प्रश्न 1. एक नियत आयतन (constant volume) वाले बंद पात्र में रखी आदर्श गैस का तापमान बढ़ाया जाता है। गे-लुसाक के नियम (Gay-Lussac’s Law) के अनुसार, गैस का दाब (P) तापमान (T) के साथ किस प्रकार बदलता है?
Q1. For a given mass of an ideal gas kept in a container of constant volume, according to Gay-Lussac’s Law, the pressure (P) of the gas varies with absolute temperature (T) as:
सही उत्तर: A) P ∝ T
Correct Answer: A) P ∝ T
स्पष्टीकरण:
आदर्श गैस समीकरण से: P V = n R T
– यदि आयतन नियत है (V = constant), तो:
– P = (n R / V) × T ⇒ P ∝ T।
अर्थात् स्थिर आयतन पर गैस का दाब उसके परम ताप (absolute temperature) के अनुक्रमानुपाती होता है।
आदर्श गैस समीकरण से: P V = n R T
– यदि आयतन नियत है (V = constant), तो:
– P = (n R / V) × T ⇒ P ∝ T।
अर्थात् स्थिर आयतन पर गैस का दाब उसके परम ताप (absolute temperature) के अनुक्रमानुपाती होता है।
Explanation:
From the ideal gas equation: P V = n R T.
– If the volume V is kept constant:
– P = (n R / V) × T ⇒ P ∝ T.
This states that the pressure of a gas is directly proportional to its absolute temperature at constant volume.
From the ideal gas equation: P V = n R T.
– If the volume V is kept constant:
– P = (n R / V) × T ⇒ P ∝ T.
This states that the pressure of a gas is directly proportional to its absolute temperature at constant volume.
प्रश्न 2. परम ताप T पर अनुभार (molecular weight) M वाली आदर्श गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल (root mean square speed, v_rms) का सही सूत्र क्या है?
Q2. The root mean square (RMS) speed (v_rms) of the molecules of an ideal gas of molecular weight M at absolute temperature T is:
सही उत्तर: A) √(3RT / M)
Correct Answer: A) √(3RT / M)
स्पष्टीकरण:
मैक्सवेल के वेग वितरण नियम के अनुसार, गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल निम्न प्रकार दी जाती है:
v_rms = √(3RT / M) = √(3 k_B T / m)।
– (यहाँ R सार्वत्रिक गैस नियतांक, k_B बोल्ट्जमैन नियतांक और m एक अणु का द्रव्यमान है)।
मैक्सवेल के वेग वितरण नियम के अनुसार, गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल निम्न प्रकार दी जाती है:
v_rms = √(3RT / M) = √(3 k_B T / m)।
– (यहाँ R सार्वत्रिक गैस नियतांक, k_B बोल्ट्जमैन नियतांक और m एक अणु का द्रव्यमान है)।
Explanation:
According to the kinetic theory of gases, the root mean square (RMS) speed of gas molecules is:
v_rms = √(3RT / M) = √(3 k_B T / m).
(where R is the universal gas constant, k_B is Boltzmann’s constant, and m is the mass of a single molecule).
According to the kinetic theory of gases, the root mean square (RMS) speed of gas molecules is:
v_rms = √(3RT / M) = √(3 k_B T / m).
(where R is the universal gas constant, k_B is Boltzmann’s constant, and m is the mass of a single molecule).
प्रश्न 3. उसी गैस के अणुओं की औसत चाल (average speed, v_avg) का सही गणितीय सूत्र क्या होगा?
Q3. The average speed (v_avg) of the molecules of an ideal gas of molecular weight M at absolute temperature T is:
सही उत्तर: B) √(8RT / πM)
Correct Answer: B) √(8RT / πM)
स्पष्टीकरण:
गैस के अणुओं के सभी संभावित वेगों के परिमाण के औसत मान को औसत चाल कहते हैं, जिसका सूत्र है:
v_avg = √(8RT / πM) = √(8 k_B T / πm)।
गैस के अणुओं के सभी संभावित वेगों के परिमाण के औसत मान को औसत चाल कहते हैं, जिसका सूत्र है:
v_avg = √(8RT / πM) = √(8 k_B T / πm)।
Explanation:
The average speed of gas molecules represents the arithmetic mean of the speeds of all molecules at a given temperature:
v_avg = √(8RT / πM) = √(8 k_B T / πm).
The average speed of gas molecules represents the arithmetic mean of the speeds of all molecules at a given temperature:
v_avg = √(8RT / πM) = √(8 k_B T / πm).
प्रश्न 4. उसी गैस के अणुओं की अति संभाव्य चाल (most probable speed, v_mp) का सही सूत्र क्या होगा?
Q4. The most probable speed (v_mp) of the molecules of an ideal gas of molecular weight M at absolute temperature T is:
सही उत्तर: C) √(2RT / M)
Correct Answer: C) √(2RT / M)
स्पष्टीकरण:
अति संभाव्य चाल (most probable speed) वह चाल होती है जो निकाय के अधिकतम संख्या वाले अणुओं द्वारा ग्रहण की जाती है।
– मैक्सवेल वेग वितरण वक्र (Maxwell-Boltzmann distribution curve) के शिखर पर स्थित वेग का मान:
v_mp = √(2RT / M) = √(2 k_B T / m)।
अति संभाव्य चाल (most probable speed) वह चाल होती है जो निकाय के अधिकतम संख्या वाले अणुओं द्वारा ग्रहण की जाती है।
– मैक्सवेल वेग वितरण वक्र (Maxwell-Boltzmann distribution curve) के शिखर पर स्थित वेग का मान:
v_mp = √(2RT / M) = √(2 k_B T / m)।
Explanation:
The most probable speed is the speed possessed by the maximum fraction of total gas molecules. It corresponds to the peak of the Maxwell-Boltzmann speed distribution curve:
v_mp = √(2RT / M) = √(2 k_B T / m).
The most probable speed is the speed possessed by the maximum fraction of total gas molecules. It corresponds to the peak of the Maxwell-Boltzmann speed distribution curve:
v_mp = √(2RT / M) = √(2 k_B T / m).
प्रश्न 5. किसी गैस के अणुओं के लिए तीनों प्रारूपिक चालों का सही अनुपात v_mp : v_avg : v_rms क्या होगा?
Q5. The correct ratio of the three characteristic speeds of gas molecules v_mp : v_avg : v_rms is:
सही उत्तर: A) 1 : 1.128 : 1.224
Correct Answer: A) 1 : 1.128 : 1.224
स्पष्टीकरण:
तीनों चालों के सूत्रों की तुलना करने पर:
– v_mp : v_avg : v_rms = √(2RT/M) : √(8RT/πM) : √(3RT/M)
– v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3
– v_mp : v_avg : v_rms ≈ 1.414 : 1.596 : 1.732
– इसे सरल करने पर (1 के सापेक्ष): **1 : 1.128 : 1.224**।
(स्पष्ट है कि किसी गैस के लिए सदैव v_rms > v_avg > v_mp होता है)।
तीनों चालों के सूत्रों की तुलना करने पर:
– v_mp : v_avg : v_rms = √(2RT/M) : √(8RT/πM) : √(3RT/M)
– v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3
– v_mp : v_avg : v_rms ≈ 1.414 : 1.596 : 1.732
– इसे सरल करने पर (1 के सापेक्ष): **1 : 1.128 : 1.224**।
(स्पष्ट है कि किसी गैस के लिए सदैव v_rms > v_avg > v_mp होता है)।
Explanation:
Comparing the three speeds:
– v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3.
– Numerical values: 1.414 : 1.596 : 1.732.
– Normalizing with respect to v_mp: **1 : 1.128 : 1.224**.
(This confirms that for any gas, the order is always: v_rms > v_avg > v_mp).
Comparing the three speeds:
– v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3.
– Numerical values: 1.414 : 1.596 : 1.732.
– Normalizing with respect to v_mp: **1 : 1.128 : 1.224**.
(This confirms that for any gas, the order is always: v_rms > v_avg > v_mp).
प्रश्न 6. परम ताप T पर किसी आदर्श गैस के **एक एकल अणु (single molecule)** की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा (average translational kinetic energy) का मान कितना होता है?
Q6. At absolute temperature T, the average translational kinetic energy of a **single molecule** of an ideal gas is:
सही उत्तर: B) 3/2 k_B T
Correct Answer: B) 3/2 k_B T
स्पष्टीकरण:
– प्रति मोल (per mole) औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का मान: E_mole = 3/2 R T
– प्रति अणु (per molecule) औसत ऊर्जा निकालने के लिए ऐवोगाद्रो संख्या (N_A) से भाग दिया जाता है:
– E_molecule = (3/2 R T) / N_A = 3/2 (R / N_A) T = 3/2 k_B T।
(जहाँ k_B = R / N_A बोल्ट्जमैन नियतांक है)।
– प्रति मोल (per mole) औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का मान: E_mole = 3/2 R T
– प्रति अणु (per molecule) औसत ऊर्जा निकालने के लिए ऐवोगाद्रो संख्या (N_A) से भाग दिया जाता है:
– E_molecule = (3/2 R T) / N_A = 3/2 (R / N_A) T = 3/2 k_B T।
(जहाँ k_B = R / N_A बोल्ट्जमैन नियतांक है)।
Explanation:
– The average translational kinetic energy per mole of an ideal gas is: E_mole = 3/2 R T.
– To find the kinetic energy of a single molecule, we divide by Avogadro’s number (N_A):
– E_molecule = (3/2 R T) / N_A = 3/2 k_B T (where k_B = R / N_A is Boltzmann’s constant).
– The average translational kinetic energy per mole of an ideal gas is: E_mole = 3/2 R T.
– To find the kinetic energy of a single molecule, we divide by Avogadro’s number (N_A):
– E_molecule = (3/2 R T) / N_A = 3/2 k_B T (where k_B = R / N_A is Boltzmann’s constant).
प्रश्न 7. परम ताप T पर किसी आदर्श गैस के **एक मोल (1 mole)** की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का मान कितना होगा?
Q7. At absolute temperature T, the average translational kinetic energy of **one mole** of an ideal gas is:
सही उत्तर: A) 3/2 R T
Correct Answer: A) 3/2 R T
स्पष्टीकरण:
आदर्श गैस के एक मोल (1 mole) में N_A अणु होते हैं।
– अतः एक मोल की कुल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा: E = N_A × (3/2 k_B T) = 3/2 (N_A k_B) T = 3/2 R T।
– यह मान केवल तापमान पर निर्भर करता है और गैस की प्रकृति या उसके अणुभार पर निर्भर नहीं करता।
आदर्श गैस के एक मोल (1 mole) में N_A अणु होते हैं।
– अतः एक मोल की कुल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा: E = N_A × (3/2 k_B T) = 3/2 (N_A k_B) T = 3/2 R T।
– यह मान केवल तापमान पर निर्भर करता है और गैस की प्रकृति या उसके अणुभार पर निर्भर नहीं करता।
Explanation:
One mole of an ideal gas contains Avogadro’s number (N_A) of molecules.
– The total translational kinetic energy of one mole is: E = N_A × (3/2 k_B T) = 3/2 R T (since R = N_A k_B).
– Note that this energy is identical for all ideal gases at the same temperature, regardless of their molecular weights.
One mole of an ideal gas contains Avogadro’s number (N_A) of molecules.
– The total translational kinetic energy of one mole is: E = N_A × (3/2 k_B T) = 3/2 R T (since R = N_A k_B).
– Note that this energy is identical for all ideal gases at the same temperature, regardless of their molecular weights.
प्रश्न 8. यदि किसी गैस का परम तापमान **दोगुना (doubled)** कर दिया जाए और उसके अणुओं का अणुभार **आधा (halved)** कर दिया जाए, तो उसके अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल (v_rms) मूल मान की कितनी गुनी हो जाएगी?
Q8. If the absolute temperature of a gas is **doubled** and its molecular weight is **halved**, the root mean square (RMS) speed of its molecules becomes:
सही उत्तर: A) दोगुना (Two times)
Correct Answer: A) Two times
स्पष्टीकरण:
– वर्ग माध्य मूल चाल का मूल संबंध: v_rms ∝ √(T / M)
– नई परिस्थितियों के अनुसार: T’ = 2T और M’ = M / 2
– नया कोणीय वेग: v_rms’ ∝ √(T’ / M’) = √[ (2T) / (M/2) ] = √(4 T / M) = 2 √(T / M) = 2 v_rms।
– अतः चाल **दोगुनी** हो जाएगी।
– वर्ग माध्य मूल चाल का मूल संबंध: v_rms ∝ √(T / M)
– नई परिस्थितियों के अनुसार: T’ = 2T और M’ = M / 2
– नया कोणीय वेग: v_rms’ ∝ √(T’ / M’) = √[ (2T) / (M/2) ] = √(4 T / M) = 2 √(T / M) = 2 v_rms।
– अतः चाल **दोगुनी** हो जाएगी।
Explanation:
– We know that: v_rms ∝ √(T / M).
– Given new conditions: T’ = 2T and M’ = M / 2.
– New RMS speed: v_rms’ ∝ √(T’ / M’) = √[ 2T / (M/2) ] = √(4 T/M) = 2 √(T/M) = 2 v_rms.
– The speed becomes **two times** its original value.
– We know that: v_rms ∝ √(T / M).
– Given new conditions: T’ = 2T and M’ = M / 2.
– New RMS speed: v_rms’ ∝ √(T’ / M’) = √[ 2T / (M/2) ] = √(4 T/M) = 2 √(T/M) = 2 v_rms.
– The speed becomes **two times** its original value.
प्रश्न 9. गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, एक बंद पात्र में भरी आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर आरोपित दाब (P) का सही सूत्र क्या है? (जहाँ ρ गैस का घनत्व है)
Q9. According to the kinetic theory of gases, the pressure (P) exerted by an ideal gas of density ρ on the walls of its container is:
सही उत्तर: B) P = 1/3 ρ v_rms²
Correct Answer: B) P = 1/3 ρ v_rms²
स्पष्टीकरण:
पात्र की दीवारों से गैस अणुओं के प्रत्यास्थ टकरावों (elastic collisions) के विश्लेषण से दाब का मूलभूत सूत्र प्राप्त होता है:
P = 1/3 × (N m / V) × v_rms² = 1/3 ρ v_rms²।
(जहाँ ρ = Nm/V = total mass / volume गैस का घनत्व है)।
पात्र की दीवारों से गैस अणुओं के प्रत्यास्थ टकरावों (elastic collisions) के विश्लेषण से दाब का मूलभूत सूत्र प्राप्त होता है:
P = 1/3 × (N m / V) × v_rms² = 1/3 ρ v_rms²।
(जहाँ ρ = Nm/V = total mass / volume गैस का घनत्व है)।
Explanation:
By analyzing elastic collisions of gas molecules with the walls of the container, the pressure expression is derived as:
P = 1/3 × (N m / V) × v_rms² = 1/3 ρ v_rms² (where ρ = N m / V is the mass density of the gas).
By analyzing elastic collisions of gas molecules with the walls of the container, the pressure expression is derived as:
P = 1/3 × (N m / V) × v_rms² = 1/3 ρ v_rms² (where ρ = N m / V is the mass density of the gas).
प्रश्न 10. एक वास्तविक गैस (real gas) का व्यवहार किस परिस्थिति में आदर्श गैस (ideal gas) के सर्वथा निकटतम होता है?
Q10. A real gas behaves closest to an ideal gas under the conditions of:
सही उत्तर: B) निम्न दाब और उच्च तापमान (Low pressure, high temperature)
Correct Answer: B) Low pressure, high temperature
स्पष्टीकरण:
वास्तविक गैसें वांडर वाल्स समीकरण (Van der Waals equation) का पालन करती हैं। आदर्श व्यवहार के लिए:
– **निम्न दाब (Low pressure)** होने पर गैस का आयतन बहुत अधिक होता है, जिससे अणुओं का अपना आयतन पूरे पात्र के आयतन की तुलना में नगण्य हो जाता है।
– **उच्च तापमान (High temperature)** होने पर अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है, जिससे उनके बीच का अंतरा-अणुक आकर्षण बल नगण्य हो जाता है।
अतः इन परिस्थितियों में वास्तविक गैस आदर्श गैस की भाँति व्यवहार करती है।
वास्तविक गैसें वांडर वाल्स समीकरण (Van der Waals equation) का पालन करती हैं। आदर्श व्यवहार के लिए:
– **निम्न दाब (Low pressure)** होने पर गैस का आयतन बहुत अधिक होता है, जिससे अणुओं का अपना आयतन पूरे पात्र के आयतन की तुलना में नगण्य हो जाता है।
– **उच्च तापमान (High temperature)** होने पर अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है, जिससे उनके बीच का अंतरा-अणुक आकर्षण बल नगण्य हो जाता है।
अतः इन परिस्थितियों में वास्तविक गैस आदर्श गैस की भाँति व्यवहार करती है।
Explanation:
Real gases approximate ideal gas behavior when:
– **Low pressure**: The volume of the gas is very large, making the finite volume of the gas molecules negligible compared to the container’s volume.
– **High temperature**: The kinetic energy of the molecules is extremely high, overcoming any weak intermolecular attractive forces (Van der Waals forces). Thus, they behave ideally under **low pressure and high temperature**.
Real gases approximate ideal gas behavior when:
– **Low pressure**: The volume of the gas is very large, making the finite volume of the gas molecules negligible compared to the container’s volume.
– **High temperature**: The kinetic energy of the molecules is extremely high, overcoming any weak intermolecular attractive forces (Van der Waals forces). Thus, they behave ideally under **low pressure and high temperature**.
प्रश्न 11. ऊर्जा के समविभाजन नियम (Law of Equipartition of Energy) के अनुसार, परम ताप T पर किसी गैस के अणु की **प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि (each degree of freedom)** से संबद्ध औसत ऊर्जा कितनी होती है?
Q11. According to the Law of Equipartition of Energy, the average energy associated with **each degree of freedom** of a gas molecule at absolute temperature T is:
सही उत्तर: A) 1/2 k_B T
Correct Answer: A) 1/2 k_B T
स्पष्टीकरण:
ऊर्जा के समविभाजन के नियमानुसार, तापीय साम्यावस्था में किसी भी गतिक निकाय की कुल ऊर्जा उसकी सभी स्वतंत्रताओं की कोटियों (degrees of freedom) में समान रूप से वितरित होती है।
– प्रत्येक एक स्वतंत्रता की कोटि से संबद्ध औसत ऊर्जा का मान हमेशा **1/2 k_B T** होता है।
– यदि किसी अणु की स्वतंत्रता की कोटि f है, तो उसकी कुल औसत ऊर्जा f/2 k_B T होगी।
ऊर्जा के समविभाजन के नियमानुसार, तापीय साम्यावस्था में किसी भी गतिक निकाय की कुल ऊर्जा उसकी सभी स्वतंत्रताओं की कोटियों (degrees of freedom) में समान रूप से वितरित होती है।
– प्रत्येक एक स्वतंत्रता की कोटि से संबद्ध औसत ऊर्जा का मान हमेशा **1/2 k_B T** होता है।
– यदि किसी अणु की स्वतंत्रता की कोटि f है, तो उसकी कुल औसत ऊर्जा f/2 k_B T होगी।
Explanation:
The Law of Equipartition of Energy states that for any dynamic system in thermal equilibrium, the total energy is distributed equally among all degrees of freedom.
– The average energy associated with **each individual degree of freedom** is: 1/2 k_B T.
– For a molecule with f degrees of freedom, its total average kinetic energy is f/2 k_B T.
The Law of Equipartition of Energy states that for any dynamic system in thermal equilibrium, the total energy is distributed equally among all degrees of freedom.
– The average energy associated with **each individual degree of freedom** is: 1/2 k_B T.
– For a molecule with f degrees of freedom, its total average kinetic energy is f/2 k_B T.
प्रश्न 12. डाल्टन के आंशिक दाब के नियम (Dalton’s Law of Partial Pressures) के अनुसार, एक गैर-क्रियाशील (non-reacting) गैसों के मिश्रण का कुल दाब (P) उनके आंशिक दाबों के संदर्भ में क्या होता है?
Q12. According to Dalton’s Law of Partial Pressures, the total pressure (P) exerted by a mixture of non-reacting ideal gases is:
सही उत्तर: A) P = P₁ + P₂ + P₃ + …
Correct Answer: A) P = P₁ + P₂ + P₃ + …
स्पष्टीकरण:
डाल्टन के नियमानुसार, यदि कई गैर-क्रियाशील गैसें एक ही पात्र में भरी जाएँ, तो मिश्रण का कुल दाब प्रत्येक गैस द्वारा अकेले उसी आयतन में लगाए जाने वाले आंशिक दाबों (partial pressures) के योगफल के बराबर होता है:
P = P₁ + P₂ + P₃ + …।
डाल्टन के नियमानुसार, यदि कई गैर-क्रियाशील गैसें एक ही पात्र में भरी जाएँ, तो मिश्रण का कुल दाब प्रत्येक गैस द्वारा अकेले उसी आयतन में लगाए जाने वाले आंशिक दाबों (partial pressures) के योगफल के बराबर होता है:
P = P₁ + P₂ + P₃ + …।
Explanation:
Dalton’s Law states that the total pressure exerted by a mixture of non-reacting gases is equal to the sum of the partial pressures that each gas would exert if it occupied the container alone:
P = P₁ + P₂ + P₃ + ….
Dalton’s Law states that the total pressure exerted by a mixture of non-reacting gases is equal to the sum of the partial pressures that each gas would exert if it occupied the container alone:
P = P₁ + P₂ + P₃ + ….
प्रश्न 13. गैस नियतांक (R), ऐवोगाद्रो संख्या (N_A) और बोल्ट्जमैन नियतांक (k_B) के बीच सही मूलभूत संबंध क्या है?
Q13. The correct fundamental relationship connecting the universal gas constant (R), Avogadro’s number (N_A), and Boltzmann’s constant (k_B) is:
सही उत्तर: B) R = k_B × N_A
Correct Answer: B) R = k_B × N_A
स्पष्टीकरण:
बोल्ट्जमैन नियतांक (k_B) वास्तव में प्रति अणु गैस नियतांक होता है।
– k_B = R / N_A
– समीकरण को व्यवस्थित करने पर: R = k_B × N_A।
बोल्ट्जमैन नियतांक (k_B) वास्तव में प्रति अणु गैस नियतांक होता है।
– k_B = R / N_A
– समीकरण को व्यवस्थित करने पर: R = k_B × N_A।
Explanation:
Boltzmann’s constant (k_B) is defined as the gas constant per molecule:
– k_B = R / N_A.
– Rearranging this gives: R = k_B × N_A.
Boltzmann’s constant (k_B) is defined as the gas constant per molecule:
– k_B = R / N_A.
– Rearranging this gives: R = k_B × N_A.
प्रश्न 14. एकपरमाणुक आदर्श गैस (monoatomic gas) के लिए विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात (γ = C_p / C_v) का सही मान कितना होता है?
Q14. The ratio of specific heats (γ = C_p / C_v) for a monoatomic ideal gas is:
सही उत्तर: A) 1.67 (या 5/3)
Correct Answer: A) 1.67 (or 5/3)
स्पष्टीकरण:
– एकपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि: f = 3
– C_v = f/2 R = 3/2 R
– C_p = C_v + R = 5/2 R
– γ = C_p / C_v = (5/2 R) / (3/2 R) = 5/3 ≈ 1.67।
– एकपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि: f = 3
– C_v = f/2 R = 3/2 R
– C_p = C_v + R = 5/2 R
– γ = C_p / C_v = (5/2 R) / (3/2 R) = 5/3 ≈ 1.67।
Explanation:
– For a monoatomic gas, degrees of freedom: f = 3.
– C_v = 3/2 R and C_p = C_v + R = 5/2 R.
– γ = C_p / C_v = (5/2 R) / (3/2 R) = 5/3 ≈ 1.67.
– For a monoatomic gas, degrees of freedom: f = 3.
– C_v = 3/2 R and C_p = C_v + R = 5/2 R.
– γ = C_p / C_v = (5/2 R) / (3/2 R) = 5/3 ≈ 1.67.
प्रश्न 15. कंपन गतियों के बिना (without vibrational modes) एक द्विपरमाणुक गैस (diatomic gas, जैसे H₂ या O₂) के लिए विशिष्ट ऊष्मा अनुपात (γ) का सही मान क्या है?
Q15. Neglecting vibrational modes, the ratio of specific heats (γ = C_p / C_v) for a diatomic ideal gas is:
सही उत्तर: B) 1.40 (या 7/5)
Correct Answer: B) 1.40 (or 7/5)
स्पष्टीकरण:
– सामान्य तापमान पर द्विपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि: f = 5
– C_v = 5/2 R
– C_p = C_v + R = 7/2 R
– γ = C_p / C_v = (7/2 R) / (5/2 R) = 7/5 = 1.40।
– सामान्य तापमान पर द्विपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि: f = 5
– C_v = 5/2 R
– C_p = C_v + R = 7/2 R
– γ = C_p / C_v = (7/2 R) / (5/2 R) = 7/5 = 1.40।
Explanation:
– For a diatomic gas (no vibration), degrees of freedom: f = 5.
– C_v = 5/2 R and C_p = 7/2 R.
– γ = C_p / C_v = (7/2 R) / (5/2 R) = 7/5 = 1.40.
– For a diatomic gas (no vibration), degrees of freedom: f = 5.
– C_v = 5/2 R and C_p = 7/2 R.
– γ = C_p / C_v = (7/2 R) / (5/2 R) = 7/5 = 1.40.
प्रश्न 16. एक बहुपरमाणुक गैस (polyatomic gas, जिसमें 6 स्वतंत्रता की कोटियाँ हैं) के लिए विशिष्ट ऊष्मा अनुपात (γ) का सही मान क्या होगा?
Q16. For a polyatomic ideal gas with 6 degrees of freedom, the ratio of specific heats (γ = C_p / C_v) is:
सही उत्तर: C) 1.33 (या 4/3)
Correct Answer: C) 1.33 (or 4/3)
स्पष्टीकरण:
– दी गई स्वतंत्रता की कोटि: f = 6
– C_v = f/2 R = 6/2 R = 3R
– C_p = C_v + R = 4R
– γ = C_p / C_v = 4R / 3R = 4/3 ≈ 1.33।
– दी गई स्वतंत्रता की कोटि: f = 6
– C_v = f/2 R = 6/2 R = 3R
– C_p = C_v + R = 4R
– γ = C_p / C_v = 4R / 3R = 4/3 ≈ 1.33।
Explanation:
– Given degrees of freedom: f = 6.
– C_v = 6/2 R = 3R and C_p = 3R + R = 4R.
– γ = C_p / C_v = 4R / 3R = 4/3 ≈ 1.33.
– Given degrees of freedom: f = 6.
– C_v = 6/2 R = 3R and C_p = 3R + R = 4R.
– γ = C_p / C_v = 4R / 3R = 4/3 ≈ 1.33.
प्रश्न 17. परम ताप T पर N अणुओं वाली एक द्विपरमाणुक आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा (total internal energy, U) कितनी होगी?
Q17. At absolute temperature T, the total internal energy (U) of a diatomic ideal gas containing N molecules is:
सही उत्तर: B) 5/2 N k_B T
Correct Answer: B) 5/2 N k_B T
स्पष्टीकरण:
– द्विपरमाणुक गैस के एक अणु की कुल औसत ऊर्जा (स्वतंत्रता की कोटि f = 5 के लिए): E_molecule = 5/2 k_B T
– अतः N अणुओं की कुल आंतरिक ऊर्जा: U = N × E_molecule = 5/2 N k_B T।
– (यदि प्रश्न प्रति मोल पूछता, तो मान 5/2 R T होता)।
– द्विपरमाणुक गैस के एक अणु की कुल औसत ऊर्जा (स्वतंत्रता की कोटि f = 5 के लिए): E_molecule = 5/2 k_B T
– अतः N अणुओं की कुल आंतरिक ऊर्जा: U = N × E_molecule = 5/2 N k_B T।
– (यदि प्रश्न प्रति मोल पूछता, तो मान 5/2 R T होता)।
Explanation:
– The average kinetic energy of a single diatomic molecule (having 5 degrees of freedom) is: E = 5/2 k_B T.
– For N molecules, the total internal energy is: U = N × E = 5/2 N k_B T.
– The average kinetic energy of a single diatomic molecule (having 5 degrees of freedom) is: E = 5/2 k_B T.
– For N molecules, the total internal energy is: U = N × E = 5/2 N k_B T.
प्रश्न 18. किसी गैस के अणुओं का औसत मुक्त पथ (mean free path, λ) अणुओं के प्रभावी व्यास (d) पर किस प्रकार निर्भर करता है?
Q18. The mean free path (λ) of gas molecules depends on the molecular diameter (d) as:
सही उत्तर: D) λ ∝ 1 / d²
Correct Answer: D) ∝ 1 / d²
स्पष्टीकरण:
औसत मुक्त पथ का विमीय सूत्र: λ = 1 / (√2 π n d²)
चूँकि संख्या घनत्व n नियत है, तो औसत मुक्त पथ अणुओं के आकार (व्यास) के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: λ ∝ 1 / d²।
– अर्थात् अणु जितने बड़े होंगे, उनके टकराने की संभावना उतनी अधिक होगी और वे टकराने से पहले कम दूरी तय कर पाएँगे।
औसत मुक्त पथ का विमीय सूत्र: λ = 1 / (√2 π n d²)
चूँकि संख्या घनत्व n नियत है, तो औसत मुक्त पथ अणुओं के आकार (व्यास) के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: λ ∝ 1 / d²।
– अर्थात् अणु जितने बड़े होंगे, उनके टकराने की संभावना उतनी अधिक होगी और वे टकराने से पहले कम दूरी तय कर पाएँगे।
Explanation:
The formula for the mean free path is: λ = 1 / (√2 π n d²).
– Holding the number density n constant, the mean free path is inversely proportional to the square of the molecular diameter: λ ∝ 1 / d².
The formula for the mean free path is: λ = 1 / (√2 π n d²).
– Holding the number density n constant, the mean free path is inversely proportional to the square of the molecular diameter: λ ∝ 1 / d².
प्रश्न 19. समान तापमान पर हाइड्रोजन (H₂, अणुभार = 2) और ऑक्सीजन (O₂, अणुभार = 32) गैसों के अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा (average translational kinetic energy) का अनुपात क्या होगा?
Q19. At the same temperature, the ratio of the average translational kinetic energy of hydrogen molecules (H₂, MW = 2) to that of oxygen molecules (O₂, MW = 32) is:
सही उत्तर: C) 1 : 1
Correct Answer: C) 1 : 1
स्पष्टीकरण:
अणुगति सिद्धांत के अनुसार, किसी भी आदर्श गैस के प्रति अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का मान केवल तापमान पर निर्भर करता है: E = 3/2 k_B T।
– चूँकि दोनों गैसें समान तापमान पर हैं, इसलिए उनके अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा बिल्कुल समान होगी, जो गैस के अणुभार पर निर्भर नहीं करती। अतः अनुपात **1 : 1** होगा।
अणुगति सिद्धांत के अनुसार, किसी भी आदर्श गैस के प्रति अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का मान केवल तापमान पर निर्भर करता है: E = 3/2 k_B T।
– चूँकि दोनों गैसें समान तापमान पर हैं, इसलिए उनके अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा बिल्कुल समान होगी, जो गैस के अणुभार पर निर्भर नहीं करती। अतः अनुपात **1 : 1** होगा।
Explanation:
According to the kinetic theory of gases, the average translational kinetic energy of a gas molecule depends solely on the absolute temperature: E = 3/2 k_B T.
– Since both gases are at the same temperature, their average translational kinetic energies are equal and independent of their molecular masses. Thus, the ratio is **1 : 1**.
According to the kinetic theory of gases, the average translational kinetic energy of a gas molecule depends solely on the absolute temperature: E = 3/2 k_B T.
– Since both gases are at the same temperature, their average translational kinetic energies are equal and independent of their molecular masses. Thus, the ratio is **1 : 1**.
प्रश्न 20. एक बंद पात्र में समान द्रव्यमान (equal masses) की हाइड्रोजन (H₂) और ऑक्सीजन (O₂) गैसें भरी हैं। इनके आंशिक दाबों (partial pressures) का अनुपात P_H2 : P_O2 क्या होगा?
Q20. A vessel contains equal masses of hydrogen (H₂, MW = 2) and oxygen (O₂, MW = 32) gases. The ratio of their partial pressures is:
सही उत्तर: B) 16 : 1
Correct Answer: B) 16 : 1
स्पष्टीकरण:
– आंशिक दाब का अनुपात मोलो की संख्या के अनुपात के बराबर होता है: P_H2 / P_O2 = n_H2 / n_O2
– माना दोनों का द्रव्यमान m है:
– हाइड्रोजन के मोल: n_H2 = m / 2
– ऑक्सीजन के मोल: n_O2 = m / 32
– आंशिक दाब अनुपात: P_H2 / P_O2 = (m / 2) / (m / 32) = 32 / 2 = 16 / 1 = 16 : 1।
– आंशिक दाब का अनुपात मोलो की संख्या के अनुपात के बराबर होता है: P_H2 / P_O2 = n_H2 / n_O2
– माना दोनों का द्रव्यमान m है:
– हाइड्रोजन के मोल: n_H2 = m / 2
– ऑक्सीजन के मोल: n_O2 = m / 32
– आंशिक दाब अनुपात: P_H2 / P_O2 = (m / 2) / (m / 32) = 32 / 2 = 16 / 1 = 16 : 1।
Explanation:
– The ratio of partial pressures is equal to the ratio of the number of moles of the gases: P_H2 / P_O2 = n_H2 / n_O2.
– Let the mass of both gases be m:
– Moles of hydrogen: n_H2 = m / 2.
– Moles of oxygen: n_O2 = m / 32.
– Ratio of pressures: P_H2 / P_O2 = (m / 2) / (m / 32) = 16 : 1.
– The ratio of partial pressures is equal to the ratio of the number of moles of the gases: P_H2 / P_O2 = n_H2 / n_O2.
– Let the mass of both gases be m:
– Moles of hydrogen: n_H2 = m / 2.
– Moles of oxygen: n_O2 = m / 32.
– Ratio of pressures: P_H2 / P_O2 = (m / 2) / (m / 32) = 16 : 1.
प्रश्न 21. विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात (γ = C_p / C_v) का स्वतंत्रता की कोटि (f) के साथ सही संबंध क्या है?
Q21. The ratio of specific heats (γ) is related to the degrees of freedom (f) of a gas molecule by:
सही उत्तर: A) γ = 1 + 2 / f
Correct Answer: A) γ = 1 + 2 / f
स्पष्टीकरण:
– हम जानते हैं कि: C_v = f/2 R
– मेयर के संबंध से: C_p = C_v + R = (f/2 + 1) R
– विशिष्ट ऊष्मा अनुपात: γ = C_p / C_v = [ (f/2 + 1) R ] / [ (f/2) R ] = (f/2 + 1) / (f/2) = 1 + 2/f।
– हम जानते हैं कि: C_v = f/2 R
– मेयर के संबंध से: C_p = C_v + R = (f/2 + 1) R
– विशिष्ट ऊष्मा अनुपात: γ = C_p / C_v = [ (f/2 + 1) R ] / [ (f/2) R ] = (f/2 + 1) / (f/2) = 1 + 2/f।
Explanation:
– Molar specific heats are: C_v = (f / 2) R and C_p = (f / 2 + 1) R.
– Taking the ratio:
– γ = C_p / C_v = (f / 2 + 1) / (f / 2) = 1 + 2/f.
– Molar specific heats are: C_v = (f / 2) R and C_p = (f / 2 + 1) R.
– Taking the ratio:
– γ = C_p / C_v = (f / 2 + 1) / (f / 2) = 1 + 2/f.
प्रश्न 22. 0°C तापमान पर हाइड्रोजन गैस (H₂, अणुभार = 2) के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल v है। इसी तापमान पर ऑक्सीजन गैस (O₂, अणुभार = 32) के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल कितनी होगी?
Q22. The RMS speed of hydrogen molecules (H₂, MW = 2) at 0°C is v. The RMS speed of oxygen molecules (O₂, MW = 32) at the same temperature is:
सही उत्तर: B) v / 4
Correct Answer: B) v / 4
स्पष्टीकरण:
समान तापमान पर वर्ग माध्य मूल चाल अणुभार के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
v_rms ∝ 1 / √M
– v_O2 / v_H2 = √(M_H2 / M_O2) = √(2 / 32) = √(1 / 16) = 1 / 4
– v_O2 = v / 4।
समान तापमान पर वर्ग माध्य मूल चाल अणुभार के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
v_rms ∝ 1 / √M
– v_O2 / v_H2 = √(M_H2 / M_O2) = √(2 / 32) = √(1 / 16) = 1 / 4
– v_O2 = v / 4।
Explanation:
At a constant temperature, the RMS speed of gas molecules is inversely proportional to the square root of their molecular masses:
v_rms ∝ 1 / √M.
– v_O2 / v_H2 = √(M_H2 / M_O2) = √(2 / 32) = 1 / 4.
– v_O2 = v / 4.
At a constant temperature, the RMS speed of gas molecules is inversely proportional to the square root of their molecular masses:
v_rms ∝ 1 / √M.
– v_O2 / v_H2 = √(M_H2 / M_O2) = √(2 / 32) = 1 / 4.
– v_O2 = v / 4.
प्रश्न 23. मानक ताप और दाब (STP) पर किसी भी आदर्श गैस के **एक मोल (1 mole)** द्वारा घेरा गया आयतन कितना होता है?
Q23. At Standard Temperature and Pressure (STP), the volume occupied by **one mole** of any ideal gas is:
सही उत्तर: B) 22.4 litres
Correct Answer: B) 22.4 litres
स्पष्टीकरण:
ऐवोगाद्रो की परिकल्पना (Avogadro’s Hypothesis) के अनुसार, समान तापमान और दाब की परिस्थितियों में सभी आदर्श गैसों के समान मोल समान आयतन घेरते हैं।
– मानक ताप (273.15 K) और दाब (1 atm) पर 1 मोल गैस का आयतन हमेशा **22.4 लीटर** (अर्थात् 22.4 × 10⁻³ m³) होता है।
ऐवोगाद्रो की परिकल्पना (Avogadro’s Hypothesis) के अनुसार, समान तापमान और दाब की परिस्थितियों में सभी आदर्श गैसों के समान मोल समान आयतन घेरते हैं।
– मानक ताप (273.15 K) और दाब (1 atm) पर 1 मोल गैस का आयतन हमेशा **22.4 लीटर** (अर्थात् 22.4 × 10⁻³ m³) होता है।
Explanation:
According to Avogadro’s hypothesis, equal volumes of all ideal gases under identical temperature and pressure conditions contain the same number of moles.
– At STP (273.15 K and 1 atm), one mole of any ideal gas occupies exactly **22.4 litres** (or 22.4 × 10⁻³ m³).
According to Avogadro’s hypothesis, equal volumes of all ideal gases under identical temperature and pressure conditions contain the same number of moles.
– At STP (273.15 K and 1 atm), one mole of any ideal gas occupies exactly **22.4 litres** (or 22.4 × 10⁻³ m³).
प्रश्न 24. यदि किसी गैस का दाब समतापीय रूप से (isothermally) दोगुना कर दिया जाए, तो गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल (v_rms) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q24. If the pressure of an ideal gas is doubled isothermally, the RMS speed of its molecules:
सही उत्तर: C) अपरिवर्तित रहेगी (Remains unchanged)
Correct Answer: C) Remains unchanged
स्पष्टीकरण:
– वर्ग माध्य मूल चाल का मूल सूत्र: v_rms = √(3RT / M)
– समतापीय प्रक्रम (isothermal process) की परिभाषा के अनुसार, तापमान T स्थिर रहता है।
– चूंकि वर्ग माध्य मूल चाल केवल तापमान और अणुभार पर निर्भर करती है (और दाब से स्वतंत्र है), इसलिए तापमान नियत रहने के कारण v_rms **अपरिवर्तित** रहेगा।
– (दाब दोगुना करने पर घनत्व भी दोगुना हो जाता है, जिससे अनुपात P / ρ नियत रहता है)।
– वर्ग माध्य मूल चाल का मूल सूत्र: v_rms = √(3RT / M)
– समतापीय प्रक्रम (isothermal process) की परिभाषा के अनुसार, तापमान T स्थिर रहता है।
– चूंकि वर्ग माध्य मूल चाल केवल तापमान और अणुभार पर निर्भर करती है (और दाब से स्वतंत्र है), इसलिए तापमान नियत रहने के कारण v_rms **अपरिवर्तित** रहेगा।
– (दाब दोगुना करने पर घनत्व भी दोगुना हो जाता है, जिससे अनुपात P / ρ नियत रहता है)।
Explanation:
– The RMS speed is defined as: v_rms = √(3RT / M).
– In an isothermal process, the temperature T is held constant.
– Since v_rms depends only on temperature and molecular mass (and is independent of pressure directly), it remains **unchanged**. (When pressure is doubled isothermally, density also doubles, keeping P / ρ constant).
– The RMS speed is defined as: v_rms = √(3RT / M).
– In an isothermal process, the temperature T is held constant.
– Since v_rms depends only on temperature and molecular mass (and is independent of pressure directly), it remains **unchanged**. (When pressure is doubled isothermally, density also doubles, keeping P / ρ constant).
प्रश्न 25. गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, किस तापमान पर गैस के अणुओं की समस्त गतियाँ पूरी तरह से समाप्त (molecular motion stops) हो जाती हैं?
Q25. According to the kinetic theory of gases, the molecular motion of an ideal gas ceases completely at:
सही उत्तर: C) 0 K (परम शून्य ताप / Absolute Zero)
Correct Answer: C) 0 K (Absolute Zero)
स्पष्टीकरण:
– अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल परम ताप के वर्गमूल के अनुक्रमानुपाती होती है: v_rms = √(3k_B T / m)।
– जब तापमान परम शून्य ताप (T = 0 K या -273.15°C) पर पहुँच जाता है, तो वर्ग माध्य मूल चाल शून्य हो जाती है (v_rms = 0)।
– अर्थात् इस सैद्धांतिक तापमान पर गैस अणुओं की समस्त तापीय गतियाँ पूरी तरह से रुक जाती हैं।
– अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल परम ताप के वर्गमूल के अनुक्रमानुपाती होती है: v_rms = √(3k_B T / m)।
– जब तापमान परम शून्य ताप (T = 0 K या -273.15°C) पर पहुँच जाता है, तो वर्ग माध्य मूल चाल शून्य हो जाती है (v_rms = 0)।
– अर्थात् इस सैद्धांतिक तापमान पर गैस अणुओं की समस्त तापीय गतियाँ पूरी तरह से रुक जाती हैं।
Explanation:
– The RMS speed is directly proportional to the square root of the absolute temperature: v_rms = √(3k_B T / m).
– At absolute zero temperature (T = 0 K or -273.15°C), the speed becomes zero: v_rms = 0.
– This means that all translational molecular motion ceases completely at **0 K**.
– The RMS speed is directly proportional to the square root of the absolute temperature: v_rms = √(3k_B T / m).
– At absolute zero temperature (T = 0 K or -273.15°C), the speed becomes zero: v_rms = 0.
– This means that all translational molecular motion ceases completely at **0 K**.