WBSSC SLST Math XI & XII : Real Analysis

100 MCQs on Real Analysis
1. A set S ⊆ R is said to be bounded above if…
একটি সেট S ⊆ R কে ঊর্ধ্ব সীমাবদ্ধ (bounded above) বলা হবে যদি…
  • (A) There exists a real number k such that x ≤ k for all x ∈ S.
    (A) একটি বাস্তব সংখ্যা k বিদ্যমান থাকে যেন সমস্ত x ∈ S এর জন্য x ≤ k হয়।
  • (B) There exists a real number k such that x ≥ k for all x ∈ S.
    (B) একটি বাস্তব সংখ্যা k বিদ্যমান থাকে যেন সমস্ত x ∈ S এর জন্য x ≥ k হয়।
  • (C) For every real number k, x ≤ k for some x ∈ S.
    (C) প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা k এর জন্য, কিছু x ∈ S এর জন্য x ≤ k হয়।
  • (D) For every real number k, x ≥ k for some x ∈ S.
    (D) প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা k এর জন্য, কিছু x ∈ S এর জন্য x ≥ k হয়।
Correct Answer: (A)
Explanation: A set is bounded above if there is a number (an upper bound) that is greater than or equal to every element in the set.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: একটি সেটকে ঊর্ধ্ব সীমাবদ্ধ বলা হয় যদি এমন একটি সংখ্যা (ঊর্ধ্ব বন্ধন) থাকে যা সেটের প্রতিটি উপাদানের চেয়ে বড় বা সমান।
2. Which property of real numbers states that for any two positive real numbers x and y, there exists a natural number n such that nx > y?
বাস্তব সংখ্যার কোন ধর্ম অনুযায়ী, যেকোনো দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা x এবং y এর জন্য, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা n বিদ্যমান থাকে যেন nx > y হয়?
  • (A) Completeness Axiom / সম্পূর্ণতার স্বতঃসিদ্ধ
  • (B) Archimedean Property / আর্কিমিডিয়ান ধর্ম
  • (C) Dedekind’s Axiom / ডেডেকিন্ডের স্বতঃসিদ্ধ
  • (D) Density Property / ঘনত্ব ধর্ম
Correct Answer: (B)
Explanation: The Archimedean property states that the set of natural numbers is not bounded above in the set of real numbers. A consequence is that for any positive reals x and y, we can find an integer multiple of x that exceeds y.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: আর্কিমিডিয়ান ধর্ম অনুযায়ী, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বাস্তব সংখ্যার সেটে ঊর্ধ্ব সীমাবদ্ধ নয়। এর একটি অনুসিদ্ধান্ত হলো, যেকোনো ধনাত্মক বাস্তব x এবং y এর জন্য, আমরা x এর এমন একটি পূর্ণসংখ্যার গুণিতক খুঁজে পেতে পারি যা y কে অতিক্রম করে।
3. The set of rational numbers Q is…
মূলদ সংখ্যার সেট Q হলো…
  • (A) Denumerable / গণনযোগ্য (Denumerable)
  • (B) Non-denumerable / অগণনযোগ্য (Non-denumerable)
  • (C) Finite / সসীম
  • (D) An open set in R / R-এর একটি মুক্ত সেট
Correct Answer: (A)
Explanation: The set of rational numbers Q is denumerable (or countably infinite), meaning its elements can be put into a one-to-one correspondence with the set of natural numbers N.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: মূলদ সংখ্যার সেট Q গণনযোগ্য (বা গণনাযোগ্যভাবে অসীম), যার অর্থ এর উপাদানগুলিকে স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N এর সাথে এক-এক সঙ্গতি (one-to-one correspondence) স্থাপন করা যায়।
4. Which of the following is a limit point of the set S = {1/n : n ∈ N}?
S = {1/n : n ∈ N} সেটের একটি সীমাস্থ বিন্দু (limit point) কোনটি?
  • (A) 1
  • (B) 0
  • (C) 1/2
  • (D) The set has no limit points. / সেটের কোনো সীমাস্থ বিন্দু নেই।
Correct Answer: (B)
Explanation: A point ‘p’ is a limit point of a set S if every neighborhood of ‘p’ contains a point of S other than ‘p’. For any ε > 0, the neighborhood (0-ε, 0+ε) contains points of the form 1/n (for large n). So, 0 is the limit point.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: একটি বিন্দু ‘p’ একটি সেট S এর সীমাস্থ বিন্দু হবে যদি ‘p’-এর প্রতিটি প্রতিবেশে (neighborhood) ‘p’ ব্যতীত S-এর অন্তত একটি বিন্দু থাকে। যেকোনো ε > 0 এর জন্য, (0-ε, 0+ε) প্রতিবেশে 1/n আকারের বিন্দু থাকে (বড় n এর জন্য)। সুতরাং, 0 হল সীমাস্থ বিন্দু।
5. The Bolzano-Weierstrass theorem in R¹ states that…
R¹-এ বলজানো-ভিয়ারস্ট্রাস (Bolzano-Weierstrass) উপপাদ্যটি বলে যে…
  • (A) Every bounded sequence has a convergent subsequence. / প্রতিটি সীমাবদ্ধ অনুক্রমের একটি অভিসারী উপ-অনুক্রম (convergent subsequence) থাকে।
  • (B) Every monotonic sequence is convergent. / প্রতিটি একমুখী (monotonic) অনুক্রম অভিসারী।
  • (C) Every Cauchy sequence is bounded. / প্রতিটি কোশি (Cauchy) অনুক্রম সীমাবদ্ধ।
  • (D) Every infinite bounded set has at least one limit point. / প্রতিটি অসীম সীমাবদ্ধ সেটের অন্তত একটি সীমাস্থ বিন্দু থাকে।
Correct Answer: (D)
Explanation: The Bolzano-Weierstrass theorem for sets states that every infinite and bounded subset of R¹ has at least one limit point. The version for sequences (A) is an equivalent formulation. In many contexts, (D) is considered the primary statement for point-set topology.
সঠিক উত্তর: (D)
ব্যাখ্যা: সেটের জন্য বলজানো-ভিয়ারস্ট্রাস উপপাদ্যটি বলে যে R¹-এর প্রতিটি অসীম এবং সীমাবদ্ধ উপসেটের অন্তত একটি সীমাস্থ বিন্দু থাকে। অনুক্রমের জন্য সংস্করণটি (A) একটি সমতুল্য ফর্মুলেশন। অনেক ক্ষেত্রে, (D) কেই পয়েন্ট-সেট টপোলজির জন্য প্রাথমিক বিবৃতি হিসেবে ধরা হয়।
6. The value of the limit lim (x→0) sin(x)/x is…
lim (x→0) sin(x)/x সীমাটির মান হলো…
  • (A) 0
  • (B) 1
  • (C) ∞
  • (D) Does not exist / অস্তিত্ব নেই
Correct Answer: (B)
Explanation: This is a standard and fundamental limit in calculus. It can be proven using the Squeeze (Sandwich) Theorem or L’Hopital’s Rule.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: এটি ক্যালকুলাসের একটি আদর্শ এবং মৌলিক সীমা। এটি স্যান্ডউইচ উপপাদ্য (Squeeze Theorem) বা L’Hopital’s Rule ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায়।
7. A sequence {a_n} is a Cauchy sequence if…
একটি অনুক্রম {a_n} একটি কোশি (Cauchy) অনুক্রম হবে যদি…
  • (A) It is bounded and monotonic. / এটি সীমাবদ্ধ এবং একমুখী।
  • (B) For every ε > 0, there exists N ∈ ℕ such that |a_n – a_m| < ε for all n, m > N. / প্রতিটি ε > 0 এর জন্য, একটি N ∈ ℕ বিদ্যমান থাকে যেন সমস্ত n, m > N এর জন্য |a_n – a_m| < ε হয়।
  • (C) It converges to a limit L. / এটি একটি সীমা L-এ অভিসারী হয়।
  • (D) For every ε > 0, there exists N ∈ ℕ such that |a_n| < ε for all n > N. / প্রতিটি ε > 0 এর জন্য, একটি N ∈ ℕ বিদ্যমান থাকে যেন সমস্ত n > N এর জন্য |a_n| < ε হয়।
Correct Answer: (B)
Explanation: This is the definition of a Cauchy sequence. It means that the terms of the sequence get arbitrarily close to each other as the sequence progresses.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: এটি কোশি অনুক্রমের সংজ্ঞা। এর অর্থ হলো অনুক্রমটি যত এগোতে থাকে, তার পদগুলি একে অপরের যথেচ্ছভাবে কাছাকাছি চলে আসে।
8. The series Σ (1/n^p) converges if…
Σ (1/n^p) শ্রেণীটি অভিসারী (convergent) হবে যদি…
  • (A) p > 1
  • (B) p < 1
  • (C) p = 1
  • (D) p ≤ 1
Correct Answer: (A)
Explanation: This is the result of the p-series test. The series Σ (1/n^p) converges if p > 1 and diverges if p ≤ 1.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: এটি p-শ্রেণী পরীক্ষার ফলাফল। Σ (1/n^p) শ্রেণীটি অভিসারী হয় যদি p > 1 হয় এবং অপসারী (divergent) হয় যদি p ≤ 1 হয়।
9. A function f defined on a closed interval [a, b] is continuous. Which of the following is NOT necessarily true?
একটি ফাংশন f একটি বদ্ধ ব্যবধি [a, b] এর উপর সন্তত। নিচের কোনটি আবশ্যিকভাবে সত্য নয়?
  • (A) f is bounded on [a, b]. / f, [a, b] তে সীমাবদ্ধ।
  • (B) f attains its maximum and minimum values on [a, b]. / f, [a, b] তে তার সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান অর্জন করে।
  • (C) f is differentiable on (a, b). / f, (a, b) তে অন্তরকলনযোগ্য।
  • (D) f is uniformly continuous on [a, b]. / f, [a, b] তে সুষমভাবে সন্তত (uniformly continuous)।
Correct Answer: (C)
Explanation: Continuity does not imply differentiability. A classic example is f(x) = |x| on [-1, 1], which is continuous everywhere but not differentiable at x=0. The other three statements are guaranteed by theorems for continuous functions on closed, bounded intervals (Extreme Value Theorem, and the theorem stating continuity on a compact set implies uniform continuity).
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: সন্ততা অন্তরকলনযোগ্যতাকে বোঝায় না। একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল f(x) = |x| on [-1, 1], যা সর্বত্র সন্তত কিন্তু x=0 তে অন্তরকলনযোগ্য নয়। অন্য তিনটি বিবৃতি বদ্ধ, সীমাবদ্ধ ব্যবধিতে সন্তত ফাংশনের জন্য উপপাদ্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয় (এক্সট্রিম ভ্যালু থিওরেম, এবং যে উপপাদ্যটি বলে যে একটি কমপ্যাক্ট সেটে সন্ততা সুষম সন্ততাকে বোঝায়)।
10. Rolle’s Theorem requires which of the following conditions for a function f on [a, b]?
রোল-এর উপপাদ্যের জন্য [a, b] ব্যবধিতে একটি ফাংশন f-এর ক্ষেত্রে নিচের কোন শর্তগুলি প্রয়োজন?
  • (A) Continuous on [a, b], differentiable on (a, b). / [a, b] তে সন্তত, (a, b) তে অন্তরকলনযোগ্য।
  • (B) Continuous on [a, b], differentiable on (a, b), and f(a) = f(b). / [a, b] তে সন্তত, (a, b) তে অন্তরকলনযোগ্য, এবং f(a) = f(b)।
  • (C) Differentiable on [a, b]. / [a, b] তে অন্তরকলনযোগ্য।
  • (D) Continuous on (a, b), differentiable on [a, b], and f(a) = f(b). / (a, b) তে সন্তত, [a, b] তে অন্তরকলনযোগ্য, এবং f(a) = f(b)।
Correct Answer: (B)
Explanation: Rolle’s Theorem has three conditions: the function must be continuous on the closed interval [a, b], differentiable on the open interval (a, b), and the function values at the endpoints must be equal, i.e., f(a) = f(b).
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: রোল-এর উপপাদ্যের তিনটি শর্ত রয়েছে: ফাংশনটিকে বদ্ধ ব্যবধি [a, b]-তে সন্তত হতে হবে, খোলা ব্যবধি (a, b)-তে অন্তরকলনযোগ্য হতে হবে, এবং প্রান্তবিন্দুতে ফাংশনের মান সমান হতে হবে, অর্থাৎ f(a) = f(b)।
11. The Heine-Borel theorem for R¹ states that a set is compact if and only if it is…
R¹-এর জন্য হাইন-বোরেল উপপাদ্যটি বলে যে একটি সেট কম্প্যাক্ট (compact) হবে যদি এবং কেবল যদি এটি…
  • (A) Open and bounded / মুক্ত এবং সীমাবদ্ধ
  • (B) Closed and bounded / বদ্ধ এবং সীমাবদ্ধ
  • (C) Infinite and closed / অসীম এবং বদ্ধ
  • (D) Denumerable and bounded / গণনযোগ্য এবং সীমাবদ্ধ
Correct Answer: (B)
Explanation: The Heine-Borel theorem provides a crucial characterization of compact sets in Euclidean space (R^n). In R¹, a set is compact if and only if it is closed and bounded.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: হাইন-বোরেল উপপাদ্য ইউক্লিডীয় স্পেসে (R^n) কম্প্যাক্ট সেটের একটি গুরুত্বপূর্ণ চরিত্রায়ন প্রদান করে। R¹-এ, একটি সেট কম্প্যাক্ট হবে যদি এবং কেবল যদি এটি বদ্ধ এবং সীমাবদ্ধ হয়।
12. The sequence a_n = (-1)^n is…
a_n = (-1)^n অনুক্রমটি হলো…
  • (A) Convergent / অভিসারী
  • (B) Divergent / অপসারী
  • (C) Monotonic / একমুখী
  • (D) A Cauchy sequence / একটি কোশি অনুক্রম
Correct Answer: (B)
Explanation: The sequence oscillates between -1 and 1. It does not approach a single limit, so it is divergent. It has two convergent subsequences (one converging to 1, one to -1), but the sequence itself does not converge.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: অনুক্রমটি -1 এবং 1 এর মধ্যে দোদুল্যমান। এটি একটি একক সীমার দিকে অগ্রসর হয় না, তাই এটি অপসারী। এর দুটি অভিসারী উপ-অনুক্রম রয়েছে (একটি 1-এ অভিসারী, অন্যটি -1-এ), কিন্তু অনুক্রমটি নিজে অভিসারী নয়।
13. The series Σ ((-1)^(n+1))/n is…
Σ ((-1)^(n+1))/n শ্রেণীটি হলো…
  • (A) Absolutely convergent / পরমভাবে অভিসারী
  • (B) Conditionally convergent / শর্তসাপেক্ষে অভিসারী
  • (C) Divergent / অপসারী
  • (D) None of the above / উপরের কোনোটিই নয়
Correct Answer: (B)
Explanation: This is the alternating harmonic series. By the Leibnitz test for alternating series, it converges. However, the series of its absolute values, Σ |((-1)^(n+1))/n| = Σ 1/n (the harmonic series), diverges. Therefore, the series is conditionally convergent.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: এটি পর্যায়ক্রমিক বিপরীত শ্রেণী (alternating harmonic series)। পর্যায়ক্রমিক শ্রেণীর জন্য লিবনিজ-এর পরীক্ষা অনুযায়ী, এটি অভিসারী। কিন্তু, এর পরম মানের শ্রেণী, Σ |((-1)^(n+1))/n| = Σ 1/n (বিপরীত শ্রেণী), অপসারী। সুতরাং, শ্রেণীটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী।
14. The function f(x) = 1/x is uniformly continuous on the interval…
f(x) = 1/x ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে সুষমভাবে সন্তত (uniformly continuous)?
  • (A) (0, 1)
  • (B) (0, ∞)
  • (C) [1, 2]
  • (D) (0, 1]
Correct Answer: (C)
Explanation: A continuous function on a closed and bounded (compact) interval is always uniformly continuous. The interval [1, 2] is compact. The function is not uniformly continuous on intervals like (0, 1) because as x approaches 0, the function’s slope becomes infinitely steep, violating the condition for uniform continuity.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: একটি বদ্ধ এবং সীমাবদ্ধ (কমপ্যাক্ট) ব্যবধিতে একটি সন্তত ফাংশন সর্বদা সুষমভাবে সন্তত হয়। [1, 2] ব্যবধিটি কম্প্যাক্ট। (0, 1) এর মতো ব্যবধিতে ফাংশনটি সুষমভাবে সন্তত নয় কারণ x যখন 0 এর কাছাকাছি আসে, ফাংশনের ঢাল অসীমভাবে খাড়া হয়ে যায়, যা সুষম সন্ততার শর্ত লঙ্ঘন করে।
15. According to Lagrange’s Mean Value Theorem, for a function f(x) = x² on [1, 3], there exists a c in (1, 3) such that f'(c) is…
ল্যাগ্রাঞ্জের মধ্যম মান উপপাদ্য অনুসারে, f(x) = x² ফাংশনটির জন্য [1, 3] ব্যবধিতে, (1, 3) এর মধ্যে একটি c বিদ্যমান যেখানে f'(c) এর মান হবে…
  • (A) 2
  • (B) 3
  • (C) 4
  • (D) 5
Correct Answer: (C)
Explanation: Lagrange’s MVT states that f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a). Here, a=1, b=3, f(x)=x². So, f(a)=1, f(b)=9. f'(c) = (9 – 1) / (3 – 1) = 8 / 2 = 4. Since f'(x) = 2x, we have 2c = 4, which gives c = 2. Since 2 ∈ (1, 3), the theorem holds.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জের MVT বলে যে f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a)। এখানে, a=1, b=3, f(x)=x²। সুতরাং, f(a)=1, f(b)=9। f'(c) = (9 – 1) / (3 – 1) = 8 / 2 = 4। যেহেতু f'(x) = 2x, আমরা পাই 2c = 4, যা থেকে c = 2 পাওয়া যায়। যেহেতু 2 ∈ (1, 3), উপপাদ্যটি প্রযোজ্য।
16. The limit lim (x→0) (e^x – 1 – x) / x² is an indeterminate form of type…
lim (x→0) (e^x – 1 – x) / x² সীমাটি কোন প্রকারের অনির্ণেয় আকার (indeterminate form)?
  • (A) 0/0
  • (B) ∞/∞
  • (C) 0 * ∞
  • (D) 1^∞
Correct Answer: (A)
Explanation: As x → 0, the numerator e^x – 1 – x → e^0 – 1 – 0 = 1 – 1 – 0 = 0. The denominator x² → 0. Thus, it is a 0/0 indeterminate form, suitable for L’Hopital’s Rule.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: যখন x → 0, লব e^x – 1 – x → e^0 – 1 – 0 = 1 – 1 – 0 = 0। হর x² → 0। সুতরাং, এটি একটি 0/0 অনির্ণেয় আকার, যা L’Hopital’s Rule ব্যবহারের জন্য উপযুক্ত।
17. The radius of convergence of the power series Σ (x^n / n!) is…
Σ (x^n / n!) ঘাত শ্রেণীটির অভিসৃতি ব্যাসার্ধ (radius of convergence) হলো…
  • (A) 0
  • (B) 1
  • (C) e
  • (D) ∞
Correct Answer: (D)
Explanation: Using the Ratio Test, let a_n = 1/n!. Then |a_{n+1}/a_n| = |(n!)/((n+1)!)| = 1/(n+1). The limit as n→∞ is 0. The radius of convergence R = 1 / lim|a_{n+1}/a_n| = 1/0 = ∞. This power series converges for all x ∈ R (it’s the series for e^x).
সঠিক উত্তর: (D)
ব্যাখ্যা: অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) ব্যবহার করে, ধরা যাক a_n = 1/n!। তাহলে |a_{n+1}/a_n| = |(n!)/((n+1)!)| = 1/(n+1)। যখন n→∞, এর সীমা 0 হয়। অভিসৃতি ব্যাসার্ধ R = 1 / lim|a_{n+1}/a_n| = 1/0 = ∞। এই ঘাত শ্রেণীটি সমস্ত x ∈ R এর জন্য অভিসারী (এটি e^x এর শ্রেণী)।
18. A function f is Riemann integrable on [a, b] if…
একটি ফাংশন f, [a, b] তে রিমান সমাকলনযোগ্য (Riemann integrable) হবে যদি…
  • (A) It is unbounded. / এটি অসীমাবদ্ধ।
  • (B) The set of its discontinuities has measure zero. / এর বিচ্ছিন্নতা বিন্দুগুলির সেটের পরিমাপ (measure) শূন্য হয়।
  • (C) Its upper integral and lower integral are not equal. / এর ঊর্ধ্ব সমাকল এবং নিম্ন সমাকল সমান না হয়।
  • (D) It is not monotonic. / এটি একমুখী না হয়।
Correct Answer: (B)
Explanation: Lebesgue’s criterion for Riemann integrability states that a bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if its set of discontinuities has measure zero. Simpler conditions that guarantee integrability are continuity or monotonicity on [a, b].
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: রিমান সমাকলনযোগ্যতার জন্য লেবেগের মানদণ্ড বলে যে একটি কম্প্যাক্ট ব্যবধি [a, b] তে একটি সীমাবদ্ধ ফাংশন রিমান সমাকলনযোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি এর বিচ্ছিন্নতা বিন্দুগুলির সেটের পরিমাপ শূন্য হয়। সমাকলনযোগ্যতা নিশ্চিত করে এমন সহজ শর্তগুলি হল [a, b] তে সন্ততা বা একমুখিতা।
19. The improper integral ∫ (from 1 to ∞) dx/x^p converges if…
অযথার্থ সমাকল (improper integral) ∫ (1 থেকে ∞) dx/x^p অভিসারী হবে যদি…
  • (A) p > 1
  • (B) p < 1
  • (C) p = 1
  • (D) p ≤ 1
Correct Answer: (A)
Explanation: This is a standard result from the p-test for improper integrals of Type 1. The integral converges if the power p is strictly greater than 1.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: এটি প্রথম প্রকারের অযথার্থ সমাকলের জন্য p-পরীক্ষার একটি আদর্শ ফলাফল। সমাকলটি অভিসারী হবে যদি ঘাত p কঠোরভাবে 1 এর চেয়ে বড় হয়।
20. For a function f(x, y), the condition ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x is guaranteed under certain conditions by…
একটি ফাংশন f(x, y) এর জন্য, ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x শর্তটি নির্দিষ্ট কিছু শর্তের অধীনে কী দ্বারা নিশ্চিত করা হয়?
  • (A) Euler’s Theorem / অয়লারের উপপাদ্য
  • (B) Schwarz’s Theorem (or Clairaut’s Theorem) / শোয়ার্জের উপপাদ্য (বা ক্লেয়ারটের উপপাদ্য)
  • (C) The Chain Rule / শৃঙ্খল নিয়ম
  • (D) Green’s Theorem / গ্রীনের উপপাদ্য
Correct Answer: (B)
Explanation: Schwarz’s Theorem on the equality of mixed partial derivatives states that if the second partial derivatives of a function f exist and are continuous in a neighborhood of a point (a, b), then the order of differentiation does not matter at that point.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: মিশ্র আংশিক অন্তরকলজের সমতার উপর শোয়ার্জের উপপাদ্য বলে যে যদি একটি ফাংশন f-এর দ্বিতীয় আংশিক অন্তরকলজগুলি একটি বিন্দু (a, b) এর প্রতিবেশে বিদ্যমান এবং সন্তত হয়, তবে সেই বিন্দুতে অন্তরকলনের ক্রমটি কোনো বিষয় নয়।
21. The supremum of the set S = {x ∈ R : x² < 4} is...
S = {x ∈ R : x² < 4} সেটের সুপ্রিমাম (supremum) হলো...
  • (A) 4
  • (B) 2
  • (C) 1.99
  • (D) Does not exist / অস্তিত্ব নেই
Correct Answer: (B)
Explanation: The set S is the open interval (-2, 2). The set of upper bounds is [2, ∞). The least upper bound (supremum) is the smallest element in this set, which is 2.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: সেট S হল খোলা ব্যবধি (-2, 2)। ঊর্ধ্ব বন্ধনগুলির সেট হল [2, ∞)। লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্ব বন্ধন (supremum) হল এই সেটের ক্ষুদ্রতম উপাদান, যা 2।
22. The intersection of a finite number of open sets is…
সসীম সংখ্যক মুক্ত সেটের ছেদ (intersection) হলো…
  • (A) Always open / সর্বদা মুক্ত
  • (B) Always closed / সর্বদা বদ্ধ
  • (C) May be open or closed / মুক্ত বা বদ্ধ হতে পারে
  • (D) Always a null set / সর্বদা একটি শূন্য সেট
Correct Answer: (A)
Explanation: The intersection of a finite collection of open sets is always an open set. However, the intersection of an infinite collection of open sets is not necessarily open (e.g., ∩ (from n=1 to ∞) (-1/n, 1/n) = {0}, which is a closed set).
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: সসীম সংখ্যক মুক্ত সেটের ছেদ সর্বদা একটি মুক্ত সেট। কিন্তু, অসীম সংখ্যক মুক্ত সেটের ছেদ আবশ্যিকভাবে মুক্ত নাও হতে পারে (যেমন, ∩ (n=1 থেকে ∞) (-1/n, 1/n) = {0}, যা একটি বদ্ধ সেট)।
23. The value of lim (n→∞) (1 + 1/n)^n is…
lim (n→∞) (1 + 1/n)^n এর মান হলো…
  • (A) 1
  • (B) ∞
  • (C) e
  • (D) 0
Correct Answer: (C)
Explanation: This is one of the fundamental definitions of the number ‘e’.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: এটি ‘e’ সংখ্যাটির একটি মৌলিক সংজ্ঞা।
24. If a series Σa_n is absolutely convergent, then…
যদি একটি শ্রেণী Σa_n পরমভাবে অভিসারী হয়, তবে…
  • (A) It is conditionally convergent. / এটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী।
  • (B) It is convergent. / এটি অভিসারী।
  • (C) It may be divergent. / এটি অপসারী হতে পারে।
  • (D) lim (n→∞) a_n ≠ 0. / lim (n→∞) a_n ≠ 0।
Correct Answer: (B)
Explanation: A fundamental theorem in series states that absolute convergence implies convergence. If the series of absolute values Σ|a_n| converges, then the original series Σa_n must also converge.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: শ্রেণীর একটি মৌলিক উপপাদ্য বলে যে পরম অভিসৃতি সাধারণ অভিসৃতিকে বোঝায়। যদি পরম মানের শ্রেণী Σ|a_n| অভিসারী হয়, তবে মূল শ্রেণী Σa_n অবশ্যই অভিসারী হবে।
25. The Maclaurin series for sin(x) is…
sin(x) এর ম্যাকলরিন শ্রেণী (Maclaurin series) হলো…
  • (A) 1 – x²/2! + x⁴/4! – …
  • (B) x – x³/3! + x⁵/5! – …
  • (C) 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
  • (D) x + x²/2 + x³/3 + …
Correct Answer: (B)
Explanation: The Maclaurin series is a Taylor series centered at 0. For sin(x), the series is Σ (from n=0 to ∞) ((-1)^n * x^(2n+1)) / (2n+1)! = x – x³/3! + x⁵/5! – …
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: ম্যাকলরিন শ্রেণী হল 0-কেন্দ্রিক একটি টেলর শ্রেণী। sin(x) এর জন্য, শ্রেণীটি হল Σ (n=0 থেকে ∞) ((-1)^n * x^(2n+1)) / (2n+1)! = x – x³/3! + x⁵/5! – …

MCQ on Real Analysis

বাস্তব বিশ্লেষণ (Real Analysis) এর উপর বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

26. The set of interior points of the set of rational numbers Q in R is…
R-এর মধ্যে মূলদ সংখ্যার সেট Q-এর অন্তঃস্থ বিন্দুগুলির (interior points) সেট হলো…
  • (A) Q
  • (B) R
  • (C) The empty set (∅) / শূন্য সেট (∅)
  • (D) The set of irrational numbers / অমূলদ সংখ্যার সেট
Correct Answer: (C)
Explanation: An interior point of a set S is a point p such that there exists a neighborhood of p entirely contained in S. For any rational number q, any open interval (neighborhood) around q will contain irrational numbers (due to the density of irrationals). Thus, no neighborhood of q is entirely in Q. So, Q has no interior points.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: একটি সেট S-এর অন্তঃস্থ বিন্দু p হলো এমন একটি বিন্দু যার একটি প্রতিবেশ সম্পূর্ণভাবে S-এর মধ্যে থাকে। যেকোনো মূলদ সংখ্যা q-এর জন্য, q-এর চারপাশের যেকোনো খোলা ব্যবধি (প্রতিবেশ) অমূলদ সংখ্যা ধারণ করবে (অমূলদ সংখ্যার ঘনত্বের কারণে)। সুতরাং, q-এর কোনো প্রতিবেশই সম্পূর্ণভাবে Q-এর মধ্যে নেই। তাই, Q-এর কোনো অন্তঃস্থ বিন্দু নেই।
27. Cauchy’s first theorem on limits states that if lim (n→∞) a_n = l, then…
সীমার উপর কোশির প্রথম উপপাদ্যটি বলে যে যদি lim (n→∞) a_n = l হয়, তবে…
  • (A) lim (n→∞) (a₁ + a₂ + … + a_n) / n = l
  • (B) lim (n→∞) (a₁ * a₂ * … * a_n)^(1/n) = l
  • (C) lim (n→∞) a_{n+1} / a_n = l
  • (D) lim (n→∞) (a_n)^(1/n) = l
Correct Answer: (A)
Explanation: Cauchy’s first theorem on limits states that if a sequence {a_n} converges to a limit l, then the sequence of its arithmetic means also converges to l.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: সীমার উপর কোশির প্রথম উপপাদ্যটি বলে যে যদি একটি অনুক্রম {a_n} একটি সীমা l-এ অভিসারী হয়, তবে তার সমান্তর মধ্যকের (arithmetic means) অনুক্রমটিও l-এ অভিসারী হবে।
28. Which test is most suitable for determining the convergence of the series Σ (n / 2^n)?
Σ (n / 2^n) শ্রেণীটির অভিসৃতি নির্ধারণের জন্য কোন পরীক্ষাটি সবচেয়ে উপযুক্ত?
  • (A) Comparison Test / তুলনা পরীক্ষা
  • (B) Leibnitz’s Test / লিবনিজের পরীক্ষা
  • (C) D’Alembert’s Ratio Test / ডি’অ্যালামবার্টের অনুপাত পরীক্ষা
  • (D) p-Series Test / p-শ্রেণী পরীক্ষা
Correct Answer: (C)
Explanation: Let a_n = n / 2^n. Using the Ratio Test: |a_{n+1} / a_n| = |((n+1)/2^(n+1)) * (2^n/n)| = (1/2) * ((n+1)/n). The limit as n→∞ is (1/2) * 1 = 1/2. Since the limit is less than 1, the series converges.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: ধরা যাক a_n = n / 2^n। অনুপাত পরীক্ষা ব্যবহার করে: |a_{n+1} / a_n| = |((n+1)/2^(n+1)) * (2^n/n)| = (1/2) * ((n+1)/n)। যখন n→∞, সীমাটি হয় (1/2) * 1 = 1/2। যেহেতু সীমাটি 1-এর চেয়ে কম, শ্রেণীটি অভিসারী।
29. Darboux’s Theorem on derivatives states that…
অন্তরকলজের উপর ডারবক্স-এর উপপাদ্যটি বলে যে…
  • (A) If a function is differentiable, its derivative must be continuous. / যদি একটি ফাংশন অন্তরকলনযোগ্য হয়, তবে তার অন্তরকলজ অবশ্যই সন্তত হবে।
  • (B) A derivative function, even if not continuous, satisfies the intermediate value property. / একটি অন্তরকলজ ফাংশন, যদিও সন্তত না-ও হতে পারে, মধ্যবর্তী মান ধর্ম (intermediate value property) সিদ্ধ করে।
  • (C) Every continuous function is differentiable. / প্রতিটি সন্তত ফাংশন অন্তরকলনযোগ্য।
  • (D) The derivative of a constant function is zero. / একটি ধ্রুবক ফাংশনের অন্তরকলজ শূন্য।
Correct Answer: (B)
Explanation: Darboux’s theorem is a generalization of the Intermediate Value Theorem for derivatives. It states that if a function f is differentiable on an interval I, then its derivative f’ has the Intermediate Value Property on I. This means that if a < b are in I, then for any value y between f'(a) and f'(b), there exists some c in (a, b) such that f'(c) = y.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: ডারবক্স-এর উপপাদ্যটি অন্তরকলজের জন্য মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ। এটি বলে যে যদি একটি ফাংশন f একটি ব্যবধি I-তে অন্তরকলনযোগ্য হয়, তবে তার অন্তরকলজ f’ সেই ব্যবধিতে মধ্যবর্তী মান ধর্ম সিদ্ধ করে। এর অর্থ হলো, যদি a < b, I-এর অন্তর্গত হয়, তবে f'(a) এবং f'(b) এর মধ্যে যেকোনো মান y-এর জন্য, (a, b) এর মধ্যে এমন একটি c থাকবে যার জন্য f'(c) = y হয়।
30. A sufficient condition for a function f to have a local minimum at an interior point c is…
একটি অন্তঃস্থ বিন্দু c-তে একটি ফাংশন f-এর স্থানীয় অবম মান (local minimum) থাকার জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত হলো…
  • (A) f'(c) = 0
  • (B) f'(c) = 0 and f”(c) < 0
  • (C) f'(c) = 0 and f”(c) > 0
  • (D) f”(c) > 0
Correct Answer: (C)
Explanation: This is the Second Derivative Test for local extrema. If c is a critical point (f'(c) = 0) and the second derivative at c is positive (f”(c) > 0), the function is concave up at that point, indicating a local minimum.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: এটি স্থানীয় চরম মানের জন্য দ্বিতীয় অন্তরকলজ পরীক্ষা। যদি c একটি সংকট বিন্দু (critical point) (f'(c) = 0) হয় এবং c-তে দ্বিতীয় অন্তরকলজ ধনাত্মক (f”(c) > 0) হয়, তবে ফাংশনটি সেই বিন্দুতে ঊর্ধ্বমুখী অবতল (concave up), যা একটি স্থানীয় অবম মান নির্দেশ করে।
31. The radius of curvature ρ for a curve y = f(x) is given by the formula…
y = f(x) বক্ররেখার বক্রতা ব্যাসার্ধ (radius of curvature) ρ-এর সূত্রটি হলো…
  • (A) |(1 + (y’)²)^(3/2) / y”|
  • (B) |y” / (1 + (y’)²)^(3/2)|
  • (C) |(1 + (y’)²)^(1/2) / y”|
  • (D) |y” / (1 + y’)|
Correct Answer: (A)
Explanation: This is the standard formula for the radius of curvature for a function given in Cartesian coordinates. y’ is dy/dx and y” is d²y/dx².
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: এটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে প্রদত্ত একটি ফাংশনের জন্য বক্রতা ব্যাসার্ধের আদর্শ সূত্র। এখানে y’ হলো dy/dx এবং y” হলো d²y/dx²।
32. The sequence of functions f_n(x) = x^n on the interval [0, 1]…
[0, 1] ব্যবধিতে f_n(x) = x^n ফাংশনের অনুক্রমটি…
  • (A) Converges uniformly to f(x) = 0. / f(x) = 0-তে সুষমভাবে অভিসারী।
  • (B) Converges pointwise to a continuous function. / একটি সন্তত ফাংশনে বিন্দু অনুসারে অভিসারী।
  • (C) Converges pointwise to a discontinuous function. / একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশনে বিন্দু অনুসারে অভিসারী।
  • (D) Does not converge pointwise. / বিন্দু অনুসারে অভিসারী নয়।
Correct Answer: (C)
Explanation: The pointwise limit is f(x) = 0 for 0 ≤ x < 1, and f(1) = 1. This limit function f(x) is discontinuous at x=1. Since the limit function is not continuous, the convergence cannot be uniform on [0, 1].
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: বিন্দু অনুসারে সীমাটি হলো f(x) = 0 যখন 0 ≤ x < 1, এবং f(1) = 1। এই সীমা ফাংশন f(x) টি x=1-এ বিচ্ছিন্ন। যেহেতু সীমা ফাংশনটি সন্তত নয়, তাই [0, 1]-এর উপর অভিসৃতি সুষম হতে পারে না।
33. The value of the Gamma function Γ(n) for a positive integer n is…
একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য গামা ফাংশন Γ(n)-এর মান হলো…
  • (A) n!
  • (B) (n-1)!
  • (C) n
  • (D) (n+1)!
Correct Answer: (B)
Explanation: A key property of the Gamma function is that Γ(z+1) = zΓ(z). For a positive integer n, this leads to Γ(n) = (n-1)Γ(n-1) = … = (n-1)!.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: গামা ফাংশনের একটি মূল ধর্ম হলো Γ(z+1) = zΓ(z)। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, এটি থেকে পাওয়া যায় Γ(n) = (n-1)Γ(n-1) = … = (n-1)!।
34. If f(x, y) = x³ + y³ – 3xy, what is ∂f/∂x at (1, 2)?
যদি f(x, y) = x³ + y³ – 3xy হয়, তাহলে (1, 2) বিন্দুতে ∂f/∂x-এর মান কত?
  • (A) -3
  • (B) 3
  • (C) 9
  • (D) -9
Correct Answer: (A)
Explanation: First, find the partial derivative with respect to x, treating y as a constant: ∂f/∂x = 3x² – 3y. Now, substitute the point (1, 2): ∂f/∂x at (1,2) = 3(1)² – 3(2) = 3 – 6 = -3.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: প্রথমে, y-কে ধ্রুবক ধরে x-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরকলজ নির্ণয় করুন: ∂f/∂x = 3x² – 3y। এখন, (1, 2) বিন্দুটি বসান: (1,2)-তে ∂f/∂x = 3(1)² – 3(2) = 3 – 6 = -3।
35. The Nested Interval Theorem guarantees that the intersection of a sequence of non-empty, closed, and nested bounded intervals…
নেস্টেড ইন্টারভাল উপপাদ্য (Nested Interval Theorem) নিশ্চিত করে যে এক সারি অ-শূন্য, বদ্ধ এবং নেস্টেড সীমাবদ্ধ ব্যবধিগুলির ছেদ…
  • (A) Is empty. / শূন্য।
  • (B) Contains exactly one point. / ঠিক একটি বিন্দু ধারণ করে।
  • (C) Is non-empty. / অ-শূন্য।
  • (D) Contains an open interval. / একটি খোলা ব্যবধি ধারণ করে।
Correct Answer: (C)
Explanation: The Nested Interval Theorem states that for a sequence of closed bounded intervals I_n = [a_n, b_n] such that I₁ ⊃ I₂ ⊃ I₃ ⊃ …, the intersection ∩ I_n is non-empty. If, in addition, the lengths of the intervals tend to zero, the intersection contains exactly one point. But the basic theorem only guarantees non-emptiness.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: নেস্টেড ইন্টারভাল উপপাদ্যটি বলে যে বদ্ধ সীমাবদ্ধ ব্যবধিগুলির একটি অনুক্রম I_n = [a_n, b_n]-এর জন্য, যেখানে I₁ ⊃ I₂ ⊃ I₃ ⊃ …, তাদের ছেদ ∩ I_n অ-শূন্য। যদি অতিরিক্তভাবে ব্যবধিগুলির দৈর্ঘ্য শূন্যের দিকে যায়, তবে ছেদটি ঠিক একটি বিন্দু ধারণ করে। কিন্তু মূল উপপাদ্যটি কেবল অ-শূন্যতার নিশ্চয়তা দেয়।
36. The series Σ a_n converges, but Σ |a_n| diverges. The series is called:
একটি শ্রেণী Σ a_n অভিসারী, কিন্তু Σ |a_n| অপসারী। শ্রেণীটিকে বলা হয়:
  • (A) Absolutely convergent / পরমভাবে অভিসারী
  • (B) Uniformly convergent / সুষমভাবে অভিসারী
  • (C) Divergent / অপসারী
  • (D) Conditionally convergent / শর্তসাপেক্ষে অভিসারী
Correct Answer: (D)
Explanation: This is the definition of a conditionally convergent series. The convergence depends on the signs of the terms.
সঠিক উত্তর: (D)
ব্যাখ্যা: এটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী শ্রেণীর সংজ্ঞা। অভিসৃতি পদের চিহ্নের উপর নির্ভর করে।
37. The union of an arbitrary collection of open sets is:
যেকোনো সংখ্যক মুক্ত সেটের সংযোগ (union) হলো:
  • (A) Always open / সর্বদা মুক্ত
  • (B) Always closed / সর্বদা বদ্ধ
  • (C) May be neither open nor closed / মুক্ত বা বদ্ধ কোনোটিই নাও হতে পারে
  • (D) Always compact / সর্বদা কম্প্যাক্ট
Correct Answer: (A)
Explanation: A fundamental property of open sets in a topological space (including R) is that any union (finite or infinite) of open sets is itself an open set.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: একটি টপোলজিক্যাল স্পেসে (R সহ) মুক্ত সেটের একটি মৌলিক ধর্ম হলো যে মুক্ত সেটের যেকোনো সংযোগ (সসীম বা অসীম) নিজেই একটি মুক্ত সেট।
38. The function f(x) = [x] (greatest integer function) has which type of discontinuity at integer points?
f(x) = [x] (বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা ফাংশন) ফাংশনটির পূর্ণসংখ্যা বিন্দুগুলিতে কোন ধরণের বিচ্ছিন্নতা রয়েছে?
  • (A) Removable discontinuity / অপসারণযোগ্য বিচ্ছিন্নতা
  • (B) Jump discontinuity (Discontinuity of the first kind) / লম্ফ বিচ্ছিন্নতা (প্রথম প্রকারের বিচ্ছিন্নতা)
  • (C) Essential discontinuity (Discontinuity of the second kind) / অপরিহার্য বিচ্ছিন্নতা (দ্বিতীয় প্রকারের বিচ্ছিন্নতা)
  • (D) No discontinuity / কোনো বিচ্ছিন্নতা নেই
Correct Answer: (B)
Explanation: At any integer n, the left-hand limit lim (x→n⁻) [x] = n-1, and the right-hand limit lim (x→n⁺) [x] = n. Since both one-sided limits exist but are not equal, it is a jump discontinuity.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n-এ, বাম-পার্শ্বের সীমা lim (x→n⁻) [x] = n-1, এবং ডান-পার্শ্বের সীমা lim (x→n⁺) [x] = n। যেহেতু উভয় একতরফা সীমা বিদ্যমান কিন্তু সমান নয়, এটি একটি লম্ফ বিচ্ছিন্নতা।
39. The value of the limit lim (x→0) (log(1+x))/x is:
lim (x→0) (log(1+x))/x সীমাটির মান হলো:
  • (A) 0
  • (B) 1
  • (C) e
  • (D) ∞
Correct Answer: (B)
Explanation: This is a standard limit. Using L’Hopital’s rule for the 0/0 form: lim (x→0) (1/(1+x))/1 = 1/1 = 1.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: এটি একটি আদর্শ সীমা। 0/0 আকারের জন্য L’Hopital-এর নিয়ম ব্যবহার করে: lim (x→0) (1/(1+x))/1 = 1/1 = 1।
40. If f is a strictly monotone and continuous function on an interval I, then its inverse function f⁻¹ is:
যদি f একটি ব্যবধি I-তে কঠোরভাবে একমুখী (strictly monotone) এবং সন্তত ফাংশন হয়, তবে তার বিপরীত ফাংশন f⁻¹ হলো:
  • (A) Always differentiable / সর্বদা অন্তরকলনযোগ্য
  • (B) Discontinuous / বিচ্ছিন্ন
  • (C) Strictly monotone and continuous / কঠোরভাবে একমুখী এবং সন্তত
  • (D) Not necessarily monotone / আবশ্যিকভাবে একমুখী নয়
Correct Answer: (C)
Explanation: The Inverse Function Theorem for continuous functions states that if f is strictly monotone and continuous on an interval, its inverse f⁻¹ exists and is also strictly monotone and continuous on its domain.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: সন্তত ফাংশনের জন্য বিপরীত ফাংশন উপপাদ্যটি বলে যে যদি f একটি ব্যবধিতে কঠোরভাবে একমুখী এবং সন্তত হয়, তবে তার বিপরীত f⁻¹ বিদ্যমান এবং তার ডোমেনে কঠোরভাবে একমুখী এবং সন্তত হয়।
41. Leibnitz’s theorem is used to find the:
লিবনিজের উপপাদ্য কী খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়?
  • (A) Limit of a product of functions / ফাংশনের গুণফলের সীমা
  • (B) Integral of a product of functions / ফাংশনের গুণফলের সমাকল
  • (C) nth derivative of a product of two functions / দুটি ফাংশনের গুণফলের n-তম অন্তরকলজ
  • (D) nth derivative of a quotient of functions / ফাংশনের ভাগফলের n-তম অন্তরকলজ
Correct Answer: (C)
Explanation: Leibnitz’s rule (or theorem) generalizes the product rule for derivatives. It provides a formula for the nth derivative of the product of two functions, resembling the binomial expansion. (uv)^(n) = Σ (k=0 to n) [C(n,k) * u^(n-k) * v^(k)].
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: লিবনিজের নিয়ম (বা উপপাদ্য) অন্তরকলজের জন্য গুণফলের নিয়মকে সাধারণীকরণ করে। এটি দুটি ফাংশনের গুণফলের n-তম অন্তরকলজের জন্য একটি সূত্র প্রদান করে, যা দ্বিপদী বিস্তারের অনুরূপ। (uv)^(n) = Σ (k=0 থেকে n) [C(n,k) * u^(n-k) * v^(k)]।
42. Cauchy’s Mean Value Theorem involves how many functions?
কোশির মধ্যম মান উপপাদ্যে কয়টি ফাংশন জড়িত?
  • (A) One function / একটি ফাংশন
  • (B) Two functions / দুটি ফাংশন
  • (C) Three functions / তিনটি ফাংশন
  • (D) An infinite sequence of functions / ফাংশনের একটি অসীম অনুক্রম
Correct Answer: (B)
Explanation: Cauchy’s MVT is a generalization of Lagrange’s MVT and involves two functions, f and g. It states that under certain conditions, there exists a c in (a, b) such that (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c).
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: কোশির MVT হলো ল্যাগ্রাঞ্জের MVT-এর একটি সাধারণীকরণ এবং এতে দুটি ফাংশন, f এবং g, জড়িত। এটি বলে যে নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে, (a, b)-এর মধ্যে এমন একটি c বিদ্যমান থাকে যার জন্য (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c) হয়।
43. The expansion of log(1+x) is valid for:
log(1+x)-এর বিস্তার কোন সীমার জন্য বৈধ?
  • (A) All x ∈ R / সমস্ত x ∈ R
  • (B) |x| < 1
  • (C) -1 < x ≤ 1
  • (D) x > -1
Correct Answer: (C)
Explanation: The Maclaurin series for log(1+x) is x – x²/2 + x³/3 – … . This power series converges for -1 < x ≤ 1. The convergence at x=1 is conditional (alternating harmonic series), and it diverges at x=-1 (harmonic series).
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: log(1+x)-এর ম্যাকলরিন শ্রেণীটি হলো x – x²/2 + x³/3 – …। এই ঘাত শ্রেণীটি -1 < x ≤ 1-এর জন্য অভিসারী। x=1-এ অভিসৃতি শর্তসাপেক্ষ (পর্যায়ক্রমিক বিপরীত শ্রেণী), এবং x=-1-এ এটি অপসারী (বিপরীত শ্রেণী)।
44. An asymptote of a curve is a line such that the distance between the curve and the line approaches ______ as they tend to infinity.
একটি বক্ররেখার অসীমতট (asymptote) হলো এমন একটি সরলরেখা যেখানে বক্ররেখা এবং সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব ______-এর দিকে যায় যখন তারা অসীমের দিকে যায়।
  • (A) One / এক
  • (B) Infinity / অসীম
  • (C) Zero / শূন্য
  • (D) A constant k ≠ 0 / একটি ধ্রুবক k ≠ 0
Correct Answer: (C)
Explanation: This is the geometric definition of an asymptote. The curve gets arbitrarily close to the line but may never touch it.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: এটি অসীমতটের জ্যামিতিক সংজ্ঞা। বক্ররেখাটি সরলরেখার যথেচ্ছভাবে কাছাকাছি আসে কিন্তু কখনো স্পর্শ নাও করতে পারে।
45. The area enclosed by the parabola y² = 4ax and its latus rectum x = a is:
y² = 4ax অধিবৃত্ত এবং তার নাভিলম্ব (latus rectum) x = a দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো:
  • (A) 4a²/3
  • (B) 8a²/3
  • (C) 16a²/3
  • (D) a²
Correct Answer: (B)
Explanation: The area is given by ∫(from 0 to a) 2y dx = ∫(from 0 to a) 2 * sqrt(4ax) dx = 4√a ∫(from 0 to a) x^(1/2) dx = 4√a * [x^(3/2) / (3/2)] (from 0 to a) = 4√a * (2/3) * a^(3/2) = (8/3) * a².
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফলটি হলো ∫(0 থেকে a) 2y dx = ∫(0 থেকে a) 2 * sqrt(4ax) dx = 4√a ∫(0 থেকে a) x^(1/2) dx = 4√a * [x^(3/2) / (3/2)] (0 থেকে a) = 4√a * (2/3) * a^(3/2) = (8/3) * a²।
46. Cauchy-Hadamard theorem is used to find the:
কোশি-হ্যাডামার্ড উপপাদ্য কী খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়?
  • (A) Sum of a power series / ঘাত শ্রেণীর যোগফল
  • (B) Radius of convergence of a power series / ঘাত শ্রেণীর অভিসৃতি ব্যাসার্ধ
  • (C) Pointwise limit of a sequence of functions / ফাংশনের অনুক্রমের বিন্দু অনুসারে সীমা
  • (D) Value of a definite integral / একটি নির্দিষ্ট সমাকলের মান
Correct Answer: (B)
Explanation: The Cauchy-Hadamard theorem provides a formula for the radius of convergence R of a power series Σ c_n(x-a)^n, given by R = 1 / (lim sup |c_n|^(1/n)).
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: কোশি-হ্যাডামার্ড উপপাদ্যটি একটি ঘাত শ্রেণী Σ c_n(x-a)^n-এর অভিসৃতি ব্যাসার্ধ R-এর জন্য একটি সূত্র প্রদান করে, যা হলো R = 1 / (lim sup |c_n|^(1/n))।
47. A Riemann sum for a function f on [a, b] is an approximation of the integral using:
[a, b]-তে একটি ফাংশন f-এর জন্য একটি রিমান যোগফল হলো কী ব্যবহার করে সমাকলের একটি আসন্ন মান?
  • (A) Triangles / ত্রিভুজ
  • (B) Rectangles / আয়তক্ষেত্র
  • (C) Trapezoids / ট্র্যাপিজয়েড
  • (D) Circles / বৃত্ত
Correct Answer: (B)
Explanation: A Riemann sum approximates the area under a curve by summing the areas of a finite number of rectangles whose heights are determined by the function’s value at chosen points within each subinterval.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: একটি রিমান যোগফল একটি বক্ররেখার নীচের ক্ষেত্রফলের আসন্ন মান নির্ণয় করে, যা প্রতিটি উপব্যবধি থেকে নির্বাচিত বিন্দুতে ফাংশনের মান দ্বারা নির্ধারিত উচ্চতার সসীম সংখ্যক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ করে করা হয়।
48. The Fundamental Theorem of Calculus connects:
কলনবিদ্যার মৌলিক উপপাদ্য কীসের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করে?
  • (A) Limits and continuity / সীমা এবং সন্ততা
  • (B) Sequences and series / অনুক্রম এবং শ্রেণী
  • (C) Differentiation and integration / অন্তরকলন এবং সমাকলন
  • (D) Algebra and geometry / বীজগণিত এবং জ্যামিতি
Correct Answer: (C)
Explanation: The theorem establishes that differentiation and integration are inverse operations. Part 1 states that the derivative of an integral function is the original function, and Part 2 provides a method to compute definite integrals using antiderivatives.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: এই উপপাদ্যটি প্রতিষ্ঠা করে যে অন্তরকলন এবং সমাকলন হলো বিপরীত প্রক্রিয়া। প্রথম অংশটি বলে যে একটি সমাকল ফাংশনের অন্তরকলজ হলো মূল ফাংশনটি, এবং দ্বিতীয় অংশটি আদি অপেক্ষক (antiderivative) ব্যবহার করে নির্দিষ্ট সমাকল গণনা করার একটি পদ্ধতি প্রদান করে।
49. The μ-test is used for convergence of:
μ-পরীক্ষা কীসের অভিসৃতির জন্য ব্যবহৃত হয়?
  • (A) Infinite series / অসীম শ্রেণী
  • (B) Sequences / অনুক্রম
  • (C) Improper integrals / অযথার্থ সমাকল
  • (D) Power series / ঘাত শ্রেণী
Correct Answer: (C)
Explanation: The μ-test is a limit comparison test for improper integrals. For an integral ∫f(x)dx from a to ∞, if lim(x→∞) x^μ * f(x) = L (where L is finite and non-zero), then the integral converges if and only if μ > 1.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: μ-পরীক্ষাটি অযথার্থ সমাকলের জন্য একটি সীমা তুলনা পরীক্ষা। a থেকে ∞ পর্যন্ত ∫f(x)dx সমাকলের জন্য, যদি lim(x→∞) x^μ * f(x) = L (যেখানে L সসীম এবং অশূন্য) হয়, তবে সমাকলটি অভিসারী হবে যদি এবং কেবল যদি μ > 1 হয়।
50. Euler’s theorem for homogeneous functions of two variables states that if f(x, y) is homogeneous of degree n, then:
দুই চলকের সমসত্ত্ব (homogeneous) ফাংশনের জন্য অয়লারের উপপাদ্যটি বলে যে যদি f(x, y) n-মাত্রার সমসত্ত্ব হয়, তবে:
  • (A) x(∂f/∂x) + y(∂f/∂y) = nf
  • (B) x(∂f/∂y) + y(∂f/∂x) = nf
  • (C) (∂f/∂x) + (∂f/∂y) = n
  • (D) x(∂f/∂x) – y(∂f/∂y) = 0
Correct Answer: (A)
Explanation: This is the statement of Euler’s Homogeneous Function Theorem. A function is homogeneous of degree n if f(tx, ty) = t^n * f(x, y).
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: এটি অয়লারের সমসত্ত্ব ফাংশন উপপাদ্যের বিবৃতি। একটি ফাংশন n-মাত্রার সমসত্ত্ব হবে যদি f(tx, ty) = t^n * f(x, y) হয়।
51. The set R of real numbers is:
বাস্তব সংখ্যার সেট R হলো:
  • (A) Denumerable and complete / গণনযোগ্য এবং সম্পূর্ণ
  • (B) Non-denumerable and complete / অগণনযোগ্য এবং সম্পূর্ণ
  • (C) Non-denumerable and not complete / অগণনযোগ্য এবং সম্পূর্ণ নয়
  • (D) Denumerable and not complete / গণনযোগ্য এবং সম্পূর্ণ নয়
Correct Answer: (B)
Explanation: The set of real numbers is non-denumerable (uncountable), as shown by Cantor’s diagonal argument. It is also complete, meaning every Cauchy sequence of real numbers converges to a real number.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: বাস্তব সংখ্যার সেট অগণনযোগ্য, যা ক্যান্টরের কর্ণ পদ্ধতি দ্বারা দেখানো হয়েছে। এটি সম্পূর্ণও বটে, যার অর্থ বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি কোশি অনুক্রম একটি বাস্তব সংখ্যায় অভিসারী হয়।
52. The derived set of a set S is the set of all its:
একটি সেট S-এর উদ্ভূত সেট (derived set) হলো তার সমস্ত কীসের সেট?
  • (A) Interior points / অন্তঃস্থ বিন্দু
  • (B) Boundary points / সীমান্ত বিন্দু
  • (C) Limit points / সীমাস্থ বিন্দু
  • (D) Isolated points / বিচ্ছিন্ন বিন্দু
Correct Answer: (C)
Explanation: The derived set, often denoted S’, is precisely the set of all limit points (or accumulation points) of the set S.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: উদ্ভূত সেট, যা প্রায়শই S’ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ঠিক S সেটের সমস্ত সীমাস্থ বিন্দুর (বা পুঞ্জীভবন বিন্দুর) সেট।
53. A set is closed if and only if:
একটি সেট বদ্ধ হবে যদি এবং কেবল যদি:
  • (A) It contains all of its limit points. / এটি তার সমস্ত সীমাস্থ বিন্দু ধারণ করে।
  • (B) It has no limit points. / এর কোনো সীমাস্থ বিন্দু নেই।
  • (C) Every point is an interior point. / প্রতিটি বিন্দু একটি অন্তঃস্থ বিন্দু।
  • (D) Its complement is closed. / এর পূরক সেটটি বদ্ধ।
Correct Answer: (A)
Explanation: A fundamental definition of a closed set is that it contains its entire derived set (all its limit points). An equivalent definition is that its complement is an open set.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: একটি বদ্ধ সেটের মৌলিক সংজ্ঞা হলো এটি তার সম্পূর্ণ উদ্ভূত সেট (তার সমস্ত সীমাস্থ বিন্দু) ধারণ করে। একটি সমতুল্য সংজ্ঞা হলো এর পূরক সেটটি একটি মুক্ত সেট।
54. The sequence a_n = n / (n+1) is:
a_n = n / (n+1) অনুক্রমটি হলো:
  • (A) Monotonically decreasing and convergent. / একমুখীভাবে হ্রাসমান এবং অভিসারী।
  • (B) Monotonically increasing and divergent. / একমুখীভাবে ক্রমবর্ধমান এবং অপসারী।
  • (C) Not monotonic but convergent. / একমুখী নয় কিন্তু অভিসারী।
  • (D) Monotonically increasing and convergent. / একমুখীভাবে ক্রমবর্ধমান এবং অভিসারী।
Correct Answer: (D)
Explanation: a_n = 1 – 1/(n+1). As n increases, 1/(n+1) decreases, so 1 – 1/(n+1) increases. The sequence is monotonically increasing. The limit as n→∞ is 1. Since it converges, it is convergent.
সঠিক উত্তর: (D)
ব্যাখ্যা: a_n = 1 – 1/(n+1)। n বাড়ার সাথে সাথে 1/(n+1) হ্রাস পায়, তাই 1 – 1/(n+1) বৃদ্ধি পায়। অনুক্রমটি একমুখীভাবে ক্রমবর্ধমান। n→∞ হলে সীমাটি হয় 1। যেহেতু এটি অভিসারী, তাই এটি convergent।
55. According to Cauchy’s Root Test, the series Σa_n converges if:
কোশির মূলক পরীক্ষার (Root Test) মতে, Σa_n শ্রেণীটি অভিসারী হবে যদি:
  • (A) lim sup |a_n|^(1/n) < 1
  • (B) lim sup |a_n|^(1/n) > 1
  • (C) lim sup |a_n|^(1/n) = 1
  • (D) lim inf |a_n|^(1/n) < 1
Correct Answer: (A)
Explanation: The Root Test states that if the limit superior of the nth root of the absolute value of the terms is less than 1, the series converges absolutely. If it’s greater than 1, it diverges. If it’s equal to 1, the test is inconclusive.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: মূলক পরীক্ষাটি বলে যে যদি পদের পরম মানের n-তম মূলের ঊর্ধ্ব সীমা (limit superior) 1-এর চেয়ে কম হয়, তবে শ্রেণীটি পরমভাবে অভিসারী হয়। যদি এটি 1-এর চেয়ে বড় হয়, তবে এটি অপসারী হয়। যদি এটি 1-এর সমান হয়, তবে পরীক্ষাটিঅমীমাংসিত।
56. Abel’s Test for convergence of a series Σ a_n b_n requires that:
একটি শ্রেণী Σ a_n b_n-এর অভিসৃতির জন্য অ্যাবেলের পরীক্ষায় প্রয়োজন যে:
  • (A) Σa_n converges and {b_n} is monotonic and bounded. / Σa_n অভিসারী এবং {b_n} একমুখী ও সীমাবদ্ধ।
  • (B) Σa_n has bounded partial sums and {b_n} is monotonic and null. / Σa_n-এর আংশিক যোগফল সীমাবদ্ধ এবং {b_n} একমুখী ও শূন্য অনুক্রমী।
  • (C) Σa_n diverges and {b_n} is null. / Σa_n অপসারী এবং {b_n} শূন্য অনুক্রমী।
  • (D) Both Σa_n and Σb_n converge. / Σa_n এবং Σb_n উভয়ই অভিসারী।
Correct Answer: (A)
Explanation: Abel’s test is a more delicate convergence test. It requires that one series (Σa_n) converges on its own, and the other sequence ({b_n}) is well-behaved (monotonic and bounded). Compare this to Dirichlet’s test, which has a weaker condition on Σa_n (bounded partial sums) but a stronger condition on {b_n} (must converge to 0).
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: অ্যাবেলের পরীক্ষা একটি সূক্ষ্মতর অভিসৃতি পরীক্ষা। এর জন্য প্রয়োজন যে একটি শ্রেণী (Σa_n) নিজে থেকেই অভিসারী এবং অন্য অনুক্রমটি ({b_n}) সুশৃঙ্খল (একমুখী এবং সীমাবদ্ধ)। এটিকে ডিরিখলে-র পরীক্ষার সাথে তুলনা করুন, যার Σa_n-এর উপর দুর্বলতর শর্ত (সীমাবদ্ধ আংশিক যোগফল) কিন্তু {b_n}-এর উপর শক্তিশালী শর্ত (অবশ্যই 0-তে অভিসারী হতে হবে) রয়েছে।
57. Taylor’s theorem provides a way to approximate a function by a:
টেলরের উপপাদ্য একটি ফাংশনকে কী দ্বারা আসন্ন করার একটি উপায় প্রদান করে?
  • (A) Polynomial / বহুপদী
  • (B) Rational function / মূলদ ফাংশন
  • (C) Step function / ধাপ ফাংশন
  • (D) Trigonometric series / ত্রিকোণমিতিক শ্রেণী
Correct Answer: (A)
Explanation: Taylor’s theorem expresses a k-times differentiable function as a polynomial of degree k (the Taylor polynomial) plus a remainder term. This is the foundation for power series expansions.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: টেলরের উপপাদ্য একটি k-বার অন্তরকলনযোগ্য ফাংশনকে k-মাত্রার একটি বহুপদী (টেলর বহুপদী) এবং একটি ভাগশেষ পদের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করে। এটি ঘাত শ্রেণী বিস্তারের ভিত্তি।
58. The value of ∫ (from 0 to 1) dx / (1 + x²) is:
∫ (0 থেকে 1) dx / (1 + x²)-এর মান হলো:
  • (A) π/2
  • (B) π
  • (C) π/4
  • (D) 1
Correct Answer: (C)
Explanation: The antiderivative of 1/(1+x²) is arctan(x). Evaluating from 0 to 1 gives arctan(1) – arctan(0) = π/4 – 0 = π/4.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: 1/(1+x²)-এর আদি অপেক্ষক হলো arctan(x)। 0 থেকে 1 পর্যন্ত মান নির্ণয় করলে পাওয়া যায় arctan(1) – arctan(0) = π/4 – 0 = π/4।
59. The arc length of a curve y = f(x) from x = a to x = b is given by the integral:
x = a থেকে x = b পর্যন্ত y = f(x) বক্ররেখার চাপ দৈর্ঘ্য কোন সমাকল দ্বারা দেওয়া হয়?
  • (A) ∫ (from a to b) sqrt(1 + f(x)) dx
  • (B) ∫ (from a to b) (1 + [f'(x)]²) dx
  • (C) ∫ (from a to b) sqrt(1 – [f'(x)]²) dx
  • (D) ∫ (from a to b) sqrt(1 + [f'(x)]²) dx
Correct Answer: (D)
Explanation: This is the standard formula for calculating the arc length of a smooth curve given in Cartesian form. It is derived by summing infinitesimal hypotenuses using the Pythagorean theorem: ds = sqrt(dx² + dy²).
সঠিক উত্তর: (D)
ব্যাখ্যা: এটি কার্টেসিয়ান আকারে প্রদত্ত একটি মসৃণ বক্ররেখার চাপ দৈর্ঘ্য গণনার জন্য আদর্শ সূত্র। এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অসীম ক্ষুদ্র অতিভুজ যোগ করে উদ্ভূত হয়: ds = sqrt(dx² + dy²)।
60. Uniform convergence of a series of functions Σf_n(x) can be tested using the:
ফাংশনের শ্রেণী Σf_n(x)-এর সুষম অভিসৃতি কী ব্যবহার করে পরীক্ষা করা যেতে পারে?
  • (A) Weierstrass M-test / ভিয়ারস্ট্রাস M-পরীক্ষা
  • (B) Ratio Test / অনুপাত পরীক্ষা
  • (C) Integral Test / সমাকলন পরীক্ষা
  • (D) p-series Test / p-শ্রেণী পরীক্ষা
Correct Answer: (A)
Explanation: The Weierstrass M-test provides a sufficient condition for the uniform convergence of a series of functions. It states that if |f_n(x)| ≤ M_n for all x in a set A, and the series of constants ΣM_n converges, then Σf_n(x) converges uniformly on A.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: ভিয়ারস্ট্রাস M-পরীক্ষাটি একটি ফাংশনের শ্রেণীর সুষম অভিসৃতির জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত প্রদান করে। এটি বলে যে যদি একটি সেট A-এর সমস্ত x-এর জন্য |f_n(x)| ≤ M_n হয়, এবং ধ্রুবকের শ্রেণী ΣM_n অভিসারী হয়, তবে Σf_n(x) সেট A-তে সুষমভাবে অভিসারী হয়।
61. The value of Γ(1/2) is:
Γ(1/2) এর মান হলো:
  • (A) 1
  • (B) π
  • (C) sqrt(π)
  • (D) π/2
Correct Answer: (C)
Explanation: This is a famous value of the Gamma function, often proven using a Gaussian integral. It’s essential for many applications involving the normal distribution and other areas of physics and engineering.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: এটি গামা ফাংশনের একটি বিখ্যাত মান, যা প্রায়শই গাউসিয়ান সমাকল ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয়। এটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন এবং পদার্থবিদ্যা ও প্রকৌশলের অন্যান্য ক্ষেত্রে অনেক অ্যাপ্লিকেশনের জন্য অপরিহার্য।
62. A function f: R² → R is differentiable at a point (a,b) if it is:
একটি ফাংশন f: R² → R একটি বিন্দু (a,b)-তে অন্তরকলনযোগ্য হবে যদি এটি:
  • (A) Continuous at (a,b). / (a,b)-তে সন্তত।
  • (B) Its partial derivatives exist at (a,b). / (a,b)-তে এর আংশিক অন্তরকলজ বিদ্যমান।
  • (C) Its partial derivatives exist and are continuous in a neighborhood of (a,b). / এর আংশিক অন্তরকলজ বিদ্যমান এবং (a,b)-এর একটি প্রতিবেশে সন্তত।
  • (D) It is a linear function. / এটি একটি রৈখিক ফাংশন।
Correct Answer: (C)
Explanation: The existence of partial derivatives alone is not sufficient for differentiability in multiple variables. However, if the partial derivatives exist and are continuous in a neighborhood of the point, this provides a sufficient (but not necessary) condition for the function to be differentiable at that point.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: একাধিক চলকের ক্ষেত্রে কেবল আংশিক অন্তরকলজের অস্তিত্ব অন্তরকলনযোগ্যতার জন্য যথেষ্ট নয়। তবে, যদি আংশিক অন্তরকলজগুলো বিদ্যমান থাকে এবং বিন্দুর একটি প্রতিবেশে সন্তত হয়, তবে এটি সেই বিন্দুতে ফাংশনটির অন্তরকলনযোগ্য হওয়ার জন্য একটি পর্যাপ্ত (কিন্তু আবশ্যিক নয়) শর্ত প্রদান করে।
95. The lim sup of the sequence {(-1)^n} is:
{{(-1)^n} অনুক্রমটির ঊর্ধ্ব সীমা (lim sup) হলো:
  • (A) 1
  • (B) -1
  • (C) 0
  • (D) Does not exist / অস্তিত্ব নেই
Correct Answer: (A)
Explanation: The subsequential limits of the sequence are -1 and 1. The limit superior (lim sup) is the largest of these subsequential limits, which is 1. The limit inferior (lim inf) is -1.
সঠিক উত্তর: (A)
ব্যাখ্যা: অনুক্রমটির উপ-অনুক্রমিক সীমাগুলো হলো -1 এবং 1। ঊর্ধ্ব সীমা (lim sup) হলো এই উপ-অনুক্রমিক সীমাগুলোর মধ্যে বৃহত্তম, যা 1। নিম্ন সীমা (lim inf) হলো -1।
96. The set {1, 1/2, 1/3, 1/4, …} in R is:
R-এর মধ্যে {1, 1/2, 1/3, 1/4, …} সেটটি হলো:
  • (A) Open / মুক্ত
  • (B) Closed / বদ্ধ
  • (C) Neither open nor closed / মুক্তও নয়, বদ্ধও নয়
  • (D) Both open and closed / মুক্ত এবং বদ্ধ উভয়ই
Correct Answer: (C)
Explanation: The set is not open because no point is an interior point. It is not closed because it does not contain its only limit point, which is 0. The closure of the set is {0, 1, 1/2, 1/3, …}.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: সেটটি মুক্ত নয় কারণ কোনো বিন্দুই অন্তঃস্থ বিন্দু নয়। এটি বদ্ধও নয় কারণ এটি তার একমাত্র সীমাস্থ বিন্দু, যা 0, ধারণ করে না। সেটটির বদ্ধক (closure) হলো {0, 1, 1/2, 1/3, …}।
97. If a function is uniformly continuous on an interval, it is also:
যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধিতে সুষমভাবে সন্তত হয়, তবে এটি:
  • (A) Differentiable / অন্তরকলনযোগ্য
  • (B) Continuous / সন্তত
  • (C) Bounded / সীমাবদ্ধ
  • (D) Monotonic / একমুখী
Correct Answer: (B)
Explanation: Uniform continuity is a stronger condition than continuity. Therefore, any function that is uniformly continuous on a set is necessarily continuous on that set. The converse is not always true.
সঠিক উত্তর: (B)
ব্যাখ্যা: সুষম সন্ততা সন্ততার চেয়ে একটি শক্তিশালী শর্ত। সুতরাং, যেকোনো ফাংশন যা একটি সেটে সুষমভাবে সন্তত, তা আবশ্যিকভাবে সেই সেটে সন্তত। এর বিপরীতটি সর্বদা সত্য নয়।
98. The integral ∫ (from 0 to ∞) e^(-x) dx is an example of:
∫ (0 থেকে ∞) e^(-x) dx সমাকলটি কীসের উদাহরণ?
  • (A) A proper integral that diverges / একটি যথার্থ সমাকল যা অপসারী
  • (B) A proper integral that converges / একটি যথার্থ সমাকল যা অভিসারী
  • (C) An improper integral of Type 1 / প্রথম প্রকারের অযথার্থ সমাকল
  • (D) An improper integral of Type 2 / দ্বিতীয় প্রকারের অযথার্থ সমাকল
Correct Answer: (C)
Explanation: An improper integral of Type 1 is a definite integral where at least one of the limits of integration is infinite. Here, the upper limit is ∞. This integral converges to 1.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: প্রথম প্রকারের অযথার্থ সমাকল হলো একটি নির্দিষ্ট সমাকল যেখানে সমাকলনের সীমাগুলির মধ্যে অন্তত একটি অসীম। এখানে, ঊর্ধ্ব সীমাটি হলো ∞। এই সমাকলটি 1-এ অভিসারী হয়।
99. For the power series Σ c_n x^n, Abel’s Limit Theorem deals with the behavior of the series:
ঘাত শ্রেণী Σ c_n x^n-এর জন্য, অ্যাবেলের সীমা উপপাদ্যটি শ্রেণীর আচরণের সাথে সম্পর্কিত:
  • (A) At the center of convergence / অভিসৃতি কেন্দ্রের দিকে
  • (B) Outside the interval of convergence / অভিসৃতি ব্যবধির বাইরে
  • (C) At the endpoints of the interval of convergence / অভিসৃতি ব্যবধির প্রান্তবিন্দুতে
  • (D) Only for alternating series / কেবল পর্যায়ক্রমিক শ্রেণীর জন্য
Correct Answer: (C)
Explanation: Abel’s Limit Theorem provides conditions under which the sum of a power series is continuous at an endpoint of its interval of convergence. Specifically, if the series converges at an endpoint, then the value of the sum function as x approaches that endpoint is equal to the sum of the series at that endpoint.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: অ্যাবেলের সীমা উপপাদ্যটি এমন শর্ত প্রদান করে যার অধীনে একটি ঘাত শ্রেণীর যোগফল তার অভিসৃতি ব্যবধির একটি প্রান্তবিন্দুতে সন্তত হয়। বিশেষত, যদি শ্রেণীটি একটি প্রান্তবিন্দুতে অভিসারী হয়, তবে x সেই প্রান্তবিন্দুর দিকে অগ্রসর হলে যোগফল ফাংশনের মান সেই প্রান্তবিন্দুতে শ্রেণীর যোগফলের সমান হয়।
100. The function f(x) = |x| is not differentiable at x = 0 because:
f(x) = |x| ফাংশনটি x = 0-তে অন্তরকলনযোগ্য নয় কারণ:
  • (A) It is not defined at x = 0. / এটি x = 0-তে সংজ্ঞায়িত নয়।
  • (B) It is not continuous at x = 0. / এটি x = 0-তে সন্তত নয়।
  • (C) The left-hand and right-hand derivatives are not equal. / বাম-পার্শ্বের এবং ডান-পার্শ্বের অন্তরকলজ সমান নয়।
  • (D) The limit of the function does not exist at x = 0. / x = 0-তে ফাংশনটির সীমা বিদ্যমান নেই।
Correct Answer: (C)
Explanation: The function f(x) = |x| is continuous at x=0. However, the right-hand derivative is lim(h→0⁺) (|0+h|-|0|)/h = 1, while the left-hand derivative is lim(h→0⁻) (|0+h|-|0|)/h = -1. Since the one-sided derivatives are not equal, the function is not differentiable at that point.
সঠিক উত্তর: (C)
ব্যাখ্যা: f(x) = |x| ফাংশনটি x=0-তে সন্তত। তবে, ডান-পার্শ্বের অন্তরকলজ হলো lim(h→0⁺) (|0+h|-|0|)/h = 1, যেখানে বাম-পার্শ্বের অন্তরকলজ হলো lim(h→0⁻) (|0+h|-|0|)/h = -1। যেহেতু একতরফা অন্তরকলজগুলো সমান নয়, ফাংশনটি সেই বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য নয়।

Related Posts

Leave a Comment

Scroll to Top