সমীকরণ – দুটি বীজগাণিতিক রাশিমালা যদি একটি সমান (=) চিহ্ন দিয়ে সম্বন্ধযুক্ত হয় এবং ওই সমান চিহ্নের দুপাশে ডানপক্ষ ও বামপক্ষা যদি উপস্থিত অজ্ঞাত রাশিটির কোনো নির্দিষ্ট মানের জন্য সমান হয়, তবে তাকে সমীকরণ (equation) বলে।
উদাহরণ: 2x+3 = 0, 2x²+3x+2 = 0 ইত্যাদি।
একঘাত সমীকরণ – যে সমীকরণে একঘাতবিশিষ্ট একটিমাত্র অজ্ঞাত রাশি থাকে, তাকে একঘাত সমীকরণ (linear equation) বলে।
উদাহরণ: 2x+5 = 0, 8x+15 = 65 – 2x ইত্যাদি।
সহ-সমীকরণ – দুই বা ততোধিক সমীকরণে যদি দুই বা ততোধিক অজ্ঞাত রাশির প্রতিটির নির্দিষ্ট মানের জন্য সমীকরণগুলি সিদ্ধ হয়, তবে সমীকরণগুলিকে সহ-সমীকরণ (simultaneous equation) বলে।
উদাহরণ: 5x + 4y = 40, 8x – 3y = 17 ইত্যাদি।
দ্বিঘাত সমীকরণ – একটি অজ্ঞাত রাশিবিশিষ্ট কোনো সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 হলে, ওই সমীকরণকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation) বলে।
উদাহরণ: 2x²+3x+5=0, x²-3x+2= 0 ইত্যাদি।
সমীকরণ-সম্বন্ধীয় কয়েকটি জ্ঞাতব্য বিষয় –
[1] সমীকরণের উভয়পক্ষে একই সংখ্যা যোগ করলে, পক্ষ দুটি সমান থাকে।
[2] সমীকরনের উভয়পক্ষ থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করলে, পক্ষ দুটি সমান থাকে।
[3] সমীকরণের উভয়পক্ষকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে, পক্ষ দুটি সমান থাকে।
[4] সমীকরণের উভয়পক্ষকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে, পক্ষ দুটি সমান থাকে।
[5] কোনো ধনাত্মক রাশির পক্ষ পরিবর্তন হলে, তার মান ঋণাত্মক হয়। x+a = b হলে, x=b-a হবে।
[6] কোনো ঋণাত্মক রাশির পক্ষ পরিবর্তন হলে, তার মান ধনাত্মক হয়। অর্থাৎ x-a = b হলে x = a+b হবে।
Q. তিনটি সংখ্যার মধ্যে দ্বিতীয়টি প্রথমটির দ্বিগুণ এবং তৃতীয়টির তিনগুণ। তিনটি সংখ্যার গড় 44 হলে, বড়ো সংখ্যাটি হল- [SSC CGL Exam 2008]
(a) 24
(b) 72
(c) 36
(d) 108
Answer – (b) 72
সমাধান – ধরা যাক, সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে x, 2x, 2x/3। প্রশ্নানুসারে, x+2x+ 2x/3 = 3×44 বা 11x/3 = 3×44 বা, x=36। বড়ো সংখ্যা 2x = 72 ।
Q. অরুণের ইংরেজি ও অঙ্কের প্রাপ্ত নম্বরের সমষ্টি 170 এবং নম্বরের পাথর্ক্য 10। ইংরেজি ও অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বরের অনুপাত হল- [SSC CGL Exam 2008]
(a) 7:8
(b) 8:7
(c) 9:8
(d) 9:7
Answer – (c) 9:8
সমাধান – ধরা যাক, অরুণের ইংরেজি ও অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে x ও y l
প্রশ্নানুসারে, x+y = 170 এবং x-y = 10
(1)+(2) থেকে পাই, 2x = 180 বা, x = 90
y=x-10 = 90-10 = 80
: . ইংরেজি ও অঙ্কে প্রাপ্ত নম্বরের অনুপাত= 90:80 = 9:8 |
Q. কোনো সংখ্যাকে 53 দিয়ে গুণ করার বদলে এক ছাত্র ভুল করে 35 দিয়ে গুণ করল এবং সঠিক উত্তর থেকে 1206 কম পেল। সংখ্যাটি কত ছিল? [SSC CGL Exam 2006]
(a) 62
(b) 67
(c) 74
(d) 76
Answer – (b) 67
সমাধান – ধরা যাক, সংখ্যাটি x। প্রশ্নানুসারে, 35x = 53x – 1206 বা, ( 53 – 35 )x = 1206 বা, x = 1206/18 = 67।
Q. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 2500। যদি একটি সংখ্যা, অপরটির চারগুণ হয় তবে সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত? [SSC CGL Exam 2001-02]
(a) 25
(b) 125
(c) 225
(d) 250
Answer – (b) 125
সমাধান – ধরা যাক, সংখ্যা দুটি x ও 4x। প্রশ্নানুসারে, x. 4x = 2500
বা, X² = 2500/4 = 625 বা, x=25।
সংখ্যা দুটির সমষ্টি = 25+25 × 4 = 125 ।
Q. দুটি সংখ্যার সমষ্টি 22 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 404। সংখ্যা দুটির গুণফল কত? [SSC CGL Exam 2000]
(a) 40
(b) 44
(c) 80
(d) 88
Answer – (a) 40
সমাধান – ধরা যাক, সংখ্যা দুটি x ও y। প্রশ্নানুসারে, x+y= 22 এবং x² + y² = 404
:. x-y = ( x+y )² – ( x² + y² )/2 = 484 – 404/2 = 80/2 = 40
Problem Solving by Algebraic Equations Question with Solutions
Q. একটি সংখ্যার বর্গ, অপর দুটি সংখ্যা 68 ও 32-এর বর্গের অন্তরের সমান। সংখ্যাটি হল- [SSC CGL Exam 2008]
(a) 36
(b) 48
(c) 60
(d) 64
Answer – (c) 60
সমাধান – সংখ্যাটি x হলে, x² = (68)² – (32)² বা, x² = (68+32)(68-32) = 100×36 বা, x = 60
Q. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যা ও সেই সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যা দুটির সমষ্টি সর্বদা কত দ্বারা বিভাজ্য? [SSC CGL Exam 2008]
(a) 11
(b) 9
(c) 5
(d) 3
Answer – (a) 11
সমাধান – ধরা যাক, সংখ্যাটির একক স্থানের অঙ্ক ও দশক স্থানের অঙ্ক যথাক্রমে y ও x । অর্থাৎ সংখ্যাটি হল 10x + y। সংখ্যাটির অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি হবে 10y + x। অর্থাৎ সংখ্যাটি এবং তার অঙ্ক দুটি স্থান পরিবর্তন করে পাওয়া সংখ্যাটির সমষ্টি = 10x + y + 10y + x = 11(x + y) অর্থাৎ যোগফলটি সর্বদা 11 দ্বারা বিভাজ্য।
Q. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যা এবং সংখ্যাটির অঙ্ক দুটির সমষ্টির অনুপাত 7:1। দশক ঘরের অঙ্ক একক ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 1 বেশি হলে, সংখ্যাটি হল- [SSC CGL Exam 2006]
(a) 65
(b) 43
(c) 32
(d) 21
Answer – (d) 21
সমাধান – ধরা যাক, সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক ও দশক ঘরের অঙ্ক যথাক্রমে x ও x+1। অর্থাৎ, সংখ্যাটি হল 10(x+1)+1। প্রমানুসারে, 11x+10/(x+1)+x = 7/1
বা,11x+10= 14x+7 বা, x=1। :. সংখ্যাটি= 11x+10 = 21।
Q. 10 বছর আগে A-এর বয়স B-এর অর্ধেক ছিল।বর্তমানে তাদের বয়সের অনুপাত 3:4 হলে, বর্তমানে বয়সের সমষ্টি কত? [RRB Bhopal 2007]
(a) 20 বছর
(b) 14 বছর
(c) 35 বছর
(d) 30 বছর
Answer – (c) 35 বছর
সমাধান – ধরা যাক, A ও B-এর বর্তমান বয়স যথাক্রমে 3x বছর ও 4x বছর। প্রশ্নানুসারে, 3x-10=½(4x-10) বা, 3x-2x = 10-5 বা,x = 5
বর্তমানে A ও B-এর বয়সের সমষ্টি = 3x+4x =7x=35 বছর।
Q. হর্ষ এবং রীতার বর্তমান বয়স যথাক্রমে 40 বছর ও 60 বছর। কত বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত 3:5 ছিল? [SSC CGL Exam 2002]
(a) 10 বছর
(b) 20 বছর
(c) 37 বছর
(d) 5 বছর
Answer – (a) 10 বছর
সমাধান – ধরা যাক, x বছর আগে হর্ষ ও রীতার বয়সের অনুপাত ছিল 3:5। অর্থাৎ, 40-x/60-x=3/5 বা, 200-5x = 180-3x বা, 2x = 20 বা,x = 10
SSC CGL Algebra Questions Solved Problem with Detailed Solutions
Q. বর্তমানে দুই ভই-এর বয়সের অনুপাত 1:2 এবং 5 বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল 1:3। 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে? [SSC CGL Exam 2001-02]
(a) 1:4
(b) 2:3
(c) 3:5
(d) 5:6
Answer – (d) 5:6
সমাধান – ধরা যাক, পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর।
পিতার বর্তমান বয়স = (3x+3) বছর
প্রশ্নানুসারে, 3x+3+3= 2(x+3)+10 বা 3x+6=2x+16 বা x = 10
:. পিতার বর্তমান বয়স = 33 বছর।
Q. a ও b দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমন যে, a²-b² = 19, তাহলে a = ? [SSC CGL TIER-I Exam 2010]
(a) 19
(b) 20
(c) 9
(d) 10
Answer – (d) 10
সমাধান – a²-b² = 19 বা, (a+b)(a-b) = 19 x 1 বা, a+b = 19 ও a-b=1 বা, a = 10 (সমাধান করে)
Q. রমেশের কিছু গরু ও কিছু মুরগি আছে। তাদের মাথার সংখ্যা 48 ও পায়ের সংখ্যা 140 হলে, মুরগির সংখ্যা হল- [RRB Gorakhpur 2010]
(a) 22
(b) 23
(c) 24
(d) 26
Answer – (d) 26
সমাধান – মুরগি সংখ্যা x ও গরু সংখ্যা y ধরা হলে, x+y= 48 এবং 2x+4y= 140। সমাধান করে পাওয়া যায় x = 26।
Q. পরপর তিনটি বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণ, তৃতীয়টির দুইগুণের থেকেও বেশি। তৃতীয় সংখ্যাটি কত? [WBCS (Prelim) 2012]
(a) 9
(b) 15
(c) 13
(d) 11
Answer – (b) 15
সমাধান – পরপর তিনটি বিজোড় সংখ্যা x, x + 2, x + 4 হলে, 3x = 2(x+4)+3 বা, x = 11
Q. তিনটি সংখ্যার অনুপাত 3:4:5। বড়ো এবং ছোটো সংখ্যার সমষ্টি হল তৃতীয় ও 52-এর সমষ্টির সমান। ছোটো সংখ্যাটি হল- [WBCS (Main) 2015]
(a) 20
(b) 27
(c) 39
(d) 52
Answer – (c) 39
সমাধান – সংখ্যা তিনটি 3x, 4x, 5x হলে, 3x+5x = 4x+52 বা, a = 13 :. ছোটো সংখ্যা = 3x = 39।
Mathematics MCQ in Bengali for WBP, KP, WBPSC, WBCS, WBSSC, Rail, Group – C , Group – D, Bank, Primary Tet, NTPC, ANM GNM
