प्रश्न 1. एक ही पदार्थ के बने दो तारों की लम्बाइयों का अनुपात 1 : 2 और उनके व्यासों (diameters) का अनुपात 2 : 1 है। यदि दोनों तारों को समान बल (same force) लगाकर खींचा जाए, तो उनकी लंबाई में होने वाली वृद्धियों का अनुपात क्या होगा?
Q1. Two wires of the same material have lengths in the ratio 1 : 2 and diameters in the ratio 2 : 1. If they are stretched by the same force, the ratio of their elongations is:
सही उत्तर: C) 1 : 8
Correct Answer: C) 1 : 8
स्पष्टीकरण: यंग प्रत्यास्थता गुणांक के सूत्र से लंबाई में वृद्धि:
ΔL = FL / AY = 4FL / (πD²Y)
चूँकि पदार्थ (Y) और बल (F) समान हैं, इसलिए:
ΔL ∝ L / D² ⇒ ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (D₂ / D₁)²
– मान रखने पर: ΔL₁ / ΔL₂ = (1 / 2) × (1 / 2)² = 1 / 8 = 1 : 8।
ΔL = FL / AY = 4FL / (πD²Y)
चूँकि पदार्थ (Y) और बल (F) समान हैं, इसलिए:
ΔL ∝ L / D² ⇒ ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (D₂ / D₁)²
– मान रखने पर: ΔL₁ / ΔL₂ = (1 / 2) × (1 / 2)² = 1 / 8 = 1 : 8।
Explanation: From the expression for Young’s Modulus, elongation is:
ΔL = FL / AY = 4FL / (πD²Y).
Since force F and Young’s modulus Y are identical:
ΔL ∝ L / D² ⇒ ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (D₂ / D₁)².
– Substituting the ratios: ΔL₁ / ΔL₂ = (1 / 2) × (1 / 2)² = 1 / 8.
ΔL = FL / AY = 4FL / (πD²Y).
Since force F and Young’s modulus Y are identical:
ΔL ∝ L / D² ⇒ ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (D₂ / D₁)².
– Substituting the ratios: ΔL₁ / ΔL₂ = (1 / 2) × (1 / 2)² = 1 / 8.
प्रश्न 2. लंबाई L, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A और यंग प्रत्यास्थता गुणांक Y वाले एक तार को बल लगाकर x दूरी तक खींचा जाता है। तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy) का मान क्या होगा?
Q2. A wire of length L, area of cross-section A and Young’s modulus Y is stretched by an amount x. The elastic potential energy stored in the wire is:
सही उत्तर: C) YAx² / 2L
Correct Answer: C) YAx² / 2L
स्पष्टीकरण: तार में संचित स्थितिज ऊर्जा (या किया गया कार्य):
U = (1/2) × बल × विस्तार = (1/2) F × x
– हम जानते हैं कि Y = FL / Ax ⇒ F = YAx / L
– F का मान रखने पर: U = (1/2) × (YAx / L) × x = YAx² / 2L।
U = (1/2) × बल × विस्तार = (1/2) F × x
– हम जानते हैं कि Y = FL / Ax ⇒ F = YAx / L
– F का मान रखने पर: U = (1/2) × (YAx / L) × x = YAx² / 2L।
Explanation: The potential energy stored in a stretched wire is:
U = (1/2) × Force × extension = (1/2) F × x.
– Since Y = FL / Ax ⇒ F = YAx / L.
– Substituting F gives: U = (1/2) × (YAx / L) × x = YAx² / 2L.
U = (1/2) × Force × extension = (1/2) F × x.
– Since Y = FL / Ax ⇒ F = YAx / L.
– Substituting F gives: U = (1/2) × (YAx / L) × x = YAx² / 2L.
प्रश्न 3. किसी पदार्थ के लिए प्वासों अनुपात (Poisson’s ratio, σ) के सैद्धांतिक सीमांत मान (theoretical limits) निम्नलिखित में से क्या होते हैं?
Q3. The theoretical limiting values of Poisson’s ratio (σ) for any isotropic material are:
सही उत्तर: B) -1 और 0.5 के बीच
Correct Answer: B) Between -1 and 0.5
स्पष्टीकरण: प्रत्यास्थ गुणांकों के संबंधों (जैसे Y = 3K(1 – 2σ) और Y = 2η(1 + σ)) के आधार पर:
– σ का सैद्धांतिक मान **-1 से 0.5** के बीच होता है।
– व्यावहारिक रूप से (practically) अधिकांश ठोस पदार्थों के लिए इसका मान **0 से 0.5** के बीच होता है। (ऋणात्मक मान केवल विशिष्ट संश्लेषित गद्देदार फोम जैसी संरचनाओं में मिलता है)।
– σ का सैद्धांतिक मान **-1 से 0.5** के बीच होता है।
– व्यावहारिक रूप से (practically) अधिकांश ठोस पदार्थों के लिए इसका मान **0 से 0.5** के बीच होता है। (ऋणात्मक मान केवल विशिष्ट संश्लेषित गद्देदार फोम जैसी संरचनाओं में मिलता है)।
Explanation: From the relationships between elastic constants, the mathematically allowed theoretical limits of Poisson’s ratio are:
-1 ≤ σ ≤ 0.5.
Practically, for most real solids, the value lies between 0 and 0.5.
-1 ≤ σ ≤ 0.5.
Practically, for most real solids, the value lies between 0 and 0.5.
प्रश्न 4. एक U-आकार की नली में मरकरी भरा है। इसके एक सिरे में पानी तथा दूसरे में स्पिरिट भरा है। यदि पानी और स्पिरिट के स्तंभों की ऊँचाइयाँ क्रमशः 10.0 cm और 12.5 cm हो तथा वे मरकरी के समान स्तर पर हों, तो स्पिरिट का आपेक्षिक घनत्व (relative density) क्या होगा?
Q4. A U-tube contains water and methylated spirit separated by mercury. If the columns of water and spirit are 10.0 cm and 12.5 cm respectively and their top surfaces are level with mercury interfaces, the relative density of the spirit is:
सही उत्तर: A) 0.8
Correct Answer: A) 0.8
स्पष्टीकरण: दोनों सिरों पर मरकरी के संपर्क बिंदुओं पर दाब समान होना चाहिए:
P_water = P_spirit ⇒ h_w × ρ_w × g = h_s × ρ_s × g
– आपेक्षिक घनत्व (ρ_s / ρ_w) = h_w / h_s
– आपेक्षिक घनत्व = 10.0 cm / 12.5 cm = 0.8।
P_water = P_spirit ⇒ h_w × ρ_w × g = h_s × ρ_s × g
– आपेक्षिक घनत्व (ρ_s / ρ_w) = h_w / h_s
– आपेक्षिक घनत्व = 10.0 cm / 12.5 cm = 0.8।
Explanation: In equilibrium, the hydrostatic pressure exerted by both liquid columns at the mercury interface must be equal:
h_w × ρ_w × g = h_s × ρ_s × g.
– Relative density of spirit (ρ_s / ρ_w) = h_w / h_s
– Relative density = 10.0 / 12.5 = 0.8.
h_w × ρ_w × g = h_s × ρ_s × g.
– Relative density of spirit (ρ_s / ρ_w) = h_w / h_s
– Relative density = 10.0 / 12.5 = 0.8.
प्रश्न 5. तरल गतिकी (fluid dynamics) में बरनौली की प्रमेय (Bernoulli’s Theorem) निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि के संरक्षण का परिणाम है?
Q5. In fluid dynamics, Bernoulli’s Theorem is a consequence of the law of conservation of:
सही उत्तर: C) ऊर्जा (Energy)
Correct Answer: C) Energy
स्पष्टीकरण: बरनौली का सिद्धांत आदर्श तरलों (अश्यान और असम्पीड्य) के धाराप्रवाह के लिए **ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत** पर आधारित है। यह दर्शाता है कि मार्ग के प्रत्येक बिंदु पर प्रति इकाई आयतन की कुल ऊर्जा (दाब ऊर्जा + गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) नियत रहती है:
P + (1/2)ρv² + ρgh = नियतांक।
P + (1/2)ρv² + ρgh = नियतांक।
Explanation: Bernoulli’s equation is a formulation of the **law of conservation of energy** applied to ideal (non-viscous and incompressible) fluids in steady flow. It states that the sum of pressure energy, kinetic energy, and potential energy per unit volume is constant:
P + (1/2)ρv² + ρgh = constant.
P + (1/2)ρv² + ρgh = constant.
प्रश्न 6. r त्रिज्या की एक छोटी गोलाकार गेंद किसी श्यान द्रव (viscous liquid) में स्वतंत्र रूप से गिर रही है। गेंद का सीमांत वेग (Terminal velocity, v_t) त्रिज्या r के साथ किस प्रकार संबंधित है?
Q6. A small spherical ball of radius r falls freely through a viscous liquid. Its terminal velocity (v_t) depends on the radius r as:
सही उत्तर: B) v_t ∝ r²
Correct Answer: B) v_t ∝ r²
स्पष्टीकरण: सीमांत वेग का स्टोक्स के नियम से प्राप्त सूत्र है:
v_t = (2/9) × [r² × (ρ_ball – ρ_fluid) × g] / η
अतः, v_t ∝ r² (सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है)।
v_t = (2/9) × [r² × (ρ_ball – ρ_fluid) × g] / η
अतः, v_t ∝ r² (सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है)।
Explanation: The terminal velocity of a spherical body falling through a viscous medium is:
v_t = (2/9) × [r² × (ρ_ball – ρ_fluid) × g] / η.
Therefore, terminal velocity is directly proportional to the square of its radius: v_t ∝ r².
v_t = (2/9) × [r² × (ρ_ball – ρ_fluid) × g] / η.
Therefore, terminal velocity is directly proportional to the square of its radius: v_t ∝ r².
प्रश्न 7. स्टोक्स के नियम (Stokes’ Law) के अनुसार, श्यानता गुणांक η वाले द्रव में गति कर रहे r त्रिज्या के गोले पर लगने वाला श्यान बल (viscous drag force, F) क्या होगा जब उसकी तात्क्षणिक चाल v हो?
Q7. According to Stokes’ Law, the viscous drag force (F) acting on a sphere of radius r moving with velocity v in a fluid of viscosity coefficient η is:
सही उत्तर: A) F = 6π η r v
Correct Answer: A) F = 6π η r v
स्पष्टीकरण: स्टोक्स ने प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध किया कि यदि कोई अत्यधिक सूक्ष्म गोलाकार वस्तु किसी शांत अनंत द्रव माध्यम में मंद गति करती है, तो उस पर द्रव की परतों के घर्षण के कारण पीछे की ओर लगने वाला मंदक बल **6π η r v** होता है।
Explanation: Stokes’ law states that for a spherical body of radius r moving with a slow speed v in an infinite viscous fluid of viscosity η, the viscous retarding force is: F = 6π η r v.
प्रश्न 8. एक असमान अनुप्रस्थ काट वाले क्षैतिज पाइप में पानी बह रहा है। जिस स्थान पर पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A है, वहाँ पानी का वेग v है। यदि किसी अन्य स्थान पर पाइप का क्षेत्रफल आधा (A / 2) हो जाए, तो वहाँ पानी का वेग क्या होगा?
Q8. Water flows through a horizontal pipe of varying cross-section. At a point where the cross-sectional area is A, the velocity of flow is v. At another point where the cross-sectional area is halved (A / 2), the velocity of flow will be:
सही उत्तर: C) 2v
Correct Answer: C) 2v
स्पष्टीकरण: सांतत्य समीकरण (Equation of Continuity, द्रव्यमान संरक्षण पर आधारित) के अनुसार:
A₁v₁ = A₂v₂
– A × v = (A / 2) × v₂ ⇒ v = (1 / 2) × v₂
– v₂ = 2v (यानी संकीर्ण भाग में वेग दोगुना हो जाएगा)।
A₁v₁ = A₂v₂
– A × v = (A / 2) × v₂ ⇒ v = (1 / 2) × v₂
– v₂ = 2v (यानी संकीर्ण भाग में वेग दोगुना हो जाएगा)।
Explanation: According to the Equation of Continuity (based on conservation of mass for an incompressible fluid):
A₁v₁ = A₂v₂.
– A × v = (A / 2) × v₂ ⇒ v₂ = 2v (the velocity doubles as area is halved).
A₁v₁ = A₂v₂.
– A × v = (A / 2) × v₂ ⇒ v₂ = 2v (the velocity doubles as area is halved).
प्रश्न 9. पृष्ठ तनाव (Surface tension) T और त्रिज्या r वाले साबुन के घोल के एक बुलबुले (soap bubble) के भीतर आधिक्य दाब (Excess pressure, ΔP) का सही सूत्र क्या है?
Q9. The excess pressure (ΔP) inside a soap bubble of radius r and surface tension T is given by the formula:
सही उत्तर: C) ΔP = 4T / r
Correct Answer: C) ΔP = 4T / r
स्पष्टीकरण: हवा में साबुन के बुलबुले (soap bubble in air) के पास दो मुक्त सतहें (two free surfaces – भीतरी और बाहरी) होती हैं।
– एक एकल मुक्त सतह (जैसे पानी की बूंद या हवा का पानी में बुलबुला) के लिए आधिक्य दाब 2T / r होता है।
– दो सतहों वाले साबुन के बुलबुले के लिए यह दोगुना, अर्थात **4T / r** होता है।
– एक एकल मुक्त सतह (जैसे पानी की बूंद या हवा का पानी में बुलबुला) के लिए आधिक्य दाब 2T / r होता है।
– दो सतहों वाले साबुन के बुलबुले के लिए यह दोगुना, अर्थात **4T / r** होता है।
Explanation: A soap bubble suspended in air has two free liquid-gas interfaces (an inner surface and an outer surface).
– For a single liquid surface (like a water drop), excess pressure is 2T / r.
– For a soap bubble with two surfaces, the excess pressure is doubled: ΔP = 4T / r.
– For a single liquid surface (like a water drop), excess pressure is 2T / r.
– For a soap bubble with two surfaces, the excess pressure is doubled: ΔP = 4T / r.
प्रश्न 10. एक केशनली (capillary tube) को पानी में डुबाने पर पानी उसमें h ऊँचाई तक चढ़ता है। यदि केशनली को बीच में से काटकर उसकी लंबाई आधी (h / 2) कर दी जाए और फिर पानी में डुबाया जाए, तो क्या होगा?
Q10. A capillary tube is immersed in water, and water rises in it to a height h. If the capillary tube is cut to half its height (h / 2) and then immersed, then:
सही उत्तर: B) पानी h / 2 ऊँचाई तक ही चढ़ेगा और बिना बाहर बहे ऊपरी सिरे पर रुका रहेगा
Correct Answer: B) Water will rise up to h / 2 and stay at the top without overflowing
स्पष्टीकरण: केशिकत्व नियम के अनुसार: h × R = नियतांक, जहाँ R मेनिस्कस (चंद्रतल) की वक्रता त्रिज्या है।
– यदि नली की लंबाई पर्याप्त ऊँचाई (h) से कम कर दी जाए (जैसे h’ = h/2), तो पानी कभी भी बाहर ओवरफ़्लो नहीं होता (यह ऊर्जा संरक्षण नियम के विरुद्ध होगा)।
– इसके बजाय, चंद्रतल अपनी वक्रता त्रिज्या (R) को बढ़ा लेता है (R’ = 2R) जिससे पृष्ठ तनाव का ऊर्ध्वाधर बल कम हो जाता है और पानी नली के शीर्ष पर बिना बहे व्यवस्थित हो जाता है।
– यदि नली की लंबाई पर्याप्त ऊँचाई (h) से कम कर दी जाए (जैसे h’ = h/2), तो पानी कभी भी बाहर ओवरफ़्लो नहीं होता (यह ऊर्जा संरक्षण नियम के विरुद्ध होगा)।
– इसके बजाय, चंद्रतल अपनी वक्रता त्रिज्या (R) को बढ़ा लेता है (R’ = 2R) जिससे पृष्ठ तनाव का ऊर्ध्वाधर बल कम हो जाता है और पानी नली के शीर्ष पर बिना बहे व्यवस्थित हो जाता है।
Explanation: According to capillary ascent law: h × R = constant, where R is the radius of curvature of the liquid meniscus.
– If a capillary tube of insufficient length (less than h) is used, water will never overflow because that would violate the law of conservation of energy.
– Instead, the water rises to the open top end, and the meniscus adjusts its radius of curvature to a larger value R’ such that the new height matches the tube length without spilling.
– If a capillary tube of insufficient length (less than h) is used, water will never overflow because that would violate the law of conservation of energy.
– Instead, the water rises to the open top end, and the meniscus adjusts its radius of curvature to a larger value R’ such that the new height matches the tube length without spilling.
प्रश्न 11. तांबे की एक शीट में एक छोटा गोलाकार छिद्र (hole) किया गया है। जब शीट को गर्म किया जाता है, तो इस छिद्र के आकार (size of the hole) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q11. A small circular hole is drilled in a copper sheet. When the sheet is heated, the size of the hole will:
सही उत्तर: B) बढ़ेगा (Increase)
Correct Answer: B) Increase
स्पष्टीकरण: तापीय प्रसार (Thermal Expansion) सदैव **फोटोग्राफिक आवर्धन (photographic enlargement)** की तरह कार्य करता है। जब किसी धातु की शीट को गर्म किया जाता है, तो परमाणुओं के बीच की दूरियाँ हर दिशा में आनुपातिक रूप से बढ़ती हैं। अतः शीट के साथ-साथ उसके भीतर खाली छिद्र का व्यास भी **बढ़ेगा**।
Explanation: Thermal expansion behaves like a photographic enlargement. When a solid is heated, the distance between any two of its constituent atoms increases. Therefore, the empty space or hole within the metal sheet expands, and the size of the hole **increases**.
प्रश्न 12. एक समदैशिक ठोस (isotropic solid) के लिए रेखीय प्रसार गुणांक (α), क्षेत्रीय प्रसार गुणांक (β) और आयतन प्रसार गुणांक (γ) के बीच सही अनुपात क्या होता है?
Q12. For an isotropic solid, the ratio between the coefficient of linear expansion (α), superficial expansion (β) and volume expansion (γ) is:
सही उत्तर: B) 1 : 2 : 3
Correct Answer: B) 1 : 2 : 3
स्पष्टीकरण: समदैशिक (isotropic) ठोसों में प्रसार सभी दिशाओं में समान होता है:
– क्षेत्रीय प्रसार गुणांक β = 2α
– आयतन प्रसार गुणांक γ = 3α
अतः तीनों का अनुपात: α : β : γ = α : 2α : 3α = 1 : 2 : 3।
– क्षेत्रीय प्रसार गुणांक β = 2α
– आयतन प्रसार गुणांक γ = 3α
अतः तीनों का अनुपात: α : β : γ = α : 2α : 3α = 1 : 2 : 3।
Explanation: For isotropic materials, expansion is uniform in all dimensions:
– Superficial (area) expansion coefficient β = 2α.
– Volumetric expansion coefficient γ = 3α.
– Therefore, the ratio is: α : β : γ = 1 : 2 : 3.
– Superficial (area) expansion coefficient β = 2α.
– Volumetric expansion coefficient γ = 3α.
– Therefore, the ratio is: α : β : γ = 1 : 2 : 3.
प्रश्न 13. पानी के असंगत प्रसार (Anomalous expansion) के कारण, किस तापमान पर पानी का घनत्व (density) अधिकतम होता है?
Q13. Due to the anomalous expansion of water, the density of water is maximum at a temperature of:
सही उत्तर: B) 4°C
Correct Answer: B) 4°C
स्पष्टीकरण: सामान्यतः तरल गर्म करने पर फैलते हैं। लेकिन पानी 0°C से 4°C तक गर्म करने पर सिकुड़ता है (इसका आयतन घटता है)। 4°C पर पानी का आयतन न्यूनतम होता है और घनत्व **अधिकतम (1000 kg/m³)** होता है। 4°C से ऊपर जाने पर यह पुनः सामान्य व्यवहार करते हुए फैलता है। (यह प्रकृति ठंडे देशों में जलीय जीवों के जीवन को सुरक्षित रखने में मदद करती है)।
Explanation: Normally liquids expand upon heating. However, water contracts when heated from 0°C to 4°C. At 4°C, the volume of water is minimum, and therefore its density is **maximum** (1 g/cm³ or 1000 kg/m³). Above 4°C, it expands normally.
प्रश्न 14. 0°C के 10 g बर्फ को पूर्णतः 0°C के पानी में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा (heat) का मान क्या होगा? (बर्फ के गलन की गुप्त ऊष्मा L = 80 cal/g लें)
Q14. The quantity of heat required to completely convert 10 g of ice at 0°C into water at 0°C is: (Latent heat of fusion of ice L = 80 cal/g)
सही उत्तर: B) 800 cal
Correct Answer: B) 800 cal
स्पष्टीकरण: अवस्था परिवर्तन (phase change) के दौरान तापमान स्थिर रहता है और आवश्यक ऊष्मा गुप्त ऊष्मा (latent heat) के बराबर होती है:
Q = m × L
मान रखने पर:
Q = 10 g × 80 cal/g = 800 cal।
Q = m × L
मान रखने पर:
Q = 10 g × 80 cal/g = 800 cal।
Explanation: During a phase change, the temperature remains constant and the heat required depends only on latent heat:
Q = m × L.
Substituting the values:
Q = 10 g × 80 cal/g = 800 cal.
Q = m × L.
Substituting the values:
Q = 10 g × 80 cal/g = 800 cal.
प्रश्न 15. वीन के विस्थापन नियम (Wien’s Displacement Law) के अनुसार, कृष्णिका (black body) से उत्सर्जित अधिकतम तीव्रता वाली विकिरण का तरंगदैर्घ्य (λ_m) परम ताप (T) से किस प्रकार संबंधित है?
Q15. According to Wien’s Displacement Law, the wavelength (λ_m) corresponding to maximum energy emission from a black body is related to its absolute temperature (T) as:
सही उत्तर: B) λ_m ∝ 1 / T
Correct Answer: B) λ_m ∝ 1 / T
स्पष्टीकरण: वीन के नियम के अनुसार, कृष्णिका से उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तरंगदैर्घ्य उसके परम ताप के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
λ_m × T = b (जहाँ b वीन नियतांक है)
अतः, λ_m ∝ 1 / T। (अर्थात् ताप बढ़ने पर उत्सर्जित होने वाला रंग छोटे तरंगदैर्घ्य नीले/बैंगनी रंग की तरफ विस्थापित होता है)।
λ_m × T = b (जहाँ b वीन नियतांक है)
अतः, λ_m ∝ 1 / T। (अर्थात् ताप बढ़ने पर उत्सर्जित होने वाला रंग छोटे तरंगदैर्घ्य नीले/बैंगनी रंग की तरफ विस्थापित होता है)।
Explanation: Wien’s law states that the wavelength corresponding to maximum radiation energy is inversely proportional to the absolute temperature of the black body:
λ_m × T = b (where b is Wien’s constant).
Thus, λ_m ∝ 1 / T.
λ_m × T = b (where b is Wien’s constant).
Thus, λ_m ∝ 1 / T.
प्रश्न 16. स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियम (Stefan-Boltzmann Law) के अनुसार, किसी आदर्श कृष्णिका (black body) के प्रति इकाई क्षेत्रफल से उत्सर्जित होने वाली कुल विकिरण ऊर्जा की दर परम ताप (T) के साथ किस प्रकार परिवर्तित होती है?
Q16. According to the Stefan-Boltzmann Law, the rate of emission of radiation energy per unit area from a perfect black body is proportional to:
सही उत्तर: D) T⁴
Correct Answer: D) T⁴
स्पष्टीकरण: स्टीफन के नियम के अनुसार, उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा की दर परम ताप की चौथी घात के अनुक्रमानुपाती होती है:
E = σ × T⁴ (जहाँ σ स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियतांक है)।
E = σ × T⁴ (जहाँ σ स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियतांक है)।
Explanation: The Stefan-Boltzmann law states that the total energy radiated per unit surface area of a black body in unit time is directly proportional to the fourth power of its absolute temperature:
E = σ T⁴ (where σ is Stefan’s constant).
E = σ T⁴ (where σ is Stefan’s constant).
प्रश्न 17. समान लंबाई और समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली दो धातु की छड़ों को श्रेणीक्रम (series) में जोड़ा गया है। यदि उनकी ऊष्मा चालकताएँ क्रमशः K₁ और K₂ हों, तो संयोजन की प्रभावी ऊष्मा चालकता (equivalent thermal conductivity) क्या होगी?
Q17. Two rods of identical dimensions but different materials with thermal conductivities K₁ and K₂ are connected in series. The equivalent thermal conductivity of the combination is:
सही उत्तर: B) 2K₁K₂ / (K₁ + K₂)
Correct Answer: B) 2K₁K₂ / (K₁ + K₂)
स्पष्टीकरण: श्रेणीक्रम संयोजन में कुल ऊष्मीय प्रतिरोध दोनों छड़ों के ऊष्मीय प्रतिरोधों के योग के बराबर होता है:
R_eq = R₁ + R₂
– 2L / (K_eq × A) = L / (K₁ × A) + L / (K₂ × A)
– 2 / K_eq = 1 / K₁ + 1 / K₂ = (K₁ + K₂) / K₁K₂
– K_eq = 2K₁K₂ / (K₁ + K₂) (हरात्मक माध्य)।
R_eq = R₁ + R₂
– 2L / (K_eq × A) = L / (K₁ × A) + L / (K₂ × A)
– 2 / K_eq = 1 / K₁ + 1 / K₂ = (K₁ + K₂) / K₁K₂
– K_eq = 2K₁K₂ / (K₁ + K₂) (हरात्मक माध्य)।
Explanation: In series combination, the total thermal resistance is the sum of individual resistances:
R_eq = R₁ + R₂ ⇒ 2L / (K_eq × A) = L / (K₁ × A) + L / (K₂ × A).
– 2 / K_eq = 1 / K₁ + 1 / K₂ = (K₁ + K₂) / K₁K₂.
– K_eq = 2K₁K₂ / (K₁ + K₂) (Harmonic mean).
R_eq = R₁ + R₂ ⇒ 2L / (K_eq × A) = L / (K₁ × A) + L / (K₂ × A).
– 2 / K_eq = 1 / K₁ + 1 / K₂ = (K₁ + K₂) / K₁K₂.
– K_eq = 2K₁K₂ / (K₁ + K₂) (Harmonic mean).
प्रश्न 18. न्यूटन के शीतलन नियम (Newton’s Law of Cooling) के अनुसार, यदि एक गर्म चाय का प्याला 20°C ताप वाले कमरे में 80°C से 60°C तक ठंडा होने में 5 मिनट का समय लेता है, तो उसी कमरे में उसे 60°C से 40°C तक ठंडा होने में कितना समय लगेगा?
Q18. According to Newton’s Law of Cooling, if a cup of tea cools from 80°C to 60°C in 5 minutes in a room at 20°C, the time it will take to cool from 60°C to 40°C in the same room is:
सही उत्तर: C) 5 मिनट से अधिक (लगभग 8.3 मिनट)
Correct Answer: C) More than 5 minutes (approx. 8.3 minutes)
स्पष्टीकरण: न्यूटन के शीतलन नियमानुसार, ठंडे होने की दर चाय और परिवेश के तापांतर के अनुक्रमानुपाती होती है:
(T₁ – T₂) / t = K [((T₁ + T₂) / 2) – T_s]
– **प्रथम स्थिति:** (80 – 60) / 5 = K [(80 + 60)/2 – 20] ⇒ 4 = K(50) ⇒ K = 0.08 min⁻¹
– **द्वितीय स्थिति:** (60 – 40) / t = 0.08 [(60 + 40)/2 – 20] ⇒ 20 / t = 0.08(30) = 2.4
– t = 20 / 2.4 ≈ 8.33 मिनट।
चूँकि तापमान घटने पर तापांतर कम होता है, अतः ठंडा होने में **अधिक समय** लगेगा।
(T₁ – T₂) / t = K [((T₁ + T₂) / 2) – T_s]
– **प्रथम स्थिति:** (80 – 60) / 5 = K [(80 + 60)/2 – 20] ⇒ 4 = K(50) ⇒ K = 0.08 min⁻¹
– **द्वितीय स्थिति:** (60 – 40) / t = 0.08 [(60 + 40)/2 – 20] ⇒ 20 / t = 0.08(30) = 2.4
– t = 20 / 2.4 ≈ 8.33 मिनट।
चूँकि तापमान घटने पर तापांतर कम होता है, अतः ठंडा होने में **अधिक समय** लगेगा।
Explanation: According to Newton’s law of cooling:
(T₁ – T₂) / t = K [((T₁ + T₂) / 2) – T_s].
– **Case 1:** (80 – 60) / 5 = K [70 – 20] ⇒ 4 = 50K ⇒ K = 0.08 min⁻¹.
– **Case 2:** (60 – 40) / t = 0.08 [50 – 20] ⇒ 20 / t = 0.08(30) = 2.4 ⇒ t = 20 / 2.4 ≈ 8.33 minutes.
Since the temperature difference is smaller in the second phase, cooling takes **longer**.
(T₁ – T₂) / t = K [((T₁ + T₂) / 2) – T_s].
– **Case 1:** (80 – 60) / 5 = K [70 – 20] ⇒ 4 = 50K ⇒ K = 0.08 min⁻¹.
– **Case 2:** (60 – 40) / t = 0.08 [50 – 20] ⇒ 20 / t = 0.08(30) = 2.4 ⇒ t = 20 / 2.4 ≈ 8.33 minutes.
Since the temperature difference is smaller in the second phase, cooling takes **longer**.
प्रश्न 19. एक पानी की टंकी में पानी H ऊँचाई तक भरा है। इसके मुक्त तल (free surface) से गहराई h पर दीवार में एक छोटा छिद्र किया जाता है। टोरिसैली के नियम (Torricelli’s Law) के अनुसार छिद्र से निकलने वाले द्रव का बहिःस्राव वेग (velocity of efflux, v) क्या होगा?
Q19. A water tank is filled with water up to height H. A small hole is made in the wall at a depth h below the free surface of water. According to Torricelli’s Law, the velocity of efflux (v) of the water is:
सही उत्तर: A) v = √(2gh)
Correct Answer: A) v = √(2gh)
स्पष्टीकरण: टोरिसैली के बहिःस्राव वेग नियम (Torricelli’s Law of efflux) के अनुसार, किसी छिद्र से बाहर की ओर निकलने वाले द्रव का वेग उसी वेग के बराबर होता है जो कोई वस्तु विराम अवस्था से h दूरी तक स्वतंत्र रूप से गिरने पर प्राप्त करती है:
v = √(2gh)। (यह मुक्त सतह से छिद्र की गहराई पर निर्भर करता है, न कि टैंक के पेंदे से छिद्र की ऊँचाई पर)।
v = √(2gh)। (यह मुक्त सतह से छिद्र की गहराई पर निर्भर करता है, न कि टैंक के पेंदे से छिद्र की ऊँचाई पर)।
Explanation: Torricelli’s law states that the speed of efflux of a liquid through a sharp hole is equal to the speed that a body would acquire falling freely from rest through a vertical distance h equal to the depth of the hole below the free surface: v = √(2gh).
प्रश्न 20. पृष्ठ तनाव T वाले साबुन के घोल से एक r त्रिज्या का बुलबुला बनाने में W कार्य करना पड़ता है। इसी बुलबुले को फुलाकर उसकी त्रिज्या 2r करने में कितना अतिरिक्त कार्य (additional work done) करना पड़ेगा?
Q20. The work done in blowing a soap bubble of radius r is W. The additional work required to blow it to a radius of 2r is:
सही उत्तर: C) 3W
Correct Answer: C) 3W
स्पष्टीकरण: साबुन के बुलबुले में दो सतहें होने के कारण किया गया कार्य (पृष्ठ ऊर्जा):
W = 2 × (4πr²T) = 8πr²T
– त्रिज्या 2r करने पर नया कार्य: W’ = 8π(2r)²T = 4 × (8πr²T) = 4W
– किया गया अतिरिक्त कार्य = W’ – W = 4W – W = 3W।
W = 2 × (4πr²T) = 8πr²T
– त्रिज्या 2r करने पर नया कार्य: W’ = 8π(2r)²T = 4 × (8πr²T) = 4W
– किया गया अतिरिक्त कार्य = W’ – W = 4W – W = 3W।
Explanation: The work done (surface energy) in blowing a soap bubble of radius r is:
W = 2 × 4πr²T = 8πr²T.
– If the radius is doubled to 2r, the final surface energy is: W’ = 8π(2r)²T = 4 × (8πr²T) = 4W.
– The additional work required is: W’ – W = 4W – W = 3W.
W = 2 × 4πr²T = 8πr²T.
– If the radius is doubled to 2r, the final surface energy is: W’ = 8π(2r)²T = 4 × (8πr²T) = 4W.
– The additional work required is: W’ – W = 4W – W = 3W.
प्रश्न 21. एक नली में बह रहे द्रव का रेनॉल्ड्स अंक (Reynolds number, Re) यदि 1000 से कम है, तो द्रव के प्रवाह (flow of fluid) की प्रकृति कैसी होगी?
Q21. If the Reynolds number (Re) for a fluid flowing through a pipe is less than 1000, the nature of the fluid flow is:
सही उत्तर: B) धारारेखीय या स्तरीय प्रवाह (Streamline or Laminar flow)
Correct Answer: B) Streamline or Laminar flow
स्पष्टीकरण: रेनॉल्ड्स संख्या (Re) एक विमाहीन राशि है जो प्रवाह के प्रकार को निर्धारित करती है:
– यदि Re < 1000 है, तो प्रवाह **धारारेखीय या स्तरीय (laminar/streamline)** होता है।
– यदि Re > 2000 है, तो प्रवाह **विक्षुब्ध (turbulent)** होता है।
– 1000 से 2000 के बीच प्रवाह अस्थिर होता है जो किसी भी रूप में बदल सकता है।
– यदि Re < 1000 है, तो प्रवाह **धारारेखीय या स्तरीय (laminar/streamline)** होता है।
– यदि Re > 2000 है, तो प्रवाह **विक्षुब्ध (turbulent)** होता है।
– 1000 से 2000 के बीच प्रवाह अस्थिर होता है जो किसी भी रूप में बदल सकता है।
Explanation: The Reynolds number (Re) is a dimensionless value used to predict fluid flow patterns:
– If Re < 1000, the flow is smooth, steady, and **laminar or streamline**.
– If Re > 2000, the flow is chaotic and **turbulent**.
– If Re < 1000, the flow is smooth, steady, and **laminar or streamline**.
– If Re > 2000, the flow is chaotic and **turbulent**.
प्रश्न 22. एक पूर्णतः असम्पीड्य तरल (incompressible fluid) के लिए आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus, B) का मान कितना होता है?
Q22. For a perfectly incompressible fluid, the value of the Bulk Modulus (B) is:
सही उत्तर: C) अनंत (Infinite)
Correct Answer: C) Infinite
स्पष्टीकरण: आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का सूत्र है: B = – ΔP / (ΔV / V)।
– पूर्णतः असम्पीड्य तरल (perfectly incompressible fluid) के आयतन में दाब बढ़ाने पर भी कोई परिवर्तन नहीं होता, अर्थात् ΔV = 0।
– अतः, B = – ΔP / (0) = ∞ (अनंत)। (और इसकी सम्पीड्यता या Compressibility C = 1/B = 0 होती है)।
– पूर्णतः असम्पीड्य तरल (perfectly incompressible fluid) के आयतन में दाब बढ़ाने पर भी कोई परिवर्तन नहीं होता, अर्थात् ΔV = 0।
– अतः, B = – ΔP / (0) = ∞ (अनंत)। (और इसकी सम्पीड्यता या Compressibility C = 1/B = 0 होती है)।
Explanation: Bulk Modulus is defined as: B = – ΔP / (ΔV / V).
– For a perfectly incompressible fluid, there is no change in volume (ΔV = 0) regardless of the applied pressure.
– Thus, Bulk Modulus B = ∞ (Infinite) and compressibility is zero (C = 0).
– For a perfectly incompressible fluid, there is no change in volume (ΔV = 0) regardless of the applied pressure.
– Thus, Bulk Modulus B = ∞ (Infinite) and compressibility is zero (C = 0).
प्रश्न 23. L लंबाई, Y यंग प्रत्यास्थता गुणांक और α रेखीय प्रसार गुणांक वाली एक धातु की छड़ को दोनों सिरों से दृढ़तापूर्वक बांधा (clamped) गया है। यदि इसका तापमान ΔT बढ़ाया जाए, तो छड़ में उत्पन्न तापीय प्रतिबल (Thermal Stress) कितना होगा?
Q23. A metal rod of length L, Young’s modulus Y and coefficient of linear expansion α is tightly clamped at both ends. If its temperature is increased by ΔT, the thermal stress developed in the rod is:
सही उत्तर: A) Y α ΔT
Correct Answer: A) Y α ΔT
स्पष्टीकरण:
– तापमान बढ़ने पर मुक्त लंबाई में वृद्धि: ΔL = L α ΔT
– तापीय विकृति (Thermal Strain) = ΔL / L = α ΔT
– यंग प्रत्यास्थता गुणांक परिभाषा से: प्रतिबल (Stress) = Y × विकृति
– तापीय प्रतिबल = Y α ΔT (यह ध्यान देने योग्य है कि प्रतिबल छड़ की लंबाई L पर निर्भर नहीं करता है)।
– तापमान बढ़ने पर मुक्त लंबाई में वृद्धि: ΔL = L α ΔT
– तापीय विकृति (Thermal Strain) = ΔL / L = α ΔT
– यंग प्रत्यास्थता गुणांक परिभाषा से: प्रतिबल (Stress) = Y × विकृति
– तापीय प्रतिबल = Y α ΔT (यह ध्यान देने योग्य है कि प्रतिबल छड़ की लंबाई L पर निर्भर नहीं करता है)।
Explanation:
– Free expansion upon heating: ΔL = L α ΔT.
– Thermal Strain = ΔL / L = α ΔT.
– Since Young’s Modulus Y = Stress / Strain ⇒ Stress = Y × Strain.
– Thermal Stress = Y α ΔT (independent of the length of the rod).
– Free expansion upon heating: ΔL = L α ΔT.
– Thermal Strain = ΔL / L = α ΔT.
– Since Young’s Modulus Y = Stress / Strain ⇒ Stress = Y × Strain.
– Thermal Stress = Y α ΔT (independent of the length of the rod).
प्रश्न 24. वह बिंदु जिस पर पानी की तीनों अवस्थाएँ (बर्फ, पानी और जलवाष्प) साम्यावस्था में सह-अस्तित्व में होती हैं, पानी का त्रिक बिंदु (triple point of water) कहलाता है। इसका सही मान परम ताप (Kelvin scale) में क्या है?
Q24. The triple point of water is the unique temperature and pressure at which ice, liquid water, and water vapor coexist in equilibrium. Its value on the Kelvin scale is:
सही उत्तर: B) 273.16 K
Correct Answer: B) 273.16 K
स्पष्टीकरण: पानी का त्रिक बिंदु (triple point) 0.01°C और 611.65 Pa (लगभग 0.006 atm) के आंशिक दाब पर प्राप्त होता है। केल्विन पैमाने में इसका सटीक मान **273.16 K** होता है। (जबकि सामान्य वायुमंडलीय दाब पर बर्फ का गलनांक 0°C यानी 273.15 K होता है)।
Explanation: The triple point of water occurs at 0.01°C and a partial vapor pressure of 611.65 Pa. On the absolute thermodynamic temperature scale (Kelvin), this is exactly defined as **273.16 K**. (Note that 273.15 K is 0°C).
प्रश्न 25. 100°C के उबलते हुए पानी की तुलना में 100°C की भाप (steam) से त्वचा का जलना अधिक गंभीर घाव उत्पन्न करता है। इसका मुख्य ऊष्मीय कारण क्या है?
Q25. Burns caused by steam at 100°C are much more severe than those caused by boiling water at the same temperature (100°C) because:
सही उत्तर: B) भाप में वाष्पन की गुप्त ऊष्मा (latent heat of vaporization) के रूप में अतिरिक्त ऊष्मा होती है
Correct Answer: B) Steam contains a large amount of extra heat as latent heat of vaporization
स्पष्टीकरण: यद्यपि पानी और भाप दोनों का तापमान 100°C है, लेकिन पानी को वाष्प में बदलने के लिए प्रति ग्राम **540 कैलोरी (वाष्पन की गुप्त ऊष्मा, Latent heat of vaporization)** ऊष्मा अतिरिक्त देनी पड़ती है। जब भाप त्वचा के संपर्क में आकर पुनः संघनित (condense) होकर पानी में बदलती है, तो वह प्रति ग्राम 540 cal की यह अतिरिक्त गुप्त ऊष्मा त्वचा को स्थानांतरित कर देती है, जिससे अत्यंत गंभीर जलन होती है।
Explanation: Water at 100°C requires an additional 540 cal/g of heat (latent heat of vaporization) to convert into steam. When steam touches the skin, it condenses back into water at 100°C, releasing this immense latent heat directly onto the skin surface, causing much deeper and more severe tissue damage.