বৈশিষ্ট্য।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Several starting values (y₀, y₁, y₂, y₃) / বেশ কয়েকটি প্রারম্ভিক মান (y₀, y₁, y₂, y₃)

Explanation / ব্যাখ্যা: Multi-step methods use information from several previous points. Therefore, to compute y₄, Milne’s method needs y₀, y₁, y₂, and y₃. These initial values are usually generated using a single-step method like RK4. / বহু-ধাপ পদ্ধতি বেশ কয়েকটি পূর্ববর্তী বিন্দু থেকে তথ্য ব্যবহার করে। সুতরাং, y₄ গণনা করতে, মিলনের পদ্ধতির y₀, y₁, y₂, এবং y₃ প্রয়োজন। এই প্রাথমিক মানগুলি সাধারণত RK4-এর মতো একটি একক-ধাপ পদ্ধতি ব্যবহার করে তৈরি করা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) O(h²)

Explanation / ব্যাখ্যা: The local error is the error made in a single step, assuming the previous point was exact. For Euler’s method, this is O(h²). The global error, which accumulates over many steps, is O(h). / স্থানীয় ত্রুটি হলো একটি একক ধাপে করা ত্রুটি, যদি ধরে নেওয়া হয় যে পূর্ববর্তী বিন্দুটি নির্ভুল ছিল। অয়লার পদ্ধতির জন্য, এটি O(h²)। গ্লোবাল ত্রুটি, যা অনেক ধাপের উপর জমা হয়, তা হলো O(h)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) 4

Explanation / ব্যাখ্যা: The RK4 method calculates four intermediate slopes (k₁, k₂, k₃, k₄) within each step to achieve its high accuracy. Each ‘k’ requires one evaluation of the function f(x,y). / RK4 পদ্ধতি তার উচ্চ নির্ভুলতা অর্জনের জন্য প্রতিটি ধাপের মধ্যে চারটি মধ্যবর্তী ঢাল (k₁, k₂, k₃, k₄) গণনা করে। প্রতিটি ‘k’-এর জন্য ফাংশন f(x,y)-এর একটি মূল্যায়ন প্রয়োজন।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Open Newton-Cotes formula / ওপেন নিউটন-কোটস সূত্র

Explanation / ব্যাখ্যা: The Milne’s predictor formula is derived by integrating the ODE over [x_n-3, x_n+1] using known values up to x_n. It does not use the value at x_n+1, making it an open-type formula. The corrector formula is a closed-type formula. / মিলনের প্রিডিক্টর সূত্রটি [x_n-3, x_n+1] এর উপর ODE-কে ইন্টিগ্রেট করে উদ্ভূত হয়, x_n পর্যন্ত জানা মান ব্যবহার করে। এটি x_n+1-এর মান ব্যবহার করে না, যা এটিকে একটি ওপেন-টাইপ সূত্র করে তোলে। কারেক্টর সূত্রটি একটি ক্লোজড-টাইপ সূত্র।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Computationally efficient / গণনার দিক থেকে কার্যকর

Explanation / ব্যাখ্যা: For a given order of accuracy, predictor-corrector methods often require fewer function evaluations per step compared to a Runge-Kutta method of the same order. For example, the Adams-Bashforth-Moulton method (a popular P-C method) typically uses 2 function evaluations per step, while RK4 uses 4. This makes them more efficient. / একটি নির্দিষ্ট নির্ভুলতার অর্ডারের জন্য, প্রিডিক্টর-কারেক্টর পদ্ধতিগুলি প্রায়শই একই অর্ডারের রাঙ্গে-কুটা পদ্ধতির তুলনায় প্রতি ধাপে কম ফাংশন মূল্যায়নের প্রয়োজন হয়। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাডামস-ব্যাশফোর্থ-মোল্টন পদ্ধতি (একটি জনপ্রিয় P-C পদ্ধতি) সাধারণত প্রতি ধাপে ২টি ফাংশন মূল্যায়ন ব্যবহার করে, যেখানে RK4 ৪টি ব্যবহার করে। এটি তাদের আরও কার্যকর করে তোলে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Taylor series / টেলর সিরিজ

Explanation / ব্যাখ্যা: The Taylor series expansion of y(x+h) is y(x) + h*y'(x) + (h²/2!)*y”(x) + … . Euler’s method uses y_n+1 = y_n + h*f(x_n,y_n), which is y_n+1 = y_n + h*y’_n. This is exactly the Taylor series truncated after the linear term. / y(x+h)-এর টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ হলো y(x) + h*y'(x) + (h²/2!)*y”(x) + … । অয়লার পদ্ধতি y_n+1 = y_n + h*f(x_n,y_n) ব্যবহার করে, যা হলো y_n+1 = y_n + h*y’_n। এটি ঠিক রৈখিক পদের পরে ছেঁটে ফেলা টেলর সিরিজ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Relative Error * 100 / আপেক্ষিক ত্রুটি * ১০০

Explanation / ব্যাখ্যা: Percentage error is simply the relative error expressed as a percentage. Relative Error = |True Value – Approx Value| / |True Value|. / শতাংশ ত্রুটি হলো কেবল আপেক্ষিক ত্রুটি যা শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। আপেক্ষিক ত্রুটি = |প্রকৃত মান – আনুমানিক মান| / |প্রকৃত মান|।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) E^1/2 – E^-1/2

Explanation / ব্যাখ্যা: By definition, δf(x) = f(x + h/2) – f(x – h/2). In terms of the shift operator E, this is E^1/2f(x) – E^-1/2f(x) = (E^1/2 – E^-1/2)f(x). So, δ = E^1/2 – E^-1/2. / সংজ্ঞা অনুসারে, δf(x) = f(x + h/2) – f(x – h/2)। শিফট অপারেটর E-এর পরিপ্রেক্ষিতে, এটি হলো E^1/2f(x) – E^-1/2f(x) = (E^1/2 – E^-1/2)f(x)। সুতরাং, δ = E^1/2 – E^-1/2।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Extrapolation / এক্সট্রাপোলেশন

Explanation / ব্যাখ্যা: Extrapolation involves estimating a value beyond the original observation range. It is generally less reliable than interpolation because it assumes the trend continues outside the known data. / এক্সট্রাপোলেশনে মূল পর্যবেক্ষণ পরিসরের বাইরে একটি মান অনুমান করা জড়িত। এটি সাধারণত ইন্টারপোলেশনের চেয়ে কম নির্ভরযোগ্য কারণ এটি ধরে নেয় যে পরিচিত ডেটার বাইরেও প্রবণতা অব্যাহত থাকে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) (x – x_n) / h

Explanation / ব্যাখ্যা: Newton’s backward formula is used for points near the end of the data set, x_n. The parameter ‘u’ measures the distance from the last point x_n in units of step size h. / নিউটনের ব্যাকওয়ার্ড সূত্রটি ডেটা সেটের শেষের কাছাকাছি বিন্দু x_n-এর জন্য ব্যবহৃত হয়। প্যারামিটার ‘u’ শেষ বিন্দু x_n থেকে দূরত্বকে ধাপের আকার h-এর এককে পরিমাপ করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Any of the above / উপরের যেকোনোটি

Explanation / ব্যাখ্যা: The degree of precision of Simpson’s 1/3 rule is 3. This means it is exact for any polynomial of degree 3 or less. This includes cubic, quadratic, and linear polynomials (and constants, degree 0). / সিম্পসনের 1/3 নিয়মের ‘ডিগ্রি অফ প্রিসিশন’ হলো 3। এর মানে হলো এটি 3 বা তার কম ডিগ্রির যেকোনো বহুপদীর জন্য নির্ভুল। এর মধ্যে ত্রিঘাত, দ্বিঘাত এবং রৈখিক বহুপদী (এবং ধ্রুবক, ডিগ্রি 0) অন্তর্ভুক্ত।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Diverge / বিচ্যুত হবে

Explanation / ব্যাখ্যা: The condition for convergence is |g'(x)| < 1. If |g'(x)| > 1, the distance from the fixed point is amplified at each step, causing the sequence of iterates to move away from the fixed point, i.e., diverge. / অভিসরণের শর্ত হলো |g'(x)| < 1। যদি |g'(x)| > 1 হয়, তবে প্রতিটি ধাপে ফিক্সড পয়েন্ট থেকে দূরত্ব বৃদ্ধি পায়, যার ফলে ইটারেটগুলির ক্রম ফিক্সড পয়েন্ট থেকে দূরে সরে যায়, অর্থাৎ, বিচ্যুত হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) The determinant of the coefficient matrix is close to zero / সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্যের কাছাকাছি হয়

Explanation / ব্যাখ্যা: An ill-conditioned system is one where a small change in the coefficients or the constant terms can lead to a large change in the solution. This is characteristic of systems where the coefficient matrix is nearly singular (determinant close to zero). / একটি ইল-কন্ডিশনড সিস্টেম হলো এমন একটি যেখানে সহগ বা ধ্রুবক পদগুলিতে একটি ছোট পরিবর্তন সমাধানের মধ্যে একটি বড় পরিবর্তনের কারণ হতে পারে। এটি এমন সিস্টেমগুলির বৈশিষ্ট্য যেখানে সহগ ম্যাট্রিক্স প্রায় সিঙ্গুলার (নির্ণায়ক শূন্যের কাছাকাছি)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) A second-order Runge-Kutta method / একটি দ্বিতীয়-ক্রমের রাঙ্গে-কুটা পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: The Modified Euler method uses a predictor step (standard Euler) and then a corrector step that averages the slope at the beginning and the predicted end of the interval. This structure makes it a second-order Runge-Kutta method (RK2). / মডিফাইড অয়লার পদ্ধতি একটি প্রিডিক্টর ধাপ (স্ট্যান্ডার্ড অয়লার) এবং তারপর একটি কারেক্টর ধাপ ব্যবহার করে যা ব্যবধানের শুরুতে এবং পূর্বাভাসিত শেষের ঢালের গড় নেয়। এই কাঠামোটি এটিকে একটি দ্বিতীয়-ক্রমের রাঙ্গে-কুটা পদ্ধতি (RK2) করে তোলে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Integrating a Newton’s form of the interpolating polynomial / ইন্টারপোলেটিং বহুপদীর নিউটনের রূপকে ইন্টিগ্রেট করে

Explanation / ব্যাখ্যা: The core idea of Newton-Cotes rules is to approximate the integrand f(x) with an interpolating polynomial P(x) over a set of equally spaced points, and then compute the integral of P(x) as an approximation to the integral of f(x). / নিউটন-কোটস নিয়মগুলির মূল ধারণা হলো ইন্টিগ্র্যান্ড f(x)-কে সমান দূরত্বে থাকা পয়েন্টের একটি সেটের উপর একটি ইন্টারপোলেটিং বহুপদী P(x) দ্বারা আনুমানিক করা, এবং তারপর f(x)-এর ইন্টিগ্রালের আনুমানিক মান হিসাবে P(x)-এর ইন্টিগ্রাল গণনা করা।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 3

Explanation / ব্যাখ্যা: In scientific notation, all digits in the mantissa (the part before the x 10ⁿ) are significant. Here, the mantissa is 5.60, so the significant digits are 5, 6, and 0. / বৈজ্ঞানিক স্বরলিপিতে, ম্যান্টিসার (x 10ⁿ এর আগের অংশ) সমস্ত অঙ্কই সার্থক। এখানে, ম্যান্টিসা হলো 5.60, তাই সার্থক অঙ্কগুলি হলো 5, 6, এবং 0।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 6

Explanation / ব্যাখ্যা: First, find the first differences: Δf(0) = f(1) – f(0) = 2 – 1 = 1. Δf(1) = f(2) – f(1) = 9 – 2 = 7. Then, find the second difference: Δ²f(0) = Δf(1) – Δf(0) = 7 – 1 = 6. / প্রথমে, প্রথম পার্থক্যগুলি খুঁজুন: Δf(0) = f(1) – f(0) = 2 – 1 = 1। Δf(1) = f(2) – f(1) = 9 – 2 = 7। তারপর, দ্বিতীয় পার্থক্য খুঁজুন: Δ²f(0) = Δf(1) – Δf(0) = 7 – 1 = 6।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) It does not require the construction of a difference table / এটির জন্য ডিফারেন্স টেবিল তৈরির প্রয়োজন হয় না

Explanation / ব্যাখ্যা: Lagrange’s formula is a direct formula for the interpolating polynomial that does not require computing and storing a difference table, which can be advantageous for one-off calculations. However, it is computationally more expensive if multiple interpolations are needed or if data points are added. / ল্যাগ্রাঞ্জের সূত্রটি ইন্টারপোলেটিং বহুপদীর জন্য একটি সরাসরি সূত্র যার জন্য ডিফারেন্স টেবিল গণনা এবং সংরক্ষণের প্রয়োজন হয় না, যা এককালীন গণনার জন্য সুবিধাজনক হতে পারে। যাইহোক, যদি একাধিক ইন্টারপোলেশনের প্রয়োজন হয় বা যদি ডেটা পয়েন্ট যোগ করা হয় তবে এটি গণনার দিক থেকে আরও ব্যয়বহুল।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Second derivative / দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ

Explanation / ব্যাখ্যা: The error for the basic Trapezoidal rule over [a,b] is – ( (b-a)³ / 12 ) * f”(c) for some c in (a,b). The error depends on the curvature of the function, which is measured by the second derivative. / [a,b] এর উপর মৌলিক ট্রাপিজয়েডাল নিয়মের জন্য ত্রুটি হলো – ( (b-a)³ / 12 ) * f”(c), যেখানে c (a,b)-এর মধ্যে অবস্থিত। ত্রুটিটি ফাংশনের বক্রতার উপর নির্ভর করে, যা দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ দ্বারা পরিমাপ করা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Fixed-point iteration method / ফিক্সড-পয়েন্ট ইটারেশন পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: The iteration can be written as x = g(x) where g(x) = x – f(x)/C. This is the standard form of the fixed-point iteration method. Newton-Raphson is a special case where C = f'(x_n). / ইটারেশনটি x = g(x) হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে g(x) = x – f(x)/C। এটি ফিক্সড-পয়েন্ট ইটারেশন পদ্ধতির স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম। নিউটন-র‍্যাফসন একটি বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে C = f'(x_n) হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Runge-Kutta method / রাঙ্গে-কুটা পদ্ধতি

Explanation / ব্যাখ্যা: A self-starting method is one that only needs the initial condition (x₀, y₀) to begin the integration process. All single-step methods, like Euler’s and Runge-Kutta, are self-starting. Multi-step methods are not, as they require several initial points. / একটি সেলফ-স্টার্টিং পদ্ধতি হলো এমন একটি যা ইন্টিগ্রেশন প্রক্রিয়া শুরু করার জন্য কেবল প্রাথমিক শর্ত (x₀, y₀) প্রয়োজন। সমস্ত একক-ধাপ পদ্ধতি, যেমন অয়লার এবং রাঙ্গে-কুটা, সেলফ-স্টার্টিং। বহু-ধাপ পদ্ধতিগুলি নয়, কারণ তাদের বেশ কয়েকটি প্রাথমিক পয়েন্ট প্রয়োজন।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Round-off error / রাউন্ড-অফ ত্রুটি

Explanation / ব্যাখ্যা: Both chopping (truncating the digits) and rounding are ways to fit a number into a finite representation. The error introduced by this process is called round-off error. / চপিং (অঙ্ক ছেঁটে ফেলা) এবং রাউন্ডিং উভয়ই একটি সংখ্যাকে একটি সসীম উপস্থাপনায় ফিট করার উপায়। এই প্রক্রিয়ার দ্বারা প্রবর্তিত ত্রুটিকে রাউন্ড-অফ ত্রুটি বলা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Only for equally spaced data / কেবল সমান ব্যবধানের ডেটার জন্য

Explanation / ব্যাখ্যা: The shift operator E and difference operators Δ and ∇ are defined based on a constant step size ‘h’. Therefore, relationships between them are only meaningful for equally spaced data points. / শিফট অপারেটর E এবং ডিফারেন্স অপারেটর Δ এবং ∇ একটি ধ্রুবক ধাপের আকার ‘h’-এর উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সুতরাং, তাদের মধ্যে সম্পর্কগুলি কেবল সমান ব্যবধানের ডেটা পয়েন্টের জন্য অর্থপূর্ণ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) A linear function / একটি রৈখিক ফাংশন

Explanation / ব্যাখ্যা: The error in this formula is proportional to f”(x). For a linear function f(x) = ax + b, the second derivative f”(x) is zero. Therefore, the formula gives the exact derivative. / এই সূত্রের ত্রুটিটি f”(x)-এর সমানুপাতিক। একটি রৈখিক ফাংশন f(x) = ax + b-এর জন্য, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ f”(x) শূন্য হয়। সুতরাং, সূত্রটি নির্ভুল ডেরিভেটিভ দেয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) n = 4

Explanation / ব্যাখ্যা: Boole’s rule is the Newton-Cotes formula for n=4. It has a degree of precision of 5, similar to Weddle’s rule. It requires the number of subintervals to be a multiple of 4. / বুলের নিয়মটি n=4 এর জন্য নিউটন-কোটস সূত্র। ওয়েডলের নিয়মের মতো এর ‘ডিগ্রি অফ প্রিসিশন’ 5। এটির জন্য উপ-ব্যবধানের সংখ্যা 4 এর গুণিতক হতে হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) x_n+1 = (x_n + R/x_n) / 2

Explanation / ব্যাখ্যা: To find the square root of R, we need to solve the equation x² = R, or f(x) = x² – R = 0. The derivative is f'(x) = 2x. Plugging into the Newton-Raphson formula: x_n+1 = x_n – (x_n² – R) / (2x_n) = (2x_n² – x_n² + R) / (2x_n) = (x_n² + R) / (2x_n) = (1/2)(x_n + R/x_n). / R-এর বর্গমূল খুঁজে বের করতে, আমাদের x² = R সমীকরণটি সমাধান করতে হবে, অর্থাৎ f(x) = x² – R = 0। ডেরিভেটিভ হলো f'(x) = 2x। নিউটন-র‍্যাফসন সূত্রে বসিয়ে: x_n+1 = x_n – (x_n² – R) / (2x_n) = (2x_n² – x_n² + R) / (2x_n) = (x_n² + R) / (2x_n) = (1/2)(x_n + R/x_n)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) All of the above / উপরের সবগুলো

Explanation / ব্যাখ্যা: Multi-step methods require several initial points (not self-starting), are based on a fixed step size ‘h’ making it hard to adapt, and some methods can suffer from instability issues where errors grow uncontrollably. / বহু-ধাপ পদ্ধতির জন্য বেশ কয়েকটি প্রাথমিক পয়েন্ট প্রয়োজন (সেলফ-স্টার্টিং নয়), একটি নির্দিষ্ট ধাপের আকার ‘h’-এর উপর ভিত্তি করে তৈরি হওয়ায় অভিযোজন করা কঠিন, এবং কিছু পদ্ধতি অস্থিতিশীলতার সমস্যায় ভুগতে পারে যেখানে ত্রুটিগুলি অনিয়ন্ত্রিতভাবে বৃদ্ধি পায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) 0.00000735

Explanation / ব্যাখ্যা: True Value = 3.14159265. Rounding to 5 significant digits gives an Approximate Value = 3.1416 (since the 6th digit, 9, is >= 5). Absolute Error = |True Value – Approx Value| = |3.14159265 – 3.1416| = |-0.00000735| = 0.00000735. / প্রকৃত মান = 3.14159265। ৫টি সার্থক অঙ্কে রাউন্ড করলে আনুমানিক মান = 3.1416 (যেহেতু ৬ষ্ঠ অঙ্ক, 9, >= 5)। পরম ত্রুটি = |প্রকৃত মান – আনুমানিক মান| = |3.14159265 – 3.1416| = |-0.00000735| = 0.00000735।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) (f(x₁) – f(x₀)) / (x₁ – x₀)

Explanation / ব্যাখ্যা: This is the definition of the first-order divided difference. It represents the slope of the secant line connecting the points (x₀, f(x₀)) and (x₁, f(x₁)). / এটি হলো প্রথম-ক্রমের ডিভাইডেড ডিফারেন্সের সংজ্ঞা। এটি (x₀, f(x₀)) এবং (x₁, f(x₁)) বিন্দুগুলিকে সংযোগকারী ছেদক রেখার ঢালকে প্রতিনিধিত্ব করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Gaussian Quadrature / গাউসিয়ান কোয়াড্রেচার

Explanation / ব্যাখ্যা: Gaussian Quadrature achieves the highest possible degree of precision for a given number of nodes (function evaluations). For n nodes, its precision is 2n-1. This is much higher than Newton-Cotes rules (like Simpson’s) which have precision n or n+1 for n+1 nodes. / গাউসিয়ান কোয়াড্রেচার একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক নোডের (ফাংশন মূল্যায়ন) জন্য সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ‘ডিগ্রি অফ প্রিসিশন’ অর্জন করে। n নোডের জন্য, এর প্রিসিশন 2n-1। এটি নিউটন-কোটস নিয়ম (যেমন সিম্পসনের) চেয়ে অনেক বেশি, যেগুলোর n+1 নোডের জন্য প্রিসিশন n বা n+1 হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) O(h⁴)

Explanation / ব্যাখ্যা: The local truncation error (error per step) of the RK4 method is O(h⁵). When these errors accumulate over an interval of fixed length (which has a number of steps proportional to 1/h), the global error becomes one order lower, i.e., O(h⁴). / RK4 পদ্ধতির স্থানীয় ট্রাঙ্কেশান ত্রুটি (প্রতি ধাপে ত্রুটি) হলো O(h⁵)। যখন এই ত্রুটিগুলি একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের ব্যবধানে (যার ধাপের সংখ্যা 1/h এর সমানুপাতিক) জমা হয়, তখন গ্লোবাল ত্রুটি এক অর্ডার কম হয়ে যায়, অর্থাৎ O(h⁴)।