प्रश्न 1. एक पारदर्शी माध्यम के लिए क्रांतिक कोण (critical angle) 30° है। माध्यम का अपवर्तनांक (refractive index) कितना होगा?
Q1. The critical angle for a transparent medium is 30°. The refractive index of the medium is:
सही उत्तर: B) 2.0
Correct Answer: B) 2.0
स्पष्टीकरण: पूर्ण आंतरिक परावर्तन (Total Internal Reflection) के सिद्धांत के अनुसार, माध्यम के अपवर्तनांक और क्रांतिक कोण में संबंध है:
n = 1 / sin(θ_c)
– दिया गया है: θ_c = 30°
– n = 1 / sin(30°) = 1 / 0.5 = 2.0।
n = 1 / sin(θ_c)
– दिया गया है: θ_c = 30°
– n = 1 / sin(30°) = 1 / 0.5 = 2.0।
Explanation: According to the principle of Total Internal Reflection, the relation between refractive index and critical angle is:
n = 1 / sin(θ_c).
– Given: θ_c = 30°.
– n = 1 / sin(30°) = 1 / 0.5 = 2.0.
n = 1 / sin(θ_c).
– Given: θ_c = 30°.
– n = 1 / sin(30°) = 1 / 0.5 = 2.0.
प्रश्न 2. एक बर्तन में 12 cm गहराई तक अपवर्तनांक 4 / 3 वाला पानी भरा है। बर्तन के पेंदे पर रखे सिक्के की आभासी गहराई (apparent depth) कितनी दिखाई देगी?
Q2. A vessel is filled with water of refractive index 4 / 3 up to a depth of 12 cm. The apparent depth of a coin placed at the bottom of the vessel is:
सही उत्तर: B) 9 cm
Correct Answer: B) 9 cm
स्पष्टीकरण: वास्तविक और आभासी गहराई के बीच अपवर्तनांक का संबंध:
n = वास्तविक गहराई / आभासी गहराई = d / d’
– 4/3 = 12 / d’ ⇒ d’ = 12 × (3/4) = 9 cm।
– (सिक्का ऊपर उठा हुआ प्रतीत होगा, सिक्का का विस्थापन/shift = 12 – 9 = 3 cm)।
n = वास्तविक गहराई / आभासी गहराई = d / d’
– 4/3 = 12 / d’ ⇒ d’ = 12 × (3/4) = 9 cm।
– (सिक्का ऊपर उठा हुआ प्रतीत होगा, सिक्का का विस्थापन/shift = 12 – 9 = 3 cm)।
Explanation: The relationship between real depth and apparent depth is:
n = Real Depth / Apparent Depth = d / d’.
– 4 / 3 = 12 / d’ ⇒ d’ = 12 × (3 / 4) = 9 cm.
n = Real Depth / Apparent Depth = d / d’.
– 4 / 3 = 12 / d’ ⇒ d’ = 12 × (3 / 4) = 9 cm.
प्रश्न 3. फोकस दूरी f वाला एक उत्तल दर्पण (convex mirror) किसी वस्तु का वस्तु के आकार का 1 / n गुना आकार का प्रतिबिंब बनाता है। दर्पण से वस्तु की दूरी का परिमाण क्या होगा?
Q3. A convex mirror of focal length f produces an image which is 1 / n times the size of the object. The distance of the object from the mirror is:
सही उत्तर: A) (n – 1) f
Correct Answer: A) (n – 1) f
स्पष्टीकरण: दर्पण के रेखीय आवर्धन (magnification) का सूत्र फोकस दूरी के पदों में:
m = f / (f – u)
– उत्तल दर्पण हमेशा आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है, अतः आवर्धन धनात्मक होगा: m = +1/n
– उत्तल दर्पण के लिए फोकस दूरी f धनात्मक होती है।
– 1 / n = f / (f – u) ⇒ f – u = n f ⇒ u = -(n – 1)f
– अतः दर्पण से वस्तु की दूरी (दूरी का परिमाण) **(n – 1)f** होगी।
m = f / (f – u)
– उत्तल दर्पण हमेशा आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है, अतः आवर्धन धनात्मक होगा: m = +1/n
– उत्तल दर्पण के लिए फोकस दूरी f धनात्मक होती है।
– 1 / n = f / (f – u) ⇒ f – u = n f ⇒ u = -(n – 1)f
– अतः दर्पण से वस्तु की दूरी (दूरी का परिमाण) **(n – 1)f** होगी।
Explanation: The magnification formula in terms of focal length for a mirror is:
m = f / (f – u).
– A convex mirror always forms a virtual and erect image, so m = +1/n and f is positive.
– 1 / n = f / (f – u) ⇒ f – u = nf ⇒ u = -(n – 1)f.
– Therefore, the distance of the object from the mirror is (n – 1) f.
m = f / (f – u).
– A convex mirror always forms a virtual and erect image, so m = +1/n and f is positive.
– 1 / n = f / (f – u) ⇒ f – u = nf ⇒ u = -(n – 1)f.
– Therefore, the distance of the object from the mirror is (n – 1) f.
प्रश्न 4. अपवर्तनांक 1.5 वाले कांच के एक उभयोत्तल लेंस (biconvex lens) की दोनों वक्रता त्रिज्याएँ समान रूप से 20 cm हैं। लेंस की फोकस दूरी (focal length) कितनी होगी?
Q4. A biconvex lens of refractive index 1.5 has both its radii of curvature equal to 20 cm. The focal length of the lens is:
सही उत्तर: B) 20 cm
Correct Answer: B) 20 cm
स्पष्टीकरण: लेंस मेकर सूत्र (Lens Maker’s Formula) के अनुसार:
1 / f = (n – 1) [ (1 / R₁) – (1 / R₂) ]
– चिन्ह परिपाटी से: R₁ = +20 cm, R₂ = -20 cm, n = 1.5
– 1 / f = (1.5 – 1) [ (1 / 20) – (1 / -20) ] = 0.5 × (2 / 20) = 0.5 × (1/10) = 1 / 20
– f = 20 cm।
1 / f = (n – 1) [ (1 / R₁) – (1 / R₂) ]
– चिन्ह परिपाटी से: R₁ = +20 cm, R₂ = -20 cm, n = 1.5
– 1 / f = (1.5 – 1) [ (1 / 20) – (1 / -20) ] = 0.5 × (2 / 20) = 0.5 × (1/10) = 1 / 20
– f = 20 cm।
Explanation: From the Lens Maker’s Formula:
1 / f = (n – 1) [ (1 / R₁) – (1 / R₂) ].
– Applying sign convention: R₁ = +20 cm, R₂ = -20 cm, and n = 1.5.
– 1 / f = (1.5 – 1) [ (1/20) + (1/20) ] = 0.5 × (2/20) = 1 / 20 ⇒ f = 20 cm.
1 / f = (n – 1) [ (1 / R₁) – (1 / R₂) ].
– Applying sign convention: R₁ = +20 cm, R₂ = -20 cm, and n = 1.5.
– 1 / f = (1.5 – 1) [ (1/20) + (1/20) ] = 0.5 × (2/20) = 1 / 20 ⇒ f = 20 cm.
प्रश्न 5. दो पतले लेंस जिनकी शक्तियाँ (powers) क्रमशः +3.5 D और -1.5 D हैं, एक-दूसरे के संपर्क में रखे हैं। इस संयोजन की संयुक्त फोकस दूरी (equivalent focal length) कितनी होगी?
Q5. Two thin lenses of powers +3.5 D and -1.5 D are placed in contact. The equivalent focal length of the combination is:
सही उत्तर: A) 50 cm
Correct Answer: A) 50 cm
स्पष्टीकरण: संपर्क में रखे लेंसों की संयुक्त शक्ति का सूत्र:
P_total = P₁ + P₂ = (+3.5 D) + (-1.5 D) = +2.0 D
– संयुक्त फोकस दूरी: f = 1 / P_total = 1 / 2.0 = 0.5 m
– सेंटीमीटर में बदलने पर: f = 0.5 × 100 = 50 cm।
P_total = P₁ + P₂ = (+3.5 D) + (-1.5 D) = +2.0 D
– संयुक्त फोकस दूरी: f = 1 / P_total = 1 / 2.0 = 0.5 m
– सेंटीमीटर में बदलने पर: f = 0.5 × 100 = 50 cm।
Explanation: The total power of thin lenses in contact is the sum of their individual powers:
P_total = P₁ + P₂ = +3.5 – 1.5 = +2.0 D.
– The equivalent focal length is: f = 1 / P_total = 1 / 2 = 0.5 m = 50 cm.
P_total = P₁ + P₂ = +3.5 – 1.5 = +2.0 D.
– The equivalent focal length is: f = 1 / P_total = 1 / 2 = 0.5 m = 50 cm.
प्रश्न 6. एक प्रिज्म का अपवर्तक कोण (prism angle) A = 60° है और उसके कांच का अपवर्तनांक √3 है। इस प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन कोण (angle of minimum deviation, D_m) कितना होगा?
Q6. The refracting angle of a prism is A = 60° and the refractive index of its material is √3. The angle of minimum deviation (D_m) for this prism is:
सही उत्तर: C) 60°
Correct Answer: C) 60°
स्पष्टीकरण: प्रिज्म सूत्र (Prism Formula) का उपयोग करने पर:
n = sin[ (A + D_m) / 2 ] / sin(A / 2)
– मान रखने पर: √3 = sin[ (60° + D_m) / 2 ] / sin(30°)
– √3 × 0.5 = sin(30° + D_m / 2) ⇒ √3 / 2 = sin(30° + D_m / 2)
– हम जानते हैं कि sin(60°) = √3 / 2 होता है:
– 30° + D_m / 2 = 60° ⇒ D_m / 2 = 30° ⇒ D_m = 60°।
n = sin[ (A + D_m) / 2 ] / sin(A / 2)
– मान रखने पर: √3 = sin[ (60° + D_m) / 2 ] / sin(30°)
– √3 × 0.5 = sin(30° + D_m / 2) ⇒ √3 / 2 = sin(30° + D_m / 2)
– हम जानते हैं कि sin(60°) = √3 / 2 होता है:
– 30° + D_m / 2 = 60° ⇒ D_m / 2 = 30° ⇒ D_m = 60°।
Explanation: Using the prism index formula:
n = sin[ (A + D_m) / 2 ] / sin(A / 2).
– Substituting the values: √3 = sin[ (60° + D_m) / 2 ] / sin(30°).
– √3 / 2 = sin(30° + D_m / 2) ⇒ 30° + D_m / 2 = 60° ⇒ D_m = 60°.
n = sin[ (A + D_m) / 2 ] / sin(A / 2).
– Substituting the values: √3 = sin[ (60° + D_m) / 2 ] / sin(30°).
– √3 / 2 = sin(30° + D_m / 2) ⇒ 30° + D_m / 2 = 60° ⇒ D_m = 60°.
प्रश्न 7. एक खगोलीय दूरदर्शी (astronomical telescope) के अभिदृश्यक लेंस (objective) और नेत्रिका लेंस (eyepiece) की फोकस दूरियाँ क्रमशः 100 cm और 5 cm हैं। सामान्य समायोजन (normal adjustment) के लिए दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता (magnifying power) कितनी होगी?
Q7. An astronomical telescope has objective and eyepiece lenses of focal lengths 100 cm and 5 cm respectively. For normal adjustment, the magnifying power of the telescope is:
सही उत्तर: B) 20
Correct Answer: B) 20
स्पष्टीकरण: सामान्य समायोजन (अर्थात जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है) में दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता का परिमाण सूत्र:
m = f_o / f_e
– मान रखने पर (f_o = 100 cm, f_e = 5 cm):
– m = 100 / 5 = 20। (प्रतिबिंब उल्टा बनता है, अतः सदिश चिन्ह सहित m = -20 होता है)।
m = f_o / f_e
– मान रखने पर (f_o = 100 cm, f_e = 5 cm):
– m = 100 / 5 = 20। (प्रतिबिंब उल्टा बनता है, अतः सदिश चिन्ह सहित m = -20 होता है)।
Explanation: In normal adjustment (final image formed at infinity), the magnifying power of an astronomical telescope is:
m = -f_o / f_e.
– Substituting the values (f_o = 100 cm, f_e = 5 cm):
– |m| = 100 / 5 = 20.
m = -f_o / f_e.
– Substituting the values (f_o = 100 cm, f_e = 5 cm):
– |m| = 100 / 5 = 20.
प्रश्न 8. यंग के द्वि-स्लिट व्यतिकरण प्रयोग (Young’s Double Slit Experiment) में, यदि स्लिटों और स्क्रीन के बीच की दूरी को दोगुना और स्लिटों के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाए, तो फ्रिंज चौड़ाई (fringe width) में क्या परिवर्तन होगा?
Q8. In Young’s Double Slit Experiment, if the distance between the slits and the screen is doubled, while the slit separation is halved, the fringe width becomes:
सही उत्तर: C) चार गुनी हो जाएगी (Becomes four times)
Correct Answer: C) Becomes four times
स्पष्टीकरण: व्यतिकरण फ्रिंज चौड़ाई का सामान्य सूत्र: β = λD / d होता है।
– नई स्थितियों में: पर्दा दूरी D’ = 2D और स्लिट अंतराल d’ = d / 2 है।
– नई फ्रिंज चौड़ाई: β’ = λ(2D) / (d / 2) = 4 × (λD / d) = 4β (अर्थात् फ्रिंज चौड़ाई **चार गुनी** हो जाएगी)।
– नई स्थितियों में: पर्दा दूरी D’ = 2D और स्लिट अंतराल d’ = d / 2 है।
– नई फ्रिंज चौड़ाई: β’ = λ(2D) / (d / 2) = 4 × (λD / d) = 4β (अर्थात् फ्रिंज चौड़ाई **चार गुनी** हो जाएगी)।
Explanation: The fringe width in YDSE is defined by: β = λD / d.
– Given new conditions: D’ = 2D and d’ = d / 2.
– New fringe width: β’ = λ(2D) / (d / 2) = 4 × (λD / d) = 4β (four times the initial width).
– Given new conditions: D’ = 2D and d’ = d / 2.
– New fringe width: β’ = λ(2D) / (d / 2) = 4 × (λD / d) = 4β (four times the initial width).
प्रश्न 9. अपवर्तनांक √3 वाले कांच के पृष्ठ पर एक अध्रुवित प्रकाश किरण ध्रुवण कोण (polarizing angle) पर आपतित होती है। अपवर्तन कोण (angle of refraction) का मान क्या होगा?
Q9. Light is incident on a glass plate of refractive index √3 at the polarizing angle. The angle of refraction is:
सही उत्तर: B) 30°
Correct Answer: B) 30°
स्पष्टीकरण: ब्रीवस्टर के नियम (Brewster’s Law) के अनुसार: tan(i_p) = n
– tan(i_p) = √3 ⇒ i_p = 60° (आपतन या ध्रुवण कोण)
– ध्रुवण की स्थिति में, परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत होती हैं, अर्थात: i_p + r = 90°
– अपवर्तन कोण r = 90° – i_p = 90° – 60° = 30°।
– tan(i_p) = √3 ⇒ i_p = 60° (आपतन या ध्रुवण कोण)
– ध्रुवण की स्थिति में, परावर्तित और अपवर्तित किरणें परस्पर लंबवत होती हैं, अर्थात: i_p + r = 90°
– अपवर्तन कोण r = 90° – i_p = 90° – 60° = 30°।
Explanation: According to Brewster’s Law: tan(i_p) = n.
– tan(i_p) = √3 ⇒ i_p = 60° (polarizing angle of incidence).
– At the polarizing angle, the reflected and refracted rays are perpendicular to each other: i_p + r = 90°.
– Angle of refraction r = 90° – i_p = 90° – 60° = 30°.
– tan(i_p) = √3 ⇒ i_p = 60° (polarizing angle of incidence).
– At the polarizing angle, the reflected and refracted rays are perpendicular to each other: i_p + r = 90°.
– Angle of refraction r = 90° – i_p = 90° – 60° = 30°.
प्रश्न 10. तीव्रता I₀ का एक अध्रुवित प्रकाश (unpolarized light) एक पोलरॉइड से होकर गुजरता है और फिर एक विश्लेषक (analyzer) से गुजरता है। यदि विश्लेषक और पोलरॉइड की अक्षों के बीच का कोण 45° हो, तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की अंतिम तीव्रता क्या होगी?
Q10. Unpolarized light of intensity I₀ passes through a polarizer and then through an analyzer. If the angle between their transmission axes is 45°, the transmitted intensity of light is:
सही उत्तर: B) I₀ / 4
Correct Answer: B) I₀ / 4
स्पष्टीकरण:
– जब अध्रुवित प्रकाश (I₀) प्रथम पोलरॉइड से गुजरता है, तो इसकी तीव्रता आधी रह जाती है: I₁ = I₀ / 2
– मेलस के नियम (Malus’s Law) के अनुसार विश्लेषक से निकलने के बाद तीव्रता: I₂ = I₁ cos²θ = (I₀/2) × cos²(45°)
– I₂ = (I₀ / 2) × (1 / √2)² = (I₀ / 2) × (1 / 2) = I₀ / 4।
– जब अध्रुवित प्रकाश (I₀) प्रथम पोलरॉइड से गुजरता है, तो इसकी तीव्रता आधी रह जाती है: I₁ = I₀ / 2
– मेलस के नियम (Malus’s Law) के अनुसार विश्लेषक से निकलने के बाद तीव्रता: I₂ = I₁ cos²θ = (I₀/2) × cos²(45°)
– I₂ = (I₀ / 2) × (1 / √2)² = (I₀ / 2) × (1 / 2) = I₀ / 4।
Explanation:
– When unpolarized light (I₀) passes through the first polarizer, its intensity is halved: I₁ = I₀ / 2.
– Applying Malus’s Law at the analyzer: I₂ = I₁ cos²θ = (I₀ / 2) × cos²(45°).
– I₂ = (I₀ / 2) × (1 / 2) = I₀ / 4.
– When unpolarized light (I₀) passes through the first polarizer, its intensity is halved: I₁ = I₀ / 2.
– Applying Malus’s Law at the analyzer: I₂ = I₁ cos²θ = (I₀ / 2) × cos²(45°).
– I₂ = (I₀ / 2) × (1 / 2) = I₀ / 4.
प्रश्न 11. निर्वात में प्रकाश की चाल 3 × 10⁸ m/s है। अपवर्तनांक 1.5 वाले कांच के माध्यम में प्रकाश की चाल (velocity of light) क्या होगी?
Q11. The speed of light in vacuum is 3 × 10⁸ m/s. The speed of light in a glass medium of refractive index 1.5 is:
सही उत्तर: B) 2.0 × 10⁸ m/s
Correct Answer: B) 2.0 × 10⁸ m/s
स्पष्टीकरण: अपवर्तनांक की परिभाषा से, किसी माध्यम में प्रकाश की चाल:
v = c / n
– मान रखने पर: v = (3 × 10⁸ m/s) / 1.5 = 2.0 × 10⁸ m/s।
v = c / n
– मान रखने पर: v = (3 × 10⁸ m/s) / 1.5 = 2.0 × 10⁸ m/s।
Explanation: Refractive index is defined as the ratio of the speed of light in vacuum to its speed in the medium:
v = c / n = (3 × 10⁸ m/s) / 1.5 = 2.0 × 10⁸ m/s.
v = c / n = (3 × 10⁸ m/s) / 1.5 = 2.0 × 10⁸ m/s.
प्रश्न 12. जब सफेद प्रकाश एक कांच के प्रिज्म से होकर गुजरता है, तो किस रंग के प्रकाश का विचलन (deviation) सबसे अधिक होता है?
Q12. When white light passes through a glass prism, the color of light that deviates the most is:
सही उत्तर: C) बैंगनी रंग (Violet)
Correct Answer: C) Violet
स्पष्टीकरण: कांच में विभिन्न रंगों के तरंगदैर्घ्य (λ) भिन्न होने के कारण उनका अपवर्तनांक भिन्न होता है:
– कॉची के सूत्र से, अपवर्तनांक तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है: n ∝ 1 / λ।
– चूंकि बैंगनी रंग का तरंगदैर्घ्य न्यूनतम होता है, इसलिए कांच में इसका अपवर्तनांक अधिकतम होता है (n_v > n_r)।
– अपवर्तनांक अधिक होने के कारण बैंगनी रंग का **विचलन सबसे अधिक** होता है और लाल रंग का विचलन सबसे कम होता है।
– कॉची के सूत्र से, अपवर्तनांक तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है: n ∝ 1 / λ।
– चूंकि बैंगनी रंग का तरंगदैर्घ्य न्यूनतम होता है, इसलिए कांच में इसका अपवर्तनांक अधिकतम होता है (n_v > n_r)।
– अपवर्तनांक अधिक होने के कारण बैंगनी रंग का **विचलन सबसे अधिक** होता है और लाल रंग का विचलन सबसे कम होता है।
Explanation: According to Cauchy’s relation, refractive index varies inversely with wavelength:
n ∝ 1 / λ.
– Since violet light has the shortest wavelength in the visible spectrum, glass has the highest refractive index for it (n_violet > n_red).
– A larger refractive index leads to larger bending, hence **violet deviates the most** and red deviates the least.
n ∝ 1 / λ.
– Since violet light has the shortest wavelength in the visible spectrum, glass has the highest refractive index for it (n_violet > n_red).
– A larger refractive index leads to larger bending, hence **violet deviates the most** and red deviates the least.
प्रश्न 13. हाइगेंस के तरंग सिद्धांत (Huygens’ Principle) के अनुसार, एक **बिन्दु प्रकाश स्रोत (point source of light)** से उत्सर्जित होने वाला तरंगाग्र (wavefront) किस आकार का होता है?
Q13. According to Huygens’ wave theory, the wavefront originating from a **point source of light** is:
सही उत्तर: B) गोलीय तरंगाग्र (Spherical wavefront)
Correct Answer: B) Spherical wavefront
स्पष्टीकरण: तरंगाग्र समान कला में कंपन करने वाले कणों का लोकस (बिंदुपथ) होता है।
– एक बिंदु स्रोत (point source) से प्रकाश सभी दिशाओं में समान वेग से फैलता है, अतः समान दूरी वाले बिंदुओं का समूह एक **गोला (sphere)** बनाता है। इसलिए तरंगाग्र **गोलीय (spherical)** होता है।
– (एक संकीर्ण रेखीय स्रोत जैसे स्लिट के लिए तरंगाग्र **बेलनाकार/cylindrical** होता है और बहुत दूर स्थित स्रोत के लिए यह **समतल/plane** होता है)।
– एक बिंदु स्रोत (point source) से प्रकाश सभी दिशाओं में समान वेग से फैलता है, अतः समान दूरी वाले बिंदुओं का समूह एक **गोला (sphere)** बनाता है। इसलिए तरंगाग्र **गोलीय (spherical)** होता है।
– (एक संकीर्ण रेखीय स्रोत जैसे स्लिट के लिए तरंगाग्र **बेलनाकार/cylindrical** होता है और बहुत दूर स्थित स्रोत के लिए यह **समतल/plane** होता है)।
Explanation: A wavefront is the locus of points oscillating in the same phase.
– For a point source of light, wave disturbances travel outwards in all directions with equal speed, forming expanding spheres. Hence, the wavefront is **spherical**.
– For a point source of light, wave disturbances travel outwards in all directions with equal speed, forming expanding spheres. Hence, the wavefront is **spherical**.
प्रश्न 14. एक एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग (single slit diffraction) में, यदि स्लिट की चौड़ाई (a) को घटाया जाए, तो विवर्तन प्रतिरूप के केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई (width of central maximum) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q14. In a single slit diffraction experiment, if the width of the slit (a) is decreased, the width of the central maximum will:
सही उत्तर: B) बढ़ेगी (Increase)
Correct Answer: B) Increase
स्पष्टीकरण: एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र:
2θ = 2λ / a
और रेखीय चौड़ाई का सूत्र: W = 2λD / a होता है।
– चूंकि चौड़ाई स्लिट के आकार (a) के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए स्लिट संकीर्ण (घटने) करने पर विवर्तन का प्रभाव अधिक फैल जाता है और केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई **बढ़ जाती है**।
2θ = 2λ / a
और रेखीय चौड़ाई का सूत्र: W = 2λD / a होता है।
– चूंकि चौड़ाई स्लिट के आकार (a) के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए स्लिट संकीर्ण (घटने) करने पर विवर्तन का प्रभाव अधिक फैल जाता है और केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई **बढ़ जाती है**।
Explanation: The linear width of the central maximum in single-slit diffraction is given by:
W = 2λD / a.
– Since the width W is inversely proportional to the slit width a, decreasing the slit width causes the central maximum to broaden (its width **increases**).
W = 2λD / a.
– Since the width W is inversely proportional to the slit width a, decreasing the slit width causes the central maximum to broaden (its width **increases**).
प्रश्न 15. कांच (n_g = 1.5) के एक उत्तल लेंस की वायु में फोकस दूरी f है। यदि इसे 1.5 अपवर्तनांक वाले ही एक द्रव में डुबो दिया जाए, तो द्रव के भीतर इसकी नई फोकस दूरी क्या होगी?
Q15. A glass lens of refractive index 1.5 has a focal length f in air. If it is immersed in a liquid of refractive index 1.5, its focal length in the liquid becomes:
सही उत्तर: C) अनंत (Infinite)
Correct Answer: C) Infinite
स्पष्टीकरण: लेंस मेकर सूत्र से, जब लेंस किसी द्रव में डूबा हो:
1 / f_l = ( (n_g / n_l) – 1 ) [ (1/R₁) – (1/R₂) ]
– यहाँ लेंस का अपवर्तनांक और द्रव का अपवर्तनांक समान है: n_g = n_l = 1.5
– n_g / n_l = 1.5 / 1.5 = 1
– 1 / f_l = (1 – 1) [ (1/R₁) – (1/R₂) ] = 0 ⇒ f_l = 1/0 = ∞ (अनंत)।
– (इस स्थिति में लेंस एक साधारण समतल कांच की शीट की तरह व्यवहार करेगा और द्रव में दिखाई नहीं देगा)।
1 / f_l = ( (n_g / n_l) – 1 ) [ (1/R₁) – (1/R₂) ]
– यहाँ लेंस का अपवर्तनांक और द्रव का अपवर्तनांक समान है: n_g = n_l = 1.5
– n_g / n_l = 1.5 / 1.5 = 1
– 1 / f_l = (1 – 1) [ (1/R₁) – (1/R₂) ] = 0 ⇒ f_l = 1/0 = ∞ (अनंत)।
– (इस स्थिति में लेंस एक साधारण समतल कांच की शीट की तरह व्यवहार करेगा और द्रव में दिखाई नहीं देगा)।
Explanation: According to the Lens Maker’s formula inside a liquid:
1 / f_l = ( (n_g / n_l) – 1 ) [ (1/R₁) – (1/R₂) ].
– Since the lens and liquid have the same refractive index (n_g = n_l = 1.5):
– 1 / f_l = (1 – 1) × constant = 0 ⇒ f_l = ∞.
– The lens behaves as a simple glass pane and disappears inside the liquid.
1 / f_l = ( (n_g / n_l) – 1 ) [ (1/R₁) – (1/R₂) ].
– Since the lens and liquid have the same refractive index (n_g = n_l = 1.5):
– 1 / f_l = (1 – 1) × constant = 0 ⇒ f_l = ∞.
– The lens behaves as a simple glass pane and disappears inside the liquid.
प्रश्न 16. एक **समतल दर्पण (plane mirror)** की फोकस दूरी अनंत होती है। इस दर्पण की शक्ति (Power, P) का मान कितना होगा?
Q16. The focal length of a plane mirror is infinite. The power (P) of this mirror is:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण: प्रकाशिकी में किसी भी लेंस या दर्पण की शक्ति (Power) उसकी किरणों को मोड़ने (अभिसरित या अपसरित करने) की क्षमता की माप है, जो फोकस दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
P = 1 / f
– समतल दर्पण के लिए फोकस दूरी f = ∞ होती है।
– अतः इसकी शक्ति P = 1 / ∞ = 0 (शून्य) होती है। क्योंकि समतल दर्पण प्रकाश किरणों को बिना मोड़े समानांतर ही वापस परावर्तित कर देता है।
P = 1 / f
– समतल दर्पण के लिए फोकस दूरी f = ∞ होती है।
– अतः इसकी शक्ति P = 1 / ∞ = 0 (शून्य) होती है। क्योंकि समतल दर्पण प्रकाश किरणों को बिना मोड़े समानांतर ही वापस परावर्तित कर देता है।
Explanation: Power measures the ability of an optical component to converge or diverge light rays, given by:
P = 1 / f.
– Since the focal length of a plane mirror is infinite (f = ∞):
– P = 1 / ∞ = 0 (Zero). It reflects light rays parallel to how they arrived without bending them.
P = 1 / f.
– Since the focal length of a plane mirror is infinite (f = ∞):
– P = 1 / ∞ = 0 (Zero). It reflects light rays parallel to how they arrived without bending them.
प्रश्न 17. एक सरल सूक्ष्मदर्शी (simple microscope) की आवर्धन क्षमता (magnifying power, m) क्या होगी जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी (D = 25 cm) पर बन रहा हो? (जहाँ f लेंस की फोकस दूरी है)
Q17. The magnifying power (m) of a simple microscope of focal length f when the final image is formed at the near point of distinct vision (D = 25 cm) is:
सही उत्तर: B) m = 1 + (D / f)
Correct Answer: B) m = 1 + (D / f)
स्पष्टीकरण: सरल सूक्ष्मदर्शी में एक एकल उत्तल लेंस का उपयोग होता है।
– जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है (तनावग्रस्त नेत्र समायोजन): m_max = 1 + (D / f) होता है।
– जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (शांत नेत्र समायोजन): m_min = D / f होता है।
– जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है (तनावग्रस्त नेत्र समायोजन): m_max = 1 + (D / f) होता है।
– जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (शांत नेत्र समायोजन): m_min = D / f होता है।
Explanation: For a simple microscope (a magnifying glass):
– When the final image is at the near point (maximum magnification): m = 1 + (D / f).
– When the final image is at infinity (relaxed eye): m = D / f.
– When the final image is at the near point (maximum magnification): m = 1 + (D / f).
– When the final image is at infinity (relaxed eye): m = D / f.
प्रश्न 18. दो स्वतंत्र एकवर्णीय प्रकाश स्रोत (independent monochromatic sources) कभी भी एक स्थाई व्यतिकरण प्रतिरूप (stable interference pattern) क्यों नहीं बना सकते?
Q18. Two independent monochromatic light sources cannot produce a stable interference pattern because:
सही उत्तर: B) उनके बीच का कलांतर समय के साथ नियत नहीं रहता है (incoherent sources)
Correct Answer: B) They do not maintain a constant phase difference over time
स्पष्टीकरण: व्यतिकरण (Interference) प्रतिरूप में चमकीले और काले फ्रिंज स्थायी रूप से स्क्रीन पर दिखाई दें, इसके लिए आवश्यक है कि दोनों स्रोत **कला-संबद्ध (coherent)** हों, अर्थात् उनके बीच का कलांतर समय के साथ न बदले।
– स्वतंत्र स्रोतों में प्रकाश उत्सर्जन परमाणुओं के यादृच्छिक संचरण द्वारा होता है, जिससे कलांतर 10⁻⁸ s जैसे सूक्ष्म समय में ही बदल जाता है। अतः वे **कला-असंबद्ध (incoherent)** होते हैं।
– स्वतंत्र स्रोतों में प्रकाश उत्सर्जन परमाणुओं के यादृच्छिक संचरण द्वारा होता है, जिससे कलांतर 10⁻⁸ s जैसे सूक्ष्म समय में ही बदल जाता है। अतः वे **कला-असंबद्ध (incoherent)** होते हैं।
Explanation: To observe a stable, stationary interference pattern, the two light sources must be **coherent** (maintaining a constant phase difference over time). Independent sources emit light packets randomly, causing the phase relationship to fluctuate rapidly (~ 10⁻⁸ s), meaning they are always incoherent.
प्रश्न 19. संपर्क में रखे दो पतले लेंसों के आवर्धन क्रमशः m₁ and m₂ हैं। इस संयोजन का कुल कोणीय आवर्धन (total magnification, m) कितना होगा?
Q19. Two thin lenses in contact have lateral magnifications m₁ and m₂. The net magnification (m) of the combination is:
सही उत्तर: B) m = m₁ × m₂
Correct Answer: B) m = m₁ × m₂
स्पष्टीकरण: जब कई लेंसों को एक के बाद एक संपर्क में रखा जाता है, तो पहले लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु की तरह व्यवहार करता है।
– अतः कुल आवर्धन सभी लेंसों के व्यक्तिगत आवर्धनों के गुणनफल के बराबर होता है: m = m₁ × m₂ × m₃ …।
– (यह ध्यान रखें कि शक्तियों का योग होता है: P = P₁ + P₂, लेकिन आवर्धन का गुणा होता है)।
– अतः कुल आवर्धन सभी लेंसों के व्यक्तिगत आवर्धनों के गुणनफल के बराबर होता है: m = m₁ × m₂ × m₃ …।
– (यह ध्यान रखें कि शक्तियों का योग होता है: P = P₁ + P₂, लेकिन आवर्धन का गुणा होता है)।
Explanation: In a multi-lens system, the image formed by the first lens acts as the object for the second lens.
– Thus, the total magnification is the product of the individual magnifications: m = m₁ × m₂.
– Thus, the total magnification is the product of the individual magnifications: m = m₁ × m₂.
प्रश्न 20. यंग के द्वि-स्लिट व्यतिकरण प्रयोग में, यदि दोनों स्लिटों में से किसी एक के मार्ग में अपवर्तनांक n और मोटाई t की एक पतली पारदर्शी ग्लास पट्टिका रख दी जाए, तो फ्रिंज प्रतिरूप (fringe pattern) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q20. In Young’s Double Slit Experiment, if a thin transparent glass sheet of refractive index n and thickness t is placed in the path of one of the interfering beams, the fringe pattern will:
सही उत्तर: B) बिना फ्रिंज चौड़ाई बदले पट्टिका वाले भाग की तरफ विस्थापित (shift) हो जाएगा
Correct Answer: B) Shift towards the side containing the glass sheet, with no change in fringe width
स्पष्टीकरण: जब एक किरण के मार्ग में ग्लास पट्टिका रखी जाती है, तो प्रकाश को अतिरिक्त प्रकाशीय पथ (optical path difference) तय करना पड़ता है, जिसका मान Δx = (n – 1)t होता है।
– इस अतिरिक्त पथ के कारण पूरा फ्रिंज प्रतिरूप उस स्लिट की दिशा में विस्थापित (shift) हो जाता है जिसके आगे प्लेट रखी गई है।
– विस्थापन का मान Shift = D(n – 1)t / d होता है।
– चूंकि स्लिटों के बीच की दूरी और स्क्रीन की दूरी नहीं बदली गई है, अतः **फ्रिंज चौड़ाई (β) अपरिवर्तित** रहती है।
– इस अतिरिक्त पथ के कारण पूरा फ्रिंज प्रतिरूप उस स्लिट की दिशा में विस्थापित (shift) हो जाता है जिसके आगे प्लेट रखी गई है।
– विस्थापन का मान Shift = D(n – 1)t / d होता है।
– चूंकि स्लिटों के बीच की दूरी और स्क्रीन की दूरी नहीं बदली गई है, अतः **फ्रिंज चौड़ाई (β) अपरिवर्तित** रहती है।
Explanation: Introducing a glass slab introduces an additional optical path difference of Δx = (n – 1)t.
– This causes the entire fringe pattern to shift towards the side where the slab is introduced: Shift = D(n – 1)t / d.
– Since wavelength, slit spacing, and screen distance are unchanged, the **fringe width remains constant**.
– This causes the entire fringe pattern to shift towards the side where the slab is introduced: Shift = D(n – 1)t / d.
– Since wavelength, slit spacing, and screen distance are unchanged, the **fringe width remains constant**.
प्रश्न 21. दो प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण (interference) प्रतिरूप में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का अनुपात I_max : I_min = 9 : 1 है। व्यतिकरण करने वाली दोनों तरंगों के आयामों (amplitudes) का अनुपात क्या होगा?
Q21. In an interference pattern, the ratio of maximum to minimum intensity is I_max : I_min = 9 : 1. The ratio of the amplitudes of the two interfering waves is:
सही उत्तर: C) 2 : 1
Correct Answer: C) 2 : 1
स्पष्टीकरण:
– अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का संबंध: I_max / I_min = [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]²
– दिया गया है: [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]² = 9 / 1
– वर्गमूल लेने पर: (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) = 3 / 1 ⇒ A₁ + A₂ = 3A₁ – 3A₂
– हल करने पर: 4A₂ = 2A₁ ⇒ A₁ / A₂ = 4 / 2 = 2 / 1 = 2 : 1।
– अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का संबंध: I_max / I_min = [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]²
– दिया गया है: [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]² = 9 / 1
– वर्गमूल लेने पर: (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) = 3 / 1 ⇒ A₁ + A₂ = 3A₁ – 3A₂
– हल करने पर: 4A₂ = 2A₁ ⇒ A₁ / A₂ = 4 / 2 = 2 / 1 = 2 : 1।
Explanation:
– Intensity ratio in terms of amplitudes: I_max / I_min = [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]².
– Given: [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]² = 9 / 1 ⇒ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) = 3.
– Simplifying: A₁ + A₂ = 3A₁ – 3A₂ ⇒ 2A₁ = 4A₂ ⇒ A₁ / A₂ = 2 : 1.
– Intensity ratio in terms of amplitudes: I_max / I_min = [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]².
– Given: [ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) ]² = 9 / 1 ⇒ (A₁ + A₂) / (A₁ – A₂) = 3.
– Simplifying: A₁ + A₂ = 3A₁ – 3A₂ ⇒ 2A₁ = 4A₂ ⇒ A₁ / A₂ = 2 : 1.
प्रश्न 22. वायु में रखे एक अवतल दर्पण (concave mirror) की फोकस दूरी f है। यदि इसे अपवर्तनांक 4 / 3 वाले पानी में पूरी तरह डुबो दिया जाए, तो पानी के भीतर इसकी नई फोकस दूरी क्या होगी?
Q22. A concave mirror has a focal length f in air. If it is completely immersed in water of refractive index 4 / 3, its focal length in water is:
सही उत्तर: A) f
Correct Answer: A) f
स्पष्टीकरण: यह दर्पण और लेंस के बीच का एक अत्यंत महत्वपूर्ण वैचारिक अंतर (conceptual trap) है।
– लेंस की फोकस दूरी अपवर्तनांक परिवर्तन के कारण माध्यम बदलने पर बदल जाती है (लेंस मेकर सूत्र से)।
– परंतु गोलीय दर्पण (spherical mirror) की फोकस दूरी परावर्तन पर आधारित होती है, जो केवल दर्पण की वक्रता त्रिज्या (f = R / 2) पर निर्भर करती है। यह आसपास के माध्यम पर निर्भर नहीं करती।
– अतः पानी में डुबाने पर भी अवतल दर्पण की फोकस दूरी अपरिवर्तित अर्थात **f** ही रहेगी।
– लेंस की फोकस दूरी अपवर्तनांक परिवर्तन के कारण माध्यम बदलने पर बदल जाती है (लेंस मेकर सूत्र से)।
– परंतु गोलीय दर्पण (spherical mirror) की फोकस दूरी परावर्तन पर आधारित होती है, जो केवल दर्पण की वक्रता त्रिज्या (f = R / 2) पर निर्भर करती है। यह आसपास के माध्यम पर निर्भर नहीं करती।
– अतः पानी में डुबाने पर भी अवतल दर्पण की फोकस दूरी अपरिवर्तित अर्थात **f** ही रहेगी।
Explanation: This is a classic conceptual trap.
– While a lens depends on refraction and its focal length changes in a medium, a spherical mirror relies on reflection.
– The focal length of a mirror is purely geometric: f = R / 2. It is independent of the refractive index of the surrounding medium, so it remains **f**.
– While a lens depends on refraction and its focal length changes in a medium, a spherical mirror relies on reflection.
– The focal length of a mirror is purely geometric: f = R / 2. It is independent of the refractive index of the surrounding medium, so it remains **f**.
प्रश्न 23. मानव नेत्र के **अबिन्दुकता (Astigmatism)** नामक दृष्टि दोष को दूर करने के लिए चश्मे में किस प्रकार के लेंस का उपयोग किया जाना चाहिए?
Q23. Astigmatism in the human eye can be corrected by using spectacles with:
सही उत्तर: B) बेलनाकार लेंस (Cylindrical lenses)
Correct Answer: B) Cylindrical lenses
स्पष्टीकरण:
– **अबिन्दुकता (Astigmatism):** कॉर्निया की वक्रता की असमानता के कारण क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक साथ स्पष्ट नहीं दिखतीं। इसे **बेलनाकार (Cylindrical) लेंस** द्वारा सुधारा जाता है।
– **निकट-दृष्टि दोष (Myopia):** अवतल (Concave) लेंस द्वारा सुधारा जाता है।
– **दूर-दृष्टि दोष (Hypermetropia):** उत्तल (Convex) लेंस द्वारा सुधारा जाता है।
– **जरा-दृष्टि दोष (Presbyopia):** द्विफोकसी (Bifocal) लेंस द्वारा सुधारा जाता है।
– **अबिन्दुकता (Astigmatism):** कॉर्निया की वक्रता की असमानता के कारण क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक साथ स्पष्ट नहीं दिखतीं। इसे **बेलनाकार (Cylindrical) लेंस** द्वारा सुधारा जाता है।
– **निकट-दृष्टि दोष (Myopia):** अवतल (Concave) लेंस द्वारा सुधारा जाता है।
– **दूर-दृष्टि दोष (Hypermetropia):** उत्तल (Convex) लेंस द्वारा सुधारा जाता है।
– **जरा-दृष्टि दोष (Presbyopia):** द्विफोकसी (Bifocal) लेंस द्वारा सुधारा जाता है।
Explanation:
– **Astigmatism** occurs when the cornea does not have a perfectly spherical shape. It is corrected using **cylindrical lenses**.
– **Myopia** is corrected by **concave** lenses.
– **Hypermetropia** is corrected by **convex** lenses.
– **Presbyopia** is corrected by **bifocal** lenses.
– **Astigmatism** occurs when the cornea does not have a perfectly spherical shape. It is corrected using **cylindrical lenses**.
– **Myopia** is corrected by **concave** lenses.
– **Hypermetropia** is corrected by **convex** lenses.
– **Presbyopia** is corrected by **bifocal** lenses.
प्रश्न 24. दृष्टि दोष **निकट-दृष्टि दोष (Myopia)** से पीड़ित व्यक्ति के चश्मे में किस प्रकार का लेंस लगाया जाता है?
Q24. A person suffering from myopia (near-sightedness) is advised to use spectacles containing:
सही उत्तर: B) अवतल लेंस (Concave lens)
Correct Answer: B) Concave lens
स्पष्टीकरण: निकट-दृष्टि दोष (Myopia) में व्यक्ति को पास की वस्तुएं तो स्पष्ट दिखाई देती हैं लेकिन दूर की वस्तुएं स्पष्ट नहीं दिखतीं क्योंकि प्रतिबिंब रेटिना के आगे (पहले ही) बन जाता है।
– किरणों को थोड़ा अपसरित (diverge) करके रेटिना पर फोकस करने के लिए उचित फोकस दूरी वाले **अवतल (Concave / Diverging) लेंस** का उपयोग किया जाता है।
– किरणों को थोड़ा अपसरित (diverge) करके रेटिना पर फोकस करने के लिए उचित फोकस दूरी वाले **अवतल (Concave / Diverging) लेंस** का उपयोग किया जाता है।
Explanation: In a myopic eye, parallel rays from a distant object are focused in front of the retina instead of on it.
– To correct this, a **concave (diverging) lens** is used to diverge the incoming parallel rays slightly, shifting the focus back onto the retina.
– To correct this, a **concave (diverging) lens** is used to diverge the incoming parallel rays slightly, shifting the focus back onto the retina.
प्रश्न 25. एक खगोलीय दूरदर्शी (astronomical telescope) की विभेदन सीमा को कम करने या उसकी **विभेदन क्षमता (Resolving power)** को बढ़ाने के लिए क्या करना आवश्यक है?
Q25. The resolving power of an astronomical telescope can be increased by:
सही उत्तर: A) अभिदृश्यक लेंस का व्यास बढ़ाकर (increasing diameter of objective)
Correct Answer: A) Increasing the aperture diameter of the objective lens
स्पष्टीकरण: दूरदर्शी की विभेदन क्षमता (Resolving Power) का सूत्र:
Resolving Power = D / 1.22λ
जहाँ D अभिदृश्यक लेंस (objective) का व्यास (aperture) है तथा λ प्रकाश का तरंगदैर्घ्य है।
– अतः विभेदन क्षमता बढ़ाने के लिए अभिदृश्यक लेंस का व्यास (D) अधिक होना चाहिए। (यही कारण है कि खगोलीय दूरदर्शियों में बड़े आकार के लेंस या दर्पण प्रयुक्त किए जाते हैं)।
Resolving Power = D / 1.22λ
जहाँ D अभिदृश्यक लेंस (objective) का व्यास (aperture) है तथा λ प्रकाश का तरंगदैर्घ्य है।
– अतः विभेदन क्षमता बढ़ाने के लिए अभिदृश्यक लेंस का व्यास (D) अधिक होना चाहिए। (यही कारण है कि खगोलीय दूरदर्शियों में बड़े आकार के लेंस या दर्पण प्रयुक्त किए जाते हैं)।
Explanation: The resolving power of an astronomical telescope is:
R.P. = D / (1.22 λ), where D is the aperture diameter of the objective lens.
– Thus, the resolving power can be increased by **increasing the diameter (aperture) of the objective lens** or by using light of shorter wavelengths.
R.P. = D / (1.22 λ), where D is the aperture diameter of the objective lens.
– Thus, the resolving power can be increased by **increasing the diameter (aperture) of the objective lens** or by using light of shorter wavelengths.