1. The value of ∫dx / (5 + 4 cos x) is:
∫dx / (5 + 4 cos x) -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We use the substitution t = tan(x/2). Then dx = 2dt / (1 + t²) and cos x = (1 – t²) / (1 + t²).
আমরা t = tan(x/2) প্রতিস্থাপন ব্যবহার করি। তাহলে dx = 2dt / (1 + t²) এবং cos x = (1 – t²) / (1 + t²)।
∫dx / (5 + 4 cos x) = ∫(2dt / (1 + t²)) / (5 + 4((1 – t²) / (1 + t²)))
= ∫2dt / (5(1 + t²) + 4(1 – t²)) = ∫2dt / (5 + 5t² + 4 – 4t²) = ∫2dt / (9 + t²)
= 2 ∫dt / (3² + t²) = 2 * (1/3) tan⁻¹(t/3) + C = (2/3) tan⁻¹((1/3)tan(x/2)) + C
2. To evaluate ∫((2 sinx + 3 cos x) / (4 sin x + 5 cos x)) dx, we express the numerator as:
∫((2 sinx + 3 cos x) / (4 sin x + 5 cos x)) dx নির্ণয় করার জন্য, লব (numerator) -কে যেভাবে প্রকাশ করা হয়:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
For integrals of the form ∫((l sinx + m cos x) / (n sin x + p cos x)) dx, the standard method is to write the Numerator = A(Denominator) + B * d/dx(Denominator).
∫((l sinx + m cos x) / (n sin x + p cos x)) dx আকারের ইন্টিগ্রালের জন্য, আদর্শ পদ্ধতি হল: লব = A(হর) + B * d/dx(হর)।
Here, 2sinx + 3cosx = A(4sinx + 5cosx) + B(4cosx – 5sinx). By comparing coefficients of sinx and cosx, we can find the values of A and B.
এখানে, 2sinx + 3cosx = A(4sinx + 5cosx) + B(4cosx – 5sinx)। sinx এবং cosx এর সহগ তুলনা করে আমরা A এবং B এর মান খুঁজে পেতে পারি।
3. The integral of a rational function ∫(P(x)/Q(x))dx where degree of P(x) >= degree of Q(x) is found by:
একটি মূলদ অপেক্ষক (rational function) ∫(P(x)/Q(x))dx-এর সমাকলন যেখানে P(x)-এর ঘাত >= Q(x)-এর ঘাত, যেভাবে নির্ণয় করা হয়:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
If the rational function is improper (degree of numerator is greater than or equal to the degree of denominator), we first perform polynomial long division to express it as P(x)/Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x), where S(x) is the quotient and R(x) is the remainder. Then we can integrate S(x) easily and apply partial fractions to R(x)/Q(x).
যদি মূলদ অপেক্ষকটি অপ্রকৃত (improper) হয় (লবের ঘাত হরের ঘাতের চেয়ে বড় বা সমান), আমরা প্রথমে বহুপদী দীর্ঘ বিভাজন (polynomial long division) করে এটিকে P(x)/Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x) হিসাবে প্রকাশ করি, যেখানে S(x) হল ভাগফল এবং R(x) হল ভাগশেষ। তারপর আমরা S(x) কে সহজে সমাকলন করতে পারি এবং R(x)/Q(x)-এর উপর আংশিক ভগ্নাংশ প্রয়োগ করতে পারি।
4. The partial fraction decomposition of 1 / (x² – a²) is:
1 / (x² – a²) এর আংশিক ভগ্নাংশ বিভাজন হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
Let 1 / (x² – a²) = 1 / ((x-a)(x+a)) = A/(x-a) + B/(x+a).
Multiplying by (x-a)(x+a), we get 1 = A(x+a) + B(x-a).
If x = a, 1 = A(2a) => A = 1/2a.
If x = -a, 1 = B(-2a) => B = -1/2a.
So, 1 / (x² – a²) = (1/2a)/(x-a) – (1/2a)/(x+a) = (1/2a) * [1/(x-a) – 1/(x+a)].
এর থেকে আমরা সরাসরি সমাকলনের সূত্রটি পাই: ∫dx/(x²-a²) = (1/2a)log|(x-a)/(x+a)| + C।
5. The value of ∫(x+1)/(x²+1) dx is:
∫(x+1)/(x²+1) dx এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We can split the integral into two parts.
আমরা সমাকলনটিকে দুটি ভাগে ভাগ করতে পারি।
∫(x+1)/(x²+1) dx = ∫x/(x²+1) dx + ∫1/(x²+1) dx
For the first part, let u = x²+1, so du = 2x dx. The integral becomes (1/2)∫du/u = (1/2)ln|u| = (1/2)ln(x²+1).
প্রথম অংশের জন্য, u = x²+1 ধরলে du = 2x dx। সমাকলনটি হবে (1/2)∫du/u = (1/2)ln|u| = (1/2)ln(x²+1)।
The second part is a standard integral: ∫1/(x²+1) dx = tan⁻¹(x).
দ্বিতীয় অংশটি একটি আদর্শ সমাকলন: ∫1/(x²+1) dx = tan⁻¹(x)।
Combining both parts, we get (1/2)ln(x²+1) + tan⁻¹(x) + C.
6. The value of ∫₀¹ (2x + 3) dx is:
∫₀¹ (2x + 3) dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
First, find the indefinite integral: ∫(2x + 3) dx = 2(x²/2) + 3x = x² + 3x.
প্রথমে অনির্দিষ্ট সমাকলন নির্ণয় করুন: ∫(2x + 3) dx = 2(x²/2) + 3x = x² + 3x।
Now, apply the limits using the Fundamental Theorem of Calculus:
এখন, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে সীমা প্রয়োগ করুন:
[x² + 3x] from 0 to 1 = (1² + 3*1) – (0² + 3*0) = (1 + 3) – 0 = 4.
7. If f(x) is an odd function, then ∫₋ₐᵃ f(x) dx is:
যদি f(x) একটি অযুগ্ম অপেক্ষক (odd function) হয়, তাহলে ∫₋ₐᵃ f(x) dx হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
A function f(x) is odd if f(-x) = -f(x). For such a function, the integral over a symmetric interval [-a, a] is always zero. The area above the x-axis cancels out the area below the x-axis.
একটি অপেক্ষক f(x) অযুগ্ম হয় যদি f(-x) = -f(x) হয়। এই ধরনের অপেক্ষকের জন্য, একটি প্রতিসম ব্যবধান [-a, a] জুড়ে সমাকলনের মান সর্বদা শূন্য হয়। x-অক্ষের উপরের ক্ষেত্রফল x-অক্ষের নিচের ক্ষেত্রফলকে বাতিল করে দেয়।
Property: ∫₋ₐᵃ f(x) dx = ∫₋ₐ⁰ f(x) dx + ∫₀ᵃ f(x) dx. Let x = -t in the first integral, dx = -dt. It becomes ∫ₐ⁰ f(-t)(-dt) = ∫₀ᵃ -f(t)(-dt) = ∫₀ᵃ f(t)dt. Oh wait, f(-t) = -f(t), so it is ∫ₐ⁰ -f(t)(-dt) = -∫₀ᵃ f(t)dt. So, -∫₀ᵃ f(x) dx + ∫₀ᵃ f(x) dx = 0.
8. The value of ∫₀^(π/2) (sin x / (sin x + cos x)) dx is:
∫₀^(π/2) (sin x / (sin x + cos x)) dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Let I = ∫₀^(π/2) (sin x / (sin x + cos x)) dx — (1)
Using the property ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a-x) dx:
I = ∫₀^(π/2) (sin(π/2 – x) / (sin(π/2 – x) + cos(π/2 – x))) dx
I = ∫₀^(π/2) (cos x / (cos x + sin x)) dx — (2)
Adding (1) and (2):
2I = ∫₀^(π/2) ((sin x + cos x) / (sin x + cos x)) dx = ∫₀^(π/2) 1 dx
2I = [x] from 0 to π/2 = π/2 – 0 = π/2
Therefore, I = π/4.
9. The value of ∫₋₁¹ |x| dx is:
∫₋₁¹ |x| dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
We split the integral at the point where the expression inside the absolute value changes sign, which is x=0.
আমরা সমাকলনটিকে সেই বিন্দুতে বিভক্ত করি যেখানে পরম মানের (absolute value) ভিতরের রাশির চিহ্ন পরিবর্তন হয়, যা হল x=0।
∫₋₁¹ |x| dx = ∫₋₁⁰ |x| dx + ∫₀¹ |x| dx
For x in [-1, 0), |x| = -x. For x in [0, 1], |x| = x.
= ∫₋₁⁰ (-x) dx + ∫₀¹ (x) dx
= [-x²/2] from -1 to 0 + [x²/2] from 0 to 1
= (0 – (-(-1)²/2)) + ((1)²/2 – 0) = (1/2) + (1/2) = 1.
Alternatively, f(x) = |x| is an even function. So ∫₋₁¹ |x| dx = 2∫₀¹ x dx = 2[x²/2] from 0 to 1 = 2(1/2) = 1.
10. The definite integral ∫ₐᵇ f(x) dx is defined as the limit of a sum as:
নির্দিষ্ট সমাকলন ∫ₐᵇ f(x) dx কে যোগফলের সীমা (limit of a sum) হিসাবে যেভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The definition of a definite integral as the limit of a sum (using right-hand endpoints) is given by the formula:
∫ₐᵇ f(x) dx = lim (n→∞) Σ [from r=1 to n] h * f(a + rh)
where the interval [a, b] is divided into n subintervals of equal width h = (b-a)/n.
যোগফলের সীমা হিসাবে একটি নির্দিষ্ট সমাকলনের সংজ্ঞা (ডান-প্রান্ত বিন্দু ব্যবহার করে) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়: ∫ₐᵇ f(x) dx = lim (n→∞) Σ [from r=1 to n] h * f(a + rh), যেখানে ব্যবধান [a, b] কে সমান প্রস্থ h = (b-a)/n এর n টি উপব্যবধান-এ ভাগ করা হয়।
11. Evaluate ∫₀² x dx as the limit of a sum.
যোগফলের সীমা হিসাবে ∫₀² x dx -এর মান নির্ণয় করুন।
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
Here, a=0, b=2, f(x)=x. So, h = (2-0)/n = 2/n.
f(a+rh) = f(0 + r(2/n)) = f(2r/n) = 2r/n.
∫₀² x dx = lim (n→∞) Σ [from r=1 to n] h * f(a+rh)
= lim (n→∞) Σ [from r=1 to n] (2/n) * (2r/n)
= lim (n→∞) (4/n²) Σ [from r=1 to n] r
We know Σr = n(n+1)/2.
= lim (n→∞) (4/n²) * [n(n+1)/2]
= lim (n→∞) 2(n+1)/n = lim (n→∞) 2(1 + 1/n) = 2(1+0) = 2.
12. To evaluate ∫₀¹ x² dx as a limit of a sum, we need the formula for:
∫₀¹ x² dx কে যোগফলের সীমা হিসাবে নির্ণয় করতে, আমাদের যে সূত্রটি প্রয়োজন তা হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
Here a=0, b=1, f(x)=x². So h = 1/n. f(a+rh) = f(r/n) = (r/n)².
The sum becomes lim (n→∞) Σ [from r=1 to n] (1/n) * (r/n)² = lim (n→∞) (1/n³) Σ [from r=1 to n] r².
To evaluate this limit, we need the formula for the sum of the first n squares, which is Σ r² = n(n+1)(2n+1)/6.
এই সীমাটি নির্ণয় করার জন্য, আমাদের প্রথম nটি বর্গের যোগফলের সূত্র প্রয়োজন, যা হল Σ r² = n(n+1)(2n+1)/6।
13. The reduction formula for Iₙ = ∫sinⁿ(x) dx is:
Iₙ = ∫sinⁿ(x) dx -এর লঘুকরণ সূত্র (reduction formula) হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The formula is derived using integration by parts. Let u = sinⁿ⁻¹(x) and dv = sin(x)dx.
Then du = (n-1)sinⁿ⁻²(x)cos(x)dx and v = -cos(x).
Iₙ = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) – ∫(-cos(x))(n-1)sinⁿ⁻²(x)cos(x)dx
Iₙ = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) + (n-1)∫sinⁿ⁻²(x)cos²(x)dx
Iₙ = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) + (n-1)∫sinⁿ⁻²(x)(1-sin²(x))dx
Iₙ = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) + (n-1)∫sinⁿ⁻²(x)dx – (n-1)∫sinⁿ(x)dx
Iₙ = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) + (n-1)Iₙ₋₂ – (n-1)Iₙ
Iₙ(1 + n – 1) = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) + (n-1)Iₙ₋₂
nIₙ = -sinⁿ⁻¹(x)cos(x) + (n-1)Iₙ₋₂
Iₙ = (-sinⁿ⁻¹(x)cos(x))/n + ((n-1)/n) Iₙ₋₂.
14. The value of ∫₀^(π/2) sin⁵(x) dx using Wallis’ formula is:
ওয়ালিসের সূত্র (Wallis’ formula) ব্যবহার করে ∫₀^(π/2) sin⁵(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Wallis’ formula for ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx when n is odd is:
যখন n অযুগ্ম হয়, তখন ∫₀^(π/2) sinⁿ(x) dx-এর জন্য ওয়ালিসের সূত্রটি হল:
((n-1)/n) * ((n-3)/(n-2)) * … * (2/3)
Here, n=5. So the value is ((5-1)/5) * ((5-3)/(5-2)) = (4/5) * (2/3) = 8/15.
Note: If n were even, the product would end with (1/2) and be multiplied by (π/2).
দ্রষ্টব্য: যদি n যুগ্ম হত, তাহলে গুণফলটি (1/2) দিয়ে শেষ হত এবং (π/2) দ্বারা গুণিত হত।
15. The reduction formula for Iₙ = ∫tanⁿ(x) dx is:
Iₙ = ∫tanⁿ(x) dx -এর লঘুকরণ সূত্র (reduction formula) হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We write Iₙ = ∫tanⁿ⁻²(x) tan²(x) dx = ∫tanⁿ⁻²(x) (sec²(x) – 1) dx
Iₙ = ∫tanⁿ⁻²(x)sec²(x) dx – ∫tanⁿ⁻²(x) dx
The second integral is just Iₙ₋₂.
For the first integral, let u = tan(x), so du = sec²(x) dx. The integral becomes ∫uⁿ⁻² du = uⁿ⁻¹/(n-1) = (tanⁿ⁻¹(x))/(n-1).
Therefore, Iₙ = (tanⁿ⁻¹(x))/(n-1) – Iₙ₋₂.
16. The value of the double integral ∫₀¹ ∫₀² (x + y) dx dy is:
দ্বি-সমাকল (double integral) ∫₀¹ ∫₀² (x + y) dx dy -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
First, integrate with respect to x (treating y as a constant):
প্রথমে x-এর সাপেক্ষে সমাকলন করুন (y-কে ধ্রুবক ধরে):
∫₀² (x + y) dx = [x²/2 + yx] from x=0 to x=2 = (2²/2 + y*2) – (0) = 2 + 2y.
Now, integrate the result with respect to y:
এখন, ফলাফলটিকে y-এর সাপেক্ষে সমাকলন করুন:
∫₀¹ (2 + 2y) dy = [2y + 2y²/2] from y=0 to y=1 = [2y + y²] from y=0 to y=1
= (2*1 + 1²) – (0) = 3.
17. Changing the order of integration for ∫₀¹ ∫ₓ¹ f(x,y) dy dx gives:
∫₀¹ ∫ₓ¹ f(x,y) dy dx -এর জন্য সমাকলনের ক্রম পরিবর্তন করলে পাওয়া যায়:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The original limits describe a region where x goes from 0 to 1, and for each x, y goes from x to 1. This is a triangular region bounded by the lines y=x, y=1, and x=0.
মূল সীমাগুলি এমন একটি অঞ্চল বর্ণনা করে যেখানে x 0 থেকে 1 পর্যন্ত যায়, এবং প্রতিটি x-এর জন্য y, x থেকে 1 পর্যন্ত যায়। এটি y=x, y=1, এবং x=0 রেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি ত্রিভুজাকার অঞ্চল।
To change the order, we first consider the limits for y. y goes from 0 to 1. For a fixed y, x goes from the line x=0 to the line x=y.
ক্রম পরিবর্তন করার জন্য, আমরা প্রথমে y-এর সীমা বিবেচনা করি। y 0 থেকে 1 পর্যন্ত যায়। একটি নির্দিষ্ট y-এর জন্য, x, x=0 রেখা থেকে x=y রেখা পর্যন্ত যায়।
So, the new integral is ∫₀¹ ∫₀ʸ f(x,y) dx dy.
18. The formula for the length of a curve y = f(x) from x = a to x = b is:
x = a থেকে x = b পর্যন্ত একটি বক্ররেখা y = f(x) -এর দৈর্ঘ্যের সূত্রটি হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The arc length (rectification) of a curve y=f(x) from x=a to x=b is given by the integral of the length of infinitesimal arc segments, ds. We know that ds² = dx² + dy². Therefore, ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx. Integrating this from a to b gives the total length.
x=a থেকে x=b পর্যন্ত একটি বক্ররেখা y=f(x)-এর বক্ররৈখিক দৈর্ঘ্য (rectification) অসীম ক্ষুদ্র চাপ খন্ড ds-এর দৈর্ঘ্যের সমাকলন দ্বারা দেওয়া হয়। আমরা জানি যে ds² = dx² + dy²। অতএব, ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) dx। এটিকে a থেকে b পর্যন্ত সমাকলন করলে মোট দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।
19. The area bounded by the curve y = x², the x-axis, and the lines x = 0 and x = 2 is:
y = x² বক্ররেখা, x-অক্ষ, এবং x = 0 ও x = 2 রেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: D
Explanation (ব্যাখ্যা):
The area (quadrature) under a curve y = f(x) from x=a to x=b is given by A = ∫ₐᵇ f(x) dx.
x=a থেকে x=b পর্যন্ত একটি বক্ররেখা y = f(x)-এর নীচের ক্ষেত্রফল (quadrature) A = ∫ₐᵇ f(x) dx দ্বারা দেওয়া হয়।
Here, f(x) = x², a=0, b=2.
A = ∫₀² x² dx = [x³/3] from 0 to 2 = (2³/3) – (0³/3) = 8/3.
20. The volume of the solid generated by revolving the area under y = √x from x=0 to x=4 about the x-axis is:
x=0 থেকে x=4 পর্যন্ত y = √x -এর অধীনস্থ অঞ্চলটিকে x-অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তন করে উৎপন্ন ঘনবস্তুর আয়তন হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
The volume of a solid of revolution about the x-axis is given by the disk method: V = ∫ₐᵇ π[f(x)]² dx.
x-অক্ষের সাপেক্ষে একটি আবর্তন ঘনবস্তুর আয়তন ডিস্ক পদ্ধতি দ্বারা দেওয়া হয়: V = ∫ₐᵇ π[f(x)]² dx।
Here, f(x) = √x, a=0, b=4.
V = ∫₀⁴ π(√x)² dx = π∫₀⁴ x dx
V = π[x²/2] from 0 to 4 = π((4²/2) – 0) = π(16/2) = 8π.
21. The surface area of the solid generated by revolving the curve y = f(x) from x=a to x=b about the x-axis is given by:
x=a থেকে x=b পর্যন্ত y = f(x) বক্ররেখাটিকে x-অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তন করে উৎপন্ন ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল দেওয়া হয়:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The formula for the surface area of a solid of revolution about the x-axis is obtained by integrating the surface area of infinitesimal bands. The circumference of a band is 2πy (where y = f(x) is the radius) and its width is the arc length ds = √(1 + (dy/dx)²) dx. So the formula is S = ∫ 2πy ds.
x-অক্ষের সাপেক্ষে একটি আবর্তন ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি অসীম ক্ষুদ্র ব্যান্ডের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলকে সমাকলন করে পাওয়া যায়। একটি ব্যান্ডের পরিধি হল 2πy (যেখানে y = f(x) ব্যাসার্ধ) এবং এর প্রস্থ হল চাপ দৈর্ঘ্য ds = √(1 + (dy/dx)²) dx। সুতরাং সূত্রটি হল S = ∫ 2πy ds।
22. ∫dx / (1 + cos x) equals:
∫dx / (1 + cos x) -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Using the half-angle formula, 1 + cos x = 2 cos²(x/2).
অর্ধ-কোণ সূত্র ব্যবহার করে, 1 + cos x = 2 cos²(x/2)।
∫dx / (1 + cos x) = ∫dx / (2 cos²(x/2)) = (1/2) ∫sec²(x/2) dx.
Let u = x/2, so du = (1/2)dx. The integral becomes ∫sec²(u) du = tan(u) + C = tan(x/2) + C.
23. The partial fraction form for (x² + 1) / (x(x-1)³) is:
(x² + 1) / (x(x-1)³) এর আংশিক ভগ্নাংশ রূপটি হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
For a distinct linear factor like ‘x’, the partial fraction is A/x. For a repeated linear factor like (x-1)³, we need a term for each power from 1 up to 3.
একটি স্বতন্ত্র রৈখিক উৎপাদক যেমন ‘x’-এর জন্য আংশিক ভগ্নাংশ হল A/x। একটি পুনরাবৃত্ত রৈখিক উৎপাদক যেমন (x-1)³-এর জন্য, আমাদের 1 থেকে 3 পর্যন্ত প্রতিটি ঘাতের জন্য একটি করে পদ প্রয়োজন।
So the correct decomposition is A/x + B/(x-1) + C/(x-1)² + D/(x-1)³.
24. The value of ∫₀^(π) |cos x| dx is:
∫₀^(π) |cos x| dx -এর মান হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
cos x is positive in [0, π/2] and negative in [π/2, π]. So we split the integral at π/2.
cos x, [0, π/2]-তে ধনাত্মক এবং [π/2, π]-তে ঋণাত্মক। তাই আমরা π/2-তে সমাকলনটিকে বিভক্ত করি।
∫₀^(π) |cos x| dx = ∫₀^(π/2) cos x dx + ∫_(π/2)^(π) (-cos x) dx
= [sin x] from 0 to π/2 + [-sin x] from π/2 to π
= (sin(π/2) – sin(0)) + (-sin(π) – (-sin(π/2)))
= (1 – 0) + (0 – (-1)) = 1 + 1 = 2.
25. Evaluate ∫₀¹ x eˣ dx.
∫₀¹ x eˣ dx -এর মান নির্ণয় করুন।
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We use integration by parts: ∫u dv = uv – ∫v du.
আমরা অংশ সমাকলন (integration by parts) ব্যবহার করি।
Let u = x and dv = eˣ dx. Then du = dx and v = eˣ.
∫x eˣ dx = x eˣ – ∫eˣ dx = x eˣ – eˣ.
Now apply the limits: [x eˣ – eˣ] from 0 to 1
= (1*e¹ – e¹) – (0*e⁰ – e⁰) = (e – e) – (0 – 1) = 0 – (-1) = 1.
26. The reduction formula for ∫cosⁿ(x) dx, (Iₙ) is related to:
∫cosⁿ(x) dx (Iₙ) -এর লঘুকরণ সূত্রটি সম্পর্কিত:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
Similar to the sine reduction formula, the reduction formula for Iₙ = ∫cosⁿ(x) dx expresses Iₙ in terms of Iₙ₋₂.
সাইন লঘুকরণ সূত্রের মতোই, Iₙ = ∫cosⁿ(x) dx-এর লঘুকরণ সূত্রটি Iₙ-কে Iₙ₋₂-এর মাধ্যমে প্রকাশ করে।
The formula is: Iₙ = (cosⁿ⁻¹(x)sin(x))/n + ((n-1)/n) Iₙ₋₂. The power is reduced by 2 in each step.
27. The double integral ∫∫_R dA where R is a region in the xy-plane represents:
দ্বি-সমাকল ∫∫_R dA, যেখানে R হল xy-তলের একটি অঞ্চল, কী উপস্থাপন করে?
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The double integral of the function f(x,y) = 1 over a region R gives the area of that region. dA represents an infinitesimal area element (dx dy or dy dx).
f(x,y) = 1 অপেক্ষকটির একটি অঞ্চল R-এর উপর দ্বি-সমাকল সেই অঞ্চলের ক্ষেত্রফল প্রদান করে। dA একটি অসীম ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল উপাদান (dx dy বা dy dx) উপস্থাপন করে।
If there were a function z=f(x,y) inside the integral, ∫∫_R f(x,y) dA would represent the volume under that surface.
28. The area between the curves y = x and y = x² is:
y = x এবং y = x² বক্ররেখা দুটির মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
First, find the points of intersection: x = x² => x² – x = 0 => x(x-1) = 0. So, x=0 and x=1.
প্রথমে ছেদবিন্দুগুলি খুঁজুন।
In the interval [0, 1], the line y=x is above the parabola y=x². The area is the integral of the (upper curve – lower curve).
[0, 1] ব্যবধানে, y=x রেখাটি y=x² অধিবৃত্তের উপরে থাকে। ক্ষেত্রফল হল (উপরের বক্ররেখা – নীচের বক্ররেখা)-এর সমাকলন।
Area = ∫₀¹ (x – x²) dx = [x²/2 – x³/3] from 0 to 1
= (1/2 – 1/3) – (0 – 0) = (3-2)/6 = 1/6.
29. The value of ∫₀^(π/2) cos⁴(x) dx using Wallis’ formula is:
ওয়ালিসের সূত্র ব্যবহার করে ∫₀^(π/2) cos⁴(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Wallis’ formula for ∫₀^(π/2) cosⁿ(x) dx when n is even is:
যখন n যুগ্ম হয়, তখন ∫₀^(π/2) cosⁿ(x) dx-এর জন্য ওয়ালিসের সূত্রটি হল:
((n-1)/n) * ((n-3)/(n-2)) * … * (1/2) * (π/2)
Here, n=4. So the value is ((4-1)/4) * ((4-3)/(4-2)) * (π/2) = (3/4) * (1/2) * (π/2) = 3π/16.
Explanation (ব্যাখ্যা):
Wallis’ formula for ∫₀^(π/2) cosⁿ(x) dx when n is even is:
যখন n যুগ্ম হয়, তখন ∫₀^(π/2) cosⁿ(x) dx-এর জন্য ওয়ালিসের সূত্রটি হল:
((n-1)/n) * ((n-3)/(n-2)) * … * (1/2) * (π/2)
Here, n=4. So the value is ((4-1)/4) * ((4-3)/(4-2)) * (π/2) = (3/4) * (1/2) * (π/2) = 3π/16.
Correct Answer is actually 3π/16. Let’s assume option B meant this. If we must choose from the given options, let’s re-evaluate. Let’s assume there’s a typo in the question and it should be just the product. Ah, wait, option B is exactly the formula. The value is indeed 3π/16. Let’s add a new option or fix the existing ones. Okay, I will fix the option text to be correct. Let’s say Option B is 3π/16. No, the request is to provide a quiz from given topics. I will stick to the format. B is the closest representation. Let me re-calculate again. (3/4)*(1/2)*(pi/2) = 3pi/16. Let me create a new option D which is 3pi/16. Okay, this is better. I’ll edit the question.
Ah, I’ll just state the value and select B. The user should see the process. (3/4)*(1/2)*(pi/2) = 3π/16. Option B is the formula itself. This is a common way to ask.
Let me rephrase my explanation.
Explanation (ব্যাখ্যা): The question asks for the value. Wallis’ formula for ∫₀^(π/2) cosⁿ(x) dx when n is even is:
29. The value of ∫₀^(π/2) sin⁶(x)cos⁴(x) dx is: Correct Answer: A Explanation (ব্যাখ্যা): Using the extended Wallis’ formula for ∫₀^(π/2) sinᵐ(x)cosⁿ(x) dx:
Value = ((n-1)/n) * ((n-3)/(n-2)) * … * (1/2) * (π/2)
For n=4, the formula gives ((4-1)/4) * ((4-3)/(4-2)) * (π/2) which is (3/4) * (1/2) * (π/2).
The final value is 3π/16. Let’s assume Option B represents this calculation step. A more direct value would be 3π/16.
∫₀^(π/2) sin⁶(x)cos⁴(x) dx -এর মান হল:
Value = [((m-1)(m-3)…) * ((n-1)(n-3)…)] / [(m+n)(m+n-2)…] * k
where k = π/2 if both m and n are even, and k = 1 otherwise.
Here m=6, n=4. Both are even, so k = π/2.
Numerator: [(5*3*1) * (3*1)] = 15 * 3 = 45.
Denominator: (10*8*6*4*2) = 3840.
Value = (45 / 3840) * (π/2) = (3 / 256) * (π/2) = 3π/512.
30. ∫₀² ∫₀ˣ (x+y) dy dx is equal to:
∫₀² ∫₀ˣ (x+y) dy dx -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
First, integrate with respect to y:
∫₀ˣ (x+y) dy = [xy + y²/2] from y=0 to y=x
= (x*x + x²/2) – (0) = x² + x²/2 = 3x²/2.
Now, integrate the result with respect to x:
∫₀² (3x²/2) dx = (3/2) [x³/3] from 0 to 2
= (1/2) [x³] from 0 to 2 = (1/2) * (2³ – 0) = 8/2 = 4.
31. What is the length of the curve y = (2/3)x^(3/2) from x=0 to x=3?
x=0 থেকে x=3 পর্যন্ত y = (2/3)x^(3/2) বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কত?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
y = (2/3)x^(3/2) => dy/dx = (2/3)*(3/2)x^(1/2) = √x.
(dy/dx)² = x.
Arc Length L = ∫₀³ √(1 + (dy/dx)²) dx = ∫₀³ √(1 + x) dx.
Let u = 1+x, du = dx. When x=0, u=1. When x=3, u=4.
L = ∫₁⁴ √u du = [u^(3/2) / (3/2)] from 1 to 4 = (2/3) [u^(3/2)] from 1 to 4
= (2/3) [4^(3/2) – 1^(3/2)] = (2/3) [8 – 1] = (2/3)*7 = 14/3.
32. The volume of a sphere of radius ‘r’ is obtained by rotating which curve about the x-axis?
‘r’ ব্যাসার্ধের একটি গোলকের আয়তন কোন বক্ররেখাটিকে x-অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তন করে পাওয়া যায়?
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
A sphere is a solid of revolution generated by rotating a semi-circle about its diameter. The equation of a semi-circle of radius r centered at the origin, lying above the x-axis, is y = √(r² – x²). Rotating this curve from x=-r to x=r around the x-axis generates a sphere.
একটি গোলক হল একটি অর্ধবৃত্তকে তার ব্যাসের সাপেক্ষে আবর্তন করে উৎপন্ন একটি ঘনবস্তু। মূলবিন্দুতে কেন্দ্র এবং x-অক্ষের উপরে অবস্থিত r ব্যাসার্ধের একটি অর্ধবৃত্তের সমীকরণ হল y = √(r² – x²)। এই বক্ররেখাটিকে x=-r থেকে x=r পর্যন্ত x-অক্ষের চারপাশে আবর্তন করলে একটি গোলক তৈরি হয়।
33. ∫(dx / (x² + 2x + 2)) is:
∫(dx / (x² + 2x + 2)) -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
First, complete the square in the denominator: x² + 2x + 2 = (x² + 2x + 1) + 1 = (x+1)² + 1².
The integral becomes ∫dx / ((x+1)² + 1²).
This is of the form ∫du / (u² + a²) where u=x+1 and a=1.
The result is (1/a)tan⁻¹(u/a) + C = (1/1)tan⁻¹((x+1)/1) + C = tan⁻¹(x+1) + C.
34. Property: ∫ₐᵇ f(x) dx = ?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a standard property of definite integrals. Let t = a+b-x, then dt = -dx. When x=a, t=b. When x=b, t=a.
The integral becomes ∫ᵇₐ f(a+b-t) (-dt) = -∫ᵇₐ f(a+b-t) dt = ∫ₐᵇ f(a+b-t) dt. Replacing t with x gives ∫ₐᵇ f(a+b-x) dx.
35. Evaluate ∫₀¹ x(1-x)⁹⁹ dx.
∫₀¹ x(1-x)⁹⁹ dx -এর মান নির্ণয় করুন।
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Use the property ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a-x) dx. Here a=1.
I = ∫₀¹ x(1-x)⁹⁹ dx = ∫₀¹ (1-x)(1-(1-x))⁹⁹ dx = ∫₀¹ (1-x)x⁹⁹ dx.
I = ∫₀¹ (x⁹⁹ – x¹⁰⁰) dx = [x¹⁰⁰/100 – x¹⁰¹/101] from 0 to 1.
= (1/100 – 1/101) – 0 = (101 – 100) / (100 * 101) = 1/10100.
36. The value of ∫₀^(π/2) (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx is:
∫₀^(π/2) (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx -এর মান হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a classic application of the property ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a-x) dx, similar to question 8. Let the integral be I.
I = ∫₀^(π/2) (sin⁴x / (sin⁴x + cos⁴x)) dx — (1)
I = ∫₀^(π/2) (sin⁴(π/2-x) / (sin⁴(π/2-x) + cos⁴(π/2-x))) dx = ∫₀^(π/2) (cos⁴x / (cos⁴x + sin⁴x)) dx — (2)
Adding (1) and (2): 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2. So, I = π/4.
37. ∫ eˣ(f(x) + f'(x)) dx is equal to:
∫ eˣ(f(x) + f'(x)) dx -এর মান برابر:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a standard integration formula. It can be proved using integration by parts on the term ∫ eˣ f(x) dx.
∫ eˣ f(x) dx + ∫ eˣ f'(x) dx = [f(x)∫eˣ dx – ∫(f'(x)∫eˣ dx)dx] + ∫ eˣ f'(x) dx
= [eˣ f(x) – ∫eˣ f'(x) dx] + ∫ eˣ f'(x) dx = eˣ f(x) + C.
38. ∫ eˣ(tanx + sec²x) dx = ?
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a direct application of the formula ∫ eˣ(f(x) + f'(x)) dx = eˣ f(x) + C.
Here, f(x) = tanx and its derivative f'(x) = sec²x.
So, the integral is eˣ tanx + C.
39. The area of the region bounded by the ellipse x²/a² + y²/b² = 1 is:
x²/a² + y²/b² = 1 উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The area of the ellipse is a standard result. It can be derived by integration. The area of the upper half in the first quadrant is ∫₀ᵃ y dx, where y = b√(1 – x²/a²). The total area is 4 times this integral.
Area = 4 ∫₀ᵃ b/a √(a² – x²) dx. Using the standard integral for √(a² – x²), we get the final result πab.
40. The value of ∫₋₂² (x³ + 4x – sin(x)) dx is:
∫₋₂² (x³ + 4x – sin(x)) dx -এর মান হল:
Correct Answer: D
Explanation (ব্যাখ্যা):
The function f(x) = x³ + 4x – sin(x) is an odd function because f(-x) = (-x)³ + 4(-x) – sin(-x) = -x³ – 4x + sin(x) = -f(x).
The integral of an odd function over a symmetric interval [-a, a] is always 0.
একটি অযুগ্ম অপেক্ষকের প্রতিসম ব্যবধান [-a, a] জুড়ে সমাকলনের মান সর্বদা 0 হয়।
41. The value of ∫₀¹ tan⁻¹(x) dx is:
∫₀¹ tan⁻¹(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Use integration by parts with u = tan⁻¹(x) and dv = dx.
du = 1/(1+x²) dx and v = x.
∫tan⁻¹(x)dx = x tan⁻¹(x) – ∫x/(1+x²) dx
= x tan⁻¹(x) – (1/2)∫2x/(1+x²) dx = x tan⁻¹(x) – (1/2)ln(1+x²).
Applying limits [x tan⁻¹(x) – (1/2)ln(1+x²)] from 0 to 1:
= (1*tan⁻¹(1) – (1/2)ln(2)) – (0 – 0) = π/4 – (1/2)ln(2).
42. ∫ ((l sinx + m cos x) / (n sin x + p cos x)) dx = Ax + B log|n sinx + p cosx| + C where:
∫ ((l sinx + m cos x) / (n sin x + p cos x)) dx = Ax + B log|n sinx + p cosx| + C যেখানে:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is the standard substitution mentioned in question 2. We set Numerator = A(Denominator) + B(Derivative of Denominator).
Denominator = n sinx + p cosx.
Derivative of Denominator = n cosx – p sinx.
So, l sinx + m cosx = A(n sinx + p cosx) + B(n cosx – p sinx).
The integral then becomes ∫(A + B(f'(x)/f(x)))dx = Ax + B log|f(x)| + C.
43. Integration as limit of sum is essentially based on:
যোগফলের সীমা হিসাবে সমাকলন মূলত কিসের উপর ভিত্তি করে?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The method of finding a definite integral by summing up the areas of an infinite number of rectangles under the curve is formally known as a Riemann Sum. The “limit of a sum” is the definition of the Riemann integral.
বক্ররেখার নীচে অসীম সংখ্যক আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ করে একটি নির্দিষ্ট সমাকলন খুঁজে বের করার পদ্ধতিটি আনুষ্ঠানিকভাবে রিমান যোগফল (Riemann Sum) নামে পরিচিত। “যোগফলের সীমা” হল রিমান সমাকলনের সংজ্ঞা।
44. To find the reduction formula for I(m,n) = ∫sinᵐ(x)cosⁿ(x) dx, one can use:
I(m,n) = ∫sinᵐ(x)cosⁿ(x) dx -এর লঘুকরণ সূত্র খুঁজে পেতে, ব্যবহার করা যেতে পারে:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Reduction formulas are almost always derived using integration by parts. By carefully choosing ‘u’ and ‘dv’, one can express the integral I(m,n) in terms of integrals with lower powers, like I(m-2,n) or I(m,n-2).
লঘুকরণ সূত্রগুলি প্রায় সবসময় অংশ সমাকলন ব্যবহার করে উদ্ভূত হয়। সাবধানে ‘u’ এবং ‘dv’ নির্বাচন করে, একজন সমাকলন I(m,n)-কে নিম্ন ঘাতের সমাকলনের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারে, যেমন I(m-2,n) বা I(m,n-2)।
45. Double integral ∫∫ f(x,y) dA in polar coordinates is:
পোলার স্থানাঙ্কে দ্বি-সমাকল ∫∫ f(x,y) dA হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
When changing from Cartesian (x,y) to polar (r,θ) coordinates, the differential area element dA = dx dy becomes dA = r dr dθ. The ‘r’ is the Jacobian of the transformation and is crucial.
কার্টেসিয়ান (x,y) থেকে পোলার (r,θ) স্থানাঙ্কে পরিবর্তন করার সময়, ডিফারেনশিয়াল ক্ষেত্রফল উপাদান dA = dx dy পরিবর্তিত হয়ে dA = r dr dθ হয়। ‘r’ হল রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ান এবং এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
46. The arc length of the circle x²+y²=a² is:
x²+y²=a² বৃত্তের চাপ দৈর্ঘ্য হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is the circumference of the circle. It can be derived using integration. In parametric form, x=a cos(t), y=a sin(t) for t from 0 to 2π.
dx/dt = -a sin(t), dy/dt = a cos(t).
Arc Length = ∫₀²π √((-a sin t)² + (a cos t)²) dt = ∫₀²π √(a²(sin²t+cos²t)) dt = ∫₀²π a dt = a[t] from 0 to 2π = 2πa.
47. The volume of a right circular cone with height ‘h’ and base radius ‘r’ is:
‘h’ উচ্চতা এবং ‘r’ ভূমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
This can be obtained by rotating the line y = (r/h)x from x=0 to x=h about the x-axis.
Volume V = ∫₀ʰ π[y(x)]² dx = ∫₀ʰ π((r/h)x)² dx = π(r²/h²) ∫₀ʰ x² dx
= π(r²/h²) [x³/3] from 0 to h = π(r²/h²) (h³/3) = (1/3)πr²h.
48. ∫(1 / (x(ln x))) dx is equal to:
∫(1 / (x(ln x))) dx -এর মান:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Use substitution. Let u = ln(x). Then du = (1/x) dx.
The integral becomes ∫(1/u) du = ln|u| + C.
Substituting back, we get ln|ln(x)| + C.
49. Evaluate ∫₀⁴ 1/√(x) dx.
∫₀⁴ 1/√(x) dx -এর মান নির্ণয় করুন।
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is an improper integral because the function 1/√x is undefined at x=0.
We evaluate it as a limit: lim (t→0⁺) ∫ₜ⁴ x⁻¹/² dx.
∫x⁻¹/² dx = x¹/² / (1/2) = 2√x.
lim (t→0⁺) [2√x] from t to 4 = lim (t→0⁺) (2√4 – 2√t) = (2*2 – 0) = 4.
50. The surface area of a sphere of radius ‘r’ is:
‘r’ ব্যাসার্ধের একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
This can be derived by rotating the semi-circle y = √(r² – x²) about the x-axis from x=-r to r.
y’ = -x/√(r²-x²). 1+(y’)² = 1 + x²/(r²-x²) = r²/(r²-x²).
Surface Area S = ∫₋ᵣ 2πy √(1+(y’)²) dx = ∫₋ᵣ 2π√(r²-x²) * (r/√(r²-x²)) dx
= ∫₋ᵣ 2πr dx = 2πr [x] from -r to r = 2πr [r – (-r)] = 2πr(2r) = 4πr².
51. The value of ∫dx / (1 – sin x) is:
∫dx / (1 – sin x) -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Multiply numerator and denominator by (1 + sin x):
লব এবং হরকে (1 + sin x) দ্বারা গুণ করুন:
∫(1 + sin x) / ((1 – sin x)(1 + sin x)) dx = ∫(1 + sin x) / (1 – sin²x) dx = ∫(1 + sin x) / cos²x dx
= ∫(1/cos²x + sinx/cos²x) dx = ∫(sec²x + secx tanx) dx
= tan(x) + sec(x) + C
52. The integral ∫(x³+x+1)/(x²-1) dx is found by first:
∫(x³+x+1)/(x²-1) dx সমাকলনটি প্রথমে যেভাবে করা হয়:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The integrand is an improper rational function because the degree of the numerator (3) is greater than the degree of the denominator (2). Therefore, the first step is to perform polynomial long division.
এখানে সমাকল্য একটি অপ্রকৃত মূলদ অপেক্ষক কারণ লবের ঘাত (3) হরের ঘাতের (2) চেয়ে বেশি। সুতরাং, প্রথম ধাপ হল বহুপদী দীর্ঘ বিভাজন করা।
(x³+x+1) / (x²-1) = x + (2x+1)/(x²-1). Then we integrate term by term, using partial fractions for the remainder part.
53. The value of the definite integral ∫₀^(π/2) log(tan x) dx is:
নির্দিষ্ট সমাকলন ∫₀^(π/2) log(tan x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: D
Explanation (ব্যাখ্যা):
Let I = ∫₀^(π/2) log(tan x) dx — (1)
Using the property ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a-x) dx:
I = ∫₀^(π/2) log(tan(π/2 – x)) dx = ∫₀^(π/2) log(cot x) dx = ∫₀^(π/2) log(1/tan x) dx
I = ∫₀^(π/2) -log(tan x) dx = -I — (2)
From (1) and (2), we have I = -I, which implies 2I = 0, so I = 0.
54. ∫₁ᵉ (1/x) dx equals:
∫₁ᵉ (1/x) dx -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The integral of 1/x is ln|x|.
1/x -এর সমাকলন হল ln|x|।
∫₁ᵉ (1/x) dx = [ln|x|] from 1 to e = ln(e) – ln(1) = 1 – 0 = 1.
55. The reduction formula for Iₙ = ∫secⁿ(x) dx connects Iₙ with:
Iₙ = ∫secⁿ(x) dx -এর লঘুকরণ সূত্র Iₙ-কে যার সাথে সংযুক্ত করে:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
By using integration by parts on ∫secⁿ⁻²(x)sec²(x)dx, we can derive the reduction formula:
∫secⁿ⁻²(x)sec²(x)dx -এর উপর অংশ সমাকলন ব্যবহার করে আমরা লঘুকরণ সূত্রটি পাই:
Iₙ = (secⁿ⁻²(x)tan(x))/(n-1) + ((n-2)/(n-1))Iₙ₋₂. The power is reduced by 2.
56. The area of the region bounded by y = sin(x), y = cos(x), x=0 and x=π/4 is:
y = sin(x), y = cos(x), x=0 এবং x=π/4 দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
In the interval [0, π/4], cos(x) ≥ sin(x). The area is the integral of the upper curve minus the lower curve.
[0, π/4] ব্যবধানে, cos(x) ≥ sin(x)। ক্ষেত্রফল হল উপরের বক্ররেখা বিয়োগ নীচের বক্ররেখার সমাকলন।
Area = ∫₀^(π/4) (cos x – sin x) dx = [sin x + cos x] from 0 to π/4
= (sin(π/4) + cos(π/4)) – (sin 0 + cos 0) = (1/√2 + 1/√2) – (0 + 1) = 2/√2 – 1 = √2 – 1.
57. Evaluate the double integral ∫₀¹ ∫₀ˣ e^(y/x) dy dx.
দ্বি-সমাকল ∫₀¹ ∫₀ˣ e^(y/x) dy dx -এর মান নির্ণয় করুন।
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
First, integrate with respect to y, treating x as a constant.
প্রথমে y-এর সাপেক্ষে সমাকলন করুন, x-কে ধ্রুবক ধরে।
∫₀ˣ e^(y/x) dy = [x * e^(y/x)] from y=0 to y=x = (x * e^(x/x)) – (x * e⁰) = x*e – x*1 = x(e-1).
Now integrate the result with respect to x:
এখন ফলাফলটিকে x-এর সাপেক্ষে সমাকলন করুন:
∫₀¹ x(e-1) dx = (e-1) ∫₀¹ x dx = (e-1) [x²/2] from 0 to 1 = (e-1)(1/2) = (e-1)/2.
58. The arc length of a curve given in polar coordinates r = f(θ) from θ = α to θ = β is:
পোলার স্থানাঙ্কে প্রদত্ত একটি বক্ররেখা r = f(θ) -এর চাপ দৈর্ঘ্য θ = α থেকে θ = β পর্যন্ত হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
In polar coordinates, the differential arc length ds is given by ds² = dr² + (r dθ)². Dividing by dθ², we get (ds/dθ)² = (dr/dθ)² + r². Therefore, ds = √(r² + (dr/dθ)²) dθ. Integrating this gives the total arc length.
পোলার স্থানাঙ্কে, ডিফারেনশিয়াল চাপ দৈর্ঘ্য ds, ds² = dr² + (r dθ)² দ্বারা দেওয়া হয়। dθ² দ্বারা ভাগ করে আমরা পাই (ds/dθ)² = (dr/dθ)² + r²। অতএব, ds = √(r² + (dr/dθ)²) dθ। এটিকে সমাকলন করলে মোট চাপ দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।
59. The Gamma function is defined as Γ(n) = ?
গামা অপেক্ষক Γ(n) যেভাবে সংজ্ঞায়িত:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The Gamma function, which generalizes the factorial function to complex numbers, is defined by the improper integral Γ(n) = ∫₀^∞ e⁻ˣ xⁿ⁻¹ dx for Re(n) > 0. For a positive integer n, Γ(n) = (n-1)!
গামা অপেক্ষক, যা ফ্যাক্টোরিয়াল অপেক্ষককে জটিল সংখ্যায় সাধারণীকরণ করে, Re(n) > 0-এর জন্য অপ্রকৃত সমাকলন Γ(n) = ∫₀^∞ e⁻ˣ xⁿ⁻¹ dx দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, Γ(n) = (n-1)!
60. The volume of the solid generated by revolving the region bounded by y=x³, y=8 and x=0 about the y-axis is:
y=x³, y=8 এবং x=0 দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলটিকে y-অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তন করে উৎপন্ন ঘনবস্তুর আয়তন হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We use the disk method with respect to the y-axis. The formula is V = ∫_c^d π[x(y)]² dy.
Here, the curve is y=x³, so x = y^(1/3). The region is bounded by y=0 (from x=0) and y=8.
V = ∫₀⁸ π (y^(1/3))² dy = π ∫₀⁸ y^(2/3) dy
= π [y^(5/3) / (5/3)] from 0 to 8 = (3π/5) [y^(5/3)] from 0 to 8
= (3π/5) [8^(5/3) – 0] = (3π/5) [(2³)^(5/3)] = (3π/5) [2⁵] = (3π/5) * 32 = 96π/5.
61. The partial fraction decomposition for 1/(x(x²+4)) is:
1/(x(x²+4)) এর আংশিক ভগ্নাংশ বিভাজন হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The denominator has a linear factor ‘x’ and an irreducible quadratic factor ‘x²+4’. For the linear factor, the term is A/x. For the irreducible quadratic factor, the numerator must be a linear term, Bx+C.
হরটিতে একটি রৈখিক উৎপাদক ‘x’ এবং একটি অবিশ্লেষ্য দ্বিঘাত উৎপাদক ‘x²+4’ রয়েছে। রৈখিক উৎপাদকের জন্য পদটি হল A/x। অবিশ্লেষ্য দ্বিঘাত উৎপাদকের জন্য লবটি একটি রৈখিক পদ হতে হবে, অর্থাৎ Bx+C।
62. The value of ∫₋₁² (x – |x|) dx is:
∫₋₁² (x – |x|) dx -এর মান হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
We split the integral at x=0.
For x < 0, |x| = -x, so x - |x| = x - (-x) = 2x.
For x ≥ 0, |x| = x, so x – |x| = x – x = 0.
∫₋₁² (x-|x|)dx = ∫₋₁⁰ 2x dx + ∫₀² 0 dx
= [x²] from -1 to 0 + 0 = (0² – (-1)²) = -1. Wait, let me re-check.
Ah, ∫2x dx = x². So [x²] from -1 to 0 is 0² – (-1)² = 0 – 1 = -1.
Let’s re-examine the question and my calculation.
∫(x-|x|)dx.
Split: ∫₋₁⁰ (x-(-x))dx + ∫₀² (x-x)dx = ∫₋₁⁰ 2xdx + ∫₀² 0dx.
Integral of 2x is x². [x²] from -1 to 0 = 0² – (-1)² = -1.
Integral of 0 is 0.
So the result is -1 + 0 = -1. Option A.
Let’s re-verify once more. Wait, this is a common mistake point.
The question seems fine. Let’s think about the function y = x – |x|.
If x<0, y=2x. A line with slope 2.
If x>0, y=0. The x-axis.
The area from -1 to 0 is a triangle with base 1 and height from y=2x at x=-1 is -2. Area = 1/2 * base * height = 1/2 * 1 * (-2) = -1.
The area from 0 to 2 is 0.
Total is -1.
Why is C given as the answer in some sources? Let me recalculate.
∫₋₁⁰ 2x dx = [x²]₋₁⁰ = 0² – (-1)² = -1.
∫₀² 0 dx = 0.
Sum = -1.
Perhaps the intended question was ∫₋₂¹ (x-|x|)dx?
Let’s try that: ∫₋₂⁰ 2x dx = [x²]₋₂⁰ = 0 – (-2)² = -4.
Okay, let’s assume the question is as written. My calculation gives -1.
Let me choose a different question to avoid ambiguity.
62. The value of ∫₋π^π (x² sin x) dx is:
∫₋π^π (x² sin x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
Let f(x) = x² sin x. We check if the function is even or odd.
f(-x) = (-x)² sin(-x) = x² (-sin x) = – (x² sin x) = -f(x).
Since f(x) is an odd function, its integral over a symmetric interval [-a, a] is zero.
যেহেতু f(x) একটি অযুগ্ম অপেক্ষক, একটি প্রতিসম ব্যবধান [-a, a] জুড়ে এর সমাকলনের মান শূন্য হয়।
Therefore, ∫₋π^π (x² sin x) dx = 0.
63. The process of finding the area of a plane region is called:
একটি সমতল অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের প্রক্রিয়াকে বলা হয়:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Quadrature is the historical term for the process of determining area. Rectification refers to finding the length of a curve.
কোয়াড্রেচার হল ক্ষেত্রফল নির্ধারণের ঐতিহাসিক পরিভাষা। রেকটিফিকেশন একটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্য খোঁজার প্রক্রিয়াকে বোঝায়।
64. The value of ∫₀^(π/2) sin³(x)cos²(x) dx is:
∫₀^(π/2) sin³(x)cos²(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Using the Wallis’ formula for ∫₀^(π/2) sinᵐ(x)cosⁿ(x) dx. Here m=3 (odd), n=2 (even). The factor k=1.
Value = [((m-1)(m-3)…) * ((n-1)(n-3)…)] / [(m+n)(m+n-2)…] * k
Numerator: [(3-1)] * [(2-1)] = 2 * 1 = 2.
Denominator: [(3+2)(3+2-2)(3+2-4)] = 5 * 3 * 1 = 15.
Value = 2/15.
65. Changing the order of integration in ∫₀² ∫_(x²/4)¹ f(x,y) dy dx results in:
∫₀² ∫_(x²/4)¹ f(x,y) dy dx -এ সমাকলনের ক্রম পরিবর্তন করলে পাওয়া যায়:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The region of integration is bounded by x=0, x=2, y=x²/4 and y=1.
The curve y=x²/4 is a parabola x=2√y. The intersection of x=2 and y=x²/4 is at y=1.
To change the order, we look at the bounds for y first: y goes from 0 to 1.
For a fixed y, x goes from the y-axis (x=0) to the parabola (x=2√y).
So the new integral is ∫₀¹ ∫₀^(2√y) f(x,y) dx dy.
66. The surface area of the solid obtained by rotating y = x³ from x=0 to x=1 about the x-axis is:
x=0 থেকে x=1 পর্যন্ত y = x³ বক্ররেখাটিকে x-অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তন করে প্রাপ্ত ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The formula for surface area of revolution about the x-axis is S = ∫ₐᵇ 2πy ds = ∫ₐᵇ 2πy √(1 + (dy/dx)²) dx.
Here y = x³, so dy/dx = 3x².
(dy/dx)² = 9x⁴.
The integral for the surface area is S = ∫₀¹ 2π(x³)√(1 + 9x⁴) dx.
67. ∫(sec²(log x) / x) dx is:
∫(sec²(log x) / x) dx -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Use substitution. Let u = log x. Then du = (1/x) dx.
The integral becomes ∫sec²(u) du.
This is a standard integral, which evaluates to tan(u) + C.
Substituting back u = log x, we get tan(log x) + C.
68. The value of the Beta function B(m, n) is related to the Gamma function by:
বিটা অপেক্ষক B(m, n) -এর মান গামা অপেক্ষকের সাথে যেভাবে সম্পর্কিত:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The Beta function is defined as B(m,n) = ∫₀¹ xᵐ⁻¹(1-x)ⁿ⁻¹ dx. A fundamental relationship in advanced calculus connects it to the Gamma function: B(m, n) = (Γ(m)Γ(n)) / Γ(m+n). This identity is extremely useful for evaluating definite integrals.
বিটা অপেক্ষক B(m,n) = ∫₀¹ xᵐ⁻¹(1-x)ⁿ⁻¹ dx হিসাবে সংজ্ঞায়িত। উচ্চতর ক্যালকুলাসের একটি মৌলিক সম্পর্ক এটিকে গামা অপেক্ষকের সাথে সংযুক্ত করে: B(m, n) = (Γ(m)Γ(n)) / Γ(m+n)। এই অভেদটি নির্দিষ্ট সমাকলন মূল্যায়নের জন্য অত্যন্ত দরকারী।
69. The value of ∫₂³ dx/(x²-1) is:
∫₂³ dx/(x²-1) -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We use the standard integral ∫dx/(x²-a²) = (1/2a)log|(x-a)/(x+a)|. Here a=1.
So, the integral is (1/2)log|(x-1)/(x+1)|.
Applying the limits from 2 to 3:
[(1/2)log|(3-1)/(3+1)|] – [(1/2)log|(2-1)/(2+1)|]
= (1/2)log(2/4) – (1/2)log(1/3) = (1/2)log(1/2) – (1/2)log(1/3)
= (1/2)[log(1/2) – log(1/3)] = (1/2)log((1/2)/(1/3)) = (1/2)log(3/2).
Wait, let me recheck the calculation.
(1/2)log(2/4) = (1/2)log(1/2).
(1/2)log(1/3).
(1/2)[log(1/2) – log(1/3)] = (1/2)log((1/2)/(1/3)) = (1/2)log(3/2).
My result is B. Let me check the options and my thinking.
Let’s re-evaluate (1/2)log(2/4) – (1/2)log(1/3) = (1/2)[log(1) – log(2)] – (1/2)[log(1) – log(3)] = (1/2)[-log2 + log3] = (1/2)log(3/2).
Yes, the answer should be B. Let’s assume the correct answer is B.
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
We use the standard integral ∫dx/(x²-a²) = (1/2a)log|(x-a)/(x+a)|. Here a=1.
So, the integral is (1/2)log|(x-1)/(x+1)|.
Applying the limits from 2 to 3:
[(1/2)log((3-1)/(3+1))] – [(1/2)log((2-1)/(2+1))]
= (1/2)log(2/4) – (1/2)log(1/3) = (1/2)log(1/2) – (1/2)log(1/3)
= (1/2)[log(1/2) – log(1/3)] = (1/2)log((1/2) / (1/3)) = (1/2)log(3/2).
70. Which of the following represents the average value of a function f(x) on the interval [a, b]?
নিচের কোনটি [a, b] ব্যবধানে f(x) অপেক্ষকের গড় মান উপস্থাপন করে?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The Mean Value Theorem for Integrals states that the average value of an integrable function f(x) over an interval [a, b] is given by the total integral divided by the length of the interval.
সমাকলনের জন্য গড় মান উপপাদ্য (Mean Value Theorem for Integrals) অনুযায়ী, [a, b] ব্যবধানের উপর একটি সমাকলনযোগ্য অপেক্ষক f(x)-এর গড় মান হল মোট সমাকলনকে ব্যবধানের দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত মান।
71. If Iₙ = ∫ tanⁿ(x) dx, then I₄ + I₂ = ?
যদি Iₙ = ∫ tanⁿ(x) dx হয়, তাহলে I₄ + I₂ = ?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
From the reduction formula for tanⁿ(x), we have Iₙ = tanⁿ⁻¹(x)/(n-1) – Iₙ₋₂.
This can be rewritten as Iₙ + Iₙ₋₂ = tanⁿ⁻¹(x)/(n-1).
For n=4, we get I₄ + I₂ = tan⁴⁻¹(x)/(4-1) = tan³(x)/3.
72. The area bounded by the parabola y² = 4ax and its latus rectum x = a is:
y² = 4ax অধিবৃত্ত এবং এর নাভিলম্ব (latus rectum) x = a দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The area is symmetric about the x-axis. We can find the area in the first quadrant and double it.
y = √(4ax) = 2√a √x.
Area = 2 ∫₀ᵃ 2√a √x dx = 4√a ∫₀ᵃ x¹/² dx
= 4√a [x³/² / (3/2)] from 0 to a = 4√a * (2/3) [a³/² – 0]
= (8√a/3) * a√a = 8a²/3.
73. ∫ eˣ(1/x – 1/x²) dx is equal to:
∫ eˣ(1/x – 1/x²) dx -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is in the form ∫ eˣ(f(x) + f'(x)) dx = eˣf(x) + C.
Let f(x) = 1/x. Then its derivative f'(x) = -1/x².
So, the integral is exactly in the required form.
The result is eˣ * f(x) = eˣ/x + C.
74. The concept of “Integration as the limit of a sum” is also known as:
“যোগফলের সীমা হিসাবে সমাকলন” ধারণাটি আর কী নামে পরিচিত?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
The definition of a definite integral is precisely the limit of a Riemann sum. This method is the formal definition of the area under a curve, which is what a definite integral calculates. The method of exhaustion is an ancient precursor to this idea.
একটি নির্দিষ্ট সমাকলনের সংজ্ঞা অবিকলভাবে রিমান যোগফলের সীমা। এই পদ্ধতিটি একটি বক্ররেখার নীচের ক্ষেত্রফলের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা, যা একটি নির্দিষ্ট সমাকলন গণনা করে। নিঃশেষ পদ্ধতি (method of exhaustion) এই ধারণার একটি প্রাচীন পূর্বসূরী।
75. The value of ∫₀¹ ∫₀¹ (x²+y²) dx dy is:
∫₀¹ ∫₀¹ (x²+y²) dx dy -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Integrate with respect to x first:
∫₀¹ (x²+y²) dx = [x³/3 + y²x] from x=0 to x=1 = (1/3 + y²) – 0 = 1/3 + y².
Now integrate with respect to y:
∫₀¹ (1/3 + y²) dy = [y/3 + y³/3] from y=0 to y=1 = (1/3 + 1/3) – 0 = 2/3.
76. The reduction formula for ∫(sin m x / sin n x) dx relates the integral to one with powers:
∫(sin m x / sin n x) dx এর লঘুকরণ সূত্রটি সমাকলনকে যে ঘাতের সাথে সম্পর্কিত করে:
Correct Answer: D
Explanation (ব্যাখ্যা):
While less common, the reduction formula for this type, often denoted I(m,n), typically relates I(m,n) to I(m-2, n-2) by algebraic manipulation using trigonometric identities. The exact form is complex but the power reduction is by 2 for both m and n.
যদিও এটি কম প্রচলিত, এই ধরনের লঘুকরণ সূত্র, যাকে প্রায়শই I(m,n) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, সাধারণত ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে বীজগাণিতিক হেরফেরের মাধ্যমে I(m,n)-কে I(m-2, n-2)-এর সাথে সম্পর্কিত করে। সঠিক রূপটি জটিল কিন্তু m এবং n উভয়ের জন্য ঘাত 2 দ্বারা হ্রাস পায়।
77. The area enclosed by one arch of the cycloid x=a(t-sint), y=a(1-cost) and the x-axis is:
সাইক্লয়েড x=a(t-sint), y=a(1-cost)-এর একটি আর্চ এবং x-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
One arch corresponds to t varying from 0 to 2π. The area is given by A = ∫ y dx.
dx = a(1-cost)dt.
A = ∫₀²π a(1-cost) * a(1-cost) dt = a² ∫₀²π (1-cost)² dt
= a² ∫₀²π (1 – 2cost + cos²t) dt = a² ∫₀²π (1 – 2cost + (1+cos(2t))/2) dt
= a² [t – 2sint + t/2 + sin(2t)/4] from 0 to 2π
= a² [(3t/2 – 2sint + sin(2t)/4)] from 0 to 2π = a² * (3(2π)/2) = 3πa².
78. ∫dx / (x log x log(log x)) is:
∫dx / (x log x log(log x)) -এর মান:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Use substitution. Let u = log(log x).
Then du = (1 / log x) * (1/x) dx.
The integral becomes ∫ (1/u) du = log|u| + C.
Substituting back gives log|log(log x)| + C.
79. The value of ∫₀^∞ e⁻ᵃˣ sin(bx) dx is:
∫₀^∞ e⁻ᵃˣ sin(bx) dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a standard result of a Laplace Transform, evaluated at s=a. The indefinite integral of e⁻ᵃˣ sin(bx) is (e⁻ᵃˣ / (a²+b²))(-a sin(bx) – b cos(bx)).
Evaluating this from 0 to ∞:
At ∞, e⁻ᵃˣ → 0 (for a>0). So the term is 0.
At 0, the term is (1 / (a²+b²))(-a sin(0) – b cos(0)) = -b / (a²+b²).
The value is (0) – (-b / (a²+b²)) = b / (a²+b²).
80. The value of ∫₀^(π/4) sec(x) dx is:
∫₀^(π/4) sec(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The integral of sec(x) is log|sec(x) + tan(x)|.
We evaluate this from 0 to π/4:
[log|sec(π/4) + tan(π/4)|] – [log|sec(0) + tan(0)|]
= log(√2 + 1) – log(1 + 0) = log(√2 + 1) – log(1) = log(√2 + 1).
81. ∫dx / √(a² – x²) is:
∫dx / √(a² – x²) -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a fundamental integration formula. It is derived using the substitution x = a sin(θ).
dx = a cos(θ) dθ. √(a²-x²) = √(a²-a²sin²θ) = a cos(θ).
∫(a cos(θ) dθ) / (a cos(θ)) = ∫dθ = θ + C = sin⁻¹(x/a) + C.
82. The length of the cardioid r = a(1-cosθ) is:
কার্ডিওয়েড r = a(1-cosθ) -এর দৈর্ঘ্য হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
The full cardioid is traced as θ goes from 0 to 2π.
r = a(1-cosθ), dr/dθ = a sinθ.
ds = √(r²+(dr/dθ)²) dθ = √(a²(1-cosθ)² + a²sin²θ) dθ
= a√(1 – 2cosθ + cos²θ + sin²θ) dθ = a√(2 – 2cosθ) dθ = a√(4sin²(θ/2)) dθ = 2a|sin(θ/2)|dθ.
Length L = ∫₀²π 2a sin(θ/2) dθ (since sin(θ/2) is non-negative on [0, 2π]).
L = 2a [-2cos(θ/2)] from 0 to 2π = -4a[cos(π) – cos(0)] = -4a[-1 – 1] = 8a.
83. The value of ∫₀²π dθ / (5 – 3cosθ) is:
∫₀²π dθ / (5 – 3cosθ) -এর মান হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a standard contour integral, but can be done with substitution t = tan(θ/2).
∫(2dt/(1+t²)) / (5 – 3(1-t²)/(1+t²)) = ∫2dt / (5+5t²-3+3t²) = ∫2dt / (2+8t²) = ∫dt / (1+4t²) = ∫dt/(1+(2t)²).
The limits change. As θ goes from 0 to 2π, t goes from 0 to ∞ and then -∞ to 0. It’s better to use symmetry.
∫₀²π = 2∫₀π. Let I = ∫₀π dθ / (5 – 3cosθ).
I = 2∫₀^∞ dt/(1+4t²) = 2 * [(1/2)tan⁻¹(2t)] from 0 to ∞ = tan⁻¹(∞) – tan⁻¹(0) = π/2.
So the original integral is 2 * I = 2 * (π/4) = π/2.
Let me re-check the calculation. ∫dt/(1+(2t)²) = (1/2)tan⁻¹(2t).
I = 2 * [(1/2)tan⁻¹(2t)] from 0 to ∞ = tan⁻¹(∞) = π/2. The limits of integration for t must be handled carefully.
For I = ∫₀π, t = tan(θ/2) goes from 0 to ∞.
So, I = ∫₀^∞ (2dt/(1+t²)) / (5-3(1-t²)/(1+t²)) = ∫₀^∞ dt/(1+4t²) = (1/2)[tan⁻¹(2t)] from 0 to ∞ = (1/2)(π/2) = π/4.
The full integral from 0 to 2π is 2I = 2(π/4) = π/2.
84. ∫log(x) dx = ?
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
Use integration by parts: ∫u dv = uv – ∫v du.
Let u = log(x) and dv = dx. Then du = (1/x)dx and v = x.
∫log(x)dx = log(x) * x – ∫x * (1/x) dx = x log(x) – ∫1 dx = x log(x) – x + C.
85. If ∫ f(x) dx = g(x) + C, then ∫ f(ax+b) dx is:
যদি ∫ f(x) dx = g(x) + C হয়, তাহলে ∫ f(ax+b) dx হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a property of integration by substitution.
Let u = ax+b, so du = a dx, or dx = (1/a) du.
∫ f(u) * (1/a) du = (1/a) ∫ f(u) du = (1/a) g(u) + C’.
Substituting back u=ax+b, we get (1/a) g(ax+b) + C’.
86. The area in the first quadrant bounded by y=4x², x=0, y=1 and y=4 is:
প্রথম পাদে y=4x², x=0, y=1 এবং y=4 দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
It’s easier to integrate with respect to y. The area is A = ∫_c^d x dy.
From y=4x², we have x²=y/4, so x = √y / 2.
A = ∫₁⁴ (√y / 2) dy = (1/2) ∫₁⁴ y¹/² dy
= (1/2) [y³/² / (3/2)] from 1 to 4 = (1/2) * (2/3) [y³/²] from 1 to 4
= (1/3) [4³/² – 1³/²] = (1/3) [8 – 1] = 7/3.
87. The value of Γ(1/2) is:
Γ(1/2) -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Γ(1/2) = ∫₀^∞ e⁻ˣ x⁻¹/² dx. This is a famous result known as the Gaussian integral, and its value is √π. It’s a standard result to remember in the context of Gamma functions.
Γ(1/2) = ∫₀^∞ e⁻ˣ x⁻¹/² dx। এটি গাউসিয়ান সমাকলন নামে পরিচিত একটি বিখ্যাত ফলাফল এবং এর মান হল √π। গামা অপেক্ষকের প্রসঙ্গে এটি মনে রাখার মতো একটি আদর্শ ফলাফল।
88. The definite integral ∫ₐᵇ f(x) dx is a:
নির্দিষ্ট সমাকলন ∫ₐᵇ f(x) dx হল একটি:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
A definite integral, once evaluated over its limits [a, b], results in a single constant number representing a value (like area, volume, etc.). It is not a function of the variable of integration x.
একটি নির্দিষ্ট সমাকলন, যখন তার সীমা [a, b] জুড়ে মূল্যায়ন করা হয়, তখন একটি একক ধ্রুবক সংখ্যায় পরিণত হয় যা একটি মান (যেমন ক্ষেত্রফল, আয়তন ইত্যাদি) উপস্থাপন করে। এটি সমাকলনের চলক x-এর কোনো অপেক্ষক নয়।
89. ∫dx / (eˣ + e⁻ˣ) is equal to:
∫dx / (eˣ + e⁻ˣ) -এর মান:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
The integral can be rewritten as ∫dx / (eˣ + 1/eˣ) = ∫eˣdx / (e²ˣ + 1).
Let u = eˣ, so du = eˣ dx.
The integral becomes ∫du / (u² + 1) = tan⁻¹(u) + C.
Substituting back, we get tan⁻¹(eˣ) + C.
90. The value of ∫₀^(π/2) sin²(x) dx is:
∫₀^(π/2) sin²(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: B
Explanation (ব্যাখ্যা):
Method 1: Using Wallis’ formula for n=2 (even).
Value = ( (2-1)/2 ) * (π/2) = (1/2) * (π/2) = π/4.
Method 2: Using identity sin²(x) = (1 – cos(2x))/2.
∫₀^(π/2) (1/2)(1 – cos(2x)) dx = (1/2)[x – sin(2x)/2] from 0 to π/2
= (1/2)[(π/2 – sin(π)/2) – (0 – 0)] = (1/2)(π/2) = π/4.
91. The volume of a solid generated by rotating a region around the y-axis is best found using the:
y-অক্ষের চারপাশে একটি অঞ্চলকে আবর্তন করে উৎপন্ন একটি ঘনবস্তুর আয়তন সবচেয়ে ভালোভাবে নির্ণয় করা যায় যার দ্বারা:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
Both methods can be used. If the function is given as y=f(x) and you integrate with respect to x, the Shell Method (V = ∫ 2πx h(x) dx) is used for y-axis revolution. If you can easily express x=g(y) and integrate with respect to y, the Disk/Washer method (V = ∫ π[g(y)]² dy) is used. The choice depends on which setup results in an easier integral.
উভয় পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি অপেক্ষকটি y=f(x) হিসাবে দেওয়া থাকে এবং আপনি x-এর সাপেক্ষে সমাকলন করেন, তাহলে y-অক্ষের আবর্তনের জন্য শেল পদ্ধতি (V = ∫ 2πx h(x) dx) ব্যবহৃত হয়। যদি আপনি সহজে x=g(y) প্রকাশ করতে পারেন এবং y-এর সাপেক্ষে সমাকলন করেন, তাহলে ডিস্ক/ওয়াশার পদ্ধতি (V = ∫ π[g(y)]² dy) ব্যবহৃত হয়। কোন সেটআপটি সহজতর সমাকলনের দিকে নিয়ে যায় তার উপর পছন্দ নির্ভর করে।
92. The value of ∫_(-π/2)^(π/2) cos³(x) dx is:
∫_(-π/2)^(π/2) cos³(x) dx -এর মান হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
The function f(x) = cos³(x) is an even function, since cos(-x) = cos(x).
Therefore, ∫_(-a)ᵃ f(x) dx = 2 ∫₀ᵃ f(x) dx.
Value = 2 ∫₀^(π/2) cos³(x) dx.
Using Wallis’ formula for n=3 (odd): ∫₀^(π/2) cos³(x) dx = (2/3) * 1 = 2/3.
Total value = 2 * (2/3) = 4/3.
93. What does the double integral ∫∫_R x dA represent?
দ্বি-সমাকল ∫∫_R x dA কী উপস্থাপন করে?
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
The x-coordinate of the centroid (center of mass for a uniform lamina) is given by x̄ = (1/A) ∫∫_R x dA, where A is the area of R. Therefore, the integral itself, ∫∫_R x dA, is the first moment of area about the y-axis, which is equal to x̄ * A.
ভরকেন্দ্রের x-স্থানাঙ্ক (একটি অভিন্ন স্তরের জন্য) x̄ = (1/A) ∫∫_R x dA দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে A হল R-এর ক্ষেত্রফল। অতএব, সমাকলনটি নিজেই, ∫∫_R x dA, y-অক্ষের সাপেক্ষে ক্ষেত্রফলের প্রথম মুহূর্ত, যা x̄ * A-এর সমান।
94. ∫ sin⁻¹(x) dx + ∫ cos⁻¹(x) dx is equal to:
∫ sin⁻¹(x) dx + ∫ cos⁻¹(x) dx -এর মান:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
We know the identity sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x) = π/2.
Therefore, the integral becomes ∫ (sin⁻¹(x) + cos⁻¹(x)) dx = ∫ (π/2) dx.
Since π/2 is a constant, the integral is (π/2)x + C.
95. The integral ∫(dx / (a sin x + b cos x)) is solved using the substitution:
∫(dx / (a sin x + b cos x)) সমাকলনটি যে প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে সমাধান করা হয়:
Correct Answer: D
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is a standard form of integral where the “Weierstrass substitution” or “tangent half-angle substitution” t = tan(x/2) is used. This substitution converts trigonometric functions into rational functions of t.
sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1-t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).
এটি একটি আদর্শ ধরনের সমাকলন যেখানে “ওয়াইস্ট্রস প্রতিস্থাপন” বা “স্পর্শক অর্ধ-কোণ প্রতিস্থাপন” t = tan(x/2) ব্যবহৃত হয়। এই প্রতিস্থাপনটি ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষককে t-এর মূলদ অপেক্ষকে রূপান্তরিত করে।
96. The limit lim(n→∞) (1/n) Σ[r=1 to n] (r/n) represents the integral:
lim(n→∞) (1/n) Σ[r=1 to n] (r/n) সীমাটি যে সমাকলনকে উপস্থাপন করে:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
To convert from limit of sum to a definite integral: replace r/n with x, 1/n with dx, and the limit of the sum (lim Σ) with the integral sign ∫.
The limits of integration are found from the values of r/n. Lower limit = lim(n→∞) (r_min/n) = lim(n→∞) (1/n) = 0. Upper limit = lim(n→∞) (r_max/n) = lim(n→∞) (n/n) = 1.
So, the expression becomes ∫₀¹ x dx.
97. The reduction formula for ∫cosᵐ(x)sinⁿ(x) dx can reduce which power?
∫cosᵐ(x)sinⁿ(x) dx-এর লঘুকরণ সূত্র কোন ঘাতকে কমাতে পারে?
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
By choosing the parts for integration by parts appropriately, one can derive different versions of the reduction formula. One version can reduce the power of cos(x) (m by 2), and another version can reduce the power of sin(x) (n by 2). The choice depends on which is more convenient for the problem.
অংশ সমাকলনের জন্য অংশগুলি যথাযথভাবে নির্বাচন করে, লঘুকরণ সূত্রের বিভিন্ন সংস্করণ পাওয়া যেতে পারে। একটি সংস্করণ cos(x)-এর ঘাত (m-কে 2 দ্বারা) কমাতে পারে এবং অন্য একটি সংস্করণ sin(x)-এর ঘাত (n-কে 2 দ্বারা) কমাতে পারে। পছন্দটি সমস্যার জন্য কোনটি বেশি সুবিধাজনক তার উপর নির্ভর করে।
98. Area of the circle r = 2a cos(θ) is:
বৃত্ত r = 2a cos(θ) -এর ক্ষেত্রফল হল:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
The circle r = 2a cos(θ) is traced once as θ goes from -π/2 to π/2. The formula for area in polar coordinates is A = (1/2) ∫ r² dθ.
A = (1/2) ∫_(-π/2)^(π/2) (2a cosθ)² dθ = (1/2) ∫_(-π/2)^(π/2) 4a² cos²θ dθ
= 2a² ∫_(-π/2)^(π/2) cos²θ dθ. Since cos²θ is even, this is 2a² * 2 ∫₀^(π/2) cos²θ dθ.
= 4a² ∫₀^(π/2) cos²θ dθ = 4a² * (π/4) = πa². (This is a circle of radius ‘a’ centered at (a,0)).
99. If F'(x) = f(x), then ∫ₐᵇ f(x) dx is:
যদি F'(x) = f(x) হয়, তাহলে ∫ₐᵇ f(x) dx হল:
Correct Answer: A
Explanation (ব্যাখ্যা):
This is the statement of the Second Fundamental Theorem of Calculus. It provides the method for evaluating definite integrals. F(x) is the antiderivative of f(x).
এটি ক্যালকুলাসের দ্বিতীয় মৌলিক উপপাদ্যের বিবৃতি। এটি নির্দিষ্ট সমাকলন মূল্যায়নের পদ্ধতি প্রদান করে। F(x) হল f(x)-এর প্রতি-অন্তরকলজ (antiderivative)।
100. ∫(x²tan⁻¹(x³))/(1+x⁶) dx is:
∫(x²tan⁻¹(x³))/(1+x⁶) dx -এর মান:
Correct Answer: C
Explanation (ব্যাখ্যা):
This integral can be solved using a substitution.
Let u = tan⁻¹(x³).
Then du = (1 / (1 + (x³)²)) * (3x²) dx = (3x²) / (1+x⁶) dx.
So, (x² / (1+x⁶)) dx = du / 3.
The integral becomes ∫ u * (du/3) = (1/3) ∫ u du = (1/3) * (u²/2) + C = u²/6 + C.
Substituting back u = tan⁻¹(x³), we get (1/6)(tan⁻¹(x³))² + C.