Q1. একটি দৈব পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে কী বলা হয়? What is the set of all possible outcomes of a random experiment called?
(A) ঘটনা / Event
(B) নমুনা ক্ষেত্র / Sample Space
(C) দৈব চলক / Random Variable
(D) সম্ভাবনা / Probability
Correct Answer: (B) নমুনা ক্ষেত্র / Sample Space
Explanation (ব্যাখ্যা):
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি দৈব পরীক্ষার সাথে যুক্ত সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনা ক্ষেত্র (Sample Space) বলা হয়। যেমন, একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্রটি হলো {H, T}।
By definition, the set of all possible outcomes associated with a random experiment is called the Sample Space. For example, when a coin is tossed, the sample space is {H, T}.
Q2. একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্রে বিন্দুর সংখ্যা কত? If a die is rolled, what is the number of points in the sample space?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 12
Correct Answer: (C) 6
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হলো 1, 2, 3, 4, 5, এবং 6। সুতরাং, নমুনা ক্ষেত্রটি হলো S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, এবং এতে 6টি বিন্দু রয়েছে।
When a die is rolled, the possible outcomes are 1, 2, 3, 4, 5, and 6. Therefore, the sample space is S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, which contains 6 points.
Q3. নমুনা ক্ষেত্রের কোনো উপসেটকে কী বলা হয়? What is any subset of a sample space called?
(A) পরীক্ষা / Experiment
(B) ফলাফল / Outcome
(C) ঘটনা / Event
(D) সমগ্রক / Population
Correct Answer: (C) ঘটনা / Event
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি ঘটনা হলো নমুনা ক্ষেত্রের একটি উপসেট। অর্থাৎ, এটি এক বা একাধিক ফলাফলের সমষ্টি। যেমন, ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে ‘জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা’ হলো {2, 4, 6}, যা নমুনা ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4, 5, 6}-এর একটি উপসেট।
An event is a subset of the sample space. It represents a collection of one or more outcomes. For example, in a die roll, the event of ‘getting an even number’ is {2, 4, 6}, which is a subset of the sample space {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Q4. একটি মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্রে কয়টি উপাদান থাকবে? If a coin is tossed twice, how many elements will be in the sample space?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
Correct Answer: (B) 4
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি মুদ্রা দুবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হলো: (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)। সুতরাং নমুনা ক্ষেত্রে মোট ৪টি উপাদান রয়েছে।
When a coin is tossed twice, the possible outcomes are: (Head, Head), (Head, Tail), (Tail, Head), (Tail, Tail). So, there are a total of 4 elements in the sample space.
Q5. যদি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) হয়, তবে ঘটনাটি না ঘটার সম্ভাবনা কত? If the probability of an event occurring is P(A), what is the probability of the event not occurring?
(A) 1 – P(A)
(B) 1 + P(A)
(C) P(A) – 1
(D) 1 / P(A)
Correct Answer: (A) 1 – P(A)
Explanation (ব্যাখ্যা):
এটি পূরক ঘটনার (complementary event) সূত্র। কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা এবং না ঘটার সম্ভাবনার যোগফল সর্বদা 1 হয়। সুতরাং, P(A’) = 1 – P(A)।
This is the rule of complementary events. The sum of the probability of an event occurring and the probability of it not occurring is always 1. Therefore, P(not A) = 1 – P(A).
Q6. দুটি ঘটনা A এবং B পরস্পর বর্জনশীল (mutually exclusive) হলে, P(A ∩ B) এর মান কত? If two events A and B are mutually exclusive, what is the value of P(A ∩ B)?
(A) 1
(B) 0
(C) P(A) * P(B)
(D) P(A) + P(B)
Correct Answer: (B) 0
Explanation (ব্যাখ্যা):
পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলো সেইসব ঘটনা যা একসাথে ঘটতে পারে না। তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ নমুনা বিন্দু থাকে না। সুতরাং, তাদের ছেদ (intersection) একটি ফাঁকা সেট (null set), এবং এর সম্ভাবনা শূন্য।
Mutually exclusive events are those that cannot occur at the same time. They have no common sample points. Therefore, their intersection is a null set, and its probability is zero.
Q7. একটি অসম্ভব ঘটনার (impossible event) সম্ভাবনা কত? What is the probability of an impossible event?
(A) 0
(B) 1
(C) 0.5
(D) -1
Correct Answer: (A) 0
Explanation (ব্যাখ্যা):
যে ঘটনা কখনও ঘটতে পারে না তাকে অসম্ভব ঘটনা বলে। যেমন, একটি ছক্কা নিক্ষেপ করে 7 পাওয়া। এর সম্ভাবনা শূন্য।
An event that can never happen is called an impossible event. For example, getting a 7 on a single die roll. Its probability is zero.
Q8. একটি নিশ্চিত ঘটনার (sure event) সম্ভাবনা কত? What is the probability of a sure event?
(A) 0
(B) 1
(C) 0.5
(D) অসীম / Infinite
Correct Answer: (B) 1
Explanation (ব্যাখ্যা):
যে ঘটনা ঘটবেই, তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। যেমন, একটি ছক্কা নিক্ষেপ করে 7 এর থেকে ছোট কোনো সংখ্যা পাওয়া। এর সম্ভাবনা 1।
An event that is certain to happen is called a sure event. For example, getting a number less than 7 on a single die roll. Its probability is 1.
Q9. সম্ভাবনার ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞা অনুযায়ী, P(A) = ? According to the classical definition of probability, P(A) = ?
(A) n(S) / n(A)
(B) n(A) / n(S)
(C) n(A) * n(S)
(D) n(A) + n(S)
Correct Answer: (B) n(A) / n(S)
Explanation (ব্যাখ্যা):
সম্ভাবনার ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞা অনুসারে, কোনো ঘটনা A-এর সম্ভাবনা হলো ঘটনাটির অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (n(A)) এবং নমুনা ক্ষেত্রের মোট ফলাফলের সংখ্যার (n(S)) অনুপাত, যেখানে প্রতিটি ফলাফল সমসম্ভাব্য।
According to the classical definition of probability, the probability of an event A is the ratio of the number of outcomes favorable to the event (n(A)) to the total number of outcomes in the sample space (n(S)), assuming each outcome is equally likely.
Q10. দুটি ঘটনা A এবং B স্বাধীন (independent) হলে, P(A ∩ B) এর মান কত? If two events A and B are independent, what is the value of P(A ∩ B)?
(A) P(A) + P(B)
(B) P(A) * P(B)
(C) P(A) / P(B)
(D) 0
Correct Answer: (B) P(A) * P(B)
Explanation (ব্যাখ্যা):
এটি স্বাধীন ঘটনার গুণন সূত্র (multiplication rule for independent events)। যদি একটি ঘটনা ঘটা অন্যটির ঘটার ওপর প্রভাব না ফেলে, তবে তারা স্বাধীন। সেক্ষেত্রে তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমান।
This is the multiplication rule for independent events. If the occurrence of one event does not affect the occurrence of the other, they are independent. In that case, the probability of them occurring together is the product of their individual probabilities.
Q11. যদি P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 এবং A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে P(A ∪ B) কত? If P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 and A & B are independent events, then what is P(A ∪ B)?
(A) 0.9
(B) 0.7
(C) 0.2
(D) 0.1
Correct Answer: (B) 0.7
Explanation (ব্যাখ্যা):
যোগের সূত্র (Addition Rule) অনুযায়ী: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)। যেহেতু A এবং B স্বাধীন, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.5 = 0.20। সুতরাং, P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 – 0.2 = 0.7।
According to the Addition Rule: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Since A and B are independent, P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.5 = 0.20. Therefore, P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 – 0.2 = 0.7.
Q12. P(A|B) দ্বারা কী বোঝানো হয়? What is meant by P(A|B)?
(A) A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা / Probability of A or B
(B) A এবং B একসাথে ঘটার সম্ভাবনা / Probability of A and B
(C) B ঘটনাটি ঘটেছে ধরে নিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা / Probability of A given that B has occurred
(D) A ঘটনাটি ঘটেছে ধরে নিয়ে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা / Probability of B given that A has occurred
Correct Answer: (C) B ঘটনাটি ঘটেছে ধরে নিয়ে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা / Probability of A given that B has occurred
Explanation (ব্যাখ্যা):
P(A|B) হলো শর্তাধীন সম্ভাবনার (Conditional Probability) প্রতীক। এর অর্থ হলো, ঘটনা B ইতোমধ্যে ঘটে গেছে, এই শর্তে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা কত।
P(A|B) is the notation for Conditional Probability. It means the probability of event A occurring, given the condition that event B has already occurred.
Q13. শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রটি কী? What is the formula for conditional probability?
(A) P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
(B) P(A|B) = P(A ∩ B) / P(A)
(C) P(A|B) = P(A) * P(B)
(D) P(A|B) = P(A) + P(B)
Correct Answer: (A) P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Explanation (ব্যাখ্যা):
শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা অনুযায়ী, P(A|B) হলো A এবং B একসাথে ঘটার সম্ভাবনাকে B ঘটার সম্ভাবনা দ্বারা ভাগ করে যা পাওয়া যায়, যেখানে P(B) > 0।
By the definition of conditional probability, P(A|B) is calculated by dividing the probability of both A and B occurring by the probability of B occurring, provided P(B) > 0.
Q14. বেইজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem) কীসের জন্য ব্যবহৃত হয়? What is Bayes’ Theorem used for?
(A) ঘটনার গড় নির্ণয় করতে / To find the mean of events
(B) পূর্ববর্তী সম্ভাবনাকে (prior probability) নতুন তথ্যের ভিত্তিতে পরিমার্জন করতে / To revise prior probabilities based on new information
(C) শুধুমাত্র স্বাধীন ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে / To calculate probabilities of only independent events
(D) নমুনা ক্ষেত্রের আকার নির্ধারণ করতে / To determine the size of a sample space
Correct Answer: (B) পূর্ববর্তী সম্ভাবনাকে (prior probability) নতুন তথ্যের ভিত্তিতে পরিমার্জন করতে / To revise prior probabilities based on new information
Explanation (ব্যাখ্যা):
বেইজের উপপাদ্য একটি শক্তিশালী টুল যা একটি ঘটনার পূর্ববর্তী (prior) সম্ভাবনাকে নতুন তথ্য বা প্রমাণ (evidence) পাওয়ার পর তার উত্তরবর্তী (posterior) সম্ভাবনায় রূপান্তর করে। এটি মূলত শর্তাধীন সম্ভাবনার একটি প্রয়োগ।
Bayes’ Theorem is a powerful tool that updates the prior probability of an event to a posterior probability after new evidence is obtained. It is essentially an application of conditional probability.
Q15. যদি P(A|B) = P(A) হয়, তবে A এবং B ঘটনা দুটি কী ধরনের? If P(A|B) = P(A), then what type of events are A and B?
(A) পরস্পর বর্জনশীল / Mutually Exclusive
(B) নির্ভরশীল / Dependent
(C) স্বাধীন / Independent
(D) পূরক / Complementary
Correct Answer: (C) স্বাধীন / Independent
Explanation (ব্যাখ্যা):
যদি B ঘটনা ঘটা বা না ঘটা A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার উপর কোনো প্রভাব না ফেলে, তবে A এবং B স্বাধীন। P(A|B) = P(A) শর্তটি এটাই নির্দেশ করে যে, B ঘটেছে জেনেও A-এর সম্ভাবনা অপরিবর্তিত থাকে।
If the occurrence or non-occurrence of event B has no effect on the probability of event A, then A and B are independent. The condition P(A|B) = P(A) implies that knowing B has occurred does not change the probability of A.
Q16. পরিসংখ্যানের আলোচনায় সম্পূর্ণ গ্রুপ বা সেটকে কী বলা হয়? In statistical discussions, what is the entire group or set of interest called?
(A) নমুনা / Sample
(B) সমগ্রক বা তথ্যবিশ্ব / Population
(C) চলক / Variable
(D) পরিসংখ্যা / Frequency
Correct Answer: (B) সমগ্রক বা তথ্যবিশ্ব / Population
Explanation (ব্যাখ্যা):
সমগ্রক (Population) হলো কোনো অনুসন্ধানের অধীনে থাকা সমস্ত ব্যক্তি, বস্তু বা উপাদানের সম্পূর্ণ সেট। যেমন, একটি দেশের সকল ভোটারের সেট।
The Population is the complete set of all individuals, objects, or items under investigation. For example, the set of all voters in a country.
Q17. সমগ্রকের একটি প্রতিনিধিত্বমূলক অংশকে কী বলা হয়? What is a representative part of a population called?
(A) সমগ্রক / Population
(B) নমুনা / Sample
(C) ডেটা / Data
(D) প্যারামিটার / Parameter
Correct Answer: (B) নমুনা / Sample
Explanation (ব্যাখ্যা):
নমুনা (Sample) হলো সমগ্রক থেকে নির্বাচিত একটি উপসেট, যা সমগ্রকের বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে বলে ধরে নেওয়া হয়। গবেষণার সুবিধার জন্য নমুনা ব্যবহার করা হয়।
A sample is a subset selected from the population, which is assumed to be representative of the population’s characteristics. Samples are used for convenience in research.
Q18. যে বৈশিষ্ট্য বা রাশির মান ব্যক্তি বা বস্তুভেদে পরিবর্তিত হয়, তাকে কী বলে? A characteristic or quantity that can vary from one individual or object to another is called?
(A) ধ্রুবক / Constant
(B) চলক / Variable
(C) নমুনা / Sample
(D) পরিসংখ্যা / Frequency
Correct Answer: (B) চলক / Variable
Explanation (ব্যাখ্যা):
চলক (Variable) এমন একটি বৈশিষ্ট্য যার মান পরিবর্তিত হতে পারে। যেমন: বয়স, উচ্চতা, ওজন, আয় ইত্যাদি।
A variable is a characteristic whose value can change. Examples include age, height, weight, income, etc.
Q19. যে চলক শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার মান গ্রহণ করতে পারে, তাকে কী বলে? A variable that can only take integer values is called?
Explanation (ব্যাখ্যা):
বিচ্ছিন্ন চলকগুলি গণনাযোগ্য এবং সাধারণত পূর্ণসংখ্যা হয়। যেমন, একটি পরিবারে সদস্য সংখ্যা, বইয়ের পৃষ্ঠার সংখ্যা ইত্যাদি। দুটি মানের মাঝে কোনো মান গ্রহণ করতে পারে না।
Discrete variables are countable and are usually whole numbers. For example, the number of members in a family, the number of pages in a book, etc. They cannot take any value between two consecutive values.
Q20. যে চলক একটি নির্দিষ্ট পরিসরের মধ্যে যেকোনো বাস্তব মান গ্রহণ করতে পারে, তাকে কী বলে? A variable that can take any real value within a certain range is called?
Explanation (ব্যাখ্যা):
অবিচ্ছিন্ন চলক পরিমাপযোগ্য এবং এটি একটি পরিসরের মধ্যে যেকোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক মান নিতে পারে। যেমন, একজন ব্যক্তির উচ্চতা, ওজন বা ঘরের তাপমাত্রা।
Continuous variables are measurable and can take any fractional or decimal value within a range. For example, a person’s height, weight, or the temperature of a room.
Q21. নিচের কোনটি একটি বিচ্ছিন্ন চলকের উদাহরণ? Which of the following is an example of a discrete variable?
(A) একজন ছাত্রের ওজন / Weight of a student
(B) একটি শহরের তাপমাত্রা / Temperature of a city
(C) একটি ক্লাসে ছাত্রের সংখ্যা / Number of students in a class
(D) একটি গাড়ির গতিবেগ / Speed of a car
Correct Answer: (C) একটি ক্লাসে ছাত্রের সংখ্যা / Number of students in a class
Explanation (ব্যাখ্যা):
ছাত্রের সংখ্যা গণনা করা হয় এবং এটি সর্বদা একটি পূর্ণ সংখ্যা (যেমন 30, 31, 32)। এটি 30.5 হতে পারে না। ওজন, তাপমাত্রা এবং গতিবেগ অবিচ্ছিন্ন চলক কারণ তারা দশমিক মান নিতে পারে।
The number of students is counted and is always a whole number (e.g., 30, 31, 32). It cannot be 30.5. Weight, temperature, and speed are continuous variables because they can take decimal values.
Q22. নিচের কোনটি একটি অবিচ্ছিন্ন চলকের উদাহরণ? Which of the following is an example of a continuous variable?
(A) একটি বইয়ের পাতার সংখ্যা / Number of pages in a book
(B) একটি ম্যাচে করা গোলের সংখ্যা / Number of goals scored in a match
(C) একজন ব্যক্তির উচ্চতা / Height of a person
(D) একটি পরিবারে গাড়ির সংখ্যা / Number of cars in a family
Correct Answer: (C) একজন ব্যক্তির উচ্চতা / Height of a person
Explanation (ব্যাখ্যা):
উচ্চতা পরিমাপ করা হয় এবং এটি যেকোনো বাস্তব মান নিতে পারে (যেমন 165.5 সেমি, 170.25 সেমি)। অন্য বিকল্পগুলি বিচ্ছিন্ন কারণ সেগুলি গণনাযোগ্য পূর্ণ সংখ্যা।
Height is measured and can take any real value (e.g., 165.5 cm, 170.25 cm). The other options are discrete because they are countable whole numbers.
Q23. তথ্যকে সারণি আকারে সাজানোকে কী বলা হয়, যেখানে প্রতিটি মানের পুনরাবৃত্তির সংখ্যা দেখানো হয়? What is the arrangement of data in a tabular form, showing the number of repetitions for each value, called?
(A) পরিসংখ্যা বিভাজন / Frequency Distribution
(B) নমুনায়ন / Sampling
(C) গড় নির্ণয় / Averaging
(D) বিস্তার পরিমাপ / Measure of Dispersion
Correct Answer: (A) পরিসংখ্যা বিভাজন / Frequency Distribution
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি পরিসংখ্যা বিভাজন সারণি কাঁচা ডেটাকে সংক্ষিপ্ত করে এবং দেখায় যে প্রতিটি মান বা শ্রেণি কতবার ঘটেছে।
A frequency distribution table summarizes raw data and shows how many times each value or class has occurred.
Q24. একটি পরিসংখ্যা বিভাজনে, একটি শ্রেণির নিম্ন এবং ঊর্ধ্ব সীমার মধ্যে পার্থক্যকে কী বলে? In a frequency distribution, what is the difference between the upper and lower limits of a class called?
(A) শ্রেণি মধ্যক / Class Midpoint
(B) শ্রেণি পরিসর / Class Interval or Width
(C) পরিসংখ্যা / Frequency
(D) ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা / Cumulative Frequency
Correct Answer: (B) শ্রেণি পরিসর / Class Interval or Width
Explanation (ব্যাখ্যা):
শ্রেণি পরিসর বা শ্রেণি বিস্তার হলো একটি শ্রেণির ঊর্ধ্ব এবং নিম্ন সীমার মধ্যেকার পার্থক্য। যেমন, 10-20 শ্রেণির পরিসর হলো 10।
The class interval or class width is the difference between the upper and lower limits of a class. For example, the class interval for the class 10-20 is 10.
Q25. একটি দৈব চলক কী? What is a random variable?
(A) একটি ধ্রুবক সংখ্যা / A constant number
(B) একটি চলক যার মান দৈব পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে / A variable whose value depends on the outcome of a random experiment
(C) শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন মান নিতে পারে এমন চলক / A variable that can only take discrete values
(D) একটি अज्ञात চলক / An unknown variable
Correct Answer: (B) একটি চলক যার মান দৈব পরীক্ষার ফলাফলের উপর নির্ভর করে / A variable whose value depends on the outcome of a random experiment
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি দৈব চলক হলো এমন একটি চলক যা একটি দৈব পরীক্ষার প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য একটি সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করে। যেমন, দুটি মুদ্রা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে হেডের সংখ্যা (0, 1, বা 2) একটি দৈব চলক।
A random variable is a variable that assigns a numerical value to each possible outcome of a random experiment. For example, the number of heads (0, 1, or 2) in two coin tosses is a random variable.
Q26. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক কী করে? What does a measure of central tendency do?
(A) তথ্যের বিস্তার দেখায় / Shows the spread of data
(B) তথ্যের কেন্দ্রীয় বা সাধারণ মান নির্দেশ করে / Indicates the central or typical value of data
(C) তথ্যের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান দেখায় / Shows the maximum and minimum values of data
(D) তথ্যের সংখ্যা গণনা করে / Counts the number of data points
Correct Answer: (B) তথ্যের কেন্দ্রীয় বা সাধারণ মান নির্দেশ করে / Indicates the central or typical value of data
Explanation (ব্যাখ্যা):
কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপকগুলি (যেমন গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরু মান) একটি ডেটা সেটের কেন্দ্রবিন্দু বা প্রতিনিধিত্বমূলক মানকে চিহ্নিত করে।
Measures of central tendency (like mean, median, mode) identify the center point or a typical value of a data set.
Q27. 2, 3, 4, 5, 6 সংখ্যাগুলির গাণিতিক গড় (A.M.) কত? What is the Arithmetic Mean (A.M.) of the numbers 2, 3, 4, 5, 6?
Mean = (Sum of all values) / (Number of values) = (2+3+4+5+6) / 5 = 20 / 5 = 4.
Q28. 7, 8, 5, 10, 15 ডেটা সেটের মধ্যমা (Median) কত? What is the median of the data set 7, 8, 5, 10, 15?
(A) 5
(B) 7
(C) 8
(D) 10
Correct Answer: (C) 8
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্রথমে ডেটাগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজাতে হবে: 5, 7, 8, 10, 15। যেহেতু এখানে 5টি (বিজোড়) মান আছে, মধ্যমা হবে মাঝের মানটি, যা হলো 8।
First, arrange the data in ascending order: 5, 7, 8, 10, 15. Since there are 5 (odd) values, the median is the middle value, which is 8.
Q29. 4, 6, 8, 10 ডেটা সেটের মধ্যমা (Median) কত? What is the median of the data set 4, 6, 8, 10?
(A) 6
(B) 8
(C) 7
(D) 14
Correct Answer: (C) 7
Explanation (ব্যাখ্যা):
ডেটাগুলি ইতোমধ্যে সাজানো আছে: 4, 6, 8, 10। এখানে 4টি (জোড়) মান আছে। মধ্যমা হবে মাঝের দুটি মানের গড়: (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7।
The data is already sorted: 4, 6, 8, 10. There are 4 (even) values. The median will be the average of the two middle values: (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7.
Q30. যে মানটি ডেটা সেটে সর্বাধিকবার আসে তাকে কী বলা হয়? What is the value that appears most frequently in a data set called?
(A) গড় / Mean
(B) মধ্যমা / Median
(C) সংখ্যাগুরু মান বা মোড / Mode
(D) প্রসার / Range
Correct Answer: (C) সংখ্যাগুরু মান বা মোড / Mode
Explanation (ব্যাখ্যা):
মোড বা সংখ্যাগুরু মান হলো ডেটা সেটের সেই মান যা সবচেয়ে বেশিবার পুনরাবৃত্ত হয়।
The mode is the value in the data set that repeats most often.
Q31. 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6 ডেটা সেটের মোড (Mode) কত? What is the mode of the data set 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
Correct Answer: (D) 5
Explanation (ব্যাখ্যা):
এই ডেটা সেটে, ‘5’ সংখ্যাটি সর্বাধিক তিনবার এসেছে। তাই মোড হলো 5।
In this data set, the number ‘5’ appears most frequently (three times). Therefore, the mode is 5.
Q32. চরম মান (outliers or extreme values) দ্বারা কোন কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক সবচেয়ে বেশি প্রভাবিত হয়? Which measure of central tendency is most affected by outliers or extreme values?
(A) গড় / Mean
(B) মধ্যমা / Median
(C) মোড / Mode
(D) সবগুলি সমানভাবে প্রভাবিত হয় / All are affected equally
Correct Answer: (A) গড় / Mean
Explanation (ব্যাখ্যা):
গড় নির্ণয়ে ডেটা সেটের সমস্ত মান ব্যবহার করা হয়। তাই একটি খুব বড় বা খুব ছোট মান (চরম মান) গড়ের মানকে ব্যাপকভাবে পরিবর্তন করতে পারে। মধ্যমা এবং মোড এতে কম প্রভাবিত হয়।
The mean uses all values in the data set for its calculation. Therefore, a very large or very small value (an outlier) can significantly change the value of the mean. The median and mode are less affected by this.
Q33. একটি প্রতিসম (symmetrical) নিবেশনের ক্ষেত্রে গড়, মধ্যমা এবং মোডের মধ্যে সম্পর্ক কী? For a symmetrical distribution, what is the relationship between mean, median, and mode?
(A) গড় > মধ্যমা > মোড / Mean > Median > Mode
(B) গড় < মধ্যমা < মোড / Mean < Median < Mode
(C) গড় = মধ্যমা = মোড / Mean = Median = Mode
(D) কোনো নির্দিষ্ট সম্পর্ক নেই / No specific relationship
Correct Answer: (C) গড় = মধ্যমা = মোড / Mean = Median = Mode
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি নিখুঁত প্রতিসম নিবেশনে (যেমন নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন), ডেটাগুলি কেন্দ্রের চারপাশে সমানভাবে বণ্টিত থাকে। ফলে গড়, মধ্যমা এবং মোড একই বিন্দুতে অবস্থান করে।
In a perfectly symmetrical distribution (like a normal distribution), the data is evenly distributed around the center. As a result, the mean, median, and mode all coincide at the same point.
Q34. একটি ডানদিকে বঙ্কিম (positively skewed) নিবেশনের ক্ষেত্রে, কোনটি সঠিক? For a positively skewed (right-skewed) distribution, which is correct?
(A) গড় > মধ্যমা > মোড / Mean > Median > Mode
(B) গড় < মধ্যমা < মোড / Mean < Median < Mode
(C) গড় = মধ্যমা = মোড / Mean = Median = Mode
(D) মধ্যমা > গড় > মোড / Median > Mean > Mode
Correct Answer: (A) গড় > মধ্যমা > মোড / Mean > Median > Mode
Explanation (ব্যাখ্যা):
ডানদিকে বঙ্কিম নিবেশনে, লেজটি ডানদিকে প্রসারিত থাকে, যার অর্থ কিছু উচ্চ মানের চরম মান রয়েছে। এই উচ্চ মানগুলি গড়কে ডানদিকে টেনে নিয়ে যায়, তাই গড় মধ্যমার চেয়ে বড় হয় এবং মধ্যমা মোডের চেয়ে বড় হয়।
In a right-skewed distribution, the tail extends to the right, meaning there are some high-value outliers. These high values pull the mean to the right, so the mean is greater than the median, which is greater than the mode.
Q35. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 – এই সংখ্যাগুলির যোগফল 55। এদের গড় কত? The sum of the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 is 55. What is their mean?
(A) 5
(B) 5.5
(C) 6
(D) 10
Correct Answer: (B) 5.5
Explanation (ব্যাখ্যা):
এখানে মোট 10টি সংখ্যা আছে এবং তাদের যোগফল 55। গড় = যোগফল / সংখ্যা = 55 / 10 = 5.5।
There are a total of 10 numbers, and their sum is 55. Mean = Sum / Count = 55 / 10 = 5.5.
Q36. বিস্তারের পরিমাপক (Measure of Dispersion) কী নির্দেশ করে? What does a measure of dispersion indicate?
(A) তথ্যের কেন্দ্রীয় মান / The central value of the data
(B) তথ্যের মানগুলি একে অপরের থেকে কতটা ছড়িয়ে আছে / How spread out the data values are from each other
(C) তথ্যের সবচেয়ে সাধারণ মান / The most common value in the data
(D) তথ্যের মোট সংখ্যা / The total count of the data
Correct Answer: (B) তথ্যের মানগুলি একে অপরের থেকে কতটা ছড়িয়ে আছে / How spread out the data values are from each other
Explanation (ব্যাখ্যা):
বিস্তারের পরিমাপকগুলি (যেমন প্রসার, গড় বিচ্যুতি, পরিমিত বিচ্যুতি) দেখায় যে ডেটা সেটের মানগুলি কেন্দ্রীয় মানের চারপাশে কতটা বিস্তৃত বা সংকুচিত।
Measures of dispersion (like range, mean deviation, standard deviation) show how spread out or compressed the values in a data set are around a central value.
Q37. একটি ডেটা সেটের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে কী বলা হয়? What is the difference between the maximum and minimum values in a data set called?
(A) গড় / Mean
(B) প্রসার / Range
(C) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
(D) ভেদমান / Variance
Correct Answer: (B) প্রসার / Range
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্রসার হলো বিস্তারের সবচেয়ে সহজ পরিমাপক। প্রসার = সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান।
Range is the simplest measure of dispersion. Range = Maximum value – Minimum value.
Q38. 10, 20, 25, 30, 40 ডেটা সেটের প্রসার (Range) কত? What is the range of the data set 10, 20, 25, 30, 40?
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 40
Correct Answer: (C) 30
Explanation (ব্যাখ্যা):
এখানে সর্বোচ্চ মান 40 এবং সর্বনিম্ন মান 10। প্রসার = 40 – 10 = 30।
Here, the maximum value is 40 and the minimum value is 10. Range = 40 – 10 = 30.
Q39. ভেদমানের (Variance) বর্গমূলকে কী বলা হয়? What is the square root of the variance called?
(A) গড় বিচ্যুতি / Mean Deviation
(B) প্রসার / Range
(C) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
(D) সহভেদাঙ্ক / Coefficient of Variation
Correct Answer: (C) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
Explanation (ব্যাখ্যা):
পরিমিত বিচ্যুতি (Standard Deviation) হলো ভেদমানের (Variance) ধনাত্মক বর্গমূল। এটি ডেটার বিস্তারের একটি বহুল ব্যবহৃত পরিমাপক।
The Standard Deviation is the positive square root of the Variance. It is a widely used measure of data dispersion.
Q40. একটি ডেটা সেটের পরিমিত বিচ্যুতি 5 হলে, তার ভেদমান (Variance) কত হবে? If the standard deviation of a data set is 5, what will be its variance?
Q41. পরিমিত বিচ্যুতি (Standard Deviation) শূন্য হলে কী বোঝা যায়? What does it mean if the standard deviation is zero?
(A) সমস্ত মান শূন্য / All values are zero
(B) সমস্ত মান সমান / All values are equal
(C) ডেটা সেটে কোনো মান নেই / There are no values in the data set
(D) গড় শূন্য / The mean is zero
Correct Answer: (B) সমস্ত মান সমান / All values are equal
Explanation (ব্যাখ্যা):
পরিমিত বিচ্যুতি শূন্য হওয়ার অর্থ হলো ডেটার কোনো বিস্তার নেই। এটি তখনই সম্ভব যখন ডেটা সেটের সমস্ত মান একই হয়। যেমন, ডেটা সেট {7, 7, 7, 7} এর পরিমিত বিচ্যুতি শূন্য।
A standard deviation of zero means there is no dispersion in the data. This is only possible when all the values in the data set are identical. For example, the data set {7, 7, 7, 7} has a standard deviation of zero.
Q42. গড় বিচ্যুতি (Mean Deviation) কী? What is Mean Deviation?
(A) গড় থেকে প্রতিটি মানের বিচ্যুতির বর্গের গড় / The average of the squared deviations from the mean
(B) গড় থেকে প্রতিটি মানের পরম বিচ্যুতির গড় / The average of the absolute deviations from the mean
(C) সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের গড় / The average of the maximum and minimum values
(D) গড় থেকে মধ্যমার পার্থক্য / The difference between the mean and the median
Correct Answer: (B) গড় থেকে প্রতিটি মানের পরম বিচ্যুতির গড় / The average of the absolute deviations from the mean
Explanation (ব্যাখ্যা):
গড় বিচ্যুতি হলো প্রতিটি ডেটা পয়েন্ট থেকে গড়ের পার্থক্যের (বিচ্যুতি) পরম মানের (চিহ্ন ছাড়া) গড়। এটি দেখায় যে ডেটা পয়েন্টগুলি গড়ে গড় থেকে কতটা দূরে।
Mean deviation is the average of the absolute values of the deviations of each data point from the mean. It shows, on average, how far the data points are from the mean.
Q43. বিস্তারের কোন পরিমাপকটি ডেটার এককের বর্গের এককে প্রকাশিত হয়? Which measure of dispersion is expressed in the square of the units of the data?
(A) প্রসার / Range
(B) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
(C) ভেদমান / Variance
(D) গড় বিচ্যুতি / Mean Deviation
Correct Answer: (C) ভেদমান / Variance
Explanation (ব্যাখ্যা):
ভেদমান হলো গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের গড়। তাই, যদি ডেটা কেজিতে (kg) থাকে, তবে ভেদমান হবে কেজি² (kg²)-তে। পরিমিত বিচ্যুতি, প্রসার এবং গড় বিচ্যুতি মূল ডেটার একই এককে থাকে।
Variance is the average of the squared deviations from the mean. So, if the data is in kilograms (kg), the variance will be in kg². Standard deviation, range, and mean deviation remain in the same unit as the original data.
Q44. দুটি ডেটা সেটের আপেক্ষিক বিস্তার তুলনা করতে কোনটি সবচেয়ে উপযোগী? Which is most useful for comparing the relative dispersion of two data sets?
(A) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
(B) ভেদমান / Variance
(C) সহভেদাঙ্ক / Coefficient of Variation
(D) প্রসার / Range
Correct Answer: (C) সহভেদাঙ্ক / Coefficient of Variation
Explanation (ব্যাখ্যা):
সহভেদাঙ্ক (CV) হলো পরিমিত বিচ্যুতিকে গড় দ্বারা ভাগ করে শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা (CV = (SD/Mean) * 100%)। এটি একটি এককবিহীন আপেক্ষিক পরিমাপক, যা ভিন্ন ভিন্ন একক বা ভিন্ন গড়যুক্ত দুটি ডেটা সেটের বিস্তার তুলনা করার জন্য আদর্শ।
The Coefficient of Variation (CV) is the standard deviation divided by the mean, expressed as a percentage (CV = (SD/Mean) * 100%). It is a unitless relative measure, ideal for comparing the dispersion of two data sets with different units or different means.
Q45. যদি একটি ডেটা সেটের প্রতিটি মানের সাথে 5 যোগ করা হয়, তাহলে নতুন পরিমিত বিচ্যুতির কী পরিবর্তন হবে? If 5 is added to each value in a data set, what change will occur in the new standard deviation?
(A) 5 বেড়ে যাবে / It will increase by 5
(B) 5 কমে যাবে / It will decrease by 5
(C) অপরিবর্তিত থাকবে / It will remain unchanged
(D) 5 গুণ হবে / It will become 5 times
Correct Answer: (C) অপরিবর্তিত থাকবে / It will remain unchanged
Explanation (ব্যাখ্যা):
পরিমিত বিচ্যুতি বিস্তারের পরিমাপক, অবস্থানের নয়। প্রতিটি মানের সাথে একটি ধ্রুবক যোগ বা বিয়োগ করলে ডেটা সেটটি সরে যায়, কিন্তু এর বিস্তার (ছড়িয়ে থাকা) একই থাকে। তাই পরিমিত বিচ্যুতি অপরিবর্তিত থাকবে।
Standard deviation is a measure of dispersion, not of location. Adding or subtracting a constant from each value shifts the data set, but its spread remains the same. Therefore, the standard deviation will remain unchanged.
Q46. 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি টেক্কা (Ace) তোলার সম্ভাবনা কত? What is the probability of drawing an Ace from a standard deck of 52 cards?
(A) 1/52
(B) 4/52
(C) 1/4
(D) 1/12
Correct Answer: (B) 4/52
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি তাসের প্যাকেটে মোট 52টি তাস থাকে (n(S) = 52)। এর মধ্যে 4টি টেক্কা থাকে (n(A) = 4)। সুতরাং, টেক্কা তোলার সম্ভাবনা = n(A) / n(S) = 4/52 = 1/13।
A standard deck has 52 cards in total (n(S) = 52). There are 4 Aces in the deck (n(A) = 4). Therefore, the probability of drawing an Ace = n(A) / n(S) = 4/52 = 1/13.
Q47. দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে, অন্তত একটি হেড (Head) পাওয়ার সম্ভাবনা কত? If two coins are tossed simultaneously, what is the probability of getting at least one Head?
(A) 1/4
(B) 1/2
(C) 3/4
(D) 1
Correct Answer: (C) 3/4
Explanation (ব্যাখ্যা):
নমুনা ক্ষেত্রটি হলো S = {HH, HT, TH, TT}, তাই n(S) = 4। অন্তত একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলি হলো {HH, HT, TH}, তাই n(A) = 3। সুতরাং, সম্ভাবনা = 3/4। বিকল্প পদ্ধতি: কোনো হেড না পাওয়ার সম্ভাবনা (ঘটনা TT) হলো 1/4। সুতরাং, অন্তত একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 – (কোনো হেড না পাওয়ার সম্ভাবনা) = 1 – 1/4 = 3/4।
The sample space is S = {HH, HT, TH, TT}, so n(S) = 4. The favorable outcomes for getting at least one head are {HH, HT, TH}, so n(A) = 3. Therefore, the probability = 3/4. Alternative method: The probability of getting no heads (event TT) is 1/4. So, the probability of getting at least one head = 1 – (Prob. of no heads) = 1 – 1/4 = 3/4.
Q48. পরিসংখ্যানে ‘Statistics’ শব্দটি কী অর্থে ব্যবহৃত হতে পারে? In statistics, what can the word ‘Statistics’ refer to?
(A) শুধুমাত্র সংখ্যাসূচক তথ্য / Only numerical data
(B) শুধুমাত্র পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি / Only statistical methods
(C) সংখ্যাসূচক তথ্য এবং পদ্ধতি উভয়ই / Both numerical data and methods
(D) শুধুমাত্র নমুনা থেকে প্রাপ্ত মান / Only values obtained from a sample
Correct Answer: (C) সংখ্যাসূচক তথ্য এবং পদ্ধতি উভয়ই / Both numerical data and methods
Explanation (ব্যাখ্যা):
‘Statistics’ শব্দটি দুটি অর্থে ব্যবহৃত হয়। বহুবচনে এটি সংখ্যাসূচক ডেটাকে বোঝায় (e.g., population statistics)। একবচনে এটি তথ্য সংগ্রহ, বিশ্লেষণ, ব্যাখ্যা এবং উপস্থাপনের বিজ্ঞানকে বোঝায়। ‘Statistic’ (একবচন, s ছাড়া) নমুনা থেকে গণনা করা একটি মানকে বোঝায় (যেমন নমুনা গড়)।
The word ‘Statistics’ is used in two senses. In the plural sense, it refers to numerical data (e.g., population statistics). In the singular sense, it refers to the science of collecting, analyzing, interpreting, and presenting data. ‘Statistic’ (singular, without ‘s’) refers to a value calculated from a sample (like sample mean).
Q49. একটি ডেটা সেটের গড় 50 এবং পরিমিত বিচ্যুতি 10। সহভেদাঙ্ক (Coefficient of Variation) কত? The mean of a data set is 50 and the standard deviation is 10. What is the Coefficient of Variation?
Standard deviation is the positive square root of the variance. Standard Deviation = √Variance = √64 = 8.
Q51. একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, একটি মৌলিক সংখ্যা (prime number) পাওয়ার সম্ভাবনা কত? If a die is rolled once, what is the probability of getting a prime number?
(A) 1/6
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2/3
Correct Answer: (C) 1/2
Explanation (ব্যাখ্যা):
ছক্কার নমুনা ক্ষেত্র S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}। এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলি হলো 2, 3, 5 (মনে রাখবেন 1 মৌলিক বা যৌগিক নয়)। সুতরাং অনুকূল ঘটনা 3টি। সম্ভাবনা = 3/6 = 1/2।
The sample space for a die roll is S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. The prime numbers in this set are 2, 3, 5 (remember 1 is neither prime nor composite). So, there are 3 favorable outcomes. Probability = 3/6 = 1/2.
Q52. কোনো ঘটনার সম্ভাবনা P(E) এর মান কোন সীমার মধ্যে থাকে? The probability of an event P(E) lies within which range?
(A) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(B) -1 ≤ P(E) ≤ 1
(C) 0 < P(E) < 1
(D) P(E) > 0
Correct Answer: (A) 0 ≤ P(E) ≤ 1
Explanation (ব্যাখ্যা):
যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা 0 (অসম্ভব ঘটনা) এবং 1 (নিশ্চিত ঘটনা) এর মধ্যে বা সমান হতে পারে। সম্ভাবনা কখনো ঋণাত্মক বা 1 এর বেশি হতে পারে না।
The probability of any event must be between or equal to 0 (impossible event) and 1 (sure event). Probability can never be negative or greater than 1.
Q53. যদি P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, এবং A ও B পরস্পর বর্জনশীল হয়, তবে P(A ∪ B) কত? If P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, and A and B are mutually exclusive, what is P(A ∪ B)?
Explanation (ব্যাখ্যা):
অবিচ্ছিন্ন চলকগুলি (যেমন উচ্চতা, ওজন, সময়) একটি স্কেলে পরিমাপ করা হয় এবং দুটি মানের মধ্যে যেকোনো মান নিতে পারে। বিচ্ছিন্ন চলকগুলি গণনা করা হয় (যেমন ছাত্র সংখ্যা)।
Continuous variables (like height, weight, time) are measured on a scale and can take any value between two points. Discrete variables are counted (like the number of students).
Q55. x₁, x₂, x₃, …, xₙ এর গাণিতিক গড় (A.M.) M হলে, Σ(xᵢ – M) এর মান কত? If the A.M. of x₁, x₂, x₃, …, xₙ is M, what is the value of Σ(xᵢ – M)?
(A) n * M
(B) 1
(C) 0
(D) M
Correct Answer: (C) 0
Explanation (ব্যাখ্যা):
এটি গাণিতিক গড়ের একটি মৌলিক ধর্ম। গড় থেকে প্রতিটি মানের বিচ্যুতির যোগফল সর্বদা শূন্য হয়।
This is a fundamental property of the arithmetic mean. The sum of the deviations of each value from the mean is always zero.
Q56. একটি ডেটা সেটে যদি কোনো মোড না থাকে, তাকে কী বলা হয়? If a data set has no mode, what is it called?
(A) ইউনিমোডাল / Unimodal
(B) বাইমোডাল / Bimodal
(C) মাল্টিমোডাল / Multimodal
(D) নো মোড / No Mode
Correct Answer: (D) নো মোড / No Mode
Explanation (ব্যাখ্যা):
যদি কোনো ডেটা সেটে প্রতিটি মান মাত্র একবার আসে, বা একাধিক মান সর্বোচ্চ একই সংখ্যক বার আসে, তবে তার কোনো মোড নেই। যেমন: {1, 2, 3, 4, 5} বা {1, 1, 2, 2, 3, 3}।
If every value in a data set occurs only once, or if multiple values occur with the same highest frequency, then it has no mode. For example: {1, 2, 3, 4, 5} or {1, 1, 2, 2, 3, 3}.
Q57. যদি একটি ডেটা সেটের প্রতিটি মানকে 2 দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে নতুন ভেদমানের কী পরিবর্তন হবে? If each value in a data set is multiplied by 2, what will be the change in the new variance?
(A) অপরিবর্তিত থাকবে / It will remain unchanged
(B) 2 গুণ হবে / It will become 2 times
(C) 4 গুণ হবে / It will become 4 times
(D) 2 বেড়ে যাবে / It will increase by 2
Correct Answer: (C) 4 গুণ হবে / It will become 4 times
Explanation (ব্যাখ্যা):
যদি প্রতিটি মানকে একটি ধ্রুবক ‘k’ দ্বারা গুণ করা হয়, তবে নতুন ভেদমানটি পুরোনো ভেদমানের k² গুণ হবে। এখানে k=2, তাই ভেদমান 2² = 4 গুণ হবে। (উল্লেখ্য, পরিমিত বিচ্যুতি 2 গুণ হবে)।
If each value is multiplied by a constant ‘k’, the new variance will be k² times the old variance. Here k=2, so the variance will become 2² = 4 times. (Note that the standard deviation would become 2 times).
Q58. মোট সম্ভাবনা উপপাদ্য (Total Probability Theorem) কোন ধরনের সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কিত? The Total Probability Theorem is related to which type of probability?
(A) একটি ঘটনার নিঃশর্ত সম্ভাবনা গণনা / Calculating the unconditional probability of an event
(B) শুধুমাত্র স্বাধীন ঘটনার সম্ভাবনা / Probability of only independent events
(C) অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা / Probability of an impossible event
(D) দুটি ঘটনার যোগফল / The sum of two events
Correct Answer: (A) একটি ঘটনার নিঃশর্ত সম্ভাবনা গণনা / Calculating the unconditional probability of an event
Explanation (ব্যাখ্যা):
মোট সম্ভাবনা উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি ঘটনার সম্ভাবনা (unconditional probability) গণনা করা হয়, যখন নমুনা ক্ষেত্রটি কয়েকটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনায় বিভক্ত থাকে এবং ওই ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনাগুলি জানা থাকে।
The Total Probability Theorem is used to calculate the unconditional probability of an event by considering its conditional probabilities with respect to a set of mutually exclusive and exhaustive events that partition the sample space.
Q59. একটি বাক্সে 5টি লাল এবং 3টি নীল বল আছে। একটি বল তুললে সেটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত? A box contains 5 red and 3 blue balls. If one ball is drawn, what is the probability that it is red?
(A) 3/8
(B) 5/8
(C) 5/3
(D) 1/5
Correct Answer: (B) 5/8
Explanation (ব্যাখ্যা):
মোট বলের সংখ্যা = 5 + 3 = 8। লাল বলের সংখ্যা 5। লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা = (অনুকূল ঘটনা) / (মোট ঘটনা) = 5/8।
Total number of balls = 5 + 3 = 8. Number of red balls is 5. Probability of getting a red ball = (Favorable outcomes) / (Total outcomes) = 5/8.
Q60. প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা কত? What is the median of the first 10 natural numbers?
(A) 5
(B) 6
(C) 5.5
(D) 10
Correct Answer: (C) 5.5
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যা হলো 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10। এখানে পদের সংখ্যা জোড় (n=10)। মধ্যমা হবে মাঝের দুটি পদের (5ম এবং 6ষ্ঠ) গড়। মধ্যমা = (5 + 6) / 2 = 11 / 2 = 5.5।
The first 10 natural numbers are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. The number of terms is even (n=10). The median will be the average of the two middle terms (5th and 6th). Median = (5 + 6) / 2 = 11 / 2 = 5.5.
Q61. যৌগিক ঘটনা (Compound Event) কী? What is a Compound Event?
(A) একটিমাত্র ফলাফল নিয়ে গঠিত ঘটনা / An event with only one outcome
(B) একাধিক সরল ঘটনা নিয়ে গঠিত ঘটনা / An event that consists of two or more simple events
(C) একটি অসম্ভব ঘটনা / An impossible event
(D) একটি নিশ্চিত ঘটনা / A sure event
Correct Answer: (B) একাধিক সরল ঘটনা নিয়ে গঠিত ঘটনা / An event that consists of two or more simple events
Explanation (ব্যাখ্যা):
যৌগিক ঘটনা হলো একাধিক ফলাফলের সমষ্টি। যেমন, ছক্কা নিক্ষেপে ‘জোড় সংখ্যা পাওয়া’ একটি যৌগিক ঘটনা কারণ এতে {2, 4, 6} এই তিনটি ফলাফল রয়েছে। ‘5 পাওয়া’ একটি সরল ঘটনা।
A compound event is a combination of two or more outcomes. For example, ‘getting an even number’ in a die roll is a compound event because it includes outcomes {2, 4, 6}. ‘Getting a 5’ is a simple event.
Q62. P(A’) দ্বারা কী বোঝানো হয়? What is denoted by P(A’)?
(A) ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা / Probability of event A
(B) ঘটনা A না ঘটার সম্ভাবনা / Probability of not event A
(C) ঘটনা A এর বর্গ / Square of event A
(D) ঘটনা A এর reciprocal / Reciprocal of event A
Correct Answer: (B) ঘটনা A না ঘটার সম্ভাবনা / Probability of not event A
Explanation (ব্যাখ্যা):
A’ (বা Aᶜ) হলো A-এর পূরক ঘটনা (complementary event)। P(A’) হলো ঘটনা A না ঘটার সম্ভাবনা, যা 1 – P(A) এর সমান।
A’ (or Aᶜ) is the complementary event of A. P(A’) is the probability that event A does not occur, which is equal to 1 – P(A).
Q63. তথ্যবিশ্বের বৈশিষ্ট্যসূচক কোনো ধ্রুবককে কী বলা হয়? A constant that describes a characteristic of a population is called?
(A) Statistic
(B) Parameter
(C) Variable
(D) Frequency
Correct Answer: (B) Parameter
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্যারামিটার হলো সমগ্রকের (population) একটি সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য, যেমন সমগ্রকের গড় (μ) বা সমগ্রকের পরিমিত বিচ্যুতি (σ)। অন্যদিকে, স্ট্যাটিস্টিক (statistic) হলো নমুনার একটি বৈশিষ্ট্য।
A parameter is a numerical characteristic of a population, such as the population mean (μ) or population standard deviation (σ). In contrast, a statistic is a characteristic of a sample.
Q64. একটি লিপ ইয়ারে (Leap Year) 53টি রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত? What is the probability that a leap year has 53 Sundays?
(A) 1/7
(B) 2/7
(C) 1/366
(D) 53/366
Correct Answer: (B) 2/7
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি লিপ ইয়ারে 366 দিন থাকে। 366 দিন = 52 সপ্তাহ + 2 দিন। 52 সপ্তাহে 52টি রবিবার থাকবেই। বাকি 2 দিন কী হবে তার ওপর 53তম রবিবার নির্ভর করছে। এই 2 দিন হতে পারে (রবি, সোম), (সোম, মঙ্গল), (মঙ্গল, বুধ), (বুধ, বৃহস্পতি), (বৃহস্পতি, শুক্র), (শুক্র, শনি), (শনি, রবি)। মোট 7টি সম্ভাব্য জুটি। এর মধ্যে দুটি জুটিতে (রবি, সোম) এবং (শনি, রবি) রবিবার আছে। সুতরাং, সম্ভাবনা হলো 2/7।
A leap year has 366 days. 366 days = 52 weeks + 2 days. There will be 52 Sundays for sure in 52 weeks. The 53rd Sunday depends on the remaining 2 days. These 2 days can be (Sun, Mon), (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun). There are 7 possible pairs. Out of these, two pairs contain a Sunday: (Sun, Mon) and (Sat, Sun). Therefore, the probability is 2/7.
Q65. 10, 0, 20, 5, 15 ডেটা সেটের গড় বিচ্যুতি (গড়ের সাপেক্ষে) নির্ণয় করুন। Calculate the mean deviation (about the mean) for the data set 10, 0, 20, 5, 15.
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
Correct Answer: (A) 6
Explanation (ব্যাখ্যা):
1. প্রথমে গড় নির্ণয় করুন: (10+0+20+5+15) / 5 = 50 / 5 = 10।
2. গড় থেকে প্রতিটি মানের পরম বিচ্যুতি (|x – mean|) নিন: |10-10|=0, |0-10|=10, |20-10|=10, |5-10|=5, |15-10|=5।
3. পরম বিচ্যুতিগুলির গড় নিন: (0+10+10+5+5) / 5 = 30 / 5 = 6।
1. First, calculate the mean: (10+0+20+5+15) / 5 = 50 / 5 = 10.
2. Take the absolute deviation of each value from the mean (|x – mean|): |10-10|=0, |0-10|=10, |20-10|=10, |5-10|=5, |15-10|=5.
3. Take the average of these absolute deviations: (0+10+10+5+5) / 5 = 30 / 5 = 6.
Q66. যদি P(A ∩ B) = P(A) * P(B) হয়, তাহলে ঘটনা A এবং B… If P(A ∩ B) = P(A) * P(B), then the events A and B are…
(A) স্বাধীন / Independent
(B) পরস্পর বর্জনশীল / Mutually Exclusive
(C) নির্ভরশীল / Dependent
(D) পূরক / Complementary
Correct Answer: (A) স্বাধীন / Independent
Explanation (ব্যাখ্যা):
এটি স্বাধীন ঘটনার গাণিতিক সংজ্ঞা। যদি দুটি ঘটনার একসাথে ঘটার সম্ভাবনা তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমান হয়, তবে ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
This is the mathematical definition of independent events. If the probability of two events occurring together is equal to the product of their individual probabilities, the events are said to be independent.
Q67. একটি বক্সে 3টি সাদা, 4টি কালো এবং 5টি সবুজ মার্বেল আছে। একটি মার্বেল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত? A box has 3 white, 4 black, and 5 green marbles. What is the probability of drawing a marble that is not white?
(A) 3/12
(B) 9/12
(C) 4/12
(D) 5/12
Correct Answer: (B) 9/12
Explanation (ব্যাখ্যা):
মোট মার্বেল = 3 + 4 + 5 = 12। সাদা নয় এমন মার্বেল (কালো বা সবুজ) = 4 + 5 = 9। সুতরাং, সম্ভাবনা = 9/12 = 3/4। বিকল্প পদ্ধতি: সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/12। সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 – 3/12 = 9/12।
Total marbles = 3 + 4 + 5 = 12. Marbles that are not white (black or green) = 4 + 5 = 9. So, the probability = 9/12 = 3/4. Alternative method: Probability of being white = 3/12. Probability of not being white = 1 – 3/12 = 9/12.
Q68. একটি ক্লাসের ছাত্রদের গড় বয়স 15 বছর। এটি কীসের উদাহরণ? The average age of students in a class is 15 years. This is an example of a?
(A) প্যারামিটার / Parameter
(B) স্ট্যাটিস্টিক / Statistic
(C) চলক / Variable
(D) ডেটা / Data
Correct Answer: (B) স্ট্যাটিস্টিক / Statistic
Explanation (ব্যাখ্যা):
যেহেতু ‘একটি ক্লাস’ সকল ছাত্রের (সমগ্রক) একটি অংশ বা নমুনা, তাই ক্লাস থেকে গণনা করা গড় হলো একটি স্ট্যাটিস্টিক (statistic)। যদি বলা হতো ‘সকল ছাত্রদের গড় বয়স’, তবে তা হতো প্যারামিটার।
Since ‘a class’ is a part or sample of all students (the population), the average calculated from the class is a statistic. If it were the ‘average age of all students’, it would be a parameter.
Q69. ডেটা সেটের কোন মানটি ডেটাকে দুটি সমান অংশে ভাগ করে? Which value in a data set divides the data into two equal parts?
(A) গড় / Mean
(B) মধ্যমা / Median
(C) মোড / Mode
(D) প্রসার / Range
Correct Answer: (B) মধ্যমা / Median
Explanation (ব্যাখ্যা):
মধ্যমা হলো একটি ডেটা সেটের মাঝের মান যখন ডেটাগুলিকে ক্রমানুসারে সাজানো হয়। এর নিচে 50% ডেটা থাকে এবং এর উপরে 50% ডেটা থাকে।
The median is the middle value of a data set when the data is arranged in order. 50% of the data lies below it and 50% lies above it.
Q70. বিস্তারের কোন পরিমাপকটি সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়? Which measure of dispersion is most commonly used?
(A) প্রসার / Range
(B) গড় বিচ্যুতি / Mean Deviation
(C) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
(D) চতুর্থক বিচ্যুতি / Quartile Deviation
Correct Answer: (C) পরিমিত বিচ্যুতি / Standard Deviation
Explanation (ব্যাখ্যা):
পরিমিত বিচ্যুতি এবং এর বর্গ (ভেদমান) গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের কারণে পরিসংখ্যানিক বিশ্লেষণ এবং অনুমানে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়। এটি সমস্ত ডেটা পয়েন্ট ব্যবহার করে এবং গড়ের চারপাশে বিস্তারকে ভালোভাবে উপস্থাপন করে।
Standard deviation and its square (variance) are the most commonly used measures of dispersion due to their mathematical properties, making them suitable for statistical analysis and inference. It uses all data points and represents the spread around the mean well.
Q71. একটি ডেটা সেটের মোড অনন্য (unique) নাও হতে পারে। উক্তিটি – The mode of a data set may not be unique. The statement is –
(A) সত্য / True
(B) মিথ্যা / False
(C) কখনও সত্য, কখনও মিথ্যা / Sometimes true, sometimes false
(D) বলা সম্ভব নয় / Cannot be said
Correct Answer: (A) সত্য / True
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি ডেটা সেটে একাধিক মোড থাকতে পারে। যদি দুটি মানের পরিসংখ্যা সর্বোচ্চ হয়, তবে তাকে বাইমোডাল (bimodal) বলে। যেমন: {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5} এর মোড হলো 2 এবং 4।
A data set can have more than one mode. If two values have the highest frequency, it is called bimodal. For example, the mode of {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5} is 2 and 4.
Q72. একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে, ঠিক দুটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত? If a coin is tossed three times, what is the probability of getting exactly two heads?
(A) 1/8
(B) 2/8
(C) 3/8
(D) 4/8
Correct Answer: (C) 3/8
Explanation (ব্যাখ্যা):
নমুনা ক্ষেত্র S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8। ঠিক দুটি হেড পাওয়ার ঘটনাগুলি হলো {HHT, HTH, THH}, n(A) = 3। সুতরাং, সম্ভাবনা = 3/8।
Sample space S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8. The outcomes for getting exactly two heads are {HHT, HTH, THH}, n(A) = 3. Therefore, the probability = 3/8.
Q73. গুণবাচক তথ্যের (Qualitative Data) জন্য কোন কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপকটি ব্যবহার করা যায়? Which measure of central tendency can be used for qualitative data?
(A) গড় / Mean
(B) মধ্যমা / Median
(C) মোড / Mode
(D) কোনোটিই নয় / None of these
Correct Answer: (C) মোড / Mode
Explanation (ব্যাখ্যা):
গুণবাচক তথ্য (যেমন চোখের রঙ, পছন্দের ব্র্যান্ড) সংখ্যাসূচক নয়, তাই গড় বা মধ্যমা গণনা করা যায় না। কিন্তু কোন বিভাগটি সবচেয়ে বেশিবার এসেছে (মোড), তা নির্ধারণ করা যায়।
Qualitative data (like eye color, favorite brand) is not numerical, so mean or median cannot be calculated. However, one can determine which category appears most frequently (the mode).
Q74. 1 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে থেকে একটি সংখ্যা তোলা হলে, সেটি 3 বা 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত? If a number is chosen from 1 to 20, what is the probability that it is divisible by 3 or 5?
(A) 9/20
(B) 10/20
(C) 8/20
(D) 11/20
Correct Answer: (A) 9/20
Explanation (ব্যাখ্যা):
3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: {3, 6, 9, 12, 15, 18} (6টি)। P(A) = 6/20।
5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: {5, 10, 15, 20} (4টি)। P(B) = 4/20।
3 এবং 5 উভয় দ্বারা বিভাজ্য (15 দ্বারা): {15} (1টি)। P(A ∩ B) = 1/20।
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 6/20 + 4/20 – 1/20 = 9/20।
Numbers divisible by 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18} (6 numbers). P(A) = 6/20.
Numbers divisible by 5: {5, 10, 15, 20} (4 numbers). P(B) = 4/20.
Numbers divisible by both 3 and 5 (i.e., by 15): {15} (1 number). P(A ∩ B) = 1/20.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 6/20 + 4/20 – 1/20 = 9/20.
Q75. একটি ডেটা সেটের ভেদমান সর্বদা – The variance of a data set is always –
(A) ঋণাত্মক / Negative
(B) অ-ঋণাত্মক / Non-negative
(C) 1 এর থেকে বড় / Greater than 1
(D) 0 থেকে 1 এর মধ্যে / Between 0 and 1
Correct Answer: (B) অ-ঋণাত্মক / Non-negative
Explanation (ব্যাখ্যা):
ভেদমান হলো বিচ্যুতির বর্গের গড়। বর্গ রাশি কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ভেদমানও কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। এর সর্বনিম্ন মান শূন্য (যখন সব মান সমান)।
Variance is the average of squared deviations. A squared term can never be negative, so the variance can also never be negative. Its minimum value is zero (when all values are equal).
Q76. একটি ফুটবল দলের 11 জন খেলোয়াড়ের বয়স (বছরে): 28, 24, 25, 25, 27, 26, 28, 29, 30, 25, 27। বয়সের মোড কত? The ages (in years) of 11 players of a football team are: 28, 24, 25, 25, 27, 26, 28, 29, 30, 25, 27. What is the mode of the ages?
(A) 28
(B) 27
(C) 25
(D) 26
Correct Answer: (C) 25
Explanation (ব্যাখ্যা):
ডেটা সেটে প্রতিটি মানের পরিসংখ্যা গণনা করুন: 24 (1), 25 (3), 26 (1), 27 (2), 28 (2), 29 (1), 30 (1)। যেহেতু 25 বয়সটি সর্বাধিক 3 বার এসেছে, তাই মোড হলো 25।
Count the frequency of each value in the data set: 24 (1), 25 (3), 26 (1), 27 (2), 28 (2), 29 (1), 30 (1). Since the age 25 appears most frequently (3 times), the mode is 25.
Q77. যদি P(E) = 0.05 হয়, তাহলে ‘E নয়’ এর সম্ভাবনা কত? If P(E) = 0.05, what is the probability of ‘not E’?
Q78. একটি শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজনে, শ্রেণিগুলির মধ্যবিন্দু ব্যবহার করে কী গণনা করা হয়? In a grouped frequency distribution, what is calculated using the midpoints of the classes?
(A) আনুমানিক গড় / Approximate Mean
(B) সঠিক গড় / Exact Mean
(C) প্রসার / Range
(D) মোট পরিসংখ্যা / Total Frequency
Correct Answer: (A) আনুমানিক গড় / Approximate Mean
Explanation (ব্যাখ্যা):
শ্রেণিবদ্ধ তথ্যের ক্ষেত্রে, প্রতিটি শ্রেণির সমস্ত মানকে তার মধ্যবিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এই মধ্যবিন্দুগুলি ব্যবহার করে যে গড় গণনা করা হয় তা একটি আনুমানিক গড়, কারণ মূল ডেটা মানগুলি হারিয়ে যায়।
For grouped data, all values within a class are represented by its midpoint. The mean calculated using these midpoints is an approximate mean because the original data values are lost.
Q79. দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে, উভয় ছক্কাতে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত? If two dice are rolled together, what is the probability of getting the same number on both dice?
(A) 1/6
(B) 1/36
(C) 6/36
(D) 2/36
Correct Answer: (A) 1/6
Explanation (ব্যাখ্যা):
দুটি ছক্কা নিক্ষেপে মোট ফলাফল = 6 * 6 = 36। উভয় ছক্কাতে একই সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা (doublets) হলো: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)। মোট 6টি ঘটনা। সুতরাং, সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6।
Total outcomes when two dice are rolled = 6 * 6 = 36. Favorable outcomes for getting the same number (doublets) are: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Total 6 outcomes. Therefore, the probability = 6/36 = 1/6.
Q80. একটি ডেটা সেটের গড় এবং মধ্যমা যথাক্রমে 20 এবং 22। নিবেশনটি সম্ভবত কী ধরনের? The mean and median of a data set are 20 and 22 respectively. What is the likely nature of the distribution?
(A) প্রতিসম / Symmetrical
(B) ডানদিকে বঙ্কিম / Right-skewed
(C) বামদিকে বঙ্কিম / Left-skewed
(D) বলা সম্ভব নয় / Cannot be determined
Correct Answer: (C) বামদিকে বঙ্কিম / Left-skewed
Explanation (ব্যাখ্যা):
যখন গড় < মধ্যমা হয়, তখন নিবেশনটি বামদিকে বঙ্কিম (negatively skewed) হয়। এর কারণ হলো কিছু নিম্ন মানের চরম মান গড়কে বাম দিকে (কম মানের দিকে) টেনে নিয়ে যায়।
When Mean < Median, the distribution is left-skewed (negatively skewed). This is because some low-value outliers pull the mean towards the left (lower values).
Q81. যদি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা p হয়, তবে পরপর n বার চেষ্টায় ঘটনাটি একবারও না ঘটার সম্ভাবনা কত? (ঘটনাগুলি স্বাধীন) If the probability of an event is p, what is the probability of the event not happening at all in n independent trials?
(A) 1 – pⁿ
(B) pⁿ
(C) (1 – p)ⁿ
(D) n(1 – p)
Correct Answer: (C) (1 – p)ⁿ
Explanation (ব্যাখ্যা):
একবার চেষ্টায় ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা p হলে, না ঘটার সম্ভাবনা হলো (1-p)। যেহেতু চেষ্টাগুলি স্বাধীন, তাই n বার চেষ্টায় একবারও না ঘটার সম্ভাবনা হবে (1-p) * (1-p) * … (n বার) = (1-p)ⁿ।
If the probability of the event happening in one trial is p, the probability of it not happening is (1-p). Since the trials are independent, the probability of it not happening in any of the n trials is (1-p) * (1-p) * … (n times) = (1-p)ⁿ.
Q82. কোনটি বিস্তারের পরম পরিমাপক (absolute measure of dispersion)? Which of the following is an absolute measure of dispersion?
(A) সহভেদাঙ্ক / Coefficient of Variation
(B) প্রসারের সহগ / Coefficient of Range
(C) ভেদমান / Variance
(D) সবগুলি / All of the above
Correct Answer: (C) ভেদমান / Variance
Explanation (ব্যাখ্যা):
পরম পরিমাপকগুলি মূল ডেটার এককের উপর নির্ভরশীল (যেমন প্রসার, ভেদমান, পরিমিত বিচ্যুতি)। আপেক্ষিক পরিমাপকগুলি (যেমন সহভেদাঙ্ক) এককবিহীন অনুপাত, যা তুলনার জন্য ব্যবহৃত হয়।
Absolute measures depend on the units of the original data (e.g., range, variance, standard deviation). Relative measures (like the coefficient of variation) are unitless ratios used for comparison.
Q83. দুটি ছক্কা নিক্ষেপে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির যোগফল 10 হওয়ার সম্ভাবনা কত? What is the probability that the sum of the numbers obtained by rolling two dice is 10?
(A) 1/36
(B) 2/36
(C) 3/36
(D) 4/36
Correct Answer: (C) 3/36
Explanation (ব্যাখ্যা):
মোট ফলাফল = 36। যোগফল 10 হতে পারে এমন জুটিগুলো হলো: (4,6), (5,5), (6,4)। মোট 3টি অনুকূল ঘটনা। সুতরাং, সম্ভাবনা = 3/36 = 1/12।
Total outcomes = 36. The pairs that sum to 10 are: (4,6), (5,5), (6,4). There are 3 favorable outcomes. Therefore, the probability = 3/36 = 1/12.
Q84. যদি 10টি পর্যবেক্ষণের গড় 15 হয়, তবে পর্যবেক্ষণগুলির যোগফল কত? If the mean of 10 observations is 15, what is the sum of the observations?
(A) 1.5
(B) 25
(C) 150
(D) 1500
Correct Answer: (C) 150
Explanation (ব্যাখ্যা):
গড় = যোগফল / সংখ্যা। সুতরাং, যোগফল = গড় * সংখ্যা। যোগফল = 15 * 10 = 150।
Mean = Sum / Count. Therefore, Sum = Mean * Count. Sum = 15 * 10 = 150.
Q85. ‘STATISTICS’ শব্দটির অক্ষরগুলি থেকে একটি অক্ষর দৈবভাবে নির্বাচন করা হলে, সেটি ‘S’ হওয়ার সম্ভাবনা কত? If a letter is randomly selected from the word ‘STATISTICS’, what is the probability that it is ‘S’?
(A) 1/10
(B) 2/10
(C) 3/10
(D) 4/10
Correct Answer: (C) 3/10
Explanation (ব্যাখ্যা):
‘STATISTICS’ শব্দটিতে মোট 10টি অক্ষর আছে। এর মধ্যে ‘S’ অক্ষরটি 3 বার আছে। সুতরাং, ‘S’ পাওয়ার সম্ভাবনা = 3/10।
The word ‘STATISTICS’ has a total of 10 letters. The letter ‘S’ appears 3 times. Therefore, the probability of getting an ‘S’ is 3/10.
Q86. একটি অসম্ভব ঘটনা এবং একটি নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনার যোগফল কত? What is the sum of the probabilities of an impossible event and a sure event?
(A) 0
(B) 1
(C) 0.5
(D) 2
Correct Answer: (B) 1
Explanation (ব্যাখ্যা):
অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা 0 এবং নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা 1। তাদের যোগফল = 0 + 1 = 1।
The probability of an impossible event is 0, and the probability of a sure event is 1. Their sum = 0 + 1 = 1.
Q87. যদি একটি ডেটা সেটের প্রসার 0 হয়, তবে এর পরিমিত বিচ্যুতি কত হবে? If the range of a data set is 0, what will be its standard deviation?
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) নির্ণয় করা যাবে না / Cannot be determined
Correct Answer: (A) 0
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্রসার 0 হওয়ার অর্থ হলো সর্বোচ্চ মান = সর্বনিম্ন মান। এটি তখনই সম্ভব যখন ডেটা সেটের সমস্ত মান সমান হয়। আর যখন সমস্ত মান সমান হয়, তখন পরিমিত বিচ্যুতিও শূন্য হয়।
A range of 0 means Maximum Value = Minimum Value. This is only possible when all values in the data set are equal. And when all values are equal, the standard deviation is also zero.
Q88. Population Mean-কে সাধারণত কোন প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়? The Population Mean is usually denoted by which symbol?
(A) x̄ (x-bar)
(B) μ (mu)
(C) σ (sigma)
(D) s
Correct Answer: (B) μ (mu)
Explanation (ব্যাখ্যা):
গ্রিক অক্ষর μ (mu) দ্বারা সমগ্রকের গড় (population mean) এবং x̄ দ্বারা নমুনার গড় (sample mean) বোঝানো হয়। σ দ্বারা সমগ্রকের পরিমিত বিচ্যুতি এবং s দ্বারা নমুনার পরিমিত বিচ্যুতি বোঝানো হয়।
The Greek letter μ (mu) denotes the population mean, while x̄ denotes the sample mean. σ denotes the population standard deviation, and s denotes the sample standard deviation.
Q89. একটি লটারিতে 10টি পুরস্কার এবং 25টি ফাঁকা টিকিট আছে। একটি টিকিট তুললে পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা কত? In a lottery, there are 10 prizes and 25 blanks. What is the probability of getting a prize on drawing a ticket?
(A) 10/25
(B) 10/35
(C) 25/35
(D) 1/35
Correct Answer: (B) 10/35
Explanation (ব্যাখ্যা):
মোট টিকিটের সংখ্যা = 10 (পুরস্কার) + 25 (ফাঁকা) = 35। পুরস্কারযুক্ত টিকিটের সংখ্যা 10। সুতরাং, পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = 10/35 = 2/7।
Total number of tickets = 10 (prizes) + 25 (blanks) = 35. The number of prized tickets is 10. Therefore, the probability of getting a prize = 10/35 = 2/7.
Q90. যদি দুটি ঘটনা A এবং B এমন হয় যে P(A) > 0 এবং P(B) > 0, এবং তারা পরস্পর বর্জনশীল হয়, তবে তারা কি স্বাধীন হতে পারে? If two events A and B are such that P(A) > 0 and P(B) > 0, and they are mutually exclusive, can they be independent?
(A) হ্যাঁ / Yes
(B) না / No
(C) কিছু ক্ষেত্রে পারে / Yes, in some cases
(D) তথ্যের অভাব / Insufficient information
Correct Answer: (B) না / No
Explanation (ব্যাখ্যা):
না। যদি A এবং B পরস্পর বর্জনশীল হয়, তবে P(A ∩ B) = 0। যদি তারা স্বাধীন হতো, তবে P(A ∩ B) = P(A) * P(B) হতো। যেহেতু P(A) > 0 এবং P(B) > 0, তাই P(A) * P(B) > 0 হবে। যেহেতু 0 ≠ P(A) * P(B), তাই তারা স্বাধীন হতে পারে না। সোজা কথায়, একটি ঘটলে অন্যটি ঘটতে পারে না, তাই তারা একে অপরের ওপর নির্ভরশীল।
No. If A and B are mutually exclusive, then P(A ∩ B) = 0. If they were independent, then P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Since P(A) > 0 and P(B) > 0, their product P(A) * P(B) must be > 0. Since 0 ≠ P(A) * P(B), they cannot be independent. In simple terms, if one happens, the other cannot, so they are dependent.
Q91. কোন লেখচিত্রটি (graph) মোড নির্ণয়ের জন্য সবচেয়ে উপযোগী? Which graph is most useful for determining the mode?
(A) পাই চার্ট / Pie Chart
(B) ওজাইভ / Ogive
(C) হিস্টোগ্রাম / Histogram
(D) লাইন গ্রাফ / Line Graph
Correct Answer: (C) হিস্টোগ্রাম / Histogram
Explanation (ব্যাখ্যা):
হিস্টোগ্রামে সর্বোচ্চ দণ্ডটি (bar) মোডাল ক্লাসকে নির্দেশ করে। এই দণ্ড থেকে গ্রাফিক্যাল পদ্ধতিতে মোডের মান নির্ণয় করা যায়।
In a histogram, the tallest bar indicates the modal class. The value of the mode can be determined graphically from this bar.
Q92. কোন লেখচিত্রটি (graph) মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়? Which graph is used to determine the median?
(A) হিস্টোগ্রাম / Histogram
(B) পরিসংখ্যা বহুভুজ / Frequency Polygon
(C) ওজাইভ বা ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা / Ogive or Cumulative Frequency Curve
(D) বার চার্ট / Bar Chart
Correct Answer: (C) ওজাইভ বা ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা / Ogive or Cumulative Frequency Curve
Explanation (ব্যাখ্যা):
দুটি ওজাইভ (less than এবং more than) যেখানে ছেদ করে, সেই বিন্দুর ভুজ (x-coordinate) মধ্যমার মান নির্দেশ করে। অথবা একটি ওজাইভ থেকে N/2 অবস্থানে মধ্যমা নির্ণয় করা যায়।
The x-coordinate of the intersection point of the two ogives (less than and more than) gives the value of the median. Alternatively, the median can be located from a single ogive at the N/2 position.
Q93. 5, 15, 8, 22, 10 – এই সংখ্যাগুলির মধ্যমা কত? What is the median of the numbers 5, 15, 8, 22, 10?
(A) 8
(B) 15
(C) 10
(D) 12
Correct Answer: (C) 10
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্রথমে ডেটা সাজান: 5, 8, 10, 15, 22। এখানে 5টি (বিজোড়) মান আছে। মাঝের মানটি হলো 10, যা মধ্যমা।
First, sort the data: 5, 8, 10, 15, 22. There are 5 (odd) values. The middle value is 10, which is the median.
Q94. যদি একটি ডেটা সেটের প্রতিটি মান থেকে তাদের গড় বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন সেটটির গড় কত হবে? If the mean of a data set is subtracted from each value, what will be the mean of the new set?
(A) 1
(B) 0
(C) পুরোনো গড় / The old mean
(D) -1
Correct Answer: (B) 0
Explanation (ব্যাখ্যা):
গড়ের একটি ধর্ম হলো, যদি প্রতিটি মান থেকে গড় (একটি ধ্রুবক) বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন গড়টিও পুরোনো গড় থেকে সেই ধ্রুবক পরিমাণ কমে যাবে। সুতরাং, নতুন গড় = পুরোনো গড় – পুরোনো গড় = 0।
A property of the mean is that if a constant (the mean itself) is subtracted from each value, the new mean will also decrease by that constant amount. So, New Mean = Old Mean – Old Mean = 0.
Q95. 52টি তাসের প্যাকেট থেকে একটি ‘face card’ (রাজা, রানি, গোলাম) তোলার সম্ভাবনা কত? What is the probability of drawing a ‘face card’ (King, Queen, Jack) from a deck of 52 cards?
(A) 3/52
(B) 1/13
(C) 12/52
(D) 4/13
Correct Answer: (C) 12/52
Explanation (ব্যাখ্যা):
একটি প্যাকেটে 4 ধরনের তাস (Spades, Hearts, Diamonds, Clubs) থাকে এবং প্রতিটিতে 3টি করে face card (K, Q, J) থাকে। সুতরাং মোট face card = 4 * 3 = 12টি। সম্ভাবনা = 12/52 = 3/13।
A deck has 4 suits (Spades, Hearts, Diamonds, Clubs), and each suit has 3 face cards (K, Q, J). So, total face cards = 4 * 3 = 12. Probability = 12/52 = 3/13.
Q96. একটি ডেটা সেটের প্রসার বিস্তারের একটি ভালো পরিমাপক নয়, কারণ – The range is not a good measure of dispersion because –
(A) এটি গণনা করা কঠিন / It is difficult to calculate
(B) এটি শুধুমাত্র দুটি মানের উপর নির্ভরশীল / It depends only on two values
(C) এটি সর্বদা শূন্য হয় / It is always zero
(D) এটি ঋণাত্মক হতে পারে / It can be negative
Correct Answer: (B) এটি শুধুমাত্র দুটি মানের উপর নির্ভরশীল / It depends only on two values
Explanation (ব্যাখ্যা):
প্রসার শুধুমাত্র সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের উপর নির্ভর করে এবং মাঝের মানগুলির বণ্টনকে বিবেচনা করে না। তাই এটি চরম মান (outliers) দ্বারা খুব বেশি প্রভাবিত হয় এবং ডেটার প্রকৃত বিস্তার দেখাতে পারে না।
The range depends only on the maximum and minimum values and does not consider the distribution of the values in between. Therefore, it is highly affected by outliers and may not represent the true spread of the data.
Q97. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) সূত্রটি কী নামে পরিচিত? The formula P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) is known as?
(A) সম্ভাবনার গুণন সূত্র / Multiplication Rule of Probability
(B) সম্ভাবনার যোগ সূত্র / Addition Rule of Probability
(C) বেইজের উপপাদ্য / Bayes’ Theorem
(D) শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র / Conditional Probability Formula
Correct Answer: (B) সম্ভাবনার যোগ সূত্র / Addition Rule of Probability
Explanation (ব্যাখ্যা):
এটি সম্ভাবনার সাধারণ যোগ সূত্র, যা যেকোনো দুটি ঘটনা A বা B (অথবা উভয়ই) ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করে।
This is the general addition rule of probability, which calculates the probability of either event A or event B (or both) occurring.
Q98. একটি পরিবারে দুটি শিশু আছে। উভয়ই মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা কত? (ছেলে ও মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা সমান ধরে) A family has two children. What is the probability that both are girls? (Assuming equal probability for a boy and a girl)
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 2/3
Correct Answer: (C) 1/4
Explanation (ব্যাখ্যা):
সম্ভাব্য ফলাফলগুলি হলো: (ছেলে, ছেলে), (ছেলে, মেয়ে), (মেয়ে, ছেলে), (মেয়ে, মেয়ে)। মোট 4টি সম্ভাবনা। এর মধ্যে উভয়ই মেয়ে (মেয়ে, মেয়ে) হওয়ার ঘটনা 1টি। সুতরাং, সম্ভাবনা = 1/4।
The possible outcomes are: (Boy, Boy), (Boy, Girl), (Girl, Boy), (Girl, Girl). There are 4 total possibilities. The event of both being girls is (Girl, Girl), which is 1 outcome. Therefore, the probability = 1/4.
Q99. 2, 4, 6, 8, 10 – এই সংখ্যাগুলির ভেদমান (variance) নির্ণয় করুন। Calculate the variance of the numbers 2, 4, 6, 8, 10.
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) √8
Correct Answer: (B) 8
Explanation (ব্যাখ্যা):
1. গড় (μ) = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6।
2. গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গ ((x-μ)²) নিন: (2-6)²=16, (4-6)²=4, (6-6)²=0, (8-6)²=4, (10-6)²=16।
3. বর্গের গড় (ভেদমান) নিন: (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8।
1. Mean (μ) = (2+4+6+8+10)/5 = 30/5 = 6.
2. Take the squared deviations from the mean ((x-μ)²): (2-6)²=16, (4-6)²=4, (6-6)²=0, (8-6)²=4, (10-6)²=16.
3. Take the average of the squares (variance): (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8.
Q100. বেইজের উপপাদ্যটি কোন সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কিত? Bayes’ theorem is related to which probability?
(A) প্রান্তিক সম্ভাবনা / Marginal Probability
(B) যৌথ সম্ভাবনা / Joint Probability
(C) শর্তাধীন সম্ভাবনা / Conditional Probability
(D) মোট সম্ভাবনা / Total Probability
Correct Answer: (C) শর্তাধীন সম্ভাবনা / Conditional Probability
Explanation (ব্যাখ্যা):
বেইজের উপপাদ্য P(A|B) এবং P(B|A) এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। এটি একটি শর্তাধীন সম্ভাবনা P(A|B) কে অন্য একটি শর্তাধীন সম্ভাবনা P(B|A) এবং নিঃশর্ত সম্ভাবনা P(A) ও P(B) এর মাধ্যমে প্রকাশ করে।
Bayes’ theorem establishes a relationship between P(A|B) and P(B|A). It expresses a conditional probability P(A|B) in terms of another conditional probability P(B|A) and the unconditional probabilities P(A) and P(B).