प्रश्न 1. सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion, SHM) कर रहे किसी कण का त्वरण (acceleration, a) और उसका माध्य स्थिति (mean position) से विस्थापन (x) किस प्रकार संबंधित होते हैं?
Q1. For a particle executing Simple Harmonic Motion (SHM), the relationship between its acceleration (a) and displacement (x) from the mean position is:
सही उत्तर: B) a = -ω² x
Correct Answer: B) a = -ω² x
स्पष्टीकरण:
सरल आवर्त गति की मूल परिभाषा ही यही है कि कण पर लगने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) विस्थापन के अनुक्रमानुपाती और विपरीत दिशा में होता है:
– F = -k x ⇒ m a = -k x
– a = – (k / m) x = -ω² x।
(जहाँ ω = √(k/m) गति की कोणीय आवृत्ति/angular frequency है)।
सरल आवर्त गति की मूल परिभाषा ही यही है कि कण पर लगने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) विस्थापन के अनुक्रमानुपाती और विपरीत दिशा में होता है:
– F = -k x ⇒ m a = -k x
– a = – (k / m) x = -ω² x।
(जहाँ ω = √(k/m) गति की कोणीय आवृत्ति/angular frequency है)।
Explanation:
By definition, in SHM, the restoring force (and hence acceleration) is directly proportional to the displacement and directed opposite to it:
– F = -k x ⇒ m a = -k x.
– a = – (k / m) x = -ω² x (where ω = √(k/m) is the angular frequency of the motion).
By definition, in SHM, the restoring force (and hence acceleration) is directly proportional to the displacement and directed opposite to it:
– F = -k x ⇒ m a = -k x.
– a = – (k / m) x = -ω² x (where ω = √(k/m) is the angular frequency of the motion).
प्रश्न 2. सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण (आयाम A, कोणीय आवृत्ति ω) का अधिकतम वेग (maximum velocity, v_max) कितना होता है?
Q2. The maximum velocity (v_max) of a particle executing SHM with amplitude A and angular frequency ω is:
सही उत्तर: A) ω A
Correct Answer: A) ω A
स्पष्टीकरण:
सरल आवर्त गति में विस्थापन y पर वेग का सूत्र है: v = ω √(A² – y²)
– वेग का मान अधिकतम होने के लिए विस्थापन शून्य होना चाहिए (अर्थात माध्य स्थिति/mean position पर):
– v_max = ω √(A² – 0) = ω A।
सरल आवर्त गति में विस्थापन y पर वेग का सूत्र है: v = ω √(A² – y²)
– वेग का मान अधिकतम होने के लिए विस्थापन शून्य होना चाहिए (अर्थात माध्य स्थिति/mean position पर):
– v_max = ω √(A² – 0) = ω A।
Explanation:
The velocity of a particle in SHM at any displacement y is: v = ω √(A² – y²).
– The velocity is maximum at the mean position (y = 0):
– v_max = ω A.
The velocity of a particle in SHM at any displacement y is: v = ω √(A² – y²).
– The velocity is maximum at the mean position (y = 0):
– v_max = ω A.
प्रश्न 3. सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण (आयाम A, कोणीय आवृत्ति ω) का अधिकतम त्वरण (maximum acceleration, a_max) का परिमाण कितना होगा?
Q3. The magnitude of the maximum acceleration (a_max) of a particle executing SHM with amplitude A and angular frequency ω is:
सही उत्तर: B) ω² A
Correct Answer: B) ω² A
स्पष्टीकरण:
सरल आवर्त गति में त्वरण का परिमाण विस्थापन के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है: |a| = ω² x
– त्वरण का मान अधिकतम तब होगा जब विस्थापन अधिकतम हो, अर्थात् चरम सीमाओं (extreme positions, x = ±A) पर:
– a_max = ω² A।
सरल आवर्त गति में त्वरण का परिमाण विस्थापन के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है: |a| = ω² x
– त्वरण का मान अधिकतम तब होगा जब विस्थापन अधिकतम हो, अर्थात् चरम सीमाओं (extreme positions, x = ±A) पर:
– a_max = ω² A।
Explanation:
The magnitude of acceleration in SHM is: |a| = ω² x.
– Acceleration is maximum at the extreme positions where displacement is maximum (x = ±A):
– a_max = ω² A.
The magnitude of acceleration in SHM is: |a| = ω² x.
– Acceleration is maximum at the extreme positions where displacement is maximum (x = ±A):
– a_max = ω² A.
प्रश्न 4. सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण का माध्य स्थिति से किस विस्थापन (x) पर उसकी गतिज ऊर्जा (kinetic energy) और स्थितिज ऊर्जा (potential energy) बिल्कुल बराबर हो जाती हैं? (आयाम A है)
Q4. At what displacement x from the mean position will the kinetic energy and potential energy of a particle executing SHM be equal? (Amplitude is A)
सही उत्तर: B) x = A / √2
Correct Answer: B) x = A / √2
स्पष्टीकरण:
– स्थितिज ऊर्जा: PE = 1/2 m ω² x²
– गतिज ऊर्जा: KE = 1/2 m ω² (A² – x²)
प्रश्नानुसार, दोनों बराबर हैं (KE = PE):
1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² x² ⇒ A² – x² = x²
2 x² = A² ⇒ x² = A² / 2 ⇒ x = ± A / √2।
– स्थितिज ऊर्जा: PE = 1/2 m ω² x²
– गतिज ऊर्जा: KE = 1/2 m ω² (A² – x²)
प्रश्नानुसार, दोनों बराबर हैं (KE = PE):
1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² x² ⇒ A² – x² = x²
2 x² = A² ⇒ x² = A² / 2 ⇒ x = ± A / √2।
Explanation:
– Potential Energy: PE = 1/2 m ω² x².
– Kinetic Energy: KE = 1/2 m ω² (A² – x²).
Given KE = PE:
1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² x² ⇒ A² – x² = x² ⇒ 2x² = A².
– x = ± A / √2.
– Potential Energy: PE = 1/2 m ω² x².
– Kinetic Energy: KE = 1/2 m ω² (A² – x²).
Given KE = PE:
1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² x² ⇒ A² – x² = x² ⇒ 2x² = A².
– x = ± A / √2.
प्रश्न 5. एक सरल लोलक (simple pendulum) की लंबाई L है। इसके छोटे कोणीय विस्थापन के लिए आवर्तकाल (time period, T) का सही सूत्र क्या होगा?
Q5. The time period (T) of a simple pendulum of length L under small angle approximation is:
सही उत्तर: A) T = 2π √(L / g)
Correct Answer: A) T = 2π √(L / g)
स्पष्टीकरण:
सरल लोलक के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण τ = -mg L sinθ ≈ -mg L θ (छोटे विस्थापन के लिए)।
– आवर्तकाल का सूत्र: T = 2π / ω = 2π √(L / g)।
– (लोलक का आवर्तकाल केवल उसकी लंबाई और स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है, यह गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता)।
सरल लोलक के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण τ = -mg L sinθ ≈ -mg L θ (छोटे विस्थापन के लिए)।
– आवर्तकाल का सूत्र: T = 2π / ω = 2π √(L / g)।
– (लोलक का आवर्तकाल केवल उसकी लंबाई और स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है, यह गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता)।
Explanation:
For small angular displacements, the equation of motion yields angular frequency ω = √(g / L).
– The time period is: T = 2π / ω = 2π √(L / g).
– (Note that the time period is independent of the mass of the bob).
For small angular displacements, the equation of motion yields angular frequency ω = √(g / L).
– The time period is: T = 2π / ω = 2π √(L / g).
– (Note that the time period is independent of the mass of the bob).
प्रश्न 6. यदि सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण के विस्थापन (displacement) की आवृत्ति f है, तो उसकी गतिज ऊर्जा (kinetic energy) के कंपन की आवृत्ति क्या होगी?
Q6. If the frequency of displacement of a particle executing SHM is f, the frequency of oscillation of its kinetic energy is:
सही उत्तर: B) 2 f
Correct Answer: B) 2 f
स्पष्टीकरण:
– विस्थापन समीकरण: y = A sin(ωt) (आवृत्ति f)
– वेग समीकरण: v = Aω cos(ωt)
– गतिज ऊर्जा: KE = 1/2 m v² = 1/2 m A² ω² cos²(ωt)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2 का उपयोग करने पर:
– KE = 1/4 m A² ω² [ 1 + cos(2ωt) ]
– यहाँ कोणीय आवृत्ति दोगुनी (2ω) हो गई है। अतः गतिज ऊर्जा की कंपन आवृत्ति विस्थापन की आवृत्ति की दोगुनी अर्थात् **2f** होगी। (एक पूर्ण आवर्तकाल में गतिज ऊर्जा दो बार अधिकतम होती है)।
– विस्थापन समीकरण: y = A sin(ωt) (आवृत्ति f)
– वेग समीकरण: v = Aω cos(ωt)
– गतिज ऊर्जा: KE = 1/2 m v² = 1/2 m A² ω² cos²(ωt)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2 का उपयोग करने पर:
– KE = 1/4 m A² ω² [ 1 + cos(2ωt) ]
– यहाँ कोणीय आवृत्ति दोगुनी (2ω) हो गई है। अतः गतिज ऊर्जा की कंपन आवृत्ति विस्थापन की आवृत्ति की दोगुनी अर्थात् **2f** होगी। (एक पूर्ण आवर्तकाल में गतिज ऊर्जा दो बार अधिकतम होती है)।
Explanation:
– Displacement: y = A sin(ωt) (frequency f).
– Velocity: v = Aω cos(ωt).
– Kinetic Energy: KE = 1/2 m v² = 1/2 m A² ω² cos²(ωt).
Using cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2:
– KE = 1/4 m A² ω² [ 1 + cos(2ωt) ].
– The angular frequency of kinetic energy is 2ω, which means its frequency of oscillation is twice that of displacement: **2f**. (During one full cycle of motion, KE reaches its maximum value twice).
– Displacement: y = A sin(ωt) (frequency f).
– Velocity: v = Aω cos(ωt).
– Kinetic Energy: KE = 1/2 m v² = 1/2 m A² ω² cos²(ωt).
Using cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2:
– KE = 1/4 m A² ω² [ 1 + cos(2ωt) ].
– The angular frequency of kinetic energy is 2ω, which means its frequency of oscillation is twice that of displacement: **2f**. (During one full cycle of motion, KE reaches its maximum value twice).
प्रश्न 7. सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण के विस्थापन (displacement) और उसके त्वरण (acceleration) के बीच का कलांतर (phase difference) कितना होता है?
Q7. The phase difference between the displacement and acceleration of a particle executing SHM is:
सही उत्तर: C) π rad (या 180°)
Correct Answer: C) π rad (or 180°)
स्पष्टीकरण:
– विस्थापन समीकरण: x = A sin(ωt)
– त्वरण समीकरण: a = -ω² x = -ω² A sin(ωt) = ω² A sin(ωt + π)
दोनों समीकरणों के कला कोण (phase) की तुलना करने पर कलांतर: Δφ = (ωt + π) – ωt = π rad (या **180°**)।
– (इसी प्रकार, विस्थापन और वेग के बीच का कलांतर π/2 rad होता है)।
– विस्थापन समीकरण: x = A sin(ωt)
– त्वरण समीकरण: a = -ω² x = -ω² A sin(ωt) = ω² A sin(ωt + π)
दोनों समीकरणों के कला कोण (phase) की तुलना करने पर कलांतर: Δφ = (ωt + π) – ωt = π rad (या **180°**)।
– (इसी प्रकार, विस्थापन और वेग के बीच का कलांतर π/2 rad होता है)।
Explanation:
– Displacement: x = A sin(ωt).
– Acceleration: a = -ω² A sin(ωt) = ω² A sin(ωt + π).
Comparing the phases, the phase difference is **π rad** (or **180°**), indicating they are completely out of phase (when displacement is maximum positive, acceleration is maximum negative).
– Displacement: x = A sin(ωt).
– Acceleration: a = -ω² A sin(ωt) = ω² A sin(ωt + π).
Comparing the phases, the phase difference is **π rad** (or **180°**), indicating they are completely out of phase (when displacement is maximum positive, acceleration is maximum negative).
प्रश्न 8. सरल आवर्त गति कर रहे m द्रव्यमान के किसी कण (आयाम A, कोणीय आवृत्ति ω) की कुल यांत्रिक ऊर्जा (total mechanical energy) का सही सूत्र क्या है?
Q8. The total mechanical energy of a particle of mass m executing SHM with amplitude A and angular frequency ω is:
सही उत्तर: A) 1/2 m ω² A²
Correct Answer: A) 1/2 m ω² A²
स्पष्टीकरण:
किसी भी विस्थापन पर कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं का योग होती है:
– E_total = PE + KE = 1/2 m ω² x² + 1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² A²
यह मान हमेशा नियत (constant) रहता है और समय या विस्थापन पर निर्भर नहीं करता।
किसी भी विस्थापन पर कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं का योग होती है:
– E_total = PE + KE = 1/2 m ω² x² + 1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² A²
यह मान हमेशा नियत (constant) रहता है और समय या विस्थापन पर निर्भर नहीं करता।
Explanation:
The total mechanical energy in SHM is the sum of its potential and kinetic energy at any point:
– E = PE + KE = 1/2 m ω² x² + 1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² A².
This energy is a constant parameter of the motion, independent of displacement or time.
The total mechanical energy in SHM is the sum of its potential and kinetic energy at any point:
– E = PE + KE = 1/2 m ω² x² + 1/2 m ω² (A² – x²) = 1/2 m ω² A².
This energy is a constant parameter of the motion, independent of displacement or time.
प्रश्न 9. तरंग गति (wave motion) के दौरान दो बिंदुओं के बीच कलांतर (phase difference, Δφ) और पथांतर (path difference, Δx) के बीच सही संबंध क्या होता है? (जहाँ तरंगदैर्घ्य λ है)
Q9. The relationship between the phase difference (Δφ) and path difference (Δx) for a wave of wavelength λ is:
सही उत्तर: A) Δφ = (2π / λ) Δx
Correct Answer: A) Δφ = (2π / λ) Δx
स्पष्टीकरण:
प्रगामी तरंग (progressive wave) के समीकरण से, तरंग संख्या k = 2π / λ होती है।
– कलांतर और पथांतर का मूल संबंध है: Phase Difference = Wave Number × Path Difference
– Δφ = k Δx = (2π / λ) Δx।
प्रगामी तरंग (progressive wave) के समीकरण से, तरंग संख्या k = 2π / λ होती है।
– कलांतर और पथांतर का मूल संबंध है: Phase Difference = Wave Number × Path Difference
– Δφ = k Δx = (2π / λ) Δx।
Explanation:
From the spatial dependency of progressive waves, the wave number is defined as: k = 2π / λ.
– The relationship is: Phase Difference = Wave Number × Path Difference.
– Δφ = (2π / λ) Δx.
From the spatial dependency of progressive waves, the wave number is defined as: k = 2π / λ.
– The relationship is: Phase Difference = Wave Number × Path Difference.
– Δφ = (2π / λ) Δx.
प्रश्न 10. लाप्लास के संशोधन (Laplace’s correction) के अनुसार, गैस (अनुभार M, विशिष्ट ऊष्मा अनुपात γ) में ध्वनि की चाल (speed of sound, v) का परम ताप T के साथ सही संबंध क्या है?
Q10. According to Laplace’s correction, the speed of sound (v) in a gas of molecular weight M at absolute temperature T is:
सही उत्तर: B) v = √(γRT / M)
Correct Answer: B) v = √(γRT / M)
स्पष्टीकरण:
– न्यूटन के अनुसार गैस में ध्वनि संचरण समतापीय (isothermal) होता है, जिसके अनुसार v = √(P/ρ) = √(RT/M)।
– लाप्लास ने इसे संशोधित किया कि ध्वनि तरंगें बहुत तीव्र गति से चलती हैं जिससे प्रक्रम रुद्धोष्म (adiabatic) होता है।
– रुद्धोष्म आयतन गुणांक B = γP होने के कारण सही वेग सूत्र है: v = √(γP/ρ) = √(γRT / M)।
– न्यूटन के अनुसार गैस में ध्वनि संचरण समतापीय (isothermal) होता है, जिसके अनुसार v = √(P/ρ) = √(RT/M)।
– लाप्लास ने इसे संशोधित किया कि ध्वनि तरंगें बहुत तीव्र गति से चलती हैं जिससे प्रक्रम रुद्धोष्म (adiabatic) होता है।
– रुद्धोष्म आयतन गुणांक B = γP होने के कारण सही वेग सूत्र है: v = √(γP/ρ) = √(γRT / M)।
Explanation:
– Newton assumed sound propagation in gases was isothermal: v = √(P/ρ).
– Laplace corrected this, pointing out that compression/rarefaction occurs too rapidly for heat exchange, making the process adiabatic.
– Using the adiabatic bulk modulus B = γP, the correct formula is:
– v = √(γP/ρ) = √(γRT / M).
– Newton assumed sound propagation in gases was isothermal: v = √(P/ρ).
– Laplace corrected this, pointing out that compression/rarefaction occurs too rapidly for heat exchange, making the process adiabatic.
– Using the adiabatic bulk modulus B = γP, the correct formula is:
– v = √(γP/ρ) = √(γRT / M).
प्रश्न 11. अप्रगामी तरंग (standing wave) में, एक निस्पंद (node) और उसके ठीक पास वाले प्रस्पंद (adjacent antinode) के बीच की न्यूनतम दूरी कितनी होती है? (तरंगदैर्घ्य λ है)
Q11. In a standing wave, the minimum distance between a node and an adjacent antinode is:
सही उत्तर: C) λ / 4
Correct Answer: C) λ / 4
स्पष्टीकरण:
अप्रगामी तरंगों (standing waves) के प्रतिरूप में:
– दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी: λ / 2 होती है।
– एक निस्पंद (जहाँ विस्थापन शून्य है) और उसके ठीक समीपवर्ती प्रस्पंद (जहाँ विस्थापन अधिकतम है) के बीच की दूरी आधी अर्थात् **λ / 4** होती है।
अप्रगामी तरंगों (standing waves) के प्रतिरूप में:
– दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी: λ / 2 होती है।
– एक निस्पंद (जहाँ विस्थापन शून्य है) और उसके ठीक समीपवर्ती प्रस्पंद (जहाँ विस्थापन अधिकतम है) के बीच की दूरी आधी अर्थात् **λ / 4** होती है।
Explanation:
In standing wave patterns:
– The distance between two consecutive nodes or two consecutive antinodes is: λ / 2.
– The distance between a node and its immediate neighboring antinode is half of that value: **λ / 4**.
In standing wave patterns:
– The distance between two consecutive nodes or two consecutive antinodes is: λ / 2.
– The distance between a node and its immediate neighboring antinode is half of that value: **λ / 4**.
प्रश्न 12. L लंबाई के एक **बंद आर्गन पाइप (closed organ pipe)** की मूल आवृत्ति (fundamental frequency, f_1) का सही मान क्या होगा? (ध्वनि का वेग v है)
Q12. The fundamental frequency (f_1) of a closed organ pipe of length L is: (where v is the speed of sound)
सही उत्तर: B) v / (4L)
Correct Answer: B) v / (4L)
स्पष्टीकरण:
एक बंद आर्गन पाइप (एक सिरा बंद, एक सिरा खुला) में मूल विधा (fundamental mode) में:
– बंद सिरे पर निस्पंद (node) और खुले सिरे पर प्रस्पंद (antinode) बनता है।
– पाइप की लंबाई: L = λ / 4 ⇒ λ = 4L
– मूल आवृत्ति: f_1 = v / λ = v / (4L)।
एक बंद आर्गन पाइप (एक सिरा बंद, एक सिरा खुला) में मूल विधा (fundamental mode) में:
– बंद सिरे पर निस्पंद (node) और खुले सिरे पर प्रस्पंद (antinode) बनता है।
– पाइप की लंबाई: L = λ / 4 ⇒ λ = 4L
– मूल आवृत्ति: f_1 = v / λ = v / (4L)।
Explanation:
In a closed organ pipe (closed at one end, open at the other) in its fundamental mode:
– A node is formed at the closed end and an antinode at the open end.
– The length of the pipe is: L = λ / 4 ⇒ λ = 4L.
– Fundamental frequency: f_1 = v / λ = v / (4L).
In a closed organ pipe (closed at one end, open at the other) in its fundamental mode:
– A node is formed at the closed end and an antinode at the open end.
– The length of the pipe is: L = λ / 4 ⇒ λ = 4L.
– Fundamental frequency: f_1 = v / λ = v / (4L).
प्रश्न 13. L लंबाई के एक **मुक्त (खुले) आर्गन पाइप (open organ pipe)** की मूल आवृत्ति (f_1) का सही मान क्या होगा?
Q13. The fundamental frequency (f_1) of an open organ pipe of length L is: (where v is the speed of sound)
सही उत्तर: A) v / (2L)
Correct Answer: A) v / (2L)
स्पष्टीकरण:
एक खुले आर्गन पाइप (दोनों सिरे खुले) के मूल विधा में:
– दोनों खुले सिरों पर प्रस्पंद (antinodes) और बीच में एक निस्पंद (node) बनता है।
– पाइप की लंबाई: L = λ / 2 ⇒ λ = 2L
– मूल आवृत्ति: f_1 = v / λ = v / (2L)।
– (समान लंबाई के लिए खुले पाइप की मूल आवृत्ति बंद पाइप की तुलना में दोगुनी होती है)।
एक खुले आर्गन पाइप (दोनों सिरे खुले) के मूल विधा में:
– दोनों खुले सिरों पर प्रस्पंद (antinodes) और बीच में एक निस्पंद (node) बनता है।
– पाइप की लंबाई: L = λ / 2 ⇒ λ = 2L
– मूल आवृत्ति: f_1 = v / λ = v / (2L)।
– (समान लंबाई के लिए खुले पाइप की मूल आवृत्ति बंद पाइप की तुलना में दोगुनी होती है)।
Explanation:
In an open organ pipe (open at both ends) in its fundamental mode:
– Antinodes are formed at both open ends and a node in the middle.
– The length of the pipe is: L = λ / 2 ⇒ λ = 2L.
– Fundamental frequency: f_1 = v / λ = v / (2L). (For a given length, an open pipe has twice the fundamental frequency of a closed pipe).
In an open organ pipe (open at both ends) in its fundamental mode:
– Antinodes are formed at both open ends and a node in the middle.
– The length of the pipe is: L = λ / 2 ⇒ λ = 2L.
– Fundamental frequency: f_1 = v / λ = v / (2L). (For a given length, an open pipe has twice the fundamental frequency of a closed pipe).
प्रश्न 14. एक बंद आर्गन पाइप (closed organ pipe) में उत्पन्न होने वाले विभिन्न सन्नादियों (harmonics) की आवृत्तियों का अनुपात क्या होता है?
Q14. In a closed organ pipe, the ratio of the frequencies of the harmonics produced is:
सही उत्तर: B) 1 : 3 : 5 : 7 : … (केवल विषम सन्नादी)
Correct Answer: B) 1 : 3 : 5 : 7 : … (only odd harmonics)
स्पष्टीकरण:
बंद आर्गन पाइप की सीमांत स्थितियों के कारण, इसमें सम सन्नादी (even harmonics, 2f₁, 4f₁ आदि) अनुपस्थित रहते हैं।
– इसमें केवल **विषम सन्नादी (odd harmonics)** ही उत्पन्न हो सकते हैं, जिनका अनुपात **1 : 3 : 5 : 7 : …** होता है।
– (जबकि खुले आर्गन पाइप में सम और विषम दोनों सन्नादी उत्पन्न होते हैं, जिनका अनुपात 1 : 2 : 3 : 4 : … होता है)।
बंद आर्गन पाइप की सीमांत स्थितियों के कारण, इसमें सम सन्नादी (even harmonics, 2f₁, 4f₁ आदि) अनुपस्थित रहते हैं।
– इसमें केवल **विषम सन्नादी (odd harmonics)** ही उत्पन्न हो सकते हैं, जिनका अनुपात **1 : 3 : 5 : 7 : …** होता है।
– (जबकि खुले आर्गन पाइप में सम और विषम दोनों सन्नादी उत्पन्न होते हैं, जिनका अनुपात 1 : 2 : 3 : 4 : … होता है)।
Explanation:
Because of the boundary conditions of a closed pipe (node at closed end, antinode at open end), even harmonics are completely absent.
– Only **odd harmonics** are generated: f_n = (2n-1) f_1.
– Therefore, the ratio of successive harmonics is: **1 : 3 : 5 : 7 : …**.
Because of the boundary conditions of a closed pipe (node at closed end, antinode at open end), even harmonics are completely absent.
– Only **odd harmonics** are generated: f_n = (2n-1) f_1.
– Therefore, the ratio of successive harmonics is: **1 : 3 : 5 : 7 : …**.
प्रश्न 15. तनाव बल T के अंतर्गत कसी हुई और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान (linear mass density) μ वाली डोरी में अनुप्रस्थ तरंग (transverse wave) की चाल का सही सूत्र क्या है?
Q15. The speed (v) of a transverse wave in a stretched string under tension T and having linear mass density μ is:
सही उत्तर: A) v = √(T / μ)
Correct Answer: A) v = √(T / μ)
स्पष्टीकरण:
विमीय विश्लेषण और बल संतुलन से, तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ प्रगामी तरंग की चाल का सूत्र प्राप्त होता है:
v = √(T / μ)
– यहाँ μ = Mass / Length डोरी की एकांक लंबाई का द्रव्यमान है। तनाव बढ़ने पर तरंग की चाल बढ़ती है।
विमीय विश्लेषण और बल संतुलन से, तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ प्रगामी तरंग की चाल का सूत्र प्राप्त होता है:
v = √(T / μ)
– यहाँ μ = Mass / Length डोरी की एकांक लंबाई का द्रव्यमान है। तनाव बढ़ने पर तरंग की चाल बढ़ती है।
Explanation:
The velocity of a transverse wave in a stretched string depends on the tension T and its mass per unit length (linear mass density μ = m / L):
v = √(T / μ).
The velocity of a transverse wave in a stretched string depends on the tension T and its mass per unit length (linear mass density μ = m / L):
v = √(T / μ).
प्रश्न 16. एक गैस में ध्वनि की चाल (speed of sound) गैस के दाब (P) पर किस प्रकार निर्भर करती है, यदि तापमान को नियत (isothermal conditions) रखा जाए?
Q16. At a constant temperature, the speed of sound in an ideal gas varies with pressure (P) as:
सही उत्तर: C) दाब से पूर्णतः स्वतंत्र होती है (v ∝ P⁰)
Correct Answer: C) Entirely independent of pressure (v ∝ P⁰)
स्पष्टीकरण:
यद्यपि ध्वनि की गति का सूत्र v = √(γP/ρ) है, परंतु समतापीय परिस्थितियों (constant temperature) में, दाब बढ़ाने पर गैस का घनत्व (ρ) भी उसी अनुपात में बढ़ जाता है।
– इसके कारण अनुपात P / ρ का मान सदैव नियत रहता है (P/ρ = RT/M = constant)।
– अतः **स्थिर ताप पर, ध्वनि की चाल दाब परिवर्तन से पूर्णतः स्वतंत्र होती है**।
यद्यपि ध्वनि की गति का सूत्र v = √(γP/ρ) है, परंतु समतापीय परिस्थितियों (constant temperature) में, दाब बढ़ाने पर गैस का घनत्व (ρ) भी उसी अनुपात में बढ़ जाता है।
– इसके कारण अनुपात P / ρ का मान सदैव नियत रहता है (P/ρ = RT/M = constant)।
– अतः **स्थिर ताप पर, ध्वनि की चाल दाब परिवर्तन से पूर्णतः स्वतंत्र होती है**।
Explanation:
Although the expression is v = √(γP/ρ), at a constant temperature, any change in pressure (P) results in a proportional change in density (ρ) according to Boyle’s law.
– This keeps the ratio P / ρ constant (P/ρ = RT/M).
– Therefore, at a constant temperature, the speed of sound is **independent of pressure**: v ∝ P⁰.
Although the expression is v = √(γP/ρ), at a constant temperature, any change in pressure (P) results in a proportional change in density (ρ) according to Boyle’s law.
– This keeps the ratio P / ρ constant (P/ρ = RT/M).
– Therefore, at a constant temperature, the speed of sound is **independent of pressure**: v ∝ P⁰.
प्रश्न 17. यदि 256 Hz और 260 Hz आवृत्तियों वाले दो स्वरित्र द्विभुजों (tuning forks) को एक साथ बजाया जाए, तो प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों (beats) की संख्या कितनी होगी?
Q17. If two tuning forks of frequencies 256 Hz and 260 Hz are sounded together, the number of beats heard per second is:
सही उत्तर: B) 4
Correct Answer: B) 4
स्पष्टीकरण:
विस्पंद आवृत्ति (beat frequency) दोनों तरंगों की आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है:
f_beat = | f₁ – f₂ |
– f_beat = | 260 – 256 | = 4 Hz
– अतः प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या **4** होगी।
विस्पंद आवृत्ति (beat frequency) दोनों तरंगों की आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है:
f_beat = | f₁ – f₂ |
– f_beat = | 260 – 256 | = 4 Hz
– अतः प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या **4** होगी।
Explanation:
The beat frequency is the absolute difference between the frequencies of the two superposing sound waves:
f_beat = | f₁ – f₂ |.
– f_beat = | 260 – 256 | = 4 Hz (or 4 beats per second).
The beat frequency is the absolute difference between the frequencies of the two superposing sound waves:
f_beat = | f₁ – f₂ |.
– f_beat = | 260 – 256 | = 4 Hz (or 4 beats per second).
प्रश्न 18. किसी ध्वनि तरंग की तीव्रता (intensity, I) उसके आयाम (amplitude, A) पर किस प्रकार निर्भर करती है?
Q18. The intensity (I) of a sound wave is related to its amplitude (A) as:
सही उत्तर: B) I ∝ A²
Correct Answer: B) I ∝ A²
स्पष्टीकरण:
तरंग गतिकी के अनुसार, किसी प्रगामी तरंग की ऊर्जा प्रवाह की दर (तीव्रता) हमेशा तरंग के **आयाम के वर्ग के सीधे अनुक्रमानुपाती** होती है: I ∝ A²।
– (यह संबंध ध्वनि तरंगों के साथ-साथ प्रकाश तरंगों के लिए भी सार्वभौमिक रूप से सत्य है)।
तरंग गतिकी के अनुसार, किसी प्रगामी तरंग की ऊर्जा प्रवाह की दर (तीव्रता) हमेशा तरंग के **आयाम के वर्ग के सीधे अनुक्रमानुपाती** होती है: I ∝ A²।
– (यह संबंध ध्वनि तरंगों के साथ-साथ प्रकाश तरंगों के लिए भी सार्वभौमिक रूप से सत्य है)।
Explanation:
In wave motion, the energy transported per unit time per unit area (intensity) is directly proportional to the **square of the amplitude** of the wave:
– I ∝ A². (This relationship is fundamental and applies to both mechanical and electromagnetic waves).
In wave motion, the energy transported per unit time per unit area (intensity) is directly proportional to the **square of the amplitude** of the wave:
– I ∝ A². (This relationship is fundamental and applies to both mechanical and electromagnetic waves).
प्रश्न 19. समान तापमान पर, आर्द्र हवा (humid air) में ध्वनि की चाल शुष्क हवा (dry air) की तुलना में कैसी होती है?
Q19. At the same temperature, the speed of sound in humid air compared to dry air is:
सही उत्तर: A) अधिक होती है (Greater)
Correct Answer: A) Greater
स्पष्टीकरण:
– जल वाष्प (water vapour) का अणुभार (H₂O = 18) शुष्क हवा के प्रभावी अणुभार (लगभग 29) से कम होता है।
– हवा में नमी (आर्द्रता) बढ़ने पर हवा का प्रभावी घनत्व (ρ) घट जाता है।
– चूंकि ध्वनि की चाल घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है (v ∝ 1 / √ρ), इसलिए घनत्व घटने के कारण आर्द्र हवा में ध्वनि की चाल शुष्क हवा की तुलना में **अधिक** होती है।
– जल वाष्प (water vapour) का अणुभार (H₂O = 18) शुष्क हवा के प्रभावी अणुभार (लगभग 29) से कम होता है।
– हवा में नमी (आर्द्रता) बढ़ने पर हवा का प्रभावी घनत्व (ρ) घट जाता है।
– चूंकि ध्वनि की चाल घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है (v ∝ 1 / √ρ), इसलिए घनत्व घटने के कारण आर्द्र हवा में ध्वनि की चाल शुष्क हवा की तुलना में **अधिक** होती है।
Explanation:
– The molecular weight of water vapour (H₂O = 18) is less than the average molecular weight of dry air (mostly nitrogen and oxygen, approx 29).
– The presence of moisture (humidity) decreases the effective density (ρ) of the air.
– Since the speed of sound is inversely proportional to the square root of the fluid density (v ∝ 1 / √ρ), the speed of sound is **greater** in humid air than in dry air.
– The molecular weight of water vapour (H₂O = 18) is less than the average molecular weight of dry air (mostly nitrogen and oxygen, approx 29).
– The presence of moisture (humidity) decreases the effective density (ρ) of the air.
– Since the speed of sound is inversely proportional to the square root of the fluid density (v ∝ 1 / √ρ), the speed of sound is **greater** in humid air than in dry air.
प्रश्न 20. एक सरल लोलक को एक लिफ्ट के भीतर लटकाया गया है। यदि लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरण a से त्वरित होती है, तो लोलक के आवर्तकाल (T) पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q20. A simple pendulum is suspended inside an elevator. If the elevator accelerates upwards with acceleration a, the time period (T) of the pendulum:
सही उत्तर: B) घटेगा (Decreases)
Correct Answer: B) Decreases
स्पष्टीकरण:
लिफ्ट के त्वरित होने पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण (effective gravity) छद्म बल के कारण बदल जाता है:
– ऊपर की ओर त्वरित होने पर: g_eff = g + a
– आवर्तकाल: T = 2π √(L / g_eff) = 2π √[ L / (g + a) ]
– चूंकि हर का मान बढ़ गया है (g_eff > g), इसलिए आवर्तकाल **घट जाएगा**।
लिफ्ट के त्वरित होने पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण (effective gravity) छद्म बल के कारण बदल जाता है:
– ऊपर की ओर त्वरित होने पर: g_eff = g + a
– आवर्तकाल: T = 2π √(L / g_eff) = 2π √[ L / (g + a) ]
– चूंकि हर का मान बढ़ गया है (g_eff > g), इसलिए आवर्तकाल **घट जाएगा**।
Explanation:
Inside the upward accelerating elevator, the effective gravitational acceleration increases due to the downward pseudo-force:
– g_eff = g + a.
– Time period: T = 2π √(L / g_eff) = 2π √[ L / (g + a) ].
– Since g_eff > g, the time period **decreases**.
Inside the upward accelerating elevator, the effective gravitational acceleration increases due to the downward pseudo-force:
– g_eff = g + a.
– Time period: T = 2π √(L / g_eff) = 2π √[ L / (g + a) ].
– Since g_eff > g, the time period **decreases**.
प्रश्न 21. एक कण दो परस्पर लंबवत सरल आवर्त गतियों x = A sin(ωt) और y = A cos(ωt) के अध्यारोपण के अधीन है। कण का परिणामी पथ (trajectory path) कैसा होगा?
Q21. A particle is subjected to two mutually perpendicular SHMs given by x = A sin(ωt) and y = A cos(ωt). The resultant path of the particle is:
सही उत्तर: C) एक वृत्त (Circle)
Correct Answer: C) A circle
स्पष्टीकरण:
Resultant path निकालने के लिए समय t को विलोपित करते हैं:
– x = A sin(ωt) ⇒ x / A = sin(ωt)
– y = A cos(ωt) ⇒ y / A = cos(ωt)
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
– (x / A)² + (y / A)² = sin²(ωt) + cos²(ωt)
– x² / A² + y² / A² = 1 ⇒ x² + y² = A²
यह समीकरण त्रिज्या A वाले एक **वृत्त** को निरूपित करता है।
Resultant path निकालने के लिए समय t को विलोपित करते हैं:
– x = A sin(ωt) ⇒ x / A = sin(ωt)
– y = A cos(ωt) ⇒ y / A = cos(ωt)
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
– (x / A)² + (y / A)² = sin²(ωt) + cos²(ωt)
– x² / A² + y² / A² = 1 ⇒ x² + y² = A²
यह समीकरण त्रिज्या A वाले एक **वृत्त** को निरूपित करता है।
Explanation:
To find the trajectory, we eliminate the time variable t:
– x / A = sin(ωt) and y / A = cos(ωt).
– Squaring and adding both equations:
– (x / A)² + (y / A)² = sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1.
– x² + y² = A², which is the equation of a **circle** of radius A.
To find the trajectory, we eliminate the time variable t:
– x / A = sin(ωt) and y / A = cos(ωt).
– Squaring and adding both equations:
– (x / A)² + (y / A)² = sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1.
– x² + y² = A², which is the equation of a **circle** of radius A.
प्रश्न 22. स्प्रिंग नियतांक k₁ और k₂ वाली दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम (series combination) में जोड़ा गया है। इस संयोजन का तुल्य स्प्रिंग नियतांक (k_eq) कितना होगा?
Q22. Two springs of spring constants k₁ and k₂ are connected in series. The equivalent spring constant (k_eq) of the combination is:
सही उत्तर: B) k_eq = (k₁ k₂) / (k₁ + k₂)
Correct Answer: B) k_eq = (k₁ k₂) / (k₁ + k₂)
स्पष्टीकरण:
श्रेणीक्रम संयोजन में, स्प्रिंगों पर लगने वाला बल समान होता है परंतु कुल विस्थापन अलग-अलग होता है (x_total = x₁ + x₂)।
– 1 / k_eq = 1 / k₁ + 1 / k₂
– इसे हल करने पर: k_eq = (k₁ k₂) / (k₁ + k₂)।
– (यह प्रतिरोधकों के समांतर क्रम संयोजन के समतुल्य होता है। यदि समांतर क्रम में जोड़ा जाए, तो k_eq = k₁ + k₂ होता है)।
श्रेणीक्रम संयोजन में, स्प्रिंगों पर लगने वाला बल समान होता है परंतु कुल विस्थापन अलग-अलग होता है (x_total = x₁ + x₂)।
– 1 / k_eq = 1 / k₁ + 1 / k₂
– इसे हल करने पर: k_eq = (k₁ k₂) / (k₁ + k₂)।
– (यह प्रतिरोधकों के समांतर क्रम संयोजन के समतुल्य होता है। यदि समांतर क्रम में जोड़ा जाए, तो k_eq = k₁ + k₂ होता है)।
Explanation:
In a series combination of springs, the pulling force is the same but the total extension is divided: x = x₁ + x₂ ⇒ 1 / k_eq = 1 / k₁ + 1 / k₂.
– Solving for the equivalent constant:
– k_eq = (k₁ k₂) / (k₁ + k₂). (Note that in parallel, it is k_eq = k₁ + k₂).
In a series combination of springs, the pulling force is the same but the total extension is divided: x = x₁ + x₂ ⇒ 1 / k_eq = 1 / k₁ + 1 / k₂.
– Solving for the equivalent constant:
– k_eq = (k₁ k₂) / (k₁ + k₂). (Note that in parallel, it is k_eq = k₁ + k₂).
प्रश्न 23. एक अनुनाद नली (resonance column tube) के प्रयोग में पहली अनुनाद लंबाई L₁ और दूसरी अनुनाद लंबाई L₂ प्राप्त होती है। नली के अंत्य संशोधन (end correction, e) का सही सूत्र क्या होगा?
Q23. In a resonance column experiment, the first resonance length is L₁ and the second is L₂. The end correction (e) of the tube is:
सही उत्तर: A) e = (L₂ – 3L₁) / 2
Correct Answer: A) e = (L₂ – 3L₁) / 2
स्पष्टीकरण:
अनुनाद नली वास्तव में एक बंद आर्गन पाइप है। अंत्य संशोधन (end correction) के साथ:
– प्रथम अनुनाद: L₁ + e = λ / 4
– द्वितीय अनुनाद: L₂ + e = 3λ / 4
– दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करने पर: (L₂ + e) / (L₁ + e) = 3
– L₂ + e = 3L₁ + 3e ⇒ 2e = L₂ – 3L₁ ⇒ e = (L₂ – 3L₁) / 2।
अनुनाद नली वास्तव में एक बंद आर्गन पाइप है। अंत्य संशोधन (end correction) के साथ:
– प्रथम अनुनाद: L₁ + e = λ / 4
– द्वितीय अनुनाद: L₂ + e = 3λ / 4
– दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करने पर: (L₂ + e) / (L₁ + e) = 3
– L₂ + e = 3L₁ + 3e ⇒ 2e = L₂ – 3L₁ ⇒ e = (L₂ – 3L₁) / 2।
Explanation:
The resonance tube acts as a closed organ pipe. Taking end correction e into account:
– First resonance: L₁ + e = λ / 4.
– Second resonance: L₂ + e = 3λ / 4.
– Dividing the two equations: (L₂ + e) / (L₁ + e) = 3 ⇒ L₂ + e = 3L₁ + 3e.
– 2e = L₂ – 3L₁ ⇒ e = (L₂ – 3L₁) / 2.
The resonance tube acts as a closed organ pipe. Taking end correction e into account:
– First resonance: L₁ + e = λ / 4.
– Second resonance: L₂ + e = 3λ / 4.
– Dividing the two equations: (L₂ + e) / (L₁ + e) = 3 ⇒ L₂ + e = 3L₁ + 3e.
– 2e = L₂ – 3L₁ ⇒ e = (L₂ – 3L₁) / 2.
प्रश्न 24. बल नियतांक k वाली एक स्प्रिंग को काटकर दो टुकड़ों में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि उनकी लंबाइयों का अनुपात 1 : 2 है। छोटे टुकड़े (shorter part) का स्प्रिंग नियतांक कितना होगा?
Q24. A spring of force constant k is cut into two parts whose lengths are in the ratio 1 : 2. The spring constant of the shorter part is:
सही उत्तर: A) 3 k
Correct Answer: A) 3 k
स्पष्टीकरण:
– स्प्रिंग नियतांक लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है: k ∝ 1 / L
– लंबाइयों का अनुपात 1 : 2 है, अर्थात् छोटा भाग कुल लंबाई L का एक-तिहाई हिस्सा है: L’ = L / 3
– छोटे टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक: k’ = k × (L / L’) = k × (L / (L/3)) = 3k।
– (बड़े टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक 1.5 k होगा)।
– स्प्रिंग नियतांक लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है: k ∝ 1 / L
– लंबाइयों का अनुपात 1 : 2 है, अर्थात् छोटा भाग कुल लंबाई L का एक-तिहाई हिस्सा है: L’ = L / 3
– छोटे टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक: k’ = k × (L / L’) = k × (L / (L/3)) = 3k।
– (बड़े टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक 1.5 k होगा)।
Explanation:
– The spring constant is inversely proportional to its length: k ∝ 1 / L.
– The length ratio is 1 : 2, meaning the shorter segment is one-third of the total length: L’ = L / 3.
– Thus, the spring constant of the shorter part is: k’ = k × (L / (L/3)) = 3k.
– The spring constant is inversely proportional to its length: k ∝ 1 / L.
– The length ratio is 1 : 2, meaning the shorter segment is one-third of the total length: L’ = L / 3.
– Thus, the spring constant of the shorter part is: k’ = k × (L / (L/3)) = 3k.
प्रश्न 25. एक प्रगामी अनुप्रस्थ तरंग (progressive transverse wave, आयाम A, तरंगदैर्घ्य λ) में कण का अधिकतम वेग (maximum particle velocity) तरंग के वेग (wave velocity) का कितना गुना होता है? (जहाँ तरंग संख्या k = 2π/λ है)
Q25. For a progressive wave of amplitude A and wavelength λ, the ratio of maximum particle velocity to wave velocity is: (where wave number is k = 2π/λ)
सही उत्तर: A) k A
Correct Answer: A) k A
स्पष्टीकरण:
– तरंग समीकरण: y = A sin(ωt – kx)
– कण का तात्क्षणिक वेग: v_p = dy/dt = Aω cos(ωt – kx) ⇒ v_p,max = ω A
– तरंग का वेग: v_w = ω / k
– वांछित अनुपात: v_p,max / v_w = (ω A) / (ω / k) = k A।
– तरंग समीकरण: y = A sin(ωt – kx)
– कण का तात्क्षणिक वेग: v_p = dy/dt = Aω cos(ωt – kx) ⇒ v_p,max = ω A
– तरंग का वेग: v_w = ω / k
– वांछित अनुपात: v_p,max / v_w = (ω A) / (ω / k) = k A।
Explanation:
– Progressive wave equation: y = A sin(ωt – kx).
– Instantaneous particle velocity: v_p = dy/dt = Aω cos(ωt – kx) ⇒ v_p,max = ω A.
– Wave velocity: v_w = ω / k.
– Ratio of velocities: v_p,max / v_w = (ω A) / (ω / k) = k A.
– Progressive wave equation: y = A sin(ωt – kx).
– Instantaneous particle velocity: v_p = dy/dt = Aω cos(ωt – kx) ⇒ v_p,max = ω A.
– Wave velocity: v_w = ω / k.
– Ratio of velocities: v_p,max / v_w = (ω A) / (ω / k) = k A.