Topic 1: Basic Concepts / বিষয় ১: প্রাথমিক ধারণা
1. Which of the following represents De Morgan’s law?
নিচের কোনটি ডি মরগানের সূত্রটিকে উপস্থাপন করে?
Correct Answer: A
Explanation: De Morgan’s laws state that the complement of the union of two sets is the intersection of their complements, and the complement of the intersection of two sets is the union of their complements. Thus, (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ is one of De Morgan’s laws.
ব্যাখ্যা: ডি মরগানের সূত্রানুযায়ী, দুটি সেটের সংযোগের পূরক সেট হলো তাদের পূরক সেটের ছেদ, এবং দুটি সেটের ছেদের পূরক সেট হলো তাদের পূরক সেটের সংযোগ। সুতরাং, (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ হলো ডি মরগানের একটি সূত্র।
2. What is the symmetric difference of two sets A and B, denoted by A Δ B?
দুটি সেট A এবং B-এর প্রতিসম অন্তর (symmetric difference), যা A Δ B দ্বারা চিহ্নিত, সেটি কী?
Correct Answer: B
Explanation: The symmetric difference of two sets A and B is the set of elements which are in either of the sets, but not in their intersection. This is equivalent to the union of the differences (A – B) and (B – A). It can also be written as (A ∪ B) – (A ∩ B).
ব্যাখ্যা: দুটি সেট A এবং B-এর প্রতিসম অন্তর হলো সেই সমস্ত উপাদানগুলির সেট যা হয় A-তে আছে অথবা B-তে আছে, কিন্তু তাদের ছেদ সেটে নেই। এটি (A – B) এবং (B – A) এর সংযোগের সমান। এটিকে (A ∪ B) – (A ∩ B) হিসেবেও লেখা যায়।
3. If A = {1, 2} and B = {a, b}, what is the Cartesian product A × B?
যদি A = {1, 2} এবং B = {a, b} হয়, তাহলে কার্টেসিয়ান গুণফল A × B কী হবে?
Correct Answer: A
Explanation: The Cartesian product A × B is the set of all ordered pairs (x, y) such that x is in A and y is in B. So, for A = {1, 2} and B = {a, b}, A × B will contain all possible ordered pairs with the first element from A and the second from B.
ব্যাখ্যা: কার্টেসিয়ান গুণফল A × B হলো সমস্ত ক্রমিত জোড় (x, y)-এর সেট, যেখানে x উপাদানটি A সেটের এবং y উপাদানটি B সেটের। সুতরাং, A = {1, 2} এবং B = {a, b} এর জন্য, A × B হবে সেই সমস্ত ক্রমিত জোড়ের সেট যার প্রথম উপাদান A থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদান B থেকে নেওয়া হয়েছে।
4. A relation R on a set A is an equivalence relation if it is:
একটি সেট A-এর উপর একটি সম্বন্ধ R সমতুল্যতা সম্বন্ধ হবে যদি এটি:
Correct Answer: A
Explanation: By definition, a relation R on a set A is an equivalence relation if and only if it satisfies three properties:
1. Reflexivity: For all a ∈ A, (a, a) ∈ R.
2. Symmetry: If (a, b) ∈ R, then (b, a) ∈ R.
3. Transitivity: If (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R, then (a, c) ∈ R.
ব্যাখ্যা: সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সেট A-এর উপর একটি সম্বন্ধ R সমতুল্যতা সম্বন্ধ হবে যদি এবং কেবল যদি এটি তিনটি ধর্ম পূরণ করে:
১. স্বসম (Reflexive): সমস্ত a ∈ A-এর জন্য, (a, a) ∈ R।
২. প্রতিসম (Symmetric): যদি (a, b) ∈ R হয়, তবে (b, a) ∈ R হবে।
৩. সংক্রমণ (Transitive): যদি (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R হয়, তবে (a, c) ∈ R হবে।
5. The relation “is congruent to modulo n” on the set of integers Z is:
পূর্ণসংখ্যার সেট Z-এর উপর “n মডিউলোতে सर्वांगसम (congruent)” সম্বন্ধটি হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The congruence relation a ≡ b (mod n) is an equivalence relation because it is reflexive (a ≡ a (mod n)), symmetric (if a ≡ b (mod n), then b ≡ a (mod n)), and transitive (if a ≡ b (mod n) and b ≡ c (mod n), then a ≡ c (mod n)).
ব্যাখ্যা: a ≡ b (mod n) सर्वांगसमতা সম্বন্ধটি একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ কারণ এটি স্বসম (a ≡ a (mod n)), প্রতিসম (যদি a ≡ b (mod n) হয়, তবে b ≡ a (mod n)), এবং সংক্রমণ (যদি a ≡ b (mod n) এবং b ≡ c (mod n) হয়, তবে a ≡ c (mod n))।
6. A function f: A → B is called injective (one-to-one) if:
একটি অপেক্ষক f: A → B-কে ইনজেক্টিভ (এক-এক) বলা হয় যদি:
Correct Answer: A
Explanation: A function is injective or one-to-one if distinct elements in the domain map to distinct elements in the codomain. The formal definition is that for all x, y in the domain A, if f(x) = f(y), then it must be that x = y.
ব্যাখ্যা: একটি অপেক্ষক ইনজেক্টিভ বা এক-এক হয় যদি ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদান কোডোমোনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানে চিত্রিত হয়। এর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা হলো, ডোমেন A-এর সমস্ত x, y-এর জন্য, যদি f(x) = f(y) হয়, তবে অবশ্যই x = y হতে হবে।
7. A function f: A → B is called surjective (onto) if:
একটি অপেক্ষক f: A → B-কে সারজেক্টিভ (উপরিচিত্রণ) বলা হয় যদি:
Correct Answer: A
Explanation: A function is surjective or onto if every element in the codomain B has at least one corresponding element in the domain A. This means the range of the function is the entire codomain. Formally, for every y ∈ B, there exists an x ∈ A such that f(x) = y.
ব্যাখ্যা: একটি অপেক্ষক সারজেক্টিভ বা উপরিচিত্রণ হয় যদি কোডোমেন B-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেন A-তে কমপক্ষে একটি সংশ্লিষ্ট উপাদান থাকে। এর অর্থ হলো অপেক্ষকটির পাল্লা (range) সম্পূর্ণ কোডোমেন B-এর সমান। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রতিটি y ∈ B-এর জন্য, এমন একটি x ∈ A থাকবে যাতে f(x) = y হয়।
8. A function is bijective if it is:
একটি অপেক্ষক বাইজেক্টিভ হবে যদি এটি:
Correct Answer: A
Explanation: A function is called a bijection (or bijective) if it is both an injection (one-to-one) and a surjection (onto). This means that every element in the codomain is mapped to by exactly one element in the domain.
ব্যাখ্যা: একটি অপেক্ষককে বাইজেকশন (বা বাইজেক্টিভ) বলা হয় যদি এটি ইনজেক্টিভ (এক-এক) এবং সারজেক্টিভ (উপরিচিত্রণ) উভয়ই হয়। এর অর্থ হলো কোডোমেনের প্রতিটি উপাদান ডোমেনের ঠিক একটি উপাদান দ্বারা চিত্রিত হয়।
9. What is the composition (g ∘ f)(x) of two functions f(x) = x + 1 and g(x) = x²?
দুটি অপেক্ষক f(x) = x + 1 এবং g(x) = x² এর संयोजन (composition) (g ∘ f)(x) কী হবে?
Correct Answer: A
Explanation: The composition (g ∘ f)(x) means g(f(x)). First, we apply f(x), which gives x+1. Then we apply g to this result. So, g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)². Note that option D is just the expanded form of A. In the context of function composition, A is the more direct representation.
ব্যাখ্যা: संयोजन (g ∘ f)(x) এর অর্থ হলো g(f(x))। প্রথমে আমরা f(x) প্রয়োগ করি, যা x+1 দেয়। তারপর আমরা এই ফলাফলের উপর g প্রয়োগ করি। সুতরাং, g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)²। লক্ষ্য করুন যে বিকল্প D হলো A-এর সম্প্রসারিত রূপ। অপেক্ষকের संयोजन প্রসঙ্গে, A হলো অধিকতর সরাসরি উপস্থাপনা।
10. The fundamental theorem on equivalence relation states that there is a one-to-one correspondence between:
সমতুল্যতা সম্বন্ধের উপর মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে, নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি এক-এক সঙ্গতি (one-to-one correspondence) রয়েছে:
Correct Answer: A
Explanation: The fundamental theorem on equivalence relations establishes a natural bijection (one-to-one correspondence) between the set of all equivalence relations on a set S and the set of all partitions of S. Each equivalence relation induces a partition via its equivalence classes, and each partition defines an equivalence relation.
ব্যাখ্যা: সমতুল্যতা সম্বন্ধের উপর মৌলিক উপপাদ্যটি একটি সেট S-এর উপর সমস্ত সমতুল্যতা সম্বন্ধের সেট এবং S-এর সমস্ত বিভাজনের (partitions) সেটের মধ্যে একটি স্বাভাবিক বাইজেকশন (এক-এক সঙ্গতি) স্থাপন করে। প্রতিটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ তার সমতুল্যতা শ্রেণীগুলির মাধ্যমে একটি বিভাজন তৈরি করে এবং প্রতিটি বিভাজন একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধকে সংজ্ঞায়িত করে।
11. For any set A, what is A ∪ A’?
যেকোনো সেট A-এর জন্য, A ∪ A’ কী হবে?
Correct Answer: A
Explanation: The union of a set A and its complement A’ consists of all elements that are in A or not in A. By definition, this comprises all possible elements, which is the universal set U.
ব্যাখ্যা: একটি সেট A এবং তার পূরক সেট A’-এর সংযোগে সেই সমস্ত উপাদান থাকে যা A-তে আছে অথবা A-তে নেই। সংজ্ঞা অনুসারে, এটি সমস্ত সম্ভাব্য উপাদান নিয়ে গঠিত, যা সার্বিক সেট U।
12. A relation “less than or equal to” (≤) on the set of real numbers is:
বাস্তব সংখ্যার সেটের উপর “এর থেকে ছোট বা সমান” (≤) সম্বন্ধটি হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The relation ≤ is a partial order because it is reflexive (a ≤ a), anti-symmetric (if a ≤ b and b ≤ a, then a = b), and transitive (if a ≤ b and b ≤ c, then a ≤ c). It is not symmetric because a ≤ b does not imply b ≤ a (unless a=b), so it cannot be an equivalence relation.
ব্যাখ্যা: ≤ সম্বন্ধটি একটি আংশিক ক্রম (partial order) কারণ এটি স্বসম (a ≤ a), বিপ্রতিসম (anti-symmetric) (যদি a ≤ b এবং b ≤ a হয়, তবে a = b), এবং সংক্রমণ (যদি a ≤ b এবং b ≤ c হয়, তবে a ≤ c)। এটি প্রতিসম নয় কারণ a ≤ b হলে b ≤ a হবে এমন কোনো কথা নেই (যদি না a=b হয়), তাই এটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হতে পারে না।
13. Let f: R → R be defined by f(x) = x³. This function is:
ধরা যাক f: R → R সংজ্ঞায়িত হয়েছে f(x) = x³ দ্বারা। এই অপেক্ষকটি হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The function f(x) = x³ is injective because if x₁³ = x₂³, then x₁ = x₂. It is surjective because for any real number y, there exists a real number x = ³√y such that f(x) = y. Since it is both injective and surjective, it is bijective.
ব্যাখ্যা: f(x) = x³ অপেক্ষকটি ইনজেক্টিভ কারণ যদি x₁³ = x₂³ হয়, তবে x₁ = x₂ হবে। এটি সারজেক্টিভ কারণ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা y-এর জন্য, একটি বাস্তব সংখ্যা x = ³√y পাওয়া যাবে যাতে f(x) = y হয়। যেহেতু এটি ইনজেক্টিভ এবং সারজেক্টিভ উভয়ই, তাই এটি বাইজেক্টিভ।
14. If a function is bijective, it must have:
যদি একটি অপেক্ষক বাইজেক্টিভ হয়, তবে তার অবশ্যই থাকবে:
Correct Answer: A
Explanation: A function has an inverse if and only if it is bijective. The bijective property ensures that for every element in the codomain, there is a unique element in the domain that maps to it, which is the condition needed to define a well-behaved inverse function.
ব্যাখ্যা: একটি অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষক থাকে যদি এবং কেবল যদি সেটি বাইজেক্টিভ হয়। বাইজেক্টিভ ধর্মটি নিশ্চিত করে যে কোডোমেনের প্রতিটি উপাদানের জন্য ডোমেনে একটি অনন্য উপাদান রয়েছে যা সেটিতে চিত্রিত হয়, যা একটি সুসংজ্ঞাত বিপরীত অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত।
15. The composition of two bijections is:
দুটি বাইজেকশন-এর संयोजन হলো:
Correct Answer: A
Explanation: If f: A → B and g: B → C are both bijections, then their composition g ∘ f: A → C is also a bijection. The composition of two injections is an injection, and the composition of two surjections is a surjection. Therefore, the composition of two bijections is a bijection.
ব্যাখ্যা: যদি f: A → B এবং g: B → C উভয়ই বাইজেকশন হয়, তবে তাদের संयोजन g ∘ f: A → C-ও একটি বাইজেকশন হবে। দুটি ইনজেকশনের संयोजन একটি ইনজেকশন হয় এবং দুটি সারজেকশনের संयोजन একটি সারজেকশন হয়। সুতরাং, দুটি বাইজেকশনের संयोजन একটি বাইজেকশন।
16. How many congruence classes are there modulo 7?
মডিউলো 7-এর জন্য কতগুলি सर्वांगसमতা শ্রেণী (congruence classes) আছে?
Correct Answer: A
Explanation: For any integer n > 0, there are exactly n distinct congruence classes modulo n. These are the classes corresponding to the remainders 0, 1, 2, …, n-1. For n=7, the classes are [0], [1], [2], [3], [4], [5], and [6].
ব্যাখ্যা: যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n > 0 এর জন্য, মডিউলো n-এর ঠিক n-টি ভিন্ন सर्वांगसमতা শ্রেণী থাকে। এগুলি হলো ভাগশেষ 0, 1, 2, …, n-1 এর সাথে সম্পর্কিত শ্রেণীসমূহ। n=7 এর জন্য, শ্রেণীগুলি হলো [0], [1], [2], [3], [4], [5], এবং [6]।
17. Which property is NOT required for a relation to be a partial order?
একটি সম্বন্ধকে আংশিক ক্রম (partial order) হওয়ার জন্য কোন ধর্মটি আবশ্যক নয়?
Correct Answer: A
Explanation: A partial order relation must be reflexive, anti-symmetric, and transitive. The symmetric property is characteristic of equivalence relations, not partial orders. In fact, partial orders require anti-symmetry, which is a stronger condition than just not being symmetric.
ব্যাখ্যা: একটি আংশিক ক্রম সম্বন্ধকে অবশ্যই স্বসম, বিপ্রতিসম এবং সংক্রমণ হতে হবে। প্রতিসম ধর্মটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের বৈশিষ্ট্য, আংশিক ক্রমের নয়। প্রকৃতপক্ষে, আংশিক ক্রমের জন্য বিপ্রতিসমতা প্রয়োজন, যা কেবল প্রতিসম না হওয়ার চেয়ে একটি শক্তিশালী শর্ত।
18. If a set A has n elements, what is the number of elements in its power set P(A)?
যদি একটি সেট A-তে n সংখ্যক উপাদান থাকে, তবে তার সূচক সেট (power set) P(A)-তে উপাদানের সংখ্যা কত?
Correct Answer: A
Explanation: The power set P(A) of a set A is the set of all subsets of A, including the empty set and the set A itself. If a set A has n elements, then its power set P(A) has 2ⁿ elements.
ব্যাখ্যা: একটি সেট A-এর সূচক সেট P(A) হলো A-এর সমস্ত উপসেটের সেট, যার মধ্যে ফাঁকা সেট এবং A সেট নিজেও অন্তর্ভুক্ত। যদি একটি সেট A-তে n সংখ্যক উপাদান থাকে, তবে তার সূচক সেট P(A)-তে 2ⁿ সংখ্যক উপাদান থাকে।
19. The identity mapping I: A → A is defined by:
একসম চিত্রণ (identity mapping) I: A → A সংজ্ঞায়িত হয়:
Correct Answer: A
Explanation: The identity mapping on a set A is the function that maps every element to itself. That is, for every element x in the set A, the image of x under the identity map is x.
ব্যাখ্যা: একটি সেট A-এর উপর একসম চিত্রণ হলো সেই অপেক্ষক যা প্রতিটি উপাদানকে নিজের কাছেই চিত্রিত করে। অর্থাৎ, A সেটের প্রতিটি উপাদান x-এর জন্য, একসম চিত্রণের অধীনে x-এর প্রতিবিম্ব হলো x।
20. Which statement is true about the composition of mappings?
চিত্রণের সংযোজনের (composition of mappings) বিষয়ে কোন উক্তিটি সত্য?
Correct Answer: A
Explanation: The composition of mappings (functions) is associative. This means for three functions f, g, and h, (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f), provided the compositions are defined. However, composition is not generally commutative (i.e., f ∘ g ≠ g ∘ f).
ব্যাখ্যা: চিত্রণের (অপেক্ষকের) संयोजन সংযোগ নিয়ম (associative) মেনে চলে। এর অর্থ হলো, তিনটি অপেক্ষক f, g, এবং h-এর জন্য, (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f) হবে, যদি संयोजनগুলো সংজ্ঞায়িত হয়। তবে, संयोजन সাধারণত বিনিময় নিয়ম (commutative) মানে না (অর্থাৎ, f ∘ g ≠ g ∘ f)।
Topic 2: Introduction of Group Theory / বিষয় ২: গ্রুপ তত্ত্বের ভূমিকা
21. A non-empty set G with a binary operation * is called a group if it satisfies:
একটি অ-ফাঁকা সেট G একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া * সহ একটি গ্রুপ বলা হয় যদি এটি পূরণ করে:
Correct Answer: A
Explanation: A group is a set equipped with a binary operation that combines any two elements to form a third element in such a way that four conditions called group axioms are satisfied, namely closure, associativity, identity and invertibility.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ হলো একটি সেট যা একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া দ্বারা সজ্জিত, যা যেকোনো দুটি উপাদানকে একত্রিত করে একটি তৃতীয় উপাদান গঠন করে এমনভাবে যাতে চারটি শর্ত, যা গ্রুপ স্বতঃসিদ্ধ নামে পরিচিত, পূরণ হয়, যথা: আবদ্ধতা (closure), সংযোগ নিয়ম (associativity), একসম উপাদানের অস্তিত্ব (identity) এবং বিপরীত উপাদানের অস্তিত্ব (invertibility)।
22. What is a monoid?
একটি মনয়েড (monoid) কী?
Correct Answer: A
Explanation: A monoid is an algebraic structure with a single associative binary operation and an identity element. In other words, it is a semigroup that also has an identity element. A group is a monoid where every element has an inverse.
ব্যাখ্যা: একটি মনয়েড হলো একটি বীজগাণিতিক কাঠামো যার একটি সংযোগ নিয়মাবদ্ধ (associative) দ্বিপদ প্রক্রিয়া এবং একটি একসম উপাদান (identity element) রয়েছে। অন্য কথায়, এটি একটি সেমিগ্রুপ যার একটি একসম উপাদানও রয়েছে। একটি গ্রুপ হলো এমন একটি মনয়েড যেখানে প্রতিটি উপাদানের বিপরীত উপাদান থাকে।
23. The set of integers (Z, +) is an example of:
পূর্ণসংখ্যার সেট (Z, +) হলো একটি উদাহরণ:
Correct Answer: A
Explanation: The set of integers Z with the operation of addition (+) forms an infinite abelian group. It is a group (closure, associativity, identity is 0, inverse of ‘a’ is ‘-a’), it is infinite, and it is abelian (commutative) because a + b = b + a.
ব্যাখ্যা: যোগ (+) প্রক্রিয়ার অধীনে পূর্ণসংখ্যার সেট Z একটি অসীম অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে। এটি একটি গ্রুপ (আবদ্ধ, সংযোগ নিয়ম মানে, একসম উপাদান ০, ‘a’-এর বিপরীত ‘-a’), এটি অসীম, এবং এটি অ্যাবেলিয়ান (বিনিময় নিয়ম মানে) কারণ a + b = b + a।
24. What is the order of the Klein’s 4-group?
ক্লাইনের ৪-গ্রুপের (Klein’s 4-group) ক্রম (order) কত?
Correct Answer: A
Explanation: The Klein’s 4-group (or Vierergruppe, V₄) is a group with four elements. It is the smallest non-cyclic group. Every element except the identity has order 2.
ব্যাখ্যা: ক্লাইনের ৪-গ্রুপ (বা Vierergruppe, V₄) হলো চারটি উপাদান বিশিষ্ট একটি গ্রুপ। এটি ক্ষুদ্রতম অচক্রীয় (non-cyclic) গ্রুপ। একসম উপাদান ব্যতীত প্রতিটি উপাদানের ক্রম ২।
25. The order of an element ‘a’ in a group G is:
একটি গ্রুপ G-তে ‘a’ উপাদানের ক্রম (order) হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The order of an element ‘a’ in a group is the smallest positive integer ‘n’ for which aⁿ equals the identity element ‘e’ of the group. If no such integer exists, the element is said to have infinite order.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপের ‘a’ উপাদানের ক্রম হলো ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ‘n’ যার জন্য aⁿ গ্রুপটির একসম উপাদান ‘e’-এর সমান হয়। যদি এমন কোনো পূর্ণসংখ্যা না থাকে, তবে উপাদানটির ক্রম অসীম বলা হয়।
26. Lagrange’s theorem states that for any finite group G and any subgroup H of G:
ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো সসীম গ্রুপ G এবং তার যেকোনো উপগ্রুপ H-এর জন্য:
Correct Answer: A
Explanation: Lagrange’s theorem is a fundamental result in group theory which states that if H is a subgroup of a finite group G, then the order (number of elements) of H must divide the order of G. That is, |H| divides |G|.
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্য গ্রুপ তত্ত্বের একটি মৌলিক ফলাফল যা বলে যে যদি H একটি সসীম গ্রুপ G-এর উপগ্রুপ হয়, তবে H-এর ক্রম (উপাদানের সংখ্যা) অবশ্যই G-এর ক্রমকে ভাগ করবে। অর্থাৎ, |H| |G|-কে ভাগ করে।
27. A group G is called cyclic if:
একটি গ্রুপ G-কে চক্রীয় (cyclic) বলা হয় যদি:
Correct Answer: A
Explanation: A group G is called cyclic if it can be generated by a single element. This means there is an element ‘a’ in G (called the generator) such that every element of G can be expressed as an integer power of ‘a’ (or as a multiple of ‘a’ in additive notation).
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ G-কে চক্রীয় বলা হয় যদি এটি একটিমাত্র উপাদান দ্বারা উৎপাদিত (generated) হতে পারে। এর অর্থ হলো G-তে এমন একটি উপাদান ‘a’ (যাকে উৎপাদক বলা হয়) রয়েছে যে G-এর প্রতিটি উপাদানকে ‘a’-এর একটি পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত (বা যোগ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে ‘a’-এর গুণিতক) হিসাবে প্রকাশ করা যায়।
28. Which of the following is a necessary and sufficient condition for a non-empty subset H of a group G to be a subgroup?
একটি গ্রুপ G-এর একটি অ-ফাঁকা উপসেট H-এর উপগ্রুপ হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত শর্ত কোনটি?
Correct Answer: A
Explanation: The one-step subgroup test states that a non-empty subset H of a group G is a subgroup of G if and only if for every pair of elements a, b in H, the element ab⁻¹ is also in H. This single condition encapsulates both closure and the existence of inverses within H.
ব্যাখ্যা: এক-ধাপ উপগ্রুপ পরীক্ষা (one-step subgroup test) অনুযায়ী, একটি গ্রুপ G-এর একটি অ-ফাঁকা উপসেট H, G-এর উপগ্রুপ হবে যদি এবং কেবল যদি H-এর প্রতিটি জোড়া উপাদান a, b-এর জন্য, ab⁻¹ উপাদানটিও H-এ থাকে। এই একটি শর্তই H-এর মধ্যে আবদ্ধতা এবং বিপরীত উপাদানের অস্তিত্ব উভয়কেই অন্তর্ভুক্ত করে।
29. The intersection of any two subgroups of a group G is:
একটি গ্রুপ G-এর যেকোনো দুটি উপগ্রুপের ছেদ (intersection) হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The intersection of any collection of subgroups of a group G is itself a subgroup of G. However, the union of two subgroups is not necessarily a subgroup.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ G-এর যেকোনো সংখ্যক উপগ্রুপের ছেদ নিজেও G-এর একটি উপগ্রুপ হয়। তবে, দুটি উপগ্রুপের সংযোগ সর্বদা একটি উপগ্রুপ নাও হতে পারে।
30. What is a transposition in the context of permutation groups?
বিন্যাস গ্রুপের (permutation groups) প্রসঙ্গে একটি পক্ষান্তর (transposition) কী?
Correct Answer: A
Explanation: A transposition is a permutation which exchanges two elements and keeps all others fixed. It is a cycle of length 2. For example, the permutation (1 2) in S₃ is a transposition.
ব্যাখ্যা: একটি পক্ষান্তর হলো এমন একটি বিন্যাস যা দুটি উপাদানকে বিনিময় করে এবং বাকি সব উপাদানকে স্থির রাখে। এটি ২ দৈর্ঘ্যের একটি চক্র। উদাহরণস্বরূপ, S₃-তে (1 2) বিন্যাসটি একটি পক্ষান্তর।
31. The symmetric group S₃ is:
প্রতিসম গ্রুপ (Symmetric group) S₃ হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The symmetric group Sₙ is the group of all permutations of n elements. Its order is n!. For n=3, the order is 3! = 6. S₃ is non-abelian because, for example, (1 2)(1 3) = (1 3 2) while (1 3)(1 2) = (1 2 3).
ব্যাখ্যা: প্রতিসম গ্রুপ Sₙ হলো n-সংখ্যক উপাদানের সমস্ত বিন্যাসের গ্রুপ। এর ক্রম হলো n!। n=3 এর জন্য, ক্রম হলো 3! = 6। S₃ অন্যাবেলিয়ান (non-abelian) কারণ, উদাহরণস্বরূপ, (1 2)(1 3) = (1 3 2) যেখানে (1 3)(1 2) = (1 2 3)।
32. A subgroup H of G is called a normal subgroup if:
G-এর একটি উপগ্রুপ H-কে একটি অভিলম্ব উপগ্রুপ (normal subgroup) বলা হয় যদি:
Correct Answer: A
Explanation: A subgroup H of a group G is normal in G if its left and right cosets coincide. That is, for every element g in G, the set gH = {gh | h ∈ H} is equal to the set Hg = {hg | h ∈ H}.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ G-এর একটি উপগ্রুপ H, G-তে অভিলম্ব হবে যদি এর বাম এবং ডান সহসেটগুলি (cosets) একই হয়। অর্থাৎ, G-এর প্রতিটি উপাদান g-এর জন্য, gH = {gh | h ∈ H} সেটটি Hg = {hg | h ∈ H} সেটের সমান হবে।
33. The set of all even permutations in Sₙ forms a subgroup called:
Sₙ-এর সমস্ত যুগ্ম বিন্যাসের (even permutations) সেট একটি উপগ্রুপ গঠন করে, যাকে বলা হয়:
Correct Answer: A
Explanation: The set of all even permutations of n elements forms a normal subgroup of the symmetric group Sₙ. This subgroup is called the alternating group on n letters, denoted by Aₙ.
ব্যাখ্যা: n-সংখ্যক উপাদানের সমস্ত যুগ্ম বিন্যাসের সেট প্রতিসম গ্রুপ Sₙ-এর একটি অভিলম্ব উপগ্রুপ গঠন করে। এই উপগ্রুপটিকে n অক্ষরের পরিবর্তী গ্রুপ (alternating group) বলা হয় এবং Aₙ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
34. What is the order of the alternating group Aₙ?
পরিবর্তী গ্রুপ (alternating group) Aₙ-এর ক্রম কত?
Correct Answer: A
Explanation: For n > 1, the symmetric group Sₙ has exactly half of its elements as even permutations and half as odd permutations. Therefore, the order of the alternating group Aₙ, which consists of all even permutations, is |Sₙ| / 2 = n! / 2.
ব্যাখ্যা: n > 1 এর জন্য, প্রতিসম গ্রুপ Sₙ-এর ঠিক অর্ধেক উপাদান যুগ্ম বিন্যাস এবং অর্ধেক অযুগ্ম বিন্যাস। সুতরাং, পরিবর্তী গ্রুপ Aₙ, যা সমস্ত যুগ্ম বিন্যাস নিয়ে গঠিত, এর ক্রম হলো |Sₙ| / 2 = n! / 2।
35. If N is a normal subgroup of G, then the set of cosets G/N forms a group under the operation:
যদি N, G-এর একটি অভিলম্ব উপগ্রুপ হয়, তবে সহসেটগুলির (cosets) সেট G/N নিম্নলিখিত প্রক্রিয়ার অধীনে একটি গ্রুপ গঠন করে:
Correct Answer: A
Explanation: The group G/N is called the quotient group or factor group. The operation is defined on the cosets of N in G. For any two cosets aN and bN, their product is defined as the coset (ab)N. This operation is well-defined precisely because N is a normal subgroup.
ব্যাখ্যা: G/N গ্রুপটিকে বিভাগ গ্রুপ (quotient group) বা উৎপাদক গ্রুপ (factor group) বলা হয়। প্রক্রিয়াটি G-তে N-এর সহসেটগুলির উপর সংজ্ঞায়িত হয়। যেকোনো দুটি সহসেট aN এবং bN-এর জন্য, তাদের গুণফলকে (ab)N সহসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই প্রক্রিয়াটি সুসংজ্ঞাত কারণ N একটি অভিলম্ব উপগ্রুপ।
36. A homomorphism φ: G → G’ is a mapping such that for all a, b in G:
একটি হোমোমরফিজম (homomorphism) φ: G → G’ হলো এমন একটি চিত্রণ যাতে G-এর সমস্ত a, b-এর জন্য:
Correct Answer: A
Explanation: A homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups). For groups, this means the map φ preserves the group operation. That is, the image of a product is the product of the images. Option B is the same concept but for groups with additive notation.
ব্যাখ্যা: একটি হোমোমরফিজম হলো একই ধরনের দুটি বীজগাণিতিক কাঠামোর (যেমন দুটি গ্রুপ) মধ্যে একটি গঠন-সংরক্ষণকারী চিত্রণ। গ্রুপের ক্ষেত্রে, এর অর্থ হলো চিত্রণ φ গ্রুপ প্রক্রিয়াটিকে সংরক্ষণ করে। অর্থাৎ, একটি গুণফলের প্রতিবিম্ব হলো প্রতিবিম্বগুলির গুণফল। বিকল্প B একই ধারণা কিন্তু যোগ প্রক্রিয়াযুক্ত গ্রুপের জন্য।
37. The kernel of a group homomorphism φ: G → G’ is the set:
একটি গ্রুপ হোমোমরফিজম φ: G → G’-এর কার্নেল (kernel) হলো সেই সেট:
Correct Answer: A
Explanation: The kernel of a group homomorphism φ from G to G’ is the set of all elements in G that are mapped to the identity element e’ of G’. The kernel is always a normal subgroup of G.
ব্যাখ্যা: G থেকে G’-এ একটি গ্রুপ হোমোমরফিজম φ-এর কার্নেল হলো G-এর সেই সমস্ত উপাদানের সেট যা G’-এর একসম উপাদান e’-এ চিত্রিত হয়। কার্নেল সর্বদা G-এর একটি অভিলম্ব উপগ্রুপ হয়।
38. An isomorphism is a homomorphism that is:
একটি আইসোমরফিজম (isomorphism) হলো একটি হোমোমরফিজম যা:
Correct Answer: A
Explanation: An isomorphism is a homomorphism that is also a bijection (both one-to-one and onto). Two groups are considered isomorphic if there exists an isomorphism between them, meaning they are structurally identical.
ব্যাখ্যা: একটি আইসোমরফিজম হলো এমন একটি হোমোমরফিজম যা বাইজেক্টিভও (এক-এক এবং উপরিচিত্রণ উভয়ই)। দুটি গ্রুপকে আইসোমরফিক বলা হয় যদি তাদের মধ্যে একটি আইসোমরফিজম বিদ্যমান থাকে, যার অর্থ হলো তারা গঠনগতভাবে অভিন্ন।
39. The Fundamental Theorem of Homomorphism for groups states that if φ: G → G’ is a homomorphism, then:
গ্রুপের জন্য হোমোমরফিজমের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে, যদি φ: G → G’ একটি হোমোমরফিজম হয়, তবে:
Correct Answer: A
Explanation: The First Isomorphism Theorem (or Fundamental Theorem of Homomorphism) states that the quotient group G/Ker(φ) is isomorphic to the image of φ, Im(φ), which is a subgroup of G’. This theorem provides a fundamental link between quotient groups and homomorphic images.
ব্যাখ্যা: প্রথম আইসোমরফিজম উপপাদ্য (বা হোমোমরফিজমের মৌলিক উপপাদ্য) বলে যে, বিভাগ গ্রুপ G/Ker(φ) φ-এর প্রতিবিম্ব, Im(φ)-এর সাথে আইসোমরফিক, যা G’-এর একটি উপগ্রুপ। এই উপপাদ্যটি বিভাগ গ্রুপ এবং হোমোমরফিক প্রতিবিম্বের মধ্যে একটি মৌলিক সংযোগ স্থাপন করে।
40. An infinite cyclic group is isomorphic to:
একটি অসীম চক্রীয় গ্রুপ আইসোমরফিক হলো:
Correct Answer: A
Explanation: Up to isomorphism, there is only one infinite cyclic group: the group of integers under addition, (Z, +). Any infinite cyclic group G = <a> is isomorphic to (Z, +) via the map φ(n) = aⁿ.
ব্যাখ্যা: আইসোমরফিজম পর্যন্ত, কেবল একটিই অসীম চক্রীয় গ্রুপ রয়েছে: যোগের অধীনে পূর্ণসংখ্যার গ্রুপ, (Z, +)। যেকোনো অসীম চক্রীয় গ্রুপ G = <a>, φ(n) = aⁿ চিত্রণের মাধ্যমে (Z, +)-এর সাথে আইসোমরফিক।
41. A finite cyclic group of order n is isomorphic to:
n ক্রমের একটি সসীম চক্রীয় গ্রুপ আইসোমরফিক হলো:
Correct Answer: A
Explanation: Up to isomorphism, there is only one cyclic group of order n for each positive integer n. This group is isomorphic to the additive group of integers modulo n, denoted (Zₙ, +).
ব্যাখ্যা: আইসোমরফিজম পর্যন্ত, প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য n ক্রমের কেবল একটি চক্রীয় গ্রুপ রয়েছে। এই গ্রুপটি মডিউলো n পূর্ণসংখ্যার যোগাত্মক গ্রুপ, (Zₙ, +)-এর সাথে আইসোমরফিক।
42. What is the identity element in the group (Z₅, +)?
(Z₅, +) গ্রুপে একসম উপাদান (identity element) কোনটি?
Correct Answer: A
Explanation: In the additive group of integers modulo n, (Zₙ, +), the identity element is 0 (or the congruence class [0]), because for any element ‘a’ in Zₙ, a + 0 = 0 + a = a (mod n).
ব্যাখ্যা: পূর্ণসংখ্যার মডিউলো n যোগাত্মক গ্রুপ, (Zₙ, +)-এ, একসম উপাদান হলো ০ (বা सर्वांगसमতা শ্রেণী [0]), কারণ Zₙ-এর যেকোনো উপাদান ‘a’-এর জন্য, a + 0 = 0 + a = a (mod n) হয়।
43. What is the inverse of 3 in the group (Z₇*, ×)?
(Z₇*, ×) গ্রুপে 3-এর বিপরীত (inverse) কী?
Correct Answer: A
Explanation: The group (Z₇*, ×) consists of the elements {1, 2, 3, 4, 5, 6}. The operation is multiplication modulo 7. The identity element is 1. We are looking for an element ‘x’ such that 3 × x ≡ 1 (mod 7). We check: 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7). So, the inverse of 3 is 5.
ব্যাখ্যা: (Z₇*, ×) গ্রুপটি {1, 2, 3, 4, 5, 6} উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত। প্রক্রিয়াটি হলো মডিউলো 7 গুণ। একসম উপাদান হলো 1। আমরা এমন একটি উপাদান ‘x’ খুঁজছি যাতে 3 × x ≡ 1 (mod 7) হয়। আমরা পরীক্ষা করি: 3 × 5 = 15 ≡ 1 (mod 7)। সুতরাং, 3-এর বিপরীত হলো 5।
44. A group in which the binary operation is commutative is called:
একটি গ্রুপ যেখানে দ্বিপদ প্রক্রিয়াটি বিনিময় নিয়ম (commutative) মানে তাকে বলা হয়:
Correct Answer: A
Explanation: A group (G, *) is called abelian (or commutative) if for all a, b in G, the equation a * b = b * a holds. Not all groups are abelian; for instance, S₃ is non-abelian.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ (G, *)-কে অ্যাবেলিয়ান (বা বিনিময়যোগ্য) বলা হয় যদি G-এর সমস্ত a, b-এর জন্য, a * b = b * a সমীকরণটি সত্য হয়। সমস্ত গ্রুপ অ্যাবেলিয়ান নয়; উদাহরণস্বরূপ, S₃ অন্যাবেলিয়ান।
45. Every cyclic group is:
প্রতিটি চক্রীয় গ্রুপ হলো:
Correct Answer: A
Explanation: Every cyclic group is abelian. If G = <a> is a cyclic group, any two elements can be written as aᵐ and aⁿ for some integers m and n. Then aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ = aⁿ⁺ᵐ = aⁿaᵐ, so the group is abelian.
ব্যাখ্যা: প্রতিটি চক্রীয় গ্রুপ অ্যাবেলিয়ান। যদি G = <a> একটি চক্রীয় গ্রুপ হয়, তবে যেকোনো দুটি উপাদানকে কিছু পূর্ণসংখ্যা m এবং n-এর জন্য aᵐ এবং aⁿ হিসাবে লেখা যায়। তখন aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ = aⁿ⁺ᵐ = aⁿaᵐ, সুতরাং গ্রুপটি অ্যাবেলিয়ান।
46. The order of the permutation (1 2 3)(4 5) in S₅ is:
S₅-এ (1 2 3)(4 5) বিন্যাসটির ক্রম কত?
Correct Answer: A
Explanation: The order of a permutation written as a product of disjoint cycles is the least common multiple (LCM) of the lengths of the cycles. Here, the cycles are (1 2 3) of length 3 and (4 5) of length 2. The LCM of 3 and 2 is 6.
ব্যাখ্যা: বিযুক্ত (disjoint) চক্রের গুণফল হিসাবে লেখা একটি বিন্যাসের ক্রম হলো চক্রগুলির দৈর্ঘ্যের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.)। এখানে, চক্রগুলি হলো (1 2 3) যার দৈর্ঘ্য 3 এবং (4 5) যার দৈর্ঘ্য 2। 3 এবং 2-এর ল.সা.গু. হলো 6।
47. Which of the following is NOT a group under multiplication?
নিচের কোনটি গুণের অধীনে একটি গ্রুপ নয়?
Correct Answer: A
Explanation: The set of integers Z under multiplication is not a group because most elements do not have a multiplicative inverse that is also an integer. For example, the inverse of 2 would be 1/2, which is not in Z. Only 1 and -1 have integer inverses.
ব্যাখ্যা: গুণের অধীনে পূর্ণসংখ্যার সেট Z একটি গ্রুপ নয় কারণ বেশিরভাগ উপাদানের গুণাত্মক বিপরীত নেই যা একটি পূর্ণসংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, 2-এর বিপরীত হবে 1/2, যা Z-এ নেই। কেবল 1 এবং -1-এর পূর্ণসাংখ্যিক বিপরীত রয়েছে।
48. The number of generators in a finite cyclic group of order n is:
n ক্রমের একটি সসীম চক্রীয় গ্রুপে উৎপাদকের (generators) সংখ্যা হলো:
Correct Answer: A
Explanation: In a cyclic group of order n, say G = <a>, an element aᵏ is a generator if and only if gcd(k, n) = 1. The number of such integers k between 1 and n is given by Euler’s totient function, φ(n).
ব্যাখ্যা: n ক্রমের একটি চক্রীয় গ্রুপে, ধরা যাক G = <a>, একটি উপাদান aᵏ একটি উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি গ.সা.গু.(k, n) = 1 হয়। 1 থেকে n-এর মধ্যে এই ধরনের পূর্ণসংখ্যা k-এর সংখ্যা অয়লারের টোশেন্ট ফাংশন, φ(n) দ্বারা দেওয়া হয়।
49. A permutation is called even if it can be written as a product of:
একটি বিন্যাসকে যুগ্ম (even) বলা হয় যদি এটিকে নিম্নলিখিতের গুণফল হিসাবে লেখা যায়:
Correct Answer: A
Explanation: A permutation is defined as even if it can be expressed as the product of an even number of transpositions. A permutation is odd if it can be expressed as the product of an odd number of transpositions. This parity is well-defined.
ব্যাখ্যা: একটি বিন্যাসকে যুগ্ম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এটিকে জোড় সংখ্যক পক্ষান্তরের (transpositions) গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়। একটি বিন্যাসকে অযুগ্ম বলা হয় যদি এটিকে বিজোড় সংখ্যক পক্ষান্তরের গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়। এই সমতা (parity) সুসংজ্ঞাত।
50. Every subgroup of an abelian group is:
একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের প্রতিটি উপগ্রুপ হলো:
Correct Answer: A
Explanation: In an abelian group G, the operation is commutative. For any subgroup H and any g in G, we have gH = {gh | h ∈ H} and Hg = {hg | h ∈ H}. Since g*h = h*g for all g,h, the sets gH and Hg are identical. Therefore, every subgroup of an abelian group is a normal subgroup.
ব্যাখ্যা: একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ G-তে, প্রক্রিয়াটি বিনিময়যোগ্য। যেকোনো উপগ্রুপ H এবং G-এর যেকোনো g-এর জন্য, আমরা পাই gH = {gh | h ∈ H} এবং Hg = {hg | h ∈ H}। যেহেতু সমস্ত g,h-এর জন্য g*h = h*g, তাই gH এবং Hg সেট দুটি অভিন্ন। সুতরাং, একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের প্রতিটি উপগ্রুপ একটি অভিলম্ব উপগ্রুপ।
51. The center of a group G, denoted Z(G), is the set of elements that:
একটি গ্রুপ G-এর কেন্দ্র (center), যা Z(G) দ্বারা চিহ্নিত, সেটি সেই সমস্ত উপাদানের সেট যা:
Correct Answer: A
Explanation: The center Z(G) of a group G is defined as Z(G) = {z ∈ G | zg = gz for all g ∈ G}. It consists of all elements that commute with every other element in the group. The center is always a normal, abelian subgroup of G.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ G-এর কেন্দ্র Z(G) কে Z(G) = {z ∈ G | zg = gz সমস্ত g ∈ G-এর জন্য} হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সেই সমস্ত উপাদান নিয়ে গঠিত যা গ্রুপের প্রতিটি অন্য উপাদানের সাথে বিনিময় করে। কেন্দ্র সর্বদা G-এর একটি অভিলম্ব, অ্যাবেলিয়ান উপগ্রুপ।
52. If the order of a group is a prime number, then the group must be:
যদি একটি গ্রুপের ক্রম একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে গ্রুপটি অবশ্যই হবে:
Correct Answer: A
Explanation: A direct consequence of Lagrange’s theorem is that if a group G has prime order p, then it must be cyclic. Any non-identity element in such a group will have order p and will therefore generate the entire group.
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্যের একটি সরাসরি ফলাফল হলো যে যদি একটি গ্রুপ G-এর ক্রম একটি মৌলিক সংখ্যা p হয়, তবে এটি অবশ্যই চক্রীয় হবে। এই ধরনের একটি গ্রুপে যেকোনো অ-একসম উপাদানের ক্রম p হবে এবং তাই এটি পুরো গ্রুপটি উৎপাদন করবে।
53. A groupoid is a set with:
একটি গ্রুপয়েড (groupoid) হলো একটি সেট যার সাথে থাকে:
Correct Answer: A
Explanation: A groupoid is the most basic algebraic structure, consisting of a non-empty set S and a binary operation * on S. There are no other requirements like associativity, identity, or inverses. This property is also called closure.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপয়েড হলো সবচেয়ে মৌলিক বীজগাণিতিক কাঠামো, যা একটি অ-ফাঁকা সেট S এবং S-এর উপর একটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া * নিয়ে গঠিত। সংযোগ নিয়ম, একসম উপাদান বা বিপরীত উপাদানের মতো অন্য কোনো আবশ্যিক শর্ত নেই। এই ধর্মটিকে আবদ্ধতাও (closure) বলা হয়।
54. The union of two subgroups is a subgroup if and only if:
দুটি উপগ্রুপের সংযোগ একটি উপগ্রুপ হবে যদি এবং কেবল যদি:
Correct Answer: A
Explanation: The union of two subgroups H and K of a group G, H ∪ K, is a subgroup of G if and only if one of the subgroups is contained within the other (i.e., H ⊆ K or K ⊆ H). Otherwise, the union may not be closed under the group operation.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ G-এর দুটি উপগ্রুপ H এবং K-এর সংযোগ, H ∪ K, G-এর একটি উপগ্রুপ হবে যদি এবং কেবল যদি একটি উপগ্রুপ অন্যটির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত থাকে (অর্থাৎ, H ⊆ K বা K ⊆ H)। অন্যথায়, সংযোগটি গ্রুপ প্রক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ নাও হতে পারে।
55. What is a coset?
একটি সহসেট (coset) কী?
Correct Answer: A
Explanation: If H is a subgroup of G and g is an element of G, then the left coset gH is the set {gh | h ∈ H} and the right coset Hg is the set {hg | h ∈ H}. Cosets are fundamental to understanding quotient groups and Lagrange’s theorem.
ব্যাখ্যা: যদি H, G-এর একটি উপগ্রুপ হয় এবং g, G-এর একটি উপাদান হয়, তবে বাম সহসেট gH হলো {gh | h ∈ H} সেটটি এবং ডান সহসেট Hg হলো {hg | h ∈ H} সেটটি। সহসেটগুলি বিভাগ গ্রুপ এবং ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্য বোঝার জন্য মৌলিক।
56. A homomorphism is injective if and only if its kernel is:
একটি হোমোমরফিজম ইনজেক্টিভ হবে যদি এবং কেবল যদি এর কার্নেল হয়:
Correct Answer: A
Explanation: A group homomorphism φ: G → G’ is injective (one-to-one) if and only if its kernel contains only the identity element of G. Ker(φ) = {e}. If any other element ‘a’ was in the kernel, we would have φ(a) = e’ = φ(e), violating injectivity.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ হোমোমরফিজম φ: G → G’ ইনজেক্টিভ (এক-এক) হবে যদি এবং কেবল যদি এর কার্নেল শুধুমাত্র G-এর একসম উপাদানটি ধারণ করে। Ker(φ) = {e}। যদি অন্য কোনো উপাদান ‘a’ কার্নেলে থাকতো, তবে φ(a) = e’ = φ(e) হতো, যা ইনজেক্টিভিটি লঙ্ঘন করে।
57. All subgroups of a cyclic group are:
একটি চক্রীয় গ্রুপের সমস্ত উপগ্রুপ হলো:
Correct Answer: A
Explanation: A fundamental property of cyclic groups is that every subgroup of a cyclic group is also cyclic. This is true for both finite and infinite cyclic groups.
ব্যাখ্যা: চক্রীয় গ্রুপের একটি মৌলিক ধর্ম হলো যে একটি চক্রীয় গ্রুপের প্রতিটি উপগ্রুপও চক্রীয় হয়। এটি সসীম এবং অসীম উভয় চক্রীয় গ্রুপের জন্য সত্য।
58. The order of an element must divide the order of the group. This is a corollary of which theorem?
একটি উপাদানের ক্রম অবশ্যই গ্রুপের ক্রমকে ভাগ করবে। এটি কোন উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত?
Correct Answer: A
Explanation: Let G be a finite group and a ∈ G. The order of ‘a’ is the order of the cyclic subgroup generated by ‘a’, <a>. By Lagrange’s theorem, the order of this subgroup, |<a>|, must divide the order of the group, |G|. Thus, the order of the element ‘a’ divides the order of G.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক G একটি সসীম গ্রুপ এবং a ∈ G। ‘a’-এর ক্রম হলো ‘a’ দ্বারা উৎপাদিত চক্রীয় উপগ্রুপ, <a>-এর ক্রম। ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্য অনুসারে, এই উপগ্রুপের ক্রম, |<a>|, অবশ্যই গ্রুপের ক্রম, |G|-কে ভাগ করবে। সুতরাং, ‘a’ উপাদানটির ক্রম G-এর ক্রমকে ভাগ করে।
59. Cayley’s theorem states that every group G is isomorphic to:
কেলি’র উপপাদ্য বলে যে প্রতিটি গ্রুপ G আইসোমরফিক হলো:
Correct Answer: A
Explanation: Cayley’s theorem is a fundamental result in group theory stating that any group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G, Sym(G). In particular, if G is a finite group of order n, it is isomorphic to a subgroup of Sₙ.
ব্যাখ্যা: কেলি’র উপপাদ্য গ্রুপ তত্ত্বের একটি মৌলিক ফলাফল যা বলে যে যেকোনো গ্রুপ G, G-এর উপর ক্রিয়াশীল প্রতিসম গ্রুপ, Sym(G)-এর একটি উপগ্রুপের সাথে আইসোমরফিক। বিশেষত, যদি G একটি n ক্রমের সসীম গ্রুপ হয়, তবে এটি Sₙ-এর একটি উপগ্রুপের সাথে আইসোমরফিক।
60. The alternating group A₄ is of order:
পরিবর্তী গ্রুপ A₄-এর ক্রম হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The order of the symmetric group Sₙ is n!. The order of the alternating group Aₙ is n!/2. For n=4, the order of S₄ is 4! = 24. Therefore, the order of A₄ is 24/2 = 12.
ব্যাখ্যা: প্রতিসম গ্রুপ Sₙ-এর ক্রম হলো n!। পরিবর্তী গ্রুপ Aₙ-এর ক্রম হলো n!/2। n=4 এর জন্য, S₄-এর ক্রম হলো 4! = 24। সুতরাং, A₄-এর ক্রম হলো 24/2 = 12।
Topic 3: Introduction to Rings and Fields / বিষয় ৩: রিং এবং ফিল্ডের ভূমিকা
61. A non-empty set R with two binary operations, addition (+) and multiplication (·), is a ring if:
একটি অ-ফাঁকা সেট R দুটি দ্বিপদ প্রক্রিয়া, যোগ (+) এবং গুণ (·) সহ, একটি রিং হবে যদি:
Correct Answer: A
Explanation: A ring is defined by three axioms:
1. (R, +) is an abelian group (satisfies closure, associativity, identity, inverse, and commutativity for addition).
2. (R, ·) is a semigroup (satisfies closure and associativity for multiplication).
3. Multiplication is distributive over addition (left and right distributivity).
ব্যাখ্যা: একটি রিং তিনটি স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়:
১. (R, +) একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ (যোগের জন্য আবদ্ধতা, সংযোগ নিয়ম, একসম উপাদান, বিপরীত উপাদান এবং বিনিময় নিয়ম মানে)।
২. (R, ·) একটি সেমিগ্রুপ (গুণের জন্য আবদ্ধতা এবং সংযোগ নিয়ম মানে)।
৩. গুণন যোগের উপর বন্টন নিয়ম (distributive) মানে (বাম এবং ডান বন্টন)।
62. A ring in which multiplication is commutative is called a:
একটি রিং যেখানে গুণন প্রক্রিয়াটি বিনিময়যোগ্য তাকে বলা হয়:
Correct Answer: A
Explanation: By definition, a ring (R, +, ·) is called a commutative ring if its multiplication operation is commutative, i.e., a · b = b · a for all a, b in R. The ring of integers (Z, +, ·) is a prime example of a commutative ring.
ব্যাখ্যা: সংজ্ঞা অনুসারে, একটি রিং (R, +, ·)-কে বিনিময়যোগ্য (commutative) রিং বলা হয় যদি এর গুণন প্রক্রিয়াটি বিনিময়যোগ্য হয়, অর্থাৎ, R-এর সমস্ত a, b-এর জন্য a · b = b · a হয়। পূর্ণসংখ্যার রিং (Z, +, ·) একটি বিনিময়যোগ্য রিং-এর প্রধান উদাহরণ।
63. An integral domain is a commutative ring with unity that has:
একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন (integral domain) হলো একসম উপাদান সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিং যার মধ্যে আছে:
Correct Answer: A
Explanation: An integral domain is a non-trivial (has more than one element) commutative ring with a multiplicative identity (unity) in which the product of any two non-zero elements is non-zero. This last property is called “having no zero divisors”.
ব্যাখ্যা: একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন হলো একটি অ-তুচ্ছ (একাধিক উপাদান বিশিষ্ট) বিনিময়যোগ্য রিং যার একটি গুণাত্মক একসম উপাদান (unity) রয়েছে এবং যেখানে যেকোনো দুটি অ-শূন্য উপাদানের গুণফল অ-শূন্য। এই শেষ ধর্মটিকে “শূন্যের ভাজক না থাকা” (no zero divisors) বলা হয়।
64. A field is a commutative ring with unity in which:
একটি ফিল্ড (field) হলো একসম উপাদান সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিং যেখানে:
Correct Answer: A
Explanation: A field is a commutative ring with unity (1 ≠ 0) where every non-zero element is a unit, meaning it has a multiplicative inverse. This implies that the non-zero elements form an abelian group under multiplication. The set of real numbers (R) is a classic example of a field.
ব্যাখ্যা: একটি ফিল্ড হলো একসম উপাদান (1 ≠ 0) সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিং যেখানে প্রতিটি অ-শূন্য উপাদান একটি একক (unit), অর্থাৎ এর একটি গুণাত্মক বিপরীত রয়েছে। এর মানে হলো অ-শূন্য উপাদানগুলি গুণের অধীনে একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে। বাস্তব সংখ্যার সেট (R) ফিল্ডের একটি ক্লাসিক উদাহরণ।
65. Which of the following is a field?
নিচের কোনটি একটি ফিল্ড?
Correct Answer: A
Explanation:
– (R, +, ·) is a field. Every non-zero real number has a multiplicative inverse.
– (Z, +, ·) is an integral domain but not a field, as most integers lack multiplicative inverses in Z.
– The ring of 2×2 matrices is non-commutative and has zero divisors, so it’s not a field.
– Z₆ is not a field (or even an integral domain) because it has zero divisors, e.g., 2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6).
ব্যাখ্যা:
– (R, +, ·) একটি ফিল্ড। প্রতিটি অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যার একটি গুণাত্মক বিপরীত রয়েছে।
– (Z, +, ·) একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন কিন্তু ফিল্ড নয়, কারণ বেশিরভাগ পূর্ণসংখ্যার Z-এ গুণাত্মক বিপরীত নেই।
– 2×2 ম্যাট্রিক্সের রিংটি অন্যাবেলিয়ান এবং এতে শূন্যের ভাজক রয়েছে, তাই এটি ফিল্ড নয়।
– Z₆ একটি ফিল্ড নয় (এমনকি ইন্টিগ্রাল ডোমেনও নয়) কারণ এতে শূন্যের ভাজক রয়েছে, যেমন, 2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6)।
66. The ring of integers modulo n, Zₙ, is a field if and only if:
পূর্ণসংখ্যার মডিউলো n রিং, Zₙ, একটি ফিল্ড হবে যদি এবং কেবল যদি:
Correct Answer: A
Explanation: The ring Zₙ is a field if and only if n is a prime number. If n is prime, then every non-zero element ‘a’ in Zₙ is coprime to n, which guarantees the existence of a multiplicative inverse for ‘a’. If n is composite (n=ab), then Zₙ has zero divisors (a·b = 0), so it cannot be a field.
ব্যাখ্যা: Zₙ রিংটি একটি ফিল্ড হবে যদি এবং কেবল যদি n একটি মৌলিক সংখ্যা হয়। যদি n মৌলিক হয়, তবে Zₙ-এর প্রতিটি অ-শূন্য উপাদান ‘a’, n-এর সাথে সহমৌলিক হয়, যা ‘a’-এর জন্য একটি গুণাত্মক বিপরীতের অস্তিত্ব নিশ্চিত করে। যদি n যৌগিক হয় (n=ab), তবে Zₙ-এ শূন্যের ভাজক থাকে (a·b = 0), তাই এটি একটি ফিল্ড হতে পারে না।
67. Every field is an:
প্রতিটি ফিল্ড হলো একটি:
Correct Answer: A
Explanation: Every field is an integral domain. A field is a commutative ring with unity where every non-zero element has an inverse. If a·b = 0 and a ≠ 0, we can multiply by a⁻¹ to get a⁻¹ab = a⁻¹0, which simplifies to b = 0. This shows there are no zero divisors.
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ফিল্ড একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন। একটি ফিল্ড হলো একসম উপাদান সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিং যেখানে প্রতিটি অ-শূন্য উপাদানের বিপরীত রয়েছে। যদি a·b = 0 এবং a ≠ 0 হয়, আমরা a⁻¹ দ্বারা গুণ করে পাই a⁻¹ab = a⁻¹0, যা সরল করে b = 0 পাওয়া যায়। এটি দেখায় যে কোনো শূন্যের ভাজক নেই।
68. A non-empty subset S of a ring R is a subring if:
একটি রিং R-এর একটি অ-ফাঁকা উপসেট S একটি সাবরিং (subring) হবে যদি:
Correct Answer: A
Explanation: The subring test states that a non-empty subset S of a ring R is a subring if and only if for all a, b in S, their difference (a – b) and their product (a · b) are also in S. This ensures S is an additive subgroup and is closed under multiplication.
ব্যাখ্যা: সাবরিং পরীক্ষা (subring test) অনুযায়ী, একটি রিং R-এর একটি অ-ফাঁকা উপসেট S একটি সাবরিং হবে যদি এবং কেবল যদি S-এর সমস্ত a, b-এর জন্য, তাদের বিয়োগফল (a – b) এবং তাদের গুণফল (a · b) ও S-এ থাকে। এটি নিশ্চিত করে যে S একটি যোগাত্মক উপগ্রুপ এবং গুণের অধীনে আবদ্ধ।
69. What are the zero divisors in the ring Z₆?
Z₆ রিং-এ শূন্যের ভাজক (zero divisors) কোনগুলো?
Correct Answer: A
Explanation: A zero divisor in a ring R is a non-zero element ‘a’ for which there exists a non-zero element ‘b’ such that a·b = 0. In Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, we have:
– 2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6)
– 3 · 2 = 6 ≡ 0 (mod 6)
– 4 · 3 = 12 ≡ 0 (mod 6)
So, 2, 3, and 4 are zero divisors. 1 and 5 are units (invertible).
ব্যাখ্যা: একটি রিং R-এ শূন্যের ভাজক হলো একটি অ-শূন্য উপাদান ‘a’ যার জন্য এমন একটি অ-শূন্য উপাদান ‘b’ বিদ্যমান যাতে a·b = 0 হয়। Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}-এ, আমরা পাই:
– 2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6)
– 3 · 2 = 6 ≡ 0 (mod 6)
– 4 · 3 = 12 ≡ 0 (mod 6)
সুতরাং, 2, 3, এবং 4 হলো শূন্যের ভাজক। 1 এবং 5 হলো একক (বিপরীতযোগ্য)।
70. The characteristic of a ring R is the smallest positive integer n such that:
একটি রিং R-এর বৈশিষ্ট্য (characteristic) হলো ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n যাতে:
Correct Answer: A
Explanation: The characteristic of a ring R, denoted char(R), is the smallest positive integer n such that for every element a in R, n·a = a + a + … + a (n times) = 0. If no such n exists, the characteristic is 0. If the ring has a unity (1), this is equivalent to finding the smallest n such that n·1 = 0. Option C is correct for rings with unity, but A is the general definition.
ব্যাখ্যা: একটি রিং R-এর বৈশিষ্ট্য, যা char(R) দ্বারা চিহ্নিত, হলো সেই ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n যাতে R-এর প্রতিটি উপাদান a-এর জন্য, n·a = a + a + … + a (n বার) = 0 হয়। যদি এমন কোনো n না থাকে, তবে বৈশিষ্ট্য 0 হয়। যদি রিংটির একটি একসম উপাদান (1) থাকে, তবে এটি সেই ক্ষুদ্রতম n খুঁজে বের করার সমতুল্য যাতে n·1 = 0 হয়। বিকল্প C একসম উপাদানযুক্ত রিং-এর জন্য সঠিক, কিন্তু A হলো সাধারণ সংজ্ঞা।
71. What is the characteristic of the ring of integers (Z, +, ·)?
পূর্ণসংখ্যার রিং (Z, +, ·)-এর বৈশিষ্ট্য কত?
Correct Answer: A
Explanation: There is no positive integer n for which n·a = 0 for all integers a (unless a=0). For example, if we take a=1, there is no positive n such that n·1 = n = 0. Therefore, by definition, the characteristic of the ring Z is 0.
ব্যাখ্যা: এমন কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n নেই যার জন্য সমস্ত পূর্ণসংখ্যা a-এর ক্ষেত্রে n·a = 0 হবে (যদি না a=0 হয়)। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা a=1 নিই, তবে এমন কোনো ধনাত্মক n নেই যাতে n·1 = n = 0 হয়। সুতরাং, সংজ্ঞা অনুসারে, Z রিং-এর বৈশিষ্ট্য 0।
72. What is the characteristic of the field Z₅?
Z₅ ফিল্ডের বৈশিষ্ট্য কত?
Correct Answer: A
Explanation: In the field Z₅, for any element a, 5·a = a+a+a+a+a ≡ (5 mod 5)·a ≡ 0·a = 0. Since 5 is the smallest such positive integer, the characteristic of Z₅ is 5. In general, the characteristic of a field Zₚ (where p is prime) is p.
ব্যাখ্যা: Z₅ ফিল্ডে, যেকোনো উপাদান a-এর জন্য, 5·a = a+a+a+a+a ≡ (5 mod 5)·a ≡ 0·a = 0। যেহেতু 5 হলো ক্ষুদ্রতম এই ধরনের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, Z₅-এর বৈশিষ্ট্য 5। সাধারণভাবে, একটি ফিল্ড Zₚ (যেখানে p মৌলিক)-এর বৈশিষ্ট্য p হয়।
73. A finite integral domain is always a:
একটি সসীম ইন্টিগ্রাল ডোমেন সর্বদা একটি:
Correct Answer: A
Explanation: This is a key theorem in ring theory. Every finite integral domain is a field. The proof relies on showing that for any non-zero element ‘a’ in the domain, the map x ↦ ax is injective, and since the domain is finite, it must also be surjective. This guarantees the existence of an element ‘b’ such that ab = 1 (the identity), proving ‘a’ has an inverse.
ব্যাখ্যা: এটি রিং তত্ত্বের একটি প্রধান উপপাদ্য। প্রতিটি সসীম ইন্টিগ্রাল ডোমেন একটি ফিল্ড। প্রমাণটি এটি দেখানোর উপর নির্ভর করে যে ডোমেনের যেকোনো অ-শূন্য উপাদান ‘a’-এর জন্য, x ↦ ax চিত্রণটি ইনজেক্টিভ, এবং যেহেতু ডোমেনটি সসীম, এটি অবশ্যই সারজেক্টিভও হবে। এটি এমন একটি উপাদান ‘b’-এর অস্তিত্ব নিশ্চিত করে যাতে ab = 1 (একসম উপাদান), যা প্রমাণ করে যে ‘a’-এর একটি বিপরীত রয়েছে।
74. The set of even integers (2Z) under usual addition and multiplication is an example of:
সাধারণ যোগ এবং গুণের অধীনে জোড় পূর্ণসংখ্যার সেট (2Z) একটি উদাহরণ হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The set 2Z = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …} is closed under addition and multiplication, forms an abelian group under addition, and multiplication is associative and distributive. Thus, it’s a commutative ring. However, it does not contain the multiplicative identity 1, so it is a ring without unity.
ব্যাখ্যা: 2Z = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …} সেটটি যোগ এবং গুণের অধীনে আবদ্ধ, যোগের অধীনে একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে, এবং গুণন সংযোগ ও বন্টন নিয়ম মানে। সুতরাং, এটি একটি বিনিময়যোগ্য রিং। তবে, এতে গুণাত্মক একসম উপাদান 1 নেই, তাই এটি একসম উপাদানবিহীন একটি রিং।
75. Which of the following is NOT a property of rings?
নিচের কোনটি রিং-এর ধর্ম নয়?
Correct Answer: A
Explanation: The existence of multiplicative inverses for all non-zero elements is a defining property of a field, not a general ring. A ring only requires multiplication to be a semigroup operation (associative). Many common rings, like Z, do not have this property.
ব্যাখ্যা: সকল অ-শূন্য উপাদানের জন্য গুণাত্মক বিপরীতের অস্তিত্ব একটি ফিল্ডের সংজ্ঞায়িত ধর্ম, একটি সাধারণ রিং-এর নয়। একটি রিং-এর জন্য কেবল গুণন প্রক্রিয়াটিকে সেমিগ্রুপ (সংযোগ নিয়মাবদ্ধ) হতে হয়। অনেক সাধারণ রিং, যেমন Z, এই ধর্মটি মানে না।
76. The set of rational numbers (Q, +, ·) is a:
মূলদ সংখ্যার সেট (Q, +, ·) হলো একটি:
Correct Answer: A
Explanation: The set of rational numbers Q forms a field. It is a commutative ring with unity (1), and every non-zero rational number a/b has a multiplicative inverse b/a, which is also a rational number.
ব্যাখ্যা: মূলদ সংখ্যার সেট Q একটি ফিল্ড গঠন করে। এটি একসম উপাদান (1) সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিং, এবং প্রতিটি অ-শূন্য মূলদ সংখ্যা a/b-এর একটি গুণাত্মক বিপরীত b/a রয়েছে, যা নিজেও একটি মূলদ সংখ্যা।
77. A subfield is a subset of a field that is:
একটি সাবফিল্ড (subfield) হলো একটি ফিল্ডের উপসেট যা:
Correct Answer: A
Explanation: A subfield of a field F is a subset K of F that contains the identity elements 0 and 1 of F, is closed under the addition and multiplication of F, and forms a field itself with these operations. For example, Q is a subfield of R.
ব্যাখ্যা: একটি ফিল্ড F-এর একটি সাবফিল্ড K হলো F-এর একটি উপসেট যা F-এর একসম উপাদান 0 এবং 1 ধারণ করে, F-এর যোগ এবং গুণের অধীনে আবদ্ধ, এবং এই প্রক্রিয়াগুলির সাথে নিজেই একটি ফিল্ড গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, Q হলো R-এর একটি সাবফিল্ড।
78. The characteristic of an integral domain must be:
একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেনের বৈশিষ্ট্য অবশ্যই হবে:
Correct Answer: A
Explanation: The characteristic of any integral domain is either 0 or a prime number. If the characteristic were a composite number n = ab (where a, b > 1), then (n·1) = (a·1)(b·1) = 0. But in an integral domain, this would imply either a·1 = 0 or b·1 = 0, which contradicts n being the smallest such integer.
ব্যাখ্যা: যেকোনো ইন্টিগ্রাল ডোমেনের বৈশিষ্ট্য হয় 0 অথবা একটি মৌলিক সংখ্যা। যদি বৈশিষ্ট্যটি একটি যৌগিক সংখ্যা n = ab (যেখানে a, b > 1) হতো, তবে (n·1) = (a·1)(b·1) = 0 হতো। কিন্তু একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেনে, এর মানে হতো হয় a·1 = 0 অথবা b·1 = 0, যা n-কে ক্ষুদ্রতম এই ধরনের পূর্ণসংখ্যা হওয়ার শর্তের বিরোধিতা করে।
79. In a ring R, a·0 = 0·a = ? for all a in R.
একটি রিং R-এ, R-এর সকল a-এর জন্য a·0 = 0·a = ?
Correct Answer: A
Explanation: This is a property that follows directly from the ring axioms. For example, a·0 = a·(0+0) = a·0 + a·0. Since (R, +) is a group, we can add the additive inverse of a·0 to both sides, giving 0 = a·0.
ব্যাখ্যা: এটি একটি ধর্ম যা রিং-এর স্বতঃসিদ্ধগুলি থেকে সরাসরি অনুসরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, a·0 = a·(0+0) = a·0 + a·0। যেহেতু (R, +) একটি গ্রুপ, আমরা উভয় দিকে a·0-এর যোগাত্মক বিপরীত যোগ করতে পারি, যা 0 = a·0 দেয়।
80. The only ideals of a field F are:
একটি ফিল্ড F-এর একমাত্র আইডিয়াল (ideals) গুলি হলো:
Correct Answer: A
Explanation: A field F has only two ideals: the trivial ideal {0} and the entire field F. This is because if an ideal I contains any non-zero element ‘a’, then since ‘a’ has a multiplicative inverse a⁻¹ in F, the ideal must contain a⁻¹·a = 1. If an ideal contains 1, it must contain every other element r·1 = r, so the ideal is F.
ব্যাখ্যা: একটি ফিল্ড F-এর কেবল দুটি আইডিয়াল রয়েছে: তুচ্ছ আইডিয়াল {0} এবং সম্পূর্ণ ফিল্ড F। এর কারণ হলো যদি একটি আইডিয়াল I কোনো অ-শূন্য উপাদান ‘a’ ধারণ করে, তবে যেহেতু ‘a’-এর একটি গুণাত্মক বিপরীত a⁻¹ F-এ রয়েছে, আইডিয়ালটিকে অবশ্যই a⁻¹·a = 1 ধারণ করতে হবে। যদি একটি আইডিয়াল 1 ধারণ করে, তবে এটিকে প্রতিটি অন্য উপাদান r·1 = r ধারণ করতে হবে, তাই আইডিয়ালটি F হবে।
Comprehensive Questions / 종합 প্রশ্ন
81. Let f: G -> H be a group homomorphism. Which statement is FALSE?
ধরা যাক f: G -> H একটি গ্রুপ হোমোমরফিজম। কোন উক্তিটি মিথ্যা?
Correct Answer: A
Explanation: The homomorphic image of an abelian group is abelian. However, the codomain H does not have to be abelian. The image, f(G), which is a subgroup of H, will be abelian. But H itself can be non-abelian. For example, the map f: Z -> S₃ defined by f(n) = e (the identity) is a homomorphism from an abelian group Z to a non-abelian group S₃.
ব্যাখ্যা: একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের হোমোমরফিক প্রতিবিম্ব অ্যাবেলিয়ান হয়। তবে, কোডোমেন H-কে অ্যাবেলিয়ান হতে হবে এমন কোনো কথা নেই। প্রতিবিম্ব, f(G), যা H-এর একটি উপগ্রুপ, সেটি অ্যাবেলিয়ান হবে। কিন্তু H নিজে অন্যাবেলিয়ান হতে পারে। যেমন, f: Z -> S₃ যা f(n) = e (একসম) দ্বারা সংজ্ঞায়িত, তা একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ Z থেকে একটি অন্যাবেলিয়ান গ্রুপ S₃-তে একটি হোমোমরফিজম।
82. The number of elements in S₄ that have order 3 is:
S₄-এ যে উপাদানগুলির ক্রম 3, তাদের সংখ্যা হলো:
Correct Answer: A
Explanation: In S₄, an element has order 3 if and only if it is a 3-cycle. To form a 3-cycle, we need to choose 3 elements out of 4, which is C(4, 3) = 4 ways. For each choice of 3 elements {a, b, c}, we can form two distinct 3-cycles: (a b c) and (a c b). So, the total number of 3-cycles is 4 * 2 = 8.
ব্যাখ্যা: S₄-এ একটি উপাদানের ক্রম 3 হবে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি 3-চক্র হয়। একটি 3-চক্র গঠন করতে, আমাদের 4টি থেকে 3টি উপাদান বেছে নিতে হবে, যা C(4, 3) = 4 উপায়ে করা যায়। প্রতিটি 3টি উপাদানের {a, b, c} পছন্দের জন্য, আমরা দুটি ভিন্ন 3-চক্র গঠন করতে পারি: (a b c) এবং (a c b)। সুতরাং, মোট 3-চক্রের সংখ্যা হলো 4 * 2 = 8।
83. Let R be a ring. The set of units of R, U(R), forms a group under:
ধরা যাক R একটি রিং। R-এর এককগুলির (units) সেট, U(R), নিম্নলিখিত প্রক্রিয়ার অধীনে একটি গ্রুপ গঠন করে:
Correct Answer: A
Explanation: The set of units U(R) in a ring R with unity consists of all elements that have a multiplicative inverse. This set is closed under multiplication (if a,b are units, (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹), it’s associative (from the ring axiom), the identity is 1, and every element has an inverse by definition. Thus, (U(R), ·) is a group. For Zₙ, this group is U(Zₙ) = Zₙ*.
ব্যাখ্যা: একসম উপাদান সহ একটি রিং R-এর এককগুলির সেট U(R) সেই সমস্ত উপাদান নিয়ে গঠিত যাদের গুণাত্মক বিপরীত রয়েছে। এই সেটটি গুণের অধীনে আবদ্ধ (যদি a,b একক হয়, (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹), এটি সংযোগ নিয়ম মানে (রিং-এর স্বতঃসিদ্ধ থেকে), একসম উপাদান হলো 1, এবং প্রতিটি উপাদানের সংজ্ঞা অনুসারে একটি বিপরীত রয়েছে। সুতরাং, (U(R), ·) একটি গ্রুপ। Zₙ-এর জন্য, এই গ্রুপটি হলো U(Zₙ) = Zₙ*।
84. Which structure is more general (i.e., requires fewer axioms)?
কোন কাঠামোটি অধিকতর সাধারণ (অর্থাৎ, কম স্বতঃসিদ্ধের প্রয়োজন)?
Correct Answer: A
Explanation: The hierarchy of these structures is: Groupoid (closure) -> Semigroup (closure + associativity) -> Monoid (semigroup + identity) -> Group (monoid + inverses). A ring has two operations and many more axioms. Therefore, a semigroup is more general than a monoid or a group.
ব্যাখ্যা: এই কাঠামোদের স্তরবিন্যাস হলো: গ্রুপয়েড (আবদ্ধতা) -> সেমিগ্রুপ (আবদ্ধতা + সংযোগ নিয়ম) -> মনয়েড (সেমিগ্রুপ + একসম উপাদান) -> গ্রুপ (মনয়েড + বিপরীত উপাদান)। একটি রিং-এর দুটি প্রক্রিয়া এবং আরও অনেক স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে। সুতরাং, একটি সেমিগ্রুপ একটি মনয়েড বা গ্রুপের চেয়ে বেশি সাধারণ।
85. A relation R on set A is transitive if:
সেট A-এর উপর একটি সম্বন্ধ R সংক্রমণ (transitive) হবে যদি:
Correct Answer: A
Explanation: Transitivity is a key property for both equivalence relations and partial orders. It states that if an element ‘a’ is related to ‘b’ and ‘b’ is related to ‘c’, then ‘a’ must be related to ‘c’.
ব্যাখ্যা: সংক্রমণ ধর্মটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ এবং আংশিক ক্রম উভয়ের জন্যই একটি প্রধান ধর্ম। এটি বলে যে যদি একটি উপাদান ‘a’, ‘b’-এর সাথে সম্পর্কিত হয় এবং ‘b’, ‘c’-এর সাথে সম্পর্কিত হয়, তবে ‘a’ অবশ্যই ‘c’-এর সাথে সম্পর্কিত হবে।
86. The group (Z₄, +) is isomorphic to which of the following groups?
(Z₄, +) গ্রুপটি নিচের কোন গ্রুপের সাথে আইসোমরফিক?
Correct Answer: A
Explanation: We are looking for a group of order 4 that is cyclic.
– (Z₄, +) is a cyclic group of order 4.
– (Z₅*, ×) = {1, 2, 3, 4} under multiplication mod 5. The order of 2 is 4 (2¹=2, 2²=4, 2³=3, 2⁴=1), so it is a cyclic group of order 4. Thus, Z₄ is isomorphic to Z₅*.
– Klein’s 4-group is non-cyclic.
– S₂ has order 2. A₄ has order 12.
ব্যাখ্যা: আমরা এমন একটি ৪ ক্রমের গ্রুপ খুঁজছি যা চক্রীয়।
– (Z₄, +) হলো ৪ ক্রমের একটি চক্রীয় গ্রুপ।
– (Z₅*, ×) = {1, 2, 3, 4} মডিউলো ৫ গুণের অধীনে। ২-এর ক্রম ৪ (2¹=2, 2²=4, 2³=3, 2⁴=1), সুতরাং এটি ৪ ক্রমের একটি চক্রীয় গ্রুপ। অতএব, Z₄, Z₅*-এর সাথে আইসোমরফিক।
– ক্লাইনের ৪-গ্রুপ অচক্রীয়।
– S₂-এর ক্রম ২। A₄-এর ক্রম ১২।
87. A simple group is a group whose only normal subgroups are:
একটি সরল গ্রুপ (simple group) হলো এমন একটি গ্রুপ যার একমাত্র অভিলম্ব উপগ্রুপগুলি হলো:
Correct Answer: A
Explanation: A group G is called simple if its only normal subgroups are the trivial subgroup {e} and G itself. Simple groups are the “building blocks” of finite groups, similar to how prime numbers are the building blocks of integers.
ব্যাখ্যা: একটি গ্রুপ G-কে সরল বলা হয় যদি এর একমাত্র অভিলম্ব উপগ্রুপগুলি তুচ্ছ উপগ্রুপ {e} এবং G নিজেই হয়। সরল গ্রুপগুলি সসীম গ্রুপের “গঠন উপাদান”, যেমনভাবে মৌলিক সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যার গঠন উপাদান।
88. If |G| = 15, then G must be:
যদি |G| = 15 হয়, তবে G অবশ্যই হবে:
Correct Answer: A
Explanation: Let |G| = 15 = 3 × 5. By Sylow’s Theorems, the number of Sylow 3-subgroups n₃ must divide 5 and n₃ ≡ 1 (mod 3). The only possibility is n₃ = 1. The number of Sylow 5-subgroups n₅ must divide 3 and n₅ ≡ 1 (mod 5). The only possibility is n₅ = 1. Since both Sylow subgroups are unique, they are normal. This allows us to show that G is isomorphic to the direct product Z₃ × Z₅, which is isomorphic to Z₁₅. Thus, G is cyclic.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক |G| = 15 = 3 × 5। সাইলোর উপপাদ্য অনুসারে, সাইলো 3-উপগ্রুপের সংখ্যা n₃ অবশ্যই 5-কে ভাগ করবে এবং n₃ ≡ 1 (mod 3)। একমাত্র সম্ভাবনা হলো n₃ = 1। সাইলো 5-উপগ্রুপের সংখ্যা n₅ অবশ্যই 3-কে ভাগ করবে এবং n₅ ≡ 1 (mod 5)। একমাত্র সম্ভাবনা হলো n₅ = 1। যেহেতু উভয় সাইলো উপগ্রুপই অনন্য, তারা অভিলম্ব। এটি আমাদের দেখাতে সাহায্য করে যে G, Z₃ × Z₅-এর সাথে আইসোমরফিক, যা Z₁₅-এর সাথে আইসোমরফিক। সুতরাং, G চক্রীয়।
89. The set of all bijections from a set A to itself forms a group under which operation?
একটি সেট A থেকে নিজের কাছে সমস্ত বাইজেকশনগুলির সেট কোন প্রক্রিয়ার অধীনে একটি গ্রুপ গঠন করে?
Correct Answer: A
Explanation: This group is precisely the symmetric group on the set A, denoted Sym(A). The operation is function composition. Closure holds because the composition of two bijections is a bijection. Associativity is a property of function composition. The identity element is the identity map. The inverse of a bijection is also a bijection. If A has n elements, this group is Sₙ.
ব্যাখ্যা: এই গ্রুপটিই হলো A সেটের উপর প্রতিসম গ্রুপ, যা Sym(A) দ্বারা চিহ্নিত। প্রক্রিয়াটি হলো অপেক্ষকের संयोजन। আবদ্ধতা বজায় থাকে কারণ দুটি বাইজেকশনের संयोजन একটি বাইজেকশন। সংযোগ নিয়ম অপেক্ষকের সংযোজনের একটি ধর্ম। একসম উপাদান হলো একসম চিত্রণ। একটি বাইজেকশনের বিপরীতও একটি বাইজেকশন। যদি A-তে n সংখ্যক উপাদান থাকে, তবে এই গ্রুপটি হলো Sₙ।
90. The relation ‘divides’ on the set of natural numbers N is:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N-এর উপর ‘ভাগ করে’ সম্বন্ধটি হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The ‘divides’ relation on N is reflexive (a|a), anti-symmetric (if a|b and b|a, then a=b), and transitive (if a|b and b|c, then a|c). Thus, it is a partial order. It is not symmetric (2|4 but 4 does not divide 2), so it is not an equivalence relation.
ব্যাখ্যা: N-এর উপর ‘ভাগ করে’ সম্বন্ধটি স্বসম (a|a), বিপ্রতিসম (যদি a|b এবং b|a হয়, তবে a=b), এবং সংক্রমণ (যদি a|b এবং b|c হয়, তবে a|c)। সুতরাং, এটি একটি আংশিক ক্রম। এটি প্রতিসম নয় (2|4 কিন্তু 4, 2-কে ভাগ করে না), তাই এটি একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ নয়।
91. Which of the following is NOT an integral domain?
নিচের কোনটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন নয়?
Correct Answer: A
Explanation: An integral domain is a commutative ring with unity and no zero divisors.
– Z and Q are standard examples of integral domains.
– Z₇ is an integral domain (in fact, a field) because 7 is prime.
– Z₁₀ has zero divisors, for example, 2 · 5 = 10 ≡ 0 (mod 10). Therefore, Z₁₀ is not an integral domain.
ব্যাখ্যা: একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন হলো একসম উপাদান সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিং যেখানে শূন্যের ভাজক নেই।
– Z এবং Q হলো ইন্টিগ্রাল ডোমেনের আদর্শ উদাহরণ।
– Z₇ একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন (প্রকৃতপক্ষে, একটি ফিল্ড) কারণ 7 মৌলিক।
– Z₁₀-এ শূন্যের ভাজক রয়েছে, যেমন, 2 · 5 = 10 ≡ 0 (mod 10)। সুতরাং, Z₁₀ একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন নয়।
92. The order of the identity element in any group is:
যেকোনো গ্রুপে একসম উপাদানের ক্রম হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The order of an element ‘a’ is the smallest positive integer n such that aⁿ = e. For the identity element e, we have e¹ = e. Since 1 is the smallest positive integer, the order of the identity element is always 1.
ব্যাখ্যা: একটি উপাদান ‘a’-এর ক্রম হলো ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n যাতে aⁿ = e হয়। একসম উপাদান e-এর জন্য, আমরা পাই e¹ = e। যেহেতু 1 ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, একসম উপাদানের ক্রম সর্বদা 1।
93. What is the relationship between a ring R and the ring of polynomials R[x]?
একটি রিং R এবং বহুপদী রিং R[x]-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
Correct Answer: A
Explanation: The ring of polynomials R[x] consists of all polynomials with coefficients from R. The constant polynomials (polynomials of degree 0) in R[x] can be identified with the elements of R. This set of constant polynomials forms a subring of R[x] that is isomorphic to R.
ব্যাখ্যা: বহুপদী রিং R[x] R থেকে সহগ সহ সমস্ত বহুপদী নিয়ে গঠিত। R[x]-এর ধ্রুবক বহুপদীগুলিকে (ডিগ্রী ০-এর বহুপদী) R-এর উপাদানগুলির সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই ধ্রুবক বহুপদীর সেটটি R[x]-এর একটি সাবরিং গঠন করে যা R-এর সাথে আইসোমরফিক।
94. The direct product of two cyclic groups G = Z₂ x Z₃ is isomorphic to:
দুটি চক্রীয় গ্রুপ G = Z₂ x Z₃-এর সরাসরি গুণফল (direct product) আইসোমরফিক হলো:
Correct Answer: A
Explanation: A fundamental theorem states that the direct product Zₘ × Zₙ is isomorphic to Zₘₙ if and only if m and n are coprime (gcd(m, n) = 1). Since gcd(2, 3) = 1, the group Z₂ × Z₃ is isomorphic to the cyclic group Z₆.
ব্যাখ্যা: একটি মৌলিক উপপাদ্য বলে যে সরাসরি গুণফল Zₘ × Zₙ, Zₘₙ-এর সাথে আইসোমরফিক হবে যদি এবং কেবল যদি m এবং n সহমৌলিক হয় (গ.সা.গু.(m, n) = 1)। যেহেতু গ.সা.গু.(2, 3) = 1, তাই Z₂ × Z₃ গ্রুপটি চক্রীয় গ্রুপ Z₆-এর সাথে আইসোমরফিক।
95. In any group, (ab)⁻¹ = ?
যেকোনো গ্রুপে, (ab)⁻¹ = ?
Correct Answer: A
Explanation: This is known as the “socks and shoes” property. To find the inverse of a product, you take the product of the inverses in the reverse order. We can verify this: (ab)(b⁻¹a⁻¹) = a(bb⁻¹)a⁻¹ = a(e)a⁻¹ = aa⁻¹ = e.
ব্যাখ্যা: এটি “মোজা এবং জুতো” ধর্ম (socks and shoes property) নামে পরিচিত। একটি গুণফলের বিপরীত খুঁজে পেতে, আপনাকে বিপরীত ক্রমে বিপরীতগুলির গুণফল নিতে হবে। আমরা এটি যাচাই করতে পারি: (ab)(b⁻¹a⁻¹) = a(bb⁻¹)a⁻¹ = a(e)a⁻¹ = aa⁻¹ = e।
96. An equivalence class [a] is a:
একটি সমতুল্যতা শ্রেণী [a] হলো একটি:
Correct Answer: A
Explanation: Given a set A and an equivalence relation ~ on A, the equivalence class of an element a in A, denoted by [a], is the set of all elements in A that are equivalent to a. That is, [a] = {x ∈ A | x ~ a}. Thus, it is a subset of A.
ব্যাখ্যা: একটি সেট A এবং A-এর উপর একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ ~ দেওয়া থাকলে, A-এর একটি উপাদান a-এর সমতুল্যতা শ্রেণী, যা [a] দ্বারা চিহ্নিত, হলো A-এর সেই সমস্ত উপাদানের সেট যা a-এর সমতুল্য। অর্থাৎ, [a] = {x ∈ A | x ~ a}। সুতরাং, এটি A-এর একটি উপসেট।
97. The set of all 2×2 matrices with real entries forms a ring under matrix addition and multiplication. Is this ring commutative?
বাস্তব সংখ্যা সহ সমস্ত 2×2 ম্যাট্রিক্সের সেট ম্যাট্রিক্স যোগ এবং গুণের অধীনে একটি রিং গঠন করে। এই রিংটি কি বিনিময়যোগ্য (commutative)?
Correct Answer: A
Explanation: The ring of n×n matrices (for n > 1) is a classic example of a non-commutative ring. While matrix addition is commutative, matrix multiplication is not. For example, if A = [[0, 1], [0, 0]] and B = [[0, 0], [1, 0]], then AB = [[1, 0], [0, 0]] but BA = [[0, 0], [0, 1]]. Since AB ≠ BA, the ring is non-commutative.
ব্যাখ্যা: n×n ম্যাট্রিক্সের রিং (n > 1 এর জন্য) একটি অন্যাবেলিয়ান রিং-এর ক্লাসিক উদাহরণ। যদিও ম্যাট্রিক্স যোগ বিনিময়যোগ্য, ম্যাট্রিক্স গুণ বিনিময়যোগ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি A = [[0, 1], [0, 0]] এবং B = [[0, 0], [1, 0]] হয়, তবে AB = [[1, 0], [0, 0]] কিন্তু BA = [[0, 0], [0, 1]]। যেহেতু AB ≠ BA, রিংটি অন্যাবেলিয়ান।
98. Let G be a group of order 77. The center of G, Z(G), is:
ধরা যাক G 77 ক্রমের একটি গ্রুপ। G-এর কেন্দ্র, Z(G), হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The order of G is 77 = 7 × 11. A group of order pq, where p and q are primes with p < q and p does not divide q-1, is cyclic. Here p=7, q=11, and 7 does not divide 11-1=10. Therefore, G must be cyclic. Since every cyclic group is abelian, all elements commute with each other. Thus, the center Z(G) contains all elements of G, meaning Z(G) = G.
ব্যাখ্যা: G-এর ক্রম 77 = 7 × 11। pq ক্রমের একটি গ্রুপ, যেখানে p এবং q মৌলিক এবং p < q ও p, q-1 কে ভাগ করে না, সেটি চক্রীয় হয়। এখানে p=7, q=11, এবং 7, 11-1=10 কে ভাগ করে না। সুতরাং, G অবশ্যই চক্রীয় হবে। যেহেতু প্রতিটি চক্রীয় গ্রুপ অ্যাবেলিয়ান, সমস্ত উপাদান একে অপরের সাথে বিনিময় করে। অতএব, কেন্দ্র Z(G), G-এর সমস্ত উপাদান ধারণ করে, যার অর্থ Z(G) = G।
99. A proper, non-trivial subgroup of (Z, +) is:
(Z, +) এর একটি যথার্থ, অ-তুচ্ছ (proper, non-trivial) উপগ্রুপ হলো:
Correct Answer: A
Explanation: The group of integers (Z, +) is a cyclic group generated by 1 (or -1). All of its subgroups are also cyclic and are of the form nZ = {…, -2n, -n, 0, n, 2n, …} for some integer n ≥ 0. For the subgroup to be proper, it cannot be all of Z (so n ≠ 1), and for it to be non-trivial, it cannot be just {0} (so n ≠ 0). Thus, any set nZ for n > 1 is a proper, non-trivial subgroup. For example, 2Z (the even integers).
ব্যাখ্যা: পূর্ণসংখ্যার গ্রুপ (Z, +) হলো 1 (বা -1) দ্বারা উৎপাদিত একটি চক্রীয় গ্রুপ। এর সমস্ত উপগ্রুপও চক্রীয় এবং কোনো পূর্ণসংখ্যা n ≥ 0-এর জন্য nZ = {…, -2n, -n, 0, n, 2n, …} আকারের হয়। উপগ্রুপটিকে যথার্থ হতে হলে, এটি সম্পূর্ণ Z হতে পারবে না (তাই n ≠ 1), এবং এটিকে অ-তুচ্ছ হতে হলে, এটি কেবল {0} হতে পারবে না (তাই n ≠ 0)। সুতরাং, n > 1 এর জন্য যেকোনো সেট nZ একটি যথার্থ, অ-তুচ্ছ উপগ্রুপ। যেমন, 2Z (জোড় পূর্ণসংখ্যা)।
100. If R is a ring such that a² = a for all a in R, then R must be:
যদি R এমন একটি রিং হয় যেখানে R-এর সকল a-এর জন্য a² = a, তবে R অবশ্যই হবে:
Correct Answer: A
Explanation: A ring where a² = a for all elements ‘a’ is called a Boolean ring. A key property of Boolean rings is that they are always commutative. To prove this, consider (a+b)² = a+b. Expanding the left side gives (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a + ab + ba + b. So, a+b = a + ab + ba + b. By cancellation in the additive group, we get 0 = ab + ba. Since a²=a, we also have (-a) = (-a)² = a², so -a = a. This means every element is its own additive inverse. Thus, from ab + ba = 0, we can add ab to both sides to get ba = -ab = ab. So the ring is commutative.
ব্যাখ্যা: একটি রিং যেখানে সমস্ত উপাদান ‘a’-এর জন্য a² = a হয়, তাকে বুলিয়ান রিং বলা হয়। বুলিয়ান রিং-এর একটি প্রধান ধর্ম হলো যে তারা সর্বদা বিনিময়যোগ্য (commutative)। এটি প্রমাণ করতে, (a+b)² = a+b বিবেচনা করুন। বাম দিকটি প্রসারিত করলে (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a + ab + ba + b হয়। সুতরাং, a+b = a + ab + ba + b। যোগাত্মক গ্রুপে কাটাকাটি করে, আমরা পাই 0 = ab + ba। যেহেতু a²=a, আমরা আরও পাই (-a) = (-a)² = a², তাই -a = a। এর মানে প্রতিটি উপাদান তার নিজের যোগাত্মক বিপরীত। সুতরাং, ab + ba = 0 থেকে, আমরা উভয় দিকে ab যোগ করে পাই ba = -ab = ab। তাই রিংটি বিনিময়যোগ্য।
