VECTOR ALGEBRA

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) শক্তি (Energy)

Explanation (ব্যাখ্যা): শক্তি একটি স্কেলার রাশি কারণ এর কেবল মান আছে, কোনো দিক নেই। সরণ, বল এবং বেগ হলো ভেক্টর রাশি কারণ এদের মান ও দিক উভয়ই আছে।
Energy is a scalar quantity because it has only magnitude, no direction. Displacement, Force, and Velocity are vector quantities as they have both magnitude and direction.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) মান ও দিক উভয়ই (Both magnitude and direction)

Explanation (ব্যাখ্যা): সংজ্ঞা অনুযায়ী, যেসকল ভৌত রাশির মান এবং দিক উভয়ই আছে এবং যারা ভেক্টর যোগের সূত্র মেনে চলে, তাদের ভেক্টর রাশি বলা হয়।
By definition, physical quantities that have both magnitude and direction and obey the laws of vector addition are called vector quantities.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) A এবং B উভয়ই (Both A and B)

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি ভেক্টরের যোগফল ত্রিভুজ সূত্র এবং সামান্তরিক সূত্র উভয় দ্বারাই নির্ণয় করা যায়। দুটি সূত্রই জ্যামিতিকভাবে সমতুল্য ফলাফল দেয়।
The sum of two vectors can be determined by both the Triangle Law and the Parallelogram Law. Both laws give geometrically equivalent results.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 5

Explanation (ব্যাখ্যা): কোনো ভেক্টর \(\vec{a} = x\hat{i} + y\hat{j}\) এর মান \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)। এখানে, \(x=3, y=4\)। সুতরাং, \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)।
The magnitude of a vector \(\vec{a} = x\hat{i} + y\hat{j}\) is given by \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Here, \(x=3, y=4\). So, \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 1

Explanation (ব্যাখ্যা): সংজ্ঞা অনুযায়ী, একটি একক ভেক্টরের মান সর্বদা 1 হয়। এর কাজ হলো শুধুমাত্র দিক নির্দেশ করা।
By definition, the magnitude of a unit vector is always 1. Its purpose is solely to indicate direction.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A)

Explanation (ব্যাখ্যা): একটি ভেক্টরকে একটি ধনাত্মক স্কেলার দ্বারা গুণ করলে নতুন ভেক্টরের দিক একই থাকে, কিন্তু এর মান স্কেলারটির গুণিতক হয়।
Multiplying a vector by a positive scalar results in a new vector with the same direction, but its magnitude is multiplied by that scalar.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) A এবং C উভয়ই (Both A and C)

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি ভেক্টর সমরেখ বা সমান্তরাল হলে একটিকে অপরটির স্কেলার গুণিতক হিসেবে প্রকাশ করা যায় (\(\vec{a} = \lambda \vec{b}\))। এছাড়া, তাদের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হয় (\(|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta\)), কারণ তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 0^\circ\) বা \(180^\circ\), এবং \(\sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0\)।
If two vectors are collinear or parallel, one can be expressed as a scalar multiple of the other (\(\vec{a} = \lambda \vec{b}\)). Also, their cross product is zero (\(|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta\)), because the angle between them is \(\theta = 0^\circ\) or \(180^\circ\), and \(\sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) একটি স্কেলার (A scalar)

Explanation (ব্যাখ্যা): নাম থেকেই বোঝা যায়, দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের ফলাফল একটি স্কেলার রাশি। \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\), যা একটি সংখ্যা (স্কেলার)।
As the name suggests, the result of a scalar product of two vectors is a scalar quantity. \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\), which is a number (a scalar).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 90^\circ\)। আমরা জানি, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\)। যেহেতু \(\cos(90^\circ) = 0\), তাই \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)।
If two vectors are perpendicular, the angle between them is \(\theta = 90^\circ\). We know that \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\). Since \(\cos(90^\circ) = 0\), it follows that \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C)

Explanation (ব্যাখ্যা): ভেক্টর গুণফলের সংজ্ঞা অনুযায়ী, \(\vec{A} \times \vec{B}\) এর ফলে প্রাপ্ত নতুন ভেক্টরটি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) উভয় ভেক্টরের উপর লম্ব হয়। এর দিক ডান-হাতি স্ক্রু নিয়ম (Right-Hand Thumb Rule) দ্বারা নির্ণয় করা হয়।
By definition of the vector product, the resulting vector \(\vec{A} \times \vec{B}\) is perpendicular to both \(\vec{A}\) and \(\vec{B}\). Its direction is determined by the Right-Hand Thumb Rule.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 0

Explanation (ব্যাখ্যা): \(\hat{i}\) এবং \(\hat{j}\) হলো দুটি লম্ব একক ভেক্টর (x এবং y অক্ষ বরাবর)। তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^\circ\)। সুতরাং, \(\hat{i} \cdot \hat{j} = |\hat{i}||\hat{j}|\cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0\)।
\(\hat{i}\) and \(\hat{j}\) are two perpendicular unit vectors (along x and y axes). The angle between them is \(90^\circ\). Therefore, \(\hat{i} \cdot \hat{j} = |\hat{i}||\hat{j}|\cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) \(\hat{k}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): অর্থোগোনাল একক ভেক্টরগুলির ক্রস প্রোডাক্টের নিয়ম অনুযায়ী, \(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\), \(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\), এবং \(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\)। এটি ডান-হাতি সিস্টেম (right-handed system) অনুসরণ করে।
According to the rules for the cross product of orthogonal unit vectors, \(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\), \(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\), and \(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\). This follows the right-handed system.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)

Explanation (ব্যাখ্যা): ভেক্টর গুণফলের জ্যামিতিক তাৎপর্য হলো দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল। ক্ষেত্রফল একটি স্কেলার রাশি, তাই ক্রস প্রোডাক্ট ভেক্টরের মান নিতে হয়। ক্ষেত্রফল = \(|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta\)।
The geometric significance of the vector product is the area of the parallelogram formed by the two vectors. Area is a scalar quantity, so we take the magnitude of the cross product vector. Area = \(|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0\)

Explanation (ব্যাখ্যা): স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) দ্বারা তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত প্যারালালিপাইপেডের আয়তন বোঝায়। যদি ভেক্টর তিনটি একতলীয় হয়, তবে প্যারালালিপাইপেডের আয়তন শূন্য হবে।
The scalar triple product \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) represents the volume of the parallelepiped formed by the three vectors. If the vectors are coplanar, the volume of the parallelepiped will be zero.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): \(\vec{a}\) এর অভিক্ষেপ \(\vec{b}\) বরাবর হল \(|\vec{a}|\cos\theta\), যেখানে \(\theta\) হল ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ। আমরা জানি \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)। এখান থেকে, \(|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)।
The projection of \(\vec{a}\) along \(\vec{b}\) is \(|\vec{a}|\cos\theta\), where \(\theta\) is the angle between the vectors. We know \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\). From this, we get \(|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) \(90^\circ\)

Explanation (ব্যাখ্যা): দেওয়া আছে, \(|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|\)। উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \(|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2\)। অর্থাৎ, \((\vec{A}+\vec{B}) \cdot (\vec{A}+\vec{B}) = (\vec{A}-\vec{B}) \cdot (\vec{A}-\vec{B})\)। সমাধান করলে পাই, \(A^2 + B^2 + 2\vec{A}\cdot\vec{B} = A^2 + B^2 – 2\vec{A}\cdot\vec{B}\)। এর থেকে, \(4\vec{A}\cdot\vec{B} = 0\), অর্থাৎ \(\vec{A}\cdot\vec{B} = 0\)। এটি তখনই সম্ভব যখন ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হয়, অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^\circ\)।
Given, \(|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|\). Squaring both sides, we get \(|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2\). This means \((\vec{A}+\vec{B}) \cdot (\vec{A}+\vec{B}) = (\vec{A}-\vec{B}) \cdot (\vec{A}-\vec{B})\). Solving this gives \(A^2 + B^2 + 2\vec{A}\cdot\vec{B} = A^2 + B^2 – 2\vec{A}\cdot\vec{B}\). This simplifies to \(4\vec{A}\cdot\vec{B} = 0\), or \(\vec{A}\cdot\vec{B} = 0\). This is only possible if the vectors are perpendicular, meaning the angle between them is \(90^\circ\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) -3

Explanation (ব্যাখ্যা): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-3) = 2 – 2 – 3 = -3\)।
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (1)(-3) = 2 – 2 – 3 = -3\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) \(60^\circ\)

Explanation (ব্যাখ্যা): আমরা জানি \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)। এখানে, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1\)। \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\) এবং \(|\vec{b}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\)। সুতরাং, \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)। অতএব, \(\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^\circ\)।
We know \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). Here, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1\). \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\) and \(|\vec{b}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\). So, \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\). Therefore, \(\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^\circ\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A)

Explanation (ব্যাখ্যা): শূন্য ভেক্টর বা নাল ভেক্টরের মান শূন্য। যেহেতু এর কোনো দৈর্ঘ্য নেই, তাই এর কোনো নির্দিষ্ট দিকও নেই। এর দিককে অনির্দিষ্ট বা যথেচ্ছ বলে ধরা হয়।
A zero vector or null vector has a magnitude of zero. Since it has no length, it does not have a specific direction. Its direction is considered arbitrary or undefined.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) 6

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি ভেক্টর সমরেখ হলে তাদের অনুরূপ উপাংশের অনুপাত সমান হয়। সুতরাং, \(\frac{2}{4} = \frac{3}{x}\)। এটি সমাধান করে পাই, \(2x = 12\), অর্থাৎ \(x=6\)।
If two vectors are collinear, the ratio of their corresponding components is equal. So, \(\frac{2}{4} = \frac{3}{x}\). Solving this gives \(2x = 12\), which means \(x=6\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) \(-\vec{B} \times \vec{A}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): ভেক্টর গুণফল বিনিময় সূত্র (commutative law) মানে না। এটি অ্যান্টি-কমিউটেটিভ, অর্থাৎ \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\)। এর কারণ হলো, ক্রম পরিবর্তন করলে ডান-হাতি নিয়ম অনুযায়ী দিক উল্টে যায়।
The vector product is not commutative. It is anti-commutative, which means \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\). This is because reversing the order reverses the direction according to the right-hand rule.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(\frac{1}{2}\sqrt{35}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\)। প্রথমে \(\vec{a} \times \vec{b}\) নির্ণয় করি:
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) – \hat{j}(-4 – (-1)) + \hat{k}(2-3) = 5\hat{i} + 3\hat{j} – \hat{k}\)।
এখন, \(|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{25+9+1} = \sqrt{35}\)।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}\sqrt{35}\)।
Area of triangle = \(\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|\). First, we calculate \(\vec{a} \times \vec{b}\):
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) – \hat{j}(-4 – (-1)) + \hat{k}(2-3) = 5\hat{i} + 3\hat{j} – \hat{k}\).
Now, \(|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{25+9+1} = \sqrt{35}\).
Therefore, Area = \(\frac{1}{2}\sqrt{35}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C)

Explanation (ব্যাখ্যা): স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট, \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\)-এর সাংখ্যমান, \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) ভেক্টর তিনটিকে সন্নিহিত বাহু ধরে গঠিত প্যারালালিপাইপেড (parallelepiped) বা আয়তঘনের আয়তন নির্দেশ করে।
The magnitude of the scalar triple product, \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\), represents the volume of the parallelepiped whose adjacent edges are the vectors \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C)

Explanation (ব্যাখ্যা): ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্টের সূত্রটি হল \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} – (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\)। যেহেতু ফলাফলটি \(\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) এর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ (linear combination), তাই ফলাফল ভেক্টরটি \(\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) দ্বারা গঠিত তলের উপরেই অবস্থিত হবে।
The formula for the vector triple product is \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} – (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\). Since the result is a linear combination of \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\), the resulting vector lies in the plane formed by \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) \(\vec{b} – \vec{a}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): যেকোনো দুটি বিন্দু A এবং B, যাদের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\vec{a}\) এবং \(\vec{b}\), তাদের সংযোগকারী ভেক্টর \(\vec{AB}\) হলো (B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর), অর্থাৎ \(\vec{b} – \vec{a}\)।
For any two points A and B with position vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) respectively, the vector connecting them, \(\vec{AB}\), is given by (Position vector of B) – (Position vector of A), which is \(\vec{b} – \vec{a}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(\vec{0}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): যদি A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) হয়, তবে D, E, F এর অবস্থান ভেক্টর হবে যথাক্রমে \(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}, \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}, \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)। তখন \(\vec{AD} = \vec{d}-\vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}\), \(\vec{BE} = \frac{\vec{c}+\vec{a}-2\vec{b}}{2}\), \(\vec{CF} = \frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{2}\)। এদের যোগ করলে ফলাফল শূন্য ভেক্টর (\(\vec{0}\)) হয়।
If position vectors of A, B, C are \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), then position vectors of D, E, F are \(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}, \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}, \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\). Then \(\vec{AD} = \vec{d}-\vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}\), \(\vec{BE} = \frac{\vec{c}+\vec{a}-2\vec{b}}{2}\), \(\vec{CF} = \frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{2}\). Adding them results in the zero vector (\(\vec{0}\)).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 1

Explanation (ব্যাখ্যা): \([\hat{i} \hat{j} \hat{k}] = \hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k})\)। আমরা জানি \(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\)। সুতরাং, \(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1\)। এটি একক ঘনকের (unit cube) আয়তন নির্দেশ করে।
\([\hat{i} \hat{j} \hat{k}] = \hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k})\). We know \(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\). So, \(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1\). This represents the volume of a unit cube.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 7 একক (7 units)

Explanation (ব্যাখ্যা): কৃতকার্য (Work Done) \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\), যেখানে \(\vec{d}\) হলো সরণ ভেক্টর। \(\vec{d} = \vec{r_2} – \vec{r_1} = (4-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k}\)। সুতরাং, \(W = (2\hat{i} + \hat{j} – \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k}) = (2)(3) + (1)(1) + (-1)(-2) = 6 + 1 + 2 = 9\)। *সংশোধন: গণনাটি হবে \(6+1+2=9\)*। সঠিক উত্তর ৯ একক।
Corrected Calculation (সংশোধিত গণনা): \(W = 6 + 1 + 2 = 9\)। Therefore, the correct option is C.
Work Done \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\), where \(\vec{d}\) is the displacement vector. \(\vec{d} = \vec{r_2} – \vec{r_1} = (4-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k}\). So, \(W = (2\hat{i} + \hat{j} – \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k}) = (2)(3) + (1)(1) + (-1)(-2) = 6 + 1 + 2 = 9\). The correct option is C.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 9 একক (9 units)

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) \(|\vec{a}|^2\)

Explanation (ব্যাখ্যা): \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2\)। একটি ভেক্টরের সাথে তার নিজের ডট প্রোডাক্ট তার মানের বর্গের সমান হয়।
\(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2\). The dot product of a vector with itself is the square of its magnitude.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(\vec{0}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): \(|\vec{a} \times \vec{a}| = |\vec{a}| |\vec{a}| \sin(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 0 = 0\)। যেহেতু মান শূন্য, ভেক্টরটি হলো শূন্য ভেক্টর (\(\vec{0}\))।
\(|\vec{a} \times \vec{a}| = |\vec{a}| |\vec{a}| \sin(0^\circ) = |\vec{a}|^2 \cdot 0 = 0\). Since the magnitude is zero, the vector is the zero vector (\(\vec{0}\)).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) -3/2

Explanation (ব্যাখ্যা): আমরা জানি \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\)। যেহেতু \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\), তাই \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 0\)। সম্প্রসারণ করে পাই, \(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) = 0\)। যেহেতু \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) একক ভেক্টর, \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1\)। সুতরাং, \(1+1+1 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) = 0\), যা থেকে পাই \(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} = -3/2\)।
We know \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\). Since \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\), \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 0\). Expanding gives \(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) = 0\). Since \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) are unit vectors, \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1\). Thus, \(1+1+1 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) = 0\), which gives \(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} = -3/2\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) l² + m² + n² = 1

Explanation (ব্যাখ্যা): দিক কোসাইনগুলি হল \(l = \cos\alpha\), \(m = \cos\beta\), \(n = \cos\gamma\), যেখানে \(\alpha, \beta, \gamma\) হল ভেক্টরটির x, y, z অক্ষের সাথে কোণ। এদের বর্গের যোগফল সর্বদা 1 হয়: \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)।
The direction cosines are \(l = \cos\alpha\), \(m = \cos\beta\), \(n = \cos\gamma\), where \(\alpha, \beta, \gamma\) are the angles the vector makes with the x, y, z axes. The sum of their squares is always 1: \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) \(60^\circ\)

Explanation (ব্যাখ্যা): \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)। সুতরাং \(\theta = 60^\circ\)।
\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Therefore, \(\theta = 60^\circ\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B)

Explanation (ব্যাখ্যা): এটি ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ অসমতার (triangle inequality) সমতা অবস্থা। এটি কেবল তখনই ঘটে যখন ভেক্টর দুটি একই দিকে নির্দেশ করে, অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=0^\circ\)।
This is the equality case of the triangle inequality for vector addition. It only occurs when the two vectors point in the same direction, meaning the angle between them is \(\theta=0^\circ\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(5\sqrt{3}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): কর্ণের সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|\)। \(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) – \hat{j}(12 – (-2)) + \hat{k}(-9-1) = -2\hat{i} – 14\hat{j} – 10\hat{k}\)। \(|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2+(-14)^2+(-10)^2} = \sqrt{4+196+100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\)। ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}(10\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}\)।
Area of a parallelogram in terms of its diagonals = \(\frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|\). \(\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) – \hat{j}(12 – (-2)) + \hat{k}(-9-1) = -2\hat{i} – 14\hat{j} – 10\hat{k}\). \(|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2+(-14)^2+(-10)^2} = \sqrt{4+196+100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\). Area = \(\frac{1}{2}(10\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) \(c\hat{k}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): x-y তলের উপর লম্ব দিকটি হলো z-অক্ষ। z-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর হলো \(\hat{k}\)। সুতরাং, ওই তলের উপর লম্ব যেকোনো ভেক্টরকে \(c\hat{k}\) আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে c একটি স্কেলার।
The direction perpendicular to the x-y plane is the z-axis. The unit vector along the z-axis is \(\hat{k}\). Therefore, any vector perpendicular to that plane can be represented as \(c\hat{k}\), where c is a scalar.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C)

Explanation (ব্যাখ্যা): আয়তন একটি ভৌত রাশি যা ঋণাত্মক হতে পারে না। স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, যা ভেক্টরগুলির ক্রমের উপর নির্ভর করে। কিন্তু আয়তন হলো এর পরম মান, \(|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\), যা সর্বদা অ-ঋণাত্মক (শূন্য বা ধনাত্মক)।
Volume is a physical quantity that cannot be negative. The value of the scalar triple product \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) can be positive or negative depending on the order of vectors. However, the volume is its absolute value, \(|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\), which is always non-negative (zero or positive).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) লম্ব (Perpendicular)

Explanation (ব্যাখ্যা): এটি প্রশ্ন 16 এর পুনরাবৃত্তি। \(|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|\) হলে, \(4\vec{A}\cdot\vec{B} = 0\), যার অর্থ \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) পরস্পর লম্ব।
This is a repeat of question 16. If \(|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|\), then \(4\vec{A}\cdot\vec{B} = 0\), which means \(\vec{A}\) and \(\vec{B}\) are perpendicular.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B)

Explanation (ব্যাখ্যা): প্রথমে ভেক্টরের মান নির্ণয় করি: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7\)। দিক কোসাইনগুলি হলো \(l = \frac{a_x}{|\vec{a}|}, m = \frac{a_y}{|\vec{a}|}, n = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\)। সুতরাং, দিক কোসাইনগুলি হলো \(\frac{3}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{6}{7}\)।
First, find the magnitude of the vector: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7\). The direction cosines are \(l = \frac{a_x}{|\vec{a}|}, m = \frac{a_y}{|\vec{a}|}, n = \frac{a_z}{|\vec{a}|}\). Thus, the direction cosines are \(\frac{3}{7}, \frac{-2}{7}, \frac{6}{7}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A)

Explanation (ব্যাখ্যা): দিক কোসাইনগুলি হলো \(l = \cos(90^\circ)\), \(m = \cos(135^\circ)\), \(n = \cos(45^\circ)\)। \(\cos(90^\circ) = 0\), \(\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ-45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), এবং \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)। সুতরাং, দিক কোসাইনগুলি হলো \(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\)।
The direction cosines are \(l = \cos(90^\circ)\), \(m = \cos(135^\circ)\), \(n = \cos(45^\circ)\). \(\cos(90^\circ) = 0\), \(\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ-45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), and \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\). So, the direction cosines are \(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(2\sin(\theta/2)\)

Explanation (ব্যাখ্যা): \(|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\)। যেহেতু একক ভেক্টর, \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\), তাই \(1 – 2(1)(1)\cos\theta + 1 = 2 – 2\cos\theta = 2(1-\cos\theta) = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)\)। সুতরাং, \(|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{4\sin^2(\theta/2)} = 2\sin(\theta/2)\)।
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 – 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\). Since they are unit vectors, \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\), so \(1 – 2(1)(1)\cos\theta + 1 = 2 – 2\cos\theta = 2(1-\cos\theta) = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)\). Therefore, \(|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{4\sin^2(\theta/2)} = 2\sin(\theta/2)\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): সেকশন সূত্র (Section Formula) অনুযায়ী, \(\vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}\)। এখানে \(\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\), \(\vec{b} = 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}\), m=2, n=1। \(\vec{c} = \frac{2(4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}) + 1(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}{2+1} = \frac{8\hat{i}+10\hat{j}+12\hat{k} + \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}}{3} = \frac{9\hat{i}+12\hat{j}+15\hat{k}}{3} = 3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\)।
Using the Section Formula, \(\vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}\). Here \(\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\), \(\vec{b} = 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}\), m=2, n=1. \(\vec{c} = \frac{2(4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}) + 1(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}{2+1} = \frac{8\hat{i}+10\hat{j}+12\hat{k} + \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}}{3} = \frac{9\hat{i}+12\hat{j}+15\hat{k}}{3} = 3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 5

Explanation (ব্যাখ্যা): স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট চক্রাকার ক্রমে (cyclic order) অপরিবর্তিত থাকে। অর্থাৎ, \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]\)।
The scalar triple product remains unchanged in a cyclic order. That is, \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 8/3

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি ভেক্টর লম্ব হলে তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হয়। \(\vec{a}\cdot\vec{b} = (2)(4) + (-3)(k) = 0\)। \(8 – 3k = 0\), সুতরাং \(3k=8\), \(k=8/3\)।
If two vectors are perpendicular, their dot product is zero. \(\vec{a}\cdot\vec{b} = (2)(4) + (-3)(k) = 0\). \(8 – 3k = 0\), so \(3k=8\), \(k=8/3\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) \(\frac{\sqrt{21}}{2}\)

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি সন্নিহিত বাহু ভেক্টর নির্ণয় করি: \(\vec{AB} = \vec{b} – \vec{a} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}\)। \(\vec{AC} = \vec{c} – \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}\)। ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|\)। \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) – \hat{j}(0-2) + \hat{k}(0-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}\)। \(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}\)। সুতরাং, ক্ষেত্রফল = \(\frac{\sqrt{21}}{2}\)।
Find two adjacent side vectors: \(\vec{AB} = \vec{b} – \vec{a} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}\). \(\vec{AC} = \vec{c} – \vec{a} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}\). Area = \(\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|\). \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) – \hat{j}(0-2) + \hat{k}(0-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}\). \(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}\). Thus, Area = \(\frac{\sqrt{21}}{2}\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) না (No)

Explanation (ব্যাখ্যা): একটি ভেক্টরের মান তার যেকোনো উপাংশের মানের থেকে সর্বদা বড় বা সমান হয়। \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)। যেহেতু \(a_x^2, a_y^2, a_z^2\) অ-ঋণাত্মক, তাই \(|\vec{a}| \ge |a_x|\), \(|\vec{a}| \ge |a_y|\), এবং \(|\vec{a}| \ge |a_z|\)।
The magnitude of a vector is always greater than or equal to the magnitude of any of its components. \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\). Since \(a_x^2, a_y^2, a_z^2\) are non-negative, \(|\vec{a}| \ge |a_x|\), \(|\vec{a}| \ge |a_y|\), and \(|\vec{a}| \ge |a_z|\).

Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) A এবং C উভয়ই (Both A and C)

Explanation (ব্যাখ্যা): দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হয় যদি তারা সমান্তরাল হয়। এখানে, \(\vec{a}\) এবং \(\vec{b} \times \vec{c}\) ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হবে। \(\vec{b} \times \vec{c}\) ভেক্টরটি \(\vec{b}\) ও \(\vec{c}\) এর তলের উপর লম্ব। সুতরাং, যদি \(\vec{a}\) ভেক্টরটি \(\vec{b} \times \vec{c}\) এর সমান্তরাল হয়, তার মানে \(\vec{a}\) ভেক্টরটিও \(\vec{b}\) ও \(\vec{c}\) এর তলের উপর লম্ব হবে। তাই A এবং C উভয়ই সঠিক।
The cross product of two vectors is zero if they are parallel. Here, the cross product will be zero if vector \(\vec{a}\) is parallel to vector \(\vec{b} \times \vec{c}\). The vector \(\vec{b} \times \vec{c}\) is perpendicular to the plane of \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\). Therefore, if \(\vec{a}\) is parallel to \(\vec{b} \times \vec{c}\), it means \(\vec{a}\) is also perpendicular to the plane of \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\). So both A and C are correct.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0\)

Explanation (ব্যাখ্যা): জ্যামিতির একটি ধর্ম হলো, রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে। যেহেতু কর্ণ দুটি পরস্পর লম্ব, তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হবে।
A property of geometry is that the diagonals of a rhombus bisect each other at right angles (perpendicularly). Since the diagonals are perpendicular, their dot product will be zero.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) সমকোণ (Right angle)

Explanation (ব্যাখ্যা): যদি বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু O হয় এবং ব্যাসের প্রান্তবিন্দু A ও B এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\vec{r}\) ও \(-\vec{r}\) হয়, এবং পরিধির উপর যেকোনো বিন্দু P এর অবস্থান ভেক্টর \(\vec{p}\) হয়, তবে \(|\vec{p}|=|\vec{r}|\)। \(\vec{PA} = \vec{a}-\vec{p} = \vec{r}-\vec{p}\) এবং \(\vec{PB} = \vec{b}-\vec{p} = -\vec{r}-\vec{p}\)। \(\vec{PA}\cdot\vec{PB} = (\vec{r}-\vec{p})\cdot(-\vec{r}-\vec{p}) = -|\vec{r}|^2 + |\vec{p}|^2 = 0\)। যেহেতু ডট প্রোডাক্ট শূন্য, কোণটি সমকোণ।
If the center of the circle is the origin O, and the endpoints of the diameter A and B have position vectors \(\vec{r}\) and \(-\vec{r}\), and any point P on the circumference has position vector \(\vec{p}\), then \(|\vec{p}|=|\vec{r}|\). The vectors \(\vec{PA} = \vec{a}-\vec{p} = \vec{r}-\vec{p}\) and \(\vec{PB} = \vec{b}-\vec{p} = -\vec{r}-\vec{p}\). Their dot product is \(\vec{PA}\cdot\vec{PB} = (\vec{r}-\vec{p})\cdot(-\vec{r}-\vec{p}) = -|\vec{r}|^2 + |\vec{p}|^2 = 0\). Since the dot product is zero, the angle is a right angle.

Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) শূন্য ভেক্টর (Zero vector)

Explanation (ব্যাখ্যা): একটি ভেক্টর \(\vec{a}\) এর বিপরীত ভেক্টর হলো \(-\vec{a}\)। তাদের যোগফল \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{a} – \vec{a} = \vec{0}\)। ফলাফলটি একটি শূন্য ভেক্টর, স্কেলার শূন্য নয়।
The opposite vector of a vector \(\vec{a}\) is \(-\vec{a}\). Their sum is \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{a} – \vec{a} = \vec{0}\). The result is a zero vector, not the scalar zero.