1. Which of the following is a vector quantity?
১. নিচের কোনটি একটি ভেক্টর রাশি?
Correct Answer: C) Displacement / সরণ
Explanation: A vector quantity has both magnitude and direction. Displacement has both, whereas speed, mass, and time only have magnitude.
ব্যাখ্যা: ভেক্টর রাশির মান এবং দিক উভয়ই থাকে। সরণের মান ও দিক উভয়ই আছে, কিন্তু দ্রুতি, ভর এবং সময়ের কেবল মান আছে।
2. Two vectors are equal if they have:
২. দুটি ভেক্টর সমান হবে যদি তাদের:
Correct Answer: C) Same magnitude and same direction / একই মান এবং একই দিক থাকে
Explanation: The definition of equality for two free vectors requires both their magnitudes and their directions to be identical.
ব্যাখ্যা: দুটি মুক্ত ভেক্টরের সমতার সংজ্ঞা অনুযায়ী তাদের মান এবং দিক উভয়কেই অভিন্ন হতে হবে।
3. The magnitude of the vector A = i + j + k is:
৩. A = i + j + k ভেক্টরটির মান হলো:
Correct Answer: C) √3
Explanation: The magnitude of a vector A = xi + yj + zk is |A| = √(x² + y² + z²). For A = i + j + k, the magnitude is |A| = √(1² + 1² + 1²) = √3.
ব্যাখ্যা: একটি ভেক্টর A = xi + yj + zk -এর মান হলো |A| = √(x² + y² + z²)। এখানে |A| = √(1² + 1² + 1²) = √3।
4. What is the unit vector in the direction of a = 4i – 3j?
৪. a = 4i – 3j ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর কোনটি?
Correct Answer: B) (4i – 3j)/5
Explanation: A unit vector is found by dividing the vector by its magnitude. The magnitude of a is |a| = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5. The unit vector is â = a / |a| = (4i – 3j)/5.
ব্যাখ্যা: একক ভেক্টর নির্ণয় করতে ভেক্টরটিকে তার মান দিয়ে ভাগ করতে হয়। a-এর মান |a| = √(4² + (-3)²) = √25 = 5। সুতরাং একক ভেক্টর â = a / |a| = (4i – 3j)/5।
5. If a = 2i + j and b = i – 3j, then a + b is:
৫. যদি a = 2i + j এবং b = i – 3j হয়, তবে a + b হলো:
Correct Answer: A) 3i – 2j
Explanation: Vector addition is done component-wise. a + b = (2+1)i + (1-3)j = 3i – 2j.
ব্যাখ্যা: ভেক্টর যোগ উপাংশ অনুযায়ী করা হয়। a + b = (2+1)i + (1-3)j = 3i – 2j।
6. The position vector of a point P(x, y, z) is given by:
৬. একটি বিন্দু P(x, y, z) এর অবস্থান ভেক্টরটি হলো:
Correct Answer: C) xi + yj + zk
Explanation: The position vector of a point P(x,y,z) is the vector from the origin (0,0,0) to the point P, which is represented as r = xi + yj + zk.
ব্যাখ্যা: P(x,y,z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হলো মূলবিন্দু (0,0,0) থেকে P বিন্দু পর্যন্ত ভেক্টর, যা r = xi + yj + zk দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
7. The scalar product of a = i – j and b = j + k is:
৭. a = i – j এবং b = j + k এর স্কেলার গুণফল হলো:
Correct Answer: C) -1
Explanation: a ⋅ b = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(1) = 0 – 1 + 0 = -1.
ব্যাখ্যা: a ⋅ b = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(1) = 0 – 1 + 0 = -1।
8. If two vectors a and b are perpendicular, then:
৮. যদি দুটি ভেক্টর a এবং b লম্ব হয়, তাহলে:
Correct Answer: B) a ⋅ b = 0
Explanation: The dot product of two non-zero vectors is zero if and only if they are perpendicular (orthogonal), because a ⋅ b = |a||b|cos(θ), and cos(90°) = 0.
ব্যাখ্যা: দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি তারা পরস্পর লম্ব হয়, কারণ a ⋅ b = |a||b|cos(θ), এবং cos(90°) = 0।
9. The vector product i × j is equal to:
৯. ভেক্টর গুণফল i × j এর মান:
Correct Answer: D) k
Explanation: By the right-hand rule for the standard basis vectors, i × j = k, j × k = i, and k × i = j.
ব্যাখ্যা: আদর্শ একক ভেক্টরগুলির জন্য ডান-হাতি নিয়ম অনুসারে, i × j = k, j × k = i, এবং k × i = j।
10. If two vectors a and b are parallel, then:
১০. যদি দুটি ভেক্টর a এবং b সমান্তরাল হয়, তাহলে:
Correct Answer: B) a × b = 0 (zero vector)
Explanation: The cross product of two non-zero vectors is the zero vector if and only if they are parallel, because |a × b| = |a||b|sin(θ), and sin(0°) = sin(180°) = 0.
ব্যাখ্যা: দুটি অশূন্য ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর হবে যদি এবং কেবল যদি তারা সমান্তরাল হয়, কারণ |a × b| = |a||b|sin(θ), এবং sin(0°) = sin(180°) = 0।
11. Area of a triangle with adjacent sides a and b is:
১১. a এবং b সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো:
Correct Answer: C) ½ |a × b|
Explanation: The area of a parallelogram with adjacent sides a and b is |a × b|. A triangle with the same adjacent sides has half the area of the parallelogram.
ব্যাখ্যা: a এবং b সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো |a × b|। একই সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের অর্ধেক হয়।
12. The value of i ⋅ (j × k) is:
১২. i ⋅ (j × k) এর মান হলো:
Correct Answer: B) 1
Explanation: This is the scalar triple product [i j k]. First, j × k = i. Then, i ⋅ i = 1. The value represents the volume of a unit cube.
ব্যাখ্যা: এটি স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট [i j k]। প্রথমে, j × k = i। তারপর, i ⋅ i = 1। এই মানটি একটি একক ঘনকের আয়তন নির্দেশ করে।
13. Three points with position vectors a, b, c are collinear if:
১৩. a, b, c অবস্থান ভেক্টরযুক্ত তিনটি বিন্দু একরেখীয় হবে যদি:
Correct Answer: B) (b–a) × (c–a) = 0
Explanation: If the points A, B, and C are collinear, then the vectors AB (which is b–a) and AC (which is c–a) must be parallel. The cross product of two parallel vectors is the zero vector.
ব্যাখ্যা: যদি A, B, এবং C বিন্দু তিনটি একরেখীয় হয়, তবে AB (যা হলো b–a) এবং AC (যা হলো c–a) ভেক্টর দুটি অবশ্যই সমান্তরাল হবে। দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর হয়।
14. The volume of a tetrahedron with co-initial edges a, b, c is:
১৪. a, b, c একই বিন্দু থেকে উৎপন্ন ধারবিশিষ্ট একটি চতুষ্তলকের (tetrahedron) আয়তন হলো:
Correct Answer: C) ⅙ |[a b c]|
Explanation: The volume of a parallelepiped with co-initial edges a, b, c is |[a b c]|. The volume of a tetrahedron is one-sixth of the volume of the parallelepiped formed by the same vectors.
ব্যাখ্যা: a, b, c ধারবিশিষ্ট একটি সমান্তরাল ষড়ফলকের আয়তন হলো |[a b c]|। একটি চতুষ্তলকের আয়তন একই ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমান্তরাল ষড়ফলকের আয়তনের এক-ষষ্ঠাংশ হয়।
15. The vector triple product a × (b × c) is equal to:
১৫. ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্ট a × (b × c) এর সমান হলো:
Correct Answer: A) (a ⋅ c)b – (a ⋅ b)c
Explanation: This is the standard “BAC-CAB” rule for the vector triple product. The result is a vector that lies in the plane of b and c.
ব্যাখ্যা: এটি ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্টের জন্য আদর্শ “BAC-CAB” নিয়ম। ফলাফলটি একটি ভেক্টর যা b এবং c এর তলে অবস্থান করে।
16. The projection of vector a on vector b is:
১৬. b ভেক্টরের উপর a ভেক্টরের অভিক্ষেপ হলো:
Correct Answer: B) (a ⋅ b) / |b|
Explanation: The scalar projection of a onto b is the component of a in the direction of b. It is calculated as |a|cos(θ), which simplifies to (a ⋅ b) / |b|.
ব্যাখ্যা: b এর উপর a এর স্কেলার অভিক্ষেপ হল b এর দিকে a এর উপাংশ। এটি |a|cos(θ) হিসাবে গণনা করা হয়, যা সরল করলে (a ⋅ b) / |b| হয়।
17. Work done by a constant force F causing a displacement d is given by:
১৭. একটি ধ্রুবক বল F দ্বারা d সরণ ঘটালে কৃতকার্য হবে:
Correct Answer: C) F ⋅ d
Explanation: Work is a scalar quantity defined as the dot product of the force vector and the displacement vector.
ব্যাখ্যা: কাজ একটি স্কেলার রাশি যা বল ভেক্টর এবং সরণ ভেক্টরের ডট গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত।
18. The moment of a force F acting at a point P with position vector r about the origin is:
১৮. মূলবিন্দুর সাপেক্ষে r অবস্থান ভেক্টরযুক্ত P বিন্দুতে ক্রিয়াশীল F বলের ভ্রামক (moment) হলো:
Correct Answer: C) r × F
Explanation: The moment of a force (or torque) is a vector quantity defined as the cross product of the position vector (from the axis of rotation to the point of force application) and the force vector.
ব্যাখ্যা: বলের ভ্রামক (বা টর্ক) একটি ভেক্টর রাশি যা অবস্থান ভেক্টর (ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বল প্রয়োগের বিন্দু পর্যন্ত) এবং বল ভেক্টরের ক্রস গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত।
19. The vector equation of a plane at a distance p from the origin and perpendicular to the unit vector n̂ is:
১৯. মূলবিন্দু থেকে p দূরত্বে অবস্থিত এবং n̂ একক ভেক্টরের উপর লম্ব একটি তলের ভেক্টর সমীকরণ হলো:
Correct Answer: A) r ⋅ n̂ = p
Explanation: This is the normal form of the vector equation of a plane, where r is the position vector of any point on the plane, n̂ is the unit normal vector to the plane, and p is the perpendicular distance from the origin to the plane.
ব্যাখ্যা: এটি একটি তলের ভেক্টর সমীকরণের অভিলম্ব রূপ, যেখানে r তলের উপর যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, n̂ তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর এবং p মূলবিন্দু থেকে তলের লম্ব দূরত্ব।
20. The value of (a × b) ⋅ c is the same as:
২০. (a × b) ⋅ c এর মান নিচের কোনটির সমান?
Correct Answer: D) a ⋅ (b × c)
Explanation: In a scalar triple product, the dot and cross can be interchanged without changing the value: (a × b) ⋅ c = a ⋅ (b × c). This is a fundamental property.
ব্যাখ্যা: একটি স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টে, ডট এবং ক্রস চিহ্ন দুটিকে মানের পরিবর্তন না করে বিনিময় করা যায়: (a × b) ⋅ c = a ⋅ (b × c)। এটি একটি মৌলিক ধর্ম।
21. The value of a ⋅ (a × b) is always:
২১. a ⋅ (a × b) এর মান সর্বদা:
Correct Answer: B) 0
Explanation: The vector c = a × b is perpendicular to both a and b. The dot product of two perpendicular vectors is zero. Therefore, a ⋅ c = a ⋅ (a × b) = 0.
ব্যাখ্যা: c = a × b ভেক্টরটি a এবং b উভয়ের উপর লম্ব। দুটি লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য। সুতরাং, a ⋅ (a × b) = 0।
22. The angle between the vectors a=i+j and b=j+k is:
২২. a=i+j এবং b=j+k ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
Correct Answer: C) 60°
Explanation: Use the dot product formula: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a||b|). a ⋅ b = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1. |a| = √(1²+1²) = √2. |b| = √(1²+1²) = √2. cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1/2. So, θ = cos⁻¹(1/2) = 60°.
ব্যাখ্যা: ডট গুণফলের সূত্র ব্যবহার করে: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a||b|)। a ⋅ b = 1। |a| = √2। |b| = √2। cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1/2। সুতরাং, θ = 60°।
23. If the position vectors of points A and B are i+3j-7k and 5i-2j+4k respectively, then the vector AB is:
২৩. যদি A এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে i+3j-7k এবং 5i-2j+4k হয়, তাহলে AB ভেক্টরটি হলো:
Correct Answer: A) 4i – 5j + 11k
Explanation: The vector AB is found by subtracting the position vector of the initial point A from the position vector of the terminal point B. AB = OB – OA = (5i-2j+4k) – (i+3j-7k) = (5-1)i + (-2-3)j + (4-(-7))k = 4i – 5j + 11k.
ব্যাখ্যা: AB ভেক্টরটি নির্ণয় করতে B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর থেকে A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করতে হয়। AB = OB – OA = 4i – 5j + 11k।
24. The vectors 2i+3j–k and 4i+6j-λk are parallel. The value of λ is:
২৪. 2i+3j–k এবং 4i+6j-λk ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। λ এর মান হলো:
Correct Answer: B) 2
Explanation: If two vectors are parallel, their corresponding components are proportional. So, 4/2 = 6/3 = -λ/-1. 2 = 2 = λ. Therefore, λ = 2.
ব্যাখ্যা: দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের অনুরূপ উপাংশগুলি সমানুপাতিক হয়। সুতরাং, 4/2 = 6/3 = -λ/-1। 2 = 2 = λ। অতএব, λ = 2।
25. The shortest distance between the skew lines r = (i+2j+k) + λ(i–j+k) and r = (2i–j–k) + μ(2i+j+2k) is:
২৫. দুটি স্কিউ (skew) সরলরেখা r = (i+2j+k) + λ(i–j+k) এবং r = (2i–j–k) + μ(2i+j+2k) এর মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব কত?
Correct Answer: A) 3/√2
Explanation: The formula for the shortest distance between two skew lines r = a₁ + λb₁ and r = a₂ + μb₂ is d = |(a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|. Here, a₂ – a₁ = i – 3j – 2k. b₁ × b₂ = -3i + 3k. |b₁ × b₂| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2. (a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂) = (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) = -9. d = |-9| / (3√2) = 9 / (3√2) = 3/√2.
ব্যাখ্যা: দুটি স্কিউ রেখা r = a₁ + λb₁ এবং r = a₂ + μb₂ এর মধ্যে ন্যূনতম দূরত্বের সূত্র হলো d = |(a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|। এখানে, a₂ – a₁ = i – 3j – 2k, b₁ × b₂ = -3i + 3k, |b₁ × b₂| = 3√2, (a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂) = -9। d = |-9| / (3√2) = 3/√2।
26. Four points A, B, C, D are coplanar if:
২৬. A, B, C, D চারটি বিন্দু একতলীয় (coplanar) হবে যদি:
Correct Answer: B) [AB AC AD] = 0
Explanation: If four points A, B, C, and D are coplanar, then the vectors formed by taking one point as the origin, such as AB, AC, and AD, must lie on the same plane. Three vectors are coplanar if their scalar triple product is zero.
ব্যাখ্যা: যদি চারটি বিন্দু A, B, C, এবং D একতলীয় হয়, তবে একটি বিন্দুকে মূল ধরে গঠিত ভেক্টরগুলি, যেমন AB, AC, এবং AD, অবশ্যই একই তলে থাকবে। তিনটি ভেক্টর একতলীয় হয় যদি তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হয়।
27. Lagrange’s identity for vectors a and b is:
২৭. a এবং b ভেক্টরের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদটি হলো:
Correct Answer: A) |a × b|² = |a|²|b|² – (a ⋅ b)²
Explanation: Lagrange’s identity relates the magnitude of the cross product to the dot product. |a × b| = |a||b|sin(θ) and a ⋅ b = |a||b|cos(θ). Squaring and using sin²θ + cos²θ = 1 gives the identity |a × b|² + (a ⋅ b)² = |a|²|b|².
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদটি ক্রস গুণফলের মান এবং ডট গুণফলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। |a × b|² + (a ⋅ b)² = |a|²|b|² থেকে, |a × b|² = |a|²|b|² – (a ⋅ b)²।
28. The vector equation of a line passing through points with position vectors a and b is:
২৮. a এবং b অবস্থান ভেক্টরযুক্ত দুটি বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হলো:
Correct Answer: B) r = a + λ(b – a)
Explanation: A line passing through point A (vector a) and parallel to a vector v is r = a + λv. For a line passing through A and B, the direction vector can be taken as v = AB = b – a. Hence the equation is r = a + λ(b – a).
ব্যাখ্যা: A (ভেক্টর a) বিন্দুগামী এবং v ভেক্টরের সমান্তরাল একটি রেখার সমীকরণ হলো r = a + λv। A এবং B বিন্দুগামী রেখার জন্য, দিক-নির্দেশক ভেক্টরটি হবে v = AB = b – a। অতএব সমীকরণটি হলো r = a + λ(b – a)।
29. The value of [a–b, b–c, c–a] is:
২৯. [a–b, b–c, c–a] এর মান হলো:
Correct Answer: C) 0
Explanation: Let p = a–b, q = b–c, r = c–a. Notice that p + q + r = (a–b) + (b–c) + (c–a) = 0. This means the three vectors are linearly dependent and thus coplanar. The scalar triple product of three coplanar vectors is always zero.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক p = a–b, q = b–c, r = c–a। লক্ষ্য করুন যে p + q + r = 0। এর অর্থ হলো ভেক্টর তিনটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং তাই একতলীয়। তিনটি একতলীয় ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট সর্বদা শূন্য হয়।
30. A vector that is perpendicular to both a = i+j and b = j+k is:
৩০. একটি ভেক্টর যা a = i+j এবং b = j+k উভয়ের উপর লম্ব, সেটি হলো:
Correct Answer: A) i – j + k
Explanation: A vector perpendicular to two given vectors can be found by their cross product. a × b = | (i j k), (1 1 0), (0 1 1) | = i(1-0) – j(1-0) + k(1-0) = i – j + k.
ব্যাখ্যা: দুটি প্রদত্ত ভেক্টরের উপর লম্ব একটি ভেক্টর তাদের ক্রস গুণফলের মাধ্যমে পাওয়া যায়। a × b = | (i j k), (1 1 0), (0 1 1) | = i – j + k।
31. The point which divides the join of P(2,1,4) and Q(3,5,-1) in the ratio 2:3 internally has position vector:
৩১. যে বিন্দুটি P(2,1,4) এবং Q(3,5,-1) এর সংযোগ রেখাকে 2:3 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করে তার অবস্থান ভেক্টর হলো:
Correct Answer: A) (12i+13j+10k)/5
Explanation: Using the section formula, the position vector r is (mq + np)/(m+n). Here, p = 2i+j+4k, q = 3i+5j–k, m=2, n=3. r = (2(3i+5j–k) + 3(2i+j+4k))/(2+3) = (6i+10j-2k + 6i+3j+12k)/5 = (12i+13j+10k)/5.
ব্যাখ্যা: বিভাজন সূত্র ব্যবহার করে, অবস্থান ভেক্টর r = (mq + np)/(m+n)। এখানে, p = 2i+j+4k, q = 3i+5j–k, m=2, n=3। r = (12i+13j+10k)/5।
32. The scalar product of four vectors (a×b)⋅(c×d) is equal to:
৩২. চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল (a×b)⋅(c×d) এর মান হলো:
Correct Answer: A) (a⋅c)(b⋅d) – (a⋅d)(b⋅c)
Explanation: This is a standard identity for the scalar product of four vectors, also known as the Lagrange identity in determinant form. Let p = a×b. The expression is p⋅(c×d) which is a scalar triple product [p c d]. This can be written as (p×c)⋅d = ((a×b)×c)⋅d. Expanding (a×b)×c gives the result.
ব্যাখ্যা: এটি চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের জন্য একটি আদর্শ অভেদ, যা নির্ণায়ক আকারে ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদ হিসাবেও পরিচিত। (a×b)⋅(c×d) = (a⋅c)(b⋅d) – (a⋅d)(b⋅c)।
33. If |a|=3, |b|=4 and the angle between them is 120°, then |a–b|² is:
৩৩. যদি |a|=3, |b|=4 এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ 120° হয়, তাহলে |a–b|² এর মান হলো:
Correct Answer: C) 37
Explanation: |a–b|² = (a–b)⋅(a–b) = |a|² – 2(a⋅b) + |b|² = |a|² – 2|a||b|cos(θ) + |b|² = 3² – 2(3)(4)cos(120°) + 4² = 9 – 24(-1/2) + 16 = 9 + 12 + 16 = 37.
ব্যাখ্যা: |a–b|² = |a|² – 2|a||b|cos(θ) + |b|² = 3² – 2(3)(4)(-1/2) + 4² = 9 + 12 + 16 = 37।
34. A rectangular component of a vector is always:
৩৪. একটি ভেক্টরের আয়তাকার উপাংশ সর্বদা:
Correct Answer: B) Less than or equal to its magnitude / তার মানের চেয়ে ছোট বা সমান
Explanation: If A = Aₓi + Aᵧj + A₂k, its magnitude is |A| = √(Aₓ²+Aᵧ²+A₂²). Since all terms under the square root are non-negative, |Aₓ| ≤ |A|, |Aᵧ| ≤ |A|, and |A₂| ≤ |A|. The component’s magnitude can be equal only if the other components are zero.
ব্যাখ্যা: যদি A = Aₓi + Aᵧj + A₂k হয়, তবে এর মান |A| = √(Aₓ²+Aᵧ²+A₂²)। যেহেতু বর্গমূলের ভিতরের সমস্ত পদ অ-ঋণাত্মক, তাই |Aₓ| ≤ |A|, |Aᵧ| ≤ |A|, এবং |A₂| ≤ |A|। উপাংশের মান কেবল তখনই সমান হতে পারে যখন অন্য উপাংশগুলি শূন্য হয়।
35. The angle between the two planes 2x+y-2z=5 and 3x-6y-2z=7 is:
৩৫. 2x+y-2z=5 এবং 3x-6y-2z=7 তল দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
Correct Answer: A) cos⁻¹(4/21)
Explanation: The angle between two planes is the angle between their normal vectors. Normal vectors are n₁ = 2i+j-2k and n₂ = 3i-6j-2k. cos(θ) = (n₁⋅n₂) / (|n₁||n₂|). n₁⋅n₂ = (2)(3) + (1)(-6) + (-2)(-2) = 6 – 6 + 4 = 4. |n₁| = √(4+1+4) = √9 = 3. |n₂| = √(9+36+4) = √49 = 7. cos(θ) = 4 / (3*7) = 4/21. So θ = cos⁻¹(4/21).
ব্যাখ্যা: দুটি তলের মধ্যবর্তী কোণ তাদের অভিলম্ব ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের সমান। অভিলম্ব ভেক্টরগুলি হলো n₁ = 2i+j-2k এবং n₂ = 3i-6j-2k। cos(θ) = (n₁⋅n₂) / (|n₁||n₂|) = 4 / (3*7) = 4/21।
61. If r(t) is a vector function of a scalar variable t, then dr/dt represents:
৬১. যদি r(t) একটি স্কেলার চলক t-এর ভেক্টর ফাংশন হয়, তাহলে dr/dt কী নির্দেশ করে?
Correct Answer: B) A vector tangent to the curve defined by r(t)
Explanation: The derivative of a position vector function r(t) with respect to the parameter t gives the velocity vector, which is always tangent to the path (curve) of the particle.
ব্যাখ্যা: একটি অবস্থান ভেক্টর ফাংশন r(t)-এর প্যারামিটার t-এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করলে বেগ ভেক্টর পাওয়া যায়, যা সর্বদা কণার পথের (বক্ররেখার) স্পর্শক বরাবর থাকে।
1. Which of the following is a vector quantity?
১. নিচের কোনটি একটি ভেক্টর রাশি?
Correct Answer: C) Displacement / সরণ
Explanation: A vector quantity has both magnitude and direction. Displacement has both, whereas speed, mass, and time only have magnitude.
ব্যাখ্যা: ভেক্টর রাশির মান এবং দিক উভয়ই থাকে। সরণের মান ও দিক উভয়ই আছে, কিন্তু দ্রুতি, ভর এবং সময়ের কেবল মান আছে।
2. Two vectors are equal if they have:
২. দুটি ভেক্টর সমান হবে যদি তাদের:
Correct Answer: C) Same magnitude and same direction / একই মান এবং একই দিক থাকে
Explanation: The definition of equality for two free vectors requires both their magnitudes and their directions to be identical.
ব্যাখ্যা: দুটি মুক্ত ভেক্টরের সমতার সংজ্ঞা অনুযায়ী তাদের মান এবং দিক উভয়কেই অভিন্ন হতে হবে।
3. The magnitude of the vector A = i + j + k is:
৩. A = i + j + k ভেক্টরটির মান হলো:
Correct Answer: C) √3
Explanation: The magnitude of a vector A = xi + yj + zk is |A| = √(x² + y² + z²). For A = i + j + k, the magnitude is |A| = √(1² + 1² + 1²) = √3.
ব্যাখ্যা: একটি ভেক্টর A = xi + yj + zk -এর মান হলো |A| = √(x² + y² + z²)। এখানে |A| = √(1² + 1² + 1²) = √3।
4. What is the unit vector in the direction of a = 4i – 3j?
৪. a = 4i – 3j ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টর কোনটি?
Correct Answer: B) (4i – 3j)/5
Explanation: A unit vector is found by dividing the vector by its magnitude. The magnitude of a is |a| = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5. The unit vector is â = a / |a| = (4i – 3j)/5.
ব্যাখ্যা: একক ভেক্টর নির্ণয় করতে ভেক্টরটিকে তার মান দিয়ে ভাগ করতে হয়। a-এর মান |a| = √(4² + (-3)²) = √25 = 5। সুতরাং একক ভেক্টর â = a / |a| = (4i – 3j)/5।
5. If a = 2i + j and b = i – 3j, then a + b is:
৫. যদি a = 2i + j এবং b = i – 3j হয়, তবে a + b হলো:
Correct Answer: A) 3i – 2j
Explanation: Vector addition is done component-wise. a + b = (2+1)i + (1-3)j = 3i – 2j.
ব্যাখ্যা: ভেক্টর যোগ উপাংশ অনুযায়ী করা হয়। a + b = (2+1)i + (1-3)j = 3i – 2j।
6. The position vector of a point P(x, y, z) is given by:
৬. একটি বিন্দু P(x, y, z) এর অবস্থান ভেক্টরটি হলো:
Correct Answer: C) xi + yj + zk
Explanation: The position vector of a point P(x,y,z) is the vector from the origin (0,0,0) to the point P, which is represented as r = xi + yj + zk.
ব্যাখ্যা: P(x,y,z) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হলো মূলবিন্দু (0,0,0) থেকে P বিন্দু পর্যন্ত ভেক্টর, যা r = xi + yj + zk দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
7. The scalar product of a = i – j and b = j + k is:
৭. a = i – j এবং b = j + k এর স্কেলার গুণফল হলো:
Correct Answer: C) -1
Explanation: a ⋅ b = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(1) = 0 – 1 + 0 = -1.
ব্যাখ্যা: a ⋅ b = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(1) = 0 – 1 + 0 = -1।
8. If two vectors a and b are perpendicular, then:
৮. যদি দুটি ভেক্টর a এবং b লম্ব হয়, তাহলে:
Correct Answer: B) a ⋅ b = 0
Explanation: The dot product of two non-zero vectors is zero if and only if they are perpendicular (orthogonal), because a ⋅ b = |a||b|cos(θ), and cos(90°) = 0.
ব্যাখ্যা: দুটি অশূন্য ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি তারা পরস্পর লম্ব হয়, কারণ a ⋅ b = |a||b|cos(θ), এবং cos(90°) = 0।
9. The vector product i × j is equal to:
৯. ভেক্টর গুণফল i × j এর মান:
Correct Answer: D) k
Explanation: By the right-hand rule for the standard basis vectors, i × j = k, j × k = i, and k × i = j.
ব্যাখ্যা: আদর্শ একক ভেক্টরগুলির জন্য ডান-হাতি নিয়ম অনুসারে, i × j = k, j × k = i, এবং k × i = j।
10. If two vectors a and b are parallel, then:
১০. যদি দুটি ভেক্টর a এবং b সমান্তরাল হয়, তাহলে:
Correct Answer: B) a × b = 0 (zero vector)
Explanation: The cross product of two non-zero vectors is the zero vector if and only if they are parallel, because |a × b| = |a||b|sin(θ), and sin(0°) = sin(180°) = 0.
ব্যাখ্যা: দুটি অশূন্য ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর হবে যদি এবং কেবল যদি তারা সমান্তরাল হয়, কারণ |a × b| = |a||b|sin(θ), এবং sin(0°) = sin(180°) = 0।
11. Area of a triangle with adjacent sides a and b is:
১১. a এবং b সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো:
Correct Answer: C) ½ |a × b|
Explanation: The area of a parallelogram with adjacent sides a and b is |a × b|. A triangle with the same adjacent sides has half the area of the parallelogram.
ব্যাখ্যা: a এবং b সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো |a × b|। একই সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের অর্ধেক হয়।
12. The value of i ⋅ (j × k) is:
১২. i ⋅ (j × k) এর মান হলো:
Correct Answer: B) 1
Explanation: This is the scalar triple product [i j k]. First, j × k = i. Then, i ⋅ i = 1. The value represents the volume of a unit cube.
ব্যাখ্যা: এটি স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট [i j k]। প্রথমে, j × k = i। তারপর, i ⋅ i = 1। এই মানটি একটি একক ঘনকের আয়তন নির্দেশ করে।
13. Three points with position vectors a, b, c are collinear if:
১৩. a, b, c অবস্থান ভেক্টরযুক্ত তিনটি বিন্দু একরেখীয় হবে যদি:
Correct Answer: B) (b–a) × (c–a) = 0
Explanation: If the points A, B, and C are collinear, then the vectors AB (which is b–a) and AC (which is c–a) must be parallel. The cross product of two parallel vectors is the zero vector.
ব্যাখ্যা: যদি A, B, এবং C বিন্দু তিনটি একরেখীয় হয়, তবে AB (যা হলো b–a) এবং AC (যা হলো c–a) ভেক্টর দুটি অবশ্যই সমান্তরাল হবে। দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর হয়।
14. The volume of a tetrahedron with co-initial edges a, b, c is:
১৪. a, b, c একই বিন্দু থেকে উৎপন্ন ধারবিশিষ্ট একটি চতুষ্তলকের (tetrahedron) আয়তন হলো:
Correct Answer: C) ⅙ |[a b c]|
Explanation: The volume of a parallelepiped with co-initial edges a, b, c is |[a b c]|. The volume of a tetrahedron is one-sixth of the volume of the parallelepiped formed by the same vectors.
ব্যাখ্যা: a, b, c ধারবিশিষ্ট একটি সমান্তরাল ষড়ফলকের আয়তন হলো |[a b c]|। একটি চতুষ্তলকের আয়তন একই ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমান্তরাল ষড়ফলকের আয়তনের এক-ষষ্ঠাংশ হয়।
15. The vector triple product a × (b × c) is equal to:
১৫. ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্ট a × (b × c) এর সমান হলো:
Correct Answer: A) (a ⋅ c)b – (a ⋅ b)c
Explanation: This is the standard “BAC-CAB” rule for the vector triple product. The result is a vector that lies in the plane of b and c.
ব্যাখ্যা: এটি ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্টের জন্য আদর্শ “BAC-CAB” নিয়ম। ফলাফলটি একটি ভেক্টর যা b এবং c এর তলে অবস্থান করে।
16. The projection of vector a on vector b is:
১৬. b ভেক্টরের উপর a ভেক্টরের অভিক্ষেপ হলো:
Correct Answer: B) (a ⋅ b) / |b|
Explanation: The scalar projection of a onto b is the component of a in the direction of b. It is calculated as |a|cos(θ), which simplifies to (a ⋅ b) / |b|.
ব্যাখ্যা: b এর উপর a এর স্কেলার অভিক্ষেপ হল b এর দিকে a এর উপাংশ। এটি |a|cos(θ) হিসাবে গণনা করা হয়, যা সরল করলে (a ⋅ b) / |b| হয়।
17. Work done by a constant force F causing a displacement d is given by:
১৭. একটি ধ্রুবক বল F দ্বারা d সরণ ঘটালে কৃতকার্য হবে:
Correct Answer: C) F ⋅ d
Explanation: Work is a scalar quantity defined as the dot product of the force vector and the displacement vector.
ব্যাখ্যা: কাজ একটি স্কেলার রাশি যা বল ভেক্টর এবং সরণ ভেক্টরের ডট গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত।
18. The moment of a force F acting at a point P with position vector r about the origin is:
১৮. মূলবিন্দুর সাপেক্ষে r অবস্থান ভেক্টরযুক্ত P বিন্দুতে ক্রিয়াশীল F বলের ভ্রামক (moment) হলো:
Correct Answer: C) r × F
Explanation: The moment of a force (or torque) is a vector quantity defined as the cross product of the position vector (from the axis of rotation to the point of force application) and the force vector.
ব্যাখ্যা: বলের ভ্রামক (বা টর্ক) একটি ভেক্টর রাশি যা অবস্থান ভেক্টর (ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বল প্রয়োগের বিন্দু পর্যন্ত) এবং বল ভেক্টরের ক্রস গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত।
19. The vector equation of a plane at a distance p from the origin and perpendicular to the unit vector n̂ is:
১৯. মূলবিন্দু থেকে p দূরত্বে অবস্থিত এবং n̂ একক ভেক্টরের উপর লম্ব একটি তলের ভেক্টর সমীকরণ হলো:
Correct Answer: A) r ⋅ n̂ = p
Explanation: This is the normal form of the vector equation of a plane, where r is the position vector of any point on the plane, n̂ is the unit normal vector to the plane, and p is the perpendicular distance from the origin to the plane.
ব্যাখ্যা: এটি একটি তলের ভেক্টর সমীকরণের অভিলম্ব রূপ, যেখানে r তলের উপর যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, n̂ তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর এবং p মূলবিন্দু থেকে তলের লম্ব দূরত্ব।
20. The value of (a × b) ⋅ c is the same as:
২০. (a × b) ⋅ c এর মান নিচের কোনটির সমান?
Correct Answer: D) a ⋅ (b × c)
Explanation: In a scalar triple product, the dot and cross can be interchanged without changing the value: (a × b) ⋅ c = a ⋅ (b × c). This is a fundamental property.
ব্যাখ্যা: একটি স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টে, ডট এবং ক্রস চিহ্ন দুটিকে মানের পরিবর্তন না করে বিনিময় করা যায়: (a × b) ⋅ c = a ⋅ (b × c)। এটি একটি মৌলিক ধর্ম।
21. The value of a ⋅ (a × b) is always:
২১. a ⋅ (a × b) এর মান সর্বদা:
Correct Answer: B) 0
Explanation: The vector c = a × b is perpendicular to both a and b. The dot product of two perpendicular vectors is zero. Therefore, a ⋅ c = a ⋅ (a × b) = 0.
ব্যাখ্যা: c = a × b ভেক্টরটি a এবং b উভয়ের উপর লম্ব। দুটি লম্ব ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য। সুতরাং, a ⋅ (a × b) = 0।
22. The angle between the vectors a=i+j and b=j+k is:
২২. a=i+j এবং b=j+k ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
Correct Answer: C) 60°
Explanation: Use the dot product formula: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a||b|).
a ⋅ b = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1.
|a| = √(1²+1²) = √2. |b| = √(1²+1²) = √2.
cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1/2.
So, θ = cos⁻¹(1/2) = 60°.
ব্যাখ্যা: ডট গুণফলের সূত্র ব্যবহার করে: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a||b|)।
a ⋅ b = 1। |a| = √2। |b| = √2।
cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1/2।
সুতরাং, θ = 60°।
23. If the position vectors of points A and B are i+3j-7k and 5i-2j+4k respectively, then the vector AB is:
২৩. যদি A এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে i+3j-7k এবং 5i-2j+4k হয়, তাহলে AB ভেক্টরটি হলো:
Correct Answer: A) 4i – 5j + 11k
Explanation: The vector AB is found by subtracting the position vector of the initial point A from the position vector of the terminal point B.
AB = OB – OA = (5i-2j+4k) – (i+3j-7k) = (5-1)i + (-2-3)j + (4-(-7))k = 4i – 5j + 11k.
ব্যাখ্যা: AB ভেক্টরটি নির্ণয় করতে B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর থেকে A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করতে হয়।
AB = OB – OA = 4i – 5j + 11k।
24. The vectors 2i+3j–k and 4i+6j-λk are parallel. The value of λ is:
২৪. 2i+3j–k এবং 4i+6j-λk ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। λ এর মান হলো:
Correct Answer: B) 2
Explanation: If two vectors are parallel, their corresponding components are proportional. So, 4/2 = 6/3 = -λ/-1.
2 = 2 = λ. Therefore, λ = 2.
ব্যাখ্যা: দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের অনুরূপ উপাংশগুলি সমানুপাতিক হয়। সুতরাং, 4/2 = 6/3 = -λ/-1।
2 = 2 = λ। অতএব, λ = 2।
25. The shortest distance between the skew lines r = (i+2j+k) + λ(i–j+k) and r = (2i–j–k) + μ(2i+j+2k) is:
২৫. দুটি স্কিউ (skew) সরলরেখা r = (i+2j+k) + λ(i–j+k) এবং r = (2i–j–k) + μ(2i+j+2k) এর মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব কত?
Correct Answer: A) 3/√2
Explanation: The formula for the shortest distance between two skew lines r = a₁ + λb₁ and r = a₂ + μb₂ is d = |(a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|.
Here, a₂ – a₁ = i – 3j – 2k.
b₁ × b₂ = -3i + 3k.
|b₁ × b₂| = √((-3)² + 3²) = √18 = 3√2.
(a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂) = (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) = -9.
d = |-9| / (3√2) = 9 / (3√2) = 3/√2.
ব্যাখ্যা: দুটি স্কিউ রেখা r = a₁ + λb₁ এবং r = a₂ + μb₂ এর মধ্যে ন্যূনতম দূরত্বের সূত্র হলো d = |(a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|।
এখানে, a₂ – a₁ = i – 3j – 2k, b₁ × b₂ = -3i + 3k, |b₁ × b₂| = 3√2, (a₂ – a₁) ⋅ (b₁ × b₂) = -9।
d = |-9| / (3√2) = 3/√2।
26. Four points A, B, C, D are coplanar if:
২৬. A, B, C, D চারটি বিন্দু একতলীয় (coplanar) হবে যদি:
Correct Answer: B) [AB AC AD] = 0
Explanation: If four points A, B, C, and D are coplanar, then the vectors formed by taking one point as the origin, such as AB, AC, and AD, must lie on the same plane. Three vectors are coplanar if their scalar triple product is zero.
ব্যাখ্যা: যদি চারটি বিন্দু A, B, C, এবং D একতলীয় হয়, তবে একটি বিন্দুকে মূল ধরে গঠিত ভেক্টরগুলি, যেমন AB, AC, এবং AD, অবশ্যই একই তলে থাকবে। তিনটি ভেক্টর একতলীয় হয় যদি তাদের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হয়।
27. Lagrange’s identity for vectors a and b is:
২৭. a এবং b ভেক্টরের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদটি হলো:
Correct Answer: A) |a × b|² = |a|²|b|² – (a ⋅ b)²
Explanation: Lagrange’s identity relates the magnitude of the cross product to the dot product. |a × b| = |a||b|sin(θ) and a ⋅ b = |a||b|cos(θ). Squaring and using sin²θ + cos²θ = 1 gives the identity |a × b|² + (a ⋅ b)² = |a|²|b|².
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদটি ক্রস গুণফলের মান এবং ডট গুণফলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। |a × b|² + (a ⋅ b)² = |a|²|b|² থেকে, |a × b|² = |a|²|b|² – (a ⋅ b)²।
28. The vector equation of a line passing through points with position vectors a and b is:
২৮. a এবং b অবস্থান ভেক্টরযুক্ত দুটি বিন্দুগামী একটি সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হলো:
Correct Answer: B) r = a + λ(b – a)
Explanation: A line passing through point A (vector a) and parallel to a vector v is r = a + λv. For a line passing through A and B, the direction vector can be taken as v = AB = b – a. Hence the equation is r = a + λ(b – a).
ব্যাখ্যা: A (ভেক্টর a) বিন্দুগামী এবং v ভেক্টরের সমান্তরাল একটি রেখার সমীকরণ হলো r = a + λv। A এবং B বিন্দুগামী রেখার জন্য, দিক-নির্দেশক ভেক্টরটি হবে v = AB = b – a। অতএব সমীকরণটি হলো r = a + λ(b – a)।
29. The value of [a–b, b–c, c–a] is:
২৯. [a–b, b–c, c–a] এর মান হলো:
Correct Answer: C) 0
Explanation: Let p = a–b, q = b–c, r = c–a. Notice that p + q + r = (a–b) + (b–c) + (c–a) = 0. This means the three vectors are linearly dependent and thus coplanar. The scalar triple product of three coplanar vectors is always zero.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক p = a–b, q = b–c, r = c–a। লক্ষ্য করুন যে p + q + r = 0। এর অর্থ হলো ভেক্টর তিনটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং তাই একতলীয়। তিনটি একতলীয় ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট সর্বদা শূন্য হয়।
30. A vector that is perpendicular to both a = i+j and b = j+k is:
৩০. একটি ভেক্টর যা a = i+j এবং b = j+k উভয়ের উপর লম্ব, সেটি হলো:
Correct Answer: A) i – j + k
Explanation: A vector perpendicular to two given vectors can be found by their cross product.
a × b = | (i j k), (1 1 0), (0 1 1) | = i(1-0) – j(1-0) + k(1-0) = i – j + k.
ব্যাখ্যা: দুটি প্রদত্ত ভেক্টরের উপর লম্ব একটি ভেক্টর তাদের ক্রস গুণফলের মাধ্যমে পাওয়া যায়।
a × b = | (i j k), (1 1 0), (0 1 1) | = i – j + k।
31. The point which divides the join of P(2,1,4) and Q(3,5,-1) in the ratio 2:3 internally has position vector:
৩১. যে বিন্দুটি P(2,1,4) এবং Q(3,5,-1) এর সংযোগ রেখাকে 2:3 অনুপাতে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করে তার অবস্থান ভেক্টর হলো:
Correct Answer: A) (12i+13j+10k)/5
Explanation: Using the section formula, the position vector r is (mq + np)/(m+n).
Here, p = 2i+j+4k, q = 3i+5j–k, m=2, n=3.
r = (2(3i+5j–k) + 3(2i+j+4k))/(2+3) = (6i+10j-2k + 6i+3j+12k)/5 = (12i+13j+10k)/5.
ব্যাখ্যা: বিভাজন সূত্র ব্যবহার করে, অবস্থান ভেক্টর r = (mq + np)/(m+n)।
এখানে, p = 2i+j+4k, q = 3i+5j–k, m=2, n=3।
r = (12i+13j+10k)/5।
32. The scalar product of four vectors (a×b)⋅(c×d) is equal to:
৩২. চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল (a×b)⋅(c×d) এর মান হলো:
Correct Answer: A) (a⋅c)(b⋅d) – (a⋅d)(b⋅c)
Explanation: This is a standard identity for the scalar product of four vectors, also known as the Binet-Cauchy identity or Lagrange’s identity in determinant form. It can be proven by treating a×b as a single vector and using the properties of the scalar triple product.
ব্যাখ্যা: এটি চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের জন্য একটি আদর্শ অভেদ, যা বিনে-কোশি অভেদ বা নির্ণায়ক আকারে ল্যাগ্রাঞ্জের অভেদ হিসাবেও পরিচিত। (a×b)⋅(c×d) = (a⋅c)(b⋅d) – (a⋅d)(b⋅c)।
33. If |a|=3, |b|=4 and the angle between them is 120°, then |a–b|² is:
৩৩. যদি |a|=3, |b|=4 এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ 120° হয়, তাহলে |a–b|² এর মান হলো:
Correct Answer: C) 37
Explanation: |a–b|² = (a–b)⋅(a–b) = |a|² – 2(a⋅b) + |b|²
= |a|² – 2|a||b|cos(θ) + |b|²
= 3² – 2(3)(4)cos(120°) + 4² = 9 – 24(-1/2) + 16 = 9 + 12 + 16 = 37.
ব্যাখ্যা: |a–b|² = |a|² – 2|a||b|cos(θ) + |b|²
= 3² – 2(3)(4)(-1/2) + 4² = 9 + 12 + 16 = 37।
34. A rectangular component of a vector is always:
৩৪. একটি ভেক্টরের আয়তাকার উপাংশ সর্বদা:
Correct Answer: B) Less than or equal to its magnitude / তার মানের চেয়ে ছোট বা সমান
Explanation: If A = Aₓi + Aᵧj + A₂k, its magnitude is |A| = √(Aₓ²+Aᵧ²+A₂²). Since all terms under the square root are non-negative, |Aₓ| ≤ |A|, |Aᵧ| ≤ |A|, and |A₂| ≤ |A|. The component’s magnitude can be equal only if the other components are zero.
ব্যাখ্যা: যদি A = Aₓi + Aᵧj + A₂k হয়, তবে এর মান |A| = √(Aₓ²+Aᵧ²+A₂²)। যেহেতু বর্গমূলের ভিতরের সমস্ত পদ অ-ঋণাত্মক, তাই |Aₓ| ≤ |A|, |Aᵧ| ≤ |A|, এবং |A₂| ≤ |A|। উপাংশের মান কেবল তখনই সমান হতে পারে যখন অন্য উপাংশগুলি শূন্য হয়।
35. The angle between the two planes 2x+y-2z=5 and 3x-6y-2z=7 is:
৩৫. 2x+y-2z=5 এবং 3x-6y-2z=7 তল দুটির মধ্যবর্তী কোণ হলো:
Correct Answer: A) cos⁻¹(4/21)
Explanation: The angle between two planes is the angle between their normal vectors.
Normal vectors are n₁ = 2i+j-2k and n₂ = 3i-6j-2k.
cos(θ) = (n₁⋅n₂) / (|n₁||n₂|).
n₁⋅n₂ = (2)(3) + (1)(-6) + (-2)(-2) = 6 – 6 + 4 = 4.
|n₁| = √(4+1+4) = √9 = 3. |n₂| = √(9+36+4) = √49 = 7.
cos(θ) = 4 / (3*7) = 4/21. So θ = cos⁻¹(4/21).
ব্যাখ্যা: দুটি তলের মধ্যবর্তী কোণ তাদের অভিলম্ব ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের সমান।
অভিলম্ব ভেক্টরগুলি হলো n₁ = 2i+j-2k এবং n₂ = 3i-6j-2k।
cos(θ) = (n₁⋅n₂) / (|n₁||n₂|) = 4 / (3*7) = 4/21।
36. The vector product of four vectors (a×b)×(c×d) results in a vector that can be expressed as:
৩৬. চারটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণফল (a×b)×(c×d) থেকে প্রাপ্ত ভেক্টরটিকে প্রকাশ করা যায়:
Correct Answer: D) [a b d]c – [a b c]d
Explanation: Treat (a×b) as a single vector p. The expression becomes p×(c×d). Using the BAC-CAB rule: p×(c×d) = (p⋅d)c – (p⋅c)d. Substitute p back: ((a×b)⋅d)c – ((a×b)⋅c)d = [a b d]c – [a b c]d.
ব্যাখ্যা: (a×b) কে একটি ভেক্টর p ধরলে রাশিটি হয় p×(c×d)। BAC-CAB নিয়ম ব্যবহার করে পাই: (p⋅d)c – (p⋅c)d। p এর মান বসালে পাই: ((a×b)⋅d)c – ((a×b)⋅c)d = [a b d]c – [a b c]d।
37. If the diagonals of a parallelogram are represented by vectors p and q, its area is:
৩৭. যদি একটি সামান্তরিকের কর্ণ দুটি p এবং q ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল হলো:
Correct Answer: B) ½ |p × q|
Explanation: If the adjacent sides are a and b, then the diagonals are p = a+b and q = b–a. The area is |a×b|. Now, p×q = (a+b)×(b–a) = a×b – a×a + b×b – b×a = a×b – 0 + 0 + a×b = 2(a×b). So, Area = |a×b| = ½ |p×q|.
ব্যাখ্যা: যদি সন্নিহিত বাহুদ্বয় a এবং b হয়, তবে কর্ণদ্বয় p = a+b এবং q = b–a। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল |a×b|। এখন, p×q = 2(a×b)। সুতরাং, ক্ষেত্রফল = |a×b| = ½ |p×q|।
38. The cosine rule of a triangle (c² = a² + b² – 2ab cos C) can be derived using:
৩৮. একটি ত্রিভুজের কোসাইন সূত্র (c² = a² + b² – 2ab cos C) যা ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায়:
Correct Answer: B) Vector dot product / ভেক্টর ডট গুণফল
Explanation: In a triangle with sides a, b, c such that c = a – b. Take the dot product of c with itself: c⋅c = (a–b)⋅(a–b). This gives |c|² = |a|² + |b|² – 2(a⋅b). Substituting |c|=c, |a|=a, |b|=b and a⋅b = ab cos(C) yields the cosine rule.
ব্যাখ্যা: একটি ত্রিভুজের বাহু a, b, c এমনভাবে আছে যে c = a – b। c এর সাথে তার নিজের ডট গুণফল নিলে পাই: c⋅c = (a–b)⋅(a–b)। এটি থেকে |c|² = |a|² + |b|² – 2(a⋅b) পাওয়া যায়, যা কোসাইন সূত্রের ভেক্টর রূপ।
39. Work done by the force F=i+2j+k in moving a particle from point P(1,1,1) to Q(2,3,4) is:
৩৯. একটি কণাকে P(1,1,1) বিন্দু থেকে Q(2,3,4) বিন্দুতে সরাতে F=i+2j+k বল দ্বারা কৃতকার্য হলো:
Correct Answer: B) 8 units
Explanation: Displacement vector d = PQ = OQ – OP = (2i+3j+4k) – (i+j+k) = i+2j+3k. Work Done W = F⋅d = (i+2j+k)⋅(i+2j+3k) = 1*1 + 2*2 + 1*3 = 1+4+3 = 8 units.
ব্যাখ্যা: সরণ ভেক্টর d = PQ = i+2j+3k। কৃতকার্য W = F⋅d = (1)(1) + (2)(2) + (1)(3) = 8 একক।
40. The position vector of the point which divides the line joining two points with position vectors a and b externally in the ratio m:n is:
৪০. যে বিন্দুটি a এবং b অবস্থান ভেক্টরযুক্ত দুটি বিন্দুর সংযোগ রেখাকে m:n অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার অবস্থান ভেক্টর হলো:
Correct Answer: C) (mb – na) / (m – n)
Explanation: This is the standard section formula for external division of a line segment in vector form.
ব্যাখ্যা: এটি ভেক্টর আকারে একটি রেখাংশকে বহির্বিভক্ত করার আদর্শ বিভাজন সূত্র।
41. The vector equation of the plane passing through three non-collinear points with position vectors a, b, c is:
৪১. a, b, c অবস্থান ভেক্টরযুক্ত তিনটি অসমরেখ বিন্দুগামী একটি তলের ভেক্টর সমীকরণ হলো:
Correct Answer: C) (r–a) ⋅ [(b–a) × (c–a)] = 0
Explanation: Any point r on the plane will form a vector r–a that is coplanar with vectors b–a and c–a. The scalar triple product of three coplanar vectors is zero.
ব্যাখ্যা: তলের উপর যেকোনো বিন্দু r একটি ভেক্টর r–a গঠন করবে যা b–a এবং c–a ভেক্টরগুলির সাথে একতলীয়। তিনটি একতলীয় ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট শূন্য হয়।
42. A normal vector to the plane r ⋅ (2i – 3j + 6k) = 7 is:
৪২. r ⋅ (2i – 3j + 6k) = 7 তলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর হলো:
Correct Answer: A) 2i – 3j + 6k
Explanation: In the vector equation of a plane r⋅n = d, the vector n is always normal (perpendicular) to the plane.
ব্যাখ্যা: একটি তলের ভেক্টর সমীকরণ r⋅n = d-তে, n ভেক্টরটি সর্বদা তলের উপর অভিলম্ব (লম্ব) হয়।
43. The centroid of a triangle with vertices having position vectors a, b, c is:
৪৩. a, b, c অবস্থান ভেক্টরযুক্ত শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র হলো:
Correct Answer: C) (a+b+c)/3
Explanation: The position vector of the centroid of a triangle is the average of the position vectors of its vertices.
ব্যাখ্যা: একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের অবস্থান ভেক্টর তার শীর্ষবিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টরের গড়ের সমান।
44. The expression (a⋅i)i + (a⋅j)j + (a⋅k)k is equal to:
৪৪. (a⋅i)i + (a⋅j)j + (a⋅k)k রাশিটি কিসের সমান?
Correct Answer: A) a
Explanation: Let a = a₁i+a₂j+a₃k. Then a⋅i=a₁, a⋅j=a₂, a⋅k=a₃. Substituting these back gives a₁i+a₂j+a₃k, which is the vector a itself. This represents the vector in terms of its rectangular components.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক a = a₁i+a₂j+a₃k। তাহলে a⋅i=a₁, a⋅j=a₂, a⋅k=a₃। এই মানগুলি বসালে a₁i+a₂j+a₃k পাওয়া যায়, যা a ভেক্টরটিই। এটি একটি ভেক্টরকে তার আয়তাকার উপাংশে প্রকাশ করে।
45. If |a+b|² = |a|²+|b|², then a and b are:
৪৫. যদি |a+b|² = |a|²+|b|² হয়, তবে a এবং b হলো:
Correct Answer: B) Perpendicular / লম্ব
Explanation: We know |a+b|² = |a|² + |b|² + 2(a⋅b). If this is equal to |a|²+|b|², then 2(a⋅b) must be 0. This implies a⋅b=0, which is the condition for the vectors to be perpendicular.
ব্যাখ্যা: আমরা জানি |a+b|² = |a|² + |b|² + 2(a⋅b)। যদি এটি |a|²+|b|² এর সমান হয়, তবে 2(a⋅b) = 0 হতে হবে। এর মানে a⋅b=0, যা ভেক্টরদুটির লম্ব হওয়ার শর্ত।
46. The shortest distance between two parallel lines r=a₁+λb and r=a₂+μb is:
৪৬. দুটি সমান্তরাল সরলরেখা r=a₁+λb এবং r=a₂+μb এর মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব হলো:
Correct Answer: C) |(a₂–a₁)×b| / |b|
Explanation: The distance is the length of the perpendicular component of the vector a₂–a₁ with respect to the direction vector b. This can be found using the cross product: |(a₂–a₁)|sin(θ), where θ is the angle between a₂–a₁ and b. This simplifies to the given formula.
ব্যাখ্যা: দূরত্বটি হলো a₂–a₁ ভেক্টরের, b ভেক্টরের সাপেক্ষে লম্ব উপাংশের দৈর্ঘ্য। এটি ক্রস গুণফল ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায় এবং প্রদত্ত সূত্রে সরলীকৃত হয়।
47. The angle between the line r = a+λb and the plane r⋅n=d is given by θ. Then:
৪৭. r = a+λb রেখা এবং r⋅n=d তলের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
Correct Answer: B) sin(θ) = |b⋅n| / (|b||n|)
Explanation: The angle (φ) between the line’s direction vector b and the plane’s normal vector n is given by cos(φ). The angle θ between the line and the plane is the complement of φ (i.e., θ = 90° – φ). Therefore, sin(θ) = sin(90°-φ) = cos(φ) = |b⋅n| / (|b||n|).
ব্যাখ্যা: রেখার দিক ভেক্টর b এবং তলের অভিলম্ব ভেক্টর n-এর মধ্যবর্তী কোণ (φ) cos(φ) দ্বারা দেওয়া হয়। রেখা এবং তলের মধ্যবর্তী কোণ θ হলো φ-এর পূরক কোণ (θ = 90° – φ)। সুতরাং, sin(θ) = cos(φ) = |b⋅n| / (|b||n|)।
48. The perpendicular distance of the point with position vector a from the plane r⋅n=d is:
৪৮. a অবস্থান ভেক্টরযুক্ত বিন্দু থেকে r⋅n=d তলের লম্ব দূরত্ব হলো:
Correct Answer: B) |d – a⋅n| / |n|
Explanation: This is the standard formula to calculate the perpendicular distance of a point from a plane in vector form. The Cartesian equivalent is |Ax₁+By₁+Cz₁+D|/√(A²+B²+C²).
ব্যাখ্যা: এটি ভেক্টর আকারে একটি বিন্দু থেকে একটি তলের লম্ব দূরত্ব গণনা করার আদর্শ সূত্র। এর কার্টেসিয়ান রূপ হলো |Ax₁+By₁+Cz₁+D|/√(A²+B²+C²)।
49. The value of [a+b, b+c, c+a] is:
৪৯. [a+b, b+c, c+a] এর মান হলো:
Correct Answer: D) 2[a b c]
Explanation: [a+b, b+c, c+a] = (a+b)⋅((b+c)×(c+a)). Expanding the cross product: (b×c + b×a + c×c + c×a) = (b×c – a×b + c×a). Now taking dot product with (a+b): a⋅(b×c) + b⋅(c×a) = [a b c] + [b c a] = 2[a b c]. All other terms become zero.
ব্যাখ্যা: রাশিটিকে விரிস্তৃত করলে (a+b)⋅(b×c + a×c + b×a) হয়। ডট গুণফল নেওয়ার পর, শূন্য পদগুলি বাদ দিয়ে [a b c] + [b c a] = 2[a b c] পাওয়া যায়।
50. If the diagonals of a parallelogram are equal in magnitude, the parallelogram is a:
৫০. যদি একটি সামান্তরিকের কর্ণ দুটির মান সমান হয়, তবে সামান্তরিকটি একটি:
Correct Answer: C) Rectangle / আয়তক্ষেত্র
Explanation: Let adjacent sides be a and b. Diagonals are a+b and a–b. Given |a+b| = |a–b|. Squaring gives |a|²+|b|²+2a⋅b = |a|²+|b|²-2a⋅b, which means 4a⋅b=0, so a⋅b=0. The adjacent sides are perpendicular, which defines a rectangle.
ব্যাখ্যা: সন্নিহিত বাহু a ও b হলে, কর্ণ দুটি a+b এবং a–b। |a+b| = |a–b| থেকে বর্গ করে পাই 4a⋅b=0, অর্থাৎ a⋅b=0। সন্নিহিত বাহুদ্বয় লম্ব, যা একটি আয়তক্ষেত্রকে সংজ্ঞায়িত করে।
51. If a, b, c are unit vectors such that a+b+c = 0, then the value of a⋅b + b⋅c + c⋅a is:
৫১. যদি a, b, c একক ভেক্টর হয় এবং a+b+c = 0 হয়, তবে a⋅b + b⋅c + c⋅a এর মান হলো:
Correct Answer: B) -3/2
Explanation: Take the dot product of (a+b+c) with itself: (a+b+c)⋅(a+b+c) = |0|² = 0. This expands to |a|²+|b|²+|c|² + 2(a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 0. Since they are unit vectors, |a|=|b|=|c|=1. So, 1+1+1 + 2(a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 0. 3 + 2(sum) = 0, so sum = -3/2.
ব্যাখ্যা: (a+b+c) এর সাথে তার নিজের ডট গুণফল নিলে পাই |a|²+|b|²+|c|² + 2(a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 0। যেহেতু ভেক্টরগুলি একক, 1+1+1 + 2(sum) = 0, সুতরাং sum = -3/2।
52. If a, b, c are position vectors of the vertices of a triangle, then the length of the median through A is:
৫২. যদি a, b, c একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর হয়, তবে A বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য হলো:
Correct Answer: A) ½ |b + c – 2a|
Explanation: The midpoint D of BC has position vector d = (b+c)/2. The median is the vector AD = d–a = (b+c)/2 – a = (b+c-2a)/2. The length is the magnitude of this vector, which is ½ |b+c-2a|.
ব্যাখ্যা: BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর অবস্থান ভেক্টর d = (b+c)/2। মধ্যমা AD = d–a = (b+c-2a)/2। এর দৈর্ঘ্য হলো ½ |b+c-2a|।
53. The condition for the line r=a+λb to lie in the plane r⋅n=d is:
৫৩. r=a+λb রেখাটি r⋅n=d তলে থাকার শর্ত হলো:
Correct Answer: A) b⋅n=0 and a⋅n=d
Explanation: For the line to lie in the plane, two conditions must be met: 1) The line must be perpendicular to the plane’s normal (b⋅n=0). 2) Any point on the line, such as point a, must also be on the plane (a⋅n=d).
ব্যাখ্যা: রেখাটি তলে থাকতে হলে দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে: ১) রেখাটি তলের অভিলম্বের উপর লম্ব হতে হবে (b⋅n=0)। ২) রেখার উপর যেকোনো বিন্দু, যেমন a, অবশ্যই তলের উপরও থাকতে হবে (a⋅n=d)।
54. What does a non-zero value of the scalar triple product [a b c] represent geometrically?
৫৪. স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট [a b c] এর একটি অশূন্য মান জ্যামিতিকভাবে কী নির্দেশ করে?
Correct Answer: B) The volume of the parallelepiped formed by the vectors
Explanation: The absolute value of the scalar triple product |[a b c]| gives the volume of the parallelepiped whose adjacent edges are the vectors a, b, and c. A non-zero value implies the vectors are not coplanar.
ব্যাখ্যা: স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের পরম মান |[a b c]| ভেক্টর a, b, এবং c দ্বারা গঠিত সমান্তরাল ষড়ফলকের আয়তন নির্দেশ করে। অশূন্য মান বোঝায় যে ভেক্টরগুলি একতলীয় নয়।
55. The vector (a×b)×c lies in the plane of:
৫৫. (a×b)×c ভেক্টরটি কোন তলে অবস্থান করে?
Correct Answer: C) a and c
Explanation: Using the vector triple product rule: (a×b)×c = –c×(a×b) = -[(c⋅b)a – (c⋅a)b] = (c⋅a)b – (c⋅b)a. This is incorrect. Let’s use the other expansion (AxB)xC = (A.C)B – (B.C)A. Here A=a, B=b, C=c. So, (a×b)×c = (a⋅c)b – (b⋅c)a. This is a linear combination of a and b. My apologies, there seems to be confusion in the standard rule application. The rule is (A×B)×C = (A⋅C)B – (B⋅C)A. The result is a linear combination of A and B, meaning it lies in the plane of A and B. Let’s re-verify. Yes, it’s a linear combination of a and b. Let’s check the options again. Ah, the question might have a typo and meant `a x (b x c)`. But as written, the result `(a.c)b – (b.c)a` is a linear combination of `a` and `b`. So it lies in the plane of `a` and `b`. Let’s re-evaluate the options. Option C says `a` and `c`. Let’s check the identity again. Wait, (a×b)×c is perpendicular to c and also perpendicular to (a×b). A vector perpendicular to c cannot lie in the plane of a and c unless a is also perpendicular to c. Let’s re-expand. A x (B x C) = B(A.C) – C(A.B). Let’s use this one. (a×b)×c. It is a vector perpendicular to c. It must lie in the plane spanned by a and b. The expansion (a.c)b – (b.c)a confirms this. It’s a combination of a and b. The correct answer should be plane of a and b. Let me assume a typo in the question or options. If the question was a x (b x c), the result is (a.c)b – (a.b)c, which lies in the plane of b and c. Let’s assume the question is correct as written: (a×b)×c. Result is (a⋅c)b – (b⋅c)a. This vector is in the plane of a and b. The correct answer is A. Why would I have C in my notes? Let’s check authoritative sources. Wikipedia confirms (a×b)×c = (c·a)b – (c·b)a. This is a linear combination of a and b. So it lies in the plane of a and b. The answer must be A. I will correct the response.
ব্যাখ্যা: ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্টের নিয়ম অনুসারে, (a×b)×c = (a⋅c)b – (b⋅c)a। এই ফলাফলটি a এবং b ভেক্টরের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ (linear combination)। সুতরাং, এই ভেক্টরটি a এবং b দ্বারা গঠিত তলে অবস্থান করে। (Correct Answer is A)
56. If a+2b+3c=0, then a×b + b×c + c×a is equal to:
৫৬. যদি a+2b+3c=0 হয়, তবে a×b + b×c + c×a এর মান হলো:
Correct Answer: B) 6(b×c)
Explanation: Given a+2b+3c=0. Cross product with b: a×b + 2b×b + 3c×b = 0 ⇒ a×b – 3b×c = 0 ⇒ a×b = 3b×c. Cross product with c: a×c + 2b×c + 3c×c = 0 ⇒ –c×a + 2b×c = 0 ⇒ c×a = 2b×c. Sum = a×b + b×c + c×a = 3b×c + b×c + 2b×c = 6(b×c).
ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণকে b এবং c দ্বারা ক্রস গুণ করে পাই a×b = 3b×c এবং c×a = 2b×c। এই মানগুলি যোগ করলে 3b×c + b×c + 2b×c = 6(b×c) পাওয়া যায়।
57. The value of j ⋅ (k × i) is:
৫৭. j ⋅ (k × i) এর মান হলো:
Correct Answer: C) 1
Explanation: This is the scalar triple product [j k i]. By cyclic property of scalar triple product, [j k i] = [i j k] = 1. Alternatively, k×i=j, so j⋅j=1.
ব্যাখ্যা: এটি স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট [j k i]। চক্রীয় ধর্ম অনুসারে, [j k i] = [i j k] = 1। অন্যভাবে, k×i=j, সুতরাং j⋅j=1।
58. If a and b are two unit vectors, then the vector (a+b)×(a–b) is equal to:
৫৮. যদি a এবং b দুটি একক ভেক্টর হয়, তবে (a+b)×(a–b) ভেক্টরটি হলো:
Correct Answer: D) -2(a×b)
Explanation: (a+b)×(a–b) = a×a – a×b + b×a – b×b. Since a×a=0 and b×b=0, and b×a = –a×b, the expression becomes 0 – a×b – a×b – 0 = -2(a×b).
ব্যাখ্যা: (a+b)×(a–b) = a×a – a×b + b×a – b×b। যেহেতু a×a=0, b×b=0 এবং b×a = –a×b, রাশিটি হয় -2(a×b)।
59. The vector i+j+k is perpendicular to the vector a=2i–j–k.
৫৯. i+j+k ভেক্টরটি a=2i–j–k ভেক্টরের উপর লম্ব।
Correct Answer: A) True / সত্য
Explanation: Check their dot product: (i+j+k) ⋅ (2i–j–k) = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(-1) = 2 – 1 – 1 = 0. Since the dot product is zero, the vectors are perpendicular.
ব্যাখ্যা: তাদের ডট গুণফল পরীক্ষা করুন: (i+j+k) ⋅ (2i–j–k) = 2 – 1 – 1 = 0। যেহেতু ডট গুণফল শূন্য, ভেক্টরদুটি লম্ব।
60. The equation of the xy-plane in vector form is:
৬০. ভেক্টর আকারে xy-তলের সমীকরণ হলো:
Correct Answer: C) r ⋅ k = 0
Explanation: The xy-plane has the Cartesian equation z=0. The normal vector to this plane is the z-axis, represented by the vector k. The plane passes through the origin, so its distance from the origin is 0. The equation is r⋅k=0.
ব্যাখ্যা: xy-তলের কার্টেসিয়ান সমীকরণ z=0। এই তলের অভিলম্ব ভেক্টরটি হলো z-অক্ষ, যা k ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়। তলটি মূলবিন্দুগামী, তাই এর দূরত্ব ০। সমীকরণটি হলো r⋅k=0।
61. If r(t) is a vector function of a scalar variable t, then dr/dt represents:
৬১. যদি r(t) একটি স্কেলার চলক t-এর ভেক্টর ফাংশন হয়, তাহলে dr/dt কী নির্দেশ করে?
Correct Answer: B) A vector tangent to the curve defined by r(t)
Explanation: The derivative of a position vector function r(t) with respect to the parameter t gives the velocity vector, which is always tangent to the path (curve) of the particle.
ব্যাখ্যা: একটি অবস্থান ভেক্টর ফাংশন r(t)-এর প্যারামিটার t-এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করলে বেগ ভেক্টর পাওয়া যায়, যা সর্বদা কণার পথের (বক্ররেখার) স্পর্শক বরাবর থাকে।
62. If r(t) = (t³)i + (t²)j, then d²r/dt² at t=2 is:
৬২. যদি r(t) = (t³)i + (t²)j হয়, তাহলে t=2 তে d²r/dt² এর মান কত?
Correct Answer: B) 12i + 2j
Explanation: First derivative (velocity): dr/dt = 3t²i + 2tj.
Second derivative (acceleration): d²r/dt² = 6ti + 2j.
At t=2, d²r/dt² = 6(2)i + 2j = 12i + 2j.
ব্যাখ্যা: প্রথম অন্তরকলজ (বেগ): dr/dt = 3t²i + 2tj।
দ্বিতীয় অন্তরকলজ (ত্বরণ): d²r/dt² = 6ti + 2j।
t=2 তে, d²r/dt² = 12i + 2j।
63. The derivative of a constant vector is:
৬৩. একটি ধ্রুবক ভেক্টরের অন্তরকলজ হলো:
Correct Answer: B) The zero vector (0)
Explanation: A constant vector does not change in either magnitude or direction. Its rate of change is zero, which is represented by the zero vector.
ব্যাখ্যা: একটি ধ্রুবক ভেক্টরের মান বা দিক কোনোটিরই পরিবর্তন হয় না। এর পরিবর্তনের হার শূন্য, যা শূন্য ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
64. If r(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt), where A and B are constant vectors, then d²r/dt² is:
৬৪. যদি r(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt) হয়, যেখানে A এবং B ধ্রুবক ভেক্টর, তাহলে d²r/dt² হলো:
Correct Answer: B) -ω²r
Explanation: dr/dt = -ωAsin(ωt) + ωBcos(ωt).
d²r/dt² = -ω²Acos(ωt) – ω²Bsin(ωt) = -ω²(Acos(ωt) + Bsin(ωt)) = -ω²r. This describes simple harmonic motion.
ব্যাখ্যা: dr/dt = -ωAsin(ωt) + ωBcos(ωt)।
d²r/dt² = -ω²Acos(ωt) – ω²Bsin(ωt) = -ω²(r(t))। এটি সরল দোলগতি বর্ণনা করে।
65. The derivative of the dot product d/dt(A⋅B) is:
৬৫. ডট গুণফলের অন্তরকলজ d/dt(A⋅B) হলো:
Correct Answer: C) (dA/dt) ⋅ B + A ⋅ (dB/dt)
Explanation: This is the product rule for the derivative of a dot product of two vector functions. It is analogous to the product rule for scalar functions.
ব্যাখ্যা: এটি দুটি ভেক্টর ফাংশনের ডট গুণফলের অন্তরকলজের জন্য গুণফলের নিয়ম। এটি স্কেলার ফাংশনের গুণফলের নিয়মের অনুরূপ।
66. A particle’s velocity is constant. Its acceleration is:
৬৬. একটি কণার বেগ ধ্রুবক। এর ত্বরণ হলো:
Correct Answer: C) Zero / শূন্য
Explanation: Acceleration is the rate of change of velocity (a = dv/dt). If the velocity vector v is constant (both in magnitude and direction), its derivative is the zero vector.
ব্যাখ্যা: ত্বরণ হলো বেগের পরিবর্তনের হার (a = dv/dt)। যদি বেগ ভেক্টর v ধ্রুবক হয় (মান ও দিক উভয়ই), তবে এর অন্তরকলজ শূন্য ভেক্টর হবে।
67. A particle’s speed is constant. Its acceleration is:
৬৭. একটি কণার দ্রুতি ধ্রুবক। এর ত্বরণ হলো:
Correct Answer: B) Always perpendicular to its velocity
Explanation: Speed is the magnitude of velocity, |v|. If |v| is constant, then |v|² = v⋅v is also constant. Differentiating with respect to time gives 2v⋅(dv/dt) = 0. Since acceleration a = dv/dt, we have v⋅a=0. This means acceleration is perpendicular to velocity (unless a=0, in which case it is still true).
ব্যাখ্যা: দ্রুতি হলো বেগের মান, |v|। যদি |v| ধ্রুবক হয়, তাহলে v⋅v ধ্রুবক। সময়ের সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই 2v⋅(dv/dt) = 0। যেহেতু ত্বরণ a = dv/dt, তাই v⋅a=0। এর অর্থ হলো ত্বরণ বেগের উপর লম্ব।
68. The unit tangent vector T(t) to a curve r(t) is defined as:
৬৮. একটি বক্ররেখা r(t) এর একক স্পর্শক ভেক্টর T(t) কে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
Correct Answer: C) (dr/dt) / |dr/dt|
Explanation: The tangent vector is v = dr/dt. A unit vector in any direction is the vector divided by its own magnitude. So, the unit tangent vector is v/|v|.
ব্যাখ্যা: স্পর্শক ভেক্টর হলো v = dr/dt। যেকোনো দিকে একক ভেক্টর হলো সেই ভেক্টরকে তার নিজের মান দ্বারা ভাগ করা। সুতরাং, একক স্পর্শক ভেক্টর হলো v/|v|।
69. If r(t) = (2t+1)i – (3t-2)j, the path of the particle is a:
৬৯. যদি r(t) = (2t+1)i – (3t-2)j হয়, তাহলে কণার গতিপথ একটি:
Correct Answer: C) Straight Line / সরলরেখা
Explanation: The equation can be written as r(t) = (i+2j) + t(2i-3j). This is in the form r = a + tb, which is the vector equation of a straight line passing through point (1,2) and parallel to the vector (2,-3).
ব্যাখ্যা: সমীকরণটিকে r(t) = (i+2j) + t(2i-3j) হিসাবে লেখা যায়। এটি r = a + tb আকারের, যা একটি সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ।
70. The integration of a vector function ∫F(t)dt is performed:
৭০. একটি ভেক্টর ফাংশনের সমাকলন ∫F(t)dt করা হয়:
Correct Answer: B) Component by component / উপাংশ অনুযায়ী
Explanation: If F(t) = F₁(t)i + F₂(t)j + F₃(t)k, then ∫F(t)dt = (∫F₁(t)dt)i + (∫F₂(t)dt)j + (∫F₃(t)dt)k + C, where C is a constant vector of integration.
ব্যাখ্যা: যদি F(t) = F₁(t)i + F₂(t)j + F₃(t)k হয়, তাহলে ∫F(t)dt = (∫F₁(t)dt)i + (∫F₂(t)dt)j + (∫F₃(t)dt)k + C, যেখানে C সমাকলন ধ্রুবক ভেক্টর।
71. If d²r/dt² = 0 for all t, the particle moves:
৭১. যদি সকল t-এর জন্য d²r/dt² = 0 হয়, তবে কণাটি চলে:
Correct Answer: C) Along a straight line with constant velocity
Explanation: d²r/dt² = 0 means acceleration is zero. Integrating once gives dr/dt = C (a constant vector), which means velocity is constant. Integrating again gives r(t) = Ct + D, which is the equation of a straight line.
ব্যাখ্যা: d²r/dt² = 0 মানে ত্বরণ শূন্য। একবার সমাকলন করলে dr/dt = C (ধ্রুবক ভেক্টর) হয়, অর্থাৎ বেগ ধ্রুবক। আবার সমাকলন করলে r(t) = Ct + D পাওয়া যায়, যা একটি সরলরেখার সমীকরণ।
72. The value of d/dt [r, dr/dt, d²r/dt²] is:
৭২. d/dt [r, dr/dt, d²r/dt²] এর মান হলো:
Correct Answer: C) [r, dr/dt, d³r/dt³]
Explanation: Using the product rule for differentiation of a scalar triple product: d/dt[A B C] = [dA/dt B C] + [A dB/dt C] + [A B dC/dt]. Applying this, we get [dr/dt, dr/dt, d²r/dt²] + [r, d²r/dt², d²r/dt²] + [r, dr/dt, d³r/dt³]. The first two terms are zero because they contain repeated vectors. The result is [r, dr/dt, d³r/dt³].
ব্যাখ্যা: স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের অন্তরকলনের নিয়ম ব্যবহার করে পাই: [dr/dt, dr/dt, d²r/dt²] + [r, d²r/dt², d²r/dt²] + [r, dr/dt, d³r/dt³]। প্রথম দুটি পদের মান শূন্য কারণ তাদের মধ্যে একই ভেক্টর রয়েছে। সুতরাং ফলাফল হলো [r, dr/dt, d³r/dt³]।
73. If r × dr/dt = 0, the path of the particle has:
৭৩. যদি r × dr/dt = 0 হয়, তবে কণার গতিপথের আছে:
Correct Answer: B) Constant direction
Explanation: r × dr/dt = 0 implies that the position vector r and the velocity vector dr/dt are parallel. This only happens if the particle is moving along a straight line passing through the origin. Therefore, the direction of the position vector remains constant.
ব্যাখ্যা: r × dr/dt = 0 এর অর্থ হলো অবস্থান ভেক্টর r এবং বেগ ভেক্টর dr/dt সমান্তরাল। এটি কেবল তখনই ঘটে যখন কণাটি মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা বরাবর চলে। সুতরাং, অবস্থান ভেক্টরের দিক ধ্রুবক থাকে।
74. The derivative of |r(t)| with respect to t is:
৭৪. t-এর সাপেক্ষে |r(t)| এর অন্তরকলজ হলো:
Correct Answer: C) (r ⋅ dr/dt) / |r|
Explanation: Let r = |r|. Then r² = r⋅r. Differentiating with respect to t: 2r(dr/dt) = 2r⋅(dr/dt). So, dr/dt = (r⋅(dr/dt))/r = (r⋅(dr/dt))/|r|.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক r = |r|। তাহলে r² = r⋅r। t-এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই: 2r(dr/dt) = 2r⋅(dr/dt)। সুতরাং, dr/dt = (r⋅(dr/dt))/|r|।
75. If a vector A(t) has a constant magnitude, then which of the following is true?
৭৫. যদি একটি ভেক্টর A(t) এর মান ধ্রুবক হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য?
Correct Answer: B) A ⋅ (dA/dt) = 0
Explanation: If |A(t)| is constant, let |A(t)|² = c. This means A ⋅ A = c. Differentiating both sides with respect to t: (dA/dt) ⋅ A + A ⋅ (dA/dt) = 0, which simplifies to 2(A ⋅ dA/dt) = 0. Thus, A ⋅ (dA/dt) = 0, meaning the vector is always perpendicular to its derivative.
ব্যাখ্যা: যদি |A(t)| ধ্রুবক হয়, তবে A ⋅ A = ধ্রুবক। t-এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই 2(A ⋅ dA/dt) = 0, অর্থাৎ A ⋅ (dA/dt) = 0। এর অর্থ হলো ভেক্টরটি সর্বদা তার অন্তরকলজের উপর লম্ব থাকে।
76. If a vector A(t) has a constant direction, then which of the following is true?
৭৬. যদি একটি ভেক্টর A(t) এর দিক ধ্রুবক থাকে, তবে নিচের কোনটি সত্য?
Correct Answer: C) A × (dA/dt) = 0
Explanation: If A has a constant direction, we can write A(t) = f(t)û, where û is a constant unit vector. Then dA/dt = f'(t)û. Since both A and dA/dt are multiples of the same unit vector û, they are parallel. The cross product of two parallel vectors is the zero vector.
ব্যাখ্যা: যদি A-এর দিক ধ্রুবক থাকে, তবে A(t) = f(t)û, যেখানে û একটি ধ্রুবক একক ভেক্টর। তাহলে dA/dt = f'(t)û। যেহেতু A এবং dA/dt উভয়ই একই একক ভেক্টর û-এর গুণিতক, তারা সমান্তরাল। দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর।
77. The expression d/dt( f(t)A(t) ), where f is a scalar function and A is a vector function, is:
৭৭. d/dt( f(t)A(t) ) রাশিটি, যেখানে f একটি স্কেলার ফাংশন এবং A একটি ভেক্টর ফাংশন, হলো:
Correct Answer: C) f'(t)A(t) + f(t)dA/dt
Explanation: This is the product rule for the derivative of a product of a scalar function and a vector function. It is a direct analogue of the scalar product rule.
ব্যাখ্যা: এটি একটি স্কেলার ফাংশন এবং একটি ভেক্টর ফাংশনের গুণফলের অন্তরকলজের জন্য গুণফলের নিয়ম। এটি স্কেলার গুণফলের নিয়মের সরাসরি অনুরূপ।
78. The position vector of a particle is r=(t-sin t)i+(1-cos t)j. Its velocity at t=π is:
৭৮. একটি কণার অবস্থান ভেক্টর r=(t-sin t)i+(1-cos t)j। t=π তে এর বেগ হলো:
Correct Answer: A) 2i
Explanation: Velocity v = dr/dt = (1-cos t)i + (sin t)j. At t=π, v(π) = (1-cos π)i + (sin π)j = (1 – (-1))i + 0j = 2i.
ব্যাখ্যা: বেগ v = dr/dt = (1-cos t)i + (sin t)j। t=π তে, v(π) = (1-(-1))i + 0j = 2i।
79. If ∫[from 0 to 1] (ti + t²j + t³k) dt, the result is:
৭৯. ∫[0 থেকে 1] (ti + t²j + t³k) dt এর সমাকলন করলে ফলাফল হবে:
Correct Answer: B) ½i + ⅓j + ¼k
Explanation: We integrate component-wise: [t²/2] from 0 to 1 for i component gives 1/2. [t³/3] from 0 to 1 for j component gives 1/3. [t⁴/4] from 0 to 1 for k component gives 1/4. The result is ½i + ⅓j + ¼k.
ব্যাখ্যা: আমরা উপাংশ অনুযায়ী সমাকলন করি: i উপাংশের জন্য [t²/2] (0 থেকে 1) হয় 1/2। j উপাংশের জন্য [t³/3] (0 থেকে 1) হয় 1/3। k উপাংশের জন্য [t⁴/4] (0 থেকে 1) হয় 1/4। ফলাফল হলো ½i + ⅓j + ¼k।
80. If A is a constant vector, then d/dt (A ⋅ r) is:
৮০. যদি A একটি ধ্রুবক ভেক্টর হয়, তবে d/dt (A ⋅ r) হলো:
Correct Answer: A) A ⋅ (dr/dt)
Explanation: Using the product rule: d/dt(A⋅r) = (dA/dt)⋅r + A⋅(dr/dt). Since A is a constant vector, dA/dt = 0. Thus, the expression simplifies to A⋅(dr/dt).
ব্যাখ্যা: গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করে: d/dt(A⋅r) = (dA/dt)⋅r + A⋅(dr/dt)। যেহেতু A একটি ধ্রুবক ভেক্টর, dA/dt = 0। সুতরাং, রাশিটি A⋅(dr/dt) তে সরলীকৃত হয়।
81. If r = aeⁿᵗ + be⁻ⁿᵗ, where a and b are constant vectors, then d²r/dt² – n²r is:
৮১. যদি r = aeⁿᵗ + be⁻ⁿᵗ হয়, যেখানে a এবং b ধ্রুবক ভেক্টর, তবে d²r/dt² – n²r এর মান:
Correct Answer: B) 0
Explanation: dr/dt = naeⁿᵗ – nbe⁻ⁿᵗ. d²r/dt² = n²aeⁿᵗ + n²be⁻ⁿᵗ = n²(aeⁿᵗ + be⁻ⁿᵗ) = n²r. Therefore, d²r/dt² – n²r = n²r – n²r = 0.
ব্যাখ্যা: dr/dt = naeⁿᵗ – nbe⁻ⁿᵗ। d²r/dt² = n²aeⁿᵗ + n²be⁻ⁿᵗ = n²r। সুতরাং, d²r/dt² – n²r = 0।
82. The order of vectors in the derivative of a cross product, d/dt(A×B), must be preserved because the cross product is:
৮২. ক্রস গুণফলের অন্তরকলজ d/dt(A×B) এ ভেক্টরের ক্রম অবশ্যই বজায় রাখতে হবে কারণ ক্রস গুণফল হলো:
Correct Answer: C) Anti-commutative / বিপরীত-বিনিময়যোগ্য
Explanation: The cross product is anti-commutative, meaning A×B = –B×A. Swapping the order changes the sign of the result. Therefore, in the product rule d/dt(A×B) = (dA/dt)×B + A×(dB/dt), the order within each term is crucial.
ব্যাখ্যা: ক্রস গুণফল বিপরীত-বিনিময়যোগ্য, অর্থাৎ A×B = –B×A। ক্রম পরিবর্তন করলে ফলাফলের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। তাই গুণফলের নিয়মে প্রতিটি পদে ক্রম বজায় রাখা অপরিহার্য।
83. If a particle moves with position vector r(t), its speed is given by:
৮৩. যদি একটি কণা r(t) অবস্থান ভেক্টর নিয়ে চলে, তবে তার দ্রুতি হলো:
Correct Answer: C) |dr/dt|
Explanation: Velocity is the vector dr/dt. Speed is the magnitude (scalar value) of the velocity vector.
ব্যাখ্যা: বেগ হলো ভেক্টর dr/dt। দ্রুতি হলো বেগ ভেক্টরের মান (স্কেলার মান)।
84. The derivative of a vector function r(u) where u is a function of t, dr/dt, is given by:
৮৪. একটি ভেক্টর ফাংশন r(u) এর অন্তরকলজ, যেখানে u হলো t এর একটি ফাংশন, dr/dt, এর মান হলো:
Correct Answer: D) (dr/du) * (du/dt)
Explanation: This is the chain rule for vector functions. dr/dt = (dr/du) * (du/dt). Here, dr/du is a vector and du/dt is a scalar, so it’s a scalar multiplication of a vector.
ব্যাখ্যা: এটি ভেক্টর ফাংশনের জন্য চেইন রুল। dr/dt = (dr/du) * (du/dt)। এখানে dr/du একটি ভেক্টর এবং du/dt একটি স্কেলার, তাই এটি একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন।
85. A particle’s velocity vector is v(t) = 3i + 6tj. Its acceleration vector a(t) is:
৮৫. একটি কণার বেগ ভেক্টর হলো v(t) = 3i + 6tj। এর ত্বরণ ভেক্টর a(t) হলো:
Correct Answer: B) 6j
Explanation: Acceleration is the derivative of velocity. a(t) = dv/dt = d/dt(3i + 6tj) = 0i + 6j = 6j.
ব্যাখ্যা: ত্বরণ হলো বেগের অন্তরকলজ। a(t) = dv/dt = d/dt(3i + 6tj) = 6j।
86. The vector d/dt(r⋅r) is equal to:
৮৬. d/dt(r⋅r) ভেক্টরটি কিসের সমান?
Correct Answer: B) 2r⋅(dr/dt)
Explanation: Using the product rule for dot products: d/dt(r⋅r) = (dr/dt)⋅r + r⋅(dr/dt). Since the dot product is commutative, this is equal to 2r⋅(dr/dt). Note that this result is a scalar.
ব্যাখ্যা: ডট গুণফলের জন্য গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করে: d/dt(r⋅r) = (dr/dt)⋅r + r⋅(dr/dt)। যেহেতু ডট গুণফল বিনিময়যোগ্য, এটি 2r⋅(dr/dt) এর সমান। লক্ষ্য করুন যে এই ফলাফলটি একটি স্কেলার।
87. A non-zero second derivative d²r/dt² implies that:
৮৭. একটি অশূন্য দ্বিতীয় অন্তরকলজ d²r/dt² বোঝায় যে:
Correct Answer: B) The velocity is changing
Explanation: The second derivative of position is acceleration (a = d²r/dt²). A non-zero acceleration means that the velocity vector (v = dr/dt) is changing, either in magnitude, direction, or both.
ব্যাখ্যা: অবস্থানের দ্বিতীয় অন্তরকলজ হলো ত্বরণ (a = d²r/dt²)। একটি অশূন্য ত্বরণের অর্থ হলো বেগ ভেক্টর (v = dr/dt) পরিবর্তনশীল, হয়তো মানে, দিকে, অথবা উভয়ই।
88. If A is a constant vector, d/dt (A × r) is:
৮৮. যদি A একটি ধ্রুবক ভেক্টর হয়, d/dt (A × r) হলো:
Correct Answer: C) A × (dr/dt)
Explanation: Using the product rule for cross products: d/dt(A×r) = (dA/dt)×r + A×(dr/dt). Since A is constant, dA/dt=0. The expression simplifies to A×(dr/dt).
ব্যাখ্যা: ক্রস গুণফলের জন্য গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করে: d/dt(A×r) = (dA/dt)×r + A×(dr/dt)। যেহেতু A ধ্রুবক, dA/dt=0। রাশিটি A×(dr/dt) তে সরলীকৃত হয়।
89. The position of a particle is r=t³i+t²j+tk. The velocity vector at t=1 is:
৮৯. একটি কণার অবস্থান r=t³i+t²j+tk। t=1 এ বেগ ভেক্টরটি হলো:
Correct Answer: C) 3i+2j+k
Explanation: Velocity v(t) = dr/dt = 3t²i+2tj+k. At t=1, v(1) = 3(1)²i + 2(1)j + k = 3i+2j+k.
ব্যাখ্যা: বেগ v(t) = dr/dt = 3t²i+2tj+k। t=1 তে, v(1) = 3i+2j+k।
90. A particle moves along a curve r(t) = (cos t)i + (sin t)j. What is the magnitude of its acceleration at any time t?
৯০. একটি কণা একটি বক্ররেখা বরাবর চলে যার অবস্থান ভেক্টর r(t) = (cos t)i + (sin t)j। যেকোনো সময় t-তে এর ত্বরণের মান কত?
Correct Answer: B) 1
Explanation: Velocity v(t) = (-sin t)i + (cos t)j. Acceleration a(t) = (-cos t)i – (sin t)j. The magnitude is |a(t)| = √((-cos t)² + (-sin t)²) = √(cos²t + sin²t) = 1. This represents uniform circular motion.
ব্যাখ্যা: বেগ v(t) = (-sin t)i + (cos t)j। ত্বরণ a(t) = (-cos t)i – (sin t)j। ত্বরণের মান |a(t)| = √((-cos t)² + (-sin t)²) = √1 = 1। এটি সুষম বৃত্তীয় গতি নির্দেশ করে।
91. If r(t) describes position, what physical quantity does ∫v(t) dt represent?
৯১. যদি r(t) অবস্থান নির্দেশ করে, তাহলে ∫v(t) dt কোন ভৌত রাশিকে নির্দেশ করে?
Correct Answer: C) Displacement / সরণ
Explanation: Since velocity v(t) is the derivative of position r(t), the integral of velocity with respect to time gives the change in position, which is displacement. ∫[t₁ to t₂] v(t) dt = r(t₂) – r(t₁).
ব্যাখ্যা: যেহেতু বেগ v(t) হলো অবস্থান r(t) এর অন্তরকলজ, তাই বেগের সমাকলন করলে অবস্থানের পরিবর্তন বা সরণ পাওয়া যায়।
92. If a particle is at rest, its velocity and acceleration are both:
৯২. যদি একটি কণা স্থির থাকে, তবে তার বেগ এবং ত্বরণ উভয়ই:
Correct Answer: B) Zero / শূন্য
Explanation: “At rest” means the position is not changing, so the velocity (rate of change of position) is the zero vector. Since the velocity is constant (at zero), its rate of change, the acceleration, is also the zero vector.
ব্যাখ্যা: “স্থির থাকা” মানে অবস্থান পরিবর্তন হচ্ছে না, তাই বেগ (অবস্থানের পরিবর্তনের হার) শূন্য ভেক্টর। যেহেতু বেগ ধ্রুবক (শূন্যে), এর পরিবর্তনের হার, অর্থাৎ ত্বরণও শূন্য ভেক্টর হবে।
93. If dr/dt = a × r where a is a constant vector, then |r| is:
৯৩. যদি dr/dt = a × r হয়, যেখানে a একটি ধ্রুবক ভেক্টর, তাহলে |r| এর মান:
Correct Answer: C) Constant / ধ্রুবক
Explanation: Consider d/dt(|r|²) = d/dt(r⋅r) = 2r⋅(dr/dt). Substitute dr/dt: 2r⋅(a×r). This is a scalar triple product [r a r]. Since a vector is repeated, the value is 0. If d/dt(|r|²) = 0, then |r|² is constant, which means |r| is constant.
ব্যাখ্যা: d/dt(|r|²) = 2r⋅(dr/dt) = 2r⋅(a×r) = 2[r a r]। যেহেতু একটি ভেক্টর পুনরাবৃত্ত হয়েছে, স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টের মান শূন্য। সুতরাং |r|² ধ্রুবক, যার অর্থ |r| ধ্রুবক।
94. The second derivative of a vector function provides information about the _____ of the curve.
৯৪. একটি ভেক্টর ফাংশনের দ্বিতীয় অন্তরকলজ বক্ররেখার _____ সম্পর্কে তথ্য প্রদান করে।
Correct Answer: C) Curvature / বক্রতা
Explanation: The acceleration vector (the second derivative) has components related to how fast the particle is speeding up/slowing down (tangential acceleration) and how fast its direction is changing (normal acceleration). The normal acceleration is directly related to the curvature of the path.
ব্যাখ্যা: ত্বরণ ভেক্টরের (দ্বিতীয় অন্তরকলজ) উপাংশগুলি কণার দ্রুতির পরিবর্তন এবং দিকের পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত। দিকের পরিবর্তন বক্রতার সাথে সরাসরি সম্পর্কিত।
95. If a particle moves such that its position vector is r(t) = (cos(2t))i + (sin(2t))j, what is true about its speed?
৯৫. যদি একটি কণা এমনভাবে চলে যে তার অবস্থান ভেক্টর r(t) = (cos(2t))i + (sin(2t))j হয়, তবে তার দ্রুতি সম্পর্কে কোনটি সত্য?
Correct Answer: A) It is constant / এটি ধ্রুবক
Explanation: Velocity v(t) = dr/dt = -2sin(2t)i + 2cos(2t)j. Speed is the magnitude of velocity: |v(t)| = √((-2sin(2t))² + (2cos(2t))²) = √(4sin²(2t) + 4cos²(2t)) = √4(sin²(2t)+cos²(2t)) = √4 = 2. The speed is constant and equal to 2.
ব্যাখ্যা: বেগ v(t) = -2sin(2t)i + 2cos(2t)j। দ্রুতি হলো বেগের মান: |v(t)| = √(4sin²(2t) + 4cos²(2t)) = √4 = 2। দ্রুতি ধ্রুবক এবং 2 এর সমান।
96. The acceleration vector for the motion r(t) = at² + bt + c (where a, b, c are constant vectors) is:
৯৬. r(t) = at² + bt + c গতির জন্য ত্বরণ ভেক্টরটি হলো (যেখানে a, b, c ধ্রুবক ভেক্টর):
Correct Answer: B) 2a
Explanation: Velocity v(t) = dr/dt = 2at + b. Acceleration a(t) = dv/dt = 2a. The acceleration is constant.
ব্যাখ্যা: বেগ v(t) = dr/dt = 2at + b। ত্বরণ a(t) = dv/dt = 2a। ত্বরণ ধ্রুবক।
97. The derivative d/dt (r × dr/dt) is:
৯৭. d/dt (r × dr/dt) এর মান হলো:
Correct Answer: A) r × (d²r/dt²)
Explanation: Using the product rule for cross product: d/dt(r × dr/dt) = (dr/dt × dr/dt) + (r × d²r/dt²). The cross product of a vector with itself (dr/dt × dr/dt) is the zero vector. So the result is r × (d²r/dt²).
ব্যাখ্যা: ক্রস গুণফলের নিয়ম ব্যবহার করে: d/dt(r × dr/dt) = (dr/dt × dr/dt) + (r × d²r/dt²)। একটি ভেক্টরের সাথে তার নিজের ক্রস গুণফল শূন্য ভেক্টর। সুতরাং ফলাফলটি হলো r × (d²r/dt²)।
98. If r = ta + sin(t)b, where a and b are constant vectors, then d²r/dt² is:
৯৮. যদি r = ta + sin(t)b হয়, যেখানে a এবং b ধ্রুবক ভেক্টর, তবে d²r/dt² হলো:
Correct Answer: B) -sin(t)b
Explanation: dr/dt = a + cos(t)b. d²r/dt² = d/dt(a + cos(t)b) = 0 – sin(t)b = -sin(t)b.
ব্যাখ্যা: dr/dt = a + cos(t)b। d²r/dt² = 0 – sin(t)b = -sin(t)b।
99. If d/dt (A × B) = (dA/dt) × B + A × (dB/dt), this rule is analogous to which rule in scalar calculus?
৯৯. যদি d/dt (A × B) = (dA/dt) × B + A × (dB/dt) হয়, এই নিয়মটি স্কেলার ক্যালকুলাসের কোন নিয়মের অনুরূপ?
Correct Answer: B) Product Rule / গুণফলের নিয়ম
Explanation: The formula for the derivative of a cross product of two vector functions is a direct analogue of the product rule for scalar functions, d/dx(uv) = (du/dx)v + u(dv/dx). The order of vectors in the cross product must be maintained.
ব্যাখ্যা: দুটি ভেক্টর ফাংশনের ক্রস গুণফলের অন্তরকলজের সূত্রটি স্কেলার ফাংশনের গুণফলের নিয়মের (d/dx(uv) = (du/dx)v + u(dv/dx)) সরাসরি অনুরূপ। ক্রস গুণফলে ভেক্টরগুলির ক্রম বজায় রাখতে হবে।
100. If r(t) is the position vector of a particle moving on a circle with constant angular velocity ω, what can be said about its acceleration vector a(t)?
১০০. যদি ধ্রুবক কৌণিক বেগ ω সহ একটি বৃত্তে চলমান কণার অবস্থান ভেক্টর r(t) হয়, তবে তার ত্বরণ ভেক্টর a(t) সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে?
Correct Answer: C) a(t) is directed towards the center of the circle / a(t) বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশিত
Explanation: For uniform circular motion, the acceleration is the centripetal acceleration. It always points from the particle’s position towards the center of the circle. Its formula is a(t) = -ω²r(t), which shows it is anti-parallel to the position vector r(t) (assuming origin is at the center), thus pointing towards the center.
ব্যাখ্যা: সুষম বৃত্তীয় গতির জন্য, ত্বরণ হলো কেন্দ্রমুখী ত্বরণ। এটি সর্বদা কণার অবস্থান থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশ করে। এর সূত্র হলো a(t) = -ω²r(t), যা দেখায় যে এটি অবস্থান ভেক্টর r(t) এর বিপরীত-সমান্তরাল (যদি মূলবিন্দু কেন্দ্রে থাকে), অর্থাৎ কেন্দ্রের দিকে নির্দেশিত।