Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Positive Integers / ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা

Explanation (ব্যাখ্যা): The Well-Ordering Principle is a fundamental property of positive integers (or natural numbers). It guarantees that any collection of positive integers that is not empty must have a smallest member. This property does not hold for integers (e.g., {…, -3, -2, -1}), rationals, or reals.
Well-Ordering Principle হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার (বা স্বাভাবিক সংখ্যার) একটি মৌলিক ধর্ম। এটি নিশ্চিত করে যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যেকোনো অশূন্য সংগ্রহে একটি ক্ষুদ্রতম সদস্য থাকবেই। এই ধর্মটি পূর্ণসংখ্যা (যেমন, {…, -3, -2, -1}), মূলদ সংখ্যা বা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 24

Explanation (ব্যাখ্যা): We can use the Euclidean algorithm. 72 = 1 * 48 + 24. Then, 48 = 2 * 24 + 0. The last non-zero remainder is the GCD. Hence, GCD(48, 72) = 24.
আমরা ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারি। 72 = 1 * 48 + 24। তারপর, 48 = 2 * 24 + 0। শেষ অশূন্য ভাগশেষটি হলো গ.সা.গু.। সুতরাং, গ.সা.গু.(48, 72) = 24।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) p divides a or p divides b / p, a কে ভাগ করবে অথবা p, b কে ভাগ করবে

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the statement of Euclid’s Lemma (or first theorem). If a prime number divides the product of two integers, it must divide at least one of those integers.
এটি ইউক্লিডের লেমা (বা প্রথম উপপাদ্য)-এর বিবৃতি। যদি কোনো মৌলিক সংখ্যা দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে ভাগ করে, তবে তাকে অবশ্যই ওই দুটি সংখ্যার অন্তত একটিকে ভাগ করতে হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Every integer greater than 1 is either a prime or can be written as a unique product of primes.

Explanation (ব্যাখ্যা): Also known as the Fundamental Theorem of Arithmetic, it states that every integer greater than 1 can be represented as a product of prime numbers in a way that is unique, apart from the order of the factors.
পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য নামেও পরিচিত, এটি বলে যে 1-এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায় এবং এই প্রকাশটি উৎপাদকগুলির ক্রম ছাড়া অনন্য।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Their GCD is 1 / তাদের গ.সা.গু. 1 হয়

Explanation (ব্যাখ্যা): Two integers are relatively prime (or coprime) if their greatest common divisor is 1. For example, 8 and 9 are relatively prime because GCD(8, 9) = 1, even though neither 8 nor 9 is a prime number.
দুটি পূর্ণসংখ্যা পরস্পর মৌলিক (বা সহমৌলিক) হয় যদি তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক 1 হয়। উদাহরণস্বরূপ, 8 এবং 9 পরস্পর মৌলিক কারণ গ.সা.গু.(8, 9) = 1, যদিও 8 বা 9 কেউই মৌলিক সংখ্যা নয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 0 ≤ r < b

Explanation (ব্যাখ্যা): The division algorithm guarantees that the remainder ‘r’ is non-negative and strictly less than the divisor ‘b’. This uniqueness of q (quotient) and r (remainder) is fundamental.
ভাগ অ্যালগরিদম নিশ্চিত করে যে ভাগশেষ ‘r’ সর্বদা অ-ঋণাত্মক এবং ভাজক ‘b’-এর থেকে কঠোরভাবে ছোট হবে। এই q (ভাগফল) এবং r (ভাগশেষ)-এর অনন্যতা একটি মৌলিক ধারণা।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The infinitude of prime numbers / মৌলিক সংখ্যার অসীমতা

Explanation (ব্যাখ্যা): Euclid’s famous proof by contradiction shows that there cannot be a largest prime number, and therefore, the set of prime numbers is infinite.
ইউক্লিডের বিখ্যাত ‘প্রুফ বাই কন্ট্রাডিকশন’ পদ্ধতি দেখায় যে কোনো বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা থাকতে পারে না, এবং সেই কারণে মৌলিক সংখ্যার সেটটি অসীম।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Proving the statement is true for an initial value, usually n=1 / একটি প্রাথমিক মানের জন্য বিবৃতিটি সত্য প্রমাণ করা, সাধারণত n=1

Explanation (ব্যাখ্যা): The first principle of mathematical induction requires two steps: 1. The Basis Step: Prove the statement P(n) is true for the first case (e.g., n=1). 2. The Inductive Step: Assume P(k) is true and prove that P(k+1) is also true.
গাণিতিক আরোহের প্রথম নীতিতে দুটি ধাপ প্রয়োজন: ১. ভিত্তি ধাপ: প্রমাণ করা যে বিবৃতি P(n) প্রথম ক্ষেত্রের জন্য (যেমন, n=1) সত্য। ২. আরোহী ধাপ: ধরে নেওয়া যে P(k) সত্য এবং প্রমাণ করা যে P(k+1)ও সত্য।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) (15, 28)

Explanation (ব্যাখ্যা): GCD(14, 35) = 7. GCD(21, 33) = 3. GCD(12, 18) = 6. The prime factors of 15 are 3 and 5. The prime factors of 28 are 2 and 7. They share no common factors, so GCD(15, 28) = 1.
গ.সা.গু.(14, 35) = 7। গ.সা.গু.(21, 33) = 3। গ.সা.গু.(12, 18) = 6। 15-এর মৌলিক উৎপাদক হলো 3 এবং 5। 28-এর মৌলিক উৎপাদক হলো 2 এবং 7। তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু.(15, 28) = 1।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Mathematical Induction / গাণিতিক আরোহ

Explanation (ব্যাখ্যা): This is a classic example of a result proven using the principle of mathematical induction. We prove it for n=1 (base case) and then show that if it’s true for n=k, it must be true for n=k+1 (inductive step).
এটি গাণিতিক আরোহ নীতি ব্যবহার করে প্রমাণিত একটি ক্লাসিক উদাহরণ। আমরা এটি n=1 (ভিত্তি ধাপ) এর জন্য প্রমাণ করি এবং তারপরে দেখাই যে যদি এটি n=k এর জন্য সত্য হয়, তবে এটি n=k+1 (আরোহী ধাপ) এর জন্যও সত্য হতে হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) (3, -4)

Explanation (ব্যাখ্যা): A complex number z = a + ib is represented as the ordered pair (a, b), where ‘a’ is the real part and ‘b’ is the imaginary part. So, 3 – 4i corresponds to (3, -4).
একটি জটিল সংখ্যা z = a + ib কে অর্ডারড পেয়ার (a, b) হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে ‘a’ হলো বাস্তব অংশ এবং ‘b’ হলো কাল্পনিক অংশ। সুতরাং, 3 – 4i এর জন্য (3, -4) হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 13

Explanation (ব্যাখ্যা): The modulus of a complex number z = a + ib is given by |z| = sqrt(a² + b²). Here, a=5 and b=12. So, |z| = sqrt(5² + 12²) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13.
একটি জটিল সংখ্যা z = a + ib এর মডিউলাস হলো |z| = sqrt(a² + b²)। এখানে, a=5 এবং b=12। সুতরাং, |z| = sqrt(5² + 12²) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) cos(nθ) + i sin(nθ)

Explanation (ব্যাখ্যা): De-Moivre’s theorem is a fundamental formula in complex number theory. It provides a direct way to calculate powers of complex numbers in polar form. Using Euler’s notation, (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ), which expands to cos(nθ) + i sin(nθ).
ডি-ময়েভারের উপপাদ্যটি জটিল সংখ্যা তত্ত্বের একটি মৌলিক সূত্র। এটি পোলার আকারে জটিল সংখ্যার ঘাত গণনা করার একটি সরাসরি উপায় প্রদান করে। অয়লারের নোটেশন ব্যবহার করে, (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ), যা விரிস্তৃত করলে cos(nθ) + i sin(nθ) হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) i

Explanation (ব্যাখ্যা): The powers of ‘i’ repeat in a cycle of 4: i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1. To find i¹⁰¹, we can divide 101 by 4. 101 = 4 * 25 + 1. So, i¹⁰¹ = (i⁴)²⁵ * i¹ = (1)²⁵ * i = i.
‘i’ এর ঘাতগুলো 4 এর চক্রে পুনরাবৃত্তি হয়: i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1। i¹⁰¹ খুঁজে পেতে, আমরা 101 কে 4 দ্বারা ভাগ করতে পারি। 101 = 4 * 25 + 1। সুতরাং, i¹⁰¹ = (i⁴)²⁵ * i¹ = (1)²⁵ * i = i।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Two-dimensional plane / দ্বি-মাত্রিক তল

Explanation (ব্যাখ্যা): The Argand diagram, or complex plane, uses a two-dimensional Cartesian coordinate system where the x-axis represents the real part and the y-axis represents the imaginary part of a complex number.
আর্গান্ড ডایاগ্রাম বা জটিল তল, একটি দ্বি-মাত্রিক কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে যেখানে x-অক্ষটি বাস্তব অংশ এবং y-অক্ষটি জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশকে উপস্থাপন করে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) -3π/4

Explanation (ব্যাখ্যা): The complex number z = -1 – i is in the third quadrant. The angle α = tan⁻¹(|b/a|) = tan⁻¹(|-1/-1|) = tan⁻¹(1) = π/4. For the third quadrant, the principal argument is θ = -(π – α) = -(π – π/4) = -3π/4.
জটিল সংখ্যা z = -1 – i তৃতীয় কোয়াড্রান্টে অবস্থিত। কোণ α = tan⁻¹(|b/a|) = tan⁻¹(|-1/-1|) = tan⁻¹(1) = π/4। তৃতীয় কোয়াড্রান্টের জন্য, প্রধান আর্গুমেন্ট হলো θ = -(π – α) = -(π – π/4) = -3π/4।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) e^(ix) = cos(x) + i sin(x)

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the definition of Euler’s formula, a cornerstone of mathematical analysis. It shows the deep relationship between the exponential function and trigonometric functions in the complex plane.
এটি অয়লারের সূত্রের সংজ্ঞা, যা গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি ভিত্তি। এটি জটিল তলে এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মধ্যে গভীর সম্পর্ক দেখায়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) (e^(iz) + e^(-iz)) / 2

Explanation (ব্যাখ্যা): From Euler’s formula, e^(iz) = cos(z) + i sin(z) and e^(-iz) = cos(z) – i sin(z). Adding these two equations gives e^(iz) + e^(-iz) = 2cos(z), which rearranges to cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2.
অয়লারের সূত্র থেকে, e^(iz) = cos(z) + i sin(z) এবং e^(-iz) = cos(z) – i sin(z)। এই দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাওয়া যায় e^(iz) + e^(-iz) = 2cos(z), যা থেকে cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2 পাওয়া যায়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) iπ/2

Explanation (ব্যাখ্যা): The complex logarithm is Log(z) = ln|z| + i Arg(z). For z = i, |z| = 1 and the principal argument Arg(z) = π/2. Therefore, Log(i) = ln(1) + i(π/2) = 0 + iπ/2 = iπ/2.
জটিল লগারিদম হলো Log(z) = ln|z| + i Arg(z)। z = i এর জন্য, |z| = 1 এবং প্রধান আর্গুমেন্ট Arg(z) = π/2। সুতরাং, Log(i) = ln(1) + i(π/2) = 0 + iπ/2 = iπ/2।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 16

Explanation (ব্যাখ্যা): First, convert 1 + i to polar form. |1+i| = √2. Argument θ = tan⁻¹(1/1) = π/4. So, 1+i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Now, (1+i)⁸ = (√2)⁸(cos(8π/4) + i sin(8π/4)) = 16(cos(2π) + i sin(2π)) = 16(1 + 0i) = 16.
প্রথমে, 1 + i কে পোলার আকারে রূপান্তর করুন। |1+i| = √2। আর্গুমেন্ট θ = tan⁻¹(1/1) = π/4। সুতরাং, 1+i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))। এখন, (1+i)⁸ = (√2)⁸(cos(8π/4) + i sin(8π/4)) = 16(cos(2π) + i sin(2π)) = 16(1 + 0i) = 16।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) At least one complex root / অন্তত একটি জটিল বীজ

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the precise statement of the theorem. A direct consequence is that an n-th degree polynomial has exactly n complex roots, counted with multiplicity.
এটি উপপাদ্যটির সঠিক বিবৃতি। এর একটি সরাসরি ফলাফল হলো যে একটি n-ঘাতের বহুপদীর মাল্টিপ্লিসিটি সহ ঠিক n-টি জটিল বীজ থাকে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 2 – 3i

Explanation (ব্যাখ্যা): For a polynomial with real coefficients, complex roots must occur in conjugate pairs. The conjugate of a + ib is a – ib. So, the conjugate of 2 + 3i is 2 – 3i.
বাস্তব সহগযুক্ত একটি বহুপদীর জন্য, জটিল বীজগুলি অবশ্যই অনুবন্ধী জোড়ায় থাকে। a + ib এর অনুবন্ধী হলো a – ib। সুতরাং, 2 + 3i এর অনুবন্ধী হলো 2 – 3i।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) 4

Explanation (ব্যাখ্যা): We count the number of sign changes in the coefficients of P(x). The signs are +, -, +, -, +. The changes are: (+ to -), (- to +), (+ to -), (- to +). There are 4 sign changes. Therefore, the maximum number of positive real roots is 4.
আমরা P(x) এর সহগগুলির মধ্যে চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যা গণনা করি। চিহ্নগুলি হলো +, -, +, -, +। পরিবর্তনগুলি হলো: (+ থেকে -), (- থেকে +), (+ থেকে -), (- থেকে +)। এখানে 4টি চিহ্ন পরিবর্তন হয়েছে। অতএব, ধনাত্মক বাস্তব বীজের সর্বাধিক সংখ্যা 4।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 7

Explanation (ব্যাখ্যা): For a general cubic equation ax³ + bx² + cx + d = 0, the sum of the roots (α + β + γ) is -b/a. Here, a=1, b=-7. So, the sum is -(-7)/1 = 7.
একটি সাধারণ ত্রিঘাত সমীকরণ ax³ + bx² + cx + d = 0 এর জন্য, বীজগুলির যোগফল (α + β + γ) হলো -b/a। এখানে, a=1, b=-7। সুতরাং, যোগফল হলো -(-7)/1 = 7।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Cubic equations / ত্রিঘাত সমীকরণ

Explanation (ব্যাখ্যা): Cardan’s method provides a general algebraic solution for finding the roots of a cubic equation (a third-degree polynomial equation). Ferrari’s method is used for bi-quadratic (quartic) equations.
কার্ডানের পদ্ধতি ত্রিঘাত সমীকরণের (তৃতীয়-ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণ) বীজগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি সাধারণ বীজগাণিতিক সমাধান প্রদান করে। ফেরারির পদ্ধতি চতুর্ঘাত (কোয়ার্টিক) সমীকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) q

Explanation (ব্যাখ্যা): For a cubic equation ax³ + bx² + cx + d = 0, the sum of the product of roots taken two at a time (αβ + βγ + γα) is c/a. In the given equation x³ – px² + qx – r = 0, we have a=1, b=-p, c=q. So, Σαβ = q/1 = q.
একটি ত্রিঘাত সমীকরণ ax³ + bx² + cx + d = 0 এর জন্য, দুটি করে বীজের গুণফলের যোগফল (αβ + βγ + γα) হলো c/a। প্রদত্ত সমীকরণে x³ – px² + qx – r = 0, আমাদের আছে a=1, b=-p, c=q। সুতরাং, Σαβ = q/1 = q।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) If α is a root, then 1/α is also a root / যদি α একটি বীজ হয়, তাহলে 1/α-ও একটি বীজ হবে

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the definition of a reciprocal equation. A common characteristic of such polynomial equations is that the coefficients are palindromic (e.g., ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0).
এটি অন্যোন্যক সমীকরণের সংজ্ঞা। এই ধরনের বহুপদী সমীকরণের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হলো সহগগুলি প্যালিনড্রোমিক হয় (যেমন, ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0)।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) x/k

Explanation (ব্যাখ্যা): Let the new variable be y, such that y = kx. This means x = y/k. Substituting x with y/k in the original equation f(x) = 0 gives f(y/k) = 0. This new equation in y has roots that are k times the original roots.
ধরা যাক নতুন চলকটি হলো y, যেখানে y = kx। এর মানে x = y/k। মূল সমীকরণ f(x) = 0-এ x-কে y/k দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে f(y/k) = 0 পাওয়া যায়। y চলকের এই নতুন সমীকরণের বীজগুলো মূল বীজের k গুণ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) P(α) = 0 and P'(α) = 0

Explanation (ব্যাখ্যা): If α is a multiple root of P(x)=0, it means (x-α) is a factor of P(x) at least twice. This implies that α is a root of both the polynomial P(x) and its derivative P'(x).
যদি α, P(x)=0 এর একটি একাধিক বীজ হয়, তার মানে (x-α) হলো P(x) এর অন্তত দুবার উৎপাদক। এর থেকে বোঝা যায় যে α বহুপদী P(x) এবং তার অবকল (derivative) P'(x) উভয়েরই একটি বীজ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Quartic (bi-quadratic) equations / চতুর্ঘাত (কোয়ার্টিক) সমীকরণ

Explanation (ব্যাখ্যা): Ferrari’s method is a general procedure for finding the roots of a fourth-degree polynomial (quartic) by reducing it to solving a cubic equation (the resolvent cubic).
ফেরারির পদ্ধতি হলো একটি চতুর্থ-ডিগ্রি বহুপদীর (কোয়ার্টিক) বীজ খুঁজে বের করার একটি সাধারণ প্রক্রিয়া, যা এটিকে একটি ত্রিঘাত সমীকরণ (the resolvent cubic) সমাধানে রূপান্তরিত করে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) A.M. ≥ G.M. ≥ H.M.

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the fundamental inequality of the means. Equality holds if and only if all the numbers in the set are equal.
এটি মধ্যকগুলির মৌলিক অসমতা। সমতা তখনই প্রযোজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি সেটের সমস্ত সংখ্যা সমান হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) (a+b)/2

Explanation (ব্যাখ্যা): The Arithmetic Mean (A.M.) of a set of numbers is their sum divided by the count of numbers. For ‘a’ and ‘b’, it is (a+b)/2.
একটি সংখ্যা সেটের সমান্তরীয় মধ্যক (A.M.) হলো তাদের যোগফলকে সংখ্যার সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা। ‘a’ এবং ‘b’-এর জন্য এটি (a+b)/2।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 2

Explanation (ব্যাখ্যা): Using the A.M. ≥ G.M. inequality for the numbers x and 1/x: (x + 1/x)/2 ≥ √(x * 1/x). This simplifies to (x + 1/x)/2 ≥ √1, so x + 1/x ≥ 2. The minimum value is 2, which occurs when x = 1/x, i.e., x=1.
x এবং 1/x সংখ্যা দুটির জন্য A.M. ≥ G.M. অসমতা ব্যবহার করে: (x + 1/x)/2 ≥ √(x * 1/x)। এটি সরল করলে হয় (x + 1/x)/2 ≥ √1, সুতরাং x + 1/x ≥ 2। সর্বনিম্ন মান হলো 2, যা ঘটে যখন x = 1/x, অর্থাৎ x=1।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) (a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the standard form of the Cauchy-Schwarz inequality for two-dimensional vectors (a₁, a₂) and (b₁, b₂). It can be generalized for n dimensions as (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²). Equality holds when the vectors are linearly dependent (i.e., aᵢ = kbᵢ for some constant k).
এটি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর (a₁, a₂) এবং (b₁, b₂)-এর জন্য কোশি-শোয়ার্জ অসমতার স্ট্যান্ডার্ড রূপ। এটিকে n মাত্রার জন্য (Σaᵢbᵢ)² ≤ (Σaᵢ²)(Σbᵢ²) হিসাবে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। সমতা ঘটে যখন ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় (অর্থাৎ, কোনো ধ্রুবক k-এর জন্য aᵢ = kbᵢ)।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 12

Explanation (ব্যাখ্যা): Let the numbers be a, b, c. We are given abc = 64. Using A.M. ≥ G.M.: (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc). So, (a+b+c)/3 ≥ ³√(64) = 4. This gives a+b+c ≥ 12. The minimum value of the sum is 12, which occurs when a=b=c=4.
ধরা যাক সংখ্যা তিনটি a, b, c। দেওয়া আছে abc = 64। A.M. ≥ G.M. ব্যবহার করে: (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)। সুতরাং, (a+b+c)/3 ≥ ³√(64) = 4। এটি থেকে পাওয়া যায় a+b+c ≥ 12। যোগফলের সর্বনিম্ন মান 12, যা ঘটে যখন a=b=c=4।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 3

Explanation (ব্যাখ্যা): The H.M. of n numbers is n divided by the sum of their reciprocals. H.M. = 3 / (1/2 + 1/3 + 1/6). The common denominator is 6. H.M. = 3 / ((3+2+1)/6) = 3 / (6/6) = 3 / 1 = 3.
n সংখ্যার H.M. হলো n-কে তাদের অন্যোন্যকের যোগফল দিয়ে ভাগ করা। H.M. = 3 / (1/2 + 1/3 + 1/6)। সাধারণ হর হলো 6। H.M. = 3 / ((3+2+1)/6) = 3 / (6/6) = 3 / 1 = 3।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) -1

Explanation (ব্যাখ্যা): The equation x²-x+1=0 gives the complex cube roots of -1. We can see this by multiplying the equation by (x+1): (x+1)(x²-x+1) = x³+1 = 0. Therefore, x³ = -1. So, for any root α, α³ = -1.
x²-x+1=0 সমীকরণটি -1-এর জটিল ঘনমূলগুলো দেয়। আমরা সমীকরণটিকে (x+1) দিয়ে গুণ করে এটি দেখতে পারি: (x+1)(x²-x+1) = x³+1 = 0। অতএব, x³ = -1। সুতরাং, যেকোনো বীজ α-এর জন্য, α³ = -1।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Modulus, Argument / মডিউলাস, আর্গুমেন্ট

Explanation (ব্যাখ্যা): In the polar representation of a complex number, ‘r’ represents the distance from the origin (the modulus) and ‘θ’ represents the angle with the positive real axis (the argument or amplitude).
একটি জটিল সংখ্যার পোলার উপস্থাপনায়, ‘r’ মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব (মডিউলাস) এবং ‘θ’ ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে কোণ (আর্গুমেন্ট বা অ্যামপ্লিচিউড) উপস্থাপন করে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 0

Explanation (ব্যাখ্যা): The cube roots of unity are the solutions to the equation z³-1 = 0. This factors as (z-1)(z²+z+1) = 0. The roots are z=1, and the roots of z²+z+1=0, which are ω and ω². Thus, ω²+ω+1 = 0. This is a fundamental property of the cube roots of unity.
এককের ঘনমূলগুলি z³-1 = 0 সমীকরণের সমাধান। এটিকে উৎপাদকে ভাঙলে (z-1)(z²+z+1) = 0 হয়। বীজগুলি হলো z=1 এবং z²+z+1=0-এর বীজগুলি, যা হলো ω এবং ω²। সুতরাং, ω²+ω+1 = 0। এটি এককের ঘনমূলগুলির একটি মৌলিক ধর্ম।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 2³ × 3² × 5

Explanation (ব্যাখ্যা): We can break down 360: 360 = 36 × 10 = (6 × 6) × (2 × 5) = (2 × 3) × (2 × 3) × 2 × 5. Collecting the prime factors, we get 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. Option D is incorrect because 10 is not a prime number.
আমরা 360-কে ভাঙতে পারি: 360 = 36 × 10 = (6 × 6) × (2 × 5) = (2 × 3) × (2 × 3) × 2 × 5। মৌলিক উৎপাদকগুলি সংগ্রহ করলে, আমরা পাই 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5। বিকল্প D ভুল কারণ 10 একটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 3 – √5

Explanation (ব্যাখ্যা): For polynomial equations with rational coefficients, irrational roots (surds) must occur in conjugate pairs. The conjugate of a + √b is a – √b. So, the conjugate of 3 + √5 is 3 – √5.
মূলদ সহগযুক্ত বহুপদী সমীকরণের জন্য, অমূলদ বীজগুলি (করণী) অনুবন্ধী জোড়ায় থাকে। a + √b এর অনুবন্ধী হলো a – √b। সুতরাং, 3 + √5 এর অনুবন্ধী হলো 3 – √5।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Real number / বাস্তব সংখ্যা

Explanation (ব্যাখ্যা): We use the definition a^z = e^(z Log a). So, i^i = e^(i Log i). The principal logarithm Log(i) = ln|i| + i Arg(i) = ln(1) + i(π/2) = iπ/2. Therefore, i^i = e^(i * iπ/2) = e^(-π/2), which is a real number.
আমরা a^z = e^(z Log a) সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি। সুতরাং, i^i = e^(i Log i)। প্রধান লগারিদম Log(i) = ln|i| + i Arg(i) = ln(1) + i(π/2) = iπ/2। অতএব, i^i = e^(i * iπ/2) = e^(-π/2), যা একটি বাস্তব সংখ্যা।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) All integers from the base case up to k / ভিত্তি ধাপ থেকে k পর্যন্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য

Explanation (ব্যাখ্যা): In strong induction, to prove P(k+1), we assume that P(m) is true for all integers m such that n₀ ≤ m ≤ k (where n₀ is the base case). This is a stronger assumption than assuming only P(k) is true.
শক্তিশালী আরোহ পদ্ধতিতে, P(k+1) প্রমাণ করার জন্য, আমরা ধরে নিই যে P(m) সমস্ত পূর্ণসংখ্যা m এর জন্য সত্য, যেখানে n₀ ≤ m ≤ k (n₀ হলো ভিত্তি ধাপ)। এটি শুধুমাত্র P(k) সত্য ধরার চেয়ে একটি শক্তিশালী অনুমান।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Bézout’s Identity / বেজআউটের অভেদ

Explanation (ব্যাখ্যা): Bézout’s identity states that the greatest common divisor ‘d’ of two integers ‘a’ and ‘b’ can be expressed as a linear combination of ‘a’ and ‘b’.
বেজআউটের অভেদ অনুযায়ী, দুটি পূর্ণসংখ্যা ‘a’ এবং ‘b’-এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক ‘d’-কে ‘a’ এবং ‘b’-এর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) -7

Explanation (ব্যাখ্যা): For a polynomial equation aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0, the product of the roots is (-1)ⁿ * (a₀/aₙ). Here, n=4, a₄=1, a₀=-7. The product is (-1)⁴ * (-7/1) = 1 * (-7) = -7.
একটি বহুপদী সমীকরণ aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ = 0-এর জন্য, বীজগুলির গুণফল হলো (-1)ⁿ * (a₀/aₙ)। এখানে, n=4, a₄=1, a₀=-7। গুণফল হলো (-1)⁴ * (-7/1) = 1 * (-7) = -7।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) e^(z log a)

Explanation (ব্যাখ্যা): Exponentiation with a complex exponent is defined via the natural exponential and logarithm functions: a^z = e^(z log a). Since log(a) can be multi-valued, a^z is also generally multi-valued.
জটিল ঘাতের সাথে এক্সপোনেনসিয়েশনকে স্বাভাবিক এক্সপোনেনশিয়াল এবং লগারিদম ফাংশনের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়: a^z = e^(z log a)। যেহেতু log(a) বহু-মানযুক্ত হতে পারে, তাই a^z সাধারণত বহু-মানযুক্ত হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) log(z + √(z² + 1))

Explanation (ব্যাখ্যা): This formula is derived by setting w = sinh⁻¹(z), which means z = sinh(w) = (eʷ – e⁻ʷ)/2, and then solving for w in terms of z.
এই সূত্রটি w = sinh⁻¹(z) ধরে নিয়ে উদ্ভূত হয়, যার অর্থ z = sinh(w) = (eʷ – e⁻ʷ)/2, এবং তারপর z এর সাপেক্ষে w এর জন্য সমাধান করা হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) p² – 2q

Explanation (ব্যাখ্যা): We know α + β = p and αβ = q. We can write α² + β² = (α + β)² – 2αβ. Substituting the values, we get p² – 2q.
আমরা জানি α + β = p এবং αβ = q। আমরা লিখতে পারি α² + β² = (α + β)² – 2αβ। মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা p² – 2q পাই।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) cos(z)

Explanation (ব্যাখ্যা): By definition, cosh(w) = (eʷ + e⁻ʷ)/2. Let w = iz. Then cosh(iz) = (e^(iz) + e^(-iz))/2. This is the exponential definition of cos(z).
সংজ্ঞা অনুসারে, cosh(w) = (eʷ + e⁻ʷ)/2। ধরা যাক w = iz। তাহলে cosh(iz) = (e^(iz) + e^(-iz))/2। এটি cos(z) এর এক্সপোনেনশিয়াল সংজ্ঞা।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) P(-x)

Explanation (ব্যাখ্যা): The number of negative real roots of P(x)=0 is equal to the number of positive real roots of P(-x)=0. Therefore, we apply Descartes’ Rule of Signs to the polynomial P(-x).
P(x)=0 এর ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সংখ্যা P(-x)=0 এর ধনাত্মক বাস্তব বীজের সংখ্যার সমান। অতএব, আমরা P(-x) বহুপদীর উপর ডেকার্টের চিহ্ন বিধি প্রয়োগ করি।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) arg(z₁) + arg(z₂)

Explanation (ব্যাখ্যা): If z₁ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) and z₂ = r₂(cosθ₂ + isinθ₂), then their product z₁z₂ = r₁r₂(cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)). Thus, arg(z₁z₂) = θ₁ + θ₂ = arg(z₁) + arg(z₂).
যদি z₁ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) এবং z₂ = r₂(cosθ₂ + isinθ₂) হয়, তাহলে তাদের গুণফল z₁z₂ = r₁r₂(cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂))। সুতরাং, arg(z₁z₂) = θ₁ + θ₂ = arg(z₁) + arg(z₂)।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) 1/x

Explanation (ব্যাখ্যা): Let y be a root of the new equation. We want y = 1/x, which implies x = 1/y. Substituting this into the original equation gives f(1/y) = 0. This is the new equation with reciprocal roots.
ধরা যাক y নতুন সমীকরণের একটি বীজ। আমরা চাই y = 1/x, যা বোঝায় x = 1/y। এটিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে f(1/y) = 0 পাওয়া যায়। এটিই অন্যোন্যক বীজযুক্ত নতুন সমীকরণ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 2, 2ω, 2ω² (and C is the expanded form of B)

Explanation (ব্যাখ্যা): The cube roots of 1 are 1, ω, and ω². The cube roots of any number ‘a’ are ³√a, ³√a * ω, and ³√a * ω². The real cube root of 8 is 2. So the three roots are 2, 2ω, and 2ω². Since ω = (-1+i√3)/2 and ω² = (-1-i√3)/2, the roots are 2, 2((-1+i√3)/2) = -1+i√3, and 2((-1-i√3)/2) = -1-i√3. Both B and C are correct representations.
1 এর ঘনমূলগুলি হলো 1, ω, এবং ω²। যেকোনো সংখ্যা ‘a’ এর ঘনমূলগুলি হলো ³√a, ³√a * ω, এবং ³√a * ω²। 8 এর বাস্তব ঘনমূল হলো 2। সুতরাং তিনটি মূল হলো 2, 2ω, এবং 2ω²। যেহেতু ω = (-1+i√3)/2 এবং ω² = (-1-i√3)/2, মূলগুলি হলো 2, 2((-1+i√3)/2) = -1+i√3, এবং 2((-1-i√3)/2) = -1-i√3। B এবং C উভয়ই সঠিক উপস্থাপনা।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) x = y – a/3

Explanation (ব্যাখ্যা): This substitution transforms the equation into a “depressed cubic” of the form y³ + py + q = 0, which does not have a quadratic term and is the standard form required for Cardan’s solution.
এই প্রতিস্থাপনটি সমীকরণটিকে একটি “সংকুচিত ত্রিঘাত” y³ + py + q = 0 আকারে রূপান্তরিত করে, যার কোনো দ্বিঘাত পদ থাকে না এবং এটি কার্ডানের সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) m divides (a – b) / m, (a – b) কে ভাগ করে

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the definition of congruence. Two integers ‘a’ and ‘b’ are congruent modulo ‘m’ if their difference (a – b) is an integer multiple of ‘m’. Equivalently, ‘a’ and ‘b’ have the same remainder when divided by ‘m’.
এটি কনগ্রুয়েন্সের সংজ্ঞা। দুটি পূর্ণসংখ্যা ‘a’ এবং ‘b’ মডিউলো ‘m’ কনগ্রুয়েন্ট হবে যদি তাদের পার্থক্য (a – b) ‘m’ এর একটি পূর্ণসংখ্যার গুণিতক হয়। অন্যভাবে বললে, ‘a’ এবং ‘b’ কে ‘m’ দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) -1

Explanation (ব্যাখ্যা): If f(x) is a reciprocal polynomial of odd degree with coefficients of the same sign from both ends (e.g. a₀=aₙ, a₁=aₙ₋₁), then f(-1) will always be 0. Thus, x = -1 is a root.
যদি f(x) উভয় প্রান্ত থেকে একই চিহ্নের সহগযুক্ত (যেমন a₀=aₙ, a₁=aₙ₋₁) একটি বিজোড় ঘাতের অন্যোন্যক বহুপদী হয়, তাহলে f(-1) সর্বদা 0 হবে। সুতরাং, x = -1 একটি বীজ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) Circle / বৃত্ত

Explanation (ব্যাখ্যা): The equation |z – z₀| = R represents the set of all points ‘z’ whose distance from a fixed point ‘z₀’ is a constant ‘R’. This is the definition of a circle with center z₀ and radius R. Here, the center is (2, 3) and the radius is 5.
সমীকরণ |z – z₀| = R সমস্ত বিন্দু ‘z’ এর সেটকে উপস্থাপন করে যাদের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ‘z₀’ থেকে দূরত্ব একটি ধ্রুবক ‘R’। এটি z₀ কেন্দ্র এবং R ব্যাসার্ধযুক্ত একটি বৃত্তের সংজ্ঞা। এখানে, কেন্দ্র হলো (2, 3) এবং ব্যাসার্ধ হলো 5।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 1

Explanation (ব্যাখ্যা): We look at the pattern of the last digit of powers of 3: 3¹=3, 3²=9, 3³=27 (ends in 7), 3⁴=81 (ends in 1), 3⁵=243 (ends in 3). The pattern of last digits is 3, 9, 7, 1, which repeats every 4 powers. We need to find the remainder of 100 when divided by 4. 100/4 = 25 with a remainder of 0. A remainder of 0 corresponds to the last element in the cycle, which is 1. So, 3¹⁰⁰ ends in 1, and the remainder when divided by 10 is 1.
আমরা 3 এর ঘাতের শেষ অঙ্কের প্যাটার্ন দেখি: 3¹=3, 3²=9, 3³=27 (শেষ অঙ্ক 7), 3⁴=81 (শেষ অঙ্ক 1), 3⁵=243 (শেষ অঙ্ক 3)। শেষ অঙ্কের প্যাটার্নটি হলো 3, 9, 7, 1, যা প্রতি 4টি ঘাতের পর পুনরাবৃত্তি হয়। আমাদের 100 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ বের করতে হবে। 100/4 = 25 এবং ভাগশেষ 0। ভাগশেষ 0 চক্রের শেষ উপাদানের সাথে মিলে যায়, যা হলো 1। সুতরাং, 3¹⁰⁰ এর শেষ অঙ্ক 1, এবং 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1 হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Resolvent Cubic Equation / সমাধানকারী ত্রিঘাত সমীকরণ

Explanation (ব্যাখ্যা): Ferrari’s method cleverly manipulates the quartic equation to express it as a difference of two squares. The process of finding the right terms to add requires solving an auxiliary cubic equation, known as the resolvent cubic.
ফেরারির পদ্ধতি চতুরতার সাথে চতুর্ঘাত সমীকরণকে দুটি বর্গের পার্থক্য হিসাবে প্রকাশ করে। যোগ করার জন্য সঠিক পদগুলি খুঁজে বের করার প্রক্রিয়ায় একটি সহায়ক ত্রিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে হয়, যা সমাধানকারী ত্রিঘাত বা resolvent cubic নামে পরিচিত।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 64

Explanation (ব্যাখ্যা): By A.M. ≥ G.M. inequality, (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc). We are given a+b+c=12. So, 12/3 ≥ ³√(abc), which means 4 ≥ ³√(abc). Cubing both sides, we get 64 ≥ abc. The maximum value is 64, which occurs when a=b=c=4.
A.M. ≥ G.M. অসমতা দ্বারা, (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)। দেওয়া আছে a+b+c=12। সুতরাং, 12/3 ≥ ³√(abc), যার মানে 4 ≥ ³√(abc)। উভয় দিকে ঘন করে, আমরা 64 ≥ abc পাই। সর্বোচ্চ মান 64, যা ঘটে যখন a=b=c=4 হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) (1/2i) log((1 + iz)/(1 – iz)) or D) (1/2i) log((i – z)/(i + z))

Explanation (ব্যাখ্যা): Let w = tan⁻¹(z), so z = tan(w) = sin(w)/cos(w). Using exponential forms for sine and cosine, z = ((e^(iw)-e^(-iw))/2i) / ((e^(iw)+e^(-iw))/2). This simplifies to z = (1/i) * (e^(2iw)-1)/(e^(2iw)+1). Solving for e^(2iw) gives e^(2iw) = (1+iz)/(1-iz) = (i-z)/(i+z). Taking the logarithm and solving for w gives the results. Both A and D are equivalent forms.
ধরা যাক w = tan⁻¹(z), সুতরাং z = tan(w) = sin(w)/cos(w)। সাইন এবং কোসাইনের জন্য এক্সপোনেনশিয়াল ফর্ম ব্যবহার করে, z = ((e^(iw)-e^(-iw))/2i) / ((e^(iw)+e^(-iw))/2)। এটি সরল করে z = (1/i) * (e^(2iw)-1)/(e^(2iw)+1) হয়। e^(2iw) এর জন্য সমাধান করলে e^(2iw) = (1+iz)/(1-iz) = (i-z)/(i+z) পাওয়া যায়। লগারিদম নিয়ে এবং w এর জন্য সমাধান করলে ফলাফল পাওয়া যায়। A এবং D উভয়ই সমতুল্য রূপ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Transitivity / সংক্রমণশীলতা

Explanation (ব্যাখ্যা): The divisibility relation on the set of integers is a transitive relation. If ‘a’ divides ‘b’ and ‘b’ divides ‘c’, it implies that ‘a’ must also divide ‘c’.
পূর্ণসংখ্যার সেটের উপর বিভাজ্যতা সম্পর্কটি একটি সংক্রমণশীল সম্পর্ক। যদি ‘a’, ‘b’ কে ভাগ করে এবং ‘b’, ‘c’ কে ভাগ করে, তাহলে এটি বোঝায় যে ‘a’ অবশ্যই ‘c’ কেও ভাগ করবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) y³ + 6y² + 5y = 0

Explanation (ব্যাখ্যা): To get an equation with roots diminished by 2, we substitute x = y + 2. The equation becomes (y+2)³ – 7(y+2) + 6 = 0. Expanding this: (y³ + 6y² + 12y + 8) – (7y + 14) + 6 = 0. Simplifying gives y³ + 6y² + 5y = 0.
বীজগুলি 2 কমানো একটি সমীকরণ পেতে, আমরা x = y + 2 প্রতিস্থাপন করি। সমীকরণটি হয় (y+2)³ – 7(y+2) + 6 = 0। এটিকে প্রসারিত করলে: (y³ + 6y² + 12y + 8) – (7y + 14) + 6 = 0। সরল করলে y³ + 6y² + 5y = 0 পাওয়া যায়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

Explanation (ব্যাখ্যা): This is a fundamental property of the modulus of complex numbers. Geometrically, it means that the length of one side of a triangle (formed by vectors z₁, z₂, and z₁+z₂) cannot be greater than the sum of the lengths of the other two sides.
এটি জটিল সংখ্যার মডিউলাসের একটি মৌলিক ধর্ম। জ্যামিতিকভাবে, এর অর্থ হলো একটি ত্রিভুজের (z₁, z₂, এবং z₁+z₂ ভেক্টর দ্বারা গঠিত) এক বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফলের চেয়ে বেশি হতে পারে না।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) -2q

Explanation (ব্যাখ্যা): From Vieta’s formulas, Σα = 0, Σαβ = q, and αβγ = -r. We know that Σα² = (Σα)² – 2Σαβ. Substituting the values, we get Σα² = (0)² – 2(q) = -2q.
ভিয়েটার সূত্র থেকে, Σα = 0, Σαβ = q, এবং αβγ = -r। আমরা জানি Σα² = (Σα)² – 2Σαβ। মানগুলি প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই Σα² = (0)² – 2(q) = -2q।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The Unique Factorization Theorem / অনন্য উৎপাদকীকরণ উপপাদ্য

Explanation (ব্যাখ্যা): The standard proof assumes √p = a/b for integers a, b. This leads to p*b² = a². The Unique Factorization Theorem states that the prime factorization of any integer is unique. In p*b², the prime p appears an odd number of times, while in a², it must appear an even number of times. This contradiction proves the assumption was false.
প্রমিত প্রমাণটি ধরে নেয় যে পূর্ণসংখ্যা a, b এর জন্য √p = a/b। এটি p*b² = a² তে নিয়ে যায়। অনন্য উৎপাদকীকরণ উপপাদ্য অনুযায়ী, যেকোনো পূর্ণসংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ অনন্য। p*b² এ, মৌলিক সংখ্যা p একটি বিজোড় সংখ্যক বার আসে, যেখানে a² এ এটিকে অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যক বার আসতে হবে। এই विरोधाभासটি প্রমাণ করে যে অনুমানটি মিথ্যা ছিল।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Purely imaginary or zero / বিশুদ্ধ কাল্পনিক অথবা শূন্য

Explanation (ব্যাখ্যা): Let z = x + iy. Then z̄ = x – iy. The condition z = -z̄ becomes x + iy = -(x – iy) = -x + iy. Comparing real parts, we get x = -x, which implies 2x = 0, so x = 0. Thus, z = 0 + iy = iy, which is a purely imaginary number (or zero if y=0).
ধরা যাক z = x + iy। তাহলে z̄ = x – iy। z = -z̄ শর্তটি হয়ে যায় x + iy = -(x – iy) = -x + iy। বাস্তব অংশ তুলনা করে আমরা পাই x = -x, যা বোঝায় 2x = 0, সুতরাং x = 0। অতএব, z = 0 + iy = iy, যা একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা (অথবা শূন্য যদি y=0 হয়)।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Regular n-sided polygon / সুষম n-বাহু বহুভুজ

Explanation (ব্যাখ্যা): The n-th roots of unity are e^(2πik/n) for k = 0, 1, …, n-1. All these roots have a modulus of 1, so they lie on the unit circle. Their arguments are evenly spaced at intervals of 2π/n, so they form the vertices of a regular n-gon inscribed in the unit circle.
এককের n-তম মূলগুলি হলো k = 0, 1, …, n-1 এর জন্য e^(2πik/n)। এই সমস্ত মূলগুলির মডিউলাস 1, তাই তারা একক বৃত্তের উপর অবস্থিত। তাদের আর্গুমেন্টগুলি 2π/n ব্যবধানে সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত, তাই তারা একক বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি সুষম n-ভুজের শীর্ষবিন্দু গঠন করে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 9

Explanation (ব্যাখ্যা): This is a direct application of the AM-HM inequality. The AM is (a+b+c)/3 and the HM is 3/(1/a+1/b+1/c). Since AM ≥ HM, we have (a+b+c)/3 ≥ 3/(1/a+1/b+1/c). Rearranging this gives (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9. Alternatively, applying Cauchy-Schwarz to vectors (√a, √b, √c) and (1/√a, 1/√b, 1/√c) also yields the result.
এটি AM-HM অসমতার একটি সরাসরি প্রয়োগ। AM হলো (a+b+c)/3 এবং HM হলো 3/(1/a+1/b+1/c)। যেহেতু AM ≥ HM, আমরা পাই (a+b+c)/3 ≥ 3/(1/a+1/b+1/c)। এটিকে পুনর্বিন্যাস করলে (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 9 পাওয়া যায়। বিকল্পভাবে, (√a, √b, √c) এবং (1/√a, 1/√b, 1/√c) ভেক্টরগুলিতে কোশি-শোয়ার্জ প্রয়োগ করলেও ফলাফল পাওয়া যায়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 1

Explanation (ব্যাখ্যা): Let d be a common divisor of n and n+1. Then d must also divide their difference, (n+1) – n = 1. The only positive divisor of 1 is 1 itself. Therefore, the greatest common divisor must be 1.
ধরা যাক d, n এবং n+1 এর একটি সাধারণ গুণনীয়ক। তাহলে d অবশ্যই তাদের পার্থক্য, (n+1) – n = 1 কেও ভাগ করবে। 1 এর একমাত্র ধনাত্মক গুণনীয়ক হলো 1 নিজেই। অতএব, গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক অবশ্যই 1 হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) 1

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the fundamental identity for hyperbolic functions, analogous to cos²(θ) + sin²(θ) = 1. It can be proven by substituting the exponential definitions of cosh(z) and sinh(z).
এটি হাইপারবোলিক ফাংশনের জন্য মৌলিক অভেদ, যা cos²(θ) + sin²(θ) = 1 এর অনুরূপ। এটি cosh(z) এবং sinh(z) এর এক্সপোনেনশিয়াল সংজ্ঞা প্রতিস্থাপন করে প্রমাণ করা যেতে পারে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) n

Explanation (ব্যাখ্যা): A direct consequence of the Fundamental Theorem of Algebra is that a polynomial of degree n has exactly n roots in the complex number system (counting multiplicity). Since the set of real numbers is a subset of complex numbers, the number of distinct real roots cannot exceed n.
বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের একটি সরাসরি ফলাফল হলো যে n ঘাতের একটি বহুপদীর জটিল সংখ্যা প্রণালীতে ঠিক n টি বীজ থাকে (মাল্টিপ্লিসিটি গণনা করে)। যেহেতু বাস্তব সংখ্যার সেট জটিল সংখ্যার একটি উপসেট, তাই স্বতন্ত্র বাস্তব বীজের সংখ্যা n এর বেশি হতে পারে না।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) A real number greater than 1 / 1 এর চেয়ে বড় একটি বাস্তব সংখ্যা

Explanation (ব্যাখ্যা): Using the exponential definition, cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2. So, cos(i) = (e^(i*i) + e^(-i*i))/2 = (e⁻¹ + e¹)/2. This is the definition of cosh(1). Since e ≈ 2.718, cosh(1) = (1/e + e)/2 ≈ (0.367 + 2.718)/2 ≈ 1.543, which is a real number greater than 1.
এক্সপোনেনশিয়াল সংজ্ঞা ব্যবহার করে, cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2। সুতরাং, cos(i) = (e^(i*i) + e^(-i*i))/2 = (e⁻¹ + e¹)/2। এটি cosh(1) এর সংজ্ঞা। যেহেতু e ≈ 2.718, cosh(1) = (1/e + e)/2 ≈ (0.367 + 2.718)/2 ≈ 1.543, যা 1 এর চেয়ে বড় একটি বাস্তব সংখ্যা।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) The sequences (aᵢ) and (bᵢ) are proportional / (aᵢ) এবং (bᵢ) ক্রমগুলি সমানুপাতিক হয়

Explanation (ব্যাখ্যা): The equality condition for the Cauchy-Schwarz inequality is that the vectors (a₁, a₂, …) and (b₁, b₂, …) are linearly dependent. This means one sequence is a scalar multiple of the other, i.e., aᵢ = k * bᵢ for some constant k, for all i.
কোশি-শোয়ার্জ অসমতার সমতার শর্ত হলো যে (a₁, a₂, …) এবং (b₁, b₂, …) ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এর অর্থ হলো একটি ক্রম অন্যটির একটি স্কেলার গুণিতক, অর্থাৎ, সমস্ত i এর জন্য কোনো ধ্রুবক k এর জন্য aᵢ = k * bᵢ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 3

Explanation (ব্যাখ্যা): If the original equation has roots α, β, γ, the new equation will have roots α², β², γ². Since the number of roots remains the same (3), the degree of the new polynomial equation will also be 3.
যদি মূল সমীকরণের বীজ α, β, γ হয়, তবে নতুন সমীকরণের বীজ হবে α², β², γ²। যেহেতু বীজের সংখ্যা একই (3) থাকে, তাই নতুন বহুপদী সমীকরণের ঘাতও 3 হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) It remains unchanged by any permutation of the roots / বীজগুলির যেকোনো পারমুটেশন দ্বারা এটি অপরিবর্তিত থাকে

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the definition of a symmetric function of roots. For example, for roots α, β, γ, the function α+β+γ is symmetric because it is the same as β+α+γ or γ+β+α etc.
এটি বীজগুলির প্রতিসম ফাংশনের সংজ্ঞা। উদাহরণস্বরূপ, α, β, γ বীজগুলির জন্য, α+β+γ ফাংশনটি প্রতিসম কারণ এটি β+α+γ বা γ+β+α ইত্যাদির সমান।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) log(z) = Log(z) + 2nπi

Explanation (ব্যাখ্যা): The complex logarithm is multi-valued because the argument of a complex number is multi-valued (adding 2π doesn’t change the point). log(z) = ln|z| + i(Arg(z) + 2nπ) = (ln|z| + i Arg(z)) + 2nπi = Log(z) + 2nπi, for any integer n.
জটিল লগারিদম বহু-মানযুক্ত কারণ একটি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট বহু-মানযুক্ত হয় (2π যোগ করলে বিন্দু পরিবর্তন হয় না)। log(z) = ln|z| + i(Arg(z) + 2nπ) = (ln|z| + i Arg(z)) + 2nπi = Log(z) + 2nπi, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) p | a or p | b / p, a কে অথবা p, b কে ভাগ করে

Explanation (ব্যাখ্যা): This fundamental property of prime numbers states that if a prime divides a product of two integers, it must divide at least one of the integers. This is crucial for proving the Unique Factorization Theorem.
মৌলিক সংখ্যার এই মৌলিক ধর্মটি বলে যে যদি একটি মৌলিক সংখ্যা দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে ভাগ করে, তবে তাকে অবশ্যই পূর্ণসংখ্যাগুলির অন্তত একটিকে ভাগ করতে হবে। এটি অনন্য উৎপাদকীকরণ উপপাদ্য প্রমাণের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 2πi

Explanation (ব্যাখ্যা): We check if sinh(z + T) = sinh(z). sinh(z + 2πi) = (e^(z+2πi) – e^-(z+2πi))/2 = (e^z * e^(2πi) – e^-z * e^(-2πi))/2. Since e^(2πi) = e^(-2πi) = 1, this simplifies to (e^z – e^-z)/2 = sinh(z). So the period is 2πi.
আমরা sinh(z + T) = sinh(z) পরীক্ষা করি। sinh(z + 2πi) = (e^(z+2πi) – e^-(z+2πi))/2 = (e^z * e^(2πi) – e^-z * e^(-2πi))/2। যেহেতু e^(2πi) = e^(-2πi) = 1, এটি (e^z – e^-z)/2 = sinh(z) এ সরল হয়। সুতরাং পর্যায়কাল 2πi।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 6.4

Explanation (ব্যাখ্যা): For any two positive numbers, the relationship G.M.² = A.M. * H.M. holds. So, H.M. = G.M.² / A.M. = 8² / 10 = 64 / 10 = 6.4.
যেকোনো দুটি ধনাত্মক সংখ্যার জন্য, G.M.² = A.M. * H.M. সম্পর্কটি প্রযোজ্য। সুতরাং, H.M. = G.M.² / A.M. = 8² / 10 = 64 / 10 = 6.4।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) n-2

Explanation (ব্যাখ্যা): The equation xⁿ – 1 = 0 has n roots in total (the n-th roots of unity). For n > 2, two of these roots are always real: x=1 and x=-1 (if n is even), or just x=1 (if n is odd). But wait, only x=1 is always a real root. If n is even, x=-1 is also a real root. If n is odd, only x=1 is real. So, if n is even, there are n-2 non-real roots. If n is odd, there are n-1 non-real roots. The question is a bit ambiguous. Let’s assume the most general case. The roots are e^(2πik/n). The root is real if the angle is 0 or π. Angle is 0 for k=0 (giving root 1). Angle is π for 2k/n = 1 => k=n/2. This is possible only if n is even. So for n>2, there is always one real root (x=1) and a second real root (x=-1) if n is even. Thus, there are n-2 non-real roots if n is even, and n-1 if n is odd. Let’s refine the answer. The number of non-real roots is always even, as they come in conjugate pairs. Thus, for odd n, there are n-1 non-real roots. For even n, there are n-2. The question asks for *how many*, which implies a single answer. Let’s re-read the options. n-2 is a better general answer for n>2. For n=3, there are 2 (n-1) non-real roots. For n=4, there are 2 (n-2) non-real roots. For n=5, there are 4 (n-1) non-real roots. For n=6, there are 4 (n-2). The question is slightly flawed, but C is the best choice among the options, especially for even n. Let’s stick with C as the intended answer.
xⁿ – 1 = 0 সমীকরণের মোট n টি বীজ আছে (এককের n-তম মূল)। n > 2 এর জন্য, এর দুটি বাস্তব বীজ থাকে: x=1 এবং x=-1 (যদি n জোড় হয়), অথবা শুধু x=1 (যদি n বিজোড় হয়)। অপেক্ষা করুন, কেবল x=1 সর্বদা একটি বাস্তব মূল। যদি n জোড় হয়, x=-1-ও একটি বাস্তব মূল। যদি n বিজোড় হয়, তবে কেবল x=1 বাস্তব। সুতরাং, যদি n জোড় হয়, তবে n-2 টি অবাস্তব মূল থাকে। যদি n বিজোড় হয়, তবে n-1 টি অবাস্তব মূল থাকে। প্রশ্নটি কিছুটা অস্পষ্ট। আসুন সবচেয়ে সাধারণ কেসটি ধরি। মূলগুলি e^(2πik/n)। মূলটি বাস্তব হবে যদি কোণ 0 বা π হয়। k=0 এর জন্য কোণ 0 (মূল 1 দেয়)। কোণ π হবে 2k/n = 1 => k=n/2 এর জন্য। এটি কেবল তখনই সম্ভব যদি n জোড় হয়। সুতরাং n>2 এর জন্য, সর্বদা একটি বাস্তব মূল (x=1) এবং একটি দ্বিতীয় বাস্তব মূল (x=-1) থাকে যদি n জোড় হয়। অতএব, যদি n জোড় হয় তবে n-2 টি অবাস্তব মূল থাকে এবং যদি n বিজোড় হয় তবে n-1 টি। প্রশ্নটি কিছুটা ত্রুটিপূর্ণ, কিন্তু বিকল্পগুলির মধ্যে C সর্বোত্তম পছন্দ, বিশেষ করে জোড় n এর জন্য। আমরা C-কে উদ্দিষ্ট উত্তর হিসাবে রাখব।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) The Division Algorithm / ভাগ অ্যালগরিদম

Explanation (ব্যাখ্যা): The statement of the Division Algorithm itself is that for any integers a and b with b > 0, there exist *unique* integers q (quotient) and r (remainder) such that a = bq + r and 0 ≤ r < b.
ভাগ অ্যালগরিদমের বিবৃতিটিই হলো যে কোনো পূর্ণসংখ্যা a এবং b এর জন্য যেখানে b > 0, *অনন্য* পূর্ণসংখ্যা q (ভাগফল) এবং r (ভাগশেষ) বিদ্যমান থাকে যাতে a = bq + r এবং 0 ≤ r < b হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) y³ + 2y² + y + 1 = 0

Explanation (ব্যাখ্যা): Let y = x². Then x = √y. Substitute this into the equation: (√y)³ + √y + 1 = 0. Rearrange to √y(y+1) = -1. Squaring both sides: y(y+1)² = (-1)². This gives y(y²+2y+1) = 1, which simplifies to y³ + 2y² + y – 1 = 0. Wait, there’s a calculation error. Let’s re-do. x³+x = -1. Square it: (x³+x)²=1 => x⁶+2x⁴+x²=1. Let y=x². Then y³+2y²+y-1=0. Let’s re-check the method. From x³+x+1=0, x³ = -x-1. We need an equation for y=x². (√y)³ + √y + 1 = 0 -> y√y + √y = -1 -> √y(y+1)=-1. Squaring: y(y+1)²=1 -> y(y²+2y+1)=1 -> y³+2y²+y-1=0. My calculation was correct. Let me check the options. Ah, perhaps there’s a typo in the options. Let’s try another method. Let the new equation be y³+Ay²+By+C=0. Sum of roots: α²+β²+γ² = (α+β+γ)²-2(αβ+βγ+γα). Here Σα=0, Σαβ=1. So A = -(α²+β²+γ²) = -((0)²-2(1)) = 2. So the equation starts y³-2y²+… Ah, I made a mistake in the formula for A. A = -Σα². The sum of roots of new equation is Σα² = -2q = -2(1) = -2. So -A = -2 => A=2. The equation is y³+Ay²+… => y³+2y²+… Let’s find C. C = -(α²β²γ²) = -(αβγ)² = -(-1)² = -1. So the equation ends with -1=0. Let’s find B. B = Σα²β² = (Σαβ)² – 2αβγ(Σα) = (1)² – 2(-1)(0) = 1. So the equation is y³ + 2y² + y – 1 = 0. Let’s re-examine the options. There must be a typo in the provided options. The correct answer should be y³ + 2y² + y – 1 = 0. Option B is the closest, with a sign difference. Let’s assume Option B is the intended answer with a typo.
ধরা যাক y = x²। তাহলে x = √y। এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: (√y)³ + √y + 1 = 0। পুনর্বিন্যাস করে √y(y+1) = -1। উভয় দিকে বর্গ করে: y(y+1)² = (-1)²। এটি y(y²+2y+1) = 1 দেয়, যা y³ + 2y² + y – 1 = 0 এ সরল হয়। আমার গণনা সঠিক ছিল। বিকল্পগুলি পরীক্ষা করি। বিকল্পগুলিতে সম্ভবত একটি টাইপো আছে। আসুন অন্য পদ্ধতি চেষ্টা করি। ধরা যাক নতুন সমীকরণটি y³+Ay²+By+C=0। বীজের যোগফল: α²+β²+γ² = (α+β+γ)²-2(αβ+βγ+γα)। এখানে Σα=0, Σαβ=1। সুতরাং A = -(α²+β²+γ²) = -((0)²-2(1)) = 2। তাহলে সমীকরণটি y³-2y²+… দিয়ে শুরু হয়। আহ, আমি A এর সূত্রে ভুল করেছি। নতুন সমীকরণের বীজের যোগফল হলো Σα² = -2q = -2(1) = -2। সুতরাং -A = -2 => A=2। সমীকরণটি হলো y³+Ay²+… => y³+2y²+… আসুন C খুঁজে বের করি। C = -(α²β²γ²) = -(αβγ)² = -(-1)² = -1। সুতরাং সমীকরণটি -1=0 দিয়ে শেষ হয়। আসুন B খুঁজে বের করি। B = Σα²β² = (Σαβ)² – 2αβγ(Σα) = (1)² – 2(-1)(0) = 1। সুতরাং সমীকরণটি হলো y³ + 2y² + y – 1 = 0। আসুন বিকল্পগুলি পুনরায় পরীক্ষা করি। প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে অবশ্যই একটি টাইপো আছে। সঠিক উত্তর হওয়া উচিত y³ + 2y² + y – 1 = 0। বিকল্প B সবচেয়ে কাছাকাছি, একটি চিহ্ন পার্থক্যের সাথে। আসুন ধরি যে বিকল্প B একটি টাইপো সহ উদ্দিষ্ট উত্তর।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) The Fundamental Theorem of Algebra / বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

Explanation (ব্যাখ্যা): The Fundamental Theorem of Algebra states that every non-constant polynomial has at least one complex root. By repeatedly applying this theorem and dividing out the corresponding linear factor (x-r), we can show that an n-th degree polynomial must factor into exactly n linear factors, implying exactly n roots.
বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী, প্রতিটি অশূন্য বহুপদীর অন্তত একটি জটিল বীজ থাকে। এই উপপাদ্যটি বারবার প্রয়োগ করে এবং সংশ্লিষ্ট রৈখিক উৎপাদক (x-r) দিয়ে ভাগ করে, আমরা দেখাতে পারি যে একটি n-ঘাতের বহুপদীকে অবশ্যই ঠিক n টি রৈখিক উৎপাদকে ভাঙা যায়, যা ঠিক n টি বীজ বোঝায়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Exactly one unique solution modulo m / মডিউলো m-এ ঠিক একটি অনন্য সমাধান

Explanation (ব্যাখ্যা): When gcd(a,m) = 1, the integer ‘a’ has a multiplicative inverse modulo m. This means there exists an integer a⁻¹ such that a*a⁻¹ ≡ 1 (mod m). We can multiply the congruence by a⁻¹ to find x ≡ b*a⁻¹ (mod m), which gives a unique solution for x modulo m.
যখন গ.সা.গু.(a,m) = 1 হয়, তখন পূর্ণসংখ্যা ‘a’-এর মডিউলো m-এ একটি গুণগত বিপরীত থাকে। এর অর্থ এমন একটি পূর্ণসংখ্যা a⁻¹ বিদ্যমান যাতে a*a⁻¹ ≡ 1 (mod m) হয়। আমরা কনগ্রুয়েন্সটিকে a⁻¹ দিয়ে গুণ করে x ≡ b*a⁻¹ (mod m) খুঁজে পেতে পারি, যা মডিউলো m-এ x-এর জন্য একটি অনন্য সমাধান দেয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) |z₁ – z₂| ≥ ||z₁| – |z₂||

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the reverse (or inverse) triangle inequality. It provides a lower bound for the modulus of a sum or difference of complex numbers.
এটি বিপরীত (বা ইনভার্স) ত্রিভুজ অসমতা। এটি জটিল সংখ্যার যোগফল বা পার্থক্যের মডিউলাসের জন্য একটি নিম্ন সীমা প্রদান করে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) n

Explanation (ব্যাখ্যা): A polynomial of degree n has exactly n complex roots when counted with multiplicity. If all roots are distinct (i.e., no multiple roots), then it has exactly n distinct complex roots.
n ঘাতের একটি বহুপদীর মাল্টিপ্লিসিটি সহ ঠিক n টি জটিল বীজ থাকে। যদি সমস্ত বীজ স্বতন্ত্র হয় (অর্থাৎ, কোনো একাধিক বীজ না থাকে), তবে এর ঠিক n টি স্বতন্ত্র জটিল বীজ থাকে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) (-1)ⁿ⁻¹

Explanation (ব্যাখ্যা): The n-th roots of unity are the roots of the equation xⁿ – 1 = 0. By Vieta’s formulas, the product of the roots is (-1)ⁿ * (constant term / leading coefficient) = (-1)ⁿ * (-1/1) = -(-1)ⁿ = (-1)¹ * (-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹. However, a simpler way is -(-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁻¹ is not right. It should be -(-1)ⁿ = (-1) * (-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹. Let’s re-evaluate. The product of the roots is `(-1)^n * a_0 / a_n`. Here `a_n=1` and `a_0=-1`. So product is `(-1)^n * (-1) = -(-1)^n`. Let’s check. For n=2, roots are 1, -1. Product=-1. Formula gives -(-1)²=-1. Correct. For n=3, roots are 1, w, w². Product = w³=1. Formula gives -(-1)³= -(-1)=1. Correct. The expression -(-1)ⁿ is not directly one of the options. But -(-1)ⁿ = (-1)¹(-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹. Let’s check option D: (-1)ⁿ⁻¹. For n=2, it’s (-1)¹=-1. Correct. For n=3, it’s (-1)²=1. Correct. For n=4, product is 1*(-1)*i*(-i) = -1. Formula gives (-1)³=-1. Correct. So (-1)ⁿ⁻¹ is the correct simplified form.
এককের n-তম মূলগুলি xⁿ – 1 = 0 সমীকরণের বীজ। ভিয়েটার সূত্র অনুসারে, বীজের গুণফল হলো (-1)ⁿ * (ধ্রুবক পদ / অগ্রণী সহগ) = (-1)ⁿ * (-1/1) = -(-1)ⁿ। আসুন পরীক্ষা করি। n=2 এর জন্য, বীজগুলি 1, -1। গুণফল=-1। সূত্র দেয় -(-1)²=-1। সঠিক। n=3 এর জন্য, বীজগুলি 1, w, w²। গুণফল = w³=1। সূত্র দেয় -(-1)³= -(-1)=1। সঠিক। -(-1)ⁿ রাশিটি সরাসরি বিকল্পগুলির মধ্যে একটি নয়। কিন্তু -(-1)ⁿ = (-1)¹(-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹। আসুন বিকল্প D পরীক্ষা করি: (-1)ⁿ⁻¹। n=2 এর জন্য, এটি (-1)¹=-1। সঠিক। n=3 এর জন্য, এটি (-1)²=1। সঠিক। n=4 এর জন্য, গুণফল 1*(-1)*i*(-i) = -1। সূত্র দেয় (-1)³=-1। সঠিক। সুতরাং (-1)ⁿ⁻¹ হলো সঠিক সরলীকৃত রূপ।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 12

Explanation (ব্যাখ্যা): Using the AM-GM inequality on the two positive terms 4x² and 9/x²: (4x² + 9/x²)/2 ≥ √(4x² * 9/x²). This simplifies to (4x² + 9/x²)/2 ≥ √36 = 6. Therefore, 4x² + 9/x² ≥ 12. The minimum value is 12.
দুটি ধনাত্মক পদ 4x² এবং 9/x² এর উপর AM-GM অসমতা ব্যবহার করে: (4x² + 9/x²)/2 ≥ √(4x² * 9/x²)। এটি সরল করে (4x² + 9/x²)/2 ≥ √36 = 6 হয়। অতএব, 4x² + 9/x² ≥ 12। সর্বনিম্ন মান 12।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Prove P(n₀) is true / P(n₀) সত্য প্রমাণ করা

Explanation (ব্যাখ্যা): Mathematical induction does not always start at n=1. The base case (or basis step) must be proven for the first value for which the statement is claimed to be true, which is n₀.
গাণিতিক আরোহ সর্বদা n=1 থেকে শুরু হয় না। ভিত্তি ধাপটি অবশ্যই প্রথম মানের জন্য প্রমাণ করতে হবে যার জন্য বিবৃতিটি সত্য বলে দাবি করা হয়েছে, যা হলো n₀।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) i

Explanation (ব্যাখ্যা): To simplify, we multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator: [(1+i)(1+i)] / [(1-i)(1+i)] = (1 + 2i + i²) / (1 – i²) = (1 + 2i – 1) / (1 – (-1)) = 2i / 2 = i.
সরল করার জন্য, আমরা লব এবং হরকে হরের অনুবন্ধী দিয়ে গুণ করি: [(1+i)(1+i)] / [(1-i)(1+i)] = (1 + 2i + i²) / (1 – i²) = (1 + 2i – 1) / (1 – (-1)) = 2i / 2 = i।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) P(a) = P'(a) = … = P⁽ᵏ⁻¹⁾(a) = 0, and P⁽ᵏ⁾(a) ≠ 0

Explanation (ব্যাখ্যা): A root ‘a’ has multiplicity k if it is a root of the polynomial and its first k-1 derivatives, but not a root of its k-th derivative.
একটি বীজ ‘a’ এর মাল্টিপ্লিসিটি k হবে যদি এটি বহুপদী এবং তার প্রথম k-1 ডেরিভেটিভগুলির একটি বীজ হয়, কিন্তু তার k-তম ডেরিভেটিভের বীজ না হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Not every non-empty subset has a least element / প্রতিটি অশূন্য উপসেটের ক্ষুদ্রতম উপাদান নেই

Explanation (ব্যাখ্যা): This is the definition of not being well-ordered. For example, the set of all integers {…, -3, -2, -1, 0, 1, …} is non-empty but has no smallest element. The same is true for the subset of negative integers.
এটি ওয়েল-অর্ডারড না হওয়ার সংজ্ঞা। উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট {…, -3, -2, -1, 0, 1, …} অশূন্য কিন্তু এর কোনো ক্ষুদ্রতম উপাদান নেই। একই কথা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপসেটের জন্যও সত্য।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Vertical line x=5 / উল্লম্ব রেখা x=5

Explanation (ব্যাখ্যা): If z = x + iy, then Re(z) = x. The condition Re(z) = 5 translates to x = 5 in the Cartesian coordinate system, which is a vertical line.
যদি z = x + iy হয়, তবে Re(z) = x। Re(z) = 5 শর্তটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় x = 5 এ রূপান্তরিত হয়, যা একটি উল্লম্ব রেখা।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) y = x + 1/x

Explanation (ব্যাখ্যা): A reciprocal equation like ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0, when divided by x², becomes a(x²+1/x²)+b(x+1/x)+c=0. Using the substitution y = x+1/x, we have y² = x²+2+1/x², so x²+1/x² = y²-2. The entire equation can then be written in terms of y.
ax⁴+bx³+cx²+bx+a=0 এর মতো একটি অন্যোন্যক সমীকরণকে x² দিয়ে ভাগ করলে a(x²+1/x²)+b(x+1/x)+c=0 হয়। y = x+1/x প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে, আমরা পাই y² = x²+2+1/x², সুতরাং x²+1/x² = y²-2। সম্পূর্ণ সমীকরণটি তখন y এর মাধ্যমে লেখা যায়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) i sinh(x)

Explanation (ব্যাখ্যা): Using the exponential definition sin(z) = (e^(iz) – e^(-iz))/2i. Let z = ix. Then sin(ix) = (e^(i*ix) – e^(-i*ix))/2i = (e⁻ˣ – eˣ)/2i = -(eˣ – e⁻ˣ)/2i = (1/i) * (-(eˣ – e⁻ˣ)/2) = -i * (-sinh(x)) = i sinh(x).
এক্সপোনেনশিয়াল সংজ্ঞা sin(z) = (e^(iz) – e^(-iz))/2i ব্যবহার করে। ধরা যাক z = ix। তাহলে sin(ix) = (e^(i*ix) – e^(-i*ix))/2i = (e⁻ˣ – eˣ)/2i = -(eˣ – e⁻ˣ)/2i = (1/i) * (-(eˣ – e⁻ˣ)/2) = -i * (-sinh(x)) = i sinh(x)।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) The numbers are equal / সংখ্যা দুটি সমান

Explanation (ব্যাখ্যা): Let the numbers be a and b. We have a+b = k. By AM-GM, (a+b)/2 ≥ √ab. This means k/2 ≥ √ab, so ab ≤ k²/4. The maximum value of the product is k²/4, and this equality holds when a = b = k/2.
ধরা যাক সংখ্যা দুটি a এবং b। আমাদের আছে a+b = k। AM-GM অনুসারে, (a+b)/2 ≥ √ab। এর মানে k/2 ≥ √ab, সুতরাং ab ≤ k²/4। গুণফলের সর্বোচ্চ মান k²/4, এবং এই সমতাটি ঘটে যখন a = b = k/2 হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Euclid’s Second Theorem / ইউক্লিডের দ্বিতীয় উপপাদ্য

Explanation (ব্যাখ্যা): Euclid’s classic proof by contradiction that demonstrates the infinitude of prime numbers is often referred to as his second great theorem in number theory.
ইউক্লিডের ক্লাসিক ‘প্রুফ বাই কন্ট্রাডিকশন’ যা মৌলিক সংখ্যার অসীমতা প্রদর্শন করে, তাকে প্রায়শই সংখ্যা তত্ত্বে তার দ্বিতীয় মহান উপপাদ্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Origin (0,0) / মূলবিন্দু (0,0) থেকে

Explanation (ব্যাখ্যা): In the Argand diagram, the modulus |z| = √(x²+y²) represents the length of the vector from the origin to the point (x,y) representing the complex number.
আর্গান্ড ডایاগ্রামে, মডিউলাস |z| = √(x²+y²) মূলবিন্দু থেকে জটিল সংখ্যাটিকে উপস্থাপনকারী বিন্দু (x,y) পর্যন্ত ভেক্টরের দৈর্ঘ্যকে উপস্থাপন করে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The number of complex roots is even / জটিল বীজের সংখ্যা জোড়

Explanation (ব্যাখ্যা): Descartes’ rule gives the maximum number of positive real roots (3) and negative real roots (2). The total number of real roots is at most 3+2=5. If the degree of the polynomial is ‘n’, the number of complex roots is n – (number of real roots). Since complex roots occur in conjugate pairs for real-coefficient polynomials, their total number must always be even.
ডেকার্টের বিধি ধনাত্মক বাস্তব বীজের সর্বাধিক সংখ্যা (3) এবং ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সর্বাধিক সংখ্যা (2) দেয়। মোট বাস্তব বীজের সংখ্যা সর্বাধিক 3+2=5। যদি বহুপদীর ঘাত ‘n’ হয়, তবে জটিল বীজের সংখ্যা হলো n – (বাস্তব বীজের সংখ্যা)। যেহেতু বাস্তব সহগযুক্ত বহুপদীর জন্য জটিল বীজগুলি অনুবন্ধী জোড়ায় আসে, তাই তাদের মোট সংখ্যা সর্বদা জোড় হতে হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 0

Explanation (ব্যাখ্যা): The division algorithm states that for integers a and b with b > 0 (or more generally b ≠ 0), there exist unique integers q and r. Division by zero is undefined, so the algorithm is not applicable when the divisor is 0.
ভাগ অ্যালগরিদম অনুযায়ী, পূর্ণসংখ্যা a এবং b এর জন্য যেখানে b > 0 (বা আরও সাধারণভাবে b ≠ 0), অনন্য পূর্ণসংখ্যা q এবং r বিদ্যমান। শূন্য দ্বারা ভাগ অসংজ্ঞায়িত, তাই যখন ভাজক 0 হয় তখন অ্যালগরিদমটি প্রযোজ্য নয়।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The perpendicular bisector of the segment ab / ab রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক

Explanation (ব্যাখ্যা): This equation states that the distance from point z to point a is equal to the distance from point z to point b. The set of all points equidistant from two fixed points is the perpendicular bisector of the line segment connecting them.
এই সমীকরণটি বলে যে বিন্দু z থেকে বিন্দু a এর দূরত্ব বিন্দু z থেকে বিন্দু b এর দূরত্বের সমান। দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী সমস্ত বিন্দুর সেট হলো তাদের সংযোগকারী রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) (α, -α)

Explanation (ব্যাখ্যা): If f(x) contains only even powers of x, then f(x) = f(-x). If α is a root, f(α) = 0. Then f(-α) = f(α) = 0, so -α must also be a root.
যদি f(x) এ শুধুমাত্র x-এর জোড় ঘাত থাকে, তবে f(x) = f(-x)। যদি α একটি বীজ হয়, তবে f(α) = 0। তাহলে f(-α) = f(α) = 0, সুতরাং -α অবশ্যই একটি বীজ হবে।

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) When all the numbers are equal / যখন সমস্ত সংখ্যা সমান হয়

Explanation (ব্যাখ্যা): The strict inequality holds unless all the numbers in the set are identical. If a₁ = a₂ = … = aₙ, then their A.M., G.M., and H.M. will all be equal to that common value.
কঠোর অসমতাটি প্রযোজ্য হয় যতক্ষণ না সেটের সমস্ত সংখ্যা অভিন্ন হয়। যদি a₁ = a₂ = … = aₙ হয়, তবে তাদের A.M., G.M., এবং H.M. সবই সেই সাধারণ মানের সমান হবে।