WBSSC SLST Math XI & XII : Matrix Theory and Linear Algebra

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) m x n

Explanation / ব্যাখ্যা:
The order of a matrix is always represented as (number of rows) x (number of columns).
একটি ম্যাট্রিক্সের ক্রম সর্বদা (সারির সংখ্যা) x (স্তম্ভের সংখ্যা) হিসাবে প্রকাশ করা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) They have the same order and corresponding elements are equal. / তাদের ক্রম সমান হয় এবং অনুরূপ উপাদানগুলি সমান হয়।

Explanation / ব্যাখ্যা:
For two matrices to be equal, they must satisfy two conditions: they must be of the same order, and each element of one matrix must be equal to the corresponding element of the other matrix.
দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার জন্য দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে: তাদের ক্রম একই হতে হবে এবং একটি ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদান অন্য ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ উপাদানের সমান হতে হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) The number of columns of A is equal to the number of rows of B. / A-এর স্তম্ভের সংখ্যা B-এর সারির সংখ্যার সমান হয়।

Explanation / ব্যাখ্যা:
For the matrix product AB to be defined, the ‘inner’ dimensions must match. If A is of order m x n, B must be of order n x p. The resulting matrix AB will be of order m x p.
ম্যাট্রিক্স গুণফল AB সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য, ‘ভিতরের’ মাত্রাগুলি মিলতে হবে। যদি A-এর ক্রম m x n হয়, তবে B-এর ক্রম অবশ্যই n x p হতে হবে। ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্স AB-এর ক্রম m x p হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) A = A^T (where A^T is the transpose of A)

Explanation / ব্যাখ্যা:
A symmetric matrix is a square matrix that is equal to its transpose. This means a_ij = a_ji for all i and j.
একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যা তার ট্রান্সপোজের সমান। এর অর্থ হলো সমস্ত i এবং j-এর জন্য a_ij = a_ji।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
For a skew-symmetric matrix A, we have A = -A^T, which means a_ij = -a_ji. For diagonal elements, i = j, so a_ii = -a_ii. This implies 2a_ii = 0, so a_ii = 0.
একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, আমাদের কাছে আছে A = -A^T, যার অর্থ a_ij = -a_ji। কর্ণ বরাবর উপাদানগুলির জন্য i = j, সুতরাং a_ii = -a_ii। এর থেকে বোঝা যায় 2a_ii = 0, তাই a_ii = 0।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) A

Explanation / ব্যাখ্যা:
The transpose of the transpose of a matrix is the matrix itself. Transposing a matrix twice returns it to its original form.
একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের ট্রান্সপোজ হলো সেই ম্যাট্রিক্সটিই। একটি ম্যাট্রিক্সকে দুবার ট্রান্সপোজ করলে এটি তার আসল রূপে ফিরে আসে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Symmetric / প্রতিসম

Explanation / ব্যাখ্যা:
Let B = A + A^T. Then B^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = B. Since B = B^T, the matrix is symmetric.
ধরা যাক, B = A + A^T। তাহলে B^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = B। যেহেতু B = B^T, ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Skew-symmetric / বিপ্রতিসম

Explanation / ব্যাখ্যা:
Let C = A – A^T. Then C^T = (A – A^T)^T = A^T – (A^T)^T = A^T – A = -(A – A^T) = -C. Since C = -C^T, the matrix is skew-symmetric.
ধরা যাক, C = A – A^T। তাহলে C^T = (A – A^T)^T = A^T – (A^T)^T = A^T – A = -(A – A^T) = -C। যেহেতু C = -C^T, ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) B^TA^T

Explanation / ব্যাখ্যা:
This is the reversal law for transpose of product of matrices. The transpose of a product of matrices is the product of their transposes in the reverse order.
এটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ট্রান্সপোজের বিপরীত নিয়ম। ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ট্রান্সপোজ হলো তাদের ট্রান্সপোজগুলোর বিপরীত ক্রমে গুণফল।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Row matrix / সারি ম্যাট্রিক্স

Explanation / ব্যাখ্যা:
By definition, a matrix with only one row is a row matrix or row vector. Its order is 1 x n.
সংজ্ঞা অনুসারে, কেবল একটি সারিযুক্ত ম্যাট্রিক্সকে সারি ম্যাট্রিক্স বা সারি ভেক্টর বলা হয়। এর ক্রম 1 x n।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Square matrices / বর্গ ম্যাট্রিক্স

Explanation / ব্যাখ্যা:
Determinants are scalar values associated with square matrices only. They are not defined for non-square (rectangular) matrices.
নির্ণায়ক হলো শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত স্কেলার মান। এগুলি অবর্গ (আয়তক্ষেত্রাকার) ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত নয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
This is a fundamental property of determinants. If any two rows or any two columns of a determinant are identical, its value is zero.
এটি নির্ণায়কের একটি মৌলিক ধর্ম। যদি একটি নির্ণায়কের যেকোনো দুটি সারি বা যেকোনো দুটি স্তম্ভ অভিন্ন হয়, তবে তার মান শূন্য হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) det(A)

Explanation / ব্যাখ্যা:
The value of a determinant remains unchanged if its rows and columns are interchanged. This means the determinant of a matrix is equal to the determinant of its transpose.
একটি নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে যদি তার সারি এবং স্তম্ভগুলি পরস্পর পরিবর্তন করা হয়। এর অর্থ হলো একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক তার ট্রান্সপোজের নির্ণায়কের সমান।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) kⁿ * det(A)

Explanation / ব্যাখ্যা:
When a matrix is multiplied by a scalar k, every element is multiplied by k. Since there are n rows, the scalar k can be factored out from each of the n rows when calculating the determinant. Thus, the factor is kⁿ.
যখন একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি স্কেলার k দ্বারা গুণ করা হয়, তখন প্রতিটি উপাদান k দ্বারা গুণ হয়। যেহেতু n সংখ্যক সারি আছে, নির্ণায়ক গণনা করার সময় প্রতিটি n সারি থেকে স্কেলার k ফ্যাক্টর হিসাবে বের করা যায়। সুতরাং, ফ্যাক্টরটি হলো kⁿ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Solving a system of linear equations / রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা হয়

Explanation / ব্যাখ্যা:
Cramer’s rule provides an explicit formula for the solution of a system of linear equations with as many equations as unknowns, provided the determinant of the coefficient matrix is non-zero.
ক্র্যামারের নিয়ম রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য একটি সুস্পষ্ট সূত্র প্রদান করে, যেখানে সমীকরণের সংখ্যা এবং অজানা রাশির সংখ্যা সমান থাকে, এবং সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান অশূন্য হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) C_ij = (-1)^i+j M_ij

Explanation / ব্যাখ্যা:
The cofactor of an element a_ij is defined as its minor multiplied by a sign factor (-1)^i+j, where i is the row number and j is the column number.
একটি উপাদান a_ij-এর সহগুণনীয়ক হলো তার মাইনারকে একটি চিহ্ন ফ্যাক্টর (-1)^i+j দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত মান, যেখানে i হলো সারি সংখ্যা এবং j হলো স্তম্ভ সংখ্যা।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 15

Explanation / ব্যাখ্যা:
For any two square matrices A and B of the same order, det(AB) = det(A) * det(B). So, det(AB) = 5 * 3 = 15.
একই ক্রমের যেকোনো দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এবং B-এর জন্য, det(AB) = det(A) * det(B)। সুতরাং, det(AB) = 5 * 3 = 15।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Non-zero / অশূন্য

Explanation / ব্যাখ্যা:
Cramer’s rule involves dividing by the determinant of the coefficient matrix (D). If D=0, the rule is not applicable for finding a unique solution.
ক্র্যামারের নিয়মে সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (D) দ্বারা ভাগ করা হয়। যদি D=0 হয়, তাহলে একটি অনন্য সমাধান খোঁজার জন্য এই নিয়ম প্রযোজ্য নয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
If you expand the determinant along the row or column with all zeros, each term in the expansion will be a product of zero and a cofactor, resulting in a total value of zero.
আপনি যদি শূন্যযুক্ত সারি বা স্তম্ভ বরাবর নির্ণায়কটি প্রসারিত করেন, তবে প্রসারণের প্রতিটি পদ শূন্য এবং একটি সহগুণনীয়কের গুণফল হবে, যার ফলে মোট মান শূন্য হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) The sign of the determinant is changed / নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়

Explanation / ব্যাখ্যা:
A property of determinants states that if two rows (or columns) are interchanged, the determinant is multiplied by -1, i.e., its sign changes.
নির্ণায়কের একটি ধর্ম বলে যে যদি দুটি সারি (বা স্তম্ভ) পরস্পর পরিবর্তন করা হয়, তবে নির্ণায়কটি -1 দ্বারা গুণিত হয়, অর্থাৎ এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) det(A) = 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
A square matrix is singular if and only if its determinant is zero. Singular matrices do not have an inverse.
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী হয় যদি এবং কেবল যদি তার নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকে না।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Transpose of the matrix of cofactors / সহগুণনীয়ক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ

Explanation / ব্যাখ্যা:
The adjoint of a matrix A is found by first creating the matrix of cofactors of A, and then taking the transpose of that matrix.
একটি ম্যাট্রিক্স A-এর অ্যাডজয়েন্ট নির্ণয় করা হয় প্রথমে A-এর সহগুণনীয়ক ম্যাট্রিক্স তৈরি করে, এবং তারপর সেই ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিয়ে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) det(A) . I

Explanation / ব্যাখ্যা:
A fundamental theorem in matrix theory states that A . (Adj A) = (Adj A) . A = det(A) . I, where I is the identity matrix of the same order as A.
ম্যাট্রিক্স তত্ত্বে একটি মৌলিক উপপাদ্য বলে যে A . (Adj A) = (Adj A) . A = det(A) . I, যেখানে I হলো A-এর সমান ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
The rank of a matrix is the number of non-zero rows in its row echelon form. Since a null matrix has no non-zero rows, its rank is 0.
একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হলো তার সারি ইশেলন (row echelon) ফর্মের অশূন্য সারির সংখ্যা। যেহেতু একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের কোনো অশূন্য সারি নেই, তার র‍্যাঙ্ক 0।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Non-singular / অব্যতিক্রমী

Explanation / ব্যাখ্যা:
A matrix is invertible (has an inverse) if and only if it is non-singular, which means its determinant is non-zero (det(A) ≠ 0).
একটি ম্যাট্রিক্স বিপরীতযোগ্য (যার বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে) হয় যদি এবং কেবল যদি এটি অব্যতিক্রমী হয়, যার অর্থ তার নির্ণায়কের মান অশূন্য (det(A) ≠ 0)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Adding a constant to every element of a row / একটি সারির প্রতিটি উপাদানের সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করা

Explanation / ব্যাখ্যা:
The three elementary row operations are: swapping rows, multiplying a row by a non-zero scalar, and adding a scalar multiple of one row to another. Adding a constant to each element is not an elementary operation.
তিনটি প্রাথমিক সারি অপারেশন হলো: সারি বিনিময় করা, একটি সারিকে অশূন্য স্কেলার দিয়ে গুণ করা, এবং একটি সারির স্কেলার গুণিতককে অন্য সারিতে যোগ করা। প্রতিটি উপাদানের সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করা প্রাথমিক অপারেশন নয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) [ I_r | 0 ; 0 | 0 ] in block form

Explanation / ব্যাখ্যা:
Any non-zero matrix can be reduced by elementary row and column operations to its normal form, which is a block matrix containing an identity matrix of size r (the rank) in the top-left corner and zeros elsewhere.
যেকোনো অশূন্য ম্যাট্রিক্সকে প্রাথমিক সারি এবং স্তম্ভ অপারেশনের মাধ্যমে তার স্বাভাবিক রূপে আনা যায়, যা একটি ব্লক ম্যাট্রিক্স যেখানে উপরের-বাম কোণে r (র‍্যাঙ্ক) আকারের একটি একক ম্যাট্রিক্স থাকে এবং বাকি সব উপাদান শূন্য থাকে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) n

Explanation / ব্যাখ্যা:
An identity matrix of order n is already in row echelon form and has n non-zero rows. Therefore, its rank is n.
n ক্রমের একটি একক ম্যাট্রিক্স ইতিমধ্যেই সারি ইশেলন ফর্মে রয়েছে এবং এর n সংখ্যক অশূন্য সারি রয়েছে। অতএব, এর র‍্যাঙ্ক n।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) A

Explanation / ব্যাখ্যা:
The inverse of the inverse of a matrix is the original matrix itself. This is analogous to how the reciprocal of a reciprocal of a number is the number itself.
একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীতের বিপরীত হলো মূল ম্যাট্রিক্সটিই। এটি যেমন একটি সংখ্যার অন্যোন্যকের অন্যোন্যক সেই সংখ্যাটিই হয়, তার অনুরূপ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) Diagonal matrix / কর্ণ ম্যাট্রিক্স

Explanation / ব্যাখ্যা:
A square matrix A is diagonalizable if there exists an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that A = PDP^-1, or equivalently, D = P^-1AP. The columns of P are the eigenvectors of A, and the diagonal entries of D are the corresponding eigenvalues.
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A ডায়াগোনালাইজেবল হয় যদি একটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স P এবং একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স D বিদ্যমান থাকে যাতে A = PDP^-1, বা সমতুল্যভাবে D = P^-1AP হয়। P-এর স্তম্ভগুলি A-এর আইগেনভেক্টর এবং D-এর কর্ণ বরাবর উপাদানগুলি হলো সংশ্লিষ্ট আইগেনমান।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) The set of all polynomials of degree exactly 2 / ঠিক ২ ঘাতের সমস্ত বহুপদীর সেট

Explanation / ব্যাখ্যা:
The set of polynomials of *exactly* degree 2 is not a vector space because it is not closed under addition. For example, (x² + x) + (-x² + 1) = x + 1, which is a polynomial of degree 1, not 2. A vector space must contain the zero vector, which is a polynomial of degree -∞.
ঠিক ২ ঘাতের বহুপদীর সেটটি একটি ভেক্টর জগৎ নয় কারণ এটি যোগের অধীনে আবদ্ধ নয়। উদাহরণস্বরূপ, (x² + x) + (-x² + 1) = x + 1, যা ১ ঘাতের একটি বহুপদী, ২ ঘাতের নয়। একটি ভেক্টর জগতে অবশ্যই শূন্য ভেক্টর থাকতে হবে, যা একটি -∞ ঘাতের বহুপদী।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) All of the above / উপরের সবগুলি

Explanation / ব্যাখ্যা:
For a non-empty subset W of V to be a subspace, it must satisfy three conditions: it must contain the zero vector of V, it must be closed under vector addition (if u, v are in W, then u+v is in W), and it must be closed under scalar multiplication (if u is in W and c is a scalar, then cu is in W).
V-এর একটি অশূন্য উপসেট W-কে উপজগৎ হতে হলে তিনটি শর্ত পূরণ করতে হবে: এতে V-এর শূন্য ভেক্টর থাকতে হবে, এটি ভেক্টর যোগের অধীনে আবদ্ধ হতে হবে (যদি u, v, W-তে থাকে, তবে u+v, W-তে থাকবে), এবং এটি স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধ হতে হবে (যদি u, W-তে থাকে এবং c একটি স্কেলার হয়, তবে cu, W-তে থাকবে)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 3

Explanation / ব্যাখ্যা:
The dimension of a vector space is the number of vectors in its basis. The standard basis for R³ is {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, which consists of 3 vectors. Therefore, the dimension is 3.
একটি ভেক্টর জগতের মাত্রা হলো তার ভিত্তির (basis) ভেক্টরের সংখ্যা। R³-এর জন্য আদর্শ ভিত্তি হলো {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, যা ৩টি ভেক্টর নিয়ে গঠিত। অতএব, মাত্রা হলো ৩।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Linearly dependent / রৈখিকভাবে নির্ভরশীল

Explanation / ব্যাখ্যা:
The vectors are linearly dependent because one vector can be written as a linear combination of the others. Here, (1,1) = 1*(1,0) + 1*(0,1). Also, in an n-dimensional space, any set of more than n vectors must be linearly dependent. Here we have 3 vectors in R² (a 2-dimensional space).
ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল কারণ একটি ভেক্টরকে অন্যগুলির রৈখিক সমাবেশ হিসাবে লেখা যায়। এখানে, (1,1) = 1*(1,0) + 1*(0,1)। এছাড়াও, একটি n-মাত্রিক জগতে n-এর বেশি ভেক্টরের যেকোনো সেট অবশ্যই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে। এখানে R² (একটি ২-মাত্রিক জগৎ)-এ আমাদের ৩টি ভেক্টর রয়েছে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Linearly independent and span the space / রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং জগৎটিকে স্প্যান করে

Explanation / ব্যাখ্যা:
By definition, a basis for a vector space V is a set of vectors S such that (1) the vectors in S are linearly independent, and (2) the vectors in S span V (i.e., every vector in V can be written as a linear combination of vectors in S).
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ভেক্টর জগৎ V-এর ভিত্তি হলো ভেক্টরের একটি সেট S, যেখানে (১) S-এর ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং (২) S-এর ভেক্টরগুলি V-কে স্প্যান করে (অর্থাৎ, V-এর প্রতিটি ভেক্টরকে S-এর ভেক্টরগুলির রৈখিক সমাবেশ হিসাবে লেখা যায়)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) The smallest subspace containing S / S-কে ধারণকারী ক্ষুদ্রতম উপজগৎ

Explanation / ব্যাখ্যা:
The linear span of S, denoted Span(S), is the set of all possible linear combinations of vectors from S. This set forms the smallest subspace of the vector space that contains the set S. Both A and C are correct descriptions, but C is more precise in the context of subspaces.
S-এর রৈখিক স্প্যান, যা Span(S) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তা হলো S থেকে ভেক্টরগুলির সমস্ত সম্ভাব্য রৈখিক সমাবেশের সেট। এই সেটটি ভেক্টর জগতের ক্ষুদ্রতম উপজগৎ গঠন করে যা S সেটকে ধারণ করে। A এবং C উভয়ই সঠিক বর্ণনা, কিন্তু উপজগতের প্রসঙ্গে C বেশি সুনির্দিষ্ট।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Always a subspace of V / সর্বদা V-এর একটি উপজগৎ

Explanation / ব্যাখ্যা:
The intersection of any two subspaces of a vector space V is itself a subspace of V. This can be proven by checking the three subspace conditions (contains zero vector, closure under addition, closure under scalar multiplication).
একটি ভেক্টর জগৎ V-এর যেকোনো দুটি উপজগতের ছেদ নিজেই V-এর একটি উপজগৎ। এটি তিনটি উপজগতের শর্ত (শূন্য ভেক্টর ধারণ, যোগের অধীনে আবদ্ধতা, স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধতা) পরীক্ষা করে প্রমাণ করা যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) One is a subset of the other / একটি অন্যটির উপসেট হয়

Explanation / ব্যাখ্যা:
The union of two subspaces is not generally a subspace. It is a subspace if and only if one of the subspaces is contained within the other (i.e., W1 ⊆ W2 or W2 ⊆ W1). Otherwise, it fails the closure under addition property.
দুটি উপজগতের সংযোগ সাধারণত একটি উপজগৎ হয় না। এটি একটি উপজগৎ হবে যদি এবং কেবল যদি একটি উপজগৎ অন্যটির মধ্যে থাকে (অর্থাৎ, W1 ⊆ W2 বা W2 ⊆ W1)। অন্যথায়, এটি যোগের অধীনে আবদ্ধতার ধর্মটি ব্যর্থ করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 9

Explanation / ব্যাখ্যা:
The vector space of all m x n matrices has dimension m * n. For 3×3 matrices, the dimension is 3 * 3 = 9. A basis can be formed by the nine 3×3 matrices that have a single ‘1’ in one position and ‘0’s everywhere else.
সমস্ত m x n ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর জগতের মাত্রা m * n। 3×3 ম্যাট্রিক্সের জন্য, মাত্রা হলো 3 * 3 = 9। একটি ভিত্তি গঠন করা যেতে পারে নয়টি 3×3 ম্যাট্রিক্স দ্বারা, যেগুলির একটি অবস্থানে একটি ‘1’ এবং অন্য সব জায়গায় ‘0’ থাকে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Linearly dependent / রৈখিকভাবে নির্ভরশীল

Explanation / ব্যাখ্যা:
If a set of vectors S = {v₁, v₂, …, 0, …} contains the zero vector, we can write a non-trivial linear combination that equals zero: 0*v₁ + 0*v₂ + … + c*0 + … = 0, where c can be any non-zero scalar. This satisfies the definition of linear dependence.
যদি একটি ভেক্টর সেট S = {v₁, v₂, …, 0, …} শূন্য ভেক্টর ধারণ করে, আমরা একটি অশূন্য রৈখিক সমাবেশ লিখতে পারি যা শূন্যের সমান: 0*v₁ + 0*v₂ + … + c*0 + … = 0, যেখানে c যেকোনো অশূন্য স্কেলার হতে পারে। এটি রৈখিক নির্ভরশীলতার সংজ্ঞা পূরণ করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Column vectors / স্তম্ভ ভেক্টর

Explanation / ব্যাখ্যা:
The column space of a matrix A, denoted Col(A), is the set of all possible linear combinations of its column vectors. It is a subspace of R^m if A is an m x n matrix.
একটি ম্যাট্রিক্স A-এর স্তম্ভ জগৎ, যা Col(A) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তা হলো তার স্তম্ভ ভেক্টরগুলির সমস্ত সম্ভাব্য রৈখিক সমাবেশের সেট। যদি A একটি m x n ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এটি R^m-এর একটি উপজগৎ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) The dimension of both its row space and column space / তার সারি জগৎ এবং স্তম্ভ জগৎ উভয়ের মাত্রা

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Rank-Nullity theorem (in one of its forms) states that for any matrix A, the dimension of its row space (row rank) is equal to the dimension of its column space (column rank). This common value is called the rank of the matrix A.
র‍্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য (তার একটি রূপে) বলে যে যেকোনো ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, তার সারি জগতের মাত্রা (সারি র‍্যাঙ্ক) তার স্তম্ভ জগতের মাত্রার (স্তম্ভ র‍্যাঙ্ক) সমান। এই সাধারণ মানটিকে ম্যাট্রিক্স A-এর র‍্যাঙ্ক বলা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Rⁿ

Explanation / ব্যাখ্যা:
Each row vector of an m x n matrix has n components (one for each column). Therefore, the row vectors belong to Rⁿ, and the space they span (the row space) is a subspace of Rⁿ.
একটি m x n ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি ভেক্টরের nটি উপাদান থাকে (প্রতিটি স্তম্ভের জন্য একটি)। অতএব, সারি ভেক্টরগুলি Rⁿ-এর অন্তর্গত, এবং তারা যে জগৎটিকে স্প্যান করে (সারি জগৎ) তা Rⁿ-এর একটি উপজগৎ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Column space of A / A-এর স্তম্ভ জগৎ

Explanation / ব্যাখ্যা:
The column rank is defined as the dimension of the column space of the matrix, which is the maximum number of linearly independent column vectors.
স্তম্ভ র‍্যাঙ্ককে ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ জগতের মাত্রা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা রৈখিকভাবে স্বাধীন স্তম্ভ ভেক্টরের সর্বোচ্চ সংখ্যা।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Do not change the row space / সারি জগৎ পরিবর্তন করে না

Explanation / ব্যাখ্যা:
A key property used in finding the rank of a matrix is that elementary row operations do not change the row space of the matrix. They may, however, change the column space.
একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক নির্ণয়ে ব্যবহৃত একটি মূল ধর্ম হলো যে প্রাথমিক সারি অপারেশন ম্যাট্রিক্সের সারি জগৎকে পরিবর্তন করে না। তবে, তারা স্তম্ভ জগৎকে পরিবর্তন করতে পারে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Always equal / সর্বদা সমান

Explanation / ব্যাখ্যা:
The rank of a matrix A is the dimension of its row space. The row space of A is the column space of A^T. Since row rank equals column rank for any matrix, rank(A) = dim(Row(A)) = dim(Col(A^T)) = rank(A^T).
একটি ম্যাট্রিক্স A-এর র‍্যাঙ্ক হলো তার সারি জগতের মাত্রা। A-এর সারি জগৎ হলো A^T-এর স্তম্ভ জগৎ। যেহেতু যেকোনো ম্যাট্রিক্সের জন্য সারি র‍্যাঙ্ক এবং স্তম্ভ র‍্যাঙ্ক সমান, তাই rank(A) = dim(Row(A)) = dim(Col(A^T)) = rank(A^T)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Row echelon form / সারি ইশেলন ফর্ম

Explanation / ব্যাখ্যা:
The process of reducing a matrix to its row echelon form using elementary row operations preserves the row space. The non-zero rows in the resulting echelon form are linearly independent and span the row space, thus forming a basis for it.
প্রাথমিক সারি অপারেশন ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সকে তার সারি ইশেলন ফর্মে রূপান্তরিত করার প্রক্রিয়াটি সারি জগৎকে সংরক্ষণ করে। ফলস্বরূপ ইশেলন ফর্মের অশূন্য সারিগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং সারি জগৎকে স্প্যান করে, ফলে এর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Pivot columns / পিভট স্তম্ভ

Explanation / ব্যাখ্যা:
The rank of a matrix is equal to the number of pivot positions in its row echelon form. A pivot position corresponds to a column that contains a leading 1 in the row echelon form. These are also known as pivot columns.
একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক তার সারি ইশেলন ফর্মে পিভট অবস্থানের সংখ্যার সমান। একটি পিভট অবস্থান সেই স্তম্ভের সাথে সম্পর্কিত যেখানে সারি ইশেলন ফর্মে একটি অগ্রগামী 1 থাকে। এগুলিকে পিভট স্তম্ভও বলা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) At least one solution / অন্তত একটি সমাধান থাকে

Explanation / ব্যাখ্যা:
A system of linear equations is consistent if it has one or more solutions (either a unique solution or infinitely many solutions). If it has no solution, it is called inconsistent.
একটি রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম সঙ্গত হয় যদি এর এক বা একাধিক সমাধান থাকে (হয় একটি অনন্য সমাধান অথবা অসংখ্য সমাধান)। যদি এর কোনো সমাধান না থাকে, তবে এটিকে অসঙ্গত (inconsistent) বলা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) The trivial solution / শূন্য সমাধান (trivial solution) থাকে

Explanation / ব্যাখ্যা:
A homogeneous system AX = 0 is always consistent because X = 0 (the zero vector) is always a solution. This is known as the trivial solution. The question is whether non-trivial solutions exist.
একটি সমসত্ত্ব সিস্টেম AX = 0 সর্বদা সঙ্গত কারণ X = 0 (শূন্য ভেক্টর) সর্বদা একটি সমাধান। এটি শূন্য সমাধান বা trivial solution নামে পরিচিত। প্রশ্ন হলো অশূন্য সমাধান বিদ্যমান কিনা।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Subspace of Rⁿ / Rⁿ-এর একটি উপজগৎ

Explanation / ব্যাখ্যা:
The set of all solutions to a homogeneous system AX = 0 forms a vector subspace of Rⁿ (where n is the number of variables). This subspace is also known as the null space or kernel of the matrix A.
একটি সমসত্ত্ব সিস্টেম AX = 0-এর সমস্ত সমাধানের সেট Rⁿ-এর একটি ভেক্টর উপজগৎ গঠন করে (যেখানে n হলো চলকের সংখ্যা)। এই উপজগৎটি ম্যাট্রিক্স A-এর নাল জগৎ বা কার্নেল নামেও পরিচিত।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) rank(A) < number of variables / rank(A) < চলকের সংখ্যা

Explanation / ব্যাখ্যা:
A non-trivial solution exists if there are free variables. The number of free variables is (number of variables) – rank(A). For this to be greater than zero, we must have rank(A) < number of variables. For a square matrix A, this is equivalent to det(A) = 0.
একটি অশূন্য সমাধান বিদ্যমান থাকে যদি মুক্ত চলক থাকে। মুক্ত চলকের সংখ্যা হলো (চলকের সংখ্যা) – rank(A)। এটি শূন্যের চেয়ে বড় হওয়ার জন্য, rank(A) < চলকের সংখ্যা হতে হবে। একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, এটি det(A) = 0-এর সমতুল্য।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) rank(A) = rank([A|B])

Explanation / ব্যাখ্যা:
This is the Rouché–Capelli theorem. A system of linear equations is consistent if and only if the rank of the coefficient matrix A is equal to the rank of the augmented matrix [A|B].
এটি রুশে-ক্যাপেলি (Rouché–Capelli) উপপাদ্য। একটি রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম সঙ্গত হবে যদি এবং কেবল যদি সহগ ম্যাট্রিক্স A-এর র‍্যাঙ্ক এবং বিবর্ধিত ম্যাট্রিক্স (augmented matrix) [A|B]-এর র‍্যাঙ্ক সমান হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) A unique solution / একটি অনন্য সমাধান

Explanation / ব্যাখ্যা:
When the rank of the coefficient matrix and augmented matrix are equal to the number of variables, there are no free variables in the system. This leads to a single, unique solution.
যখন সহগ ম্যাট্রিক্স এবং বিবর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক চলকের সংখ্যার সমান হয়, তখন সিস্টেমে কোনো মুক্ত চলক থাকে না। এটি একটি একক, অনন্য সমাধানের দিকে নিয়ে যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Infinitely many solutions / অসংখ্য সমাধান

Explanation / ব্যাখ্যা:
When the system is consistent and the common rank ‘r’ is less than the number of variables ‘n’, there will be n-r free variables. These free variables can take any value, leading to an infinite number of solutions.
যখন সিস্টেমটি সঙ্গত হয় এবং সাধারণ র‍্যাঙ্ক ‘r’ চলকের সংখ্যা ‘n’-এর চেয়ে কম হয়, তখন n-r সংখ্যক মুক্ত চলক থাকবে। এই মুক্ত চলকগুলি যেকোনো মান নিতে পারে, যা অসংখ্য সমাধানের দিকে নিয়ে যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Number of columns – rank(A) / স্তম্ভের সংখ্যা – rank(A)

Explanation / ব্যাখ্যা:
The number of variables (which is the number of columns in A) minus the number of pivot variables (which is the rank of A) gives the number of free variables. This determines if the solution is unique or infinite.
চলকের সংখ্যা (যা A-এর স্তম্ভের সংখ্যা) থেকে পিভট চলকের সংখ্যা (যা A-এর র‍্যাঙ্ক) বিয়োগ করলে মুক্ত চলকের সংখ্যা পাওয়া যায়। এটি নির্ধারণ করে যে সমাধানটি অনন্য নাকি অসীম।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) T(u+v) = T(u) + T(v) and T(cu) = cT(u)

Explanation / ব্যাখ্যা:
The definition of a linear transformation requires it to preserve both vector addition (additivity) and scalar multiplication (homogeneity). Both conditions must be met.
একটি রৈখিক রূপান্তরের সংজ্ঞার জন্য এটি ভেক্টর যোগ (additivity) এবং স্কেলার গুণন (homogeneity) উভয়ই সংরক্ষণ করতে হবে। উভয় শর্তই পূরণ হতে হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) T(v) = 0 (the zero vector in W)

Explanation / ব্যাখ্যা:
The null space of T, denoted Null(T) or Ker(T), consists of all vectors in the domain V that are mapped to the zero vector in the codomain W.
T-এর নাল জগৎ, যা Null(T) বা Ker(T) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ডোমেইন V-এর সেই সমস্ত ভেক্টর নিয়ে গঠিত যা কোডোমেইন W-এর শূন্য ভেক্টরে ম্যাপ করা হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) W

Explanation / ব্যাখ্যা:
The range of T, denoted Range(T) or Im(T), is the set of all possible outputs T(v) for v in V. Since these outputs are vectors in W, the range is a subset (and in fact, a subspace) of the codomain W.
T-এর রেঞ্জ, যা Range(T) বা Im(T) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তা হলো V-এর v-এর জন্য সমস্ত সম্ভাব্য আউটপুট T(v)-এর সেট। যেহেতু এই আউটপুটগুলি W-এর ভেক্টর, তাই রেঞ্জ হলো কোডোমেইন W-এর একটি উপসেট (এবং প্রকৃতপক্ষে, একটি উপজগৎ)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) rank(T) + nullity(T) = dim(V)

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Rank-Nullity Theorem is a fundamental result that relates the dimensions of the kernel (nullity) and the image (rank) of a linear map to the dimension of its domain. Specifically, dim(Range(T)) + dim(Null(T)) = dim(V).
র‍্যাঙ্ক-নালিটি উপপাদ্য একটি মৌলিক ফলাফল যা একটি রৈখিক ম্যাপের কার্নেল (নালিটি) এবং ইমেজ (র‍্যাঙ্ক)-এর মাত্রাকে তার ডোমেইনের মাত্রার সাথে সম্পর্কিত করে। নির্দিষ্টভাবে, dim(Range(T)) + dim(Null(T)) = dim(V)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Null space / নাল জগৎ

Explanation / ব্যাখ্যা:
By definition, the nullity of a linear transformation is the dimension of its null space (or kernel). Nullity(T) = dim(Null(T)).
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি রৈখিক রূপান্তরের নালিটি হলো তার নাল জগৎ (বা কার্নেল)-এর মাত্রা। Nullity(T) = dim(Null(T))।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) {0}, the zero vector space / {0}, শূন্য ভেক্টর জগৎ

Explanation / ব্যাখ্যা:
A linear transformation is one-to-one if and only if the only vector that maps to the zero vector is the zero vector itself. This means the null space contains only the zero vector, i.e., Null(T) = {0}.
একটি রৈখিক রূপান্তর এক-এক হয় যদি এবং কেবল যদি একমাত্র ভেক্টর যা শূন্য ভেক্টরে ম্যাপ হয় তা শূন্য ভেক্টর নিজেই হয়। এর অর্থ হলো নাল জগৎ শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর ধারণ করে, অর্থাৎ Null(T) = {0}।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Never onto (surjective) / কখনও সার্বিক (surjective) নয়

Explanation / ব্যাখ্যা:
The rank of T (dimension of the range) can be at most the dimension of the domain, which is 3. rank(T) = dim(Range(T)) <= dim(R³) = 3. Since the dimension of the codomain R⁵ is 5, the range cannot be all of R⁵. Thus, T cannot be onto (surjective).
T-এর র‍্যাঙ্ক (রেঞ্জের মাত্রা) সর্বোচ্চ ডোমেইনের মাত্রার সমান হতে পারে, যা 3। rank(T) = dim(Range(T)) <= dim(R³) = 3। যেহেতু কোডোমেইন R⁵-এর মাত্রা 5, রেঞ্জটি সম্পূর্ণ R⁵ হতে পারে না। সুতরাং, T সার্বিক (surjective) হতে পারে না।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Both one-to-one and onto (bijective) / এক-এক এবং সার্বিক উভয়ই (বাইজেক্টিভ)

Explanation / ব্যাখ্যা:
A linear transformation has an inverse if and only if it is a bijection, meaning it is both injective (one-to-one) and surjective (onto). For transformations T: V -> V where V is finite-dimensional, being one-to-one is equivalent to being onto.
একটি রৈখিক রূপান্তরের বিপরীত থাকবে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি বাইজেকশন হয়, যার অর্থ এটি ইনজেক্টিভ (এক-এক) এবং সারজেক্টিভ (সার্বিক) উভয়ই। T: V -> V রূপান্তরের জন্য যেখানে V সসীম-মাত্রিক, এক-এক হওয়া সার্বিক হওয়ার সমতুল্য।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) √

Explanation / ব্যাখ্যা:
The norm (or length) of a vector v is induced by the inner product and is defined as the square root of the inner product of the vector with itself: ||v|| = √. This generalizes the concept of length from Euclidean space.
একটি ভেক্টর v-এর নর্ম (বা দৈর্ঘ্য) আন্তর গুণন দ্বারা প্ররোচিত হয় এবং এটি ভেক্টরের নিজের সাথে আন্তর গুণনের বর্গমূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়: ||v|| = √। এটি ইউক্লিডীয় জগৎ থেকে দৈর্ঘ্যের ধারণাটিকে সাধারণীকরণ করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) || ≤ ||u|| ||v||

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Cauchy-Schwarz inequality is a fundamental result that relates the inner product of two vectors to their norms. It states that the absolute value of the inner product is less than or equal to the product of their norms.
কোশি-শোয়ার্জ অসমতা একটি মৌলিক ফলাফল যা দুটি ভেক্টরের আন্তর গুণনকে তাদের নর্মের সাথে সম্পর্কিত করে। এটি বলে যে আন্তর গুণনের পরম মান তাদের নর্মের গুণফলের চেয়ে কম বা সমান।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) = 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
In an inner product space, two vectors are defined as orthogonal if their inner product is zero. This is a generalization of the concept of perpendicular vectors in Euclidean geometry.
একটি আন্তর গুণন জগতে, দুটি ভেক্টরকে লম্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি তাদের আন্তর গুণন শূন্য হয়। এটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে লম্ব ভেক্টরের ধারণার একটি সাধারণীকরণ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Triangle Inequality states that the norm of the sum of two vectors is less than or equal to the sum of their individual norms. Geometrically, it means the length of one side of a triangle cannot be greater than the sum of the lengths of the other two sides. It is a consequence of the Cauchy-Schwarz inequality.
ত্রিভুজ অসমতা বলে যে দুটি ভেক্টরের যোগফলের নর্ম তাদের স্বতন্ত্র নর্মের যোগফলের চেয়ে কম বা সমান। জ্যামিতিকভাবে, এর অর্থ হলো একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফলের চেয়ে বেশি হতে পারে না। এটি কোশি-শোয়ার্জ অসমতার একটি পরিণতি।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Mutually orthogonal and all have norm 1 / পরস্পর লম্ব এবং সবগুলির নর্ম 1

Explanation / ব্যাখ্যা:
An orthonormal set of vectors is one where every pair of distinct vectors is orthogonal ( = 0 for u ≠ v) and every vector is a unit vector (||u|| = 1 for all u). An orthonormal basis is a basis that is also an orthonormal set.
ভেক্টরের একটি অরথোনরমাল সেট হলো এমন একটি সেট যেখানে প্রতিটি ভিন্ন ভেক্টরের জোড়া লম্ব ( = 0 u ≠ v এর জন্য) এবং প্রতিটি ভেক্টর একটি একক ভেক্টর (সকল u এর জন্য ||u|| = 1)। একটি অরথোনরমাল ভিত্তি হলো এমন একটি ভিত্তি যা একটি অরথোনরমাল সেটও বটে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Convert a basis into an orthonormal basis / একটি ভিত্তিকে একটি অরথোনরমাল ভিত্তিতে রূপান্তর করতে

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Gram-Schmidt process is an algorithm that takes a set of linearly independent vectors (a basis) in an inner product space and generates an orthogonal or orthonormal basis that spans the same subspace.
গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া একটি অ্যালগরিদম যা একটি আন্তর গুণন জগতে রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের একটি সেট (একটি ভিত্তি) নেয় এবং একটি লম্ব বা অরথোনরমাল ভিত্তি তৈরি করে যা একই উপজগৎকে স্প্যান করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) u = 1>v₁ + 2>v₂ + … + n>v_n

Explanation / ব্যাখ্যা:
A major advantage of an orthonormal basis is that the coordinates (coefficients) of any vector with respect to that basis are very easy to calculate. The coordinate of u with respect to a basis vector v_i is simply the inner product i>.
একটি অরথোনরমাল ভিত্তির একটি প্রধান সুবিধা হলো যে সেই ভিত্তির সাপেক্ষে যেকোনো ভেক্টরের স্থানাঙ্ক (সহগ) খুব সহজে গণনা করা যায়। একটি ভিত্তি ভেক্টর v_i-এর সাপেক্ষে u-এর স্থানাঙ্ক হলো কেবল আন্তর গুণন i>।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Yes / হ্যাঁ

Explanation / ব্যাখ্যা:
Two vectors are orthogonal if their dot product (inner product) is zero. u . v = (1)(1) + (1)(-1) + (0)(1) = 1 – 1 + 0 = 0. Since the dot product is 0, the vectors are orthogonal.
দুটি ভেক্টর লম্ব হবে যদি তাদের ডট গুণন (আন্তর গুণন) শূন্য হয়। u . v = (1)(1) + (1)(-1) + (0)(1) = 1 – 1 + 0 = 0। যেহেতু ডট গুণন 0, ভেক্টর দুটি লম্ব।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Av = λv (where v is a non-zero vector)

Explanation / ব্যাখ্যা:
The defining equation for an eigenvalue λ and its corresponding eigenvector v of a square matrix A is Av = λv. This means that when the matrix A acts on the vector v, the result is a scalar multiple of v. The eigenvector v must be non-zero.
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর একটি আইগেনমান λ এবং তার সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর v-এর জন্য সংজ্ঞায়িত সমীকরণটি হলো Av = λv। এর অর্থ হলো যখন ম্যাট্রিক্স A ভেক্টর v-এর উপর কাজ করে, তখন ফলাফলটি v-এর একটি স্কেলার গুণিতক হয়। আইগেনভেক্টর v অবশ্যই অশূন্য হতে হবে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) det(A – λI) = 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
The equation Av = λv can be rewritten as Av – λIv = 0, or (A – λI)v = 0. For this homogeneous system to have a non-trivial solution for v (an eigenvector), the matrix (A – λI) must be singular. This means its determinant must be zero: det(A – λI) = 0.
Av = λv সমীকরণটিকে Av – λIv = 0, অথবা (A – λI)v = 0 হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। এই সমসত্ত্ব সিস্টেমটির v (একটি আইগেনভেক্টর)-এর জন্য একটি অশূন্য সমাধান থাকতে হলে, (A – λI) ম্যাট্রিক্সটিকে অবশ্যই ব্যতিক্রমী হতে হবে। এর অর্থ হলো এর নির্ণায়কের মান অবশ্যই শূন্য হতে হবে: det(A – λI) = 0।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Every square matrix satisfies its own characteristic equation. / প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Cayley-Hamilton theorem is a powerful result stating that if p(λ) = det(A – λI) is the characteristic polynomial of a square matrix A, then p(A) = 0. That is, the matrix itself is a “root” of its own characteristic polynomial.
কেলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্য একটি শক্তিশালী ফলাফল যা বলে যে যদি p(λ) = det(A – λI) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী হয়, তবে p(A) = 0 হবে। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি নিজেই তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদীর একটি “বীজ”।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Trace (sum of diagonal elements) / ট্রেস (কর্ণ বরাবর উপাদানগুলির যোগফল)

Explanation / ব্যাখ্যা:
A key property of eigenvalues is that their sum is equal to the trace of the matrix. The trace of a matrix A, denoted tr(A), is the sum of its diagonal elements.
আইগেনমানের একটি মূল ধর্ম হলো যে তাদের যোগফল ম্যাট্রিক্সের ট্রেসের সমান। একটি ম্যাট্রিক্স A-এর ট্রেস, যা tr(A) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তা হলো তার কর্ণ বরাবর উপাদানগুলির যোগফল।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Determinant / নির্ণায়ক

Explanation / ব্যাখ্যা:
Another key property of eigenvalues is that their product is equal to the determinant of the matrix. This is because det(A-λI) is the characteristic polynomial, and setting λ=0 gives det(A) = product of the roots (eigenvalues).
আইগেনমানের আরেকটি মূল ধর্ম হলো যে তাদের গুণফল ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের সমান। এর কারণ হলো det(A-λI) হলো বৈশিষ্ট্যসূচক বহুপদী, এবং λ=0 বসালে det(A) = বীজগুলির (আইগেনমান) গুণফল পাওয়া যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 1/λ

Explanation / ব্যাখ্যা:
Start with Av = λv. Since A is invertible, we can multiply by A^-1 on the left: A^-1Av = A^-1(λv) => Iv = λ(A^-1v) => v = λ(A^-1v). Since A is invertible, det(A) ≠ 0, so no eigenvalue is zero (λ ≠ 0). We can divide by λ: (1/λ)v = A^-1v. This shows that 1/λ is an eigenvalue of A^-1 with the same eigenvector v.
Av = λv দিয়ে শুরু করুন। যেহেতু A বিপরীতযোগ্য, আমরা বাম দিকে A^-1 দ্বারা গুণ করতে পারি: A^-1Av = A^-1(λv) => Iv = λ(A^-1v) => v = λ(A^-1v)। যেহেতু A বিপরীতযোগ্য, det(A) ≠ 0, তাই কোনো আইগেনমান শূন্য নয় (λ ≠ 0)। আমরা λ দ্বারা ভাগ করতে পারি: (1/λ)v = A^-1v। এটি দেখায় যে 1/λ হলো A^-1-এর একটি আইগেনমান যার আইগেনভেক্টর v একই।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Real numbers / বাস্তব সংখ্যা

Explanation / ব্যাখ্যা:
A fundamental property of real symmetric matrices (or more generally, Hermitian matrices) is that all their eigenvalues are real. This is a key part of the Spectral Theorem.
বাস্তব প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের (বা আরও সাধারণভাবে, হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্সের) একটি মৌলিক ধর্ম হলো যে তাদের সমস্ত আইগেনমান বাস্তব। এটি স্পেকট্রাল উপপাদ্যের একটি মূল অংশ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Orthogonal / লম্ব

Explanation / ব্যাখ্যা:
For a symmetric matrix, eigenvectors that correspond to different eigenvalues are always orthogonal to each other. This property is crucial for the orthogonal diagonalization of symmetric matrices.
একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের জন্য, ভিন্ন ভিন্ন আইগেনমানের সাথে সম্পর্কিত আইগেনভেক্টরগুলি সর্বদা একে অপরের উপর লম্ব হয়। এই ধর্মটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের লম্ব ডায়াগোনালাইজেশনের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) n linearly independent eigenvectors for an n x n matrix / একটি n x n ম্যাট্রিক্সের জন্য n সংখ্যক রৈখিকভাবে স্বাধীন আইগেনভেক্টর থাকে

Explanation / ব্যাখ্যা:
The fundamental condition for an n x n matrix A to be diagonalizable is that it must have a set of n linearly independent eigenvectors. These eigenvectors then form the columns of the invertible matrix P in the diagonalization D = P^-1AP.
একটি n x n ম্যাট্রিক্স A-এর ডায়াগোনালাইজেবল হওয়ার মৌলিক শর্ত হলো যে এর অবশ্যই n সংখ্যক রৈখিকভাবে স্বাধীন আইগেনভেক্টরের একটি সেট থাকতে হবে। এই আইগেনভেক্টরগুলি তখন ডায়াগোনালাইজেশন D = P^-1AP-তে বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স P-এর স্তম্ভ গঠন করে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Its main diagonal entries / এর প্রধান কর্ণের উপাদানগুলি

Explanation / ব্যাখ্যা:
For a triangular matrix, the determinant of (A – λI) is simply the product of its diagonal entries, which are (a₁₁-λ), (a₂₂-λ), …, (a_nn-λ). Setting this product to zero gives the eigenvalues λ = a₁₁, a₂₂, …, a_nn.
একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য, (A – λI)-এর নির্ণায়ক হলো কেবল তার কর্ণ বরাবর উপাদানগুলির গুণফল, যা (a₁₁-λ), (a₂₂-λ), …, (a_nn-λ)। এই গুণফলকে শূন্যের সমান করলে আইগেনমান λ = a₁₁, a₂₂, …, a_nn পাওয়া যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) A

Explanation / ব্যাখ্যা:
By definition, a matrix A is idempotent if A² = A.
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ম্যাট্রিক্স A আইডমপোটেন্ট হয় যদি A² = A হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) I (Identity)

Explanation / ব্যাখ্যা:
By definition, a matrix A is involutory if A² = I. This also means that A is its own inverse (A = A^-1).
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ম্যাট্রিক্স A ইনভলুটরি হয় যদি A² = I হয়। এর অর্থ হলো A তার নিজেরই বিপরীত (A = A^-1)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 1

Explanation / ব্যাখ্যা:
All three vectors are scalar multiples of each other: (2,4,6) = 2*(1,2,3) and (3,6,9) = 3*(1,2,3). This means they are all linearly dependent and lie on the same line through the origin. The subspace they span has only one linearly independent vector, so its dimension is 1.
তিনটি ভেক্টরই একে অপরের স্কেলার গুণিতক: (2,4,6) = 2*(1,2,3) এবং (3,6,9) = 3*(1,2,3)। এর মানে হলো তারা সবাই রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং মূলবিন্দুগামী একই সরলরেখায় অবস্থিত। তারা যে উপজগৎটি বিস্তৃত করে তাতে কেবল একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর রয়েছে, তাই এর মাত্রা 1।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Linearly dependent / রৈখিকভাবে নির্ভরশীল

Explanation / ব্যাখ্যা:
A non-zero determinant for a square matrix is equivalent to the matrix being invertible, its columns being linearly independent, and its rank being full. Therefore, a zero determinant implies that the columns (and rows) are linearly dependent.
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য অশূন্য নির্ণায়ক মানেই ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য, এর স্তম্ভগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং এর র‍্যাঙ্ক পূর্ণ। অতএব, একটি শূন্য নির্ণায়ক বোঝায় যে স্তম্ভগুলি (এবং সারিগুলি) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))

Explanation / ব্যাখ্যা:
This is Sylvester’s rank inequality. The rank of a product of two matrices is at most the smaller of the two individual ranks.
এটি সিলভেস্টারের র‍্যাঙ্ক অসমতা। দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‍্যাঙ্ক সর্বোচ্চ দুটি স্বতন্ত্র র‍্যাঙ্কের মধ্যে ছোটটির সমান হতে পারে।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 2

Explanation / ব্যাখ্যা:
A quadratic form is a homogeneous polynomial of degree 2 in a number of variables. For example, in three variables x, y, z, it has the form ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz.
একটি দ্বিঘাত রূপ হলো কয়েকটি চলকের উপর ২ ঘাতের একটি সমসত্ত্ব বহুপদী। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি চলক x, y, z-এ এর রূপ হলো ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Not a subspace, but a translation of a subspace / একটি উপজগৎ নয়, কিন্তু একটি উপজগতের স্থানান্তর

Explanation / ব্যাখ্যা:
The general solution to AX=B is of the form x = x_p + x_h, where x_p is one particular solution to AX=B, and x_h is any solution to the associated homogeneous system AX=0. The set of all x_h is the null space (a subspace). So the full solution set is a translation of the null space by the vector x_p. It’s not a subspace itself because it doesn’t contain the zero vector (unless B=0).
AX=B-এর সাধারণ সমাধানটি x = x_p + x_h রূপের, যেখানে x_p হলো AX=B-এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান, এবং x_h হলো সংশ্লিষ্ট সমসত্ত্ব সিস্টেম AX=0-এর যেকোনো সমাধান। সমস্ত x_h-এর সেটটি হলো নাল জগৎ (একটি উপজগৎ)। তাই সম্পূর্ণ সমাধানের সেটটি হলো নাল জগতের একটি স্থানান্তর যা x_p ভেক্টর দ্বারা সম্পন্ন হয়। এটি নিজে একটি উপজগৎ নয় কারণ এতে শূন্য ভেক্টর থাকে না (যদি না B=0 হয়)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Symmetric / প্রতিসম

Explanation / ব্যাখ্যা:
The Spectral Theorem for real matrices states that a matrix is orthogonally diagonalizable (i.e., there exists an orthogonal matrix P such that P^TAP = P^-1AP is diagonal) if and only if the matrix is symmetric.
বাস্তব ম্যাট্রিক্সের জন্য স্পেকট্রাল উপপাদ্য বলে যে একটি ম্যাট্রিক্স লম্বভাবে ডায়াগোনালাইজেবল হবে (অর্থাৎ, একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স P বিদ্যমান যাতে P^TAP = P^-1AP কর্ণ ম্যাট্রিক্স হয়) যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) 16

Explanation / ব্যাখ্যা:
Using the property det(kA) = kⁿ * det(A), where n is the order of the matrix. Here, k=2 and n=3. So, det(2A) = 2³ * det(A) = 8 * 2 = 16.
det(kA) = kⁿ * det(A) ধর্মটি ব্যবহার করে, যেখানে n হলো ম্যাট্রিক্সের ক্রম। এখানে k=2 এবং n=3। সুতরাং, det(2A) = 2³ * det(A) = 8 * 2 = 16।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (D) All of the above / উপরের সবগুলি

Explanation / ব্যাখ্যা:
The identity matrix is symmetric (I = I^T), it is a diagonal matrix (all off-diagonal elements are zero), and it is invertible (its inverse is itself, and its determinant is 1, which is non-zero).
একক ম্যাট্রিক্স প্রতিসম (I = I^T), এটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (কর্ণের বাইরের সমস্ত উপাদান শূন্য), এবং এটি বিপরীতযোগ্য (এর বিপরীত হলো এটি নিজেই, এবং এর নির্ণায়ক 1, যা অশূন্য)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 4

Explanation / ব্যাখ্যা:
The space of polynomials of degree at most 3, denoted P₃, consists of polynomials of the form ax³ + bx² + cx + d. A basis for this space is {1, x, x², x³}. Since the basis has 4 elements, the dimension is 4.
সর্বোচ্চ 3 ঘাতের বহুপদীর জগৎ, যা P₃ দ্বারা চিহ্নিত, ax³ + bx² + cx + d রূপের বহুপদী নিয়ে গঠিত। এই জগতের জন্য একটি ভিত্তি হলো {1, x, x², x³}। যেহেতু ভিত্তির 4টি উপাদান রয়েছে, তাই মাত্রা 4।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) Not Linear / রৈখিক নয়

Explanation / ব্যাখ্যা:
A linear transformation must map the zero vector to the zero vector. Here, T(0,0) = (0+1, 0) = (1,0), which is not the zero vector. Therefore, the transformation is not linear. This is an example of an affine transformation (a linear transformation followed by a translation).
একটি রৈখিক রূপান্তর অবশ্যই শূন্য ভেক্টরকে শূন্য ভেক্টরে ম্যাপ করবে। এখানে, T(0,0) = (0+1, 0) = (1,0), যা শূন্য ভেক্টর নয়। অতএব, রূপান্তরটি রৈখিক নয়। এটি একটি অ্যাফাইন রূপান্তরের উদাহরণ (একটি রৈখিক রূপান্তর যার পরে একটি স্থানান্তর হয়)।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) Any non-zero vector / যেকোনো অশূন্য ভেক্টর

Explanation / ব্যাখ্যা:
By definition, an eigenvector must be a non-zero vector. The equation Av = λv would always hold for v=0 (A*0 = λ*0 = 0), which would be a trivial case. The interesting cases are for non-zero vectors.
সংজ্ঞা অনুসারে, একটি আইগেনভেক্টর অবশ্যই একটি অশূন্য ভেক্টর হতে হবে। Av = λv সমীকরণটি v=0 এর জন্য সর্বদা সত্য হবে (A*0 = λ*0 = 0), যা একটি তুচ্ছ ঘটনা। আকর্ষণীয় ক্ষেত্রগুলি অশূন্য ভেক্টরের জন্য।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
If a square matrix has a row or a column consisting entirely of zeros, its determinant is zero. This can be seen by expanding the determinant along that zero row/column.
যদি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি সম্পূর্ণ শূন্যের সারি বা স্তম্ভ থাকে, তবে এর নির্ণায়কের মান শূন্য। এটি সেই শূন্য সারি/স্তম্ভ বরাবর নির্ণায়ককে প্রসারিত করে দেখা যায়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (B) 4

Explanation / ব্যাখ্যা:
The rank of an m x n matrix is always less than or equal to the minimum of m and n. For a 4×5 matrix, rank ≤ min(4, 5), so the maximum possible rank is 4.
একটি m x n ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক সর্বদা m এবং n-এর সর্বনিম্ন মানের চেয়ে কম বা সমান। একটি 4×5 ম্যাট্রিক্সের জন্য, rank ≤ min(4, 5), সুতরাং সর্বোচ্চ সম্ভাব্য র‍্যাঙ্ক হলো 4।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) A^k = 0 (Null matrix)

Explanation / ব্যাখ্যা:
A square matrix A is called nilpotent if there exists some positive integer k such that A^k is the zero matrix.
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-কে নিলপোটেন্ট বলা হয় যদি এমন কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k বিদ্যমান থাকে যার জন্য A^k শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (A) Range(T) = W

Explanation / ব্যাখ্যা:
A transformation is onto (surjective) if its range is equal to its entire codomain. This means that for every vector w in W, there is at least one vector v in V such that T(v) = w.
একটি রূপান্তর সার্বিক হয় যদি এর রেঞ্জ তার সম্পূর্ণ কোডোমেইনের সমান হয়। এর মানে হলো W-এর প্রতিটি ভেক্টর w-এর জন্য, V-তে অন্তত একটি ভেক্টর v আছে যার জন্য T(v) = w।

Correct Answer / সঠিক উত্তর: (C) 0

Explanation / ব্যাখ্যা:
If λ is an eigenvalue of A with eigenvector v, then Av = λv. Then A^kv = λ^kv. If A is nilpotent, A^k = 0 for some k, so 0*v = λ^kv, which means 0 = λ^kv. Since v is non-zero, we must have λ^k = 0, which implies λ = 0. Therefore, 0 is the only possible eigenvalue for a nilpotent matrix.
যদি λ আইগেনভেক্টর v সহ A-এর একটি আইগেনমান হয়, তাহলে Av = λv। তখন A^kv = λ^kv। যদি A নিলপোটেন্ট হয়, তবে কিছু k-এর জন্য A^k = 0, সুতরাং 0*v = λ^kv, যার অর্থ 0 = λ^kv। যেহেতু v অশূন্য, তাই λ^k = 0 হতে হবে, যা বোঝায় λ = 0। অতএব, একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের জন্য 0 হলো একমাত্র সম্ভাব্য আইগেনমান।