Reduction of data-Statistics, sufficient, statistic factorization criteria for sufficiency (statements only) and minimal sufficient statistics……
Statistics MCQs (XI-XII) – 100 Questions
Q1. একটি পরিসংখ্যানকে Sufficient বলা হয় যদি এটি… (A statistic is called sufficient if it…)
(A) সমগ্র স্যাম্পেলের সমস্ত তথ্য প্যারামিটার সম্পর্কে ধারণ করে। (contains all the information about the parameter that is present in the entire sample.)
(B) unbiased হয়। (is unbiased.)
(C) consistent হয়। (is consistent.)
(D) efficient হয়। (is efficient.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) সমগ্র স্যাম্পেলের সমস্ত তথ্য প্যারামিটার সম্পর্কে ধারণ করে। (contains all the information about the parameter that is present in the entire sample.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Sufficiency-র মূল ধারণা হলো ডেটা সংক্ষেপণ (data reduction)। একটি Statistic (T) কে Sufficient বলা হয় যদি প্যারামিটার (θ) সম্পর্কে স্যাম্পেলের সমস্ত তথ্য T-এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, T-এর মান জানা থাকলে মূল স্যাম্পেল ডেটা থেকে প্যারামিটার সম্পর্কে নতুন কোনো তথ্য পাওয়া যায় না।
Q2. Fisher-Neyman Factorization Theorem কীসের জন্য ব্যবহৃত হয়? (What is the Fisher-Neyman Factorization Theorem used for?)
(A) একটি Estimator-এর Unbiasedness পরীক্ষা করার জন্য। (To check the unbiasedness of an estimator.)
(B) একটি Statistic-এর Sufficiency খুঁজে বের করার জন্য। (To find the sufficiency of a statistic.)
(C) Type I error গণনা করার জন্য। (To calculate Type I error.)
(D) Confidence Interval তৈরি করার জন্য। (To construct a confidence interval.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) একটি Statistic-এর Sufficiency খুঁজে বের করার জন্য। (To find the sufficiency of a statistic.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Fisher-Neyman Factorization Theorem একটি শক্তিশালী টুল যা বলে যে, একটি statistic T(X) প্যারামিটার θ-এর জন্য sufficient হবে যদি এবং কেবল যদি স্যাম্পেলের joint probability density function (pdf) বা probability mass function (pmf) কে দুটি ফাংশনের গুণফল হিসেবে লেখা যায়: f(x;θ) = g(T(x);θ) * h(x)। এখানে g ফাংশনটি θ এবং T(x) এর উপর নির্ভরশীল, কিন্তু h ফাংশনটি θ-এর উপর নির্ভরশীল নয়।
Q3. একটি ভালো Estimator-এর বৈশিষ্ট্য কোনটি নয়? (Which of the following is NOT a criterion for a good estimator?)
(A) Unbiasedness (অনপেক্ষতা)
(B) Consistency (সঙ্গতি)
(C) Efficiency (দক্ষতা)
(D) Complexity (জটিলতা)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) Complexity (জটিলতা)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি ভালো Estimator-এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি হলো Unbiasedness (অনপেক্ষতা), Consistency (সঙ্গতি), Efficiency (দক্ষতা) এবং Sufficiency (পর্যাপ্ততা)। Complexity বা জটিলতা একটিพึงปรารถนา বৈশিষ্ট্য নয়; বরং সরল Estimator বেশি পছন্দ করা হয়।
Q4. Mean Squared Error (MSE) কীসের সমান? (Mean Squared Error (MSE) is equal to?)
(A) Variance + Bias
(B) Variance + (Bias)^2
(C) Variance – Bias
(D) Variance – (Bias)^2
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) Variance + (Bias)^2
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি estimator T-এর Mean Squared Error (MSE) সংজ্ঞায়িত হয় MSE(T) = E[(T – θ)^2] হিসেবে, যেখানে θ হলো আসল প্যারামিটার। এটিকে ভেঙে লেখা যায়: MSE(T) = Var(T) + [E(T) – θ]^2। এখানে [E(T) – θ] হলো Bias। সুতরাং, MSE(T) = Variance(T) + (Bias(T))^2।
Q5. Cramer-Rao Inequality কী প্রদান করে? (What does the Cramer-Rao Inequality provide?)
(A) একটি unbiased estimator-এর variance-এর সর্বোচ্চ সীমা। (An upper bound on the variance of an unbiased estimator.)
(B) একটি unbiased estimator-এর variance-এর সর্বনিম্ন সীমা। (A lower bound on the variance of an unbiased estimator.)
(C) একটি estimator-এর bias। (The bias of an estimator.)
(D) Type II error-এর সম্ভাবনা। (The probability of Type II error.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) একটি unbiased estimator-এর variance-এর সর্বনিম্ন সীমা। (A lower bound on the variance of an unbiased estimator.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Cramer-Rao Inequality বলে যে কিছু Regularity Condition-এর অধীনে, প্যারামিটার θ-এর যেকোনো unbiased estimator T-এর variance, Cramer-Rao Lower Bound (CRLB) থেকে কম হতে পারে না। অর্থাৎ, Var(T) ≥ 1/I(θ), যেখানে I(θ) হলো Fisher Information। এটি একটি estimator-এর দক্ষতার একটি মাপকাঠি।
Q6. Rao-Blackwell Theorem ব্যবহার করে কী করা হয়? (What is the Rao-Blackwell Theorem used for?)
(A) একটি unbiased estimator থেকে একটি উন্নততর unbiased estimator তৈরি করা হয়। (To improve an unbiased estimator to get a better one.)
(B) একটি biased estimator কে unbiased করা হয়। (To make a biased estimator unbiased.)
(C) Hypothesis test করা হয়। (To perform a hypothesis test.)
(D) Likelihood function তৈরি করা হয়। (To create a likelihood function.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি unbiased estimator থেকে একটি উন্নততর unbiased estimator তৈরি করা হয়। (To improve an unbiased estimator to get a better one.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Rao-Blackwell Theorem অনুযায়ী, যদি T একটি unbiased estimator এবং S একটি sufficient statistic হয়, তাহলে T-এর conditional expectation, E(T|S), একটি নতুন unbiased estimator হবে যার variance মূল estimator T-এর variance-এর থেকে কম বা সমান হবে (Var(E(T|S)) ≤ Var(T))। এইভাবে একটি ভালো estimator পাওয়া যায়।
Q7. Method of Moments (MOM) পদ্ধতিতে প্যারামিটার কীভাবে estimate করা হয়? (In the Method of Moments (MOM), how are parameters estimated?)
(A) Population moments-কে sample moments-এর সমান ধরে। (By equating population moments to sample moments.)
(B) Likelihood function-কে maximize করে। (By maximizing the likelihood function.)
(C) Sum of squared errors-কে minimize করে। (By minimizing the sum of squared errors.)
(D) Prior distribution ব্যবহার করে। (By using a prior distribution.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Population moments-কে sample moments-এর সমান ধরে। (By equating population moments to sample moments.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Method of Moments (MOM) একটি প্যারামিটার অনুমানের পদ্ধতি যেখানে k-তম population moment (E[X^k]) কে k-তম sample moment (Σx_i^k / n) এর সমান ধরে সমীকরণ সমাধান করে প্যারামিটারের মান বের করা হয়।
Q8. Maximum Likelihood Estimation (MLE) পদ্ধতিতে প্যারামিটারের কোন মানটি বেছে নেওয়া হয়? (In Maximum Likelihood Estimation (MLE), which value of the parameter is chosen?)
(A) যা Likelihood function-কে minimize করে। (The one that minimizes the likelihood function.)
(B) যা Likelihood function-কে maximize করে। (The one that maximizes the likelihood function.)
(C) যা posterior probability-কে maximize করে। (The one that maximizes the posterior probability.)
(D) যা sample mean-এর সমান হয়। (The one that equals the sample mean.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) যা Likelihood function-কে maximize করে। (The one that maximizes the likelihood function.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): MLE-র মূল নীতি হলো প্যারামিটারের এমন একটি মান খুঁজে বের করা যা প্রাপ্ত স্যাম্পেল ডেটা পাওয়ার সম্ভাবনাকে সর্বোচ্চ (maximize) করে। এই সম্ভাবনাটি Likelihood Function দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Q9. Least Square Method সাধারণত কোন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়? (The Least Square Method is generally used in which context?)
(A) Regression Analysis (রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস)
(B) Time Series Analysis (টাইম সিরিজ অ্যানালাইসিস)
(C) Factor Analysis (ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস)
(D) Cluster Analysis (ক্লাস্টার অ্যানালাইসিস)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Regression Analysis (রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Least Square Method প্রধানত Regression মডেলে প্যারামিটার (যেমন, ঢাল ও ইন্টারসেপ্ট) অনুমান করার জন্য ব্যবহৃত হয়। এই পদ্ধতিতে observed ডেটা এবং মডেল দ্বারা predicted ডেটার মধ্যেকার ভুলের বর্গের যোগফলকে (sum of squared errors) সর্বনিম্ন করা হয়।
Q10. Hypothesis Testing-এ Type I error কী? (In Hypothesis Testing, what is a Type I error?)
(A) Null hypothesis সত্য হওয়া সত্ত্বেও তাকে reject করা। (Rejecting the null hypothesis when it is true.)
(B) Null hypothesis মিথ্যা হওয়া সত্ত্বেও তাকে accept করা। (Accepting the null hypothesis when it is false.)
(C) Alternative hypothesis সত্য হওয়া সত্ত্বেও তাকে reject করা। (Rejecting the alternative hypothesis when it is true.)
(D) Alternative hypothesis মিথ্যা হওয়া সত্ত্বেও তাকে accept করা। (Accepting the alternative hypothesis when it is false.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Null hypothesis সত্য হওয়া সত্ত্বেও তাকে reject করা। (Rejecting the null hypothesis when it is true.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Type I error ঘটে যখন আমরা একটি সত্য null hypothesis (H₀) কে ভুলবশত বাতিল (reject) করে দিই। এই ভুলের সম্ভাবনাকে α বা significance level বলা হয়।
Q11. একটি পরীক্ষার Power (Power of a test) বলতে কী বোঝায়? (What is meant by the Power of a test?)
(A) 1 – P(Type I error)
(B) P(Type I error)
(C) 1 – P(Type II error)
(D) P(Type II error)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 1 – P(Type II error)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি পরীক্ষার Power হলো মিথ্যা null hypothesis (H₀) কে সঠিকভাবে reject করার সম্ভাবনা। Type II error (β) হলো একটি মিথ্যা H₀ কে ভুলবশত accept করার সম্ভাবনা। সুতরাং, Power = 1 – β = 1 – P(Type II error)। একটি ভালো পরীক্ষার Power সবসময় বেশি হওয়া উচিত।
Q12. Neyman-Pearson Lemma কী ধরনের পরীক্ষার জন্য Most Powerful (MP) test খুঁজে বের করে? (The Neyman-Pearson Lemma finds the Most Powerful (MP) test for what kind of hypotheses?)
(A) Simple hypothesis vs. Simple alternative
(B) Simple hypothesis vs. Composite alternative
(C) Composite hypothesis vs. Simple alternative
(D) Composite hypothesis vs. Composite alternative
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Simple hypothesis vs. Simple alternative
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Neyman-Pearson Lemma একটি নির্দিষ্ট তাৎপর্য স্তরে (significance level α) একটি সরল null hypothesis (H₀: θ = θ₀) এর বিরুদ্ধে একটি সরল বিকল্প hypothesis (H₁: θ = θ₁) পরীক্ষা করার জন্য সবচেয়ে শক্তিশালী (Most Powerful) পরীক্ষাটি খুঁজে বের করার একটি পদ্ধতি প্রদান করে।
Q13. একটি Confidence Interval কী? (What is a Confidence Interval?)
(A) একটি পরিসর যা population parameter-কে ধারণ করার সম্ভাবনা রাখে। (A range that is likely to contain the population parameter.)
(B) একটি পরিসর যা sample statistic-কে ধারণ করে। (A range that contains the sample statistic.)
(C) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যা population parameter-এর সমান। (A specific number that is equal to the population parameter.)
(D) পরীক্ষার Power। (The power of a test.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি পরিসর যা population parameter-কে ধারণ করার সম্ভাবনা রাখে। (A range that is likely to contain the population parameter.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি Confidence Interval হলো স্যাম্পেল ডেটা থেকে গণনা করা একটি পরিসর, যা একটি নির্দিষ্ট confidence level (যেমন 95%) সহ population parameter-কে ধারণ করবে বলে আশা করা হয়। এটি point estimation-এর অনিশ্চয়তা পরিমাপ করে।
Q14. Wald’s Sequential Probability Ratio Test (SPRT)-এর প্রধান সুবিধা কী? (What is the main advantage of Wald’s Sequential Probability Ratio Test (SPRT)?)
(A) এটি সবসময় নির্দিষ্ট স্যাম্পেল সাইজ ব্যবহার করে। (It always uses a fixed sample size.)
(B) এটি নির্দিষ্ট স্যাম্পেল সাইজ পরীক্ষার চেয়ে গড়ে কম স্যাম্পেলের প্রয়োজন হয়। (It requires, on average, fewer samples than a fixed-sample-size test.)
(C) এটিতে কোনো Type I error থাকে না। (It has no Type I error.)
(D) এটি শুধুমাত্র Normal distribution-এর জন্য কাজ করে। (It only works for the Normal distribution.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) এটি নির্দিষ্ট স্যাম্পেল সাইজ পরীক্ষার চেয়ে গড়ে কম স্যাম্পেলের প্রয়োজন হয়। (It requires, on average, fewer samples than a fixed-sample-size test.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): SPRT-তে স্যাম্পেল সাইজ আগে থেকে নির্দিষ্ট করা হয় না। প্রতিটি স্যাম্পেল নেওয়ার পর সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় যে আরও স্যাম্পেল প্রয়োজন কিনা। ফলস্বরূপ, একই স্তরের Type I ও Type II error বজায় রেখেও, SPRT প্রায়শই একটি নির্দিষ্ট স্যাম্পেল সাইজের পরীক্ষার তুলনায় গড়ে কম স্যাম্পেল ব্যবহার করে সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারে।
Q15. SPRT-তে OC (Operating Characteristic) curve কী দেখায়? (In SPRT, what does the OC (Operating Characteristic) curve show?)
(A) Null hypothesis accept করার সম্ভাবনা, প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য। (The probability of accepting the null hypothesis for different values of the parameter.)
(B) Null hypothesis reject করার সম্ভাবনা, প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য। (The probability of rejecting the null hypothesis for different values of the parameter.)
(C) গড় স্যাম্পেল সংখ্যা, প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য। (The average sample number for different values of the parameter.)
(D) Type I error-এর মান। (The value of Type I error.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Null hypothesis accept করার সম্ভাবনা, প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য। (The probability of accepting the null hypothesis for different values of the parameter.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): OC curve হলো একটি গ্রাফ যা প্যারামিটারের আসল মানের একটি ফাংশন হিসেবে null hypothesis (H₀) accept করার সম্ভাবনাকে প্লট করে। অর্থাৎ, L(θ) = P(Accept H₀ | θ)। এটি একটি পরীক্ষার কর্মক্ষমতা মূল্যায়নের জন্য ব্যবহৃত হয়।
Q16. একটি unbiased estimator-এর MSE কিসের সমান? (For an unbiased estimator, what is its MSE equal to?)
(A) Its variance (তার variance)
(B) Its bias (তার bias)
(C) Zero (শূন্য)
(D) One (এক)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Its variance (তার variance)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): আমরা জানি MSE = Variance + (Bias)². একটি estimator unbiased হলে তার Bias শূন্য হয়। সুতরাং, MSE = Variance + (0)² = Variance।
Q17. Uniformly Most Powerful (UMP) test কখন বিদ্যমান থাকে? (When does a Uniformly Most Powerful (UMP) test exist?)
(A) Simple H₀ বনাম Simple H₁ এর জন্য। (For Simple H₀ vs. Simple H₁.)
(B) Monotone Likelihood Ratio (MLR) property সহ one-sided পরীক্ষার জন্য। (For one-sided tests with the Monotone Likelihood Ratio (MLR) property.)
(C) সকল two-sided পরীক্ষার জন্য। (For all two-sided tests.)
(D) যখন 데이터 স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয়। (When the data is normally distributed.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) Monotone Likelihood Ratio (MLR) property সহ one-sided পরীক্ষার জন্য। (For one-sided tests with the Monotone Likelihood Ratio (MLR) property.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): UMP test হলো এমন একটি পরীক্ষা যা composite alternative hypothesis (যেমন H₁: θ > θ₀) এর অন্তর্গত প্রতিটি সরল বিকল্পের জন্য Most Powerful। Karlin-Rubin Theorem অনুযায়ী, যদি কোনো ডিস্ট্রিবিউশন ফ্যামিলির Monotone Likelihood Ratio (MLR) ধর্ম থাকে, তাহলে one-sided hypothesis (H₀: θ ≤ θ₀ বনাম H₁: θ > θ₀) পরীক্ষার জন্য UMP test বিদ্যমান থাকে।
Q18. Likelihood Ratio Test (LRT) কোন ধরনের hypothesis পরীক্ষার জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতি? (The Likelihood Ratio Test (LRT) is a general method for testing which kind of hypotheses?)
(A) শুধুমাত্র Simple বনাম Simple। (Only Simple vs. Simple.)
(B) শুধুমাত্র Simple বনাম Composite। (Only Simple vs. Composite.)
(C) Simple অথবা Composite hypothesis-এর যেকোনো সংমিশ্রণ। (Any combination of simple or composite hypotheses.)
(D) শুধুমাত্র non-parametric পরীক্ষা। (Only non-parametric tests.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) Simple অথবা Composite hypothesis-এর যেকোনো সংমিশ্রণ। (Any combination of simple or composite hypotheses.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): LRT একটি অত্যন্ত বহুমুখী পদ্ধতি। এটি simple বনাম simple, simple বনাম composite, এবং composite বনাম composite – সব ধরনের hypothesis পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি likelihood function-এর অনুপাতের উপর ভিত্তি করে কাজ করে।
Q19. একটি Minimal Sufficient Statistic কী? (What is a Minimal Sufficient Statistic?)
(A) যেকোনো sufficient statistic-এর একটি ফাংশন। (A function of any sufficient statistic.)
(B) যে sufficient statistic ডেটাকে সবচেয়ে বেশি সংক্ষেপ করে। (The sufficient statistic that achieves the greatest possible data reduction.)
(C) যেটির variance সবচেয়ে কম। (The one with the minimum variance.)
(D) যেটি শুধুমাত্র MLE দ্বারা পাওয়া যায়। (The one that can only be found by MLE.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) যে sufficient statistic ডেটাকে সবচেয়ে বেশি সংক্ষেপ করে। (The sufficient statistic that achieves the greatest possible data reduction.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি sufficient statistic T(X) কে minimal sufficient বলা হয় যদি এটি অন্য যেকোনো sufficient statistic S(X) এর একটি ফাংশন হয়। সহজ কথায়, এটি ডেটাকে যতটা সম্ভব সংক্ষেপ করে, কিন্তু প্যারামিটার সম্পর্কে কোনো তথ্য হারায় না।
Q20. Consistency বলতে কী বোঝায়? (What does consistency imply?)
(A) স্যাম্পেল সাইজ বাড়লে, estimator-এর মান আসল প্যারামিটারের মানের কাছাকাছি যায়। (As the sample size increases, the value of the estimator gets closer to the true parameter value.)
(B) Estimator-এর expected value আসল প্যারামিটারের সমান। (The expected value of the estimator is equal to the true parameter.)
(C) Estimator-এর variance সর্বনিম্ন। (The estimator has the minimum variance.)
(D) Estimatorটি sufficient। (The estimator is sufficient.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) স্যাম্পেল সাইজ বাড়লে, estimator-এর মান আসল প্যারামিটারের মানের কাছাকাছি যায়। (As the sample size increases, the value of the estimator gets closer to the true parameter value.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Consistency একটি large-sample property। একটি estimator Tₙ কে consistent বলা হয় যদি স্যাম্পেল সাইজ (n) অসীমের দিকে গেলে, Tₙ সম্ভাবনাগতভাবে (in probability) আসল প্যারামিটার θ-এর দিকে converge করে। অর্থাৎ, P(|Tₙ – θ| > ε) → 0 as n → ∞।
Q21. একটি পরিসংখ্যান পরিবারের (family of distributions) Completeness বলতে কী বোঝায়? (What does completeness of a family of distributions mean?)
(A) যদি E[g(T)] = 0 হয় সকল θ-এর জন্য, তাহলে g(T) = 0 হবে। (If E[g(T)] = 0 for all θ, then g(T) must be 0.)
(B) পরিবারের সকল সদস্যের variance সমান। (All members of the family have the same variance.)
(C) এটি একটি minimal sufficient statistic ধারণ করে। (It possesses a minimal sufficient statistic.)
(D) এটি Normal distribution অনুসরণ করে। (It follows the Normal distribution.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যদি E[g(T)] = 0 হয় সকল θ-এর জন্য, তাহলে g(T) = 0 হবে। (If E[g(T)] = 0 for all θ, then g(T) must be 0.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি statistic T-এর distribution-কে complete বলা হয় যদি Eθ[g(T)] = 0 for all θ থেকে এটা বোঝায় যে Pθ(g(T) = 0) = 1 for all θ। এটি Lehman-Scheffe Theorem-এ UMVUE খুঁজে বের করার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।
Q22. Neyman-Pearson Lemma-র test statistic টি কিসের উপর ভিত্তি করে তৈরি? (The test statistic in the Neyman-Pearson Lemma is based on what?)
(A) The likelihood ratio (লাইকলিহুড অনুপাত)
(B) The sum of squares (বর্গের যোগফল)
(C) The sample mean (স্যাম্পেল গড়)
(D) The sample variance (স্যাম্পেল ভেদাঙ্ক)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) The likelihood ratio (লাইকলিহুড অনুপাত)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Neyman-Pearson Lemma অনুযায়ী, H₀: θ=θ₀ বনাম H₁: θ=θ₁ পরীক্ষার জন্য 가장 শক্তিশালী পরীক্ষার critical regionটি L(θ₁|x) / L(θ₀|x) > k আকারের হয়, যেখানে L হলো likelihood function এবং k একটি ধ্রুবক। এই অনুপাতটিই likelihood ratio।
Q23. একটি পরীক্ষার Size বলতে কী বোঝায়? (What is meant by the size of a test?)
(A) Type I error করার সর্বোচ্চ সম্ভাবনা। (The maximum probability of making a Type I error.)
(B) Type II error করার সর্বোচ্চ সম্ভাবনা। (The maximum probability of making a Type II error.)
(C) ব্যবহৃত স্যাম্পেলের সংখ্যা। (The number of samples used.)
(D) 1 – Power of the test.
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Type I error করার সর্বোচ্চ সম্ভাবনা। (The maximum probability of making a Type I error.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি পরীক্ষার size হলো null hypothesis সত্য হলে Type I error করার সর্বোচ্চ সম্ভাবনা। অর্থাৎ, α = sup θ∈Θ₀ P(Reject H₀ | θ), যেখানে Θ₀ হলো null hypothesis-এর প্যারামিটার স্পেস। Simple hypothesis-এর ক্ষেত্রে, size এবং level of significance একই।
Q24. Confidence Interval এবং Hypothesis Testing-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (What is the relationship between Confidence Intervals and Hypothesis Testing?)
(A) তারা একে অপরের দ্বৈত (dual)। (They are dual to each other.)
(B) তাদের মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই। (There is no relationship between them.)
(C) Confidence Interval শুধুমাত্র estimation-এর জন্য ব্যবহৃত হয়। (Confidence Interval is only used for estimation.)
(D) Hypothesis Testing শুধুমাত্র decision-এর জন্য ব্যবহৃত হয়। (Hypothesis Testing is only used for decisions.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) তারা একে অপরের দ্বৈত (dual)। (They are dual to each other.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি 100(1-α)% confidence interval এবং একটি α-level hypothesis test-এর মধ্যে একটি দ্বৈত সম্পর্ক রয়েছে। যদি H₀: θ = θ₀ পরীক্ষা করার জন্য θ₀ মানটি (1-α) confidence interval-এর মধ্যে না পড়ে, তাহলে আমরা α level-এ H₀ কে reject করতে পারি। বিপরীতভাবে, যদি H₀ reject না হয়, তাহলে θ₀ মানটি confidence interval-এর মধ্যে থাকবে।
Q25. SPRT-তে, Average Sample Number (ASN) curve কী দেখায়? (In SPRT, what does the Average Sample Number (ASN) curve show?)
(A) পরীক্ষা শেষ করতে প্রয়োজনীয় গড় স্যাম্পেল সংখ্যা, প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য। (The average number of samples required to terminate the test, for different values of the parameter.)
(B) H₀ গ্রহণ করার সম্ভাবনা। (The probability of accepting H₀.)
(C) পরীক্ষার Power। (The power of the test.)
(D) Critical region-এর আকার। (The size of the critical region.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) পরীক্ষা শেষ করতে প্রয়োজনীয় গড় স্যাম্পেল সংখ্যা, প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের জন্য। (The average number of samples required to terminate the test, for different values of the parameter.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): ASN ফাংশন, Eθ(N), প্যারামিটার θ-এর প্রতিটি মানের জন্য পরীক্ষাটি শেষ করতে (অর্থাৎ H₀ গ্রহণ বা বর্জন করার সিদ্ধান্ত নিতে) গড়ে কতগুলি স্যাম্পেল প্রয়োজন হবে তা দেখায়। এটি SPRT-র efficiency মূল্যায়নের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ টুল।
Q26. Minimum Variance Unbiased Estimator (MVUE) কী? (What is a Minimum Variance Unbiased Estimator (MVUE)?)
(A) সকল unbiased estimator-এর মধ্যে যার variance সবচেয়ে কম। (The unbiased estimator with the smallest variance among all unbiased estimators.)
(B) সকল estimator-এর মধ্যে যার variance সবচেয়ে কম। (The estimator with the smallest variance among all estimators.)
(C) একটি biased estimator যার variance কম। (A biased estimator with low variance.)
(D) একটি consistent estimator। (A consistent estimator.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) সকল unbiased estimator-এর মধ্যে যার variance সবচেয়ে কম। (The unbiased estimator with the smallest variance among all unbiased estimators.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): MVUE বা UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator) হলো এমন একটি unbiased estimator যা অন্য যেকোনো unbiased estimator-এর তুলনায় সমান বা কম variance ধারণ করে। এটি estimator-এর দক্ষতার চূড়ান্ত মাপকাঠি।
Q27. যদি একটি unbiased estimator-এর variance Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)-এর সমান হয়, তবে estimator-টিকে কী বলা হয়? (If the variance of an unbiased estimator equals the Cramer-Rao Lower Bound (CRLB), the estimator is called?)
(A) Efficient (দক্ষ)
(B) Sufficient (পর্যাপ্ত)
(C) Consistent (সঙ্গতিপূর্ণ)
(D) Complete (সম্পূর্ণ)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Efficient (দক্ষ)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি unbiased estimator-কে efficient বলা হয় যদি তার variance, Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)-এর সমান হয়। এর মানে হলো, estimator-টি সম্ভাব্য সর্বনিম্ন variance অর্জন করেছে এবং এটি সবচেয়ে দক্ষ।
Q28. একটি Randomized Test কখন ব্যবহার করা হয়? (When is a Randomized Test used?)
(A) যখন ডেটা discrete হয় এবং নির্দিষ্ট significance level (α) অর্জন করা সম্ভব হয় না। (When the data is discrete and a specific significance level (α) cannot be achieved exactly.)
(B) যখন ডেটা continuous হয়। (When the data is continuous.)
(C) যখন স্যাম্পেল সাইজ খুব বড় হয়। (When the sample size is very large.)
(D) যখন Null hypothesis composite হয়। (When the null hypothesis is composite.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যখন ডেটা discrete হয় এবং নির্দিষ্ট significance level (α) অর্জন করা সম্ভব হয় না। (When the data is discrete and a specific significance level (α) cannot be achieved exactly.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Discrete distribution-এর ক্ষেত্রে, critical region-এ একটি অতিরিক্ত পয়েন্ট যোগ করলে Type I error-এর সম্ভাবনা কাঙ্ক্ষিত α-এর থেকে বেশি হয়ে যেতে পারে। এই সমস্যা সমাধানের জন্য, boundary point-গুলিতে একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনার সাথে H₀ reject করা হয়। এই পদ্ধতিটিকেই Randomized Test বলা হয়, যা size-কে ঠিক α-তে নিয়ে আসে।
Q29. একটি পরীক্ষার Power Function, π(θ), কী সংজ্ঞায়িত করে? (What does the Power Function, π(θ), of a test define?)
(A) প্যারামিটার θ-এর একটি ফাংশন হিসাবে H₀ reject করার সম্ভাবনা। (The probability of rejecting H₀ as a function of the parameter θ.)
(B) প্যারামিটার θ-এর একটি ফাংশন হিসাবে H₀ accept করার সম্ভাবনা। (The probability of accepting H₀ as a function of the parameter θ.)
(C) Type I error। (The Type I error.)
(D) Type II error। (The Type II error.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) প্যারামিটার θ-এর একটি ফাংশন হিসাবে H₀ reject করার সম্ভাবনা। (The probability of rejecting H₀ as a function of the parameter θ.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Power Function, π(θ) = P(Reject H₀ | θ), প্যারামিটারের প্রতিটি সম্ভাব্য মানের জন্য null hypothesis reject করার সম্ভাবনাকে দেখায়। যখন θ alternative hypothesis-এর অন্তর্গত, তখন Power Function পরীক্ষার Power নির্দেশ করে। যখন θ null hypothesis-এর অন্তর্গত, তখন এটি Type I error-এর সম্ভাবনা (size) নির্দেশ করে।
Q30. UMPU test কী? (What is a UMPU test?)
(A) Uniformly Most Powerful Unbiased test
(B) Uniformly Minimum Power Unbiased test
(C) Unanimously Most Powerful Unbiased test
(D) Uniformly Most Probable Unbiased test
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Uniformly Most Powerful Unbiased test
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): UMPU test হলো Uniformly Most Powerful Unbiased test। এটি সকল unbiased test-এর মধ্যে সবচেয়ে শক্তিশালী পরীক্ষা। যখন একটি UMP test বিদ্যমান থাকে না (যেমন two-sided test-এর ক্ষেত্রে), তখন UMPU test খোঁজা হয়।
Q31. X₁, X₂, …, Xₙ যদি Bernoulli(p) থেকে একটি random sample হয়, তবে p-এর জন্য একটি sufficient statistic কী? (If X₁, X₂, …, Xₙ is a random sample from Bernoulli(p), what is a sufficient statistic for p?)
(A) ΣXᵢ
(B) X₁
(C) Max(Xᵢ)
(D) ΠXᵢ
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) ΣXᵢ
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Bernoulli(p) ডিস্ট্রিবিউশনের joint pmf হলো f(x;p) = p^(Σxᵢ) * (1-p)^(n-Σxᵢ)। Factorization Theorem অনুযায়ী, g(T(x);p) = p^(Σxᵢ) * (1-p)^(n-Σxᵢ) এবং h(x) = 1। এখানে T(x) = ΣXᵢ। সুতরাং, ΣXᵢ হলো p-এর জন্য একটি sufficient statistic।
Q32. MLE-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ large-sample property কী? (What is an important large-sample property of the MLE?)
(A) Asymptotic normality and efficiency (অ্যাসিম্পটোটিক নরমালিটি এবং দক্ষতা)
(B) Always unbiased for small samples (ছোট স্যাম্পেলের জন্য সর্বদা unbiased)
(C) Always has a closed-form solution (সর্বদা একটি closed-form সমাধান থাকে)
(D) Sufficiency for any sample size (যেকোনো স্যাম্পেল সাইজের জন্য sufficiency)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Asymptotic normality and efficiency (অ্যাসিম্পটোটিক নরমালিটি এবং দক্ষতা)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Maximum Likelihood Estimator (MLE)-এর কিছু চমৎকার large-sample বৈশিষ্ট্য রয়েছে। স্যাম্পেল সাইজ বড় হলে, MLE প্রায় Normal ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে (asymptotic normality), consistent হয় এবং asymptotically efficient হয়, অর্থাৎ এর variance CRLB-তে পৌঁছায়।
Q33. একটি পরীক্ষার Confidence Coefficient বলতে কী বোঝায়? (What does the Confidence Coefficient of a test refer to?)
(A) 1 – α
(B) α
(C) β
(D) 1 – β
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 1 – α
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Confidence Coefficient হলো সেই সম্ভাবনা যা দিয়ে একটি confidence interval আসল population parameter-কে ধারণ করবে। এটি সাধারণত (1 – α) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে α হলো significance level। যেমন, 95% confidence interval-এর জন্য confidence coefficient হলো 0.95।
Q34. X₁, …, Xₙ যদি N(µ, σ²) থেকে একটি random sample হয় এবং σ² জানা থাকে, µ-এর জন্য UMVUE কী? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from N(µ, σ²) with σ² known, what is the UMVUE for µ?)
(A) Sample Mean (X̄)
(B) Sample Median
(C) First Observation (X₁)
(D) Sample Variance (S²)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Sample Mean (X̄)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Normal distribution-এর ক্ষেত্রে, sample mean (X̄) হলো µ-এর জন্য একটি unbiased estimator। 또한, X̄ একটি complete sufficient statistic-এর ফাংশন। Lehmann-Scheffe Theorem অনুযায়ী, এটি µ-এর জন্য UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator)।
Q35. SPRT-তে, দুটি সীমানা (boundaries) কী কী? (In SPRT, what are the two boundaries?)
(A) A এবং B, যেখানে B < 1 < A
(B) α এবং β
(C) 0 এবং 1
(D) -∞ এবং +∞
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) A এবং B, যেখানে B < 1 < A
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Wald’s SPRT-তে দুটি সীমানা ব্যবহৃত হয়: একটি উপরের সীমানা A এবং একটি নীচের সীমানা B। প্রতিটি পর্যবেক্ষণের পর likelihood ratio গণনা করা হয়। যদি ratio A-এর চেয়ে বেশি হয়, H₁ গ্রহণ করা হয়। যদি B-এর চেয়ে কম হয়, H₀ গ্রহণ করা হয়। যদি ratio A এবং B-এর মধ্যে থাকে, তবে আরও একটি পর্যবেক্ষণ নেওয়া হয়। সাধারণত, A ≈ (1-β)/α এবং B ≈ β/(1-α)।
Q36. একটি Composite Hypothesis কী? (What is a Composite Hypothesis?)
(A) একটি হাইপোথিসিস যা প্যারামিটারের একাধিক মান নির্দিষ্ট করে। (A hypothesis that specifies more than one value for the parameter.)
(B) একটি হাইপোথিসিস যা প্যারামিটারের একটি মাত্র মান নির্দিষ্ট করে। (A hypothesis that specifies only one value for the parameter.)
(C) একটি খুব জটিল হাইপোথিসিস। (A very complex hypothesis.)
(D) একটি হাইপোথিসিস যা পরীক্ষা করা যায় না। (A hypothesis that cannot be tested.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি হাইপোথিসিস যা প্যারামিটারের একাধিক মান নির্দিষ্ট করে। (A hypothesis that specifies more than one value for the parameter.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি হাইপোথিসিসকে composite বলা হয় যদি এটি প্যারামিটার স্পেসের একটি সাবসেটকে নির্দিষ্ট করে যা একাধিক বিন্দু ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, H₁: µ > 10 একটি composite hypothesis কারণ µ-এর মান 10-এর চেয়ে বড় যেকোনো কিছু হতে পারে। এর বিপরীতে, H₀: µ = 10 একটি simple hypothesis।
Q37. Asymptotic efficiency বলতে কী বোঝায়? (What is meant by asymptotic efficiency?)
(A) বড় স্যাম্পেলের ক্ষেত্রে estimator-এর variance CRLB-তে পৌঁছায়। (The variance of the estimator approaches the CRLB for large samples.)
(B) ছোট স্যাম্পেলের ক্ষেত্রে estimator-টি efficient। (The estimator is efficient for small samples.)
(C) Estimator-টি সর্বদা unbiased। (The estimator is always unbiased.)
(D) Estimator-টি গণনা করা সহজ। (The estimator is easy to compute.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) বড় স্যাম্পেলের ক্ষেত্রে estimator-এর variance CRLB-তে পৌঁছায়। (The variance of the estimator approaches the CRLB for large samples.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি consistent estimator-কে asymptotically efficient বলা হয় যদি স্যাম্পেল সাইজ অসীমের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে এর variance-এর সীমা Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)-এর সমান হয়। MLE এই বৈশিষ্ট্যের একটি প্রধান উদাহরণ।
Q38. X₁, …, Xₙ যদি Poisson(λ) থেকে একটি random sample হয়, তবে λ-এর জন্য Method of Moments (MOM) estimator কী? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from Poisson(λ), what is the Method of Moments (MOM) estimator for λ?)
(A) Sample Mean (X̄)
(B) Sample Variance (S²)
(C) Sample Median
(D) 1/X̄
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Sample Mean (X̄)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Poisson(λ) ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য, প্রথম population moment হলো E[X] = λ। প্রথম sample moment হলো m₁ = X̄। MOM পদ্ধতিতে, আমরা E[X] = m₁ ধরি, অর্থাৎ λ = X̄। সুতরাং, λ-এর MOM estimator হলো sample mean।
Q39. একটি unbiased test কী? (What is an unbiased test?)
(A) একটি পরীক্ষা যেখানে Power সর্বদা size-এর চেয়ে বেশি বা সমান। (A test where the power is always greater than or equal to the size.)
(B) একটি পরীক্ষা যেখানে কোনো Type I error নেই। (A test with no Type I error.)
(C) একটি পরীক্ষা যেখানে কোনো Type II error নেই। (A test with no Type II error.)
(D) একটি পরীক্ষা যা randomized নয়। (A test that is not randomized.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি পরীক্ষা যেখানে Power সর্বদা size-এর চেয়ে বেশি বা সমান। (A test where the power is always greater than or equal to the size.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি test-কে unbiased বলা হয় যদি null hypothesis মিথ্যা হলে তা reject করার সম্ভাবনা (Power), null hypothesis সত্য হলে তা reject করার সম্ভাবনা (size)-এর চেয়ে কম না হয়। অর্থাৎ, π(θ) ≥ α for all θ in the alternative hypothesis space। এর মানে হলো, পরীক্ষাটি ভুল সিদ্ধান্ত নেওয়ার চেয়ে সঠিক সিদ্ধান্ত নেওয়ার সম্ভাবনা বেশি রাখে।
Q40. SPRT-র অপ্টিমাম বৈশিষ্ট্য কী? (What is the optimum property of SPRT?)
(A) এটি সকল sequential test-এর মধ্যে সর্বনিম্ন গড় স্যাম্পেল সংখ্যা (ASN) প্রয়োজন করে। (Among all sequential tests, it requires the minimum average sample number (ASN).)
(B) এটি সর্বদা unbiased। (It is always unbiased.)
(C) এর কোনো Type I error নেই। (It has no Type I error.)
(D) এটি গণনা করা সবচেয়ে সহজ। (It is the easiest to compute.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) এটি সকল sequential test-এর মধ্যে সর্বনিম্ন গড় স্যাম্পেল সংখ্যা (ASN) প্রয়োজন করে। (Among all sequential tests, it requires the minimum average sample number (ASN).)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Wald-Wolfowitz Theorem অনুযায়ী, একই বা তার চেয়ে কম Type I ও Type II error সম্পন্ন সকল sequential test-এর মধ্যে, SPRT-এর গড় স্যাম্পেল সংখ্যা (ASN) সর্বনিম্ন হয় যখন H₀ বা H₁ সত্য থাকে। এই কারণে SPRT-কে সবচেয়ে efficient sequential test হিসেবে গণ্য করা হয়।
Q41. Lehmann-Scheffe Theorem কী খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়? (What is the Lehmann-Scheffe Theorem used to find?)
(A) The UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator)
(B) The MLE (Maximum Likelihood Estimator)
(C) The MP (Most Powerful) test
(D) The confidence interval
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) The UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Lehmann-Scheffe Theorem বলে যে, যদি T একটি complete sufficient statistic হয় এবং g(T) প্যারামিটার τ(θ)-এর একটি unbiased estimator হয়, তবে g(T) হলো τ(θ)-এর জন্য একমাত্র UMVUE। এটি Rao-Blackwell Theorem এবং completeness-এর ধারণাকে একত্রিত করে।
Q42. Likelihood Ratio Test statistic (λ) এর asymptotic distribution কী? (What is the asymptotic distribution of the Likelihood Ratio Test statistic (λ)?)
(A) Chi-squared (χ²) distribution
(B) Normal distribution
(C) t-distribution
(D) F-distribution
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Chi-squared (χ²) distribution
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Wilks’s Theorem অনুযায়ী, null hypothesis (H₀) সত্য হলে, -2 log(λ) test statistic-টি বড় স্যাম্পেলের জন্য প্রায় একটি Chi-squared (χ²) distribution অনুসরণ করে। এর degrees of freedom (df) হলো full parameter space এবং H₀ দ্বারা নির্দিষ্ট parameter space-এর dimension-এর পার্থক্য।
Q43. Normal distribution N(µ, 1) থেকে নেওয়া একটি স্যাম্পেলের জন্য µ-এর 95% confidence interval, (X̄ – 1.96/√n, X̄ + 1.96/√n)। এই interval-টির দৈর্ঘ্য কিসের উপর নির্ভরশীল? (For a sample from N(µ, 1), the 95% confidence interval for µ is (X̄ – 1.96/√n, X̄ + 1.96/√n). The length of this interval depends on?)
(A) Sample size (n)
(B) Sample mean (X̄)
(C) Population mean (µ)
(D) Sample variance (S²)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Sample size (n)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Interval-টির দৈর্ঘ্য হলো (X̄ + 1.96/√n) – (X̄ – 1.96/√n) = 2 * 1.96 / √n। এই দৈর্ঘ্যটি শুধুমাত্র sample size (n)-এর উপর নির্ভরশীল। স্যাম্পেল সাইজ বাড়লে, interval-এর দৈর্ঘ্য কমে যায়, অর্থাৎ estimation আরও precise হয়।
Q44. একটি estimator-এর efficiency কীভাবে পরিমাপ করা হয়? (How is the efficiency of an estimator measured?)
(A) CRLB / Variance(Estimator)
(B) Variance(Estimator) / CRLB
(C) 1 – Bias
(D) MSE
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) CRLB / Variance(Estimator)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি unbiased estimator T-এর efficiency (Eff(T)) সংজ্ঞায়িত করা হয় Cramer-Rao Lower Bound (CRLB) এবং estimator-টির variance-এর অনুপাত হিসেবে: Eff(T) = [1/I(θ)] / Var(T)। এই মানটি 0 থেকে 1-এর মধ্যে থাকে। মান 1 হলে estimator-টি fully efficient।
Q45. X₁, …, Xₙ যদি U(0, θ) থেকে একটি random sample হয়, তবে θ-এর জন্য sufficient statistic কোনটি? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from U(0, θ), which is a sufficient statistic for θ?)
(A) The sample maximum, X(n)
(B) The sample mean, X̄
(C) The sample minimum, X(1)
(D) The sample range
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) The sample maximum, X(n)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Joint pdf হলো f(x;θ) = (1/θⁿ) * I(0 ≤ x(1)) * I(x(n) ≤ θ)। এটিকে g(T(x);θ) * h(x) আকারে লেখা যায়, যেখানে T(x) = X(n) (sample maximum), g(T(x);θ) = (1/θⁿ) * I(x(n) ≤ θ) এবং h(x) = I(0 ≤ x(1))। Factorization Theorem অনুযায়ী, X(n) হলো θ-এর জন্য sufficient statistic।
Q46. Type I এবং Type II error-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (What is the relationship between Type I and Type II errors?)
(A) একটি কমলে অন্যটি বাড়ে (সাধারণত)। (Decreasing one generally increases the other.)
(B) একটি কমলে অন্যটিও কমে। (Decreasing one also decreases the other.)
(C) তাদের মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই। (They have no relationship.)
(D) তারা সর্বদা সমান। (They are always equal.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি কমলে অন্যটি বাড়ে (সাধারণত)। (Decreasing one generally increases the other.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি নির্দিষ্ট স্যাম্পেল সাইজের জন্য, Type I error (α) এবং Type II error (β)-এর মধ্যে একটি trade-off সম্পর্ক বিদ্যমান। যদি আমরা critical region পরিবর্তন করে α কমানোর চেষ্টা করি, তাহলে β সাধারণত বেড়ে যায় এবং наоборот। উভয়ই কমানোর একমাত্র উপায় হলো স্যাম্পেল সাইজ বাড়ানো।
Q47. Simple linear regression মডেলে (Y = β₀ + β₁X + ε), least squares method কী minimize করে? (In a simple linear regression model (Y = β₀ + β₁X + ε), what does the least squares method minimize?)
(A) Σ(yᵢ – ŷᵢ)²
(B) Σ|yᵢ – ŷᵢ|
(C) max|yᵢ – ŷᵢ|
(D) Σ(yᵢ – ȳ)²
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Σ(yᵢ – ŷᵢ)²
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Least squares method এমনভাবে β₀ এবং β₁-এর মান নির্ধারণ করে যা observed মান (yᵢ) এবং মডেল দ্বারা predicted মান (ŷᵢ = β₀ + β₁xᵢ) এর মধ্যেকার পার্থক্য বা residual-এর বর্গের যোগফলকে (sum of squared residuals) সর্বনিম্ন করে।
Q48. একটি p-value কী? (What is a p-value?)
(A) Null hypothesis সত্য হলে, observed test statistic-এর সমান বা তার চেয়ে চরম মান পাওয়ার সম্ভাবনা। (The probability of obtaining a test statistic as extreme as or more extreme than the one observed, assuming the null hypothesis is true.)
(B) Null hypothesis-এর সত্য হওয়ার সম্ভাবনা। (The probability that the null hypothesis is true.)
(C) Type I error-এর সম্ভাবনা। (The probability of a Type I error.)
(D) পরীক্ষার Power। (The power of the test.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Null hypothesis সত্য হলে, observed test statistic-এর সমান বা তার চেয়ে চরম মান পাওয়ার সম্ভাবনা। (The probability of obtaining a test statistic as extreme as or more extreme than the one observed, assuming the null hypothesis is true.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): p-value হলো observed ডেটার সাথে null hypothesis-এর সামঞ্জস্যের একটি পরিমাপ। যদি p-value খুব ছোট হয় (সাধারণত significance level α-এর চেয়ে কম), তাহলে এটি null hypothesis-এর বিরুদ্ধে শক্তিশালী প্রমাণ হিসেবে বিবেচিত হয় এবং H₀ reject করা হয়।
Q49. SPRT এবং Fixed Sample Size Test-এর মধ্যে প্রধান পার্থক্য কী? (What is the main difference between SPRT and a Fixed Sample Size Test?)
(A) SPRT-তে স্যাম্পেল সাইজ পরিবর্তনশীল, কিন্তু Fixed Sample Test-এ এটি স্থির। (Sample size is variable in SPRT, but fixed in a Fixed Sample Test.)
(B) SPRT-তে কোনো error নেই। (SPRT has no errors.)
(C) Fixed Sample Test সবসময় বেশি powerful। (Fixed Sample Test is always more powerful.)
(D) SPRT শুধুমাত্র Normal ডেটার জন্য। (SPRT is only for Normal data.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) SPRT-তে স্যাম্পেল সাইজ পরিবর্তনশীল, কিন্তু Fixed Sample Test-এ এটি স্থির। (Sample size is variable in SPRT, but fixed in a Fixed Sample Test.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): প্রধান পার্থক্য হলো স্যাম্পেল সংগ্রহের পদ্ধতিতে। Fixed Sample Test-এ, পরীক্ষার আগে স্যাম্পেল সাইজ (n) নির্ধারণ করা হয়। SPRT-তে, প্রতিটি ডেটা পয়েন্ট সংগ্রহের পর সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়, এবং স্যাম্পেল সাইজ (N) একটি random variable।
Q50. Cramer-Rao Inequality-র জন্য কোন শর্তটি আবশ্যক নয়? (Which condition is NOT necessary for the Cramer-Rao Inequality?)
(A) Estimator-টি sufficient হতে হবে। (The estimator must be sufficient.)
(B) Estimator-টি unbiased হতে হবে (সাধারণ রূপে)। (The estimator must be unbiased (in its common form).)
(C) Parameter space-টি একটি open interval হতে হবে। (The parameter space must be an open interval.)
(D) Likelihood function-টি differentiable হতে হবে। (The likelihood function must be differentiable.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Estimator-টি sufficient হতে হবে। (The estimator must be sufficient.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Cramer-Rao Inequality-র জন্য কিছু regularity condition প্রয়োজন, যেমন unbiasedness, প্যারামিটার স্পেসের প্রকৃতি এবং likelihood function-এর differentiability। কিন্তু estimator-টির sufficient হওয়া আবশ্যক নয়। CRLB সকল unbiased estimator-এর জন্য একটি নিম্ন সীমা প্রদান করে, তারা sufficient হোক বা না হোক।
Q51. একটি statistic T(X) কে ancillary বলা হয় যদি… (A statistic T(X) is called ancillary if…)
(A) এর distribution প্যারামিটার θ-এর উপর নির্ভরশীল নয়। (its distribution does not depend on the parameter θ.)
(B) এটি একটি sufficient statistic। (it is a sufficient statistic.)
(C) এটি একটি unbiased estimator। (it is an unbiased estimator.)
(D) এর variance সর্বনিম্ন। (it has the minimum variance.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) এর distribution প্যারামিটার θ-এর উপর নির্ভরশীল নয়। (its distribution does not depend on the parameter θ.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Ancillary statistic এমন একটি statistic যার distribution অজানা প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে না। Basu’s Theorem অনুযায়ী, একটি complete sufficient statistic এবং একটি ancillary statistic স্বাধীন (independent)।
Q52. X₁, …, Xₙ যদি N(µ, σ²) থেকে একটি random sample হয়, এবং µ ও σ² উভয়ই অজানা, তবে (µ, σ²) এর জন্য একটি joint sufficient statistic কী? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from N(µ, σ²) with both µ and σ² unknown, what is a joint sufficient statistic for (µ, σ²)?)
(A) (ΣXᵢ, ΣXᵢ²)
(B) (X̄, Median)
(C) (X₁, Xₙ)
(D) (ΣXᵢ, X̄)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) (ΣXᵢ, ΣXᵢ²)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Normal ডিস্ট্রিবিউশনের joint pdf কে exponential family-র আকারে লেখা যায়। Factorization Theorem ব্যবহার করে দেখানো যায় যে ΣXᵢ এবং ΣXᵢ² একসাথে (µ, σ²) এর জন্য joint sufficient statistic। এটি X̄ এবং S² এর সমতুল্য।
Q53. যদি একটি estimator T এর Bias(T) → 0 এবং Var(T) → 0 হয় যখন n → ∞, তখন T হলো… (If for an estimator T, Bias(T) → 0 and Var(T) → 0 as n → ∞, then T is…)
(A) Mean square consistent
(B) Unbiased
(C) Efficient
(D) Sufficient
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Mean square consistent
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি estimator কে mean square consistent বলা হয় যদি তার Mean Squared Error (MSE) শূন্যের দিকে যায় যখন স্যাম্পেল সাইজ অসীমের দিকে যায়। যেহেতু MSE = Variance + (Bias)², তাই Variance এবং Bias উভয়ই শূন্যের দিকে গেলে MSE শূন্যের দিকে যাবে।
Q54. কোন estimation পদ্ধতিটি সবসময় unique estimator দেয় না? (Which estimation method does not always provide a unique estimator?)
(A) Method of Moments (MOM)
(B) Maximum Likelihood Estimation (MLE)
(C) Least Squares Method (for linear models)
(D) UMVUE
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Method of Moments (MOM)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Method of Moments-এ moment সমীকরণগুলি সমাধান করতে হয়। কখনও কখনও এই সমীকরণগুলির একাধিক সমাধান থাকতে পারে, বা কোনো গ্রহণযোগ্য সমাধান নাও থাকতে পারে। MLE সাধারণত unique হয়, যদিও সবসময় নয়। UMVUE, যদি বিদ্যমান থাকে, তবে unique হয়।
Q55. একটি পরীক্ষার critical region কী? (What is the critical region of a test?)
(A) স্যাম্পেল স্পেসের সেই সাবসেট যার জন্য Null Hypothesis reject করা হয়। (The subset of the sample space for which the Null Hypothesis is rejected.)
(B) স্যাম্পেল স্পেসের সেই সাবসেট যার জন্য Null Hypothesis accept করা হয়। (The subset of the sample space for which the Null Hypothesis is accepted.)
(C) সম্পূর্ণ স্যাম্পেল স্পেস। (The entire sample space.)
(D) প্যারামিটার স্পেস। (The parameter space.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) স্যাম্পেল স্পেসের সেই সাবসেট যার জন্য Null Hypothesis reject করা হয়। (The subset of the sample space for which the Null Hypothesis is rejected.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি হাইপোথিসিস পরীক্ষায়, critical region (বা rejection region) হলো test statistic-এর মানের সেই সেট, যার জন্য null hypothesis (H₀) বাতিল করা হয়। যদি observed test statistic এই অঞ্চলের মধ্যে পড়ে, তবে H₀ reject করা হয়।
Q56. X ~ Binomial(n, p) এর জন্য p-এর MLE কী? (What is the MLE of p for X ~ Binomial(n, p)?)
(A) x/n
(B) x
(C) n/x
(D) 1 – x/n
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) x/n
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Likelihood function L(p) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)। এর log-likelihood হলো log(L) = log(C) + x*log(p) + (n-x)*log(1-p)। p-এর সাপেক্ষে differentiate করে শূন্যের সমান করলে পাওয়া যায় x/p – (n-x)/(1-p) = 0, যা সমাধান করলে p̂ = x/n পাওয়া যায়। এটি sample proportion।
Q57. Neyman-Pearson Lemma দ্বারা প্রাপ্ত পরীক্ষাটি… (The test obtained by the Neyman-Pearson Lemma is…)
(A) সর্বদা একটি UMP test। (Always a UMP test.)
(B) শুধুমাত্র একটি MP test। (Only an MP test.)
(C) সর্বদা একটি UMPU test। (Always a UMPU test.)
(D) সর্বদা unbiased। (Always unbiased.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) শুধুমাত্র একটি MP test। (Only an MP test.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Neyman-Pearson Lemma একটি নির্দিষ্ট simple alternative-এর জন্য Most Powerful (MP) test খুঁজে বের করে। এটি composite alternative-এর জন্য Uniformly Most Powerful (UMP) test-এর নিশ্চয়তা দেয় না, যদিও কিছু ক্ষেত্রে (যেমন MLR থাকলে) MP test টি UMP test হতে পারে।
Q58. 99% confidence interval, 95% confidence interval-এর তুলনায়… (A 99% confidence interval, compared to a 95% confidence interval, will be…)
(A) Wider (প্রশস্ত)
(B) Narrower (সংকীর্ণ)
(C) Same width (একই প্রশস্ত)
(D) বলা সম্ভব নয়। (Cannot be determined.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Wider (প্রশস্ত)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Confidence level বাড়ানোর অর্থ হলো প্যারামিটারটিকে ধারণ করার জন্য আরও বেশি নিশ্চয়তা দেওয়া। এই অতিরিক্ত নিশ্চয়তা অর্জনের জন্য, interval-টিকে আরও প্রশস্ত করতে হয়। যেমন, N(µ,1)-এর জন্য 95% CI-এর width 2*1.96/√n, কিন্তু 99% CI-এর width 2*2.576/√n, যা বেশি।
Q59. SPRT-তে, যদি likelihood ratio সীমানা A এবং B-এর মধ্যে থাকে, তবে সিদ্ধান্ত কী হবে? (In SPRT, if the likelihood ratio falls between the boundaries A and B, what is the decision?)
(A) Continue sampling (স্যাম্পলিং চালিয়ে যান)
(B) Accept H₀ (H₀ গ্রহণ করুন)
(C) Reject H₀ (H₀ বর্জন করুন)
(D) Stop the test (পরীক্ষা বন্ধ করুন)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Continue sampling (স্যাম্পলিং চালিয়ে যান)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): SPRT-র মূল ভিত্তি হলো তিনটি সম্ভাব্য সিদ্ধান্ত: H₀ গ্রহণ, H₀ বর্জন, অথবা পরীক্ষা চালিয়ে যাওয়া। যখন likelihood ratio λₙ সীমানা B < λₙ < A-এর মধ্যে থাকে, তখন ডেটা এখনও কোনো সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য যথেষ্ট জোরালো নয়, তাই আরও একটি পর্যবেক্ষণ সংগ্রহ করা হয়।
Q60. Factorization criteria-তে, h(x) ফাংশনটি কিসের উপর নির্ভরশীল নয়? (In the factorization criterion, the function h(x) does not depend on?)
(A) The parameter θ (প্যারামিটার θ)
(B) The data x (ডেটা x)
(C) The statistic T(x)
(D) The sample size n
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) The parameter θ (প্যারামিটার θ)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Fisher-Neyman Factorization Theorem অনুযায়ী, joint pdf f(x;θ) কে g(T(x);θ) * h(x) আকারে লেখা হয়। এখানে h(x) ফাংশনটি শুধুমাত্র ডেটা x-এর উপর নির্ভরশীল হতে পারে, কিন্তু প্যারামিটার θ-এর উপর নির্ভরশীল হতে পারে না। এই শর্তটিই sufficiency প্রমাণ করার জন্য অপরিহার্য।
Q61. কোনো estimator-এর Bias কী? (What is the Bias of an estimator?)
(A) E(T) – θ
(B) E(T – θ)²
(C) Var(T)
(D) T – θ
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) E(T) – θ
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি estimator T-এর bias হলো তার expected value (E(T)) এবং আসল প্যারামিটার (θ)-এর মধ্যেকার পার্থক্য। অর্থাৎ, Bias(T) = E(T) – θ। যদি Bias শূন্য হয়, তবে estimator-টিকে unbiased বলা হয়।
Q62. Rao-Blackwell Theorem প্রয়োগ করার জন্য কী প্রয়োজন? (What is required to apply the Rao-Blackwell Theorem?)
(A) একটি unbiased estimator এবং একটি sufficient statistic (An unbiased estimator and a sufficient statistic)
(B) একটি MLE এবং একটি confidence interval
(C) একটি complete statistic এবং একটি ancillary statistic
(D) একটি MP test এবং একটি UMP test
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি unbiased estimator এবং একটি sufficient statistic (An unbiased estimator and a sufficient statistic)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Rao-Blackwell Theorem-এর মূল ভিত্তি হলো একটি existing unbiased estimator (T) এবং একটি sufficient statistic (S)। T-কে S-এর উপর condition করে একটি নতুন estimator, T* = E(T|S) তৈরি করা হয়, যা T-এর চেয়ে ভালো বা সমান variance যুক্ত হয়।
Q63. X₁, …, Xₙ যদি Exp(λ) থেকে একটি random sample হয়, λ-এর MLE কী? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from Exp(λ), what is the MLE for λ?)
(A) 1 / X̄
(B) X̄
(C) n / ΣXᵢ²
(D) X(n)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 1 / X̄
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Exponential ডিস্ট্রিবিউশনের (f(x) = λe^(-λx)) জন্য likelihood function হলো L(λ) = λⁿ * e^(-λΣxᵢ)। Log-likelihood হলো n*log(λ) – λΣxᵢ। λ-এর সাপেক্ষে differentiate করে শূন্যের সমান করলে n/λ – Σxᵢ = 0 পাওয়া যায়, যা থেকে λ̂ = n/Σxᵢ = 1/X̄।
Q64. একটি level α test কী? (What is a level α test?)
(A) একটি পরীক্ষা যার size, α-এর চেয়ে কম বা সমান। (A test whose size is less than or equal to α.)
(B) একটি পরীক্ষা যার size, α-এর চেয়ে বেশি। (A test whose size is greater than α.)
(C) একটি পরীক্ষা যার power হলো α। (A test whose power is α.)
(D) একটি পরীক্ষা যার Type II error হলো α। (A test whose Type II error is α.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি পরীক্ষা যার size, α-এর চেয়ে কম বা সমান। (A test whose size is less than or equal to α.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি পরীক্ষার level (α) হলো একটি পূর্ব-নির্ধারিত সর্বোচ্চ গ্রহণযোগ্য Type I error-এর সম্ভাবনা। একটি test-কে level α test বলা হয় যদি তার size (প্রকৃত সর্বোচ্চ Type I error) এই α-এর চেয়ে বেশি না হয়। অর্থাৎ, size ≤ α।
Q65. কোন পরিস্থিতিতে Likelihood Ratio Test (LRT) বিশেষভাবে উপযোগী? (In which situation is the Likelihood Ratio Test (LRT) particularly useful?)
(A) যখন UMP test বিদ্যমান থাকে না। (When a UMP test does not exist.)
(B) যখন ডেটা discrete হয়। (When the data is discrete.)
(C) যখন স্যাম্পেল সাইজ ছোট হয়। (When the sample size is small.)
(D) যখন প্যারামিটার একটি ভেক্টর নয়। (When the parameter is not a vector.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যখন UMP test বিদ্যমান থাকে না। (When a UMP test does not exist.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): LRT একটি অত্যন্ত সাধারণ এবং নমনীয় পদ্ধতি। Two-sided hypothesis বা একাধিক প্যারামিটার জড়িত জটিল সমস্যাগুলির মতো ক্ষেত্রে, যেখানে প্রায়শই UMP test বিদ্যমান থাকে না, সেখানে LRT একটি ভালো এবং যৌক্তিক পরীক্ষা পদ্ধতি প্রদান করে।
Q66. X₁, …, Xₙ যদি U(0, θ) থেকে একটি random sample হয়, θ-এর MLE কী? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from U(0, θ), what is the MLE of θ?)
(A) X(n) (the sample maximum)
(B) 2X̄
(C) X(1) (the sample minimum)
(D) X̄
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) X(n) (the sample maximum)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Likelihood function L(θ) = (1/θⁿ) for 0 ≤ xᵢ ≤ θ for all i. এটি θ ≥ max(xᵢ) = X(n) এর জন্য সত্য। L(θ) হলো θ-এর একটি decreasing function। তাই, L(θ) কে maximize করতে হলে θ-এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান নিতে হবে, যা হলো X(n)। সুতরাং, θ-এর MLE হলো X(n)।
Q67. Normal case-এ SPRT-কে fixed sample size test-এর সাথে তুলনা করলে কী দেখা যায়? (What is observed when comparing SPRT to a fixed sample size test in the normal case?)
(A) SPRT-এর ASN সাধারণত কম হয়। (SPRT generally has a lower ASN.)
(B) Fixed sample test সবসময় বেশি efficient। (Fixed sample test is always more efficient.)
(C) উভয়েরই একই সংখ্যক স্যাম্পেল প্রয়োজন হয়। (Both require the same number of samples.)
(D) SPRT শুধুমাত্র বড় variance-এর ক্ষেত্রে ভালো কাজ করে। (SPRT works well only for large variances.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) SPRT-এর ASN সাধারণত কম হয়। (SPRT generally has a lower ASN.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Normal distribution-এর mean পরীক্ষা করার জন্য, একই error probability (α, β) বজায় রেখে, SPRT-র জন্য প্রয়োজনীয় গড় স্যাম্পেল সংখ্যা (ASN) একটি fixed sample size test-এর জন্য প্রয়োজনীয় স্যাম্পেল সংখ্যা (n) থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে কম হতে পারে, বিশেষ করে যখন আসল mean H₀ বা H₁-এর মানের কাছাকাছি থাকে।
Q68. একটি estimator consistent কিন্তু biased হতে পারে কি? (Can an estimator be consistent but biased?)
(A) হ্যাঁ (Yes)
(B) না (No)
(C) শুধুমাত্র যদি এটি efficient হয়। (Only if it is efficient.)
(D) শুধুমাত্র যদি এটি sufficient হয়। (Only if it is sufficient.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) হ্যাঁ (Yes)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): হ্যাঁ, এটি সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, population variance σ²-এর জন্য sample variance S² = Σ(Xᵢ-X̄)²/n একটি biased estimator, কিন্তু এটি consistent। এর bias হলো -σ²/n, যা n → ∞ হলে শূন্য হয়ে যায়। Consistency একটি large-sample property, আর unbiasedness যেকোনো স্যাম্পেল সাইজের জন্য একটি property।
Q69. Fisher Information I(θ) কী পরিমাপ করে? (What does the Fisher Information I(θ) measure?)
(A) স্যাম্পেলে প্যারামিটার θ সম্পর্কে তথ্যের পরিমাণ। (The amount of information the sample contains about the parameter θ.)
(B) Estimator-এর bias। (The bias of an estimator.)
(C) পরীক্ষার Power। (The power of a test.)
(D) Confidence interval-এর দৈর্ঘ্য। (The length of the confidence interval.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) স্যাম্পেলে প্যারামিটার θ সম্পর্কে তথ্যের পরিমাণ। (The amount of information the sample contains about the parameter θ.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Fisher Information, I(θ) = E[(∂logL/∂θ)²], পরিমাপ করে যে log-likelihood function-এর বক্রতা কতটা। এর মান যত বেশি, likelihood function তত বেশি সূক্ষ্ম হয়, যার মানে ডেটা থেকে প্যারামিটার সম্পর্কে তত বেশি তথ্য পাওয়া যায়। এটি CRLB-এর হরে (denominator) থাকে, তাই বেশি তথ্য মানে variance-এর নিম্ন সীমা তত কম।
Q70. Critical region-এর সীমানা কী দ্বারা নির্ধারিত হয়? (The boundary of the critical region is determined by?)
(A) Significance level (α)
(B) Power of the test (1-β)
(C) Sample size (n)
(D) The p-value
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Significance level (α)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Critical region এমনভাবে বেছে নেওয়া হয় যাতে null hypothesis সত্য হলে test statistic-এর সেই অঞ্চলে পড়ার সম্ভাবনা significance level α-এর সমান (বা কম) হয়। সুতরাং, α-এর মানই critical value নির্ধারণ করে যা critical region-এর সীমানা তৈরি করে।
Q71. Minimal sufficient statistic এবং sufficient statistic-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (What is the relationship between a minimal sufficient statistic and a sufficient statistic?)
(A) একটি minimal sufficient statistic সর্বদা একটি sufficient statistic। (A minimal sufficient statistic is always a sufficient statistic.)
(B) একটি sufficient statistic সর্বদা একটি minimal sufficient statistic। (A sufficient statistic is always a minimal sufficient statistic.)
(C) তাদের মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই। (There is no relationship.)
(D) তারা একে অপরের বিপরীত। (They are opposites.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি minimal sufficient statistic সর্বদা একটি sufficient statistic। (A minimal sufficient statistic is always a sufficient statistic.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Minimal sufficient statistic হলো sufficient statistic-দের একটি বিশেষ শ্রেণী। এটি ডেটাকে সবচেয়ে বেশি সংক্ষেপ করে। অতএব, প্রতিটি minimal sufficient statistic সংজ্ঞা অনুসারেই একটি sufficient statistic। কিন্তু এর বিপরীতটি সত্য নয়; সব sufficient statistic minimal হয় না। যেমন, পুরো স্যাম্পেল (X₁, …, Xₙ) নিজেই একটি trivial sufficient statistic, কিন্তু এটি minimal নয়।
Q72. কোন estimator invariance property মেনে চলে? (Which estimator follows the invariance property?)
(A) Maximum Likelihood Estimator (MLE)
(B) Method of Moments (MOM) Estimator
(C) Unbiased Estimator
(D) Least Squares Estimator
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Maximum Likelihood Estimator (MLE)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): MLE-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো invariance property। এর মানে হলো, যদি θ̂ হলো θ-এর MLE, তাহলে g(θ)-এর MLE হবে g(θ̂)। যেমন, যদি µ-এর MLE X̄ হয়, তাহলে µ²-এর MLE হবে (X̄)²।
Q73. Hypothesis testing-এ null hypothesis (H₀) সাধারণত কীভাবে সেট করা হয়? (In hypothesis testing, how is the null hypothesis (H₀) usually set up?)
(A) “No effect” বা “no difference”-এর একটি বিবৃতি হিসেবে। (As a statement of “no effect” or “no difference”.)
(B) যা গবেষক প্রমাণ করতে চান। (As what the researcher wants to prove.)
(C) একটি composite hypothesis হিসেবে। (As a composite hypothesis.)
(D) একটি two-sided hypothesis হিসেবে। (As a two-sided hypothesis.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) “No effect” বা “no difference”-এর একটি বিবৃতি হিসেবে। (As a statement of “no effect” or “no difference”.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): সাধারণত, null hypothesis (H₀) হলো স্থিতাবস্থার (status quo) একটি বিবৃতি, যেমন একটি নতুন ওষুধের কোনো প্রভাব নেই (µ_new = µ_old) বা দুটি গ্রুপের মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই। গবেষকের লক্ষ্য থাকে এই null hypothesis-কে ভুল প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট প্রমাণ সংগ্রহ করা।
Q74. SPRT-এর ASN ফাংশন (Eθ(N)) কোথায় সর্বোচ্চ মান নেয়? (Where does the ASN function (Eθ(N)) of SPRT take its maximum value?)
(A) H₀ এবং H₁-এর প্যারামিটার মানগুলির মধ্যে। (For parameter values between those of H₀ and H₁.)
(B) H₀-এর প্যারামিটার মানে। (At the parameter value of H₀.)
(C) H₁-এর প্যারামিটার মানে। (At the parameter value of H₁.)
(D) প্যারামিটার স্পেসের বাইরে। (Outside the parameter space.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) H₀ এবং H₁-এর প্যারামিটার মানগুলির মধ্যে। (For parameter values between those of H₀ and H₁.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): ASN ফাংশনটি সাধারণত H₀-এর মান (θ₀) এবং H₁-এর মান (θ₁)-এ সর্বনিম্ন থাকে, কারণ এই মানগুলিতে ডেটা দ্রুত একটি হাইপোথিসিসের দিকে নির্দেশ করে। যখন প্যারামিটারের আসল মান θ₀ এবং θ₁-এর মধ্যে কোথাও থাকে, তখন ডেটা অস্পষ্ট হয় এবং সিদ্ধান্ত নিতে গড়ে সবচেয়ে বেশি সময় (বা স্যাম্পেল) লাগে।
Q75. একটি interval estimator-এর “goodness” কী দ্বারা পরিমাপ করা হয়? (The “goodness” of an interval estimator is measured by what?)
(A) Confidence level এবং interval-এর দৈর্ঘ্য। (The confidence level and the length of the interval.)
(B) শুধুমাত্র Confidence level। (Only the confidence level.)
(C) শুধুমাত্র Interval-এর দৈর্ঘ্য। (Only the length of the interval.)
(D) এটি unbiased কিনা। (Whether it is unbiased.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Confidence level এবং interval-এর দৈর্ঘ্য। (The confidence level and the length of the interval.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি ভালো confidence interval-এর দুটি আকাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে: উচ্চ confidence level (যেমন 95% বা 99%) এবং ছোট দৈর্ঘ্য। একটি উচ্চ confidence level আমাদের ফলাফলের উপর আস্থা দেয়, আর একটি ছোট দৈর্ঘ্য estimation-টিকে আরও সুনির্দিষ্ট (precise) করে তোলে।
Q76. Exponential family of distributions-এর একটি প্রধান সুবিধা কী? (What is a major advantage of the exponential family of distributions?)
(A) এদের জন্য প্রায়শই minimal sufficient statistic বিদ্যমান থাকে। (They often possess minimal sufficient statistics.)
(B) এরা সবসময় symmetric হয়। (They are always symmetric.)
(C) এদের কোনো প্যারামিটার থাকে না। (They have no parameters.)
(D) এরা শুধুমাত্র continuous হয়। (They are only continuous.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) এদের জন্য প্রায়শই minimal sufficient statistic বিদ্যমান থাকে। (They often possess minimal sufficient statistics.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Normal, Binomial, Poisson, Gamma, Exponential ইত্যাদি অনেক সাধারণ ডিস্ট্রিবিউশন Exponential family-র অন্তর্গত। এই পরিবারের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো যে, এদের জন্য প্রায়শই একটি নির্দিষ্ট আকারের (dimension) sufficient statistic সহজে খুঁজে পাওয়া যায় এবং এটি minimal sufficient হয়।
Q77. যদি T₁ এবং T₂ দুটি unbiased estimator হয় এবং Var(T₁) < Var(T₂) হয়, তবে... (If T₁ and T₂ are two unbiased estimators and Var(T₁) < Var(T₂), then...)
(A) T₁ হলো T₂-এর চেয়ে বেশি efficient। (T₁ is more efficient than T₂.)
(B) T₂ হলো T₁-এর চেয়ে বেশি efficient। (T₂ is more efficient than T₁.)
(C) T₁ biased। (T₁ is biased.)
(D) T₂ consistent। (T₂ is consistent.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) T₁ হলো T₂-এর চেয়ে বেশি efficient। (T₁ is more efficient than T₂.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Relative efficiency-র ধারণা অনুযায়ী, দুটি unbiased estimator-এর মধ্যে যার variance কম, সেটিকে বেশি efficient বলা হয়। এখানে, T₁ এবং T₂ উভয়ই unbiased এবং Var(T₁) < Var(T₂), তাই T₁ হলো T₂-এর তুলনায় বেশি efficient estimator।
Q78. H₀: p = 0.5 বনাম H₁: p ≠ 0.5, এটি কী ধরনের পরীক্ষা? (H₀: p = 0.5 versus H₁: p ≠ 0.5, what kind of test is this?)
(A) Two-sided test (দ্বিপার্শ্বিক পরীক্ষা)
(B) One-sided (right-tailed) test
(C) One-sided (left-tailed) test
(D) Simple vs. Simple test
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Two-sided test (দ্বিপার্শ্বিক পরীক্ষা)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Alternative hypothesis (H₁) নির্দিষ্ট করে যে প্যারামিটারটি null value-এর সমান নয় (p ≠ 0.5)। এর মানে হলো, p null value-এর চেয়ে বড় বা ছোট উভয়ই হতে পারে। এই ধরনের পরীক্ষাকে two-sided বা two-tailed test বলা হয়।
Q79. Wald’s SPRT-তে ব্যবহৃত approximation গুলি (A ≈ (1-β)/α, B ≈ β/(1-α)) কে কী বলা হয়? (What are the approximations used in Wald’s SPRT (A ≈ (1-β)/α, B ≈ β/(1-α)) called?)
(A) Wald’s approximations
(B) Neyman-Pearson approximations
(C) Central Limit approximations
(D) Least squares approximations
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Wald’s approximations
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): এই approximation-গুলি Abraham Wald দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল, যা SPRT-এর সীমানা A এবং B-কে কাঙ্ক্ষিত error probability α এবং β-এর সাথে সম্পর্কিত করে। এগুলি “neglecting the excess over the boundary” ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি এবং ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
Q80. Basu’s Theorem কী বলে? (What does Basu’s Theorem state?)
(A) একটি complete sufficient statistic এবং একটি ancillary statistic স্বাধীন। (A complete sufficient statistic is independent of any ancillary statistic.)
(B) সকল unbiased estimator-এর variance CRLB-এর চেয়ে বেশি বা সমান। (All unbiased estimators have variance greater than or equal to the CRLB.)
(C) MOM estimator সর্বদা consistent। (The MOM estimator is always consistent.)
(D) LRT statistic-এর একটি asymptotic χ² distribution আছে। (The LRT statistic has an asymptotic χ² distribution.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি complete sufficient statistic এবং একটি ancillary statistic স্বাধীন। (A complete sufficient statistic is independent of any ancillary statistic.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Basu’s Theorem পরিসংখ্যানগত অনুমানে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল। এটি বলে যে, যদি T একটি complete sufficient statistic হয় এবং A একটি ancillary statistic হয়, তবে T এবং A স্বাধীন (statistically independent)। এটি প্রায়শই প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয় যে sample mean এবং sample variance (normal ক্ষেত্রে) স্বাধীন।
Q81. Point estimation-এর লক্ষ্য কী? (What is the goal of point estimation?)
(A) একটি population parameter-এর জন্য একটি একক সেরা মান অনুমান করা। (To estimate a single best value for a population parameter.)
(B) একটি population parameter-এর জন্য একটি পরিসর অনুমান করা। (To estimate a range for a population parameter.)
(C) একটি hypothesis পরীক্ষা করা। (To test a hypothesis.)
(D) দুটি variable-এর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করা। (To find the relationship between two variables.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি population parameter-এর জন্য একটি একক সেরা মান অনুমান করা। (To estimate a single best value for a population parameter.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Point estimation-এর উদ্দেশ্য হলো স্যাম্পেল ডেটা ব্যবহার করে একটি অজানা population parameter (যেমন mean, variance) এর জন্য একটি একক সংখ্যা বা ‘পয়েন্ট’ অনুমান করা। এই অনুমানটিকে ‘estimator’ বলা হয়।
Q82. X̄ যদি µ-এর একটি unbiased estimator হয়, তবে X̄² কি µ²-এর একটি unbiased estimator? (If X̄ is an unbiased estimator of µ, is X̄² an unbiased estimator of µ²?)
(A) না, সাধারণত নয়। (No, not generally.)
(B) হ্যাঁ, সর্বদা। (Yes, always.)
(C) শুধুমাত্র যদি distribution symmetric হয়। (Only if the distribution is symmetric.)
(D) শুধুমাত্র যদি µ = 0 হয়। (Only if µ = 0.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) না, সাধারণত নয়। (No, not generally.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Unbiasedness সাধারণত non-linear transformation-এর অধীনে সংরক্ষিত থাকে না। আমরা জানি Var(X̄) = E(X̄²) – [E(X̄)]²। যেহেতু E(X̄) = µ এবং Var(X̄) > 0 (সাধারণত), তাই E(X̄²) = Var(X̄) + [E(X̄)]² = Var(X̄) + µ² > µ²। সুতরাং, X̄² µ²-এর একটি biased estimator।
Q83. Neyman-Pearson Lemma দ্বারা প্রাপ্ত critical region-কে কখনও কখনও কী বলা হয়? (The critical region obtained by the Neyman-Pearson Lemma is sometimes called what?)
(A) Best Critical Region (BCR)
(B) Uniformly Critical Region (UCR)
(C) Admissible Critical Region (ACR)
(D) Asymptotic Critical Region (ACR)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Best Critical Region (BCR)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): যেহেতু Neyman-Pearson Lemma একটি নির্দিষ্ট size α-এর জন্য সবচেয়ে শক্তিশালী (Most Powerful) test প্রদান করে, তাই এর সাথে সম্পর্কিত critical region-কে Best Critical Region (BCR) বলা হয়। কারণ এটি প্রদত্ত size-এর জন্য সর্বোচ্চ power অর্জন করে।
Q84. একটি Confidence Interval-এর ব্যাখ্যা কী? (What is the interpretation of a Confidence Interval?)
(A) যদি আমরা বারবার স্যাম্পেল নিই, তবে এই interval গুলির প্রায় 95% আসল প্যারামিটারকে ধারণ করবে। (If we sample repeatedly, about 95% of these intervals will contain the true parameter.)
(B) আসল প্যারামিটার 95% সম্ভাবনা নিয়ে এই interval-এর মধ্যে আছে। (There is a 95% probability that the true parameter is in this interval.)
(C) স্যাম্পেল mean 95% সম্ভাবনা নিয়ে এই interval-এর মধ্যে আছে। (There is a 95% probability that the sample mean is in this interval.)
(D) উপরের কোনোটিই নয়। (None of the above.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যদি আমরা বারবার স্যাম্পেল নিই, তবে এই interval গুলির প্রায় 95% আসল প্যারামিটারকে ধারণ করবে। (If we sample repeatedly, about 95% of these intervals will contain the true parameter.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): এটি একটি frequentist ব্যাখ্যা। Confidence level (যেমন 95%) interval তৈরির পদ্ধতির দীর্ঘমেয়াদী সাফল্যের হারকে বোঝায়, কোনো একটি নির্দিষ্ট interval-এর জন্য সম্ভাবনাকে নয়। একবার একটি interval গণনা করা হয়ে গেলে, আসল প্যারামিটারটি হয় এর মধ্যে আছে অথবা নেই।
Q85. OC curve এবং Power function-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (What is the relationship between the OC curve and the Power function?)
(A) OC(θ) = 1 – Power(θ) for θ in H₁
(B) OC(θ) = Power(θ)
(C) OC(θ) = 1 / Power(θ)
(D) তাদের মধ্যে কোনো গাণিতিক সম্পর্ক নেই। (There is no mathematical relationship.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) OC(θ) = 1 – Power(θ) for θ in H₁
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): OC(θ) হলো H₀ accept করার সম্ভাবনা, আর Power(θ) হলো H₀ reject করার সম্ভাবনা। যেহেতু accept এবং reject দুটি взаимоবর্জনীয় (mutually exclusive) এবং সমগ্র (exhaustive) ঘটনা, তাই P(Accept H₀) + P(Reject H₀) = 1। সুতরাং, OC(θ) + Power(θ) = 1, যা থেকে OC(θ) = 1 – Power(θ) পাওয়া যায়।
Q86. কোন estimator-এর জন্য MSE = Variance হয়? (For which estimator does MSE = Variance?)
(A) Unbiased estimator
(B) Biased estimator
(C) Consistent estimator
(D) Sufficient estimator
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Unbiased estimator
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): MSE-এর সূত্র হলো MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]²। যদি একটি estimator T unbiased হয়, তবে তার Bias(T) = 0। সুতরাং, MSE(T) = Var(T) + 0² = Var(T)।
Q87. Method of Moments estimator কি সর্বদা sufficient হয়? (Is the Method of Moments estimator always sufficient?)
(A) না (No)
(B) হ্যাঁ (Yes)
(C) শুধুমাত্র যদি distribution normal হয়। (Only if the distribution is normal.)
(D) শুধুমাত্র যদি এটি unbiased হয়। (Only if it is unbiased.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) না (No)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): না, MOM estimator সবসময় sufficient হয় না। এটি প্রায়শই গণনা করা সহজ, কিন্তু এটি MLE-এর মতো ভালো statistical property (যেমন sufficiency বা efficiency) ধারণ নাও করতে পারে। অনেক ক্ষেত্রে, MOM estimator, MLE-এর চেয়ে কম efficient হয়।
Q88. Simple hypothesis কী? (What is a simple hypothesis?)
(A) একটি হাইপোথিসিস যা distribution-কে সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে। (A hypothesis that completely specifies the distribution.)
(B) একটি হাইপোথিসিস যা বোঝা সহজ। (A hypothesis that is easy to understand.)
(C) একটি হাইপোথিসিস যা প্যারামিটারের একটি পরিসর নির্দিষ্ট করে। (A hypothesis that specifies a range for the parameter.)
(D) একটি হাইপোথিসিস যা সর্বদা সত্য। (A hypothesis that is always true.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) একটি হাইপোথিসিস যা distribution-কে সম্পূর্ণভাবে নির্দিষ্ট করে। (A hypothesis that completely specifies the distribution.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি হাইপোথিসিসকে simple বলা হয় যদি এটি population distribution-এর সমস্ত প্যারামিটারের জন্য একটি নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, N(µ, σ²) ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য H₀: µ=10, σ²=4 একটি simple hypothesis। H₀: µ=10 একটি simple hypothesis হবে যদি σ² জানা থাকে।
Q89. একটি পরীক্ষার Power বাড়ানোর একটি উপায় কী? (What is one way to increase the power of a test?)
(A) স্যাম্পেল সাইজ বাড়ানো। (Increase the sample size.)
(B) Significance level (α) কমানো। (Decrease the significance level (α).)
(C) স্যাম্পেল সাইজ কমানো। (Decrease the sample size.)
(D) Null hypothesis পরিবর্তন করা। (Change the null hypothesis.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) স্যাম্পেল সাইজ বাড়ানো। (Increase the sample size.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Power = 1 – β। স্যাম্পেল সাইজ (n) বাড়ালে, estimator-গুলি আরও precise হয়, যা H₀ এবং H₁-এর মধ্যে পার্থক্য করা সহজ করে তোলে। এর ফলে Type II error (β) কমে যায় এবং Power (1-β) বেড়ে যায়। Significance level (α) বাড়ানোও power বাড়াতে পারে, কিন্তু এটি Type I error বাড়িয়ে দেয়।
Q90. X₁, …, Xₙ যদি N(0, σ²) থেকে একটি random sample হয়, σ²-এর জন্য UMVUE কী? (If X₁, …, Xₙ is a random sample from N(0, σ²), what is the UMVUE for σ²?)
(A) (1/n) * ΣXᵢ²
(B) S² = (1/(n-1)) * Σ(Xᵢ-X̄)²
(C) X̄²
(D) (1/(n-1)) * ΣXᵢ²
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) (1/n) * ΣXᵢ²
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): এই ক্ষেত্রে, µ=0 জানা আছে। σ²-এর জন্য একটি complete sufficient statistic হলো T = ΣXᵢ²। আমরা জানি E(Xᵢ²) = Var(Xᵢ) + [E(Xᵢ)]² = σ² + 0² = σ²। তাই, E(T) = E(ΣXᵢ²) = nσ²। সুতরাং, T/n = (1/n)ΣXᵢ² হলো σ²-এর একটি unbiased estimator। যেহেতু এটি একটি complete sufficient statistic-এর ফাংশন, তাই Lehmann-Scheffe Theorem অনুযায়ী এটিই UMVUE।
Q91. Cramer-Rao Inequality কোন ধরনের estimator-এর জন্য নিম্ন সীমা প্রদান করে? (The Cramer-Rao Inequality provides a lower bound for what type of estimators?)
(A) Unbiased estimators
(B) All estimators
(C) Biased estimators
(D) Consistent estimators
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Unbiased estimators
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Cramer-Rao Inequality-র সবচেয়ে প্রচলিত রূপটি unbiased estimator-দের variance-এর জন্য একটি নিম্ন সীমা (lower bound) নির্ধারণ করে। Biased estimator-দের জন্য একটি সাধারণীকৃত রূপ আছে, কিন্তু মূল উপপাদ্যটি unbiasedness-এর উপর নির্ভরশীল।
Q92. Least squares estimators এবং MLE কি সবসময় এক? (Are least squares estimators and MLEs always the same?)
(A) না, শুধুমাত্র যদি error গুলি i.i.d. Normal হয়। (No, only if the errors are i.i.d. Normal.)
(B) হ্যাঁ, সর্বদা। (Yes, always.)
(C) না, তারা কখনোই এক নয়। (No, they are never the same.)
(D) শুধুমাত্র যদি কোনো intercept না থাকে। (Only if there is no intercept.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) না, শুধুমাত্র যদি error গুলি i.i.d. Normal হয়। (No, only if the errors are i.i.d. Normal.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): সাধারণ linear regression মডেলে, যদি error term গুলি স্বাধীন এবং একই Normal distribution (i.i.d. Normal) অনুসরণ করে বলে ধরে নেওয়া হয়, তবে regression coefficients-এর জন্য Least Squares Estimators এবং Maximum Likelihood Estimators একই হয়। অন্য কোনো error distribution-এর জন্য তারা ভিন্ন হতে পারে।
Q93. UMPU test কখন খোঁজা হয়? (When is a UMPU test sought?)
(A) যখন UMP test বিদ্যমান থাকে না, যেমন two-sided test-এ। (When a UMP test does not exist, such as in two-sided tests.)
(B) যখন UMP test বিদ্যমান থাকে। (When a UMP test exists.)
(C) যখন ডেটা non-normal হয়। (When the data is non-normal.)
(D) যখন স্যাম্পেল সাইজ ছোট হয়। (When the sample size is small.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যখন UMP test বিদ্যমান থাকে না, যেমন two-sided test-এ। (When a UMP test does not exist, such as in two-sided tests.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): UMP (Uniformly Most Powerful) test সবচেয়ে আকাঙ্ক্ষিত, কিন্তু এটি প্রায়শই one-sided hypothesis-এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকে। Two-sided hypothesis (যেমন H₁: θ ≠ θ₀) বা আরও জটিল ক্ষেত্রে, UMP test বিদ্যমান থাকে না। এই পরিস্থিতিতে, আমরা একটি দুর্বল কিন্তু এখনও শক্তিশালী মানদণ্ড খুঁজি, যা হলো UMP Unbiased (UMPU) test।
Q94. একটি 100(1-α)% confidence interval-এর ভুল ব্যাখ্যা কোনটি? (Which is an incorrect interpretation of a 100(1-α)% confidence interval?)
(A) Population parameter-এর (1-α) সম্ভাবনা আছে interval-এর মধ্যে থাকার। (The population parameter has a (1-α) probability of being in the interval.)
(B) এই interval তৈরির পদ্ধতি (1-α) সময়ে সঠিক হবে। (The procedure to create this interval will be correct (1-α) of the time.)
(C) আমরা (1-α)×100% confident যে interval-টি আসল প্যারামিটারকে ধারণ করে। (We are (1-α)×100% confident that the interval contains the true parameter.)
(D) এটি hypothesis testing-এর সাথে দ্বৈত। (It is dual to hypothesis testing.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Population parameter-এর (1-α) সম্ভাবনা আছে interval-এর মধ্যে থাকার। (The population parameter has a (1-α) probability of being in the interval.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): এটি একটি সাধারণ ভুল ধারণা। Frequentist পরিসংখ্যানে, population parameter-কে একটি স্থির কিন্তু অজানা ধ্রুবক হিসেবে ধরা হয়। এর কোনো probability distribution নেই। সম্ভাবনাটি interval তৈরির পদ্ধতির সাথে যুক্ত, নির্দিষ্ট interval-এর সাথে নয়। একবার interval গণনা করা হলে, প্যারামিটারটি হয় এর মধ্যে আছে অথবা নেই (সম্ভাবনা 1 বা 0)।
Q95. SPRT-র তুলনায় fixed sample test-এর একটি সুবিধা কী? (What is one advantage of a fixed sample test compared to SPRT?)
(A) পরীক্ষার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বোচ্চ সময় এবং খরচ আগে থেকেই জানা থাকে। (The maximum time and cost required for the test are known in advance.)
(B) এটি সবসময় কম স্যাম্পেল ব্যবহার করে। (It always uses fewer samples.)
(C) এটি সবসময় বেশি powerful। (It is always more powerful.)
(D) এর কোনো error নেই। (It has no errors.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) পরীক্ষার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বোচ্চ সময় এবং খরচ আগে থেকেই জানা থাকে। (The maximum time and cost required for the test are known in advance.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): SPRT efficient হলেও এর একটি অসুবিধা হলো স্যাম্পেল সাইজ আগে থেকে জানা যায় না। এটি একটি random variable। কিছু ক্ষেত্রে, এটি একটি fixed sample test-এর চেয়ে অনেক বেশি স্যাম্পেল নিতে পারে। Fixed sample test-এ, স্যাম্পেল সাইজ (n) স্থির, তাই বাজেট এবং সময়সূচী পরিকল্পনা করা সহজ।
Q96. sufficiency-র ধারণাটি কে প্রথম প্রবর্তন করেন? (Who first introduced the concept of sufficiency?)
(A) R.A. Fisher
(B) Jerzy Neyman
(C) Karl Pearson
(D) Abraham Wald
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) R.A. Fisher
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): স্যার রোনাল্ড আইলমার ফিশার (R.A. Fisher), আধুনিক পরিসংখ্যানের অন্যতম জনক, 1920-এর দশকে sufficiency-র ধারণাটি প্রবর্তন করেন। এটি ডেটা সংক্ষেপণের একটি মৌলিক নীতি।
Q97. একটি estimator-এর MSE কখন সর্বনিম্ন হয়? (When is the MSE of an estimator minimized?)
(A) যখন variance এবং bias-এর মধ্যে একটি ভালো trade-off থাকে। (When there is a good trade-off between variance and bias.)
(B) যখন variance শূন্য হয়। (When the variance is zero.)
(C) যখন bias শূন্য হয়। (When the bias is zero.)
(D) যখন estimator-টি consistent হয়। (When the estimator is consistent.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যখন variance এবং bias-এর মধ্যে একটি ভালো trade-off থাকে। (When there is a good trade-off between variance and bias.)
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): MSE = Variance + (Bias)²। সবসময় unbiased (bias=0) estimator সেরা হয় না। কখনও কখনও সামান্য bias স্বীকার করে variance উল্লেখযোগ্যভাবে কমানো সম্ভব, যা সামগ্রিকভাবে MSE-কে কমিয়ে দেয়। এই ধারণাটি bias-variance trade-off নামে পরিচিত।
Q98. LRT statistic, λ(x), এর মান কোন পরিসরের মধ্যে থাকে? (The LRT statistic, λ(x), has values in which range?)
(A) [0, 1]
(B) [0, ∞)
(C) (-∞, ∞)
(D) [-1, 1]
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) [0, 1]
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Likelihood Ratio Test statistic সংজ্ঞায়িত করা হয় λ(x) = [sup L(θ|x) for θ in H₀] / [sup L(θ|x) for all θ]। যেহেতু H₀-এর প্যারামিটার স্পেস সম্পূর্ণ প্যারামিটার স্পেসের একটি সাবসেট, তাই লব (numerator) কখনোই হর (denominator)-এর চেয়ে বড় হতে পারে না। সুতরাং, 0 ≤ λ(x) ≤ 1।
Q99. Wald’s SPRT কোন দুটি হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে? (Wald’s SPRT is designed to test between which two hypotheses?)
(A) Two simple hypotheses
(B) Two composite hypotheses
(C) A simple and a composite hypothesis
(D) Any type of hypotheses
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) Two simple hypotheses
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): Wald’s Sequential Probability Ratio Test (SPRT)-এর মূল গঠনটি একটি simple null hypothesis (H₀: θ = θ₀) এবং একটি simple alternative hypothesis (H₁: θ = θ₁)-এর মধ্যে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য তৈরি করা হয়েছে। যদিও এটি composite hypothesis-এর জন্য অভিযোজিত করা যেতে পারে, এর মৌলিক তত্ত্ব এবং সর্বোত্তম বৈশিষ্ট্যগুলি simple vs. simple ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
Q100. যদি একটি পরীক্ষার Power 0.8 হয়, তাহলে Type II error (β) কত? (If the power of a test is 0.8, what is the Type II error (β)?)
(A) 0.2
(B) 0.8
(C) 0.95
(D) বলা সম্ভব নয়। (Cannot be determined.)
সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 0.2
বিস্তারিত ব্যাখ্যা (Detailed Explanation): একটি পরীক্ষার Power এবং Type II error (β) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো: Power = 1 – β। সুতরাং, β = 1 – Power। প্রদত্ত Power = 0.8, তাই β = 1 – 0.8 = 0.2।