प्रश्न 1. यदि दो बिन्दु द्रव्यमानों के बीच की दूरी को दोगुना कर दिया जाए, तो उनके बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल (gravitational force) कितना हो जाएगा?
Q1. If the distance between two point masses is doubled, the gravitational force between them becomes:
सही उत्तर: D) एक-चौथाई (One-fourth)
Correct Answer: D) One-fourth
स्पष्टीकरण: न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार, बल दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
F ∝ 1 / r²
यदि दूरी r’ = 2r कर दी जाए, तो नया बल:
F’ ∝ 1 / (2r)² = 1 / 4r² ⇒ F’ = F / 4 (यानी एक-चौथाई)।
F ∝ 1 / r²
यदि दूरी r’ = 2r कर दी जाए, तो नया बल:
F’ ∝ 1 / (2r)² = 1 / 4r² ⇒ F’ = F / 4 (यानी एक-चौथाई)।
Explanation: According to Newton’s Law of Gravitation, the force is inversely proportional to the square of the distance between the masses:
F ∝ 1 / r²
If the distance becomes r’ = 2r, the new force is:
F’ ∝ 1 / (2r)² = 1 / 4r² ⇒ F’ = F / 4 (one-fourth of the initial force).
F ∝ 1 / r²
If the distance becomes r’ = 2r, the new force is:
F’ ∝ 1 / (2r)² = 1 / 4r² ⇒ F’ = F / 4 (one-fourth of the initial force).
प्रश्न 2. पृथ्वी की सतह से किस ऊँचाई (h) पर गुरुत्वीय त्वरण (g) का मान सतह पर इसके मान का 1 / 9 हो जाएगा? (जहाँ R पृथ्वी की त्रिज्या है)
Q2. At what height (h) above the Earth’s surface does the acceleration due to gravity (g) become 1 / 9 of its value at the surface? (where R is the radius of the Earth)
सही उत्तर: B) h = 2R
Correct Answer: B) h = 2R
स्पष्टीकरण: ऊँचाई के साथ गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र:
g_h = g [R / (R + h)]²
– दिया गया है: g_h = g / 9
– g / 9 = g [R / (R + h)]² ⇒ 1 / 3 = R / (R + h)
– R + h = 3R ⇒ h = 2R।
g_h = g [R / (R + h)]²
– दिया गया है: g_h = g / 9
– g / 9 = g [R / (R + h)]² ⇒ 1 / 3 = R / (R + h)
– R + h = 3R ⇒ h = 2R।
Explanation: The acceleration due to gravity at an altitude h is given by:
g_h = g [R / (R + h)]²
– Given: g_h = g / 9
– g / 9 = g [R / (R + h)]² ⇒ 1 / 3 = R / (R + h)
– R + h = 3R ⇒ h = 2R.
g_h = g [R / (R + h)]²
– Given: g_h = g / 9
– g / 9 = g [R / (R + h)]² ⇒ 1 / 3 = R / (R + h)
– R + h = 3R ⇒ h = 2R.
प्रश्न 3. पृथ्वी की सतह से किस गहराई (d) पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह पर इसके मान का 1 / 4 रह जाएगा? (जहाँ R पृथ्वी की त्रिज्या है)
Q3. At what depth (d) below the Earth’s surface does the acceleration due to gravity become 1 / 4 of its value at the surface? (where R is the radius of the Earth)
सही उत्तर: B) d = 3R / 4
Correct Answer: B) d = 3R / 4
स्पष्टीकरण: गहराई के साथ गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र:
g_d = g [1 – (d / R)]
– दिया गया है: g_d = g / 4
– g / 4 = g [1 – (d / R)] ⇒ 1 / 4 = 1 – (d / R)
– d / R = 1 – 1 / 4 = 3 / 4 ⇒ d = 3R / 4 (यानी 0.75 R)।
g_d = g [1 – (d / R)]
– दिया गया है: g_d = g / 4
– g / 4 = g [1 – (d / R)] ⇒ 1 / 4 = 1 – (d / R)
– d / R = 1 – 1 / 4 = 3 / 4 ⇒ d = 3R / 4 (यानी 0.75 R)।
Explanation: The acceleration due to gravity at a depth d is given by:
g_d = g [1 – (d / R)]
– Given: g_d = g / 4
– 1 / 4 = 1 – (d / R) ⇒ d / R = 3 / 4 ⇒ d = 3R / 4.
g_d = g [1 – (d / R)]
– Given: g_d = g / 4
– 1 / 4 = 1 – (d / R) ⇒ d / R = 3 / 4 ⇒ d = 3R / 4.
प्रश्न 4. पृथ्वी के अपने अक्ष पर घूर्णन (rotation) के कारण गुरुत्वीय त्वरण (g) का मान कहाँ पर न्यूनतम और कहाँ पर अधिकतम होता है?
Q4. Due to the rotation of the Earth about its axis, the value of acceleration due to gravity (g) is minimum and maximum at:
सही उत्तर: B) न्यूनतम भूमध्य रेखा पर, अधिकतम ध्रुवों पर
Correct Answer: B) Minimum at equator, maximum at poles
स्पष्टीकरण: पृथ्वी के घूर्णन के कारण किसी अक्षांश कोण λ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है:
g’ = g – ω²R cos²λ
– **भूमध्य रेखा (Equator) पर (λ = 0°):** g_eq’ = g – ω²R (न्यूनतम मान)।
– **ध्रुवों (Poles) पर (λ = 90°):** g_pole’ = g (घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता, अधिकतम मान)।
g’ = g – ω²R cos²λ
– **भूमध्य रेखा (Equator) पर (λ = 0°):** g_eq’ = g – ω²R (न्यूनतम मान)।
– **ध्रुवों (Poles) पर (λ = 90°):** g_pole’ = g (घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता, अधिकतम मान)।
Explanation: Due to Earth’s rotation, the effective gravity at latitude λ is:
g’ = g – ω²R cos²λ
– **At Equator (λ = 0°):** g’ = g – ω²R, which is the minimum value.
– **At Poles (λ = 90°):** g’ = g, where rotation has no effect, resulting in the maximum value.
g’ = g – ω²R cos²λ
– **At Equator (λ = 0°):** g’ = g – ω²R, which is the minimum value.
– **At Poles (λ = 90°):** g’ = g, where rotation has no effect, resulting in the maximum value.
प्रश्न 5. पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग (Escape velocity, v_e) निम्नलिखित में से किस कारक पर निर्भर नहीं करता है?
Q5. The escape velocity (v_e) of a body projected from the Earth’s surface does not depend on:
सही उत्तर: C) प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान पर (Mass of the body)
Correct Answer: C) Mass of the projected body
स्पष्टीकरण: पृथ्वी की सतह से पलायन वेग का सूत्र है:
v_e = √(2GM_E / R_E)
इस सूत्र में केवल पृथ्वी का द्रव्यमान (M_E) और पृथ्वी की त्रिज्या (R_E) शामिल हैं। यह फेंकी जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान (m) पर निर्भर नहीं करता है। (चाहे सुई फेंकें या हवाई जहाज, पलायन वेग 11.2 km/s ही रहेगा)।
v_e = √(2GM_E / R_E)
इस सूत्र में केवल पृथ्वी का द्रव्यमान (M_E) और पृथ्वी की त्रिज्या (R_E) शामिल हैं। यह फेंकी जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान (m) पर निर्भर नहीं करता है। (चाहे सुई फेंकें या हवाई जहाज, पलायन वेग 11.2 km/s ही रहेगा)।
Explanation: The escape velocity from the Earth’s surface is given by:
v_e = √(2GM_E / R_E)
This expression depends only on the mass (M_E) and radius (R_E) of the source planet, not on the mass (m) of the escaping projectile.
v_e = √(2GM_E / R_E)
This expression depends only on the mass (M_E) and radius (R_E) of the source planet, not on the mass (m) of the escaping projectile.
प्रश्न 6. यदि पृथ्वी का औसत घनत्व (density) समान रखा जाए तथा इसकी त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो सतह से पलायन वेग (escape velocity) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q6. If the average density of the Earth is kept constant while its radius is doubled, then the escape velocity from its surface will:
सही उत्तर: B) दोगुना हो जाएगा (Become doubled)
Correct Answer: B) Become doubled
स्पष्टीकरण: पलायन वेग का सूत्र घनत्व के पदों में:
v_e = √[2G × ((4/3)πR³ρ) / R] = R × √[(8/3)πGρ]
अतः, v_e ∝ R √ρ
चूँकि घनत्व (ρ) नियत है, पलायन वेग त्रिज्या के अनुक्रमानुपाती होगा: v_e ∝ R।
त्रिज्या दोगुनी होने पर पलायन वेग भी **दोगुना** हो जाएगा।
v_e = √[2G × ((4/3)πR³ρ) / R] = R × √[(8/3)πGρ]
अतः, v_e ∝ R √ρ
चूँकि घनत्व (ρ) नियत है, पलायन वेग त्रिज्या के अनुक्रमानुपाती होगा: v_e ∝ R।
त्रिज्या दोगुनी होने पर पलायन वेग भी **दोगुना** हो जाएगा।
Explanation: Expressing escape velocity in terms of density (ρ):
v_e = √[2GM / R] = √[2G ((4/3)πR³ρ) / R] = R √[(8/3)πGρ].
Since density ρ is constant, v_e ∝ R.
If the radius R is doubled, the escape velocity will also be **doubled**.
v_e = √[2GM / R] = √[2G ((4/3)πR³ρ) / R] = R √[(8/3)πGρ].
Since density ρ is constant, v_e ∝ R.
If the radius R is doubled, the escape velocity will also be **doubled**.
प्रश्न 7. द्रव्यमान m की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से h = R ऊँचाई तक उठाया जाता है (जहाँ R पृथ्वी की त्रिज्या है)। इसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में होने वाला परिवर्तन (ΔU) कितना होगा?
Q7. A body of mass m is raised from the surface of the Earth to a height h = R (where R is the radius of the Earth). The change in its gravitational potential energy (ΔU) is:
सही उत्तर: B) 1/2 mgR
Correct Answer: B) 1/2 mgR
स्पष्टीकरण: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र है:
ΔU = mgh / [1 + (h / R)]
यहाँ h = R रखने पर:
ΔU = mgR / [1 + (R / R)] = mgR / (1 + 1) = 1/2 mgR।
ΔU = mgh / [1 + (h / R)]
यहाँ h = R रखने पर:
ΔU = mgR / [1 + (R / R)] = mgR / (1 + 1) = 1/2 mgR।
Explanation: The actual change in gravitational potential energy is given by:
ΔU = mgh / [1 + (h / R)].
For h = R:
ΔU = mgR / [1 + (R / R)] = 1/2 mgR.
ΔU = mgh / [1 + (h / R)].
For h = R:
ΔU = mgR / [1 + (R / R)] = 1/2 mgR.
प्रश्न 8. सूर्य के परितः ग्रह A का परिक्रमण काल (Time period) ग्रह B के परिक्रमण काल का 8 गुना है। ग्रह A की सूर्य से औसत दूरी, ग्रह B की सूर्य से औसत दूरी की कितने गुना होगी?
Q8. The time period of revolution of planet A around the Sun is 8 times that of planet B. The average distance of planet A from the Sun is how many times that of planet B?
सही उत्तर: B) 4 गुना
Correct Answer: B) 4 times
स्पष्टीकरण: केप्लर के तृतीय नियम (Kepler’s 3rd Law) के अनुसार:
T² ∝ r³ ⇒ (r_A / r_B)³ = (T_A / T_B)²
– दिया गया है: T_A / T_B = 8
– (r_A / r_B)³ = (8)² = 64
– दोनों पक्षों का घनमूल (cube root) लेने पर: r_A / r_B = (64)¹/³ = 4 (यानी 4 गुना)।
T² ∝ r³ ⇒ (r_A / r_B)³ = (T_A / T_B)²
– दिया गया है: T_A / T_B = 8
– (r_A / r_B)³ = (8)² = 64
– दोनों पक्षों का घनमूल (cube root) लेने पर: r_A / r_B = (64)¹/³ = 4 (यानी 4 गुना)।
Explanation: According to Kepler’s Third Law of planetary motion:
T² ∝ r³ ⇒ (r_A / r_B)³ = (T_A / T_B)².
– Given: T_A / T_B = 8.
– (r_A / r_B)³ = (8)² = 64 ⇒ r_A / r_B = (64)¹/³ = 4.
T² ∝ r³ ⇒ (r_A / r_B)³ = (T_A / T_B)².
– Given: T_A / T_B = 8.
– (r_A / r_B)³ = (8)² = 64 ⇒ r_A / r_B = (64)¹/³ = 4.
प्रश्न 9. पृथ्वी की सतह के अत्यंत निकट परिक्रमा कर रहे उपग्रह के कक्षीय वेग (Orbital velocity, v_o) और पृथ्वी सतह से पलायन वेग (Escape velocity, v_e) के बीच सही संबंध क्या है?
Q9. What is the correct relation between the orbital velocity (v_o) of a satellite orbiting very close to the Earth’s surface and the escape velocity (v_e) from the Earth?
सही उत्तर: B) v_e = √2 v_o
Correct Answer: B) v_e = √2 v_o
स्पष्टीकरण: सतह के निकट के लिए:
– कक्षीय वेग v_o = √(GM / R)
– पलायन वेग v_e = √(2GM / R)
तुलना करने पर: v_e = √2 × √(GM / R) = √2 v_o (लगभग 1.414 गुना)।
– कक्षीय वेग v_o = √(GM / R)
– पलायन वेग v_e = √(2GM / R)
तुलना करने पर: v_e = √2 × √(GM / R) = √2 v_o (लगभग 1.414 गुना)।
Explanation: Near the Earth’s surface:
– Orbital velocity v_o = √(GM / R).
– Escape velocity v_e = √(2GM / R).
– Thus, v_e = √2 v_o.
– Orbital velocity v_o = √(GM / R).
– Escape velocity v_e = √(2GM / R).
– Thus, v_e = √2 v_o.
प्रश्न 10. किसी वृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे उपग्रह की गतिज ऊर्जा (K.E.) और उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (P.E.) के परिमाणों का अनुपात क्या होगा?
Q10. What is the ratio of the magnitude of kinetic energy (K.E.) to the magnitude of gravitational potential energy (P.E.) of a satellite orbiting in a circular path?
सही उत्तर: B) 1 : 2
Correct Answer: B) 1 : 2
स्पष्टीकरण: त्रिज्या r की कक्षा में गतिशील उपग्रह के लिए:
– गतिज ऊर्जा का परिमाण |K.E.| = GMm / 2r
– स्थितिज ऊर्जा का परिमाण |P.E.| = GMm / r
– अनुपात = |K.E.| / |P.E.| = (GMm / 2r) / (GMm / r) = 1 / 2 = 1 : 2।
– गतिज ऊर्जा का परिमाण |K.E.| = GMm / 2r
– स्थितिज ऊर्जा का परिमाण |P.E.| = GMm / r
– अनुपात = |K.E.| / |P.E.| = (GMm / 2r) / (GMm / r) = 1 / 2 = 1 : 2।
Explanation: For a satellite orbiting at radius r:
– Magnitude of K.E. = GMm / 2r.
– Magnitude of P.E. = GMm / r.
– Ratio of magnitudes = (GMm / 2r) / (GMm / r) = 1 / 2 = 1 : 2.
– Magnitude of K.E. = GMm / 2r.
– Magnitude of P.E. = GMm / r.
– Ratio of magnitudes = (GMm / 2r) / (GMm / r) = 1 / 2 = 1 : 2.
प्रश्न 11. पृथ्वी की सतह से पलायन वेग 11.2 km/s है। एक ऐसे ग्रह की सतह से पलायन वेग कितना होगा जिसका द्रव्यमान पृथ्वी का 2 गुना और त्रिज्या पृथ्वी की 1 / 2 गुनी है?
Q11. The escape velocity from the Earth is 11.2 km/s. The escape velocity from a planet having twice the mass of the Earth and half the radius of the Earth is:
सही उत्तर: B) 22.4 km/s
Correct Answer: B) 22.4 km/s
स्पष्टीकरण: पलायन वेग सूत्र: v_e = √(2GM / R)
– नए ग्रह के लिए: v_e’ = √[2G(2M_E) / (R_E/2)] = √[4 × (2GM_E / R_E)] = 2 × v_e
– v_e’ = 2 × 11.2 km/s = 22.4 km/s।
– नए ग्रह के लिए: v_e’ = √[2G(2M_E) / (R_E/2)] = √[4 × (2GM_E / R_E)] = 2 × v_e
– v_e’ = 2 × 11.2 km/s = 22.4 km/s।
Explanation: The escape velocity is given by: v_e = √(2GM / R).
– For the new planet: v_e’ = √[2G(2M_E) / (R_E / 2)] = √[4 × (2GM_E / R_E)] = 2 v_e.
– v_e’ = 2 × 11.2 km/s = 22.4 km/s.
– For the new planet: v_e’ = √[2G(2M_E) / (R_E / 2)] = √[4 × (2GM_E / R_E)] = 2 v_e.
– v_e’ = 2 × 11.2 km/s = 22.4 km/s.
प्रश्न 12. द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले एकसमान गोलीय कोश (spherical shell) के भीतर किसी बिंदु (दूरी r < R) पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता (gravitational field intensity) कितनी होती है?
Q12. The gravitational field intensity inside a thin uniform spherical shell of mass M and radius R at any point (distance r < R) is:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण: गुरुत्वाकर्षण के खोखले गोले (shell theorem) सिद्धांत के अनुसार, एकसमान गोलीय कोश के भीतर कोई भी अतिरिक्त गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है क्योंकि सभी दिशाओं के बलों का परिणामी शून्य हो जाता है। अतः कोश के भीतर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता **शून्य** होती है।
Explanation: According to shell theorem, the gravitational force exerted by a uniform shell on any point mass located inside it is zero. Consequently, the gravitational field intensity is **zero** everywhere inside the shell.
प्रश्न 13. द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले एकसमान गोलीय कोश (spherical shell) के भीतर किसी बिंदु (दूरी r < R) पर गुरुत्वीय विभव (gravitational potential) कितना होता है?
Q13. The gravitational potential inside a thin uniform spherical shell of mass M and radius R at any point (distance r < R) is:
सही उत्तर: B) -GM / R
Correct Answer: B) -GM / R
स्पष्टीकरण: यद्यपि गोलीय कोश के भीतर क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है, विभव शून्य नहीं होता।
– चूँकि E = -dV/dr = 0, अतः विभव V नियत (constant) रहता है।
– कोश के भीतर विभव का मान वही होता है जो उसकी सतह पर होता है, अर्थात् V = -GM / R।
– चूँकि E = -dV/dr = 0, अतः विभव V नियत (constant) रहता है।
– कोश के भीतर विभव का मान वही होता है जो उसकी सतह पर होता है, अर्थात् V = -GM / R।
Explanation: Although the field intensity E inside the shell is zero, the potential V is not.
– Since E = -dV/dr = 0, the potential is constant inside the shell.
– Its value is equal to the potential on the surface of the shell, which is V = -GM / R.
– Since E = -dV/dr = 0, the potential is constant inside the shell.
– Its value is equal to the potential on the surface of the shell, which is V = -GM / R.
प्रश्न 14. एक भू-स्थिर उपग्रह (Geostationary satellite) का परिक्रमण काल (Time period) कितना होता है?
Q14. The time period of revolution of a geostationary satellite is:
सही उत्तर: B) 24 घंटे
Correct Answer: B) 24 hours
स्पष्टीकरण: भू-स्थिर उपग्रह वह उपग्रह होता है जो पृथ्वी के घूर्णन के समान दिशा में और समान कोणीय वेग से चक्कर लगाता है। चूंकि पृथ्वी का अपने अक्ष पर घूर्णन काल **24 घंटे** होता है, इसलिए पृथ्वी से देखने पर यह स्थिर दिखाई दे, इसके लिए उपग्रह का परिक्रमण काल भी ठीक **24 घंटे** होना चाहिए।
Explanation: A geostationary satellite revolves in the equatorial plane of the Earth with the same angular speed and in the same direction as the Earth’s self-rotation. Thus, its time period must match the Earth’s rotation period, which is exactly **24 hours**.
प्रश्न 15. भू-स्थिर उपग्रह (Geostationary satellite) पृथ्वी की सतह से लगभग कितनी ऊँचाई पर परिक्रमा करता है?
Q15. A geostationary satellite orbits the Earth at an altitude of approximately:
सही उत्तर: B) 36000 km
Correct Answer: B) 36000 km
स्पष्टीकरण: केप्लर के नियमों और कक्षीय गति के सूत्र से गणना करने पर, 24 घंटे का आवर्तकाल प्राप्त करने के लिए उपग्रह की पृथ्वी के केंद्र से दूरी लगभग 42,000 km होनी चाहिए। पृथ्वी की त्रिज्या (6400 km) घटाने पर सतह से आवश्यक ऊँचाई लगभग **36,000 km** (वास्तविक मान 35,786 km) प्राप्त होती है।
Explanation: To achieve a 24-hour orbital period, the radius of the orbit must be about 42,000 km from the Earth’s center. Subtracting the Earth’s radius (6400 km) gives an altitude of approximately **36,000 km** above the surface.
प्रश्न 16. ग्रहों की गति से संबंधित केप्लर का द्वितीय नियम (क्षेत्रीय चाल नियत रहने का नियम, Area Law) किस भौतिक राशि के संरक्षण का प्रत्यक्ष परिणाम है?
Q16. Kepler’s second law of planetary motion (law of constant areal velocity) is a direct consequence of the conservation of:
सही उत्तर: C) कोणीय संवेग (Angular momentum)
Correct Answer: C) Angular momentum
स्पष्टीकरण: चूंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल सदैव सूर्य की दिशा में (केंद्रीय बल, Central force) होता है, इसलिए सूर्य के परितः नेट बल आघूर्ण (τ = 0) शून्य होता है। बल आघूर्ण शून्य होने के कारण ग्रह का **कोणीय संवेग (Angular momentum, L)** नियत रहता है। कोणीय संवेग नियत रहने से क्षेत्रीय वेग (dA/dt = L / 2m) भी नियत रहता है।
Explanation: The gravitational force on the planet is a central force, always directed towards the Sun. Therefore, the torque about the Sun is zero (τ = 0), which leads to the conservation of **angular momentum (L)**. Since areal velocity is dA/dt = L / 2m, it remains constant.
प्रश्न 17. सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक (G) का मान सर्वप्रथम प्रयोगात्मक रूप से किसके द्वारा निर्धारित किया गया था?
Q17. The experimental value of the universal gravitational constant (G) was first determined by:
सही उत्तर: B) हेनरी कैवेन्डिश (Henry Cavendish)
Correct Answer: B) Henry Cavendish
स्पष्टीकरण: यद्यपि न्यूटन ने गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत दिया था, परंतु उन्होंने सार्वत्रिक नियतांक G का सटीक मान नहीं खोजा था। वर्ष 1798 में **हेनरी कैवेन्डिश** ने मरोड़ी पेंडुलम (torsion balance) प्रयोग द्वारा पहली बार प्रयोगात्मक रूप से G का मान ज्ञात किया था।
Explanation: Isaac Newton formulated the Law of Gravitation, but the numerical value of G was not precisely determined by him. It was first measured experimentally in 1798 by **Henry Cavendish** using a torsion balance.
प्रश्न 18. जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से गहराई में केंद्र की ओर जाते हैं, किसी वस्तु का भार (weight):
Q18. As we move from the surface of the Earth towards its center, the weight of a body:
सही उत्तर: B) घटता है तथा केंद्र पर शून्य हो जाता है
Correct Answer: B) Decreases and becomes zero at the center
स्पष्टीकरण: गहराई के साथ प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण घटता है: g_d = g[1 – d/R]।
– चूँकि भार W = mg_d होता है, अतः गहराई बढ़ने के साथ भार लगातार घटेगा।
– पृथ्वी के ठीक **केंद्र पर (d = R):** g_center = g[1 – R/R] = 0, अतः केंद्र पर वस्तु का भार **शून्य** हो जाएगा (द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है)।
– चूँकि भार W = mg_d होता है, अतः गहराई बढ़ने के साथ भार लगातार घटेगा।
– पृथ्वी के ठीक **केंद्र पर (d = R):** g_center = g[1 – R/R] = 0, अतः केंद्र पर वस्तु का भार **शून्य** हो जाएगा (द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है)।
Explanation: The effective acceleration due to gravity decreases with depth: g_d = g[1 – d/R].
– Since weight is W = mg, it decreases continuously.
– At the **center of the Earth (d = R):** g_center = 0, and therefore the weight of the body becomes **zero**.
– Since weight is W = mg, it decreases continuously.
– At the **center of the Earth (d = R):** g_center = 0, and therefore the weight of the body becomes **zero**.
प्रश्न 19. यदि भूमध्य रेखा (equator) पर किसी व्यक्ति का भार 600 N है, तो ध्रुवों (poles) पर उसका भार कितना होगा?
Q19. If a person weighs 600 N at the Earth’s equator, his weight at the poles will be:
सही उत्तर: C) 600 N से अधिक (More than 600 N)
Correct Answer: C) More than 600 N
स्पष्टीकरण: ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण (g_pole) का मान भूमध्य रेखा (g_eq) से अधिक होता है। इसके दो मुख्य कारण हैं:
1. पृथ्वी का आकार (ध्रुवों पर चपटी होने के कारण ध्रुवीय त्रिज्या भूमध्य रेखीय त्रिज्या से लगभग 21 km कम है, जिससे g बढ़ता है)।
2. घूर्णन का प्रभाव ध्रुवों पर शून्य होता है।
अतः ध्रुवों पर व्यक्ति का भार भूमध्य रेखा से **अधिक (600 N से अधिक)** होगा।
1. पृथ्वी का आकार (ध्रुवों पर चपटी होने के कारण ध्रुवीय त्रिज्या भूमध्य रेखीय त्रिज्या से लगभग 21 km कम है, जिससे g बढ़ता है)।
2. घूर्णन का प्रभाव ध्रुवों पर शून्य होता है।
अतः ध्रुवों पर व्यक्ति का भार भूमध्य रेखा से **अधिक (600 N से अधिक)** होगा।
Explanation: The acceleration due to gravity is higher at the poles than at the equator because:
1. The polar radius is smaller by about 21 km due to the Earth’s oblate spheroidal shape.
2. There is no centrifugal reduction at the poles.
Thus, the weight of the person at the poles will be **more than 600 N**.
1. The polar radius is smaller by about 21 km due to the Earth’s oblate spheroidal shape.
2. There is no centrifugal reduction at the poles.
Thus, the weight of the person at the poles will be **more than 600 N**.
प्रश्न 20. पृथ्वी की कक्षा में परिक्रमा कर रहे उपग्रह की ऋणात्मक कुल ऊर्जा (Negative total energy) क्या प्रदर्शित करती है?
Q20. The negative total energy of a satellite orbiting the Earth indicates that:
सही उत्तर: B) उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बंधा हुआ है (Bound state)
Correct Answer: B) The satellite is bound to the Earth’s gravitational field
स्पष्टीकरण: किसी निकाय की ऋणात्मक कुल ऊर्जा दर्शाती है कि वह एक **बद्ध निकाय (bound system)** है। उपग्रह को पृथ्वी की कक्षा से मुक्त कराकर अनंत तक भेजने के लिए हमें बाहर से ऊर्जा प्रदान करनी होगी (जिसे बंधन ऊर्जा या Binding Energy कहते हैं)। यदि कुल ऊर्जा शून्य या धनात्मक हो जाए, तो उपग्रह पलायन कर जाएगा।
Explanation: A negative total energy implies a **bound system**. It indicates that the satellite does not have enough kinetic energy to escape the Earth’s gravitational attraction. To free the satellite, energy must be supplied from outside (equal to its binding energy).
प्रश्न 21. पृथ्वी की सतह से कितनी ऊँचाई (h << R) पर गुरुत्वीय त्वरण में 1% की कमी आएगी? (पृथ्वी की त्रिज्या R = 6400 km लें)
Q21. At what height (h << R) above the Earth’s surface does the acceleration due to gravity decrease by 1%? (Take radius of Earth R = 6400 km)
सही उत्तर: B) 32 km
Correct Answer: B) 32 km
स्पष्टीकरण: जब h << R हो, तो सन्निकटन (approximation) सूत्र है:
g_h ≈ g [1 – (2h / R)]
– गुरुत्वीय त्वरण में आनुपातिक कमी: (g – g_h) / g = 2h / R
– दिया गया है: 2h / R = 1% = 0.01
– 2h = 0.01 × 6400 km = 64 km ⇒ h = 32 km।
g_h ≈ g [1 – (2h / R)]
– गुरुत्वीय त्वरण में आनुपातिक कमी: (g – g_h) / g = 2h / R
– दिया गया है: 2h / R = 1% = 0.01
– 2h = 0.01 × 6400 km = 64 km ⇒ h = 32 km।
Explanation: For altitudes h << R, the binomial approximation is:
g_h ≈ g [1 – (2h / R)].
– Fractional decrease: (g – g_h) / g = 2h / R.
– Given decrease is 1% ⇒ 2h / R = 0.01.
– 2h = 0.01 × 6400 km = 64 km ⇒ h = 32 km.
g_h ≈ g [1 – (2h / R)].
– Fractional decrease: (g – g_h) / g = 2h / R.
– Given decrease is 1% ⇒ 2h / R = 0.01.
– 2h = 0.01 × 6400 km = 64 km ⇒ h = 32 km.
प्रश्न 22. यदि किसी उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या (orbital radius) में 4% की वृद्धि कर दी जाए, तो उसके कक्षीय वेग (orbital velocity) में क्या परिवर्तन होगा?
Q22. If the orbital radius of a satellite is increased by 4%, then its orbital velocity will:
सही उत्तर: B) 2% घट जाएगा (Decrease by 2%)
Correct Answer: B) Decrease by 2%
स्पष्टीकरण: कक्षीय वेग का सूत्र है: v = √(GM / r) = (GM)¹/² × r⁻¹/²।
– त्रुटि विश्लेषण या आनुपातिक परिवर्तन नियम से (त्रुटि छोटी होने पर):
Δv / v = – (1/2) × (Δr / r)
– Δv / v = – (1/2) × (4%) = -2% (ऋणात्मक चिह्न कमी दर्शाता है)।
अतः कक्षीय वेग **2% घट जाएगा**।
– त्रुटि विश्लेषण या आनुपातिक परिवर्तन नियम से (त्रुटि छोटी होने पर):
Δv / v = – (1/2) × (Δr / r)
– Δv / v = – (1/2) × (4%) = -2% (ऋणात्मक चिह्न कमी दर्शाता है)।
अतः कक्षीय वेग **2% घट जाएगा**।
Explanation: The orbital velocity is: v = √(GM / r) = (GM)¹/² × r⁻¹/².
– For small percentage changes: Δv / v = – (1/2) × (Δr / r).
– Since Δr/r = +4% ⇒ Δv/v = – (1/2) × 4% = -2%.
Thus, the orbital velocity **decreases by 2%**.
– For small percentage changes: Δv / v = – (1/2) × (Δr / r).
– Since Δr/r = +4% ⇒ Δv/v = – (1/2) × 4% = -2%.
Thus, the orbital velocity **decreases by 2%**.
प्रश्न 23. चंद्रमा की सतह से पलायन वेग का मान पृथ्वी की सतह की तुलना में बहुत कम होता है। इसका मुख्य कारण क्या है?
Q23. The escape velocity from the Moon’s surface is much smaller than that from the Earth’s surface because:
सही उत्तर: B) चंद्रमा का द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या दोनों पृथ्वी से छोटे हैं
Correct Answer: B) Both the mass and radius of the Moon are smaller than those of the Earth
स्पष्टीकरण: पलायन वेग v_e = √(2GM / R) दोनों राशियों – द्रव्यमान (M) और त्रिज्या (R) पर निर्भर करता है। चंद्रमा का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का लगभग 1/81 गुना है तथा त्रिज्या 1/4 गुनी है। इस भारी अंतर के कारण चंद्रमा पर पलायन वेग केवल 2.38 km/s होता है जो पृथ्वी के 11.2 km/s से बहुत कम है। (इसी कम पलायन वेग के कारण चंद्रमा पर वायुमंडल नहीं टिक पाया)।
Explanation: Escape velocity is v_e = √(2GM / R). Since the Moon’s mass is about 1/81 of the Earth’s and its radius is 1/4 of the Earth’s, its escape velocity is much lower (only 2.38 km/s compared to Earth’s 11.2 km/s).
प्रश्न 24. दो वस्तुएँ जिनके द्रव्यमान क्रमशः M₁ = 100 kg और M₂ = 10000 kg हैं, एक-दूसरे से 110 m की दूरी पर रखी हैं। दोनों को मिलाने वाली रेखा पर M₁ से कितनी दूरी पर नेट गुरुत्वीय क्षेत्र (net gravitational field) शून्य होगा?
Q24. Two bodies of masses M₁ = 100 kg and M₂ = 10000 kg are separated by a distance of 110 m. At what distance from M₁ along the line joining them is the net gravitational field zero?
सही उत्तर: A) 10 m
Correct Answer: A) 10 m
स्पष्टीकरण: माना M₁ से दूरी x पर क्षेत्र शून्य है:
– उदासीन बिंदु का सूत्र: x = d / [1 + √(M₂ / M₁)]
– x = 110 / [1 + √(10000 / 100)]
– x = 110 / [1 + √100] = 110 / (1 + 10) = 110 / 11 = 10 m।
– उदासीन बिंदु का सूत्र: x = d / [1 + √(M₂ / M₁)]
– x = 110 / [1 + √(10000 / 100)]
– x = 110 / [1 + √100] = 110 / (1 + 10) = 110 / 11 = 10 m।
Explanation: Let the neutral point be at a distance x from M₁:
– Formula: x = d / [1 + √(M₂ / M₁)].
– x = 110 / [1 + √(10000 / 100)] = 110 / [1 + √100]
– x = 110 / [1 + 10] = 110 / 11 = 10 m.
– Formula: x = d / [1 + √(M₂ / M₁)].
– x = 110 / [1 + √(10000 / 100)] = 110 / [1 + √100]
– x = 110 / [1 + 10] = 110 / 11 = 10 m.
प्रश्न 25. केप्लर के प्रथम नियम (कक्षाओं का नियम, Law of Orbits) के अनुसार, प्रत्येक ग्रह सूर्य के परितः किस प्रकार की कक्षा में चक्कर लगाता है?
Q25. According to Kepler’s first law of planetary motion (law of orbits), each planet revolves around the Sun in:
सही उत्तर: B) एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में, जिसके किसी एक नाभिक (focus) पर सूर्य स्थित होता है
Correct Answer: B) An elliptical orbit with the Sun at one of its foci
स्पष्टीकरण: केप्लर का प्रथम नियम (कक्षाओं का नियम) स्पष्ट रूप से बताता है कि सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर **दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं (elliptical orbits)** में चक्कर लगाते हैं तथा सूर्य इस दीर्घवृत्त के दो नाभिकों (foci) में से किसी **एक नाभिक (focus)** पर स्थित होता है।
Explanation: Kepler’s First Law (Law of Orbits) states that all planets move in **elliptical orbits** around the Sun, with the Sun situated at **one of the two foci** of the ellipse.