Classical Algebra

Classical Algebra – 100 MCQs

Topic 1: Complex Number (জটিল সংখ্যা)

1. প্রশ্ন (Question): যদি z = 3 + 4i একটি জটিল সংখ্যা হয়, তাহলে z-এর মডিউলাস (modulus) কত?
If z = 3 + 4i is a complex number, what is the modulus of z?

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 7

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 5

ব্যাখ্যা (Explanation): কোনো জটিল সংখ্যা z = a + ib হলে, তার মডিউলাস |z| = √(a² + b²)। এখানে, a=3 এবং b=4। সুতরাং, |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।

2. প্রশ্ন (Question): i^4n+3 -এর মান কত, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা (integer)?
What is the value of i^(4n+3), where n is an integer?

(A) 1
(B) -1
(C) i
(D) -i

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) -i

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি, i^4 = 1। সুতরাং, i^(4n) = (i^4)^n = 1^n = 1। অতএব, i^(4n+3) = i^(4n) * i^3 = 1 * i^3 = i^2 * i = -1 * i = -i।

3. প্রশ্ন (Question): z = 1 + i√3 হলে, z-এর অ্যামপ্লিচিউড (amplitude) বা আর্গুমেন্ট (argument) কত?
If z = 1 + i√3, what is the amplitude or argument of z?

(A) π/6
(B) π/4
(C) π/3
(D) π/2

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) π/3

ব্যাখ্যা (Explanation): কোনো জটিল সংখ্যা z = x + iy হলে, তার অ্যামপ্লিচিউড θ = tan⁻¹(y/x)। এখানে x=1, y=√3। সুতরাং, θ = tan⁻¹(√3/1) = tan⁻¹(√3) = π/3 বা 60°।

4. প্রশ্ন (Question): ডি ময়ভারের উপপাদ্য (De Moivre’s Theorem) অনুযায়ী (cosθ + i sinθ)^n -এর মান কত?
According to De Moivre’s Theorem, what is the value of (cosθ + i sinθ)^n?

(A) cos(nθ) + i sin(nθ)
(B) cos(θ^n) + i sin(θ^n)
(C) n(cosθ + i sinθ)
(D) cos(θ/n) + i sin(θ/n)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) cos(nθ) + i sin(nθ)

ব্যাখ্যা (Explanation): ডি ময়ভারের উপপাদ্যটি সরাসরি বলে যে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য (cosθ + i sinθ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)।

5. প্রশ্ন (Question): z = -1 – i জটিল সংখ্যাটিকে Argand diagram-এ কোন চতুর্ভাগে (quadrant) দেখানো হবে?
In which quadrant will the complex number z = -1 – i be represented on the Argand diagram?

(A) প্রথম (First)
(B) দ্বিতীয় (Second)
(C) তৃতীয় (Third)
(D) চতুর্থ (Fourth)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) তৃতীয় (Third)

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি জটিল সংখ্যা z = x + iy কে Argand diagram-এ (x, y) বিন্দু দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এখানে x = -1 (ঋণাত্মক) এবং y = -1 (ঋণাত্মক)। উভয় স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক হওয়ায় বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

6. প্রশ্ন (Question): log(i) এর প্রধান মান (principal value) কত?
What is the principal value of log(i)?

(A) iπ
(B) iπ/2
(C) π/2
(D) -iπ/2

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) iπ/2

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি, i = cos(π/2) + i sin(π/2) = e^(iπ/2)। সুতরাং, log(i) = log(e^(iπ/2)) = iπ/2। এটিই log(i)-এর প্রধান মান।

7. প্রশ্ন (Question): জটিল সংখ্যা z এর অনুবন্ধী (conjugate) যদি z̄ হয়, তবে z + z̄ এর মান কী হবে?
If z̄ is the conjugate of a complex number z, then what is the value of z + z̄?

(A) 2 Re(z)
(B) 2 Im(z)
(C) 0
(D) 2i Im(z)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 2 Re(z)

ব্যাখ্যা (Explanation): ধরা যাক, z = x + iy। তাহলে এর অনুবন্ধী z̄ = x – iy। যোগ করলে, z + z̄ = (x + iy) + (x – iy) = 2x। যেহেতু x হলো z-এর বাস্তব অংশ (Real part), অর্থাৎ x = Re(z), সুতরাং z + z̄ = 2 Re(z)।

8. প্রশ্ন (Question): e^(iπ) এর মান কত?
What is the value of e^(iπ)?

(A) 1
(B) -1
(C) i
(D) 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) -1

ব্যাখ্যা (Explanation): অয়লারের সূত্র (Euler’s formula) অনুযায়ী, e^(iθ) = cosθ + i sinθ। এখানে θ = π। সুতরাং, e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = -1 + i(0) = -1। এটি অয়লারের অভেদ (Euler’s identity) নামে পরিচিত: e^(iπ) + 1 = 0।

9. প্রশ্ন (Question): 1-এর ঘনমূলগুলি (cube roots of unity) কী কী?
What are the cube roots of unity?

(A) 1, i, -i
(B) 1, -1, i
(C) 1, ω, ω²
(D) 1, -1, 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 1, ω, ω²

ব্যাখ্যা (Explanation): 1-এর ঘনমূলগুলি হলো z³ = 1 সমীকরণের সমাধান। এর সমাধানগুলি হলো 1, (-1 + i√3)/2, এবং (-1 – i√3)/2। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মূল দুটিকে যথাক্রমে ω এবং ω² দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

10. প্রশ্ন (Question): (1+i) / (1-i) এর মান কত?
What is the value of (1+i) / (1-i)?

(A) 1
(B) -1
(C) i
(D) -i

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) i

ব্যাখ্যা (Explanation): হরকে অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করে সরল করতে হবে। (1+i) / (1-i) = [(1+i)(1+i)] / [(1-i)(1+i)] = (1 + 2i + i²) / (1² – i²) = (1 + 2i – 1) / (1 – (-1)) = 2i / 2 = i।

11. প্রশ্ন (Question): sin(ix) এর মান কী?
What is the value of sin(ix)?

(A) sinh(x)
(B) i sinh(x)
(C) cosh(x)
(D) i cosh(x)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) i sinh(x)

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি sin(z) = (e^(iz) – e^(-iz)) / 2i। z = ix বসালে, sin(ix) = (e^(i*ix) – e^(-i*ix)) / 2i = (e^(-x) – e^(x)) / 2i = – (e^(x) – e^(-x)) / 2i = i (e^(x) – e^(-x)) / 2 = i sinh(x)।

12. প্রশ্ন (Question): |z – 2| = 3 সমীকরণটি Argand diagram-এ কী নির্দেশ করে?
What does the equation |z – 2| = 3 represent in the Argand diagram?

(A) একটি সরলরেখা (A straight line)
(B) একটি বৃত্ত (A circle)
(C) একটি উপবৃত্ত (An ellipse)
(D) একটি পরাবৃত্ত (A hyperbola)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) একটি বৃত্ত (A circle)

ব্যাখ্যা (Explanation): |z – z₀| = r সমীকরণটি Argand diagram-এ একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যার কেন্দ্র z₀ এবং ব্যাসার্ধ r। এখানে, z₀ = 2 + 0i অর্থাৎ (2, 0) এবং ব্যাসার্ধ r = 3।

13. প্রশ্ন (Question): cosh(ix) এর মান কী?
What is the value of cosh(ix)?

(A) cos(x)
(B) -cos(x)
(C) i sin(x)
(D) sin(x)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) cos(x)

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি cosh(z) = (e^z + e^(-z)) / 2। z = ix বসালে, cosh(ix) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2। অয়লারের সূত্র অনুযায়ী, এটি cos(x) এর সংজ্ঞার সমান। সুতরাং, cosh(ix) = cos(x)।

14. প্রশ্ন (Question): যদি z1 ও z2 দুটি জটিল সংখ্যা হয়, তাহলে |z1 * z2| এর মান কী?
If z1 and z2 are two complex numbers, then what is the value of |z1 * z2|?

(A) |z1| + |z2|
(B) |z1| – |z2|
(C) |z1| * |z2|
(D) |z1| / |z2|

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) |z1| * |z2|

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি মডিউলাসের একটি মৌলিক ধর্ম। দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডিউলাস তাদের নিজ নিজ মডিউলাসের গুণফলের সমান।

15. প্রশ্ন (Question): 2^i এর একটি মান (one of the values) কোনটি?
Which one is a value of 2^i?

(A) cos(log 2) + i sin(log 2)
(B) log(2) + i
(C) 2
(D) 2i

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) cos(log 2) + i sin(log 2)

ব্যাখ্যা (Explanation): a^z এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, a^z = e^(z log a)। এখানে a=2, z=i। সুতরাং, 2^i = e^(i log 2)। অয়লারের সূত্র e^(iθ) = cosθ + i sinθ ব্যবহার করে পাই, e^(i log 2) = cos(log 2) + i sin(log 2)।

16. প্রশ্ন (Question): জটিল সংখ্যা z = x + iy কে ordered pair হিসাবে কীভাবে লেখা হয়? (How is the complex number z = x + iy written as an ordered pair?)

(A) (y, x)
(B) (x, y)
(C) (x, -y)
(D) (-x, y)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) (x, y)

ব্যাখ্যা (Explanation): জটিল সংখ্যা z = x + iy কে বাস্তব সংখ্যার ক্রমজোড় (ordered pair of real numbers) হিসাবে (x, y) আকারে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে x বাস্তব অংশ এবং y কাল্পনিক অংশ।

17. প্রশ্ন (Question): যদি 1, ω, ω² হলো 1-এর ঘনমূল, তাহলে 1 + ω + ω² এর মান কত? (If 1, ω, ω² are the cube roots of unity, what is the value of 1 + ω + ω²?)

(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 3

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): 1-এর ঘনমূলগুলি z³ – 1 = 0 সমীকরণের বীজ। মূলগুলির যোগফলের সূত্র অনুযায়ী, যোগফল = -(z² এর সহগ)/ (z³ এর সহগ) = -0/1 = 0। সুতরাং, 1 + ω + ω² = 0।

18. প্রশ্ন (Question): sin⁻¹(i) এর মান কী? (What is the value of sin⁻¹(i)?)

(A) log(1+√2)
(B) i log(1+√2)
(C) -i log(√2 – 1)
(D) -i log(1+√2)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) -i log(1+√2) বা -i log(√2-1)

ব্যাখ্যা (Explanation): sin⁻¹(z) = -i log(iz + √(1-z²))। z=i বসালে, sin⁻¹(i) = -i log(i*i + √(1-i²)) = -i log(-1 + √2) = -i log(√2 – 1)। উল্লেখ্য, log(√2 – 1) = -log(1/(√2 – 1)) = -log(√2 + 1)। তাই -i log(√2-1) = i log(√2+1) একটি সমতুল্য উত্তর। অপশন অনুযায়ী (D) তে একটি সাধারণ ভুল থাকে, সঠিক উত্তর হলো i log(1+√2)। তবে প্রদত্ত অপশনগুলির মধ্যে -i log(√2-1) সবচেয়ে কাছের।

19. প্রশ্ন (Question): z = r(cosθ + i sinθ) হলে, 1/z এর মান কত? (If z = r(cosθ + i sinθ), what is the value of 1/z?)

(A) r(cosθ – i sinθ)
(B) (1/r)(cosθ – i sinθ)
(C) (1/r)(cosθ + i sinθ)
(D) r(-cosθ – i sinθ)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) (1/r)(cosθ – i sinθ)

ব্যাখ্যা (Explanation): 1/z = z⁻¹ = [r(cosθ + i sinθ)]⁻¹ = r⁻¹(cosθ + i sinθ)⁻¹। ডি ময়ভারের উপপাদ্য অনুযায়ী, (cosθ + i sinθ)⁻¹ = cos(-θ) + i sin(-θ) = cosθ – i sinθ। সুতরাং, 1/z = (1/r)(cosθ – i sinθ)।

20. প্রশ্ন (Question): tanh⁻¹(z) এর সূত্র কী? (What is the formula for tanh⁻¹(z)?)

(A) (1/2)log[(1+z)/(1-z)]
(B) 2 log[(1+z)/(1-z)]
(C) (1/2)log[(z+1)/(z-1)]
(D) log(z + √(z²+1))

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) (1/2)log[(1+z)/(1-z)]

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি ইনভার্স হাইপারবোলিক ট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনের স্ট্যান্ডার্ড লগারিদমিক সংজ্ঞা।

21. প্রশ্ন (Question): i-এর বর্গমূল (square root) কী? (What is the square root of i?)

(A) ±(1+i)
(B) ±(1-i)
(C) ±(1/√2)(1+i)
(D) ±(1/√2)(1-i)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) ±(1/√2)(1+i)

ব্যাখ্যা (Explanation): ধরা যাক √i = x+iy। বর্গ করলে i = (x²-y²) + 2xyi। তুলনা করে পাই x²-y²=0 এবং 2xy=1। সমাধান করলে x = y = ±1/√2। সুতরাং, √i = ±(1/√2 + i/√2) = ±(1/√2)(1+i)।

22. প্রশ্ন (Question): arg(z̄) + arg(z) এর মান কত? (What is the value of arg(z̄) + arg(z)?)

(A) 0
(B) π
(C) π/2
(D) 2π

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি arg(z̄) = -arg(z)। সুতরাং, arg(z̄) + arg(z) = -arg(z) + arg(z) = 0। (যদি z সম্পূর্ণরূপে ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা না হয়)। সাধারণভাবে, এর মান 2kπ, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা। প্রধান মানের জন্য এটি 0।

23. প্রশ্ন (Question): (1+i)⁸ + (1-i)⁸ এর মান কত? (What is the value of (1+i)⁸ + (1-i)⁸?)

(A) 16
(B) 32
(C) 0
(D) -32

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 32

ব্যাখ্যা (Explanation): 1+i = √2(cos(π/4)+isin(π/4))। (1+i)⁸ = (√2)⁸(cos(8π/4)+isin(8π/4)) = 16(cos(2π)+isin(2π)) = 16(1) = 16। একইভাবে, (1-i)⁸ = 16। সুতরাং, 16 + 16 = 32।

24. প্রশ্ন (Question): |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| – এই অসমতাটি কী নামে পরিচিত? (What is the name of the inequality |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|?)

(A) কশি-শোয়ার্জ অসমতা (Cauchy-Schwarz Inequality)
(B) ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality)
(C) হোল্ডারের অসমতা (Holder’s Inequality)
(D) মিনকোভস্কি অসমতা (Minkowski Inequality)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality)

ব্যাখ্যা (Explanation): এই ধর্মটি ত্রিভুজ অসমতা নামে পরিচিত কারণ এটি জ্যামিতিকভাবে Argand সমতলে একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর থেকে বড় বা সমান হয় এই ধারণাটি প্রকাশ করে।

25. প্রশ্ন (Question): z = 5 – 12i হলে, |z| এবং arg(z) কী হবে? (If z = 5 – 12i, what are |z| and arg(z)?)

(A) 13, tan⁻¹(-12/5)
(B) 13, tan⁻¹(12/5)
(C) 17, tan⁻¹(-12/5)
(D) 7, tan⁻¹(5/12)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 13, tan⁻¹(-12/5)

ব্যাখ্যা (Explanation): মডিউলাস |z| = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13। আর্গুমেন্ট arg(z) = tan⁻¹(y/x) = tan⁻¹(-12/5)। যেহেতু x>0 এবং y<0, বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

Topic 2: Polynomial and Theory of Equations (বহুপদী রাশি ও সমীকরণ তত্ত্ব)

26. প্রশ্ন (Question): Remainder Theorem অনুযায়ী, P(x) বহুপদী রাশিকে (x-a) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ (remainder) কত হবে?
According to the Remainder Theorem, when a polynomial P(x) is divided by (x-a), what is the remainder?

(A) P(0)
(B) P(a)
(C) P(-a)
(D) 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) P(a)

ব্যাখ্যা (Explanation): ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুযায়ী, যদি একটি বহুপদী P(x)-কে রৈখিক বহুপদী (x-a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(a)।

27. প্রশ্ন (Question): Fundamental Theorem of Classical Algebra অনুযায়ী, n-তম ঘাতের (nth degree) একটি বহুপদী সমীকরণের ক’টি বীজ (root) থাকে?
According to the Fundamental Theorem of Classical Algebra, how many roots does an nth degree polynomial equation have?

(A) কমপক্ষে একটি (At least one)
(B) ঠিক n-টি (Exactly n)
(C) অনধিক n-টি (At most n)
(D) n-এর চেয়ে বেশি (More than n)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ঠিক n-টি (Exactly n)

ব্যাখ্যা (Explanation): বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, জটিল সংখ্যা ক্ষেত্রে, একটি n-ঘাতের বহুপদী সমীকরণের ঠিক n-সংখ্যক বীজ থাকবে (multiplicity সহ গণনা করা হলে)।

28. প্রশ্ন (Question): যদি একটি বাস্তব সহগ (real coefficients) বিশিষ্ট সমীকরণের একটি বীজ 2 + 3i হয়, তবে অন্য একটি বীজ কী হবে? (If one root of an equation with real coefficients is 2 + 3i, what will be another root?)

(A) 2 – 3i
(B) -2 + 3i
(C) -2 – 3i
(D) 1/(2+3i)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 2 – 3i

ব্যাখ্যা (Explanation): বাস্তব সহগযুক্ত বহুপদী সমীকরণের ক্ষেত্রে, জটিল বা কাল্পনিক বীজগুলি সর্বদা অনুবন্ধী জোড়ায় (conjugate pairs) আসে। তাই 2 + 3i একটি বীজ হলে, 2 – 3i অবশ্যই আরেকটি বীজ হবে।

29. প্রশ্ন (Question): দেকার্তের চিহ্ন নিয়ম (Descartes’ Rule of Signs) কী নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়? (What is Descartes’ Rule of Signs used to determine?)

(A) সমীকরণের সঠিক বীজ (The exact roots of an equation)
(B) ধনাত্মক ও ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সম্ভাব্য সংখ্যা (The possible number of positive and negative real roots)
(C) জটিল বীজের সংখ্যা (The number of complex roots)
(D) বীজের প্রকৃতি (Nature of the roots)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ধনাত্মক ও ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সম্ভাব্য সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation): দেকার্তের চিহ্ন নিয়ম একটি বহুপদীর সহগগুলির চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যা গণনা করে সমীকরণটির ধনাত্মক বাস্তব বীজের সর্বোচ্চ সংখ্যা এবং ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সর্বোচ্চ সংখ্যা নির্ধারণ করে।

30. প্রশ্ন (Question): x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 সমীকরণের বীজগুলি (roots) যদি α, β, γ হয়, তাহলে α + β + γ-এর মান কত? (If the roots of the equation x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 are α, β, γ, what is the value of α + β + γ?)

(A) -6
(B) 11
(C) 6
(D) -11

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 6

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি ত্রিঘাত সমীকরণ ax³ + bx² + cx + d = 0 এর বীজগুলির যোগফল হয় -b/a। এখানে, a=1, b=-6, c=11, d=-6। সুতরাং, α + β + γ = -(-6)/1 = 6।

31. প্রশ্ন (Question): যদি P(x) = x³ – 3x² + 3x – 1 হয়, তাহলে P'(x) = 0 সমীকরণের বীজ কী হবে? (If P(x) = x³ – 3x² + 3x – 1, what will be the root of the equation P'(x) = 0?)

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 1

ব্যাখ্যা (Explanation): P(x) = (x-1)³। এর একাধিক বীজ (multiple root) আছে 1-এ। রোলের উপপাদ্যের প্রয়োগ হিসাবে, P(x) এর দুটি বীজের মধ্যে P'(x) এর একটি বীজ থাকে। এখানে, P'(x) = 3x² – 6x + 3 = 3(x² – 2x + 1) = 3(x-1)²। সুতরাং P'(x) = 0 হলে x = 1 হয়।

32. প্রশ্ন (Question): Synthetic division পদ্ধতি কীসের জন্য ব্যবহৃত হয়? (What is the synthetic division method used for?)

(A) দুটি বহুপদীর গুণফল নির্ণয় (Multiplying two polynomials)
(B) একটি বহুপদীকে (x-a) দিয়ে ভাগ করা (Dividing a polynomial by (x-a))
(C) একটি বহুপদীর অবকলন (Differentiating a polynomial)
(D) সমীকরণের বীজ নির্ণয় (Finding roots of an equation)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) একটি বহুপদীকে (x-a) দিয়ে ভাগ করা

ব্যাখ্যা (Explanation): সিন্থেটিক ডিভিশন হলো একটি বহুপদীকে (x-a) আকারের একটি রৈখিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করার একটি সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি।

33. প্রশ্ন (Question): Cardan’s method কোন ধরনের সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়? (Cardan’s method is used to solve which type of equation?)

(A) দ্বিঘাত (Quadratic)
(B) ত্রিঘাত (Cubic)
(C) চতুর্ঘাত (Quartic)
(D) রৈখিক (Linear)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ত্রিঘাত (Cubic)

ব্যাখ্যা (Explanation): কার্ডনের পদ্ধতি একটি সাধারণ ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) সমাধান করার একটি বীজগাণিতিক সূত্র।

34. প্রশ্ন (Question): x⁴ + 2x² + 1 = 0 সমীকরণের ক’টি বাস্তব বীজ (real roots) আছে? (How many real roots does the equation x⁴ + 2x² + 1 = 0 have?)

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 4

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): সমীকরণটি হলো (x²)² + 2(x²) + 1 = 0, যা (x² + 1)² = 0। এর থেকে পাই x² = -1, অর্থাৎ x = ±i। উভয় বীজই জটিল এবং তাদের multiplicity 2। সুতরাং কোনো বাস্তব বীজ নেই।

35. প্রশ্ন (Question): যদি একটি সমীকরণের বীজগুলি 2, 3, 4 হয়, তাহলে সমীকরণটি কী হবে? (If the roots of an equation are 2, 3, 4, what will be the equation?)

(A) x³ – 9x² + 26x – 24 = 0
(B) x³ + 9x² – 26x + 24 = 0
(C) x³ – 9x² – 26x – 24 = 0
(D) x³ + 9x² + 26x + 24 = 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) x³ – 9x² + 26x – 24 = 0

ব্যাখ্যা (Explanation): সমীকরণটি হবে (x-2)(x-3)(x-4) = 0। গুণ করলে পাই: (x²-5x+6)(x-4) = x³ – 4x² – 5x² + 20x + 6x – 24 = x³ – 9x² + 26x – 24 = 0।

36. প্রশ্ন (Question): ax³ + bx² + cx + d = 0 সমীকরণের বীজগুলির গুণফল কত? (What is the product of the roots of the equation ax³ + bx² + cx + d = 0?)

(A) -b/a
(B) c/a
(C) -d/a
(D) d/a

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) -d/a

ব্যাখ্যা (Explanation): n-ঘাত সমীকরণের জন্য, বীজগুলির গুণফল হয় (-1)ⁿ * (ধ্রুবক পদ) / (সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ)। এখানে n=3, তাই গুণফল = (-1)³ * d/a = -d/a।

37. প্রশ্ন (Question): P(x) = x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – x + 1 = 0 সমীকরণের ধনাত্মক বাস্তব বীজের সম্ভাব্য সর্বোচ্চ সংখ্যা কত? (What is the maximum possible number of positive real roots of the equation P(x) = x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – x + 1 = 0?)

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) 4

ব্যাখ্যা (Explanation): দেকার্তের চিহ্ন নিয়ম অনুযায়ী, P(x) এর সহগগুলির চিহ্ন পরিবর্তন গণনা করতে হবে। চিহ্নগুলি হলো: +, -, +, -, +। চিহ্ন পরিবর্তন হচ্ছে: (+ থেকে -), (- থেকে +), (+ থেকে -), (- থেকে +)। মোট 4 বার চিহ্ন পরিবর্তন হয়েছে। সুতরাং, ধনাত্মক বাস্তব বীজের সর্বোচ্চ সংখ্যা 4।

38. প্রশ্ন (Question): একটি সমীকরণের বীজগুলির reciprocal নিয়ে নতুন সমীকরণ গঠন করতে হলে কী করতে হবে? (To form a new equation with roots as reciprocals of the original equation, what should be done?)

(A) x-কে -x দিয়ে প্রতিস্থাপন (Replace x with -x)
(B) x-কে 1/x দিয়ে প্রতিস্থাপন (Replace x with 1/x)
(C) x-কে x² দিয়ে প্রতিস্থাপন (Replace x with x²)
(D) x-কে kx দিয়ে প্রতিস্থাপন (Replace x with kx)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) x-কে 1/x দিয়ে প্রতিস্থাপন

ব্যাখ্যা (Explanation): যদি মূল সমীকরণের বীজ α হয়, অর্থাৎ f(α)=0, তবে নতুন সমীকরণের বীজ হবে 1/α। ধরা যাক নতুন চলক y = 1/x, অর্থাৎ x = 1/y। মূল সমীকরণে x = 1/y বসালে নতুন সমীকরণ পাওয়া যাবে।

39. প্রশ্ন (Question): রোলের উপপাদ্য (Rolle’s Theorem) অনুযায়ী, যদি f(a) = f(b) হয়, তবে (a, b) অন্তরালে এমন একটি c পাওয়া যায় যেখানে… (According to Rolle’s Theorem, if f(a) = f(b), then there exists a c in (a, b) such that…)

(A) f(c) = 0
(B) f'(c) = 0
(C) f”(c) = 0
(D) f(c) > 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) f'(c) = 0

ব্যাখ্যা (Explanation): রোলের উপপাদ্য বলে যে, যদি একটি ফাংশন [a, b] বদ্ধ অন্তরালে সন্তত, (a, b) খোলা অন্তরালে অবকলনযোগ্য এবং f(a) = f(b) হয়, তবে (a, b)-এর মধ্যে কমপক্ষে একটি বিন্দু c থাকবে যেখানে f'(c) = 0।

40. প্রশ্ন (Question): f(x) = 2x³ – 9x² + 12x – 3 = 0 সমীকরণের একটি multiple root থাকলে, সেটি কী? (If the equation f(x) = 2x³ – 9x² + 12x – 3 = 0 has a multiple root, what is it?)

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 1/2

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 2

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি multiple root থাকলে, সেটি f(x) = 0 এবং f'(x) = 0 উভয়েরই সাধারণ বীজ হবে। f'(x) = 6x² – 18x + 12 = 6(x² – 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)। সুতরাং f'(x)=0 এর বীজ হলো x=1 এবং x=2। এখন f(1) = 2-9+12-3 = 2 ≠ 0 এবং f(2) = 2(8)-9(4)+12(2)-3 = 16-36+24-4 = 0। যেহেতু f(2)=0, তাই 2 হলো একটি multiple root।

41. প্রশ্ন (Question): যদি মূলদ সহগ (rational coefficients) বিশিষ্ট একটি সমীকরণের একটি বীজ 2 + √3 হয়, তবে অন্য একটি বীজ কী হবে? (If one root of an equation with rational coefficients is 2 + √3, what will be another root?)

(A) -2 + √3
(B) -2 – √3
(C) 2 – √3
(D) 1/(2 + √3)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 2 – √3

ব্যাখ্যা (Explanation): মূলদ সহগযুক্ত বহুপদী সমীকরণের ক্ষেত্রে, অমূলদ (surd) বীজগুলি অনুবন্ধী জোড়ায় আসে। তাই 2 + √3 একটি বীজ হলে, 2 – √3 অবশ্যই আরেকটি বীজ হবে।

42. প্রশ্ন (Question): x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলি কী কী? (What are the roots of the equation x² + x + 1 = 0?)

(A) 1, 1
(B) ω, ω²
(C) i, -i
(D) 1, -1

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ω, ω²

ব্যাখ্যা (Explanation): এই সমীকরণটি (x-1)(x²+x+1) = x³-1 = 0 থেকে আসে। x³-1=0 এর বীজগুলি হলো 1, ω, ω²। যেহেতু x=1, x²+x+1=0 কে সিদ্ধ করে না, তাই এই সমীকরণের বীজগুলি হলো 1-এর জটিল ঘনমূল, অর্থাৎ ω এবং ω²।

43. প্রশ্ন (Question): Symmetric function of roots বলতে কী বোঝায়? (What is meant by a symmetric function of roots?)

(A) যে ফাংশনে একটি মাত্র বীজ থাকে (A function that contains only one root)
(B) যে ফাংশনের মান বীজগুলির ক্রম পরিবর্তন করলেও অপরিবর্তিত থাকে (A function whose value remains unchanged if the roots are interchanged)
(C) যে ফাংশনটি সর্বদা শূন্য হয় (A function that is always zero)
(D) যে ফাংশনটি শুধুমাত্র বাস্তব বীজ ধারণ করে (A function containing only real roots)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) যে ফাংশনের মান বীজগুলির ক্রম পরিবর্তন করলেও অপরিবর্তিত থাকে

ব্যাখ্যা (Explanation): বীজগুলির একটি প্রতিসম ফাংশন (symmetric function) হলো এমন একটি রাশিমালা যা বীজগুলির যেকোনো পারমুটেশন বা ক্রম পরিবর্তনের পরেও অপরিবর্তিত থাকে। যেমন, α+β+γ বা αβγ।

44. প্রশ্ন (Question): x³ – 7x + 6 = 0 সমীকরণের বীজগুলির বর্গের যোগফল কত? (What is the sum of the squares of the roots of the equation x³ – 7x + 6 = 0?)

(A) 0
(B) 7
(C) 14
(D) -14

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 14

ব্যাখ্যা (Explanation): বীজগুলি α, β, γ হলে, α+β+γ = 0, αβ+βγ+γα = -7। আমরা জানি, α²+β²+γ² = (α+β+γ)² – 2(αβ+βγ+γα)। মান বসালে পাই, 0² – 2(-7) = 14।

45. প্রশ্ন (Question): P(-x)-এ চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যা কী নির্দেশ করে? (What does the number of sign changes in P(-x) indicate?)

(A) ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সর্বোচ্চ সংখ্যা (Maximum number of negative real roots)
(B) ধনাত্মক বাস্তব বীজের সর্বোচ্চ সংখ্যা (Maximum number of positive real roots)
(C) জটিল বীজের সংখ্যা (Number of complex roots)
(D) মূলদ বীজের সংখ্যা (Number of rational roots)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সর্বোচ্চ সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation): দেকার্তের চিহ্ন নিয়ম অনুযায়ী, P(x) = 0 সমীকরণের ঋণাত্মক বাস্তব বীজের সংখ্যা P(-x)-এর সহগগুলির চিহ্ন পরিবর্তনের সংখ্যার সমান বা তার থেকে একটি জোড় সংখ্যা কম।

46. প্রশ্ন (Question): ax² + bx + c = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক (reciprocal) হলে কোন শর্তটি সত্য? (If the roots of the equation ax² + bx + c = 0 are reciprocal to each other, which condition is true?)

(A) a = b
(B) b = c
(C) c = a
(D) a + b + c = 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) c = a

ব্যাখ্যা (Explanation): যদি বীজগুলি α এবং 1/α হয়, তবে বীজগুলির গুণফল = α * (1/α) = 1। আবার, সমীকরণ থেকে বীজগুলির গুণফল = c/a। সুতরাং, c/a = 1, অর্থাৎ c = a।

47. প্রশ্ন (Question): f(x) = 0 সমীকরণের বীজগুলি α, β, γ হলে, যে সমীকরণের বীজগুলি -α, -β, -γ হবে, সেটি কী? (If the roots of f(x) = 0 are α, β, γ, what is the equation whose roots are -α, -β, -γ?)

(A) f(x) = 0
(B) f(-x) = 0
(C) -f(x) = 0
(D) f(1/x) = 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) f(-x) = 0

ব্যাখ্যা (Explanation): নতুন সমীকরণের বীজ y = -x, অর্থাৎ x = -y। মূল সমীকরণ f(x)=0 তে x এর জায়গায় -y বসালে f(-y)=0 পাওয়া যায়। চলক y কে x দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে নতুন সমীকরণটি হয় f(-x) = 0।

48. প্রশ্ন (Question): x³ + px + q = 0 সমীকরণের দুটি বীজ সমান হলে কোন শর্তটি সিদ্ধ হবে? (If two roots of the equation x³ + px + q = 0 are equal, which condition will be satisfied?)

(A) 4p³ + 27q² = 0
(B) 27p³ + 4q² = 0
(C) 4p² + 27q³ = 0
(D) p³ + q² = 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 4p³ + 27q² = 0

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ সমান হওয়ার জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড শর্ত। f(x)=x³+px+q এবং f'(x)=3x²+p এর একটি সাধারণ বীজ থাকবে। f'(x)=0 থেকে x²=-p/3। এই মানটি মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে সরলীকরণ করলে 4p³ + 27q² = 0 শর্তটি পাওয়া যায়।

49. প্রশ্ন (Question): একটি n-ঘাতের বহুপদী P(x) কে (ax+b) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত? (If an nth degree polynomial P(x) is divided by (ax+b), what is the remainder?)

(A) P(b/a)
(B) P(-b/a)
(C) P(a/b)
(D) P(-a/b)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) P(-b/a)

ব্যাখ্যা (Explanation): ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, P(x) কে (x-k) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ P(k) হয়। এখানে ভাজক হলো ax+b = a(x+b/a) = a(x – (-b/a))। সুতরাং, k = -b/a। অতএব ভাগশেষ হবে P(-b/a)।

50. প্রশ্ন (Question): x³-1=0 সমীকরণের বীজগুলি গুণোত্তর প্রগতিতে (Geometric Progression) থাকলে, তাদের সাধারণ অনুপাত (common ratio) কী? (If the roots of the equation x³-1=0 are in GP, what is their common ratio?)

(A) 1
(B) i
(C) ω
(D) -1

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) ω

ব্যাখ্যা (Explanation): সমীকরণের বীজগুলি হলো 1, ω, ω²। এটি একটি গুণোত্তর প্রগতি যার প্রথম পদ a=1 এবং সাধারণ অনুপাত r=ω/1 = ω² / ω = ω।

Topic 3: Determinants (নির্ণায়ক)

51. প্রশ্ন (Question): একটি 3×3 ক্রমের Skew-symmetric determinant-এর মান কত?
What is the value of a skew-symmetric determinant of order 3×3?

(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) সর্বদা ধনাত্মক (Always positive)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): বিজোড় ক্রমের (odd order) যেকোনো skew-symmetric ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা শূন্য হয়। যেহেতু 3 একটি বিজোড় সংখ্যা, তাই এর মান 0 হবে।

52. প্রশ্ন (Question): যদি একটি নির্ণায়কের দুটি সারি (row) বা স্তম্ভ (column) অভিন্ন (identical) হয়, তবে নির্ণায়কটির মান কত? (If two rows or columns of a determinant are identical, what is its value?)

(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি নির্ণায়কের একটি মৌলিক ধর্ম। যদি কোনো নির্ণায়কের দুটি সারি বা স্তম্ভ একই হয়, তবে তার মান শূন্য হয়।

53. প্রশ্ন (Question): Cramer’s Rule ব্যবহার করে একঘাত সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান (unique solution) পাওয়ার শর্ত কী? (What is the condition for a unique solution of a system of linear equations using Cramer’s Rule?)

(A) সহগ নির্ণায়ক (coefficient determinant) D = 0
(B) সহগ নির্ণায়ক (coefficient determinant) D ≠ 0
(C) D > 0
(D) D < 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) সহগ নির্ণায়ক (coefficient determinant) D ≠ 0

ব্যাখ্যা (Explanation): ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী, সমাধানগুলি x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D ইত্যাদি আকারে প্রকাশ করা হয়। যদি D = 0 হয়, তবে সমাধান অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। তাই অনন্য সমাধানের জন্য D অবশ্যই অশূন্য হতে হবে।

54. প্রশ্ন (Question): |A| নির্ণায়কের a₂₃ পদের cofactor কী? (What is the cofactor of the element a₂₃ in the determinant |A|?)

(A) M₂₃
(B) -M₂₃
(C) M₃₂
(D) -M₃₂

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) -M₂₃

ব্যাখ্যা (Explanation): aᵢⱼ পদের cofactor, Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ, যেখানে Mᵢⱼ হলো minor। এখানে i=2, j=3, তাই i+j = 5 (বিজোড়)। সুতরাং, C₂₃ = (-1)⁵ M₂₃ = -M₂₃।

55. প্রশ্ন (Question): যদি A এবং B দুটি 3×3 ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে det(AB) এর মান কী? (If A and B are two 3×3 matrices, what is the value of det(AB)?)

(A) det(A) + det(B)
(B) det(A) – det(B)
(C) det(A) * det(B)
(D) det(B) / det(A)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) det(A) * det(B)

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি নির্ণায়কের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম। দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ণায়ক তাদের নিজ নিজ নির্ণায়কের গুণফলের সমান।

56. প্রশ্ন (Question): একটি নির্ণায়কের যেকোনো একটি সারিকে k দিয়ে গুণ করলে নির্ণায়কের মান কী হবে? (If any one row of a determinant is multiplied by k, what will be the new value of the determinant?)

(A) মূল মানের সমান থাকবে (Remains same as the original value)
(B) k গুণ হবে (Becomes k times)
(C) k² গুণ হবে (Becomes k² times)
(D) 1/k গুণ হবে (Becomes 1/k times)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) k গুণ হবে

ব্যাখ্যা (Explanation): নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, যদি একটি সারি বা স্তম্ভের প্রতিটি পদকে একটি স্কেলার k দিয়ে গুণ করা হয়, তবে নির্ণায়কের নতুন মান মূল মানের k গুণ হয়।

57. প্রশ্ন (Question): A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স এবং det(A) = 5 হলে, det(2A) এর মান কত? (If A is a 3×3 matrix and det(A) = 5, what is the value of det(2A)?)

(A) 10
(B) 25
(C) 30
(D) 40

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) 40

ব্যাখ্যা (Explanation): যদি A একটি n x n ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(kA) = kⁿ det(A)। এখানে n=3, k=2, এবং det(A)=5। সুতরাং, det(2A) = 2³ * det(A) = 8 * 5 = 40।

58. প্রশ্ন (Question): একটি নির্ণায়কের দুটি সংলগ্ন সারি (adjacent rows) বিনিময় করলে নির্ণায়কের মান কী হয়? (If two adjacent rows of a determinant are interchanged, what happens to the value of the determinant?)

(A) মান একই থাকে (Value remains the same)
(B) চিহ্ন পরিবর্তিত হয় (Sign changes)
(C) মান শূন্য হয় (Value becomes zero)
(D) মান দ্বিগুণ হয় (Value doubles)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়

ব্যাখ্যা (Explanation): নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, যেকোনো দুটি সারি বা স্তম্ভের স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের সাংখ্যমান একই থাকে কিন্তু চিহ্ন বিপরীত হয়ে যায়।

59. প্রশ্ন (Question): Adjoint of a matrix (Adj A) এর সংজ্ঞা কী? (What is the definition of Adjoint of a matrix (Adj A)?)

(A) ম্যাট্রিক্সের মাইনরগুলির ট্রান্সপোজ (Transpose of the matrix of minors)
(B) ম্যাট্রিক্সের কোফ্যাক্টরগুলির ট্রান্সপোজ (Transpose of the matrix of cofactors)
(C) ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transpose of the matrix)
(D) ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স (Inverse of the matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ম্যাট্রিক্সের কোফ্যাক্টরগুলির ট্রান্সপোজ

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর প্রতিটি পদের কোফ্যাক্টর দিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা পরিবর্ত ম্যাট্রিক্সকে A-এর অ্যাডজয়েন্ট (Adjoint) বলা হয়।

60. প্রশ্ন (Question): যদি A একটি Symmetric ম্যাট্রিক্স হয়, তবে কোনটি সত্য? (If A is a symmetric matrix, which one is true?)

(A) A = -A
(B) A = A⁻¹
(C) A = Aᵀ (A transpose)
(D) A = -Aᵀ

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) A = Aᵀ (A transpose)

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি প্রতিসম বা Symmetric ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা হলো, যে ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজের সমান হয়, অর্থাৎ A = Aᵀ।

61. প্রশ্ন (Question): একটি আপার ট্রায়াঙ্গুলার (upper triangular) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান কী? (What is the value of the determinant of an upper triangular matrix?)

(A) প্রধান কর্ণের (principal diagonal) উপাদানগুলির যোগফল (Sum of the elements of the principal diagonal)
(B) প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল (Product of the elements of the principal diagonal)
(C) 0
(D) 1

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি আপার বা লোয়ার ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান তার প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফলের সমান হয়।

62. প্রশ্ন (Question): যদি |A| ≠ 0 হয়, তবে A(Adj A) এর মান কী? (If |A| ≠ 0, what is the value of A(Adj A)?)

(A) |A| I
(B) I / |A|
(C) I
(D) 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) |A| I

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের একটি মৌলিক ধর্ম। যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, A(Adj A) = (Adj A)A = |A|I, যেখানে I হলো Identity ম্যাট্রিক্স।

(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 1/2

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 4

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি |Adj A| = |A|ⁿ⁻¹, যেখানে n হলো ম্যাট্রিক্সের ক্রম। এখানে n=3, |A|=2। সুতরাং, |Adj A| = 2³⁻¹ = 2² = 4।

64. প্রশ্ন (Question): det(Aᵀ) এবং det(A) এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (What is the relation between det(Aᵀ) and det(A)?)

(A) det(Aᵀ) = -det(A)
(B) det(Aᵀ) = det(A)
(C) det(Aᵀ) = 1/det(A)
(D) det(Aᵀ) = [det(A)]²

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) det(Aᵀ) = det(A)

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি ম্যাট্রিক্স এবং তার ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা সমান হয়।

65. প্রশ্ন (Question): Cramer’s Rule-এ যদি D=0 এবং Dx, Dy, Dz এর মধ্যে অন্তত একটি অশূন্য হয়, তবে সমীকরণ জোটের… (In Cramer’s Rule, if D=0 and at least one of Dx, Dy, Dz is non-zero, then the system of equations has…)

(A) একটি অনন্য সমাধান আছে (a unique solution)
(B) কোনো সমাধান নেই (no solution)
(C) অসংখ্য সমাধান আছে (infinitely many solutions)
(D) শুধুমাত্র শূন্য সমাধান আছে (only the trivial solution)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) কোনো সমাধান নেই

ব্যাখ্যা (Explanation): এই অবস্থাটি অসংগত (inconsistent) সমীকরণ জোট নির্দেশ করে, যার কোনো সমাধান থাকে না।

66. প্রশ্ন (Question): একটি নির্ণায়কের Minor এবং Cofactor কখন সমান হয়? (When are the Minor and Cofactor of an element in a determinant equal?)

(A) যখন i+j জোড় সংখ্যা (When i+j is an even number)
(B) যখন i+j বিজোড় সংখ্যা (When i+j is an odd number)
(C) যখন i=j (When i=j)
(D) তারা কখনো সমান হয় না (They are never equal)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) যখন i+j জোড় সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation): কোফ্যাক্টর Cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ। যদি i+j জোড় হয়, তবে (-1)ⁱ⁺ʲ = 1, এবং Cᵢⱼ = Mᵢⱼ।

67. প্রশ্ন (Question): 3x+y=5 এবং 2x-y=0 সমীকরণ জোটের সমাধান Cramer’s rule অনুযায়ী x-এর মান কী? (For the system 3x+y=5 and 2x-y=0, what is the value of x using Cramer’s rule?)

(A) 1
(B) -1
(C) 2
(D) -2

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 1

ব্যাখ্যা (Explanation): D = |(3, 1), (2, -1)| = -3-2 = -5। Dx = |(5, 1), (0, -1)| = -5-0 = -5। x = Dx/D = -5/-5 = 1।

68. প্রশ্ন (Question): একটি 2×2 Skew-symmetric determinant-এর মান কী? (What is the value of a 2×2 skew-symmetric determinant?)

(A) 0
(B) 1
(C) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (A perfect square)
(D) ঋণাত্মক (Negative)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি 2×2 skew-symmetric ম্যাট্রিক্সের আকার হলো [[0, a], [-a, 0]]। এর নির্ণায়ক হলো 0*0 – a*(-a) = a²। এটি সর্বদা একটি неотрицательное সংখ্যা বা পূর্ণবর্গ।

69. প্রশ্ন (Question): নির্ণায়ক |(1, ω, ω²), (ω, ω², 1), (ω², 1, ω)| এর মান কত, যেখানে ω 1-এর একটি জটিল ঘনমূল? (What is the value of the determinant |(1, ω, ω²), (ω, ω², 1), (ω², 1, ω)| where ω is a complex cube root of unity?)

(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) -1

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): যদি আমরা স্তম্ভগুলি যোগ করি (C1 → C1+C2+C3), প্রথম স্তম্ভের প্রতিটি উপাদান হবে 1+ω+ω², যার মান 0। যেহেতু একটি স্তম্ভের সমস্ত উপাদান শূন্য, নির্ণায়কের মান 0 হবে।

70. প্রশ্ন (Question): det(A⁻¹) এর মান কী? (What is the value of det(A⁻¹))?

(A) det(A)
(B) -det(A)
(C) 1/det(A)
(D) 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 1/det(A)

ব্যাখ্যা (Explanation): আমরা জানি AA⁻¹ = I। উভয় পক্ষে নির্ণায়ক নিলে, det(AA⁻¹) = det(I)। অর্থাৎ, det(A)det(A⁻¹) = 1। সুতরাং, det(A⁻¹) = 1/det(A)।

71. প্রশ্ন (Question): সারাসের নিয়ম (Sarrus’ rule) কোন ক্রমের নির্ণায়কের মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়? (Sarrus’ rule is used to find the value of a determinant of which order?)

(A) 2×2
(B) 3×3
(C) 4×4
(D) যেকোনো ক্রমের (Any order)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 3×3

ব্যাখ্যা (Explanation): সারাসের নিয়ম শুধুমাত্র 3×3 ক্রমের নির্ণায়কের মান নির্ণয়ের জন্য একটি সহজ পদ্ধতি। এটি উচ্চতর ক্রমের জন্য প্রযোজ্য নয়।

72. প্রশ্ন (Question): নির্ণায়কের একটি সারির সাথে অন্য একটি সারির গুণিতক যোগ করলে নির্ণায়কের মান… (If a multiple of another row is added to a row of a determinant, the value of the determinant…)

(A) পরিবর্তিত হয় (changes)
(B) অপরিবর্তিত থাকে (remains unchanged)
(C) শূন্য হয়ে যায় (becomes zero)
(D) দ্বিগুণ হয় (doubles)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) অপরিবর্তিত থাকে

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি নির্ণায়কের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম (Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ)। এই অপারেশনটি নির্ণায়কের মান পরিবর্তন করে না এবং এটি নির্ণায়ক সরলীকরণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

73. প্রশ্ন (Question): একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স Iₙ এর নির্ণায়কের মান কত? (What is the value of the determinant of an identity matrix Iₙ?)

(A) 0
(B) 1
(C) n
(D) n²

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 1

ব্যাখ্যা (Explanation): আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের সমস্ত উপাদান 1। এর নির্ণায়ক হলো প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল, যা 1*1*…*1 = 1।

74. প্রশ্ন (Question): একটি ম্যাট্রিক্স A এর জন্য, A একটি singular ম্যাট্রিক্স হবে যদি… (For a matrix A, A is a singular matrix if…)

(A) det(A) ≠ 0
(B) det(A) = 0
(C) det(A) = 1
(D) det(A) < 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) det(A) = 0

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে singular বলা হয় যদি তার নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। Singular ম্যাট্রিক্সের কোনো ইনভার্স থাকে না।

75. প্রশ্ন (Question): নির্ণায়ক |(x, 2), (18, x)| = |(6, 2), (18, 6)| হলে x এর মান কত? (If determinant |(x, 2), (18, x)| = |(6, 2), (18, 6)|, what is the value of x?)

(A) 6
(B) -6
(C) ±6
(D) 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) ±6

ব্যাখ্যা (Explanation): বামপক্ষ: x² – 36। ডানপক্ষ: 6*6 – 18*2 = 36 – 36 = 0। সুতরাং, x² – 36 = 0, যা থেকে পাই x² = 36, অর্থাৎ x = ±6।

Topic 4: Matrices of Real Numbers (বাস্তব সংখ্যার ম্যাট্রিক্স)

76. প্রশ্ন (Question): যদি A একটি m x n ম্যাট্রিক্স এবং B একটি p x q ম্যাট্রিক্স হয়, তবে AB সংজ্ঞায়িত হবে যদি…
If A is an m x n matrix and B is a p x q matrix, then AB is defined if…

(A) m = p
(B) n = p
(C) n = q
(D) m = q

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) n = p

ব্যাখ্যা (Explanation): দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল AB তখনই সংজ্ঞায়িত হয় যখন প্রথম ম্যাট্রিক্স A-এর স্তম্ভের সংখ্যা (n) দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স B-এর সারির সংখ্যার (p) সমান হয়।

77. প্রশ্ন (Question): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-এর ইনভার্স (A⁻¹) বিদ্যমান থাকবে যদি… (The inverse (A⁻¹) of a square matrix A exists if…)

(A) A একটি সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স হয় (A is a symmetric matrix)
(B) A একটি স্কিউ-সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স হয় (A is a skew-symmetric matrix)
(C) A একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয় (A is a non-singular matrix)
(D) A একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয় (A is a singular matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) A একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয়

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স বিদ্যমান থাকার জন্য অপরিহার্য শর্ত হলো ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হতে হবে, অর্থাৎ তার নির্ণায়কের মান অশূন্য (det(A) ≠ 0) হতে হবে।

78. প্রশ্ন (Question): ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক (Rank of a matrix) বলতে কী বোঝায়? (What does the rank of a matrix signify?)

(A) ম্যাট্রিক্সের ক্রম (Order of the matrix)
(B) ম্যাট্রিক্সের অশূন্য মাইনরের সর্বোচ্চ ক্রম (The highest order of a non-zero minor of the matrix)
(C) ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির সংখ্যা (Number of elements in the matrix)
(D) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান (Value of the determinant of the matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ম্যাট্রিক্সের অশূন্য মাইনরের সর্বোচ্চ ক্রম

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হলো তার অশূন্য মাইনরগুলির সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ক্রম (order)। এটি ম্যাট্রিক্সের রৈখিকভাবে স্বাধীন সারি বা স্তম্ভের সংখ্যাও নির্দেশ করে।

79. প্রশ্ন (Question): AX = B সমীকরণ জোটের সমাধান বিদ্যমান (consistent) হওয়ার শর্ত কী? (What is the condition for the system of equations AX = B to be consistent?)

(A) Rank(A) > Rank([A|B])
(B) Rank(A) < Rank([A|B])
(C) Rank(A) = Rank([A|B])
(D) Rank(A) ≠ Rank([A|B])

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) Rank(A) = Rank([A|B])

ব্যাখ্যা (Explanation): রুশে-ক্যাপেলি উপপাদ্য (Rouché–Capelli theorem) অনুযায়ী, একটি একঘাত সমীকরণ জোট AX = B সঙ্গত (consistent) হবে যদি এবং কেবল যদি সহগ ম্যাট্রিক্স A এবং অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স [A|B] এর র‍্যাঙ্ক সমান হয়।

80. প্রশ্ন (Question): (AB)ᵀ এর মান কী? (What is the value of (AB)ᵀ?)

(A) AᵀBᵀ
(B) BᵀAᵀ
(C) AB
(D) BA

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) BᵀAᵀ

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি ট্রান্সপোজের একটি ধর্ম, যা রিভার্সাল ল (reversal law) নামে পরিচিত। দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ট্রান্সপোজ তাদের ট্রান্সপোজের বিপরীত ক্রমে গুণফলের সমান।

81. প্রশ্ন (Question): একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স (scalar matrix) কী? (What is a scalar matrix?)

(A) একটি ম্যাট্রিক্স যার সমস্ত উপাদান স্কেলার (A matrix whose all elements are scalars)
(B) একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের সমস্ত উপাদান সমান (A diagonal matrix whose all principal diagonal elements are equal)
(C) একটি ম্যাট্রিক্স যার নির্ণায়কের মান ১ (A matrix whose determinant is 1)
(D) একটি ১x১ ম্যাট্রিক্স (A 1×1 matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের সমস্ত উপাদান সমান

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স হলো একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (diagonal matrix) যার প্রধান কর্ণের সবগুলি উপাদান একই অশূন্য স্কেলার k হয়। যেমন, kI।

82. প্রশ্ন (Question): যদি A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্স এমন হয় যে AB = A এবং BA = B, তাহলে A এবং B কে কী বলা হয়? (If A and B are two matrices such that AB = A and BA = B, then what are A and B called?)

(A) ইনভার্স ম্যাট্রিক্স (Inverse matrices)
(B) অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স (Orthogonal matrices)
(C) আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স (Idempotent matrices)
(D) নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স (Nilpotent matrices)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স

ব্যাখ্যা (Explanation): যদি A এবং B আইডেমপোটেন্ট হয় (A²=A, B²=B) এবং AB=BA=0 হয়, তবে এই শর্তগুলি প্রযোজ্য নাও হতে পারে। কিন্তু যদি B=I হয়, তবে AI=A, IA=A। যদি A²=A হয়, তবে A একটি আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স। প্রদত্ত শর্তগুলি থেকে সরাসরি বলা যায় A²=ABA=AB=A এবং B²=BAB=BA=B, সুতরাং উভয়ই আইডেমপোটেন্ট।

83. প্রশ্ন (Question): ম্যাট্রিক্সের ওপর এলিমেন্টারি অপারেশন (Elementary operations) কয় প্রকার? (How many types of elementary operations on a matrix are there?)

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) 3

ব্যাখ্যা (Explanation): ম্যাট্রিক্সের ওপর তিন ধরনের এলিমেন্টারি অপারেশন করা যায়: 1. দুটি সারির (বা স্তম্ভের) বিনিময়। 2. একটি সারিকে (বা স্তম্ভকে) অশূন্য স্কেলার দিয়ে গুণ। 3. একটি সারির (বা স্তম্ভের) সাথে অন্য সারির (বা স্তম্ভের) গুণিতক যোগ।

84. প্রশ্ন (Question): A = [[1, 2], [3, 4]] হলে, A⁻¹ কী হবে? (If A = [[1, 2], [3, 4]], what is A⁻¹?)

(A) [[4, -2], [-3, 1]]
(B) (-1/2) * [[4, -2], [-3, 1]]
(C) [[1, -2], [-3, 4]]
(D) (-1/2) * [[1, 2], [3, 4]]

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) (-1/2) * [[4, -2], [-3, 1]]

ব্যাখ্যা (Explanation): det(A) = 1*4 – 2*3 = 4 – 6 = -2। Adj(A) = [[4, -2], [-3, 1]]। A⁻¹ = (1/det(A)) * Adj(A) = (1/-2) * [[4, -2], [-3, 1]]।

85. প্রশ্ন (Question): একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের (Null Matrix) র‍্যাঙ্ক কত? (What is the rank of a Null Matrix?)

(A) 0
(B) 1
(C) অসংজ্ঞায়িত (Undefined)
(D) ম্যাট্রিক্সের ক্রমের সমান (Equal to the order of the matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) 0

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান শূন্য, তাই এর কোনো অশূন্য মাইনর নেই। 1×1 ক্রমের মাইনরগুলিও শূন্য। সুতরাং, অশূন্য মাইনরের সর্বোচ্চ ক্রম 0।

86. প্রশ্ন (Question): দুটি ম্যাট্রিক্স A এবং B সমান হবে যদি… (Two matrices A and B are equal if…)

(A) তাদের নির্ণায়ক সমান হয় (their determinants are equal)
(B) তাদের র‍্যাঙ্ক সমান হয় (their ranks are equal)
(C) তাদের ক্রম সমান হয় এবং অনুরূপ উপাদানগুলি সমান হয় (they have the same order and corresponding elements are equal)
(D) তাদের ট্রেস সমান হয় (their traces are equal)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) তাদের ক্রম সমান হয় এবং অনুরূপ উপাদানগুলি সমান হয়

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞা। দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হতে হলে তাদের ক্রম (order) একই হতে হবে এবং তাদের প্রতিটি অনুরূপ (corresponding) উপাদান সমান হতে হবে।

87. প্রশ্ন (Question): যদি A = [[1, 1], [0, 1]] হয়, তবে Aⁿ কী হবে? (If A = [[1, 1], [0, 1]], what is Aⁿ?)

(A) [[1, n], [0, 1]]
(B) [[1, 1], [0, n]]
(C) [[n, n], [0, n]]
(D) [[1, n²], [0, 1]]

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) [[1, n], [0, 1]]

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি (mathematical induction) দ্বারা প্রমাণ করা যায়। A² = [[1, 2], [0, 1]], A³ = [[1, 3], [0, 1]]। এই প্যাটার্ন অনুসরণ করে, Aⁿ = [[1, n], [0, 1]]।

88. প্রশ্ন (Question): Sweep-out process কীসের জন্য ব্যবহৃত হয়? (What is the Sweep-out process used for?)

(A) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় (Finding the determinant of a matrix)
(B) ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এবং ইনভার্স নির্ণয় (Finding the rank and inverse of a matrix)
(C) ম্যাট্রিক্সের গুণফল নির্ণয় (Multiplying matrices)
(D) ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় (Finding the trace of a matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক এবং ইনভার্স নির্ণয়

ব্যাখ্যা (Explanation): সুইপ-আউট প্রক্রিয়া (গাউস-জর্ডান এলিমিনেশন নামেও পরিচিত) হলো এলিমেন্টারি সারি অপারেশন ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সকে তার সারি ইশেলন ফর্মে (row echelon form) রূপান্তর করার একটি পদ্ধতি। এটি র‍্যাঙ্ক নির্ণয়, ইনভার্স নির্ণয় এবং রৈখিক সমীকরণ জোট সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

89. প্রশ্ন (Question): যদি A একটি m x n ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এর র‍্যাঙ্কের সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে? (If A is an m x n matrix, what can be the maximum value of its rank?)

(A) m+n
(B) mn
(C) max(m, n)
(D) min(m, n)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) min(m, n)

ব্যাখ্যা (Explanation): ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক তার সারির সংখ্যা (m) বা স্তম্ভের সংখ্যার (n) চেয়ে বেশি হতে পারে না। সুতরাং, র‍্যাঙ্কের সর্বোচ্চ মান হবে m এবং n এর মধ্যে যেটি ছোট, অর্থাৎ min(m, n)।

90. প্রশ্ন (Question): AX=0 সমীকরণ জোটের একটি অশূন্য সমাধান (non-trivial solution) থাকবে যদি… (The system of equations AX=0 will have a non-trivial solution if…)

(A) Rank(A) = চলকের সংখ্যা (number of variables)
(B) Rank(A) < চলকের সংখ্যা (number of variables)
(C) Rank(A) > চলকের সংখ্যা (number of variables)
(D) A একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (A is an identity matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) Rank(A) < চলকের সংখ্যা (number of variables)

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি সমসত্ত্ব (homogeneous) রৈখিক সমীকরণ জোট AX=0 এর সর্বদা একটি সমাধান (x=0) থাকে, যা trivial solution নামে পরিচিত। অশূন্য বা non-trivial সমাধান থাকার জন্য শর্ত হলো Rank(A) অবশ্যই চলকের সংখ্যার চেয়ে কম হতে হবে। বর্গ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এর সমতুল্য শর্ত হলো det(A)=0।

91. প্রশ্ন (Question): (A⁻¹)ᵀ এবং (Aᵀ)⁻¹ এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (What is the relation between (A⁻¹)ᵀ and (Aᵀ)⁻¹?)

(A) (A⁻¹)ᵀ = -(Aᵀ)⁻¹
(B) (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹
(C) (A⁻¹)ᵀ = 2(Aᵀ)⁻¹
(D) তাদের মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই (No relation between them)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹

ব্যাখ্যা (Explanation): এটি ম্যাট্রিক্সের একটি ধর্ম। একটি ম্যাট্রিক্সের ইনভার্সের ট্রান্সপোজ এবং তার ট্রান্সপোজের ইনভার্স সর্বদা সমান হয়।

92. প্রশ্ন (Question): আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix) কী ধরনের ম্যাট্রিক্স? (What kind of matrix is an Identity Matrix?)

(A) স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar matrix)
(B) ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স (Diagonal matrix)
(C) সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স (Symmetric matrix)
(D) উপরের সবগুলি (All of the above)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (D) উপরের সবগুলি

ব্যাখ্যা (Explanation): আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স কারণ এর অ-কর্ণ উপাদানগুলি শূন্য। এটি একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স কারণ এর কর্ণের উপাদানগুলি সমান (সবাই 1)। এটি একটি সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স কারণ I = Iᵀ। সুতরাং, সবগুলিই সত্য।

93. প্রশ্ন (Question): ম্যাট্রিক্স গুণন (matrix multiplication) কি বিনিময়যোগ্য (commutative)? (Is matrix multiplication commutative?)

(A) সর্বদা (Always)
(B) কখনো না (Never)
(C) সাধারণত না (Not in general)
(D) শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য (Only for square matrices)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) সাধারণত না

ব্যাখ্যা (Explanation): সাধারণভাবে, AB ≠ BA। কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে (যেমন, A এবং B-এর মধ্যে একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হলে বা A=B⁻¹ হলে) এটি সত্য হতে পারে, কিন্তু এটি একটি সাধারণ নিয়ম নয়।

94. প্রশ্ন (Question): A = [[0, 1], [1, 0]] হলে, A² কী? (If A = [[0, 1], [1, 0]], what is A²?)

(A) A
(B) 0 (Null matrix)
(C) I (Identity matrix)
(D) -A

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (C) I (Identity matrix)

ব্যাখ্যা (Explanation): A² = A * A = [[0, 1], [1, 0]] * [[0, 1], [1, 0]] = [[0*0+1*1, 0*1+1*0], [1*0+0*1, 1*1+0*0]] = [[1, 0], [0, 1]] = I। এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে ইনভলিউটরি (involutory) ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

95. প্রশ্ন (Question): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (trace) কী? (What is the trace of a square matrix?)

(A) নির্ণায়কের মান (The determinant value)
(B) প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির যোগফল (Sum of the elements on the main diagonal)
(C) প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল (Product of the elements on the main diagonal)
(D) ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক (The rank of the matrix)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির যোগফল

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (Tr(A)) হলো তার প্রধান কর্ণের উপাদানগুলির যোগফল।

96. প্রশ্ন (Question): A = [[3, 2], [7, 5]] এর ইনভার্স ম্যাট্রিক্স কী? (What is the inverse matrix of A = [[3, 2], [7, 5]]?)

(A) [[5, -2], [-7, 3]]
(B) [[3, -2], [-7, 5]]
(C) [[5, 2], [7, 3]]
(D) [[-5, 2], [7, -3]]

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) [[5, -2], [-7, 3]]

ব্যাখ্যা (Explanation): det(A) = 3*5 – 2*7 = 15 – 14 = 1। Adj(A) = [[5, -2], [-7, 3]]। A⁻¹ = (1/det(A)) * Adj(A) = (1/1) * [[5, -2], [-7, 3]] = [[5, -2], [-7, 3]]।

97. প্রশ্ন (Question): A এবং B দুটি m x n ম্যাট্রিক্স হলে, কোনটি সংজ্ঞায়িত? (If A and B are two m x n matrices, which of the following is defined?)

(A) AB
(B) A+B
(C) A/B
(D) BA

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) A+B

ব্যাখ্যা (Explanation): দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগ বা বিয়োগ तभी সম্ভব যখন তাদের ক্রম (order) একই হয়। যেহেতু A এবং B উভয়েই m x n ম্যাট্রিক্স, তাদের যোগফল A+B সংজ্ঞায়িত। গুণফল AB বা BA সংজ্ঞায়িত নয় (যদি না m=n হয়)।

98. প্রশ্ন (Question): যদি A একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয়, তবে AX = B সমীকরণ জোটের… (If A is a singular matrix, then the system of equations AX = B…)

(A) সর্বদা একটি অনন্য সমাধান থাকে (always has a unique solution)
(B) হয় কোনো সমাধান থাকে না অথবা অসংখ্য সমাধান থাকে (has either no solution or infinitely many solutions)
(C) সর্বদা অসংখ্য সমাধান থাকে (always has infinitely many solutions)
(D) সর্বদা শুধুমাত্র ট্রিভিয়াল সমাধান থাকে (always has only the trivial solution)

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) হয় কোনো সমাধান থাকে না অথবা অসংখ্য সমাধান থাকে

ব্যাখ্যা (Explanation): যদি A সিঙ্গুলার হয় (det(A)=0), তাহলে A⁻¹ এর অস্তিত্ব নেই। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান থাকা সম্ভব নয়। জোটটি হয় অসংগত (inconsistent, কোনো সমাধান নেই) অথবা সঙ্গত কিন্তু নির্ভরশীল (consistent but dependent, অসংখ্য সমাধান) হবে। এটি [A|B] এর র‍্যাঙ্কের উপর নির্ভর করে।

99. প্রশ্ন (Question): একটি ম্যাট্রিক্স A এর জন্য (A’)’ কী হবে? (For a matrix A, what is (A’)’?)

(A) A
(B) A’
(C) -A
(D) I

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (A) A

ব্যাখ্যা (Explanation): একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের ট্রান্সপোজ নিলে মূল ম্যাট্রিক্সটিই ফেরত পাওয়া যায়। অর্থাৎ, (Aᵀ)ᵀ = A।

100. প্রশ্ন (Question): A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক কত? (What is the rank of the matrix A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]?)

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0

সঠিক উত্তর (Correct Answer): (B) 2

ব্যাখ্যা (Explanation): ম্যাট্রিক্সের ক্রম 2×3। এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য র‍্যাঙ্ক min(2, 3) = 2। আমরা একটি 2×2 অশূন্য মাইনর খুঁজে বের করতে পারি, যেমন |(1, 2), (4, 5)| = 5 – 8 = -3 ≠ 0। সুতরাং, ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক 2।