प्रश्न 1. m द्रव्यमान की एक गेंद v वेग से एक दीवार से सामान्य (normal) के साथ θ कोण पर टकराती है और समान चाल तथा समान कोण पर वापस लौटती है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया आवेग (impulse) कितना होगा?
Q1. A ball of mass m moving with velocity v strikes a wall at an angle θ with the normal and rebounds with the same speed at the same angle. The impulse exerted by the wall on the ball is:
सही उत्तर: B) 2mv cosθ
Correct Answer: B) 2mv cosθ
स्पष्टीकरण:
दीवार के लंबवत (normal direction) दिशा में वेग घटकों का विश्लेषण करने पर:
– प्रारंभिक संवेग: p_initial = mv cosθ
– अंतिम संवेग (विपरीत दिशा में): p_final = -mv cosθ
– संवेग में परिवर्तन (आवेग): Δp = p_final – p_initial = -mv cosθ – mv cosθ = -2mv cosθ
अतः आवेग का परिमाण **2mv cosθ** होगा। (दीवार के समानांतर संवेग घटक mv sinθ अपरिवर्तित रहता है)।
दीवार के लंबवत (normal direction) दिशा में वेग घटकों का विश्लेषण करने पर:
– प्रारंभिक संवेग: p_initial = mv cosθ
– अंतिम संवेग (विपरीत दिशा में): p_final = -mv cosθ
– संवेग में परिवर्तन (आवेग): Δp = p_final – p_initial = -mv cosθ – mv cosθ = -2mv cosθ
अतः आवेग का परिमाण **2mv cosθ** होगा। (दीवार के समानांतर संवेग घटक mv sinθ अपरिवर्तित रहता है)।
Explanation:
Analyzing the momentum components perpendicular to the wall:
– Initial momentum perpendicular to the wall: p_i = mv cosθ.
– Final momentum perpendicular to the wall (opposite direction): p_f = -mv cosθ.
– Impulse = Change in momentum: Δp = p_f – p_i = -2mv cosθ.
The magnitude of the impulse is **2mv cosθ**. (The parallel component mv sinθ remains unchanged).
Analyzing the momentum components perpendicular to the wall:
– Initial momentum perpendicular to the wall: p_i = mv cosθ.
– Final momentum perpendicular to the wall (opposite direction): p_f = -mv cosθ.
– Impulse = Change in momentum: Δp = p_f – p_i = -2mv cosθ.
The magnitude of the impulse is **2mv cosθ**. (The parallel component mv sinθ remains unchanged).
प्रश्न 2. m₁ और m₂ द्रव्यमान के दो ब्लॉक (m₁ > m₂) एक घर्षणरहित घिरनी (frictionless pulley) के ऊपर से गुजरने वाली एक हल्की डोरी से जुड़े हैं। इस निकाय (Atwood machine) का त्वरण a क्या होगा?
Q2. Two masses m₁ and m₂ (m₁ > m₂) are connected by a light string passing over a frictionless, massless pulley. The acceleration a of the system is:
सही उत्तर: B) (m₁ – m₂) g / (m₁ + m₂)
Correct Answer: B) (m₁ – m₂) g / (m₁ + m₂)
स्पष्टीकरण:
दोनों ब्लॉकों के लिए मुक्त पिंड आरेख (Free Body Diagram) से:
– भारी ब्लॉक m₁ के लिए: m₁g – T = m₁a
– हल्के ब्लॉक m₂ के लिए: T – m₂g = m₂a
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
(m₁ – m₂) g = (m₁ + m₂) a ⇒ a = (m₁ – m₂) g / (m₁ + m₂)।
दोनों ब्लॉकों के लिए मुक्त पिंड आरेख (Free Body Diagram) से:
– भारी ब्लॉक m₁ के लिए: m₁g – T = m₁a
– हल्के ब्लॉक m₂ के लिए: T – m₂g = m₂a
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
(m₁ – m₂) g = (m₁ + m₂) a ⇒ a = (m₁ – m₂) g / (m₁ + m₂)।
Explanation:
From the Free Body Diagrams of both masses:
– For heavier mass m₁: m₁g – T = m₁a.
– For lighter mass m₂: T – m₂g = m₂a.
Adding the two equations yields:
(m₁ – m₂) g = (m₁ + m₂) a ⇒ a = (m₁ – m₂) g / (m₁ + m₂).
From the Free Body Diagrams of both masses:
– For heavier mass m₁: m₁g – T = m₁a.
– For lighter mass m₂: T – m₂g = m₂a.
Adding the two equations yields:
(m₁ – m₂) g = (m₁ + m₂) a ⇒ a = (m₁ – m₂) g / (m₁ + m₂).
प्रश्न 3. उपरोक्त प्रश्न (Atwood machine) में डोरी में उत्पन्न तनाव (Tension, T) कितना होगा?
Q3. In the same Atwood machine setup described in the previous question, the tension T in the connecting string is:
सही उत्तर: B) 2m₁m₂ g / (m₁ + m₂)
Correct Answer: B) 2m₁m₂ g / (m₁ + m₂)
स्पष्टीकरण:
त्वरण का मान a = (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) को डोरी के तनाव समीकरण में रखने पर:
T = m₂ (g + a) = m₂ [ g + (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) ]
T = m₂g [ (m₁ + m₂ + m₁ – m₂) / (m₁ + m₂) ] = 2m₁m₂ g / (m₁ + m₂)।
त्वरण का मान a = (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) को डोरी के तनाव समीकरण में रखने पर:
T = m₂ (g + a) = m₂ [ g + (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) ]
T = m₂g [ (m₁ + m₂ + m₁ – m₂) / (m₁ + m₂) ] = 2m₁m₂ g / (m₁ + m₂)।
Explanation:
Substituting the acceleration value a = (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) into the tension equation:
T = m₂ (g + a) = m₂ [ g + (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) ].
Simplifying the terms:
T = 2m₁m₂ g / (m₁ + m₂).
Substituting the acceleration value a = (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) into the tension equation:
T = m₂ (g + a) = m₂ [ g + (m₁ – m₂)g / (m₁ + m₂) ].
Simplifying the terms:
T = 2m₁m₂ g / (m₁ + m₂).
प्रश्न 4. m द्रव्यमान का एक व्यक्ति एक लिफ्ट के भीतर खड़ा है जो ऊपर की ओर त्वरण a से गतिशील है। व्यक्ति का आभासी भार (apparent weight) कितना होगा?
Q4. A person of mass m is standing inside an elevator which is accelerating upwards with acceleration a. The apparent weight of the person is:
सही उत्तर: B) m(g + a)
Correct Answer: B) m(g + a)
स्पष्टीकरण:
लिफ्ट के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (Non-inertial frame) में व्यक्ति पर नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) ma कार्य करता है।
– अतः फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल (Normal reaction, N) ही आभासी भार होता है:
– N = mg + ma = m(g + a)।
(यदि लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित होती, तो आभासी भार m(g – a) होता)।
लिफ्ट के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (Non-inertial frame) में व्यक्ति पर नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) ma कार्य करता है।
– अतः फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल (Normal reaction, N) ही आभासी भार होता है:
– N = mg + ma = m(g + a)।
(यदि लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित होती, तो आभासी भार m(g – a) होता)।
Explanation:
Inside the upward accelerating elevator (a non-inertial frame), a downward pseudo force ma acts on the person.
– The normal reaction force N exerted by the floor (which is the apparent weight) must balance gravity and the pseudo force:
– N = mg + ma = m(g + a).
Inside the upward accelerating elevator (a non-inertial frame), a downward pseudo force ma acts on the person.
– The normal reaction force N exerted by the floor (which is the apparent weight) must balance gravity and the pseudo force:
– N = mg + ma = m(g + a).
प्रश्न 5. m द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरे क्षैतिज फर्श पर रखा है जिसका स्थैतिक घर्षण गुणांक (coefficient of static friction) μ_s है। यदि ब्लॉक पर क्षैतिज दिशा में एक बल F लगाया जाता है, जहाँ F < μ_s mg है, तो ब्लॉक और सतह के बीच लगने वाला घर्षण बल कितना होगा?
Q5. A block of mass m is placed on a rough horizontal surface with coefficient of static friction μ_s. A horizontal force F is applied to the block. If F < μ_s mg, the frictional force acting on the block is:
सही उत्तर: B) F
Correct Answer: B) F
स्पष्टीकरण:
स्थैतिक घर्षण (Static friction) एक स्वतः-समायोजन बल (self-adjusting force) है।
– इसकी अधिकतम सीमा (सीमांत घर्षण) f_max = μ_s N = μ_s mg होती है।
– यदि लगाया गया बल F इस सीमांत मान से कम है, तो ब्लॉक स्थिर रहेगा और लगने वाला स्थैतिक घर्षण बल आरोपित बल F के बिल्कुल बराबर होगा। अतः घर्षण बल = **F**।
स्थैतिक घर्षण (Static friction) एक स्वतः-समायोजन बल (self-adjusting force) है।
– इसकी अधिकतम सीमा (सीमांत घर्षण) f_max = μ_s N = μ_s mg होती है।
– यदि लगाया गया बल F इस सीमांत मान से कम है, तो ब्लॉक स्थिर रहेगा और लगने वाला स्थैतिक घर्षण बल आरोपित बल F के बिल्कुल बराबर होगा। अतः घर्षण बल = **F**।
Explanation:
Static friction is a self-adjusting force.
– Its maximum limit (limiting friction) is f_max = μ_s N = μ_s mg.
– If the applied force F is less than f_max, the block does not move. The static friction force adjusts itself to be exactly equal to the applied force: f_static = F.
Static friction is a self-adjusting force.
– Its maximum limit (limiting friction) is f_max = μ_s N = μ_s mg.
– If the applied force F is less than f_max, the block does not move. The static friction force adjusts itself to be exactly equal to the applied force: f_static = F.
प्रश्न 6. झुकाव कोण (angle of inclination, θ) वाले एक खुरदरे नत समतल (rough inclined plane) पर रखा एक ब्लॉक ठीक नीचे खिसकना शुरू करने की स्थिति में है। सतह का स्थैतिक घर्षण गुणांक क्या होगा? (इस स्थिति को विराम कोण/angle of repose कहते हैं)
Q6. A block placed on a rough inclined plane of inclination angle θ is just on the verge of sliding down. The coefficient of static friction μ_s of the surface is:
सही उत्तर: C) tanθ
Correct Answer: C) tanθ
स्पष्टीकरण:
नत समतल पर ब्लॉक के संतुलन की सीमांत स्थिति में:
– नीचे की ओर फिसलाने वाला गुरुत्व घटक: F_down = mg sinθ
– ऊपर की ओर लगने वाला सीमांत घर्षण बल: f_max = μ_s N = μ_s mg cosθ
संतुलन की स्थिति में: mg sinθ = μ_s mg cosθ ⇒ μ_s = sinθ / cosθ = tanθ।
इसे विराम कोण (angle of repose) का सिद्धांत कहा जाता है।
नत समतल पर ब्लॉक के संतुलन की सीमांत स्थिति में:
– नीचे की ओर फिसलाने वाला गुरुत्व घटक: F_down = mg sinθ
– ऊपर की ओर लगने वाला सीमांत घर्षण बल: f_max = μ_s N = μ_s mg cosθ
संतुलन की स्थिति में: mg sinθ = μ_s mg cosθ ⇒ μ_s = sinθ / cosθ = tanθ।
इसे विराम कोण (angle of repose) का सिद्धांत कहा जाता है।
Explanation:
At the verge of sliding down the incline:
– Downward gravitational component along incline: mg sinθ.
– Maximum static friction opposing motion: f_max = μ_s N = μ_s mg cosθ.
Equating the forces: mg sinθ = μ_s mg cosθ ⇒ μ_s = tanθ.
At the verge of sliding down the incline:
– Downward gravitational component along incline: mg sinθ.
– Maximum static friction opposing motion: f_max = μ_s N = μ_s mg cosθ.
Equating the forces: mg sinθ = μ_s mg cosθ ⇒ μ_s = tanθ.
प्रश्न 7. m₁ और m₂ द्रव्यमान के दो ब्लॉक एक घर्षणरहित क्षैतिज मेज पर रखे हैं और एक डोरी से जुड़े हैं। यदि m₂ पर एक क्षैतिज बल F लगाकर खींचा जाता है, तो डोरी में उत्पन्न तनाव T कितना होगा?
Q7. Two blocks of masses m₁ and m₂ are connected by a light string on a frictionless horizontal table. If a horizontal pull F is applied on m₂, the tension T in the string is:
सही उत्तर: A) m₁ F / (m₁ + m₂)
Correct Answer: A) m₁ F / (m₁ + m₂)
स्पष्टीकरण:
संपूर्ण निकाय का त्वरण: a = F_net / M_total = F / (m₁ + m₂)
– ब्लॉक m₁ पर केवल तनाव बल T ही कार्य कर रहा है जो उसे त्वरित करता है:
– T = m₁ × a = m₁ F / (m₁ + m₂)।
संपूर्ण निकाय का त्वरण: a = F_net / M_total = F / (m₁ + m₂)
– ब्लॉक m₁ पर केवल तनाव बल T ही कार्य कर रहा है जो उसे त्वरित करता है:
– T = m₁ × a = m₁ F / (m₁ + m₂)।
Explanation:
The common acceleration of the combined system is: a = F / (m₁ + m₂).
– The mass m₁ is pulled solely by the tension T:
– T = m₁ a = m₁ F / (m₁ + m₂).
The common acceleration of the combined system is: a = F / (m₁ + m₂).
– The mass m₁ is pulled solely by the tension T:
– T = m₁ a = m₁ F / (m₁ + m₂).
प्रश्न 8. एक स्थिर बेल्ट (conveyor belt) पर रेत R = dm/dt की नियत दर से गिराई जा रही है। बेल्ट को v के नियत वेग से गतिमान रखने के लिए आवश्यक अतिरिक्त बल (Force) कितना होगा?
Q8. Sand is being dropped on a conveyor belt at a constant rate of R = dm/dt. The extra force required to keep the belt moving with a constant velocity v is:
सही उत्तर: A) v (dm/dt)
Correct Answer: A) v (dm/dt)
स्पष्टीकरण:
न्यूटन के द्वितीय नियम (परिवर्ती द्रव्यमान/variable mass) के अनुसार:
F = d(mv)/dt = m (dv/dt) + v (dm/dt)
चूंकि वेग v नियत है, अतः त्वरण dv/dt = 0 होगा:
F = v (dm/dt)।
न्यूटन के द्वितीय नियम (परिवर्ती द्रव्यमान/variable mass) के अनुसार:
F = d(mv)/dt = m (dv/dt) + v (dm/dt)
चूंकि वेग v नियत है, अतः त्वरण dv/dt = 0 होगा:
F = v (dm/dt)।
Explanation:
According to Newton’s second law for a variable mass system:
F = d(mv)/dt = m (dv/dt) + v (dm/dt).
Since velocity v is constant, dv/dt = 0, which simplifies to:
F = v (dm/dt).
According to Newton’s second law for a variable mass system:
F = d(mv)/dt = m (dv/dt) + v (dm/dt).
Since velocity v is constant, dv/dt = 0, which simplifies to:
F = v (dm/dt).
प्रश्न 9. r त्रिज्या के एक घर्षणरहित वृत्ताकार पथ (banked road) पर झुकाव कोण θ है। बिना फिसले वाहन चलाने के लिए अधिकतम सुरक्षित चाल (safe speed) कितनी होगी?
Q9. A road of radius of curvature r is banked at an angle θ. If there is no friction, the safe velocity to avoid slipping is:
सही उत्तर: C) √(rg tanθ)
Correct Answer: C) √(rg tanθ)
स्पष्टीकरण:
घर्षण की अनुपस्थिति में, झुकी हुई सड़क पर अभिकेंद्री बल (Centripetal force) अभिलंब प्रतिक्रिया बल (Normal reaction, N) के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है:
– N sinθ = mv² / r
– N cosθ = mg
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: tanθ = v² / rg ⇒ v = √(rg tanθ)।
घर्षण की अनुपस्थिति में, झुकी हुई सड़क पर अभिकेंद्री बल (Centripetal force) अभिलंब प्रतिक्रिया बल (Normal reaction, N) के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है:
– N sinθ = mv² / r
– N cosθ = mg
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: tanθ = v² / rg ⇒ v = √(rg tanθ)।
Explanation:
In the absence of friction, banking provides the necessary centripetal force via the horizontal component of the normal reaction force:
– N sinθ = mv² / r.
– N cosθ = mg.
Dividing the two equations gives: tanθ = v² / rg ⇒ v = √(rg tanθ).
In the absence of friction, banking provides the necessary centripetal force via the horizontal component of the normal reaction force:
– N sinθ = mv² / r.
– N cosθ = mg.
Dividing the two equations gives: tanθ = v² / rg ⇒ v = √(rg tanθ).
प्रश्न 10. θ कोण वाले एक घर्षणरहित नत समतल (frictionless wedge) पर m द्रव्यमान का एक ब्लॉक रखा है। पूरे निकाय को क्षैतिज रूप से किस त्वरण a से त्वरित किया जाए कि ब्लॉक नत समतल के सापेक्ष स्थिर (stationary) रहे?
Q10. A block of mass m is placed on a frictionless inclined wedge of angle θ. To keep the block stationary relative to the wedge, the horizontal acceleration a that must be given to the wedge is:
सही उत्तर: C) g tanθ
Correct Answer: C) g tanθ
स्पष्टीकरण:
त्वरित वेज (wedge) के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में ब्लॉक पर एक क्षैतिज छद्म बल (pseudo force) ma पीछे की ओर कार्य करता है।
– नत समतल के अनुदिश बलों के संतुलन से:
– नीचे की ओर गुरुत्व घटक = mg sinθ
– ऊपर की ओर छद्म बल का घटक = ma cosθ
संतुलन के लिए: ma cosθ = mg sinθ ⇒ a = g tanθ।
त्वरित वेज (wedge) के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में ब्लॉक पर एक क्षैतिज छद्म बल (pseudo force) ma पीछे की ओर कार्य करता है।
– नत समतल के अनुदिश बलों के संतुलन से:
– नीचे की ओर गुरुत्व घटक = mg sinθ
– ऊपर की ओर छद्म बल का घटक = ma cosθ
संतुलन के लिए: ma cosθ = mg sinθ ⇒ a = g tanθ।
Explanation:
Inside the accelerating non-inertial frame of the wedge, a horizontal pseudo force ma acts on the block in the opposite direction.
– Resolving forces parallel to the inclined surface:
– Downward gravity component: mg sinθ.
– Upward pseudo force component: ma cosθ.
Equating both components: ma cosθ = mg sinθ ⇒ a = g tanθ.
Inside the accelerating non-inertial frame of the wedge, a horizontal pseudo force ma acts on the block in the opposite direction.
– Resolving forces parallel to the inclined surface:
– Downward gravity component: mg sinθ.
– Upward pseudo force component: ma cosθ.
Equating both components: ma cosθ = mg sinθ ⇒ a = g tanθ.
प्रश्न 11. एक रॉकेट के प्रणोदन (rocket propulsion) के दौरान गैसें u के सापेक्ष वेग से नीचे की ओर निकलती हैं। यदि गैस उत्सर्जन की दर dm/dt है, तो रॉकेट पर ऊपर की ओर लगने वाला प्रणोद बल (upward thrust) कितना होगा?
Q11. In rocket propulsion, gases are ejected downwards with a relative speed u. If the rate of combustion of fuel is dm/dt, the upward thrust acting on the rocket is:
सही उत्तर: A) u (dm/dt)
Correct Answer: A) u (dm/dt)
स्पष्टीकरण:
रॉकेट गति संवेग संरक्षण नियम पर आधारित परिवर्ती द्रव्यमान की स्थिति है।
– गैसों के बाहर निकलने के कारण रॉकेट पर लगने वाला प्रतिक्रिया बल (प्रणोद बल) होता है: F_thrust = v_rel (dm/dt) = u (dm/dt)।
रॉकेट गति संवेग संरक्षण नियम पर आधारित परिवर्ती द्रव्यमान की स्थिति है।
– गैसों के बाहर निकलने के कारण रॉकेट पर लगने वाला प्रतिक्रिया बल (प्रणोद बल) होता है: F_thrust = v_rel (dm/dt) = u (dm/dt)।
Explanation:
Rocket propulsion is based on the conservation of linear momentum with variable mass.
– The upward reaction thrust force exerted by the escaping gases is given by: F_thrust = v_rel (dm/dt) = u (dm/dt).
Rocket propulsion is based on the conservation of linear momentum with variable mass.
– The upward reaction thrust force exerted by the escaping gases is given by: F_thrust = v_rel (dm/dt) = u (dm/dt).
प्रश्न 12. एक कमानीदार तुला (spring balance) के दोनों सिरों को दो डोरियों से बांधकर घिरनियों के माध्यम से क्रमशः 5 kg के दो लटके हुए भारों से जोड़ा गया है। तुला का पाठ्यांक (reading) क्या होगा?
Q12. A spring balance is attached to two blocks of mass 5 kg hanging on both sides over frictionless pulleys. The reading of the spring balance is:
सही उत्तर: B) 5 kg-wt
Correct Answer: B) 5 kg-wt
स्पष्टीकरण:
कमानीदार तुला (spring balance) डोरी में उत्पन्न तनाव T को मापती है।
– चूँकि दोनों ओर समान भार 5 kg लटके हुए हैं, यह पूरा निकाय साम्यावस्था (equilibrium) में रहेगा।
– डोरी में उत्पन्न कुल तनाव: T = mg = 5 kg × g = 5 kg-wt होगा। अतः तुला का पाठ्यांक **5 kg-wt** होगा (न कि 10 या शून्य)।
कमानीदार तुला (spring balance) डोरी में उत्पन्न तनाव T को मापती है।
– चूँकि दोनों ओर समान भार 5 kg लटके हुए हैं, यह पूरा निकाय साम्यावस्था (equilibrium) में रहेगा।
– डोरी में उत्पन्न कुल तनाव: T = mg = 5 kg × g = 5 kg-wt होगा। अतः तुला का पाठ्यांक **5 kg-wt** होगा (न कि 10 या शून्य)।
Explanation:
A spring balance measures the tension T acting through it.
– Since identical 5 kg masses hang symmetrically on both sides, the system remains in static equilibrium.
– The tension in the string is: T = mg = 5 × g = 5 kg-wt. Thus, the reading of the scale is **5 kg-wt**.
A spring balance measures the tension T acting through it.
– Since identical 5 kg masses hang symmetrically on both sides, the system remains in static equilibrium.
– The tension in the string is: T = mg = 5 × g = 5 kg-wt. Thus, the reading of the scale is **5 kg-wt**.
प्रश्न 13. L लंबाई और M द्रव्यमान की एक भारी एकसमान रस्सी (heavy uniform rope) को एक घर्षणरहित सतह पर एक सिरे से क्षैतिज बल F लगाकर खींचा जाता है। बल वाले सिरे से x दूरी पर रस्सी में तनाव कितना होगा?
Q13. A heavy uniform rope of length L and mass M is pulled along a frictionless surface by a horizontal force F applied at one end. The tension in the rope at a distance x from the pulled end is:
सही उत्तर: A) F (1 – x / L)
Correct Answer: A) F (1 – x / L)
स्पष्टीकरण:
– रस्सी का कुल त्वरण: a = F / M
– बल वाले सिरे से x दूरी पर स्थित बिंदु रस्सी के पिछले हिस्से को खींच रहा है जिसका द्रव्यमान M’ = M/L × (L – x) है।
– अतः उस बिंदु पर तनाव बल: T = M’ × a = [M/L (L – x)] × (F / M) = F (1 – x/L)।
– रस्सी का कुल त्वरण: a = F / M
– बल वाले सिरे से x दूरी पर स्थित बिंदु रस्सी के पिछले हिस्से को खींच रहा है जिसका द्रव्यमान M’ = M/L × (L – x) है।
– अतः उस बिंदु पर तनाव बल: T = M’ × a = [M/L (L – x)] × (F / M) = F (1 – x/L)।
Explanation:
– Acceleration of the entire rope is: a = F / M.
– At a point x distance from the pulled end, the tension has to pull the remaining part of the rope of length (L – x), which has a mass of M’ = M/L (L – x).
– Therefore, tension T = M’ × a = [M/L (L – x)] × (F / M) = F (1 – x/L).
– Acceleration of the entire rope is: a = F / M.
– At a point x distance from the pulled end, the tension has to pull the remaining part of the rope of length (L – x), which has a mass of M’ = M/L (L – x).
– Therefore, tension T = M’ × a = [M/L (L – x)] × (F / M) = F (1 – x/L).
प्रश्न 14. घोड़ा-गाड़ी की गति (horse-cart system) में, वह कौन सा बल है जिसके कारण घोड़ा आगे की ओर बढ़ता है?
Q14. In a horse-cart system, the force that makes the horse move forward is:
सही उत्तर: D) जमीन घोड़े के पैरों पर जो प्रतिक्रिया बल (reaction force) लगाती है
Correct Answer: D) The reaction force exerted by the ground on the horse’s feet
स्पष्टीकरण:
न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार, जब घोड़ा चलने के लिए अपने पैरों से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है (क्रिया बल), तो पृथ्वी घोड़े के पैरों पर विपरीत दिशा में आगे की ओर एक प्रतिक्रिया बल (प्रतिक्रिया बल) लगाती है। इसी प्रतिक्रिया बल के कारण घोड़ा आगे बढ़ता है।
न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार, जब घोड़ा चलने के लिए अपने पैरों से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है (क्रिया बल), तो पृथ्वी घोड़े के पैरों पर विपरीत दिशा में आगे की ओर एक प्रतिक्रिया बल (प्रतिक्रिया बल) लगाती है। इसी प्रतिक्रिया बल के कारण घोड़ा आगे बढ़ता है।
Explanation:
According to Newton’s third law of motion, when the horse pushes the ground backward with its hooves (action), the ground exerts an equal and opposite reaction force forward on the horse’s feet. This reaction force drives the horse (and the cart) forward.
According to Newton’s third law of motion, when the horse pushes the ground backward with its hooves (action), the ground exerts an equal and opposite reaction force forward on the horse’s feet. This reaction force drives the horse (and the cart) forward.
प्रश्न 15. न्यूटन के गति के नियम केवल किस प्रकार के निर्देश तंत्रों (frames of reference) में पूरी तरह लागू होते हैं?
Q15. Newton’s laws of motion are valid only in:
सही उत्तर: A) जड़त्वीय निर्देश तंत्रों में (Inertial frames)
Correct Answer: A) Inertial frames of reference
स्पष्टीकरण:
जड़त्वीय निर्देश तंत्र (Inertial frames) वे होते हैं जो या तो स्थिर होते हैं या नियत वेग से गति करते हैं (त्वरण शून्य होता है)। न्यूटन के नियम केवल इन्हीं तंत्रों में सत्य होते हैं।
– अजड़त्वीय या त्वरित तंत्रों (जैसे घूमते हुए फ्रेम) में न्यूटन के नियमों को लागू करने के लिए एक अतिरिक्त काल्पनिक बल (छद्म बल/pseudo force) मानना पड़ता है।
जड़त्वीय निर्देश तंत्र (Inertial frames) वे होते हैं जो या तो स्थिर होते हैं या नियत वेग से गति करते हैं (त्वरण शून्य होता है)। न्यूटन के नियम केवल इन्हीं तंत्रों में सत्य होते हैं।
– अजड़त्वीय या त्वरित तंत्रों (जैसे घूमते हुए फ्रेम) में न्यूटन के नियमों को लागू करने के लिए एक अतिरिक्त काल्पनिक बल (छद्म बल/pseudo force) मानना पड़ता है।
Explanation:
Inertial frames of reference are those which are either at rest or moving with a constant velocity (unaccelerated). Newton’s laws hold true only in inertial frames.
– To apply them in non-inertial (accelerating) frames, one must introduce an imaginary pseudo force (F_pseudo = -ma).
Inertial frames of reference are those which are either at rest or moving with a constant velocity (unaccelerated). Newton’s laws hold true only in inertial frames.
– To apply them in non-inertial (accelerating) frames, one must introduce an imaginary pseudo force (F_pseudo = -ma).
प्रश्न 16. एक समतल सड़क पर कार चलाते समय मोड़ पर मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल (Centripetal force) किससे प्राप्त होता है?
Q16. When a car takes a turn on a flat horizontal road, the necessary centripetal force is provided by:
सही उत्तर: A) टायर और सड़क के बीच घर्षण से (Friction)
Correct Answer: A) Friction between the tyres and the road
स्पष्टीकरण:
समतल क्षैतिज मोड़ पर कार को मोड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल टायर और सड़क के बीच लगने वाले स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
f_static = mv² / r
सुरक्षित चाल के लिए अधिकतम घर्षण सीमा f_max = μ_s mg ≥ mv²/r ⇒ v_max = √(μ_s rg) होना चाहिए।
समतल क्षैतिज मोड़ पर कार को मोड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल टायर और सड़क के बीच लगने वाले स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
f_static = mv² / r
सुरक्षित चाल के लिए अधिकतम घर्षण सीमा f_max = μ_s mg ≥ mv²/r ⇒ v_max = √(μ_s rg) होना चाहिए।
Explanation:
For a car turning on a flat circular track, the necessary centripetal force is supplied entirely by the static friction between the tyres and the road:
f_friction = mv² / r.
The maximum safe speed to avoid skidding is v_max = √(μ_s rg).
For a car turning on a flat circular track, the necessary centripetal force is supplied entirely by the static friction between the tyres and the road:
f_friction = mv² / r.
The maximum safe speed to avoid skidding is v_max = √(μ_s rg).
प्रश्न 17. एक खुरदरे 45° के नत समतल पर एक ब्लॉक फिसलता है। यदि गतिज घर्षण गुणांक μ_k है, तो ब्लॉक का नीचे की ओर त्वरण कितना होगा?
Q17. A block slides down a rough inclined plane of inclination 45°. If the coefficient of kinetic friction is μ_k, the acceleration of the block is:
सही उत्तर: A) g / √2 (1 – μ_k)
Correct Answer: A) g / √2 (1 – μ_k)
स्पष्टीकरण:
नत समतल पर फिसलते समय ब्लॉक का नेट बल समीकरण:
ma = mg sinθ – f_k = mg sinθ – μ_k N
चूंकि N = mg cosθ, अतः:
ma = mg sinθ – μ_k mg cosθ ⇒ a = g (sinθ – μ_k cosθ)
यहाँ θ = 45° है, और sin 45° = cos 45° = 1/√2:
a = g [ (1/√2) – μ_k (1/√2) ] = g / √2 (1 – μ_k)।
नत समतल पर फिसलते समय ब्लॉक का नेट बल समीकरण:
ma = mg sinθ – f_k = mg sinθ – μ_k N
चूंकि N = mg cosθ, अतः:
ma = mg sinθ – μ_k mg cosθ ⇒ a = g (sinθ – μ_k cosθ)
यहाँ θ = 45° है, और sin 45° = cos 45° = 1/√2:
a = g [ (1/√2) – μ_k (1/√2) ] = g / √2 (1 – μ_k)।
Explanation:
The equation of motion of the block sliding down a rough incline is:
ma = mg sinθ – f_k = mg sinθ – μ_k mg cosθ.
Thus, a = g (sinθ – μ_k cosθ).
Substituting θ = 45° where sin 45° = cos 45° = 1/√2:
a = g [ (1/√2) – μ_k (1/√2) ] = g / √2 (1 – μ_k).
The equation of motion of the block sliding down a rough incline is:
ma = mg sinθ – f_k = mg sinθ – μ_k mg cosθ.
Thus, a = g (sinθ – μ_k cosθ).
Substituting θ = 45° where sin 45° = cos 45° = 1/√2:
a = g [ (1/√2) – μ_k (1/√2) ] = g / √2 (1 – μ_k).
प्रश्न 18. 0.15 kg द्रव्यमान की एक गेंद 20 m/s के वेग से सीधे दीवार से टकराती है और समान वेग से वापस लौटती है। दीवार द्वारा गेंद पर आरोपित आवेग (impulse) क्या होगा?
Q18. A ball of mass 0.15 kg hits a wall horizontally at 20 m/s and rebounds with the same speed. The impulse imparted to the ball by the wall is:
सही उत्तर: B) 6 N-s
Correct Answer: B) 6 N-s
स्पष्टीकरण:
आवेग = संवेग में परिवर्तन = Δp = p_final – p_initial
– मान लें टकराने की दिशा धनात्मक है: p_initial = m × v = 0.15 × 20 = 3 kg-m/s
– वापसी की दिशा ऋणात्मक होगी: p_final = m × (-v) = 0.15 × (-20) = -3 kg-m/s
– संवेग परिवर्तन का परिमाण: |Δp| = | -3 – 3 | = 6 N-s।
आवेग = संवेग में परिवर्तन = Δp = p_final – p_initial
– मान लें टकराने की दिशा धनात्मक है: p_initial = m × v = 0.15 × 20 = 3 kg-m/s
– वापसी की दिशा ऋणात्मक होगी: p_final = m × (-v) = 0.15 × (-20) = -3 kg-m/s
– संवेग परिवर्तन का परिमाण: |Δp| = | -3 – 3 | = 6 N-s।
Explanation:
Impulse = Change in momentum = Δp = m v_f – m v_i.
Taking the incident direction as positive:
– p_i = 0.15 × 20 = 3 kg-m/s.
– p_f = 0.15 × (-20) = -3 kg-m/s (opposite direction).
– Magnitude of change: |Δp| = | -3 – 3 | = 6 N-s.
Impulse = Change in momentum = Δp = m v_f – m v_i.
Taking the incident direction as positive:
– p_i = 0.15 × 20 = 3 kg-m/s.
– p_f = 0.15 × (-20) = -3 kg-m/s (opposite direction).
– Magnitude of change: |Δp| = | -3 – 3 | = 6 N-s.
प्रश्न 19. घर्षण बलों के संदर्भ में निम्नलिखित में से कौन सा कथन **असत्य (INCORRECT)** है?
Q19. Which of the following statements is **INCORRECT** regarding frictional forces?
सही उत्तर: C) रोलिंग घर्षण (rolling friction) का मान सर्पी घर्षण (sliding friction) से अधिक होता है
Correct Answer: C) Rolling friction is greater than sliding friction
स्पष्टीकरण:
रोलिंग घर्षण (rolling friction) का मान सर्पी घर्षण (sliding/sliding friction) की तुलना में बहुत **कम** होता है। यही कारण है कि भारी मशीनों और वाहनों में पहियों और बॉल-बेयरिंग (ball-bearings) का उपयोग किया जाता है ताकि घर्षण को कम किया जा सके। अतः विकल्प C असत्य है।
रोलिंग घर्षण (rolling friction) का मान सर्पी घर्षण (sliding/sliding friction) की तुलना में बहुत **कम** होता है। यही कारण है कि भारी मशीनों और वाहनों में पहियों और बॉल-बेयरिंग (ball-bearings) का उपयोग किया जाता है ताकि घर्षण को कम किया जा सके। अतः विकल्प C असत्य है।
Explanation:
Rolling friction is actually much **smaller** than sliding friction. This is why wheels and ball-bearings are used in vehicles and machinery to minimize energy losses. Thus, statement C is incorrect.
Rolling friction is actually much **smaller** than sliding friction. This is why wheels and ball-bearings are used in vehicles and machinery to minimize energy losses. Thus, statement C is incorrect.
प्रश्न 20. स्वतंत्र रूप से नीचे गिरती हुई किसी लिफ्ट के भीतर खड़े व्यक्ति का आभासी भार (apparent weight) कितना होता है?
Q20. The apparent weight of a person inside an elevator falling freely under gravity is:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण:
स्वतंत्र रूप से गिरते समय लिफ्ट का नीचे की ओर त्वरण a = g होता है।
– लिफ्ट के FBD समीकरण से आभासी भार: N = m(g – a)
– a = g रखने पर: N = m(g – g) = 0
इसे **भारहीनता (weightlessness)** की स्थिति कहा जाता है।
स्वतंत्र रूप से गिरते समय लिफ्ट का नीचे की ओर त्वरण a = g होता है।
– लिफ्ट के FBD समीकरण से आभासी भार: N = m(g – a)
– a = g रखने पर: N = m(g – g) = 0
इसे **भारहीनता (weightlessness)** की स्थिति कहा जाता है।
Explanation:
For a freely falling elevator, the downward acceleration is a = g.
– The normal reaction (apparent weight) is: N = m(g – a).
– Substituting a = g: N = m(g – g) = 0.
This represents the state of **weightlessness**.
For a freely falling elevator, the downward acceleration is a = g.
– The normal reaction (apparent weight) is: N = m(g – a).
– Substituting a = g: N = m(g – g) = 0.
This represents the state of **weightlessness**.
प्रश्न 21. एक घर्षणरहित क्षैतिज मेज पर तीन ब्लॉक क्रमशः 1 kg, 2 kg और 3 kg एक-दूसरे के संपर्क में रखे हैं। यदि 1 kg वाले ब्लॉक पर क्षैतिज दिशा में 12 N का बल लगाया जाता है, तो 2 kg और 3 kg ब्लॉकों के बीच संपर्क बल (contact force) कितना होगा?
Q21. Three blocks of masses 1 kg, 2 kg, and 3 kg are in contact on a frictionless horizontal table. If a horizontal force of 12 N is applied on the 1 kg block, the contact force between the 2 kg and 3 kg blocks is:
सही उत्तर: C) 6 N
Correct Answer: C) 6 N
स्पष्टीकरण:
– संपूर्ण निकाय का त्वरण: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / (1 + 2 + 3) = 12 / 6 = 2 m/s²
– 2 kg और 3 kg के बीच का संपर्क बल केवल 3 kg वाले ब्लॉक को समान त्वरण a = 2 m/s² प्रदान करता है।
– अतः संपर्क बल: F_contact = m₃ × a = 3 kg × 2 m/s² = 6 N।
– संपूर्ण निकाय का त्वरण: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / (1 + 2 + 3) = 12 / 6 = 2 m/s²
– 2 kg और 3 kg के बीच का संपर्क बल केवल 3 kg वाले ब्लॉक को समान त्वरण a = 2 m/s² प्रदान करता है।
– अतः संपर्क बल: F_contact = m₃ × a = 3 kg × 2 m/s² = 6 N।
Explanation:
– Common acceleration of the entire contact system is: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / 6 = 2 m/s².
– The contact force between the 2 kg and 3 kg blocks is solely responsible for accelerating the 3 kg block at 2 m/s².
– Therefore, F_contact = m₃ × a = 3 × 2 = 6 N.
– Common acceleration of the entire contact system is: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / 6 = 2 m/s².
– The contact force between the 2 kg and 3 kg blocks is solely responsible for accelerating the 3 kg block at 2 m/s².
– Therefore, F_contact = m₃ × a = 3 × 2 = 6 N.
प्रश्न 22. किसी लॉन रोलर (lawn roller) को ढकेलने (pushing) की तुलना में खींचना (pulling) आसान क्यों होता है?
Q22. Why is it easier to pull a lawn roller than to push it?
सही उत्तर: B) खींचते समय अभिलंब प्रतिक्रिया (Normal reaction) घट जाती है, जिससे घर्षण कम होता है
Correct Answer: B) Pulling decreases the normal reaction, thereby reducing friction
स्पष्टीकरण:
– जब हम रोलर को ढकेलते (push) हैं, तो लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर होता है, जिससे अभिलंब प्रतिक्रिया बल बढ़ जाता है: N_push = mg + F sinθ (घर्षण बढ़ जाता है)।
– जब हम रोलर को खींचते (pull) हैं, तो बल का ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर होता है, जिससे अभिलंब बल घट जाता है: N_pull = mg – F sinθ (घर्षण घट जाता है)।
अतः खींचना अधिक आसान होता है।
– जब हम रोलर को ढकेलते (push) हैं, तो लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर होता है, जिससे अभिलंब प्रतिक्रिया बल बढ़ जाता है: N_push = mg + F sinθ (घर्षण बढ़ जाता है)।
– जब हम रोलर को खींचते (pull) हैं, तो बल का ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर होता है, जिससे अभिलंब बल घट जाता है: N_pull = mg – F sinθ (घर्षण घट जाता है)।
अतः खींचना अधिक आसान होता है।
Explanation:
– Pushing adds a downward vertical component of force, increasing the normal reaction: N_push = mg + F sinθ (hence, friction increases).
– Pulling introduces an upward vertical component, which reduces the normal reaction: N_pull = mg – F sinθ (hence, friction decreases).
This makes pulling easier.
– Pushing adds a downward vertical component of force, increasing the normal reaction: N_push = mg + F sinθ (hence, friction increases).
– Pulling introduces an upward vertical component, which reduces the normal reaction: N_pull = mg – F sinθ (hence, friction decreases).
This makes pulling easier.
प्रश्न 23. किसी वस्तु का जड़त्व (inertia) सीधे तौर पर किस भौतिक राशि पर निर्भर करता है?
Q23. The inertia of a body is directly proportional to its:
सही उत्तर: B) द्रव्यमान (Mass)
Correct Answer: B) Mass
स्पष्टीकरण:
जड़त्व (Inertia) किसी वस्तु का वह प्राकृतिक गुण है जिसके कारण वह अपनी विरामावस्था या एकसमान गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करती है।
– किसी वस्तु का **द्रव्यमान ही उसके जड़त्व की माप होता है**। भारी वस्तुओं में हल्का होने वाली वस्तुओं की तुलना में अधिक जड़त्व होता है।
जड़त्व (Inertia) किसी वस्तु का वह प्राकृतिक गुण है जिसके कारण वह अपनी विरामावस्था या एकसमान गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करती है।
– किसी वस्तु का **द्रव्यमान ही उसके जड़त्व की माप होता है**। भारी वस्तुओं में हल्का होने वाली वस्तुओं की तुलना में अधिक जड़त्व होता है।
Explanation:
Inertia is the inherent property of a body to resist any change in its state of rest or uniform motion.
– **Mass is the quantitative measure of inertia**. A heavier body possesses greater inertia than a lighter body.
Inertia is the inherent property of a body to resist any change in its state of rest or uniform motion.
– **Mass is the quantitative measure of inertia**. A heavier body possesses greater inertia than a lighter body.
प्रश्न 24. m द्रव्यमान के एक ब्लॉक को एक डोरी से बांधकर नीचे की ओर नियत त्वरण a (a < g) से उतारा जाता है। डोरी में उत्पन्न तनाव T कितना होगा?
Q24. A block of mass m tied to a string is lowered vertically downwards with a constant acceleration a (a < g). The tension T in the string is:
सही उत्तर: B) m(g – a)
Correct Answer: B) m(g – a)
स्पष्टीकरण:
नीचे की ओर त्वरित गति के लिए ब्लॉक का बल समीकरण:
mg – T = ma
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
T = mg – ma = m(g – a)।
नीचे की ओर त्वरित गति के लिए ब्लॉक का बल समीकरण:
mg – T = ma
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
T = mg – ma = m(g – a)।
Explanation:
Applying Newton’s second law for downward accelerated motion:
mg – T = ma.
Rearranging the equation for tension:
T = mg – ma = m(g – a).
Applying Newton’s second law for downward accelerated motion:
mg – T = ma.
Rearranging the equation for tension:
T = mg – ma = m(g – a).
प्रश्न 25. सीमांत स्थैतिक घर्षण कोण (angle of friction, θ) और स्थैतिक घर्षण गुणांक (μ_s) के बीच सही संबंध क्या है?
Q25. The relationship between the angle of friction θ and the coefficient of static friction μ_s is:
सही उत्तर: C) μ_s = tanθ
Correct Answer: C) μ_s = tanθ
स्पष्टीकरण:
घर्षण कोण (Angle of friction) वह कोण है जो सीमांत घर्षण बल (f_max) और अभिलंब प्रतिक्रिया (N) का परिणामी बल (resultant force), अभिलंब प्रतिक्रिया के साथ बनाता है।
– परिणामी सदिश आरेख से: tanθ = f_max / N
– चूंकि f_max = μ_s N, अतः: tanθ = μ_s N / N = μ_s।
घर्षण कोण (Angle of friction) वह कोण है जो सीमांत घर्षण बल (f_max) और अभिलंब प्रतिक्रिया (N) का परिणामी बल (resultant force), अभिलंब प्रतिक्रिया के साथ बनाता है।
– परिणामी सदिश आरेख से: tanθ = f_max / N
– चूंकि f_max = μ_s N, अतः: tanθ = μ_s N / N = μ_s।
Explanation:
The angle of friction θ is defined as the angle which the resultant of the limiting friction f_max and the normal reaction N makes with the normal reaction vector.
– Trigonometrically: tanθ = f_max / N.
– Since f_max = μ_s N: tanθ = μ_s N / N = μ_s.
The angle of friction θ is defined as the angle which the resultant of the limiting friction f_max and the normal reaction N makes with the normal reaction vector.
– Trigonometrically: tanθ = f_max / N.
– Since f_max = μ_s N: tanθ = μ_s N / N = μ_s.