Neet Physics Work, Energy, and Power

NEET 2026 Physics – Work, Energy, and Power (Set 1)

प्रश्न 1. एक कण पर कार्य करने वाला नियत बल F⃗ = (2 î + 3 ĵ – k̂) N है, जो कण को स्थिति r₁⃗ = (î – ĵ + 2 k̂) m से r₂⃗ = (4 î + 2 ĵ + k̂) m तक विस्थापित कर देता है। बल द्वारा किया गया कुल कार्य (Work done) क्या होगा?

Q1. A constant force F⃗ = (2 î + 3 ĵ – k̂) N acts on a particle and displaces it from position r₁⃗ = (î – ĵ + 2 k̂) m to r₂⃗ = (4 î + 2 ĵ + k̂) m. The total work done by the force is:

A) 16 J A) 16 J
B) 14 J B) 14 J
C) 12 J C) 12 J
D) 18 J D) 18 J

सही उत्तर: B) 14 J Correct Answer: B) 14 J

स्पष्टीकरण:
– विस्थापन सदिश: s⃗ = r₂⃗ – r₁⃗ = (4-1) î + (2 – (-1)) ĵ + (1 – 2) k̂ = 3 î + 3 ĵ – k̂
– किया गया कार्य: W = F⃗ · s⃗ = (2 î + 3 ĵ – k̂) · (3 î + 3 ĵ – k̂)
– W = (2 × 3) + (3 × 3) + (-1 × -1) = 6 + 9 + 1 = 16 J (सुधार: गणना के आधार पर सही मान 16 J है, अतः विकल्प A सही है)।

Explanation:
– Displacement vector: s⃗ = r₂⃗ – r₁⃗ = (4-1) î + (2 – (-1)) ĵ + (1 – 2) k̂ = 3 î + 3 ĵ – k̂
– Work done: W = F⃗ · s⃗ = (2 î + 3 ĵ – k̂) · (3 î + 3 ĵ – k̂)
– W = (2 × 3) + (3 × 3) + (-1 × -1) = 6 + 9 + 1 = 16 J. Hence, Option A is correct.

प्रश्न 2. एक विमीय गति में किसी कण पर कार्य करने वाला बल स्थान पर निर्भर करता है: F(x) = (3x² + 2x) N। कण को x = 0 से x = 2 m तक विस्थापित करने में किया गया कार्य कितना होगा?

Q2. A variable force F(x) = (3x² + 2x) N acts on a particle in one-dimensional motion. The work done in displacing the particle from x = 0 to x = 2 m is:

A) 8 J A) 8 J
B) 12 J B) 12 J
C) 16 J C) 16 J
D) 10 J D) 10 J

सही उत्तर: B) 12 J Correct Answer: B) 12 J

स्पष्टीकरण: परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन से प्राप्त होता है:
W = ∫ F(x) dx = ∫ (3x² + 2x) dx (सीमा 0 से 2 तक)
W = [x³ + x²] (0 से 2 तक)
W = (2³ + 2²) – (0) = 8 + 4 = 12 J।

Explanation: Work done by a variable force is calculated using integration:
W = ∫ F(x) dx = ∫ (3x² + 2x) dx from 0 to 2 m
W = [x³ + x²] evaluated from 0 to 2
W = (2³ + 2²) – (0) = 8 + 4 = 12 J.

प्रश्न 3. 2 kg द्रव्यमान का एक ब्लॉक क्षैतिज खुरदरी सतह पर 10 m/s की प्रारंभिक चाल से गतिमान है। यदि सतह द्वारा ब्लॉक पर 10 N का नियत विरोधी बल लगाया जाता है, तो ब्लॉक के रुकने से पहले तय की गई दूरी कितनी होगी?

Q3. A block of mass 2 kg is moving on a rough horizontal surface with an initial speed of 10 m/s. If a constant retarding force of 10 N acts on it, the distance covered by the block before it comes to rest is:

A) 5 m A) 5 m
B) 10 m B) 10 m
C) 20 m C) 20 m
D) 15 m D) 15 m

सही उत्तर: B) 10 m Correct Answer: B) 10 m

स्पष्टीकरण: कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem) के अनुसार:
W_net = ΔK.E. = K_final – K_initial
– रोकने के लिए किया गया कार्य (विरोधी बल): W = -F × s
– -10 × s = 0 – (1/2)mv² ⇒ -10 × s = – (1/2) × 2 × (10)²
– -10 × s = -100 ⇒ s = 10 m।

Explanation: According to the Work-Energy Theorem:
W_net = ΔK.E. = K_final – K_initial
– Work done by the retarding force: W = -F × s
– -10 × s = 0 – (1/2)mv² ⇒ -10 × s = – (1/2) × 2 × (10)²
– -10 × s = -100 ⇒ s = 10 m.

प्रश्न 4. बल नियतांक (Spring constant) k की एक स्प्रिंग को उसकी मूल लंबाई से x दूरी तक खींचा गया है। यदि इसे y दूरी और अधिक खींचना हो, तो किया गया अतिरिक्त कार्य कितना होगा?

Q4. A spring of force constant k is stretched initially by a distance x from its natural length. The additional work required to stretch it further by a distance y is:

A) (1/2) k y² A) (1/2) k y²
B) (1/2) k (x + y)² B) (1/2) k (x + y)²
C) (1/2) k y (2x + y) C) (1/2) k y (2x + y)
D) (1/2) k (y² – x²) D) (1/2) k (y² – x²)

सही उत्तर: C) (1/2) k y (2x + y) Correct Answer: C) (1/2) k y (2x + y)

स्पष्टीकरण: अतिरिक्त कार्य अंतिम स्थितिज ऊर्जा और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा के अंतर के बराबर होता है:
– प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: U_i = (1/2)kx²
– अंतिम स्थितिज ऊर्जा (कुल खिंचाव = x + y): U_f = (1/2)k(x + y)²
– अतिरिक्त कार्य W = U_f – U_i = (1/2)k [(x + y)² – x²]
– W = (1/2)k [x² + y² + 2xy – x²] = (1/2) k y (2x + y)।

Explanation: The additional work required is the change in the elastic potential energy of the spring:
– Initial potential energy: U_i = (1/2)kx²
– Final potential energy (total stretch = x + y): U_f = (1/2)k(x + y)²
– Work done W = U_f – U_i = (1/2)k [(x+y)² – x²] = (1/2)ky(2x + y).

प्रश्न 5. यदि किसी वस्तु का रेखीय संवेग (Linear momentum) 50% बढ़ा दिया जाए, तो उसकी गतिज ऊर्जा (Kinetic energy) में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

Q5. If the linear momentum of a body is increased by 50%, then the percentage increase in its kinetic energy is:

A) 50% A) 50%
B) 100% B) 100%
C) 125% C) 125%
D) 225% D) 225%

सही उत्तर: C) 125% Correct Answer: C) 125%

स्पष्टीकरण: गतिज ऊर्जा और संवेग में संबंध: E = p² / 2m
– माना प्रारंभिक संवेग p₁ = p है, तो प्रारंभिक गतिज ऊर्जा E₁ = p² / 2m होगी।
– नया संवेग p₂ = p + 50% of p = 1.5p
– नई गतिज ऊर्जा E₂ = (1.5p)² / 2m = 2.25 × (p²/2m) = 2.25 E₁
– प्रतिशत वृद्धि = [(E₂ – E₁) / E₁] × 100 = (2.25 – 1) × 100 = 125%।

Explanation: Kinetic energy is related to momentum by: E = p² / 2m.
– Let initial momentum p₁ = p ⇒ E₁ = p² / 2m.
– New momentum p₂ = p + 0.5p = 1.5p.
– New kinetic energy E₂ = (1.5p)² / 2m = 2.25 E₁.
– Percentage increase = [(E₂ – E₁) / E₁] × 100 = 1.25 × 100 = 125%.

प्रश्न 6. दो परमाणुओं के बीच की स्थितिज ऊर्जा का समीकरण U(x) = a / x¹² – b / x⁶ है। संतुलन की स्थिति में दोनों के बीच की दूरी x क्या होगी?

Q6. The potential energy between two atoms is given by the function U(x) = a / x¹² – b / x⁶. At the equilibrium position, the distance x between the atoms is:

A) (2a / b)¹/⁶ A) (2a / b)¹/⁶
B) (a / b)¹/⁶ B) (a / b)¹/⁶
C) (b / 2a)¹/⁶ C) (b / 2a)¹/⁶
D) (2b / a)¹/⁶ D) (2b / a)¹/⁶

सही उत्तर: A) (2a / b)¹/⁶ Correct Answer: A) (2a / b)¹/⁶

स्पष्टीकरण: संतुलन स्थिति (equilibrium position) पर नेट बल शून्य होता है: F = -dU/dx = 0।
– dU/dx = d/dx (a·x⁻¹² – b·x⁻⁶) = -12a·x⁻¹³ + 6b·x⁻⁷ = 0
– 12a / x¹³ = 6b / x⁷ ⇒ 2a / x⁶ = b
– x⁶ = 2a / b ⇒ x = (2a / b)¹/⁶।

Explanation: At the equilibrium position, the conservative force is zero: F = -dU/dx = 0.
– Differentiation: dU/dx = -12a·x⁻¹³ + 6b·x⁻⁷ = 0
– 12a / x¹³ = 6b / x⁷ ⇒ 2a / x⁶ = b
– x⁶ = 2a / b ⇒ x = (2a / b)¹/⁶.

प्रश्न 7. द्रव्यमान m की एक वस्तु को h ऊँचाई से स्वतंत्रतापूर्वक नीचे गिराया जाता है। जमीन से h / 3 ऊँचाई पर पहुँचने पर इसकी गतिज ऊर्जा (K.E.) और स्थितिज ऊर्जा (P.E.) का अनुपात क्या होगा?

Q7. A body of mass m falls freely from a height h. At a height of h / 3 from the ground, the ratio of its kinetic energy (K.E.) to potential energy (P.E.) is:

A) 1 : 2 A) 1 : 2
B) 2 : 1 B) 2 : 1
C) 1 : 3 C) 1 : 3
D) 3 : 1 D) 3 : 1

सही उत्तर: B) 2 : 1 Correct Answer: B) 2 : 1

स्पष्टीकरण: ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से, कुल यांत्रिक ऊर्जा = mgh
– जमीन से h / 3 ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा (P.E.) = mgh / 3
– गतिज ऊर्जा (K.E.) = कुल ऊर्जा – स्थितिज ऊर्जा = mgh – mgh / 3 = 2mgh / 3
– अनुपात = K.E. / P.E. = (2mgh / 3) / (mgh / 3) = 2 : 1।

Explanation: By conservation of mechanical energy, the total energy remains constant and equals mgh.
– At height h / 3, P.E. = mgh / 3.
– K.E. = Total Energy – P.E. = mgh – mgh / 3 = 2mgh / 3.
– Ratio of K.E. : P.E. = (2mgh / 3) / (mgh / 3) = 2 : 1.

प्रश्न 8. 80% दक्षता (efficiency) वाला एक पंप 10 s में 100 kg पानी को 10 m की ऊँचाई तक उठा सकता है। पंप की निवेशी शक्ति (Input power) कितनी होगी? (g = 10 m/s² लें)

Q8. A pump with an efficiency of 80% can lift 100 kg of water to a height of 10 m in 10 s. The input power of the pump is: (Take g = 10 m/s²)

A) 1000 W A) 1000 W
B) 800 W B) 800 W
C) 1250 W C) 1250 W
D) 1500 W D) 1500 W

सही उत्तर: C) 1250 W Correct Answer: C) 1250 W

स्पष्टीकरण:
– निर्गत कार्य (Useful output work) = mgh = 100 × 10 × 10 = 10,000 J
– निर्गत शक्ति (Output power) = Work / Time = 10,000 J / 10 s = 1000 W
– दक्षता का सूत्र: η = Output Power / Input Power ⇒ 0.80 = 1000 / Input Power
– निवेशी शक्ति = 1000 / 0.80 = 1250 W।

Explanation:
– Output work done = mgh = 100 × 10 × 10 = 10,000 J.
– Output power = Work / Time = 10,000 / 10 = 1000 W.
– Efficiency: η = Output Power / Input Power ⇒ 0.80 = 1000 / Input Power.
– Input power = 1000 / 0.80 = 1250 W.

प्रश्न 9. द्रव्यमान m की एक कार विराम से त्वरित होती है। यदि कार को प्रदान की जाने वाली तात्क्षणिक शक्ति (Instantaneous power) का मान नियत P हो, तो समय t पर कार का वेग क्या होगा?

Q9. A car of mass m starts from rest and accelerates. If the instantaneous power delivered to the car has a constant value P, the velocity of the car at time t is:

A) v = √(Pt / m) A) v = √(Pt / m)
B) v = √(2Pt / m) B) v = √(2Pt / m)
C) v = Pt / m C) v = Pt / m
D) v = (2Pt / m)² D) v = (2Pt / m)²

सही उत्तर: B) v = √(2Pt / m) Correct Answer: B) v = √(2Pt / m)

स्पष्टीकरण: शक्ति का सूत्र: P = F × v = m(dv/dt) × v
– चर पृथक्करण करने पर: v dv = (P / m) dt
– दोनों पक्षों का समाकलन करने पर (विराम से शुरू होने पर सीमा 0 से v और 0 से t):
– ∫ v dv = (P / m) ∫ dt ⇒ v² / 2 = Pt / m ⇒ v² = 2Pt / m ⇒ v = √(2Pt / m)।

Explanation: Power is defined as: P = F × v = m × a × v = mv (dv/dt).
– Separating variables: v dv = (P / m) dt.
– Integrating both sides from rest: v² / 2 = Pt / m ⇒ v = √(2Pt / m).

प्रश्न 10. द्रव्यमान m की एक वस्तु सीधे चलते हुए विराम अवस्था में रखी द्रव्यमान M की एक अन्य वस्तु से पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट (elastic head-on collision) करती है। यदि संघट्ट के बाद द्रव्यमान m विराम में आ जाता है, तो दोनों द्रव्यमानों के बीच क्या संबंध होगा?

Q10. A body of mass m collides head-on elastically with another body of mass M initially at rest. If the colliding body of mass m comes to rest after the collision, the relation between the masses is:

A) m = M A) m = M
B) m = 2M B) m = 2M
C) M = 2m C) M = 2m
D) m >> M D) m >> M

सही उत्तर: A) m = M Correct Answer: A) m = M

स्पष्टीकरण: पूर्णतः प्रत्यास्थ सम्मुख संघट्ट (perfectly elastic head-on collision) में, यदि संघट्ट करने वाली दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान समान होते हैं (m = M), तो वे आपस में अपने वेगों का आदान-प्रदान (exchange of velocities) कर लेती हैं। चूँकि दूसरी वस्तु पहले विराम में थी, इसलिए पहली वस्तु टकराने के बाद विराम में आ जाएगी और दूसरी पहली के प्रारंभिक वेग से चलने लगेगी।

Explanation: In a perfectly elastic head-on collision between two identical masses (m = M), the bodies exchange their velocities after collision. Since the target mass M was initially at rest, the incoming mass m must come to rest after the impact.

प्रश्न 11. द्रव्यमान a की एक गोली वेग v से चलते हुए लकड़ी के स्थिर गुटके (द्रव्यमान b) से टकराकर उसमें धंस जाती है। इस प्रक्रिया (अप्रत्यास्थ संघट्ट) में गतिज ऊर्जा में होने वाली कुल हानि कितनी होगी?

Q11. A bullet of mass a moving with velocity v strikes and gets embedded in a stationary wooden block of mass b. The loss of kinetic energy in this inelastic collision is:

A) (1/2) [ab / (a + b)] v² A) (1/2) [ab / (a + b)] v²
B) (1/2) [a² / (a + b)] v² B) (1/2) [a² / (a + b)] v²
C) (1/2) [b² / (a + b)] v² C) (1/2) [b² / (a + b)] v²
D) (1/2) (a + b) v² D) (1/2) (a + b) v²

सही उत्तर: A) (1/2) [ab / (a + b)] v² Correct Answer: A) (1/2) [ab / (a + b)] v²

स्पष्टीकरण: अप्रत्यास्थ संघट्ट में गतिज ऊर्जा की हानि का सामान्य सूत्र है:
ΔK.E. = (1/2) [m₁m₂ / (m₁ + m₂)] × (u₁ – u₂)²
यहाँ m₁ = a, m₂ = b, u₁ = v, u₂ = 0 है।
अतः, ΔK.E. = (1/2) [ab / (a + b)] v²।

Explanation: The loss of kinetic energy in a perfectly inelastic collision is given by:
ΔK.E. = (1/2) [m₁m₂ / (m₁ + m₂)] × (u₁ – u₂)².
Substituting the values m₁ = a, m₂ = b, u₁ = v, and u₂ = 0:
ΔK.E. = (1/2) [ab / (a + b)] v².

प्रश्न 12. किसी संरक्षी बल (Conservative force) द्वारा किसी बंद पथ (closed loop) के अनुदिश किया गया नेट कार्य हमेशा कितना होता है?

Q12. The work done by a conservative force along any closed path is always:

A) धनात्मक (Positive) A) Positive
B) ऋणात्मक (Negative) B) Negative
C) शून्य (Zero) C) Zero
D) पथ की लंबाई पर निर्भर करता है D) Depends on the length of the path

सही उत्तर: C) शून्य (Zero) Correct Answer: C) Zero

स्पष्टीकरण: संरक्षी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल या विद्युत बल) के तहत किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है, गति के मार्ग पर नहीं। चूँकि एक बंद पथ में प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ समान होती हैं, इसलिए विस्थापन शून्य होता है और किया गया नेट कार्य भी **शून्य** होता है।

Explanation: A force is conservative if the work done by it in moving a particle between two points is path-independent. For any closed loop, the starting and ending points are identical, resulting in zero net displacement and therefore the work done is **zero**.

प्रश्न 13. लंबाई L और द्रव्यमान M की एकसमान जंजीर (uniform chain) एक चिकनी मेज पर रखी है जिसका 1 / n हिस्सा नीचे लटका है। लटके हुए हिस्से को वापस मेज पर खींचने में किया गया कार्य कितना होगा?

Q13. A uniform chain of length L and mass M is lying on a smooth table such that its 1 / n fraction of length hangs down. The work done to pull the hanging part back onto the table is:

A) MgL / n² A) MgL / n²
B) MgL / 2n² B) MgL / 2n²
C) MgL / 2n C) MgL / 2n
D) MgL / (n + 1)² D) MgL / (n + 1)²

सही उत्तर: B) MgL / 2n² Correct Answer: B) MgL / 2n²

स्पष्टीकरण:
– लटके हुए हिस्से का द्रव्यमान m’ = M / n
– लटके हुए हिस्से की लंबाई l’ = L / n
– लटके हुए भाग का द्रव्यमान केंद्र (Center of mass) मेज के किनारे से नीचे गहराई पर स्थित होता है: h_cm = l’ / 2 = L / 2n
– खिंचने में किया गया कार्य = द्रव्यमान केंद्र को उठाने में गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य: W = m’ × g × h_cm = (M / n) × g × (L / 2n) = MgL / 2n²।

Explanation:
– Mass of the hanging part: m’ = M / n.
– Length of the hanging part: l’ = L / n.
– The center of mass of the hanging part lies at its geometrical center: h_cm = l’ / 2 = L / 2n below the table top.
– Work done is the energy required to raise the center of mass of the hanging segment to the table level: W = m’ × g × h_cm = (M/n) × g × (L/2n) = MgL / 2n².

प्रश्न 14. एक कार का इंजन नियत तात्क्षणिक शक्ति P प्रदान करता है। जब कार का तात्क्षणिक वेग v हो, तो कार पर इंजन द्वारा लगाया गया बल क्या होगा?

Q14. An engine of a car delivers constant power P. The force exerted on the car when it is moving with speed v is:

A) P × v A) P × v
B) P / v B) P / v
C) v / P C) v / P
D) P / v² D) P / v²

सही उत्तर: B) P / v Correct Answer: B) P / v

स्पष्टीकरण: तात्क्षणिक शक्ति का मूल सूत्र बल और वेग के अदिश गुणनफल के बराबर होता है: P = F × v (एक विमीय गति में)।
अतः, बल का मान F = P / v होगा।

Explanation: The instantaneous power delivered is given by the product of force and velocity: P = F × v.
Thus, the force exerted is: F = P / v.

प्रश्न 15. दो गतिशील वस्तुओं के द्रव्यमान क्रमशः m₁ और m₂ हैं तथा उनकी गतिज ऊर्जाएँ (kinetic energies) समान हैं। उनके रेखीय संवेगों (momenta) का अनुपात क्या होगा?

Q15. Two bodies of masses m₁ and m₂ have equal kinetic energies. The ratio of their linear momenta is:

A) m₁ : m₂ A) m₁ : m₂
B) m₁² : m₂² B) m₁² : m₂²
C) √m₁ : √m₂ C) √m₁ : √m₂
D) √m₂ : √m₁ D) √m₂ : √m₁

सही उत्तर: C) √m₁ : √m₂ Correct Answer: C) √m₁ : √m₂

स्पष्टीकरण: रेखीय संवेग p और गतिज ऊर्जा K में संबंध: p = √(2mK)
– दिया गया है कि K₁ = K₂ = K (समान गतिज ऊर्जा)
– p₁ = √(2m₁K) और p₂ = √(2m₂K)
– अनुपात = p₁ / p₂ = √(2m₁K) / √(2m₂K) = √m₁ / √m₂।

Explanation: The momentum p is related to kinetic energy K by: p = √(2mK).
– Since K₁ = K₂ (equal kinetic energy):
– p₁ / p₂ = √(2m₁K) / √(2m₂K) = √m₁ / √m₂.

प्रश्न 16. एक गेंद को h ऊँचाई से फर्श पर गिराया जाता है। यदि गेंद और फर्श के बीच का प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) e हो, तो पहली टक्कर के बाद गेंद फर्श से कितनी ऊँचाई तक वापस उछलेगी?

Q16. A ball is dropped from a height h on a horizontal floor. If the coefficient of restitution is e, the height to which the ball rebounds after the first bounce is:

A) e · h A) e · h
B) e² · h B) e² · h
C) h / e² C) h / e²
D) e² · h² D) e² · h²

सही उत्तर: B) e² · h Correct Answer: B) e² · h

स्पष्टीकरण:
– टकराने से ठीक पहले वेग: u = √(2gh)
– पहली टक्कर के बाद गेंद का वेग: v = e × u = e √(2gh)
– यदि गेंद h’ ऊँचाई तक उछलती है, तो: v = √(2gh’)
– दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 2gh’ = v² = e² (2gh) ⇒ h’ = e² h।

Explanation:
– Speed just before collision: u = √(2gh).
– Rebound speed after collision: v = e × u = e√(2gh).
– If the ball rises to height h’, its speed must be v = √(2gh’).
– Equating both: 2gh’ = v² = e²(2gh) ⇒ h’ = e² h.

प्रश्न 17. बल-विस्थापन ग्राफ (F-x graph) का वक्र और विस्थापन-अक्ष (x-axis) के बीच घिरा हुआ कुल क्षेत्रफल निम्नलिखित में से क्या दर्शाता है?

Q17. The area under a force-displacement (F-x) graph represents:

A) आवेग (Impulse) A) Impulse
B) संवेग (Momentum) B) Momentum
C) किया गया कार्य (Work done) C) Work done
D) शक्ति (Power) D) Power

सही उत्तर: C) किया गया कार्य (Work done) Correct Answer: C) Work done

स्पष्टीकरण: परिवर्ती बल द्वारा किए गए कार्य का सूत्र है: W = ∫ F dx। ग्राफीय रूप से, यह समाकलन बल-विस्थापन वक्र और विस्थापन अक्ष के बीच के कुल क्षेत्रफल के बराबर होता है।

Explanation: Work done is mathematically defined as: W = ∫ F dx. In graphical representation, this integration corresponds to the total area under the force-displacement curve.

प्रश्न 18. एकसमान वृत्तीय गति (uniform circular motion) कर रहे किसी पिंड पर **अभिकेंद्र बल (centripetal force)** द्वारा एक पूर्ण चक्कर में किया गया कुल कार्य कितना होता है?

Q18. The work done by a **centripetal force** on a body moving in a uniform circular path during a complete cycle is:

A) 2π F r A) 2π F r
B) π F r B) π F r
C) शून्य (Zero) C) Zero
D) F r D) F r

सही उत्तर: C) शून्य (Zero) Correct Answer: C) Zero

स्पष्टीकरण: वृत्त की परिधि पर गतिशील पिंड का तात्क्षणिक विस्थापन स्पर्श रेखा (tangent) की दिशा में होता है, जबकि अभिकेंद्र बल केंद्र की तरफ (त्रिज्या के अनुदिश) कार्य करता है।
– अतः बल और विस्थापन के बीच का कोण सदैव θ = 90° होता है।
– कार्य W = F × ds × cos(90°) = 0।

Explanation: The centripetal force acts radially inward, while the instantaneous displacement of the body is tangential.
– The angle θ between the force vector and the displacement vector is always 90°.
– Work done W = F · ds · cos(90°) = 0.

प्रश्न 19. लंबाई L की डोरी से बंधे पिंड को ऊर्ध्वाधर वृत्त (vertical circle) में घुमाया जाता है। वृत्त को सफलतापूर्वक पूरा करने (to just complete the loop) के लिए निम्नतम बिंदु पर पिंड का न्यूनतम वेग कितना होना चाहिए?

Q19. A body is tied to a string of length L and is whirled in a vertical circle. The minimum velocity required by the body at the lowest point to just complete the loop is:

A) √(gL) A) √(gL)
B) √(3gL) B) √(3gL)
C) √(5gL) C) √(5gL)
D) √(7gL) D) √(7gL)

सही उत्तर: C) √(5gL) Correct Answer: C) √(5gL)

स्पष्टीकरण: ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति में वृत्त को पूरा करने की सीमांत स्थिति में:
– उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग: v_top = √(gL)
– यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत के अनुसार, जब पिंड उच्चतम बिंदु से निम्नतम बिंदु पर आता है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है।
– अतः निम्नतम बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम वेग: v_bottom = √(5gL) होना चाहिए।

Explanation: To complete the loop in vertical circular motion under gravity:
– Minimum velocity at the highest point: v_top = √(gL) (tension becomes zero).
– Applying conservation of mechanical energy between the highest and lowest points, the minimum velocity required at the lowest point is: v_bottom = √(5gL).

प्रश्न 20. उपरोक्त प्रश्न की सीमांत स्थिति में, जब पिंड ऊर्ध्वाधर वृत्त के **उच्चतम बिंदु** पर पहुँचता है, तो डोरी में उत्पन्न तनाव (Tension) का मान कितना होता है?

Q20. In the limiting condition of just completing a vertical circle, the tension in the string when the body reaches the **highest point** is:

A) mg A) mg
B) 3 mg B) 3 mg
C) शून्य (Zero) C) Zero
D) 6 mg D) 6 mg

सही उत्तर: C) शून्य (Zero) Correct Answer: C) Zero

स्पष्टीकरण: ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति के दौरान उच्चतम बिंदु पर बल संतुलन का समीकरण है:
T_top + mg = m v_top² / L ⇒ T_top = m v_top² / L – mg
लूप को पूरा करने की सीमांत स्थिति में v_top = √(gL) होता है।
T_top = m (gL) / L – mg = mg – mg = 0।

Explanation: At the highest point of a vertical circle, the force equation is:
T_top + mg = m v_top² / L.
For the limiting case (critical speed) to just complete the loop, the critical speed at the top is v_top = √(gL).
Substituting this gives: T_top = m(gL)/L – mg = 0.

प्रश्न 21. बल नियतांक (spring constant) k की एक स्प्रिंग को दो बराबर हिस्सों में काट दिया जाता है। प्रत्येक आधे हिस्से का नया स्प्रिंग नियतांक क्या होगा?

Q21. A spring of force constant k is cut into two equal halves. The spring constant of each half is:

A) k / 2 A) k / 2
B) k B) k
C) 2k C) 2k
D) 4k D) 4k

सही उत्तर: C) 2k Correct Answer: C) 2k

स्पष्टीकरण: किसी स्प्रिंग का बल नियतांक (k) उसकी प्राकृतिक लंबाई (L) के व्युत्क्रमानुपाती होता है: k ∝ 1/L ⇒ k × L = नियतांक।
– जब स्प्रिंग को दो बराबर हिस्सों में काटा जाता है, तो प्रत्येक हिस्से की लंबाई मूल लंबाई की आधी (L’ = L / 2) हो जाती है।
– अतः प्रत्येक आधे हिस्से का नया बल नियतांक दोगुना (k’ = 2k) हो जाएगा।

Explanation: The spring constant (k) of a spring is inversely proportional to its natural length (L), meaning k × L = constant.
– If the spring is cut into two equal halves, the length of each half becomes L’ = L / 2.
– Thus, the spring constant of each half must double: k’ = 2k.

प्रश्न 22. एक तार जिसकी लंबाई L है, उसे बल F लगाकर x लंबाई तक खींचा जाता है। खिंचे हुए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy) कितनी होगी?

Q22. A metal wire of length L is stretched by a distance x under a tension F. The elastic potential energy stored in the stretched wire is:

A) F × x A) F × x
B) (1/2) F × x B) (1/2) F × x
C) F / x C) F / x
D) (1/2) F × x² D) (1/2) F × x²

सही उत्तर: B) (1/2) F × x Correct Answer: B) (1/2) F × x

स्पष्टीकरण: तार को खींचने में किया गया कार्य ही उसमें स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
– प्रत्यास्थ सीमा के भीतर औसत खिंचाव बल = (0 + F) / 2 = F / 2
– स्थितिज ऊर्जा = औसत बल × विस्तार = (1/2) F × x।

Explanation: Under elastic limit, the average stretching force is (0 + F)/2 = F / 2.
– The elastic potential energy stored is: U = Average Force × extension = (1/2) F × x.

प्रश्न 23. 5 kg द्रव्यमान की एक वस्तु 10 m/s की चाल से गतिमान है। इसकी चाल को दोगुना (20 m/s) करने के लिए आवश्यक कार्य कितना होगा?

Q23. A body of mass 5 kg is moving with a speed of 10 m/s. The work required to double its speed is:

A) 250 J A) 250 J
B) 500 J B) 500 J
C) 750 J C) 750 J
D) 1000 J D) 1000 J

सही उत्तर: C) 750 J Correct Answer: C) 750 J

स्पष्टीकरण: कार्य-ऊर्जा प्रमेय से, आवश्यक कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:
W = K.E._final – K.E._initial = (1/2) m (v_f² – v_i²)
– W = (1/2) × 5 × (20² – 10²) = 2.5 × (400 – 100)
– W = 2.5 × 300 = 750 J।

Explanation: According to the Work-Energy Theorem:
W = ΔK.E. = (1/2) m (v_f² – v_i²)
– W = (1/2) × 5 × (20² – 10²) = 2.5 × 300 = 750 J.

प्रश्न 24. दो समान द्रव्यमान की बिलियर्ड गेंदें (billiard balls) आपस में तिर्यक प्रत्यास्थ संघट्ट (oblique elastic collision) करती हैं। यदि उनमें से एक गेंद प्रारंभ में विराम में थी, तो संघट्ट के बाद वे दोनों गेंदें:

Q24. Two identical billiard balls undergo an oblique elastic collision. If one of the balls was initially at rest, then after the collision, the two balls will move:

A) एक-दूसरे के विपरीत दिशा में (along same straight line) A) Along the same straight line in opposite directions
B) एक-दूसरे के लंबवत (90° के कोण पर) B) Perpendicular to each other (at 90°)
C) एक-दूसरे के समांतर C) Parallel to each other
D) 45° के कोण पर D) At an angle of 45° to each other

सही उत्तर: B) एक-दूसरे के लंबवत (90° के कोण पर) Correct Answer: B) Perpendicular to each other (at 90°)

स्पष्टीकरण: जब समान द्रव्यमान की दो वस्तुएँ तिर्यक प्रत्यास्थ संघट्ट (oblique elastic collision) करती हैं और उनमें से एक प्रारंभ में विराम में हो, तो संघट्ट के बाद वे हमेशा एक-दूसरे से **90° के कोण (परस्पर लंबवत)** पर गति करती हैं। यह संवेग और ऊर्जा संरक्षण नियमों के संयुक्त विश्लेषण से सिद्ध होता है।

Explanation: For a two-dimensional oblique elastic collision between two identical masses where one is initially at rest, conservation of momentum and mechanical energy dictates that the two bodies will move **perpendicularly (at 90°)** to each other after the collision.

प्रश्न 25. द्रव्यमान m की एक वस्तु नियत शक्ति P द्वारा संचालित की जा रही है। किसी क्षण पर जब वस्तु की चाल v हो, तो उस क्षण वस्तु का त्वरण (acceleration) कितना होगा?

Q25. A body of mass m is driven by a constant power P. The acceleration of the body at any instant when its speed is v is:

A) P / (m × v) A) P / (m × v)
B) (m × v) / P B) (m × v) / P
C) P / (m × v²) C) P / (m × v²)
D) P × v / m D) P × v / m

सही उत्तर: A) P / (m × v) Correct Answer: A) P / (m × v)

स्पष्टीकरण:
– तात्क्षणिक शक्ति: P = F × v
– बल को त्वरण के पदों में रखने पर: F = m × a
– अतः, P = m × a × v
– त्वरण का सूत्र: a = P / (m × v)।

Explanation:
– Instantaneous Power: P = F × v.
– Substituting Force in terms of acceleration: F = m × a.
– Therefore: P = m × a × v.
– Acceleration: a = P / (m × v).