Business Mathematics & Statistics

Correct Answer: (a) ₹1000

Explanation: সরল সুদের সূত্র হলো (Simple Interest Formula is): SI = (P * R * T) / 100।
এখানে (Here), P = 5000, R = 10, T = 2।
সুতরাং (So), SI = (5000 * 10 * 2) / 100 = ₹1000।

Correct Answer: (b) আসল এবং অর্জিত সুদের উপর (On Principal and accumulated interest)

Explanation: চক্রবৃদ্ধি সুদের মূল বৈশিষ্ট্য হলো প্রতি মেয়াদ শেষে অর্জিত সুদ আসলের সাথে যোগ হয়ে নতুন আসল তৈরি করে এবং পরবর্তী মেয়াদের সুদ এই নতুন আসলের উপর গণনা করা হয়।

The main feature of compound interest is that at the end of each period, the interest earned is added to the principal to form a new principal, and the interest for the next period is calculated on this new principal.

Correct Answer: (b) ₹820

Explanation: চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র (Formula for Amount in CI): A = P(1 + R/100)^n।
A = 8000(1 + 5/100)^2 = 8000 * (1.05)^2 = 8000 * 1.1025 = ₹8820।
চক্রবৃদ্ধি সুদ (Compound Interest) = A – P = 8820 – 8000 = ₹820।

Correct Answer: (c) শূন্য (Zero)

Explanation: প্রথম বছরের জন্য, সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ উভয়ই শুধুমাত্র আসলের উপর গণনা করা হয়। তাই তাদের মধ্যে কোনো পার্থক্য থাকে না। পার্থক্য দ্বিতীয় বছর থেকে শুরু হয়।

For the first year, both simple interest and compound interest are calculated only on the principal amount. Therefore, there is no difference between them. The difference starts from the second year onwards.

Correct Answer: (c) 12.5%

Explanation: টাকা দ্বিগুণ হওয়ার অর্থ হলো সুদ (Interest) আসলের (Principal) সমান হবে। Let Principal = P. Then Interest = P.
We know, SI = (P * R * T) / 100 => P = (P * R * 8) / 100.
=> 1 = (R * 8) / 100 => R = 100 / 8 = 12.5%.

Correct Answer: (b) বার্ষিকী (Annuity)

Explanation: Annuity বা বার্ষিকী হলো একটি নির্দিষ্ট সময় ধরে নিয়মিত ব্যবধানে সমান পরিমাণ অর্থের একটি সিরিজ। যেমন – মাসিক বীমা প্রিমিয়াম, ঋণের কিস্তি ইত্যাদি।

An annuity is a series of equal payments at regular intervals over a specified period. Examples include monthly insurance premiums, loan installments, etc.

Correct Answer: (b) অগ্রিম বার্ষিকী (Annuity Due)

Explanation: Annuity Due বা অগ্রিম বার্ষিকীর ক্ষেত্রে, প্রতিটি কিস্তি সময়কালের শুরুতে প্রদান করা হয়। অন্যদিকে, Ordinary Annuity-তে কিস্তি সময়কালের শেষে প্রদান করা হয়।

In the case of an Annuity Due, each installment is paid at the beginning of the period. On the other hand, in an Ordinary Annuity, the installment is paid at the end of the period.

Correct Answer: (b) সমস্ত কিস্তি এবং তাদের উপর অর্জিত সুদের মোট মূল্য ভবিষ্যৎ একটি নির্দিষ্ট তারিখে (The total value of all installments and the interest earned on them at a specific future date)

Explanation: Annuity-র ভবিষ্যৎ মূল্য হলো সমস্ত কিস্তির সমষ্টি এবং প্রতিটি কিস্তির উপর অর্জিত চক্রবৃদ্ধি সুদের যোগফল, যা মেয়াদ শেষে পাওয়া যায়।

The future value of an annuity is the sum of all installments plus the compound interest earned on each installment, which is received at the end of the term.

Correct Answer: (b) অনির্দিষ্টকাল পর্যন্ত চলতে থাকা বার্ষিকী (An annuity that continues forever)

Explanation: Perpetuity হলো এক ধরনের অ্যানুইটি যেখানে পেমেন্ট অনির্দিষ্টকাল বা চিরকাল ধরে চলতে থাকে। এর কোনো নির্দিষ্ট শেষ সময় নেই।

A perpetuity is a type of annuity where payments continue indefinitely or forever. It has no specified end date.

Correct Answer: (b) ঋণ বা বিনিয়োগের আজকের মূল্য নির্ধারণ করতে (To determine the current value of a loan or investment)

Explanation: Present Value (PV) হলো ভবিষ্যতে প্রাপ্তব্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থের আজকের মূল্য। এটি ঋণ, বন্ড, বা অন্য কোনো বিনিয়োগের ন্যায্য মূল্য নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়।

Present Value (PV) is the current worth of a future sum of money. It is used to determine the fair value of loans, bonds, or other investments.

Correct Answer: (b) সমান্তর প্রগতি (Arithmetic Progression)

Explanation: এই সিরিজে প্রতিটি পদের মধ্যে পার্থক্য (common difference) স্থির। 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, 15 – 11 = 4। যেহেতু পার্থক্য স্থির (4), এটি একটি সমান্তর প্রগতি (AP)।

In this series, the common difference between each consecutive term is constant. 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, 15 – 11 = 4. Since the difference is constant (4), it is an Arithmetic Progression (AP).

Correct Answer: (a) 2

Explanation: এটি একটি গুণোত্তর প্রগতি (Geometric Progression – GP)। এখানে প্রতিটি পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে একটি স্থির অনুপাত পাওয়া যায়। 4 / 2 = 2, 8 / 4 = 2, 16 / 8 = 2। সাধারণ অনুপাত (common ratio) হলো 2।

This is a Geometric Progression (GP). Here, dividing each term by its preceding term gives a constant ratio. 4 / 2 = 2, 8 / 4 = 2, 16 / 8 = 2. The common ratio is 2.

Correct Answer: (b) a + (n-1)d

Explanation: একটি AP-এর n-তম পদ (T_n) নির্ণয়ের সূত্র হলো T_n = a + (n-1)d, যেখানে ‘a’ হলো প্রথম পদ (first term), ‘n’ হলো পদের সংখ্যা (number of terms), এবং ‘d’ হলো সাধারণ অন্তর (common difference)।

The formula to find the nth term (T_n) of an AP is T_n = a + (n-1)d, where ‘a’ is the first term, ‘n’ is the number of terms, and ‘d’ is the common difference.

Correct Answer: (b) 50

Explanation: এখানে (Here), a = 5, d = 10 – 5 = 5, n = 10।
সূত্র (Formula): T_n = a + (n-1)d।
T_10 = 5 + (10-1) * 5 = 5 + 9 * 5 = 5 + 45 = 50।

Correct Answer: (b) a(r^n – 1) / (r – 1)

Explanation: একটি GP-এর প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল (Sum of n terms, S_n) নির্ণয়ের সূত্র হলো S_n = a(r^n – 1) / (r – 1), যখন সাধারণ অনুপাত (common ratio) ‘r’ 1-এর চেয়ে বড় হয়।

The formula for the sum of the first n terms (S_n) of a GP is S_n = a(r^n – 1) / (r – 1) when the common ratio ‘r’ is greater than 1.

Correct Answer: (b) পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি (Statistical methods)

Explanation: একবচনে, ‘পরিসংখ্যান’ বলতে বোঝায় তথ্য সংগ্রহ, সংগঠন, বিশ্লেষণ, ব্যাখ্যা এবং উপস্থাপনের বিজ্ঞান বা পদ্ধতি। বহুবচনে এটি সংখ্যাত্মক তথ্যকে বোঝায়।

In the singular sense, ‘Statistics’ refers to the science or methods of collecting, organizing, analyzing, interpreting, and presenting data. In the plural sense, it refers to numerical data.

Correct Answer: (b) যা প্রথমবার গবেষক নিজে সংগ্রহ করেন (Data collected for the first time by the researcher)

Explanation: প্রাথমিক ডেটা হলো সেই তথ্য যা অনুসন্ধানের উদ্দেশ্যে গবেষক সরাসরি উৎস থেকে প্রথমবার সংগ্রহ করেন। যেমন – সমীক্ষা (survey), সাক্ষাৎকার (interview)।

Primary data is the information that a researcher collects directly from the source for the first time for a specific purpose. For example – surveys, interviews.

Correct Answer: (c) চোখের রঙ (Eye color)

Explanation: গুণগত ডেটা বা ক্যাটেগরিক্যাল ডেটা কোনো বৈশিষ্ট্য বা গুণকে বর্ণনা করে যা সংখ্যা দ্বারা পরিমাপ করা যায় না। চোখের রঙ (কালো, বাদামী, নীল) একটি গুণ। বয়স, উচ্চতা, এবং আয় হলো পরিমাণগত (Quantitative) ডেটা।

Qualitative or categorical data describes a characteristic or quality that cannot be measured by numbers. Eye color (black, brown, blue) is a quality. Age, height, and income are quantitative data.

Correct Answer: (b) ভৌগোলিক শ্রেণীবিন্যাস (Geographical Classification)

Explanation: যখন ডেটা বিভিন্ন ভৌগোলিক অঞ্চল যেমন দেশ, রাজ্য, শহর বা এলাকা অনুসারে সাজানো হয়, তখন তাকে ভৌগোলিক শ্রেণীবিন্যাস বলা হয়।

When data is arranged according to different geographical areas such as country, state, city, or region, it is called geographical classification.

Correct Answer: (c) শ্রেণী চিহ্ন (Class Mark)

Explanation: Class Mark বা Mid-Value হলো একটি শ্রেণীর উচ্চ সীমা (Upper Limit) এবং নিম্ন সীমার (Lower Limit) গড়। সূত্র: (Upper Limit + Lower Limit) / 2।

The Class Mark or Mid-Value is the average of the upper limit and lower limit of a class. Formula: (Upper Limit + Lower Limit) / 2.

Correct Answer: (c) গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean)

Explanation: গাণিতিক গড় ডেটা সেটের সমস্ত মানকে বিবেচনা করে, তাই এটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি স্থিতিশীল এবং নির্ভরযোগ্য পরিমাপ হিসাবে বিবেচিত হয়। তবে চরম মানের (outliers) দ্বারা এটি প্রভাবিত হয়।

The arithmetic mean considers all the values in the data set, so it is considered a stable and reliable measure of central tendency. However, it is affected by extreme values (outliers).

Correct Answer: (b) 5

Explanation: মধ্যমা হলো কোনো ডেটা সেটের মধ্যম মান যখন ডেটাগুলিকে ক্রমানুসারে সাজানো হয়। এখানে ডেটাগুলি (2, 3, 5, 7, 8) সাজানোই আছে এবং মোট 5টি (বিজোড়) মান আছে। মধ্যম মানটি হলো (5+1)/2 = 3য় পদ, যা হলো 5।

The median is the middle value of a data set when the data is arranged in order. Here the data (2, 3, 5, 7, 8) is already sorted and there are 5 (odd) values. The middle value is the (5+1)/2 = 3rd term, which is 5.

Correct Answer: (b) 6

Explanation: সংখ্যাগুরু মান বা Mode হলো ডেটা সেটের সেই মান যা সবচেয়ে বেশিবার পুনরাবৃত্তি হয়। এই ডেটা সেটে, ‘6’ সংখ্যাটি 3 বার এসেছে, যা অন্য যেকোনো সংখ্যার চেয়ে বেশি।

The mode is the value that appears most frequently in a data set. In this data set, the number ‘6’ appears 3 times, which is more than any other number.

Correct Answer: (a) গড় (Mean)

Explanation: গড় নির্ণয়ে ডেটা সেটের সমস্ত মান ব্যবহৃত হয়। তাই যদি একটি খুব বড় বা খুব ছোট মান (outlier) থাকে, তবে তা গড়ের মানকে ব্যাপকভাবে প্রভাবিত করে। মধ্যমা এবং সংখ্যাগুরু মান চরম মান দ্বারা তেমন প্রভাবিত হয় না।

The mean calculation uses all values in the data set. Therefore, if there is a very large or very small value (outlier), it significantly affects the value of the mean. The median and mode are not much affected by extreme values.

Correct Answer: (c) Mean = Median = Mode

Explanation: একটি সম্পূর্ণ প্রতিসম নিবেশনে (যেমন Normal Distribution), ডেটার বণ্টন সমানভাবে হয়, যার ফলে গড়, মধ্যমা এবং সংখ্যাগুরু মান—তিনটিই একই বিন্দুতে অবস্থান করে।

In a perfectly symmetrical distribution (like the Normal Distribution), the data is evenly distributed, causing the Mean, Median, and Mode to coincide at the same point.

Correct Answer: (a) Mean > Median > Mode

Explanation: একটি ধনাত্মক বা ডানদিকে বাঁকানো (positively skewed) নিবেশনে, বেশিরভাগ ডেটা বাম দিকে কেন্দ্রীভূত থাকে এবং ডানদিকে একটি দীর্ঘ লেজ থাকে। এই লেজের উচ্চ মানগুলি গড়কে (Mean) ডানদিকে টেনে নিয়ে যায়, তাই গড়ের মান মধ্যমা ও সংখ্যাগুরু মানের চেয়ে বেশি হয়।

In a positively skewed (right-skewed) distribution, most of the data is concentrated on the left, with a long tail to the right. The high values in this tail pull the Mean to the right, so the Mean is greater than the Median, which is greater than the Mode.

Correct Answer: (b) 5.5

Explanation: প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যা হলো 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10।
যোগফল (Sum) = n(n+1)/2 = 10(11)/2 = 55।
গড় (Mean) = যোগফল / সংখ্যা = 55 / 10 = 5.5।

The first 10 natural numbers are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Sum = n(n+1)/2 = 10(11)/2 = 55.
Mean = Sum / Number of terms = 55 / 10 = 5.5.

Correct Answer: (c) পরিসর (Range)

Explanation: পরিসর হলো ডেটা সেটের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য (Range = Highest Value – Lowest Value)। এটি গণনা করা সবচেয়ে সহজ, তবে এটি শুধুমাত্র দুটি চরম মানের উপর নির্ভর করে বলে খুব নির্ভরযোগ্য নয়।

The range is the difference between the highest and lowest values in a data set (Range = Highest Value – Lowest Value). It is the easiest to calculate, but not very reliable as it depends only on the two extreme values.

Correct Answer: (b) ভেদাঙ্ক (Variance)

Explanation: ভেদাঙ্ক (Variance) হলো গড় থেকে প্রতিটি ডেটা পয়েন্টের দূরত্বের বর্গের গড়। আদর্শ বিচ্যুতি হলো ভেদাঙ্কের বর্গমূল। সুতরাং, আদর্শ বিচ্যুতির বর্গ হলো ভেদাঙ্ক। Variance = (Standard Deviation)².

Variance is the average of the squared differences from the Mean. Standard Deviation is the square root of the variance. Therefore, the square of the Standard Deviation is the Variance.

Correct Answer: (b) 0

Explanation: আদর্শ বিচ্যুতি ডেটা পয়েন্টগুলির গড় থেকে তাদের বিস্তৃতি পরিমাপ করে। যদি সমস্ত মান একই হয়, তবে কোনো বিস্তৃতি বা বিচ্যুতি থাকে না, কারণ প্রতিটি মান গড়ের সমান। তাই আদর্শ বিচ্যুতি শূন্য হবে।

Standard deviation measures the spread of data points from the mean. If all values are the same, there is no spread or deviation, as each value is equal to the mean. Therefore, the standard deviation will be zero.

Correct Answer: (c) ভেদাঙ্ক সহগ (Coefficient of Variation)

Explanation: ভেদাঙ্ক সহগ (CV) হলো আপেক্ষিক বিচ্যুতির একটি পরিমাপ। এর সূত্র হলো CV = (Standard Deviation / Mean) * 100। যেহেতু এটি একটি অনুপাত, তাই এটি একক-মুক্ত এবং দুটি ভিন্ন এককের ডেটা সেটের মধ্যে তুলনা করতে ব্যবহৃত হয়।

The Coefficient of Variation (CV) is a measure of relative dispersion. Its formula is CV = (Standard Deviation / Mean) * 100. Since it is a ratio, it is unit-free and is used to compare the variability of two data sets with different units.

Correct Answer: (b) Q3 – Q1

Explanation: Inter-Quartile Range (IQR) হলো তৃতীয় চতুর্থক (Third Quartile, Q3) এবং প্রথম চতুর্থক (First Quartile, Q1) এর মধ্যে পার্থক্য। এটি ডেটা সেটের মাঝের 50% মানের বিস্তৃতি পরিমাপ করে।

The Inter-Quartile Range (IQR) is the difference between the Third Quartile (Q3) and the First Quartile (Q1). It measures the spread of the middle 50% of the data.

Correct Answer: (a) সময়ের সাথে সাথে চলকের পরিবর্তন (Changes in a variable over time)

Explanation: সূচক সংখ্যা হলো একটি পরিসংখ্যানিক পরিমাপ যা সময়, ভৌগোলিক অবস্থান বা অন্য কোনো বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে এক বা একাধিক সম্পর্কিত চলকের পরিবর্তন পরিমাপ করে। যেমন মূল্য, পরিমাণ ইত্যাদির পরিবর্তন।

An index number is a statistical measure that quantifies changes in one or more related variables over time, geographical location, or other characteristics. For example, changes in price, quantity, etc.

Correct Answer: (b) ভিত্তি বছর (Base Year)

Explanation: ভিত্তি বছর হলো একটি রেফারেন্স পিরিয়ড যার সূচককে 100 ধরা হয়। অন্যান্য বছরের মান এই ভিত্তি বছরের সাপেক্ষে শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। ভিত্তি বছরটি একটি স্থিতিশীল এবং সাধারণ বছর হওয়া উচিত।

The base year is a reference period whose index is taken as 100. The values for other years are expressed as a percentage of this base year. The base year should be a stable and normal year.

Correct Answer: (c) Fisher’s Index

Explanation: ফিশারের সূচককে আদর্শ বলা হয় কারণ এটি Time Reversal Test এবং Factor Reversal Test উভয়ই মেনে চলে। এটি Laspeyres এবং Paasche-এর সূচকের গুণোত্তর গড় (Geometric Mean)।

Fisher’s index is called ideal because it satisfies both the Time Reversal Test and the Factor Reversal Test. It is the geometric mean of Laspeyres’ and Paasche’s indices.

Correct Answer: (a) ভিত্তি বছরের পরিমাণ (Base year quantity)

Explanation: Laspeyres’ মূল্য সূচক নির্ণয়ের সূত্র হলো Σ(p1q0) / Σ(p0q0) * 100, যেখানে p1 = চলতি বছরের মূল্য, p0 = ভিত্তি বছরের মূল্য, এবং q0 = ভিত্তি বছরের পরিমাণ। এখানে ভিত্তি বছরের পরিমাণকে (q0) weight হিসাবে ব্যবহার করা হয়।

The formula for Laspeyres’ price index is Σ(p1q0) / Σ(p0q0) * 100, where p1 = current year price, p0 = base year price, and q0 = base year quantity. Here, the base year quantity (q0) is used as the weight.

Correct Answer: (c) 100

Explanation: ভিত্তি বছরকে রেফারেন্স পয়েন্ট হিসাবে ধরা হয় এবং এর মানকে 100 নির্ধারণ করা হয়। অন্যান্য সময়ের পরিবর্তনগুলি এই 100 এর সাপেক্ষে পরিমাপ করা হয়।

The base year is taken as the reference point and its value is set to 100. Changes in other periods are measured relative to this 100.

Correct Answer: (b) -1 to +1

Explanation: সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক (r) এর মান সর্বদা -1 এবং +1 এর মধ্যে থাকে। +1 মানে নিখুঁত ধনাত্মক সহসম্পর্ক, -1 মানে নিখুঁত ঋণাত্মক সহসম্পর্ক, এবং 0 মানে কোনো রৈখিক সহসম্পর্ক নেই।

The value of the correlation coefficient (r) always lies between -1 and +1. +1 means perfect positive correlation, -1 means perfect negative correlation, and 0 means no linear correlation.

Correct Answer: (a) ধনাত্মক সহসম্পর্ক (Positive Correlation)

Explanation: যখন দুটি চলক একই দিকে পরিবর্তিত হয় (অর্থাৎ, একটি বাড়লে অন্যটিও বাড়ে, বা একটি কমলে অন্যটিও কমে), তখন তাদের মধ্যে ধনাত্মক সহসম্পর্ক বিদ্যমান থাকে। যেমন, আয় এবং ব্যয়ের মধ্যে সম্পর্ক।

When two variables move in the same direction (i.e., as one increases, the other also increases, or as one decreases, the other also decreases), a positive correlation exists between them. For example, the relationship between income and expenditure.

Correct Answer: (b) যখন ডেটা গুণগত বা র‍্যাঙ্ক করা হয় (When the data is qualitative or ranked)

Explanation: Spearman’s Rank Correlation গুণগত বৈশিষ্ট্য (যেমন সৌন্দর্য, সততা) বা যে ডেটাগুলিকে র‍্যাঙ্ক বা ক্রম দেওয়া যায়, তাদের মধ্যে সম্পর্ক পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি Karl Pearson’s coefficient-এর একটি non-parametric বিকল্প।

Spearman’s Rank Correlation is used to measure the relationship between qualitative attributes (like beauty, honesty) or data that can be ranked. It is a non-parametric alternative to Karl Pearson’s coefficient.

Correct Answer: (b) রৈখিক সম্পর্কের অনুপস্থিতি (Absence of linear relationship)

Explanation: r = 0 এর অর্থ হলো দুটি চলকের মধ্যে কোনো রৈখিক (linear) সম্পর্ক নেই। তবে, তাদের মধ্যে অন্য কোনো ধরনের (যেমন, বক্ররৈখিক) সম্পর্ক থাকতে পারে। এটি সম্পর্কের সম্পূর্ণ অনুপস্থিতি বোঝায় না।

r = 0 means there is no linear relationship between the two variables. However, there might be some other type of relationship (e.g., curvilinear). It does not imply a complete absence of a relationship.

Correct Answer: (c) দুটি চলকের মধ্যে সম্পর্কের প্রকৃতি দেখার জন্য (To visualize the nature of the relationship between two variables)

Explanation: একটি Scatter Diagram বা Scatter Plot হলো একটি গ্রাফ যা দুটি পরিমাণগত চলকের মধ্যে সম্পর্ক بصريভাবে (visually) দেখানোর জন্য ব্যবহৃত হয়। ডটগুলির প্যাটার্ন দেখে সম্পর্কের দিক (ধনাত্মক/ঋণাত্মক) এবং শক্তি বোঝা যায়।

A Scatter Diagram or Scatter Plot is a graph used to visually display the relationship between two quantitative variables. The pattern of the dots helps understand the direction (positive/negative) and strength of the relationship.

Correct Answer: (b) কার্যকারণ (Causation)

Explanation: একটি বিখ্যাত উক্তি হলো “Correlation does not imply causation”। দুটি চলকের মধ্যে উচ্চ সহসম্পর্ক থাকলেও এর মানে এই নয় যে একটি চলক অন্যটির কারণ। তাদের মধ্যে সম্পর্কটি তৃতীয় কোনো চলকের কারণে বা আকস্মিকভাবেও হতে পারে।

A famous saying is “Correlation does not imply causation.” Even if there is a high correlation between two variables, it does not mean that one variable causes the other. The relationship could be due to a third variable or could be purely coincidental.

Correct Answer: (a) 1 – [6Σd² / n(n²-1)]

Explanation: Spearman’s Rank Correlation Coefficient (ρ or R) এর সূত্র হলো R = 1 – [6Σd² / n(n²-1)], যেখানে ‘d’ হলো দুটি র‍্যাঙ্কের মধ্যে পার্থক্য এবং ‘n’ হলো জোড়ার সংখ্যা। এই সূত্রটি র‍্যাঙ্ক টাই না থাকলে ব্যবহৃত হয়।

The formula for Spearman’s Rank Correlation Coefficient (ρ or R) is R = 1 – [6Σd² / n(n²-1)], where ‘d’ is the difference between the two ranks and ‘n’ is the number of pairs. This formula is used when there are no tied ranks.

Correct Answer: (c) +1

Explanation: যদি Σd² = 0 হয়, তার মানে প্রতিটি জোড়ার জন্য র‍্যাঙ্কের কোনো পার্থক্য নেই (d=0)। এর অর্থ হলো দুটি চলকের র‍্যাঙ্ক সম্পূর্ণভাবে এক।
R = 1 – [6 * 0 / n(n²-1)] = 1 – 0 = +1। এটি নিখুঁত ধনাত্মক সহসম্পর্ক নির্দেশ করে।

If Σd² = 0, it means there is no difference in ranks for any pair (d=0). This implies that the ranks of the two variables are perfectly identical.
R = 1 – [6 * 0 / n(n²-1)] = 1 – 0 = +1. This indicates a perfect positive correlation.

Correct Answer: (b) 5% per half-year

Explanation: যখন সুদ অর্ধ-বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি হয়, তখন বার্ষিক সুদের হারকে 2 দিয়ে ভাগ করে প্রতি মেয়াদের (half-year) হার বের করা হয় এবং সময়কালকে (বছর) 2 দিয়ে গুণ করা হয়।
Rate per period = 10% / 2 = 5%।

When interest is compounded semi-annually, the annual interest rate is divided by 2 to get the rate per period (half-year), and the time period (in years) is multiplied by 2.

Correct Answer: (b) 40

Explanation: যোগফলের সূত্র (Sum formula): S_n = n/2 * [2a + (n-1)d]।
এখানে (Here), n=5, a=2, d=3.
S_5 = 5/2 * [2*2 + (5-1)*3] = 2.5 * [4 + 4*3] = 2.5 * [4 + 12] = 2.5 * 16 = 40।

Correct Answer: (b) অবিচ্ছিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি নিবেশন (Continuous frequency distribution)

Explanation: Histogram হলো একটি বার ডায়াগ্রাম যা অবিচ্ছিন্ন ডেটার ফ্রিকোয়েন্সি নিবেশন দেখানোর জন্য ব্যবহৃত হয়। এখানে বারগুলির মধ্যে কোনো ফাঁক থাকে না এবং বারের প্রস্থ শ্রেণী ব্যবধান (class interval) নির্দেশ করে।

A histogram is a bar diagram used to represent the frequency distribution of continuous data. There are no gaps between the bars, and the width of the bars represents the class interval.

Correct Answer: (b) গড় নির্ণয় করা (Calculating the mean)

Explanation: ভেদাঙ্ক (এবং আদর্শ বিচ্যুতি) হলো গড় থেকে বিচ্যুতির পরিমাপ। তাই, ভেদাঙ্ক গণনা করার জন্য প্রথম এবং অপরিহার্য ধাপ হলো ডেটা সেটের গাণিতিক গড় (arithmetic mean) নির্ণয় করা।

Variance (and standard deviation) is a measure of deviation from the mean. Therefore, the first and essential step to calculate variance is to find the arithmetic mean of the data set.

Correct Answer: (b) চলতি বছরের পরিমাণ (Current year quantity)

Explanation: Paasche’s মূল্য সূচক নির্ণয়ের সূত্র হলো Σ(p1q1) / Σ(p0q1) * 100, যেখানে p1 = চলতি বছরের মূল্য, p0 = ভিত্তি বছরের মূল্য, এবং q1 = চলতি বছরের পরিমাণ। এখানে চলতি বছরের পরিমাণকে (q1) weight হিসাবে ব্যবহার করা হয়।

The formula for Paasche’s price index is Σ(p1q1) / Σ(p0q1) * 100, where p1 = current year price, p0 = base year price, and q1 = current year quantity. Here, the current year quantity (q1) is used as the weight.

Correct Answer: (c) যখন সাধারণ অনুপাতের পরম মান |r| < 1 (When absolute value of common ratio |r| < 1)

Explanation: একটি অসীম GP-এর যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব শুধুমাত্র যদি তার সাধারণ অনুপাত ‘r’-এর পরম মান 1-এর চেয়ে কম হয় (অর্থাৎ -1 < r < 1)। সূত্রটি হলো S_∞ = a / (1 - r)।

The sum of an infinite GP can be determined only if the absolute value of its common ratio ‘r’ is less than 1 (i.e., -1 < r < 1). The formula is S_∞ = a / (1 - r).

Correct Answer: (c) সংখ্যাগুরু মান (Mode)

Explanation: Nominal data হলো গুণগত ডেটা যা শুধুমাত্র শ্রেণীবিন্যাস করে, কোনো ক্রম বা পরিমাণ বোঝায় না (যেমন – লিঙ্গ, ধর্ম)। এই ধরনের ডেটার জন্য গড় বা মধ্যমা গণনা করা অর্থহীন। শুধুমাত্র সংখ্যাগুরু মান (সবচেয়ে বেশিবার আসা ক্যাটাগরি) নির্ণয় করা যায়।

Nominal data is qualitative data that only classifies without implying any order or quantity (e.g., gender, religion). For this type of data, calculating the mean or median is meaningless. Only the mode (the most frequent category) can be determined.

Correct Answer: (a) উপর থেকে ডানদিকে নীচে নামে (Sloping downwards from left to right)

Explanation: ঋণাত্মক সহসম্পর্কে একটি চলক বাড়লে অন্যটি কমে। গ্রাফে প্লট করলে, ডটগুলি একটি সাধারণ প্যাটার্ন অনুসরণ করে যা বাম দিকের উপর থেকে ডান দিকের নীচের দিকে নামে।

In a negative correlation, as one variable increases, the other decreases. When plotted on a graph, the dots follow a general pattern that slopes downwards from the upper left to the lower right.

Correct Answer: (b) ভবিষ্যতে একটি নির্দিষ্ট দায় পরিশোধ বা সম্পদ প্রতিস্থাপনের জন্য (To repay a specific liability or replace an asset in the future)

Explanation: Sinking Fund হলো একটি তহবিল যা একটি কোম্পানি নিয়মিতভাবে অর্থ জমা করে তৈরি করে। এর মূল উদ্দেশ্য হলো ভবিষ্যতে কোনো বড় আর্থিক দায় (যেমন ডিবেঞ্চার পরিশোধ) বা কোনো বড় সম্পদ (যেমন মেশিনারি) প্রতিস্থাপনের জন্য অর্থ সংগ্রহ করা। এটি Annuity-র একটি বাস্তব প্রয়োগ।

A Sinking Fund is a fund created by a company by regularly setting aside money. Its main purpose is to accumulate funds for a future financial liability (like redemption of debentures) or for replacing a major asset (like machinery). It is a practical application of Annuity.

Correct Answer: (c) সাধারণ মানুষের জীবনযাত্রার ব্যয়ের পরিবর্তন (Changes in the cost of living for the general public)

Explanation: CPI বা উপভোক্তা মূল্য সূচক, একটি নির্দিষ্ট ভোক্তা গোষ্ঠীর দ্বারা ব্যবহৃত পণ্য ও পরিষেবার একটি ঝুড়ির (basket) গড় মূল্যের পরিবর্তন পরিমাপ করে। এটি মুদ্রাস্ফীতি এবং জীবনযাত্রার ব্যয়ের একটি প্রধান সূচক।

The CPI, or Consumer Price Index, measures the average change in prices over time that consumers pay for a basket of goods and services. It is a primary indicator of inflation and the cost of living.

Correct Answer: (c) 2

Explanation: এখানে প্রথম পদ (a) = 1 এবং সাধারণ অনুপাত (r) = (1/2) / 1 = 1/2।
যেহেতু |r| < 1, তাই যোগফল সম্ভব।
সূত্র (Formula): S_∞ = a / (1 – r) = 1 / (1 – 1/2) = 1 / (1/2) = 2।

Here, the first term (a) = 1 and the common ratio (r) = (1/2) / 1 = 1/2.
Since |r| < 1, the sum is possible.
Formula: S_∞ = a / (1 – r) = 1 / (1 – 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Correct Answer: (d) হারমোনিক গড় (Harmonic Mean)

Explanation: হারমোনিক গড় বিশেষত গতি, সময়, মূল্য ইত্যাদির মতো হার বা অনুপাতের গড় নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়। যেমন, বিভিন্ন গতিতে ভ্রমণ করা দূরত্বের গড় গতিবেগ নির্ণয়।

The Harmonic Mean is particularly suitable for averaging rates or ratios, such as speed, time, price, etc. For example, calculating the average speed for a journey covering different speeds.

Correct Answer: (a) P01 × P10 = 1

Explanation: Time Reversal Test অনুযায়ী, যদি ভিত্তি বছর (0) এবং চলতি বছর (1) পরস্পর পরিবর্তন করা হয়, তবে দুটি সূচক সংখ্যার গুণফল 1 হওয়া উচিত। P01 হলো ভিত্তি বছর 0 এর সাপেক্ষে বছর 1 এর সূচক, এবং P10 হলো ভিত্তি বছর 1 এর সাপেক্ষে বছর 0 এর সূচক।

According to the Time Reversal Test, if the base year (0) and the current year (1) are interchanged, the product of the two index numbers should be 1. P01 is the index for year 1 with base year 0, and P10 is the index for year 0 with base year 1.

Correct Answer: (b) 8

Explanation: আদর্শ বিচ্যুতি হলো ভেদাঙ্কের ধনাত্মক বর্গমূল।
Standard Deviation = √Variance = √64 = 8।

Standard Deviation is the positive square root of the variance.
Standard Deviation = √Variance = √64 = 8.

Correct Answer: (a) Product-Moment Correlation Coefficient

Explanation: Karl Pearson-এর সহসম্পর্ক গুণাঙ্ককে Product-Moment Correlation Coefficient-ও বলা হয়। এটি দুটি পরিমাণগত চলকের মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের শক্তি এবং দিক পরিমাপের জন্য সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতি।

Karl Pearson’s correlation coefficient is also known as the Product-Moment Correlation Coefficient. It is the most widely used method to measure the strength and direction of the linear relationship between two quantitative variables.

Correct Answer: (c) বছরে যতবার সুদ গণনা করা হয় (Number of times interest is compounded per year)

Explanation: এই সূত্রে, ‘n’ হলো বছরে চক্রবৃদ্ধির সংখ্যা। যেমন, বার্ষিক হলে n=1, অর্ধ-বার্ষিক হলে n=2, ত্রৈমাসিক হলে n=4, এবং মাসিক হলে n=12।

In this formula, ‘n’ is the number of compounding periods per year. For example, n=1 for annually, n=2 for semi-annually, n=4 for quarterly, and n=12 for monthly.

Correct Answer: (a) প্রাথমিক ডেটা (Primary Data)

Explanation: প্রশ্নমালা হলো একটি সরঞ্জাম যা গবেষক উত্তরদাতাদের কাছ থেকে সরাসরি তথ্য সংগ্রহের জন্য ব্যবহার করেন। যেহেতু এই তথ্য প্রথমবার সংগ্রহ করা হচ্ছে, তাই এটি প্রাথমিক ডেটার অন্তর্গত।

A questionnaire is a tool used by a researcher to collect information directly from respondents. Since this information is being collected for the first time, it falls under primary data.

Correct Answer: (b) 52

Explanation: মাঝারি ধরনের অপ্রতিসম (moderately skewed) বন্টনের জন্য, একটি পরীক্ষামূলক সম্পর্ক (empirical relationship) রয়েছে: Mode = 3 * Median – 2 * Mean।
56 = 3 * Median – 2 * 50 => 56 = 3 * Median – 100 => 3 * Median = 156 => Median = 156 / 3 = 52।

For a moderately skewed distribution, there is an empirical relationship: Mode = 3 * Median – 2 * Mean.
56 = 3 * Median – 2 * 50 => 56 = 3 * Median – 100 => 3 * Median = 156 => Median = 156 / 3 = 52.

Correct Answer: (b) ডেটার মাঝের 50% এর বিস্তৃতি (The spread of the middle 50% of the data)

Explanation: Quartile Deviation (QD) বা Semi-Interquartile Range-এর সূত্র হলো (Q3 – Q1) / 2। এটি তৃতীয় এবং প্রথম চতুর্থকের দূরত্বের অর্ধেক পরিমাপ করে, যা কার্যকরভাবে ডেটা সেটের কেন্দ্রীয় 50% অংশের বিচ্যুতির একটি ধারণা দেয়।

The formula for Quartile Deviation (QD) or Semi-Interquartile Range is (Q3 – Q1) / 2. It measures half the distance between the third and first quartiles, effectively giving an idea of the dispersion of the central 50% of the data set.

Correct Answer: (c) 14.87%

Explanation: সূত্র (Formula): A = P(1 + r)^n।
এখানে (Here), A = 2P, n = 5।
2P = P(1 + r)^5 => 2 = (1 + r)^5 => 1 + r = 2^(1/5) => 1 + r ≈ 1.1487।
r ≈ 0.1487 or 14.87%।
একটি সহজ নিয়ম (Rule of 72) হলো: Rate ≈ 72 / Years = 72 / 5 = 14.4% (এটি একটি আনুমানিক মান)। সঠিক উত্তর হলো 14.87%।

Correct Answer: (a) 0.733

Explanation: সূত্র (Formula): R = 1 – [6Σd² / n(n²-1)]।
এখানে (Here), Σd² = 44, n = 10।
R = 1 – [6 * 44 / 10(10²-1)] = 1 – [264 / 10(99)] = 1 – [264 / 990] = 1 – 0.2667 ≈ 0.733।

Correct Answer: (a) 1/2

Explanation: আমরা জানি (We know), Tn = ar^(n-1).
T3 = ar^2 = 2 …(i)
T6 = ar^5 = -16 …(ii)
Dividing (ii) by (i): (ar^5)/(ar^2) = -16/2 => r^3 = -8 => r = -2.
Putting r = -2 in (i): a(-2)^2 = 2 => a(4) = 2 => a = 2/4 = 1/2.

Correct Answer: (b) সমগ্রকের প্রতিটি একক থেকে (Each and every unit of the population)

Explanation: Census বা পূর্ণ গণনা পদ্ধতিতে, কোনো অনুসন্ধানের ক্ষেত্রের অন্তর্গত সমগ্রকের (population) প্রতিটি এককের কাছ থেকে তথ্য সংগ্রহ করা হয়। এটি Sample Survey-এর বিপরীত, যেখানে সমগ্রকের একটি অংশ (নমুনা) থেকে তথ্য নেওয়া হয়।

In the Census method, data is collected from every single unit of the population under investigation. This is the opposite of a Sample Survey, where information is gathered from a part (sample) of the population.

Correct Answer: (d) Coefficient of Quartile Deviation

Explanation: যে পরিমাপগুলির শেষে ‘Coefficient’ শব্দটি থাকে, সেগুলি সাধারণত আপেক্ষিক পরিমাপ (relative measure) হয়। আপেক্ষিক পরিমাপগুলি একক-মুক্ত অনুপাত এবং তুলনার জন্য ব্যবহৃত হয়। Range, SD, Variance হলো পরম পরিমাপ, কারণ তাদের একক মূল ডেটার এককের সমান (বা তার বর্গ)।

Measures with the word ‘Coefficient’ at the end are usually relative measures. Relative measures are unit-free ratios used for comparison. Range, SD, and Variance are absolute measures as their units are the same as (or the square of) the original data’s unit.

Correct Answer: (c) কিস্তি প্রদানের সময় (Timing of payment)

Explanation: Ordinary Annuity-তে প্রতিটি মেয়াদের শেষে কিস্তি প্রদান করা হয়, অন্যদিকে Annuity Due-তে প্রতিটি মেয়াদের শুরুতে কিস্তি প্রদান করা হয়। এই সময়ের পার্থক্যই তাদের মধ্যে মূল পার্থক্য তৈরি করে।

In an Ordinary Annuity, payments are made at the end of each period, whereas in an Annuity Due, payments are made at the beginning of each period. This timing difference is the key distinction between them.

Correct Answer: (a) P01 × Q01 = V01

Explanation: Factor Reversal Test অনুযায়ী, মূল্য সূচক (Price Index, P01) এবং পরিমাণ সূচক (Quantity Index, Q01) এর গুণফল, মূল্যমান সূচকের (Value Index, V01) সমান হওয়া উচিত। V01 = Σ(p1q1) / Σ(p0q0)। ফিশারের সূচক এই পরীক্ষাটি মেনে চলে।

According to the Factor Reversal Test, the product of the Price Index (P01) and the Quantity Index (Q01) should be equal to the Value Index (V01). V01 = Σ(p1q1) / Σ(p0q0). Fisher’s index satisfies this test.

Correct Answer: (c) 0

Explanation: যদি দুটি চলক পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন হয়, তার মানে তাদের মধ্যে কোনো রৈখিক সম্পর্ক নেই। সুতরাং, তাদের সহসম্পর্ক গুণাঙ্কের মান শূন্য হবে। তবে, এর বিপরীতটি সর্বদা সত্য নয় (r=0 হলেই চলক দুটি স্বাধীন হবে, এমন নাও হতে পারে)।

If two variables are statistically independent, it means there is no linear relationship between them. Therefore, their correlation coefficient will be zero. However, the converse is not always true (r=0 does not necessarily mean the variables are independent).

Correct Answer: (a) 0

Explanation: এটি AP-এর একটি স্ট্যান্ডার্ড বৈশিষ্ট্য।
Tp = a + (p-1)d = q …(i)
Tq = a + (q-1)d = p …(ii)
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই (p-q)d = q-p, সুতরাং d = -1।
‘a’ এর মান বের করে T(p+q) = a + (p+q-1)d সূত্রে বসালে তার মান 0 আসে।

This is a standard property of an AP. Subtracting (ii) from (i), we get (p-q)d = q-p, so d = -1. Finding the value of ‘a’ and substituting in the formula for T(p+q) = a + (p+q-1)d gives the value 0.

Correct Answer: (b) ডিগ্রি (Degrees)

Explanation: একটি পাই-চার্ট হলো একটি বৃত্তাকার চিত্র। একটি বৃত্তের মোট কোণ 360°। তাই, ডেটার প্রতিটি উপাদানকে তার আনুপাতিক অংশ অনুযায়ী 360° এর একটি অংশে (ডিগ্রিতে) রূপান্তরিত করা হয়। সূত্র: Degree = (Component Value / Total Value) * 360°।

A pie-chart is a circular diagram. The total angle of a circle is 360°. Therefore, each component of the data is converted into a portion of 360° (in degrees) according to its proportional share. Formula: Degree = (Component Value / Total Value) * 360°.

Correct Answer: (b) বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি হলে যে হার পাওয়া যেত (The rate that would be obtained if compounded annually)

Explanation: কার্যকরী সুদ হার হলো সেই প্রকৃত বার্ষিক সুদের হার যা বছরে একাধিকবার চক্রবৃদ্ধির ফলে অর্জিত হয়। এটি দেখায় যে একটি নির্দিষ্ট নামমাত্র হারের (nominal rate) জন্য বছরে একবার চক্রবৃদ্ধি হলে প্রকৃত আয় কত হতো।

The effective rate of interest is the actual annual interest rate earned as a result of compounding more than once a year. It shows what the actual return would be if a given nominal rate were compounded annually.

Correct Answer: (c) অপরিবর্তিত থাকবে (Will remain unchanged)

Explanation: বিচ্যুতির পরিমাপগুলি (যেমন Range, SD, Variance) মূলবিন্দু পরিবর্তনের (change of origin) উপর নির্ভরশীল নয়। অর্থাৎ, ডেটার প্রতিটি মানের সাথে কোনো ধ্রুবক যোগ বা বিয়োগ করলে তাদের বিস্তৃতি বা বিচ্যুতির কোনো পরিবর্তন হয় না।

Measures of dispersion (like Range, SD, Variance) are independent of the change of origin. This means if a constant is added to or subtracted from every value in the data, their spread or dispersion does not change.

Correct Answer: (c) Horace Secrist

Explanation: এই বিখ্যাত সংজ্ঞাটি Horace Secrist প্রদান করেছেন। এর অর্থ হলো, পরিসংখ্যান হতে হলে সংখ্যাত্মক তথ্যগুলিকে অবশ্যই সমষ্টিগত, তুলনীয় এবং একটি নির্দিষ্ট নিয়মে সংগৃহীত হতে হবে। বিচ্ছিন্ন কোনো সংখ্যা পরিসংখ্যান নয়।

This famous definition was given by Horace Secrist. It means that to be considered statistics, numerical data must be aggregated, comparable, and collected in a systematic manner. An isolated number is not statistics.

Correct Answer: (b) সম্পর্কের দিক (The direction of the relationship)

Explanation: সহসম্পর্ক গুণাঙ্কের ‘+’ (ধনাত্মক) চিহ্ণ নির্দেশ করে যে চলক দুটি একই দিকে চলে (ধনাত্মক সম্পর্ক), এবং ‘-‘ (ঋণাত্মক) চিহ্ণ নির্দেশ করে যে চলক দুটি বিপরীত দিকে চলে (ঋণাত্মক সম্পর্ক)। মানটি (numerical value) সম্পর্কের শক্তি নির্দেশ করে।

The ‘+’ (positive) sign of the correlation coefficient indicates that the variables move in the same direction (positive relationship), and the ‘-‘ (negative) sign indicates that they move in opposite directions (negative relationship). The numerical value indicates the strength of the relationship.

Correct Answer: (b) Future Value of an Ordinary Annuity

Explanation: যেহেতু কিস্তিগুলি প্রতি “বছর শেষে” (at the end of each year) জমা করা হচ্ছে, এটি একটি Ordinary Annuity। এবং যেহেতু ভবিষ্যৎ মূল্য (Future Value) গণনা করা হচ্ছে, এটি Future Value of an Ordinary Annuity-র একটি সমস্যা।

Since the payments are made “at the end of each year,” it is an Ordinary Annuity. And since the Future Value is being calculated, it is a problem of the Future Value of an Ordinary Annuity.

Correct Answer: (b) 4 গুণ হবে (Will be multiplied by 4)

Explanation: ভেদাঙ্ক স্কেলের পরিবর্তনের (change of scale) উপর নির্ভরশীল। যদি প্রতিটি মানকে একটি ধ্রুবক ‘k’ দিয়ে গুণ করা হয়, তবে নতুন ভেদাঙ্ক হবে মূল ভেদাঙ্কের k² গুণ। এখানে k=2, তাই নতুন ভেদাঙ্ক হবে 2² = 4 গুণ। (আদর্শ বিচ্যুতি k গুণ হবে)।

Variance is dependent on the change of scale. If every value is multiplied by a constant ‘k’, the new variance will be k² times the original variance. Here k=2, so the new variance will be 2² = 4 times. (Standard deviation would be multiplied by k).

Correct Answer: (a) AM > GM > HM

Explanation: যেকোনো অসমান ধনাত্মক সংখ্যার সেটের জন্য, গাণিতিক গড় (AM) সর্বদা গুণোত্তর গড়ের (GM) চেয়ে বড় এবং গুণোত্তর গড় সর্বদা হারমোনিক গড়ের (HM) চেয়ে বড় হয়। যদি সমস্ত মান সমান হয়, তবে AM = GM = HM।

For any set of unequal positive numbers, the Arithmetic Mean (AM) is always greater than the Geometric Mean (GM), and the Geometric Mean is always greater than the Harmonic Mean (HM). If all values are equal, then AM = GM = HM.

Correct Answer: (b) (Current year’s price / Previous year’s price) * 100

Explanation: চেইন বেস পদ্ধতিতে, প্রতিটি বছরের সূচক তার ঠিক পূর্ববর্তী বছরের সাপেক্ষে গণনা করা হয়, একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি বছরের সাপেক্ষে নয়। এই (চলতি বছর / পূর্ববর্তী বছর) * 100 অনুপাতটিকে লিঙ্ক রিলেটিভ বলা হয়।

In the chain base method, the index for each year is calculated with reference to its immediately preceding year, not a fixed base year. This ratio (Current year’s price / Previous year’s price) * 100 is called the link relative.

Correct Answer: (b) 110

Explanation: যখন প্রথম পদ (a) এবং শেষ পদ (l) জানা থাকে, তখন যোগফলের সূত্র হলো S_n = n/2 * (a + l)।
এখানে (Here), n=10, a=2, l=20.
S_10 = 10/2 * (2 + 20) = 5 * 22 = 110।

When the first term (a) and the last term (l) are known, the formula for the sum is S_n = n/2 * (a + l).
Here, n=10, a=2, l=20.
S_10 = 10/2 * (2 + 20) = 5 * 22 = 110.

Correct Answer: (c) 6.136%

Explanation: কার্যকরী হারের সূত্র (Effective Rate formula): E = (1 + r/n)^n – 1।
এখানে (Here), r = 0.06, n = 4 (ত্রৈমাসিক)।
E = (1 + 0.06/4)^4 – 1 = (1 + 0.015)^4 – 1 = (1.015)^4 – 1 ≈ 1.06136 – 1 = 0.06136 বা 6.136%।

Correct Answer: (b) ক্রমবর্ধমান ফ্রিকোয়েন্সি (Cumulative Frequency)

Explanation: Ogive বা ক্রমবর্ধমান ফ্রিকোয়েন্সি বক্ররেখা, একটি ডেটা সেটের ক্রমবর্ধমান ফ্রিকোয়েন্সি দেখানোর জন্য একটি গ্রাফ। এটি ‘less than’ ogive বা ‘more than’ ogive হতে পারে এবং মধ্যমা, চতুর্থক ইত্যাদি নির্ণয়ে সাহায্য করে।

An Ogive, or cumulative frequency curve, is a graph used to show the cumulative frequency of a data set. It can be a ‘less than’ ogive or a ‘more than’ ogive and helps in determining the median, quartiles, etc.

Correct Answer: (a) 0.6745 * (1 – r²) / √n

Explanation: Probable Error হলো একটি পরিসংখ্যানিক পরিমাপ যা নমুনা থেকে প্রাপ্ত সহসম্পর্ক গুণাঙ্কের নির্ভরযোগ্যতা পরীক্ষা করতে ব্যবহৃত হয়। এর সূত্রটি হলো P.E. = 0.6745 * (1 – r²) / √n, যেখানে r হলো সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক এবং n হলো নমুনার আকার।

Probable Error is a statistical measure used to test the reliability of the correlation coefficient obtained from a sample. Its formula is P.E. = 0.6745 * (1 – r²) / √n, where r is the correlation coefficient and n is the sample size.

Correct Answer: (b) সময় সিরিজ ডেটা (Time Series Data)

Explanation: জাতীয় আয় সাধারণত বিভিন্ন বছর বা সময়কাল ধরে পরিমাপ করা হয় (যেমন, 2020, 2021, 2022 সালের জাতীয় আয়)। যখন ডেটা সময়ের ক্রমানুসারে সংগ্রহ করা হয়, তখন তাকে সময় সিরিজ ডেটা বলা হয়।

National income is usually measured over different years or time periods (e.g., national income for 2020, 2021, 2022). When data is collected in chronological order over time, it is called time series data.

Correct Answer: (c) 11.5 years

Explanation: A = P(1+r)^n => 3P = P(1+0.10)^n => 3 = (1.1)^n.
Taking log on both sides: log(3) = n * log(1.1) => 0.4771 = n * 0.0414 => n = 0.4771 / 0.0414 ≈ 11.5 years.
Rule of 114 (for tripling): Years ≈ 114 / Rate = 114 / 10 = 11.4 years (এটি একটি আনুমানিক মান)।

Correct Answer: (b) 0.5

Explanation: আদর্শ বিচ্যুতি স্কেলের পরিবর্তনের (change of scale) উপর নির্ভরশীল। যদি প্রতিটি মানকে একটি ধ্রুবক ‘k’ দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, তবে নতুন আদর্শ বিচ্যুতিও মূল আদর্শ বিচ্যুতির ‘k’ দ্বারা গুণ বা ভাগ হবে।
New SD = Old SD / 10 = 5 / 10 = 0.5।

Correct Answer: (c) (Mean of X, Mean of Y)

Explanation: দুটি রিগ্রেশন লাইন (Y on X এবং X on Y) সর্বদা একে অপরকে (X̄, Ȳ) বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে X̄ হলো X চলকের গড় এবং Ȳ হলো Y চলকের গড়।

The two regression lines (Y on X and X on Y) always intersect each other at the point (X̄, Ȳ), where X̄ is the mean of the X variable and Ȳ is the mean of the Y variable.

Correct Answer: (c) আয় বা সম্পদের বৈষম্য (Inequality in income or wealth)

Explanation: লরেন্‌জ কার্ভ হলো একটি গ্রাফিক্যাল উপস্থাপনা যা কোনো সমাজে আয় বা সম্পদের বন্টনের বৈষম্য দেখায়। নিখুঁত সমতার রেখা (line of perfect equality) থেকে এই কার্ভের বিচ্যুতি যত বেশি, বৈষম্য তত বেশি।

The Lorenz Curve is a graphical representation that shows the inequality in the distribution of income or wealth in a society. The greater the deviation of this curve from the line of perfect equality, the greater the inequality.

Correct Answer: (b) 16 and 4

Explanation: Let the numbers be a and b.
AM = (a+b)/2 = 10 => a+b = 20.
GM = √(ab) = 8 => ab = 64.
Solving these two equations, or by checking the options: 16+4 = 20 and 16*4 = 64. So the numbers are 16 and 4.

Correct Answer: (a) 25

Explanation: পরিসর (Range) = সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান।
55 = 80 – সর্বনিম্ন মান।
সর্বনিম্ন মান = 80 – 55 = 25।

Range = Highest Value – Lowest Value.
55 = 80 – Lowest Value.
Lowest Value = 80 – 55 = 25.

Correct Answer: (b) 0.4

Explanation: সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক হলো দুটি রিগ্রেশন সহগের গুণোত্তর গড়।
r = √(b_yx * b_xy) = √(0.8 * 0.2) = √0.16 = 0.4।
r-এর চিহ্নটি b_yx এবং b_xy-এর চিহ্নের মতোই হবে (এখানে উভয়ই ধনাত্মক)।

The correlation coefficient is the geometric mean of the two regression coefficients.
r = √(b_yx * b_xy) = √(0.8 * 0.2) = √0.16 = 0.4.
The sign of r will be the same as the sign of b_yx and b_xy (here both are positive).

Correct Answer: (c) Laspeyres’ Index

Explanation: Laspeyres’ সূচক শুধুমাত্র ভিত্তি বছরের পরিমাণকে weight হিসাবে ব্যবহার করে। এটি মানুষের সেই প্রবণতাকে উপেক্ষা করে যে, দাম বাড়লে তারা সস্তা বিকল্পের দিকে ঝোঁকে। ফলে এটি সাধারণত মূল্যবৃদ্ধিকে কিছুটা বাড়িয়ে দেখায়, যাকে upward bias বলে।

Laspeyres’ index uses only base year quantities as weights. It ignores the tendency of people to switch to cheaper alternatives when prices rise. As a result, it generally overestimates price increases, which is known as an upward bias.

Correct Answer: (b) 2

Explanation: Let the terms be (a-d), a, (a+d).
Sum: (a-d) + a + (a+d) = 3a = 21 => a = 7.
Sum of squares: (a-d)² + a² + (a+d)² = 155.
(7-d)² + 7² + (7+d)² = 155 => 49-14d+d² + 49 + 49+14d+d² = 155 => 147 + 2d² = 155 => 2d² = 8 => d² = 4 => d = ±2.

Correct Answer: (b) বর্তমান মূল্য হলো একটি annuity-র সমস্ত ভবিষ্যৎ কিস্তির আজকের সম্মিলিত মূল্য (Present value is the combined current worth of all future installments of an annuity)

Explanation: একটি annuity-র বর্তমান মূল্য গণনা করার অর্থ হলো, ভবিষ্যতে যে ধারাবাহিক কিস্তিগুলি পাওয়া যাবে, সুদের হার বিবেচনায় নিয়ে তাদের আজকের দিনের মোট মূল্য কত, তা নির্ণয় করা। এটি ঋণ বা বিনিয়োগের মূল্য নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়।

Calculating the present value of an annuity means determining the total current worth of the series of future payments, taking the interest rate into account. It is used to value loans or investments.

Correct Answer: (a) প্রতিসম (Symmetrical)

Explanation: Skewness একটি বন্টনের অপ্রতিসমতা পরিমাপ করে। যখন এর মান শূন্য হয়, তখন বন্টনটি সম্পূর্ণ প্রতিসম হয়, যার অর্থ গড়কে কেন্দ্র করে ডেটা সমানভাবে বণ্টিত। এই ক্ষেত্রে Mean = Median = Mode হয়।

Skewness measures the asymmetry of a distribution. When its value is zero, the distribution is perfectly symmetrical, meaning the data is evenly distributed around the mean. In this case, Mean = Median = Mode.

Correct Answer: (b) মূল্যের পরিবর্তন থেকে নামমাত্র মানকে (nominal value) প্রকৃত মানে (real value) রূপান্তরিত করা (Converting nominal values to real values by removing the effect of price changes)

Explanation: Deflating হলো একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে নামমাত্র বা আর্থিক মান (যেমন নামমাত্র আয়) থেকে মুদ্রাস্ফীতির প্রভাব দূর করে সেটিকে প্রকৃত মানে (real value) রূপান্তরিত করা হয়। এটি সাধারণত নামমাত্র মানকে উপযুক্ত মূল্য সূচক দ্বারা ভাগ করে করা হয়।

Deflating is the process of converting a nominal or monetary value (like nominal income) into a real value by removing the effect of inflation. This is usually done by dividing the nominal value by an appropriate price index.

Correct Answer: (c) শক্তিশালী ঋণাত্মক সম্পর্ক (Strong negative relationship)

Explanation: সহসম্পর্ক গুণাঙ্কের মান -1 বা +1 এর যত কাছাকাছি হয়, সম্পর্ক তত শক্তিশালী হয়। মান 0 এর কাছাকাছি হলে সম্পর্ক দুর্বল হয়। -0.9 মানটি -1 এর খুব কাছাকাছি, যা একটি শক্তিশালী সম্পর্ক নির্দেশ করে। ‘-‘ চিহ্নটি নির্দেশ করে যে সম্পর্কটি ঋণাত্মক।

The closer the value of the correlation coefficient is to -1 or +1, the stronger the relationship. If the value is close to 0, the relationship is weak. The value -0.9 is very close to -1, indicating a strong relationship. The ‘-‘ sign indicates that the relationship is negative.