WBSSC SLST Math XI & XII : MECHANICS – I

Correct Answer: (B) 2P cos(α/2)

Explanation: The resultant R of two forces P and Q at an angle α is R² = P² + Q² + 2PQcos(α). If P=Q, then R² = P² + P² + 2P²cos(α) = 2P²(1 + cos(α)). Since 1 + cos(α) = 2cos²(α/2), we have R² = 4P²cos²(α/2). Therefore, R = 2Pcos(α/2).

সঠিক উত্তর: (B) 2P cos(α/2)

ব্যাখ্যা: দুটি বল P এবং Q এর মধ্যে কোণ α হলে লব্ধি R হয় R² = P² + Q² + 2PQcos(α)। যদি P=Q হয়, তবে R² = P² + P² + 2P²cos(α) = 2P²(1 + cos(α))। যেহেতু 1 + cos(α) = 2cos²(α/2), তাই R² = 4P²cos²(α/2)। সুতরাং, R = 2Pcos(α/2)।

Correct Answer: (C) Three coplanar concurrent forces in equilibrium

Explanation: Lami’s theorem states that if three coplanar, concurrent forces acting on a body keep it in equilibrium, then each force is proportional to the sine of the angle between the other two forces.

সঠিক উত্তর: (C) তিনটি সমতলীয় একবিন্দু বল সাম্যাবস্থায় থাকলে

ব্যাখ্যা: ল্যামির উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি কোনো কণার উপর তিনটি সমতলীয় ও একবিন্দু বল ক্রিয়া করে কণাটিকে সাম্যাবস্থায় রাখে, তবে প্রতিটি বলের মান অন্য দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের sine-এর সমানুপাতিক হয়।

Correct Answer: (C) Two equal and unlike parallel forces

Explanation: A couple consists of two parallel forces that are equal in magnitude, opposite in direction, and do not share a line of action. It produces a pure rotation without translation.

সঠিক উত্তর: (C) দুটি সমান ও বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল

ব্যাখ্যা: একটি কাপল দুটি সমান্তরাল বল নিয়ে গঠিত যা মানে সমান, দিকে বিপরীত এবং যাদের ক্রিয়া রেখা ভিন্ন। এটি সরণ ছাড়াই একটি শুদ্ধ ঘূর্ণন সৃষ্টি করে।

Correct Answer: (C) Both (A) and (B).

Explanation: For complete equilibrium of a rigid body under a system of coplanar forces, two conditions must be met: 1. The net force must be zero (no translational motion), which means ΣF = 0. 2. The net moment (torque) about any point must be zero (no rotational motion), which means ΣM = 0.

সঠিক উত্তর: (C) (A) এবং (B) উভয়ই।

ব্যাখ্যা: সমতলীয় বলের অধীনে একটি দৃঢ় বস্তুর সম্পূর্ণ সাম্যাবস্থার জন্য দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে: ১. মোট বল শূন্য হতে হবে (কোনো রৈখিক গতি থাকবে না), অর্থাৎ ΣF = 0। ২. যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে বলগুলির মোমেন্টের বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য হতে হবে (কোনো ঘূর্ণন গতি থাকবে না), অর্থাৎ ΣM = 0।

Correct Answer: (A) Change in momentum

Explanation: According to the impulse-momentum theorem, the impulse (J) applied to an object is equal to the change in its momentum (Δp). Mathematically, J = FΔt = Δp.

সঠিক উত্তর: (A) ভরবেগের পরিবর্তন

ব্যাখ্যা: ঘাত-ভরবেগ উপপাদ্য অনুসারে, কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত ঘাত (J) তার ভরবেগের পরিবর্তনের (Δp) সমান। গাণিতিকভাবে, J = FΔt = Δp।

Correct Answer: (B) Constant

Explanation: From Newton’s second law, F_ext = dp/dt. If F_ext = 0, then dp/dt = 0, which implies that the total momentum p is a constant (conserved).

সঠিক উত্তর: (B) ধ্রুবক

ব্যাখ্যা: নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে, F_ext = dp/dt। যদি F_ext = 0 হয়, তবে dp/dt = 0, যার অর্থ হল মোট ভরবেগ p একটি ধ্রুবক (সংরক্ষিত)।

Correct Answer: (B) The initial and final positions

Explanation: A force is defined as conservative if the work done by it in moving an object between two points is independent of the path taken. It only depends on the start and end points.

সঠিক উত্তর: (B) প্রাথমিক এবং অন্তিম অবস্থানের উপর

ব্যাখ্যা: একটি বলকে সংরক্ষী বলা হয় যদি দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি বস্তুকে সরাতে তার দ্বারা কৃতকার্য পথের উপর নির্ভরশীল না হয়। এটি কেবল শুরু এবং শেষ বিন্দুর উপর নির্ভর করে।

Correct Answer: (D) x√k

Explanation: We know that acceleration a = v(dv/dx). So, v(dv/dx) = kx. Integrating both sides: ∫v dv = ∫kx dx. This gives v²/2 = kx²/2 + C. At x=0, v=0, so C=0. Therefore, v² = kx², which means v = x√k.

সঠিক উত্তর: (D) x√k

ব্যাখ্যা: আমরা জানি ত্বরণ a = v(dv/dx)। সুতরাং, v(dv/dx) = kx। উভয় দিকে সমাকলন করে পাই: ∫v dv = ∫kx dx। এটি থেকে পাওয়া যায় v²/2 = kx²/2 + C। যখন x=0, তখন v=0, তাই C=0। সুতরাং, v² = kx², যার অর্থ v = x√k।

Correct Answer: (C) Negative for a bound orbit (ellipse)

Explanation: For an attractive inverse square law force (like gravity), the nature of the orbit depends on the total energy (E). If E < 0, the particle is in a bound orbit (ellipse or circle). If E = 0, the orbit is a parabola. If E > 0, the orbit is a hyperbola.

সঠিক উত্তর: (C) একটি আবদ্ধ কক্ষপথের (উপবৃত্ত) জন্য ঋণাত্মক

ব্যাখ্যা: একটি আকর্ষণীয় ব্যস্ত-বর্গীয় বলের (যেমন মহাকর্ষ) জন্য, কক্ষপথের প্রকৃতি মোট শক্তির (E) উপর নির্ভর করে। যদি E < 0 হয়, কণাটি একটি আবদ্ধ কক্ষপথে (উপবৃত্ত বা বৃত্ত) থাকে। যদি E = 0 হয়, কক্ষপথটি একটি পরাবৃত্ত। যদি E > 0 হয়, কক্ষপথটি একটি অধিবৃত্ত।

Correct Answer: (B) Nearly equal frequencies

Explanation: Beats are the periodic variation in amplitude at a point that occurs when two waves of slightly different frequencies superpose. The beat frequency is equal to the difference in the frequencies of the two waves.

সঠিক উত্তর: (B) প্রায় সমান কম্পাঙ্ক

ব্যাখ্যা: বীট হলো সামান্য ভিন্ন কম্পাঙ্কের দুটি তরঙ্গের উপরিপাতনের ফলে কোনো বিন্দুতে বিস্তারের পর্যায়ক্রমিক পরিবর্তন। বীট কম্পাঙ্ক তরঙ্গ দুটির কম্পাঙ্কের পার্থক্যের সমান।

Correct Answer: (B) Decreases exponentially to zero

Explanation: The equation of motion is m(dv/dt) = -kv. Separating variables and integrating gives v = v₀e^(-kt/m), where v₀ is the initial velocity. This shows that the velocity decreases exponentially over time and approaches zero.

সঠিক উত্তর: (B) সূচকীয়ভাবে কমে শূন্য হয়ে যায়

ব্যাখ্যা: গতির সমীকরণটি হল m(dv/dt) = -kv। চলক পৃথকীকরণ এবং সমাকলন করলে পাওয়া যায় v = v₀e^(-kt/m), যেখানে v₀ হল প্রাথমিক বেগ। এটি দেখায় যে বেগ সময়ের সাথে সূচকীয়ভাবে হ্রাস পায় এবং শূন্যের দিকে অগ্রসর হয়।

Correct Answer: (B) The acceleration of the object is zero

Explanation: Terminal velocity is the constant speed that a freely falling object eventually reaches when the resistance of the medium (like air) through which it is falling equals the force of gravity. At this point, the net force is zero, and thus the acceleration is zero.

সঠিক উত্তর: (B) বস্তুর ত্বরণ শূন্য হয়

ব্যাখ্যা: প্রান্তীয় বেগ হল সেই ধ্রুবক গতি যা একটি অবাধে পতনশীল বস্তু অর্জন করে যখন মাধ্যমের (যেমন বায়ু) প্রতিরোধ বল মহাকর্ষ বলের সমান হয়। এই অবস্থায়, বস্তুর উপর মোট বল শূন্য হয়, এবং তাই ত্বরণও শূন্য হয়।

Correct Answer: (B) 1

Explanation: The coefficient of restitution ‘e’ is the ratio of the relative velocity of separation to the relative velocity of approach. For a perfectly elastic collision, kinetic energy is conserved, and e = 1. For a perfectly inelastic collision, the objects stick together, and e = 0.

সঠিক উত্তর: (B) 1

ব্যাখ্যা: স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক ‘e’ হল বিচ্ছেদের আপেক্ষিক বেগ এবং মিলনের আপেক্ষিক বেগের অনুপাত। একটি পূর্ণ স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের জন্য, গতিশক্তি সংরক্ষিত থাকে এবং e = 1। একটি পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের জন্য, বস্তুগুলি একসাথে লেগে থাকে এবং e = 0।

Correct Answer: (C) Linear Momentum

Explanation: In any type of collision (elastic or inelastic), as long as there are no external forces acting on the system of two bodies, the total linear momentum of the system is always conserved. Kinetic energy is only conserved in perfectly elastic collisions.

সঠিক উত্তর: (C) রৈখিক ভরবেগ

ব্যাখ্যা: যেকোনো ধরনের সংঘর্ষে (স্থিতিস্থাপক বা অস্থিতিস্থাপক), যতক্ষণ পর্যন্ত দুটি বস্তুর সিস্টেমের উপর কোনো বাহ্যিক বল কাজ না করে, সিস্টেমের মোট রৈখিক ভরবেগ সর্বদা সংরক্ষিত থাকে। গতিশক্তি শুধুমাত্র পূর্ণ স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে সংরক্ষিত থাকে।

Correct Answer: (A) Radial component = ṙ, Transverse component = rθ̇

Explanation: The position vector in polar coordinates is r = rr̂. Differentiating with respect to time, the velocity vector v = dr/dt = ṙr̂ + r(dr̂/dt). Since dr̂/dt = θ̇θ̂, the velocity is v = ṙr̂ + rθ̇θ̂. So, the radial component is ṙ and the transverse component is rθ̇.

সঠিক উত্তর: (A) ব্যাসার্ধীয় উপাংশ = ṙ, অনুপ্রস্থ উপাংশ = rθ̇

ব্যাখ্যা: পোলার স্থানাঙ্কে অবস্থান ভেক্টর হল r = rr̂। সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করে বেগ ভেক্টর v = dr/dt = ṙr̂ + r(dr̂/dt) পাওয়া যায়। যেহেতু dr̂/dt = θ̇θ̂, বেগ হল v = ṙr̂ + rθ̇θ̂। সুতরাং, ব্যাসার্ধীয় উপাংশ হল ṙ এবং অনুপ্রস্থ উপাংশ হল rθ̇।

Correct Answer: (A) Directed towards a fixed point and its magnitude depends only on the distance from that point.

Explanation: A force is called a central force if it is always directed towards or away from a fixed point (the center of force) and its magnitude is a function only of the distance ‘r’ from that point. F(r) = f(r)r̂.

সঠিক উত্তর: (A) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দিকে নির্দেশিত এবং এর মান শুধুমাত্র সেই বিন্দু থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে।

ব্যাখ্যা: একটি বলকে কেন্দ্রীয় বল বলা হয় যদি এটি সর্বদা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর (বলের কেন্দ্র) দিকে বা থেকে দূরে নির্দেশিত হয় এবং এর মান শুধুমাত্র সেই বিন্দু থেকে ‘r’ দূরত্বের উপর নির্ভরশীল একটি ফাংশন হয়। F(r) = f(r)r̂।

Correct Answer: (B) Angular momentum

Explanation: In a central force field, the torque about the center of force is always zero (since τ = r × F and r is parallel to F). Since torque is the rate of change of angular momentum (τ = dL/dt), a zero torque implies that the angular momentum (L) is constant, i.e., conserved.

সঠিক উত্তর: (B) কৌণিক ভরবেগ

ব্যাখ্যা: একটি কেন্দ্রীয় বল ক্ষেত্রে, বল কেন্দ্রের সাপেক্ষে টর্ক সর্বদা শূন্য হয় (যেহেতু τ = r × F এবং r, F-এর সমান্তরাল)। যেহেতু টর্ক হল কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার (τ = dL/dt), একটি শূন্য টর্ক বোঝায় যে কৌণিক ভরবেগ (L) ধ্রুবক, অর্থাৎ সংরক্ষিত।

Correct Answer: (B) Magnitude of velocity (speed)

Explanation: In circular motion, the total acceleration has two components. The tangential acceleration (a_t = dv/dt) is along the tangent and changes the speed of the particle. The normal or centripetal acceleration (a_n = v²/r) is directed towards the center and changes the direction of the velocity.

সঠিক উত্তর: (B) বেগের মান (দ্রুতি)

ব্যাখ্যা: বৃত্তাকার গতিতে মোট ত্বরণের দুটি উপাংশ থাকে। স্পর্শকীয় ত্বরণ (a_t = dv/dt) স্পর্শক বরাবর কাজ করে এবং কণার দ্রুতি পরিবর্তন করে। অভিলম্ব বা কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ (a_n = v²/r) কেন্দ্রের দিকে নির্দেশিত হয় এবং বেগের দিক পরিবর্তন করে।

Correct Answer: (D) Directly proportional to the normal reaction

Explanation: The laws of static friction state that the force of limiting friction (f_s,max) is directly proportional to the magnitude of the normal reaction (N) between the surfaces in contact. The constant of proportionality is the coefficient of static friction (μ_s). So, f_s,max = μ_s * N.

সঠিক উত্তর: (D) অভিলম্ব প্রতিক্রিয়ার সরাসরি সমানুপাতিক

ব্যাখ্যা: স্থিত ঘর্ষণের সূত্র অনুযায়ী, সীমান্ত ঘর্ষণ বল (f_s,max) সংস্পর্শে থাকা তলগুলির মধ্যে অভিলম্ব প্রতিক্রিয়ার (N) মানের সরাসরি সমানুপাতিক। সমানুপাতিক ধ্রুবকটি হল স্থিত ঘর্ষণ গুণাঙ্ক (μ_s)। সুতরাং, f_s,max = μ_s * N।

Correct Answer: (A) 3a/8

Explanation: The center of gravity of a uniform solid hemisphere is located on its axis of symmetry at a distance of 3a/8 from the center of its flat circular base (diametral plane). This can be found by integration.

সঠিক উত্তর: (A) 3a/8

ব্যাখ্যা: একটি সুষম নিরেট অর্ধগোলকের ভারকেন্দ্র তার প্রতিসাম্য অক্ষের উপর, তার সমতল বৃত্তাকার ভূমি (ব্যাসীয় তল) থেকে 3a/8 দূরত্বে অবস্থিত। এটি সমাকলনের মাধ্যমে নির্ণয় করা যায়।

Correct Answer: (C) Algebraic sum of the moments of the forces

Explanation: Varignon’s theorem, or the principle of moments, states that the moment of a resultant force about any point is equal to the algebraic sum of the moments of its components about the same point.

সঠিক উত্তর: (C) বল দুটির মোমেন্টের বীজগাণিতিক যোগফলের সমান

ব্যাখ্যা: ভারিনিওঁর উপপাদ্য বা মোমেন্টের নীতি অনুযায়ী, কোনো বিন্দুর সাপেক্ষে একটি লব্ধি বলের মোমেন্ট, ওই একই বিন্দুর সাপেক্ষে তার উপাংশ বলগুলির মোমেন্টের বীজগাণিতিক যোগফলের সমান।

Correct Answer: (B) The rate of doing work

Explanation: Power (P) is the rate at which work (W) is done or energy is transferred. P = dW/dt. It is also given by the dot product of force (F) and velocity (v), P = F ⋅ v. While (D) is a formula for power, (B) is its fundamental definition.

সঠিক উত্তর: (B) কার্য করার হার

ব্যাখ্যা: ক্ষমতা (P) হল কার্য (W) করার বা শক্তি স্থানান্তরের হার। P = dW/dt। এটি বল (F) এবং বেগের (v) ডট গুণফল দ্বারাও প্রকাশ করা হয়, P = F ⋅ v। যদিও (D) ক্ষমতার একটি সূত্র, (B) হল এর মৌলিক সংজ্ঞা।

Correct Answer: (C) Inertia

Explanation: Newton’s first law, also known as the law of inertia, states that an object will remain at rest or in uniform motion in a straight line unless acted upon by an external force. This property of an object to resist changes in its state of motion is called inertia.

সঠিক উত্তর: (C) জাড্য (Inertia)

ব্যাখ্যা: নিউটনের প্রথম গতিসূত্র, যা জাড্যের সূত্র নামেও পরিচিত, বলে যে বাহ্যিক কোনো বল প্রযুক্ত না হলে স্থির বস্তু চিরকাল স্থির থাকবে এবং সচল বস্তু চিরকাল সমবেগে সরলরেখায় চলতে থাকবে। বস্তুর এই ধর্ম যা তার গতির অবস্থার পরিবর্তনকে বাধা দেয়, তাকে জাড্য বলে।

Correct Answer: (D) Damping force

Explanation: In the equation of a damped forced oscillator: – m(d²x/dt²) is the inertial term (mass × acceleration). – b(dx/dt) is the damping force, proportional to velocity. – kx is the restoring force (Hooke’s Law). – F₀cos(ωt) is the external periodic driving force.

সঠিক উত্তর: (D) অবমন্দক বল (Damping force)

ব্যাখ্যা: একটি অবমন্দিত আরোপিত স্পন্দকের সমীকরণে: – m(d²x/dt²) হল জাড্য পদ (ভর × ত্বরণ)। – b(dx/dt) হল অবমন্দক বল, যা বেগের সমানুপাতিক। – kx হল প্রত্যয়নী বল (হুকের সূত্র)। – F₀cos(ωt) হল বাহ্যিক পর্যায়ক্রমিক চালক বল।

Correct Answer: (C) The sum of kinetic, gravitational potential, and elastic potential energy

Explanation: The total mechanical energy of the system consists of three parts: the kinetic energy of the particle (due to its motion), the gravitational potential energy (due to its height), and the elastic potential energy stored in the string when it is stretched.

সঠিক উত্তর: (C) গতিশক্তি, মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি, এবং স্থিতিস্থাপক স্থিতিশক্তির যোগফল

ব্যাখ্যা: সিস্টেমের মোট যান্ত্রিক শক্তি তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত: কণার গতিশক্তি (তার গতির কারণে), মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি (তার উচ্চতার কারণে), এবং সুতোটি প্রসারিত হলে তাতে সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক স্থিতিশক্তি।

Correct Answer: (A) ½(m₁m₂ / (m₁+m₂)) * (u₁ – u₂)² * (1 – e²)

Explanation: The loss in kinetic energy (ΔK.E.) during a direct impact is given by the formula ΔK.E. = ½μ(u_rel)²(1 – e²), where μ = m₁m₂ / (m₁+m₂) is the reduced mass, u_rel = u₁ – u₂ is the relative velocity of approach, and ‘e’ is the coefficient of restitution. For an inelastic collision, e < 1, so there is a loss of K.E.

সঠিক উত্তর: (A) ½(m₁m₂ / (m₁+m₂)) * (u₁ – u₂)² * (1 – e²)

ব্যাখ্যা: একটি প্রত্যক্ষ সংঘর্ষের সময় গতিশক্তির হ্রাস (ΔK.E.) সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়: ΔK.E. = ½μ(u_rel)²(1 – e²), যেখানে μ = m₁m₂ / (m₁+m₂) হল হ্রাসপ্রাপ্ত ভর (reduced mass), u_rel = u₁ – u₂ হল মিলনের আপেক্ষিক বেগ, এবং ‘e’ হল স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক। একটি অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের জন্য, e < 1, তাই গতিশক্তির হ্রাস ঘটে।

Correct Answer: (C) aₓ = d²x/dt², aᵧ = d²y/dt²

Explanation: The position vector is r = xi + yj. The velocity is v = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j. The acceleration is a = dv/dt = (d²x/dt²)i + (d²y/dt²)j. Therefore, the components are aₓ = d²x/dt² and aᵧ = d²y/dt².

সঠিক উত্তর: (C) aₓ = d²x/dt², aᵧ = d²y/dt²

ব্যাখ্যা: অবস্থান ভেক্টর হল r = xi + yj। বেগ হল v = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j। ত্বরণ হল a = dv/dt = (d²x/dt²)i + (d²y/dt²)j। অতএব, উপাংশগুলি হল aₓ = d²x/dt² এবং aᵧ = d²y/dt²।

Correct Answer: (C) Angular momentum

Explanation: Kepler’s second law states that a line segment joining a planet and the Sun sweeps out equal areas during equal intervals of time. This is equivalent to the statement that the areal velocity (dA/dt) is constant. Areal velocity is directly proportional to the angular momentum (dA/dt = L / 2m). Thus, the law of areas is a direct consequence of the conservation of angular momentum for a central force.

সঠিক উত্তর: (C) কৌণিক ভরবেগ

ব্যাখ্যা: কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র বলে যে একটি গ্রহ এবং সূর্যকে সংযোগকারী রেখাংশ সমান সময়ের ব্যবধানে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এটি ক্ষেত্রীয় বেগের (dA/dt) ধ্রুবক থাকার সমতুল্য। ক্ষেত্রীয় বেগ কৌণিক ভরবেগের সরাসরি সমানুপাতিক (dA/dt = L / 2m)। সুতরাং, ক্ষেত্রফলের সূত্রটি কেন্দ্রীয় বলের জন্য কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি।

Correct Answer: (B) Action of resultant reaction about the normal reaction

Explanation: The cone of friction is an imaginary cone with its vertex at the point of contact, its axis along the direction of the normal reaction, and its semi-vertical angle equal to the angle of friction (λ). The resultant reaction (vector sum of normal reaction and friction) always lies on the surface of this cone when motion is impending.

সঠিক উত্তর: (B) লব্ধি প্রতিক্রিয়াকে অভিলম্ব প্রতিক্রিয়ার চারপাশে ঘুরিয়ে

ব্যাখ্যা: ঘর্ষণ শঙ্কু হল একটি কাল্পনিক শঙ্কু যার শীর্ষবিন্দু সংস্পর্শ বিন্দুতে, অক্ষ অভিলম্ব প্রতিক্রিয়ার দিকে এবং অর্ধ-শীর্ষ কোণ ঘর্ষণ কোণের (λ) সমান। যখন গতি আসন্ন হয়, তখন লব্ধি প্রতিক্রিয়া (অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া এবং ঘর্ষণের ভেক্টর যোগফল) সর্বদা এই শঙ্কুর পৃষ্ঠে অবস্থান করে।

Correct Answer: (C) ∫x dm / ∫dm

Explanation: The x-coordinate of the center of gravity (or center of mass for uniform gravity) is the weighted average of the x-coordinates of all infinitesimal mass elements ‘dm’ that make up the body. It is calculated by the integral of x*dm over the entire body, divided by the integral of dm (which is the total mass M). So, X_cg = (∫x dm) / M.

সঠিক উত্তর: (C) ∫x dm / ∫dm

ব্যাখ্যা: ভারকেন্দ্রের x-স্থানাঙ্ক (অথবা সুষম মহাকর্ষের জন্য ভরকেন্দ্র) হল বস্তুটি গঠনকারী সমস্ত ক্ষুদ্র ভর উপাদান ‘dm’-এর x-স্থানাঙ্কের ভারযুক্ত গড়। এটি সমগ্র বস্তুর উপর x*dm-এর সমাকলনকে dm-এর সমাকলন (যা মোট ভর M) দ্বারা ভাগ করে গণনা করা হয়। সুতরাং, X_cg = (∫x dm) / M।

Correct Answer: (C) 120°

Explanation: Let the forces be P and Q=2P, and the angle between them be α. Let the resultant R be perpendicular to P. The angle θ that the resultant makes with force P is given by tan(θ) = (Q sinα) / (P + Q cosα). Here, θ=90°, so tan(90°) is undefined. This means the denominator must be zero. P + Q cosα = 0 => P + 2P cosα = 0 => cosα = -1/2. Therefore, α = 120°.

সঠিক উত্তর: (C) 120°

ব্যাখ্যা: ধরা যাক বল দুটি P এবং Q=2P, এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ α। ধরা যাক লব্ধি R, P-এর উপর লম্ব। P বলের সাথে লব্ধির কোণ θ হলে, tan(θ) = (Q sinα) / (P + Q cosα) হয়। এখানে, θ=90°, তাই tan(90°) অসংজ্ঞাত। এর মানে হর অবশ্যই শূন্য হবে। P + Q cosα = 0 => P + 2P cosα = 0 => cosα = -1/2। অতএব, α = 120°।

Correct Answer: (A) Its change in kinetic energy

Explanation: The work-energy theorem is a fundamental principle of dynamics. It states that the work done by the sum of all forces (the net force) acting on a particle equals the change in the kinetic energy of that particle. W_net = ΔK = K_final – K_initial.

সঠিক উত্তর: (A) তার গতিশক্তির পরিবর্তন

ব্যাখ্যা: কার্য-শক্তি উপপাদ্য হল গতিবিদ্যার একটি মৌলিক নীতি। এটি বলে যে একটি কণার উপর ক্রিয়াশীল সমস্ত বলের যোগফল (মোট বল) দ্বারা কৃত কার্য সেই কণার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান। W_net = ΔK = K_final – K_initial।

Correct Answer: (C) v = v₀ * e^(-kx)

Explanation: The equation of motion is m * a = -c*v². Using a = v(dv/dx), we get m * v(dv/dx) = -c*v². This simplifies to (dv/v) = -(c/m)dx. Integrating from v₀ to v and 0 to x gives ln(v/v₀) = -(c/m)x. So, v = v₀ * e^(-(c/m)x). Letting k = c/m, we get v = v₀ * e^(-kx).

সঠিক উত্তর: (C) v = v₀ * e^(-kx)

ব্যাখ্যা: গতির সমীকরণটি হল m * a = -c*v²। a = v(dv/dx) ব্যবহার করে, আমরা পাই m * v(dv/dx) = -c*v²। এটি সরল করলে হয় (dv/v) = -(c/m)dx। v₀ থেকে v এবং 0 থেকে x পর্যন্ত সমাকলন করলে ln(v/v₀) = -(c/m)x পাওয়া যায়। সুতরাং, v = v₀ * e^(-(c/m)x)। k = c/m ধরলে, আমরা পাই v = v₀ * e^(-kx)।

Correct Answer: (A) Less than the range in vacuum

Explanation: Air resistance (or any medium resistance) acts as a dissipative force, opposing the motion. This force reduces both the horizontal and vertical components of velocity throughout the flight. As a result, the time of flight, maximum height, and horizontal range are all reduced compared to projectile motion in a vacuum.

সঠিক উত্তর: (A) শূন্যস্থানে পাল্লার চেয়ে কম

ব্যাখ্যা: বায়ুর বাধা (বা যেকোনো মাধ্যমের বাধা) একটি অপচয়ী বল হিসাবে কাজ করে, যা গতির বিরোধিতা করে। এই বল উড্ডয়নের সময় বেগের অনুভূমিক এবং উল্লম্ব উভয় উপাংশকেই হ্রাস করে। ফলস্বরূপ, উড্ডয়নকাল, সর্বোচ্চ উচ্চতা এবং অনুভূমিক পাল্লা সবই শূন্যস্থানে প্রক্ষেপকের গতির তুলনায় হ্রাস পায়।

Correct Answer: (C) rω²

Explanation: The normal (or centripetal) acceleration is given by a_n = v²/r. Since the linear velocity v is related to the angular velocity ω by v = rω, we can substitute this into the acceleration formula: a_n = (rω)²/r = r²ω²/r = rω².

সঠিক উত্তর: (C) rω²

ব্যাখ্যা: অভিলম্ব (বা কেন্দ্রাভিমুখী) ত্বরণ a_n = v²/r দ্বারা দেওয়া হয়। যেহেতু রৈখিক বেগ v এবং কৌণিক বেগ ω এর সম্পর্ক v = rω, তাই আমরা এই মানটি ত্বরণের সূত্রে প্রতিস্থাপন করতে পারি: a_n = (rω)²/r = r²ω²/r = rω²।

Correct Answer: (B) 18 J

Explanation: The displacement vector d is the final position minus the initial position: d = (3i + 5j) – (1i + 2j) = 2i + 3j. Work done W is the dot product of force F and displacement d. W = F ⋅ d = (3i + 4j) ⋅ (2i + 3j) = (3)(2) + (4)(3) = 6 + 12 = 18 J.

সঠিক উত্তর: (B) 18 J

ব্যাখ্যা: সরণ ভেক্টর d হল অন্তিম অবস্থান বিয়োগ প্রাথমিক অবস্থান: d = (3i + 5j) – (1i + 2j) = 2i + 3j। কৃত কার্য W হল বল F এবং সরণ d-এর ডট গুণফল। W = F ⋅ d = (3i + 4j) ⋅ (2i + 3j) = (3)(2) + (4)(3) = 6 + 12 = 18 J।

Correct Answer: (B) Independent of the point about which it is taken

Explanation: A key property of a couple is that its moment is the same about any point in its plane. The moment is simply the magnitude of one of the forces multiplied by the perpendicular distance between their lines of action (the arm of the couple). This makes a couple a “free vector”.

সঠিক উত্তর: (B) যে বিন্দুর সাপেক্ষে এটি নেওয়া হয় তার উপর নির্ভরশীল নয়

ব্যাখ্যা: একটি কাপলের একটি প্রধান বৈশিষ্ট্য হল যে তার তলের যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে এর মোমেন্ট একই থাকে। মোমেন্ট হল কেবল একটি বলের মান এবং তাদের ক্রিয়া রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের (কাপলের বাহু) গুণফল। এটি কাপলকে একটি “মুক্ত ভেক্টর” করে তোলে।

Correct Answer: (B) Short time with large magnitude

Explanation: An impulsive force is a very large force that acts over a very short interval of time, causing a finite change in momentum. Examples include a bat hitting a ball or a hammer striking a nail.

সঠিক উত্তর: (B) অল্প সময় ধরে কিন্তু এর মান খুব বেশি

ব্যাখ্যা: একটি ঘাতবল হল একটি খুব বড় মানের বল যা খুব অল্প সময়ের ব্যবধানে কাজ করে এবং একটি সসীম ভরবেগের পরিবর্তন ঘটায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ব্যাট দিয়ে বলকে আঘাত করা বা হাতুড়ি দিয়ে পেরেকে আঘাত করা।

Correct Answer: (D) A plane curve

Explanation: Since angular momentum (L = r × p) is conserved under a central force, the vector L is constant in both magnitude and direction. The position vector r and momentum vector p must always be perpendicular to the constant vector L. This confines the motion to a plane whose normal is the direction of L.

সঠিক উত্তর: (D) একটি সমতলীয় বক্ররেখা

ব্যাখ্যা: যেহেতু কেন্দ্রীয় বলের অধীনে কৌণিক ভরবেগ (L = r × p) সংরক্ষিত থাকে, তাই L ভেক্টরটির মান এবং দিক উভয়ই ধ্রুবক। অবস্থান ভেক্টর r এবং ভরবেগ ভেক্টর p অবশ্যই সর্বদা ধ্রুবক ভেক্টর L-এর উপর লম্ব হবে। এটি গতিকে একটি তলে সীমাবদ্ধ করে যার অভিলম্ব হল L-এর দিক।

Correct Answer: (C) tan(λ)

Explanation: The angle of friction (λ) is the angle between the resultant reaction (of normal force and friction) and the normal force, when the object is on the verge of moving. From the force diagram, tan(λ) = (Force of friction) / (Normal reaction) = f_s,max / N = μ_s * N / N = μ_s.

সঠিক উত্তর: (C) tan(λ)

ব্যাখ্যা: ঘর্ষণ কোণ (λ) হল লব্ধি প্রতিক্রিয়া (অভিলম্ব বল এবং ঘর্ষণের) এবং অভিলম্ব বলের মধ্যবর্তী কোণ, যখন বস্তুটি গতির উপক্রম করে। বলের চিত্র থেকে, tan(λ) = (ঘর্ষণ বল) / (অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া) = f_s,max / N = μ_s * N / N = μ_s।

Correct Answer: (A) 2r/π

Explanation: For a thin uniform semicircular wire, the center of gravity is located on its axis of symmetry at a distance of y_cg = 2r/π from the diameter. This is derived using integration: y_cg = (∫y ds) / (∫ds).

সঠিক উত্তর: (A) 2r/π

ব্যাখ্যা: একটি পাতলা সুষম অর্ধবৃত্তাকার তারের জন্য, ভারকেন্দ্রটি তার প্রতিসাম্য অক্ষে, ব্যাস থেকে y_cg = 2r/π দূরত্বে অবস্থিত। এটি সমাকলন ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়: y_cg = (∫y ds) / (∫ds)।

Correct Answer: (C) Maximum

Explanation: The loss of kinetic energy in a collision is proportional to (1 – e²). This loss is maximized when e is minimized. The minimum possible value for e is 0, which corresponds to a perfectly inelastic collision where the objects stick together. Thus, the K.E. loss is maximum.

সঠিক উত্তর: (C) সর্বাধিক

ব্যাখ্যা: একটি সংঘর্ষে গতিশক্তির হ্রাস (1 – e²) এর সমানুপাতিক। এই হ্রাস সর্বাধিক হয় যখন e সর্বনিম্ন হয়। e-এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান হল 0, যা একটি পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ যেখানে বস্তুগুলি একসাথে লেগে থাকে। সুতরাং, গতিশক্তির হ্রাস সর্বাধিক হয়।

Correct Answer: (B) rθ̈ + 2ṙθ̇

Explanation: Differentiating the velocity vector v = ṙr̂ + rθ̇θ̂ with respect to time gives the acceleration vector a. The component along the transverse direction θ̂ is the transverse acceleration, a_θ = rθ̈ + 2ṙθ̇. The term 2ṙθ̇ is the Coriolis acceleration.

সঠিক উত্তর: (B) rθ̈ + 2ṙθ̇

ব্যাখ্যা: বেগ ভেক্টর v = ṙr̂ + rθ̇θ̂ কে সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করলে ত্বরণ ভেক্টর a পাওয়া যায়। অনুপ্রস্থ দিক θ̂ বরাবর উপাংশটি হল অনুপ্রস্থ ত্বরণ, a_θ = rθ̈ + 2ṙθ̇। 2ṙθ̇ পদটি হল কোরিওলিস ত্বরণ।

Correct Answer: (C) A single force or a single couple, or be in equilibrium

Explanation: Any system of coplanar forces can be reduced to a single resultant force R acting at an arbitrary point O, and a resultant couple G. If R ≠ 0, this system can be further reduced to just a single force R acting along a specific line. If R = 0 but G ≠ 0, the system reduces to a single couple. If both R = 0 and G = 0, the system is in equilibrium.

সঠিক উত্তর: (C) একটি একক বল, বা একটি একক কাপল, অথবা সাম্যাবস্থায় থাকতে পারে

ব্যাখ্যা: যেকোনো সমতলীয় বলের সিস্টেমকে একটি স্বেচ্ছাসেবী বিন্দু O-তে একটি একক লব্ধি বল R এবং একটি লব্ধি কাপল G-তে পর্যবসিত করা যেতে পারে। যদি R ≠ 0 হয়, তবে এই সিস্টেমটিকে আরও সরল করে একটি নির্দিষ্ট রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল কেবল একটি একক বল R-এ পর্যবসিত করা যায়। যদি R = 0 কিন্তু G ≠ 0 হয়, সিস্টেমটি একটি একক কাপলে পরিণত হয়। যদি R = 0 এবং G = 0 উভয়ই হয়, সিস্টেমটি সাম্যাবস্থায় থাকে।

Correct Answer: (A) ∫f(t) dt + C

Explanation: Acceleration is the rate of change of velocity, a = dv/dt. Therefore, to find the velocity from acceleration, we must integrate the acceleration function with respect to time. dv = a(t) dt => v(t) = ∫a(t) dt + C, where C is the constant of integration determined by initial conditions.

সঠিক উত্তর: (A) ∫f(t) dt + C

ব্যাখ্যা: ত্বরণ হল বেগের পরিবর্তনের হার, a = dv/dt। অতএব, ত্বরণ থেকে বেগ খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের সময়ের সাপেক্ষে ত্বরণ ফাংশনকে সমাকলন করতে হবে। dv = a(t) dt => v(t) = ∫a(t) dt + C, যেখানে C হল সমাকলন ধ্রুবক যা প্রাথমিক শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়।

Correct Answer: (A) d²u/dθ² + u = P / (h²u²)

Explanation: This is the standard differential equation for the path of a particle under a central force P per unit mass. ‘h’ is the constant angular momentum per unit mass (h = r²θ̇), and u = 1/r. This equation relates the shape of the orbit (u as a function of θ) to the force law P.

সঠিক উত্তর: (A) d²u/dθ² + u = P / (h²u²)

ব্যাখ্যা: এটি প্রতি একক ভরে P কেন্দ্রীয় বলের অধীনে একটি কণার পথের জন্য আদর্শ অবকল সমীকরণ। ‘h’ হল প্রতি একক ভরে ধ্রুবক কৌণিক ভরবেগ (h = r²θ̇), এবং u = 1/r। এই সমীকরণটি কক্ষপথের আকৃতি (θ-এর ফাংশন হিসাবে u) এবং বলের সূত্রের (P) মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

Correct Answer: (B) At its lowest possible position

Explanation: For stable equilibrium, any small displacement of the body must raise its center of gravity. This means its potential energy increases. When the displacing force is removed, the body tends to return to its original position to minimize its potential energy. This happens when the C.G. is at its lowest possible point.

সঠিক উত্তর: (B) তার সর্বনিম্ন সম্ভাব্য অবস্থানে থাকতে হবে

ব্যাখ্যা: সুস্থির সাম্যাবস্থার জন্য, বস্তুর যেকোনো সামান্য সরণে তার ভারকেন্দ্রকে অবশ্যই উপরে তুলতে হবে। এর মানে হল তার স্থিতিশক্তি বৃদ্ধি পাবে। যখন সরণ সৃষ্টিকারী বল সরিয়ে নেওয়া হয়, বস্তুটি তার স্থিতিশক্তিকে সর্বনিম্ন করার জন্য তার মূল অবস্থানে ফিরে আসার প্রবণতা দেখায়। এটি ঘটে যখন ভারকেন্দ্র তার সর্বনিম্ন সম্ভাব্য বিন্দুতে থাকে।

Correct Answer: (B) Less than

Explanation: The force required to start a body moving (overcoming static friction) is typically greater than the force required to keep it moving at a constant velocity (overcoming kinetic friction). Therefore, the coefficient of kinetic friction (μ_k) is usually less than the coefficient of static friction (μ_s).

সঠিক উত্তর: (B) কম

ব্যাখ্যা: একটি বস্তুকে গতিশীল করতে প্রয়োজনীয় বল (স্থিত ঘর্ষণকে অতিক্রম করা) সাধারণত এটিকে ধ্রুবক বেগে চলমান রাখতে প্রয়োজনীয় বলের (চল ঘর্ষণকে অতিক্রম করা) চেয়ে বেশি হয়। অতএব, চল ঘর্ষণ গুণাঙ্ক (μ_k) সাধারণত স্থিত ঘর্ষণ গুণাঙ্ক (μ_s) থেকে কম হয়।

Correct Answer: (A) 2π√(m/k)

Explanation: For a simple harmonic oscillator, the angular frequency ω is given by ω = √(k/m). The time period T is related to the angular frequency by T = 2π/ω. Substituting the value of ω, we get T = 2π / √(k/m) = 2π√(m/k).

সঠিক উত্তর: (A) 2π√(m/k)

ব্যাখ্যা: একটি সরল ছন্দিত স্পন্দকের জন্য, কৌণিক কম্পাঙ্ক ω = √(k/m) দ্বারা দেওয়া হয়। পর্যায়কাল T কৌণিক কম্পাঙ্কের সাথে T = 2π/ω দ্বারা সম্পর্কিত। ω-এর মান প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই T = 2π / √(k/m) = 2π√(m/k)।

Correct Answer: (A) mg/k

Explanation: Terminal velocity (v_t) is reached when the net force is zero. The downward force is gravity (mg) and the upward resistive force is kv_t. For equilibrium, mg = kv_t. Therefore, the terminal velocity v_t = mg/k.

সঠিক উত্তর: (A) mg/k

ব্যাখ্যা: প্রান্তীয় বেগ (v_t) অর্জিত হয় যখন মোট বল শূন্য হয়। নিম্নগামী বল হল অভিকর্ষ (mg) এবং ঊর্দ্ধগামী বাধাদানকারী বল হল kv_t। সাম্যাবস্থার জন্য, mg = kv_t। অতএব, প্রান্তীয় বেগ v_t = mg/k।

Correct Answer: (B) F sinθ, F cosθ

Explanation: This is the standard method of resolving a vector. If a force F is resolved into two mutually perpendicular components, and one component makes an angle θ with F, then that component has magnitude F cosθ (the adjacent component). The other component, perpendicular to the first, will have magnitude F sinθ.

সঠিক উত্তর: (B) F sinθ, F cosθ

ব্যাখ্যা: এটি একটি ভেক্টরকে উপাংশে বিভক্ত করার আদর্শ পদ্ধতি। যদি একটি বল F-কে দুটি পরস্পর লম্ব উপাংশে বিভক্ত করা হয়, এবং একটি উপাংশ F-এর সাথে θ কোণ তৈরি করে, তবে সেই উপাংশের মান হয় F cosθ (সংলগ্ন উপাংশ)। অন্য উপাংশটি, যা প্রথমটির উপর লম্ব, তার মান হবে F sinθ।

Correct Answer: (B) F = dp/dt

Explanation: Newton’s second law states that the rate of change of momentum of a body is directly proportional to the applied force and takes place in the direction of the force. In mathematical terms, F = dp/dt. For a constant mass, this simplifies to the more common form F = m(dv/dt) = ma.

সঠিক উত্তর: (B) F = dp/dt

ব্যাখ্যা: নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র বলে যে কোনো বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক এবং বলের দিকেই ঘটে। গাণিতিকভাবে, F = dp/dt। একটি ধ্রুবক ভরের জন্য, এটি আরও সাধারণ রূপ F = m(dv/dt) = ma-তে সরলীকৃত হয়।

Correct Answer: (B) An apse (point of minimum or maximum distance)

Explanation: An apse is a point on a central orbit where the distance from the center of force is a maximum (apoapsis) or a minimum (periapsis). At an apse, the velocity vector is perpendicular to the radius vector. The line connecting the center of force to an apse is called an apse line or apsidal line.

সঠিক উত্তর: (B) একটি অ্যাপস (সর্বনিম্ন বা সর্বোচ্চ দূরত্বের বিন্দু)

ব্যাখ্যা: অ্যাপস হল একটি কেন্দ্রীয় কক্ষপথের উপর এমন একটি বিন্দু যেখানে বলের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব সর্বাধিক (অ্যাপোঅ্যাপসিস) বা সর্বনিম্ন (পেরিঅ্যাপসিস) হয়। একটি অ্যাপসে, বেগ ভেক্টরটি ব্যাসার্ধ ভেক্টরের উপর লম্ব হয়। বলের কেন্দ্র এবং একটি অ্যাপস সংযোগকারী রেখাকে অ্যাপস লাইন বা অ্যাপসিডাল লাইন বলা হয়।

Correct Answer: (C) Less than or equal to the angle of friction (α ≤ λ)

Explanation: The component of weight pulling the particle down the plane is mg sin(α). The maximum available friction force is μ_s N = μ_s mg cos(α). For equilibrium, mg sin(α) ≤ μ_s mg cos(α). This simplifies to tan(α) ≤ μ_s. Since μ_s = tan(λ), where λ is the angle of friction, the condition is tan(α) ≤ tan(λ), or α ≤ λ. The angle λ is also called the angle of repose.

সঠিক উত্তর: (C) ঘর্ষণ কোণের চেয়ে কম বা সমান (α ≤ λ)

ব্যাখ্যা: কণাটিকে তলের নিচে টানার জন্য ওজনের উপাংশ হল mg sin(α)। সর্বোচ্চ উপলব্ধ ঘর্ষণ বল হল μ_s N = μ_s mg cos(α)। সাম্যাবস্থার জন্য, mg sin(α) ≤ μ_s mg cos(α) হতে হবে। এটি সরল করলে হয় tan(α) ≤ μ_s। যেহেতু μ_s = tan(λ), যেখানে λ হল ঘর্ষণ কোণ, শর্তটি হল tan(α) ≤ tan(λ), বা α ≤ λ। λ কোণটিকে বিরাম কোণও বলা হয়।

Correct Answer: (C) h/4

Explanation: The center of gravity of a solid cone is located on its axis of symmetry at a distance of h/4 from the center of its circular base. For a hollow cone, it would be h/3.

সঠিক উত্তর: (C) h/4

ব্যাখ্যা: একটি নিরেট শঙ্কুর ভারকেন্দ্র তার প্রতিসাম্য অক্ষে, তার বৃত্তাকার ভূমির কেন্দ্র থেকে h/4 দূরত্বে অবস্থিত। একটি ফাঁপা শঙ্কুর জন্য, এটি h/3 হতো।

Correct Answer: (B) Zero

Explanation: A force F is conservative if and only if it can be expressed as the negative gradient of a scalar potential energy function, U (i.e., F = -∇U). A mathematical property of gradients is that the curl of a gradient of any scalar function is identically zero (∇ × (∇U) = 0). Therefore, the curl of a conservative force is always zero (∇ × F = 0).

সঠিক উত্তর: (B) শূন্য

ব্যাখ্যা: একটি বল F সংরক্ষী হবে যদি এবং কেবল যদি এটিকে একটি স্কেলার স্থিতিশক্তি ফাংশন U-এর ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট হিসাবে প্রকাশ করা যায় (অর্থাৎ, F = -∇U)। গ্রেডিয়েন্টের একটি গাণিতিক ধর্ম হল যে কোনো স্কেলার ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সর্বদা শূন্য হয় (∇ × (∇U) = 0)। অতএব, একটি সংরক্ষী বলের কার্ল সর্বদা শূন্য (∇ × F = 0)।

Correct Answer: (B) (2u sinα) / g

Explanation: The initial vertical velocity is u_y = u sinα. The time taken to reach the maximum height is t_up = u_y / g = (u sinα) / g. Since the path is symmetric in a vacuum, the time of descent is equal to the time of ascent. Total time of flight T = t_up + t_down = 2 * t_up = (2u sinα) / g.

সঠিক উত্তর: (B) (2u sinα) / g

ব্যাখ্যা: প্রাথমিক উল্লম্ব বেগ হল u_y = u sinα। সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে সময় লাগে t_up = u_y / g = (u sinα) / g। যেহেতু শূন্যস্থানে পথটি প্রতিসম, পতনের সময় আরোহণের সময়ের সমান। মোট উড্ডয়নকাল T = t_up + t_down = 2 * t_up = (2u sinα) / g।

Correct Answer: (C) Newton-second (N·s)

Explanation: Impulse is defined as the product of force and the time interval over which it acts (J = FΔt). The SI unit of force is the Newton (N) and the SI unit of time is the second (s). Therefore, the SI unit of impulse is Newton-second (N·s). It is also equivalent to kg·m/s, the unit of momentum.

সঠিক উত্তর: (C) নিউটন-সেকেন্ড (N·s)

ব্যাখ্যা: ঘাতকে বল এবং যে সময়ের ব্যবধানে এটি কাজ করে তার গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (J = FΔt)। বলের SI একক হল নিউটন (N) এবং সময়ের SI একক হল সেকেন্ড (s)। অতএব, ঘাতের SI একক হল নিউটন-সেকেন্ড (N·s)। এটি ভরবেগের একক kg·m/s-এর সমতুল্য।

Correct Answer: (B) Mass and Amplitude (for small oscillations)

Explanation: The formula for the period of a simple pendulum is T = 2π√(L/g), where L is the length and g is the acceleration due to gravity. For small angles of oscillation (small amplitude), the period is independent of both the mass of the bob and the amplitude of the swing. It depends only on length and the local value of g.

সঠিক উত্তর: (B) ভর এবং বিস্তার (অল্প দোলনের জন্য)

ব্যাখ্যা: একটি সরল দোলকের পর্যায়কালের সূত্র হল T = 2π√(L/g), যেখানে L হল দৈর্ঘ্য এবং g হল অভিকর্ষজ ত্বরণ। অল্প দোলনের কোণের (অল্প বিস্তার) জন্য, পর্যায়কাল ববের ভর এবং দোলনের বিস্তার উভয়ের উপরই নির্ভরশীল নয়। এটি কেবল দৈর্ঘ্য এবং g-এর স্থানীয় মানের উপর নির্ভর করে।

Correct Answer: (B) Couple

Explanation: This is a fundamental principle in the reduction of force systems. To move a force F from its line of action to a new parallel line of action through a point P, you can add two equal and opposite forces (F and -F) at P. The original force and -F form a couple, leaving the force F at point P. The moment of the couple is F times the perpendicular distance between the old and new lines of action.

সঠিক উত্তর: (B) কাপল

ব্যাখ্যা: এটি বল সিস্টেম হ্রাসের একটি মৌলিক নীতি। একটি বল F-কে তার ক্রিয়া রেখা থেকে P বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি নতুন সমান্তরাল ক্রিয়া রেখায় সরাতে, আপনি P বিন্দুতে দুটি সমান এবং বিপরীত বল (F এবং -F) যোগ করতে পারেন। মূল বল এবং -F একটি কাপল তৈরি করে, যা P বিন্দুতে F বলটিকে রেখে যায়। কাপলের মোমেন্ট হল F এবং পুরানো ও নতুন ক্রিয়া রেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বের গুণফল।

Correct Answer: (B) Slightly less than the natural frequency

Explanation: For an undamped system, resonance (maximum amplitude) occurs when the driving frequency equals the natural frequency (ω = ω₀). However, for a damped system, the amplitude resonance frequency is given by ω_r = √(ω₀² – 2γ²), where ω₀ is the natural frequency and γ is related to the damping coefficient. This frequency is slightly less than the natural frequency ω₀.

সঠিক উত্তর: (B) স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের চেয়ে সামান্য কম

ব্যাখ্যা: একটি অবমন্দিতহীন সিস্টেমের জন্য, অনুনাদ (সর্বাধিক বিস্তার) ঘটে যখন চালক কম্পাঙ্ক স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের সমান হয় (ω = ω₀)। যাইহোক, একটি অবমন্দিত সিস্টেমের জন্য, বিস্তার অনুনাদ কম্পাঙ্কটি ω_r = √(ω₀² – 2γ²) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে ω₀ হল স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক এবং γ অবমন্দন গুণাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত। এই কম্পাঙ্কটি স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক ω₀ থেকে সামান্য কম।

Correct Answer: (C) Constant in magnitude but variable in direction

Explanation: When a particle moves in a circle with constant speed (uniform circular motion), its speed does not change, so the tangential acceleration is zero. However, its velocity vector is continuously changing direction. This change in direction is caused by the centripetal acceleration (a_c = v²/r), which is always directed towards the center of the circle. The magnitude of this acceleration is constant, but its direction constantly changes as the particle moves.

সঠিক উত্তর: (C) মানে ধ্রুবক কিন্তু দিকে পরিবর্তনশীল

ব্যাখ্যা: যখন একটি কণা ধ্রুবক দ্রুতিতে একটি বৃত্তে চলে (সুষম বৃত্তীয় গতি), তখন তার দ্রুতি পরিবর্তন হয় না, তাই স্পর্শকীয় ত্বরণ শূন্য। যাইহোক, তার বেগ ভেক্টর ক্রমাগত দিক পরিবর্তন করে। এই দিক পরিবর্তন কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণের (a_c = v²/r) কারণে হয়, যা সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে নির্দেশিত থাকে। এই ত্বরণের মান ধ্রুবক, কিন্তু কণার গতির সাথে সাথে এর দিক ক্রমাগত পরিবর্তন হয়।

Correct Answer: (B) An asymmetric curve with a vertical asymptote

Explanation: Unlike in a vacuum where the path is a symmetric parabola, air resistance makes the path asymmetric. The downward part of the trajectory is steeper than the upward part. The horizontal velocity is not constant but decreases over time. If the particle falls for a long time, its path will approach a vertical line as its horizontal velocity component decays towards zero while its vertical velocity approaches the terminal velocity.

সঠিক উত্তর: (B) একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট সহ একটি অপ্রতিসম বক্ররেখা

ব্যাখ্যা: শূন্যস্থানের মতো নয় যেখানে পথটি একটি প্রতিসম পরাবৃত্ত, বায়ুর বাধা পথটিকে অপ্রতিসম করে তোলে। গতিপথের নিম্নগামী অংশটি ঊর্ধ্বগামী অংশের চেয়ে বেশি খাড়া হয়। অনুভূমিক বেগ ধ্রুবক নয় বরং সময়ের সাথে সাথে হ্রাস পায়। যদি কণাটি দীর্ঘ সময় ধরে পড়ে, তবে তার পথ একটি উল্লম্ব রেখার দিকে অগ্রসর হবে কারণ তার অনুভূমিক বেগের উপাংশ শূন্যের দিকে ক্ষয়প্রাপ্ত হয় এবং তার উল্লম্ব বেগ প্রান্তীয় বেগের কাছাকাছি পৌঁছায়।

Correct Answer: (B) They form a couple

Explanation: According to the converse of the triangle law of forces, if three forces acting on a body can be represented in magnitude and direction by the sides of a triangle taken in order, their resultant is zero. However, if they are not concurrent, they will produce a turning effect, i.e., they are equivalent to a couple. They can only be in equilibrium if they are concurrent (and thus their resultant is zero and moment is zero).

সঠিক উত্তর: (B) তারা একটি কাপল গঠন করে

ব্যাখ্যা: বলের ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত নীতি অনুসারে, যদি কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল তিনটি বলকে একটি ত্রিভুজের ক্রমানুসারে গৃহীত বাহু দ্বারা মানে ও দিকে প্রকাশ করা যায়, তবে তাদের লব্ধি শূন্য হয়। কিন্তু, যদি তারা একবিন্দু না হয়, তবে তারা একটি ঘূর্ণন প্রভাব সৃষ্টি করবে, অর্থাৎ তারা একটি কাপলের সমতুল্য। তারা কেবল তখনই সাম্যাবস্থায় থাকতে পারে যদি তারা একবিন্দু হয় (এবং এইভাবে তাদের লব্ধি এবং মোমেন্ট উভয়ই শূন্য হয়)।

Correct Answer: (A) mg sinλ / cos(θ-λ)

Explanation: This is a classic problem. For the particle to be on the verge of moving, we can apply Lami’s theorem to the forces: Weight (mg), Applied Force (P), and Resultant Reaction (R). The angle between R and mg is (180-λ), between P and mg is (90+θ), and between P and R is (90 – (θ-λ)). The general expression for P to just move the body is found to be mg sinλ / cos(θ-λ). P is minimum when cos(θ-λ) is maximum, i.e., cos(θ-λ)=1, so θ=λ.

সঠিক উত্তর: (A) mg sinλ / cos(θ-λ)

ব্যাখ্যা: এটি একটি ক্লাসিক সমস্যা। কণাটি গতির উপক্রম করলে, আমরা বলগুলির উপর ল্যামির উপপাদ্য প্রয়োগ করতে পারি: ওজন (mg), প্রযুক্ত বল (P), এবং লব্ধি প্রতিক্রিয়া (R)। R এবং mg-এর মধ্যে কোণ (180-λ), P এবং mg-এর মধ্যে (90+θ), এবং P এবং R-এর মধ্যে (90 – (θ-λ))। বস্তুটিকে সরাতে P-এর সাধারণ রাশি হল mg sinλ / cos(θ-λ)। P সর্বনিম্ন হবে যখন cos(θ-λ) সর্বোচ্চ হবে, অর্থাৎ cos(θ-λ)=1, সুতরাং θ=λ।

Correct Answer: (C) 4r/3π

Explanation: The center of gravity for a 2D lamina is different from a 1D wire. For a uniform semicircular plate (lamina), the C.G. is located on its axis of symmetry at a distance of 4r/(3π) from the diameter. This is found by integrating over the area: y_cg = (∫y dA) / (∫dA).

সঠিক উত্তর: (C) 4r/3π

ব্যাখ্যা: একটি 2D পাতের ভারকেন্দ্র একটি 1D তারের থেকে ভিন্ন। একটি সুষম অর্ধবৃত্তাকার পাতের জন্য, ভারকেন্দ্রটি তার প্রতিসাম্য অক্ষে, ব্যাস থেকে 4r/(3π) দূরত্বে অবস্থিত। এটি ক্ষেত্রফলের উপর সমাকলন করে নির্ণয় করা হয়: y_cg = (∫y dA) / (∫dA)।

Correct Answer: (C) The total energy of an isolated system remains constant

Explanation: The law of conservation of energy is a fundamental principle stating that the total energy of an isolated system does not change over time. Energy can neither be created nor destroyed, but it can be transformed from one form to another (e.g., from potential to kinetic energy).

সঠিক উত্তর: (C) একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের মোট শক্তি ধ্রুবক থাকে

ব্যাখ্যা: শক্তি সংরক্ষণ সূত্র একটি মৌলিক নীতি যা বলে যে একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের মোট শক্তি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয় না। শক্তি সৃষ্টি বা ধ্বংস করা যায় না, তবে এটিকে এক রূপ থেকে অন্য রূপে রূপান্তরিত করা যেতে পারে (যেমন, স্থিতিশক্তি থেকে গতিশক্তিতে)।

Correct Answer: (C) Conic sections (ellipse, parabola, hyperbola)

Explanation: Solving the differential equation of a central orbit for an inverse square law force (like gravity or electrostatic force) shows that the possible trajectories are conic sections. The specific type of conic section depends on the total energy or eccentricity of the orbit.

সঠিক উত্তর: (C) কনিক ছেদ (উপবৃত্ত, পরাবৃত্ত, অধিবৃত্ত)

ব্যাখ্যা: একটি ব্যস্ত-বর্গীয় বলের (যেমন মহাকর্ষ বা স্থিরতড়িৎ বল) জন্য কেন্দ্রীয় কক্ষপথের অবকল সমীকরণ সমাধান করলে দেখা যায় যে সম্ভাব্য গতিপথগুলি হল কনিক ছেদ। কনিক ছেদের নির্দিষ্ট প্রকারটি কক্ষপথের মোট শক্তি বা উৎকেন্দ্রতার উপর নির্ভর করে।

Correct Answer: (A) v’/v

Explanation: The coefficient of restitution e is defined as the ratio of the relative velocity of separation to the relative velocity of approach. Here, the ground is stationary (velocity=0). The velocity of approach is v. The velocity of separation is v’. Therefore, e = (v’ – 0) / (v – 0) = v’/v.

সঠিক উত্তর: (A) v’/v

ব্যাখ্যা: স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক e-কে বিচ্ছেদের আপেক্ষিক বেগ এবং মিলনের আপেক্ষিক বেগের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এখানে, ভূমি স্থির (বেগ=0)। মিলনের বেগ হল v। বিচ্ছেদের বেগ হল v’। অতএব, e = (v’ – 0) / (v – 0) = v’/v।

Correct Answer: (C) Zero

Explanation: Work done is given by W = ∫ F ⋅ ds. In uniform circular motion, the centripetal force F is always directed towards the center, while the instantaneous displacement ds (or velocity vector) is always along the tangent. The angle between the force and displacement is always 90°. Since cos(90°) = 0, the dot product F ⋅ ds is always zero. Therefore, the total work done by the centripetal force is zero.

সঠিক উত্তর: (C) শূন্য

ব্যাখ্যা: কৃত কার্য W = ∫ F ⋅ ds দ্বারা দেওয়া হয়। সুষম বৃত্তীয় গতিতে, কেন্দ্রাভিমুখী বল F সর্বদা কেন্দ্রের দিকে নির্দেশিত থাকে, যখন তাৎক্ষণিক সরণ ds (বা বেগ ভেক্টর) সর্বদা স্পর্শক বরাবর থাকে। বল এবং সরণের মধ্যে কোণ সর্বদা 90°। যেহেতু cos(90°) = 0, ডট গুণফল F ⋅ ds সর্বদা শূন্য হয়। অতএব, কেন্দ্রাভিমুখী বল দ্বারা কৃত মোট কার্য শূন্য।

Correct Answer: (D) 0 or 2π

Explanation: The resultant amplitude R of two S.H.M’s with equal amplitude A and phase difference δ is given by R = 2A cos(δ/2). The amplitude R is maximum when cos(δ/2) is maximum, which is 1. This occurs when δ/2 = 0, π, 2π, … so δ = 0, 2π, 4π, … This corresponds to constructive interference where the motions are in phase.

সঠিক উত্তর: (D) 0 বা 2π

ব্যাখ্যা: সমান বিস্তার A এবং দশা পার্থক্য δ সহ দুটি S.H.M-এর লব্ধি বিস্তার R = 2A cos(δ/2) দ্বারা দেওয়া হয়। বিস্তার R সর্বাধিক হবে যখন cos(δ/2) সর্বাধিক হবে, যা 1। এটি ঘটে যখন δ/2 = 0, π, 2π, … সুতরাং δ = 0, 2π, 4π, …। এটি গঠনমূলক ব্যতিচারের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ যেখানে গতিগুলি সমদশায় থাকে।

Correct Answer: (A) Circle or spiral

Explanation: Using the differential equation of the orbit, d²u/dθ² + u = P / (h²u²). Here P = -ku³ (since F = -k/r³ and u=1/r). The equation becomes d²u/dθ² + u = -ku/h². Or, d²u/dθ² + (1 + k/h²)u = 0. The solution to this depends on the sign of (1+k/h²). If h² > k, the solution is sinusoidal (elliptical orbits). If h²=k, d²u/dθ²=0, leading to a spiral (Cotes’ spiral). If h²

সঠিক উত্তর: (A) বৃত্ত বা সর্পিল (spiral)

ব্যাখ্যা: কক্ষপথের অবকল সমীকরণ ব্যবহার করে, d²u/dθ² + u = P / (h²u²)। এখানে P = -ku³ (যেহেতু F = -k/r³ এবং u=1/r)। সমীকরণটি হয় d²u/dθ² + u = -ku/h²। অথবা, d²u/dθ² + (1 + k/h²)u = 0। এর সমাধান (1+k/h²)-এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। যদি h² > k হয়, সমাধানটি সাইনুসয়েডাল (উপবৃত্তাকার কক্ষপথ)। যদি h²=k হয়, d²u/dθ²=0, যা একটি সর্পিল (কোটসের সর্পিল) পথের দিকে নিয়ে যায়। যদি h²

Correct Answer: (C) 3

Explanation: For a general system of coplanar forces (not necessarily concurrent) to be in equilibrium, both the net force and the net moment must be zero. The net force being zero provides two independent conditions (sum of forces in x-direction is zero, ΣFx=0, and sum of forces in y-direction is zero, ΣFy=0). The net moment being zero provides one more independent condition (sum of moments about any point z is zero, ΣMz=0). Total conditions = 2 + 1 = 3.

সঠিক উত্তর: (C) 3

ব্যাখ্যা: একটি সাধারণ সমতলীয় বল সিস্টেমের (আবশ্যিকভাবে একবিন্দু নয়) সাম্যাবস্থায় থাকার জন্য, মোট বল এবং মোট মোমেন্ট উভয়ই শূন্য হতে হবে। মোট বল শূন্য হওয়া দুটি স্বাধীন শর্ত দেয় (x-অক্ষ বরাবর বলের যোগফল শূন্য, ΣFx=0, এবং y-অক্ষ বরাবর বলের যোগফল শূন্য, ΣFy=0)। মোট মোমেন্ট শূন্য হওয়া আরও একটি স্বাধীন শর্ত দেয় (যেকোনো বিন্দু z-এর সাপেক্ষে মোমেন্টের যোগফল শূন্য, ΣMz=0)। মোট শর্ত = 2 + 1 = 3।

Correct Answer: (A) r̈ – r(θ̇)²

Explanation: When the velocity vector v = ṙr̂ + rθ̇θ̂ is differentiated with respect to time, the components of acceleration are found. The component along the radial direction r̂ is the radial acceleration, a_r = r̈ – r(θ̇)². The term -r(θ̇)² is the centripetal acceleration expressed in polar coordinates.

সঠিক উত্তর: (A) r̈ – r(θ̇)²

ব্যাখ্যা: যখন বেগ ভেক্টর v = ṙr̂ + rθ̇θ̂ কে সময়ের সাপেক্ষে অবকলন করা হয়, তখন ত্বরণের উপাংশগুলি পাওয়া যায়। ব্যাসার্ধীয় দিক r̂ বরাবর উপাংশটি হল ব্যাসার্ধীয় ত্বরণ, a_r = r̈ – r(θ̇)²। -r(θ̇)² পদটি পোলার স্থানাঙ্কে প্রকাশিত কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ।

Correct Answer: (C) Displacement is maximum (at extreme positions)

Explanation: In SHM, acceleration is given by a = -ω²x, where x is the displacement. The magnitude of acceleration is |a| = ω²|x|. This is maximum when the displacement |x| is maximum, which occurs at the extreme positions (x = ±A, where A is the amplitude). At these points, the velocity is zero.

সঠিক উত্তর: (C) সরণ সর্বাধিক (প্রান্তীয় অবস্থানে)

ব্যাখ্যা: SHM-এ, ত্বরণ a = -ω²x দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে x হল সরণ। ত্বরণের মান |a| = ω²|x|। এটি সর্বাধিক হয় যখন সরণ |x| সর্বাধিক হয়, যা প্রান্তীয় অবস্থানে ঘটে (x = ±A, যেখানে A হল বিস্তার)। এই বিন্দুগুলিতে, বেগ শূন্য থাকে।

Correct Answer: (C) Mass

Explanation: In linear motion, mass (m) is the measure of inertia (resistance to change in linear motion). In rotational motion, the moment of inertia (I) is the measure of rotational inertia (resistance to change in rotational motion). The relationship is seen in Newton’s second law: F=ma (linear) and τ=Iα (rotational).

সঠিক উত্তর: (C) ভর

ব্যাখ্যা: রৈখিক গতিতে, ভর (m) হল জাড্যের পরিমাপ (রৈখিক গতির পরিবর্তনে বাধা)। ঘূর্ণন গতিতে, জড়তা ভ্রামক (I) হল ঘূর্ণন জাড্যের পরিমাপ (ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনে বাধা)। এই সম্পর্কটি নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রে দেখা যায়: F=ma (রৈখিক) এবং τ=Iα (ঘূর্ণন)।

Correct Answer: (B) 6

Explanation: First, find the velocity vector by differentiating r(t): v(t) = dr/dt = (6t)i + 4j. Then, find the acceleration vector by differentiating v(t): a(t) = dv/dt = 6i + 0j = 6i. The acceleration is constant and does not depend on time. The magnitude is |a| = √(6²) = 6. The unit would be m/s² if position is in meters.

সঠিক উত্তর: (B) 6

ব্যাখ্যা: প্রথমে, r(t)-কে অবকলন করে বেগ ভেক্টর নির্ণয় করুন: v(t) = dr/dt = (6t)i + 4j। তারপর, v(t)-কে অবকলন করে ত্বরণ ভেক্টর নির্ণয় করুন: a(t) = dv/dt = 6i + 0j = 6i। ত্বরণটি ধ্রুবক এবং সময়ের উপর নির্ভরশীল নয়। এর মান হল |a| = √(6²) = 6। অবস্থান মিটারে থাকলে একক হবে m/s²।

Correct Answer: (C) λx/L

Explanation: This is Hooke’s Law for an elastic string. The tension (T) is directly proportional to the extension (x) and inversely proportional to the natural length (L). The constant of proportionality is the modulus of elasticity (λ). So, T = λ * (extension / natural length) = λx/L.

সঠিক উত্তর: (C) λx/L

ব্যাখ্যা: এটি একটি স্থিতিস্থাপক সুতোর জন্য হুকের সূত্র। টান (T) প্রসারণের (x) সরাসরি সমানুপাতিক এবং স্বাভাবিক দৈর্ঘ্যের (L) ব্যস্তানুপাতিক। সমানুপাতিক ধ্রুবকটি হল স্থিতিস্থাপকতার গুণাঙ্ক (λ)। সুতরাং, T = λ * (প্রসারণ / স্বাভাবিক দৈর্ঘ্য) = λx/L।

Correct Answer: (A) Along the tangent, opposing the motion

Explanation: The force of kinetic friction always acts to oppose the relative motion between surfaces. For a particle moving along a curve, its instantaneous velocity is always directed along the tangent to the curve. Therefore, the force of friction will also be directed along the tangent, but in the opposite direction to the velocity.

সঠিক উত্তর: (A) স্পর্শক বরাবর, গতির বিপরীতে

ব্যাখ্যা: চল ঘর্ষণ বল সর্বদা তলগুলির মধ্যে আপেক্ষিক গতির বিরোধিতা করে। একটি বক্ররেখা বরাবর চলমান কণার জন্য, তার তাৎক্ষণিক বেগ সর্বদা বক্ররেখার স্পর্শক বরাবর নির্দেশিত থাকে। অতএব, ঘর্ষণ বলও স্পর্শক বরাবর নির্দেশিত হবে, কিন্তু বেগের বিপরীত দিকে।

Correct Answer: (C) T² ∝ a³

Explanation: Kepler’s third law of planetary motion states that the square of the orbital period of a planet is directly proportional to the cube of the semi-major axis of its orbit. This law applies to any objects orbiting a central body under an inverse-square force law.

সঠিক উত্তর: (C) T² ∝ a³

ব্যাখ্যা: কেপলারের গ্রহীয় গতির তৃতীয় সূত্র বলে যে একটি গ্রহের কক্ষপথের পর্যায়কালের বর্গ তার কক্ষপথের অর্ধ-পরাক্ষের ঘনের সরাসরি সমানুপাতিক। এই সূত্রটি একটি ব্যস্ত-বর্গীয় বলের অধীনে একটি কেন্দ্রীয় বস্তুকে প্রদক্ষিণকারী যেকোনো বস্তুর জন্য প্রযোজ্য।

Correct Answer: (B) Be coplanar

Explanation: If three forces acting at a point are in equilibrium, their vector sum is zero. This means that the vectors can form a closed triangle. A triangle is a planar figure, so the three force vectors must lie in the same plane; they must be coplanar.

সঠিক উত্তর: (B) সমতলীয় হবে

ব্যাখ্যা: যদি একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকে, তবে তাদের ভেক্টর যোগফল শূন্য। এর মানে হল যে ভেক্টরগুলি একটি বদ্ধ ত্রিভুজ গঠন করতে পারে। একটি ত্রিভুজ একটি সমতলীয় চিত্র, সুতরাং তিনটি বল ভেক্টরকে অবশ্যই একই তলে থাকতে হবে; তাদের অবশ্যই সমতলীয় হতে হবে।

Correct Answer: (A) 50 N·s

Explanation: Impulse is equal to the change in momentum (J = Δp). Initial momentum p_i = m * v_i = 5 kg * 10 m/s = 50 kg·m/s. Final momentum p_f = m * v_f = 5 kg * 20 m/s = 100 kg·m/s. Change in momentum Δp = p_f – p_i = 100 – 50 = 50 kg·m/s. Since 1 kg·m/s = 1 N·s, the impulse is 50 N·s.

সঠিক উত্তর: (A) 50 N·s

ব্যাখ্যা: ঘাত ভরবেগের পরিবর্তনের সমান (J = Δp)। প্রাথমিক ভরবেগ p_i = m * v_i = 5 কেজি * 10 মি/সে = 50 কেজি·মি/সে। অন্তিম ভরবেগ p_f = m * v_f = 5 কেজি * 20 মি/সে = 100 কেজি·মি/সে। ভরবেগের পরিবর্তন Δp = p_f – p_i = 100 – 50 = 50 কেজি·মি/সে। যেহেতু 1 কেজি·মি/সে = 1 নিউটন·সেকেন্ড, ঘাত হল 50 N·s।

Correct Answer: (A) mg = k(v_t)ⁿ

Explanation: Terminal velocity is achieved when the net force on the falling particle is zero. The downward force is its weight, mg. The upward resistive force is given as R = kvⁿ. At terminal velocity v_t, the acceleration is zero, so the forces balance: Gravitational Force = Resistive Force. This gives mg = k(v_t)ⁿ.

সঠিক উত্তর: (A) mg = k(v_t)ⁿ

ব্যাখ্যা: প্রান্তীয় বেগ অর্জিত হয় যখন পতনশীল কণার উপর মোট বল শূন্য হয়। নিম্নগামী বল হল তার ওজন, mg। ঊর্দ্ধগামী বাধাদানকারী বল R = kvⁿ হিসাবে দেওয়া আছে। প্রান্তীয় বেগে v_t, ত্বরণ শূন্য, তাই বলগুলি ভারসাম্য বজায় রাখে: মহাকর্ষীয় বল = বাধাদানকারী বল। এটি থেকে পাওয়া যায় mg = k(v_t)ⁿ।

Correct Answer: (B) a² = a_t² + a_n²

Explanation: The tangential acceleration (a_t) and normal acceleration (a_n) are the two perpendicular components of the total acceleration vector a. By the Pythagorean theorem for vectors, the magnitude of the total acceleration ‘a’ is given by a = √(a_t² + a_n²), which is equivalent to a² = a_t² + a_n².

সঠিক উত্তর: (B) a² = a_t² + a_n²

ব্যাখ্যা: স্পর্শকীয় ত্বরণ (a_t) এবং অভিলম্ব ত্বরণ (a_n) হল মোট ত্বরণ ভেক্টর a-এর দুটি লম্ব উপাংশ। ভেক্টরের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, মোট ত্বরণের মান ‘a’ হল a = √(a_t² + a_n²), যা a² = a_t² + a_n²-এর সমতুল্য।

Correct Answer: (C) It remains in the new position

Explanation: Neutral equilibrium occurs when a small displacement does not change the height of the center of gravity, and thus does not change the potential energy. A ball on a flat horizontal table is an example. If you push it slightly, it will stay in its new position without any tendency to return or move further.

সঠিক উত্তর: (C) এটি নতুন অবস্থানেই থেকে যায়

ব্যাখ্যা: উদাসীন সাম্যাবস্থা ঘটে যখন একটি সামান্য সরণ ভারকেন্দ্রের উচ্চতা পরিবর্তন করে না, এবং এইভাবে স্থিতিশক্তি পরিবর্তন করে না। একটি সমতল অনুভূমিক টেবিলের উপর একটি বল এর উদাহরণ। যদি আপনি এটিকে সামান্য ঠেলে দেন, তবে এটি ফিরে আসার বা আরও দূরে যাওয়ার কোনো প্রবণতা ছাড়াই তার নতুন অবস্থানে থাকবে।

Correct Answer: (B) 746 Watts

Explanation: Horsepower is a non-SI unit of power. The most common conversion for mechanical horsepower is 1 HP ≈ 745.7 Watts, which is commonly rounded to 746 Watts.

সঠিক উত্তর: (B) 746 ওয়াট

ব্যাখ্যা: অশ্বশক্তি ক্ষমতার একটি নন-SI একক। যান্ত্রিক অশ্বশক্তির জন্য সবচেয়ে সাধারণ রূপান্তর হল 1 HP ≈ 745.7 ওয়াট, যা সাধারণত 746 ওয়াট হিসাবে লেখা হয়।

Correct Answer: (B) Uniform Circular Motion if speed is constant

Explanation: The particle moves in a circular path. The tension in the elastic string provides the necessary centripetal force to keep it in the circle. If the particle is whirled at a constant speed, the motion is uniform circular motion. The tension will be T = mω²r, and according to Hooke’s Law T = λ(r-L)/L, where r is the radius of the circle and L is the natural length.

সঠিক উত্তর: (B) সুষম বৃত্তীয় গতি, যদি দ্রুতি ধ্রুবক থাকে

ব্যাখ্যা: কণাটি একটি বৃত্তাকার পথে চলে। স্থিতিস্থাপক সুতোর টান এটিকে বৃত্তে রাখার জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রাভিমুখী বল সরবরাহ করে। যদি কণাটিকে ধ্রুবক দ্রুতিতে ঘোরানো হয়, তবে গতিটি সুষম বৃত্তীয় গতি। টান হবে T = mω²r, এবং হুকের সূত্র অনুসারে T = λ(r-L)/L, যেখানে r হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং L হল স্বাভাবিক দৈর্ঘ্য।

Correct Answer: (A) F(r) = -dU/dr

Explanation: For any conservative force, including a central force, the force is the negative gradient of the potential energy. In one dimension (the radial direction ‘r’), this simplifies to F(r) = -dU/dr. This means the force points in the direction of decreasing potential energy.

সঠিক উত্তর: (A) F(r) = -dU/dr

ব্যাখ্যা: যেকোনো সংরক্ষী বলের জন্য, কেন্দ্রীয় বল সহ, বল হল স্থিতিশক্তির ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট। এক মাত্রায় (ব্যাসার্ধীয় দিক ‘r’-এ), এটি F(r) = -dU/dr-এ সরলীকৃত হয়। এর মানে হল বলটি স্থিতিশক্তি হ্রাসের দিকে নির্দেশ করে।

Correct Answer: (B) h/3

Explanation: The center of gravity (or center of mass of the surface area) of a hollow right circular cone is located on its axis of symmetry at a distance of h/3 from the center of its circular base.

সঠিক উত্তর: (B) h/3

ব্যাখ্যা: একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভারকেন্দ্র (বা পৃষ্ঠতলের ভরকেন্দ্র) তার প্রতিসাম্য অক্ষে, তার বৃত্তাকার ভূমির কেন্দ্র থেকে h/3 দূরত্বে অবস্থিত।

Correct Answer: (C) Equal to the angle of friction (Angle of Repose)

Explanation: If the body moves with constant velocity, its acceleration is zero, which means the net force on it is zero. The force pulling it down the plane is mg sin(α), and the kinetic friction force opposing it is f_k = μ_k N = μ_k mg cos(α). For equilibrium, mg sin(α) = μ_k mg cos(α), which gives tan(α) = μ_k. This angle is known as the angle of kinetic friction, which for many problems is approximated to the angle of repose/static friction.

সঠিক উত্তর: (C) ঘর্ষণ কোণের সমান (বিরাম কোণ)

ব্যাখ্যা: যদি বস্তুটি ধ্রুবক বেগে চলে, তবে তার ত্বরণ শূন্য, যার অর্থ তার উপর মোট বল শূন্য। বস্তুটিকে তলের নিচে টানার বল হল mg sin(α), এবং এর বিরোধিতা কারী চল ঘর্ষণ বল হল f_k = μ_k N = μ_k mg cos(α)। সাম্যাবস্থার জন্য, mg sin(α) = μ_k mg cos(α), যা থেকে tan(α) = μ_k পাওয়া যায়। এই কোণটি চল ঘর্ষণ কোণ হিসাবে পরিচিত, যা অনেক সমস্যার জন্য বিরাম কোণ/স্থিত ঘর্ষণ কোণের সমান ধরা হয়।

Correct Answer: (A) dx/dt

Explanation: The position vector of a particle in a plane is r = xi + yj. The velocity vector v is the time derivative of the position vector, v = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j. Therefore, the component of velocity in the x-direction is v_x = dx/dt.

সঠিক উত্তর: (A) dx/dt

ব্যাখ্যা: একটি সমতলে একটি কণার অবস্থান ভেক্টর হল r = xi + yj। বেগ ভেক্টর v হল অবস্থান ভেক্টরের সময় সাপেক্ষে অবকলন, v = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j। অতএব, x-দিকের বেগের উপাংশ হল v_x = dx/dt।

Correct Answer: (B) Very high

Explanation: The sharpness of resonance is a measure of how quickly the amplitude drops as the driving frequency moves away from the resonance frequency. It is often quantified by the Quality Factor (Q-factor). A smaller damping coefficient leads to a larger Q-factor, which means the resonance peak is taller and narrower (sharper).

সঠিক উত্তর: (B) খুব বেশি

ব্যাখ্যা: অনুনাদের তীক্ষ্ণতা হল একটি পরিমাপ যা দেখায় যে চালক কম্পাঙ্ক অনুনাদ কম্পাঙ্ক থেকে সরে গেলে বিস্তার কত দ্রুত হ্রাস পায়। এটি প্রায়শই কোয়ালিটি ফ্যাক্টর (Q-ফ্যাক্টর) দ্বারা পরিমাপ করা হয়। একটি ছোট অবমন্দন গুণাঙ্কের ফলে একটি বড় Q-ফ্যাক্টর হয়, যার মানে হল অনুনাদের চূড়াটি লম্বা এবং সংকীর্ণ (তীক্ষ্ণ) হয়।

Correct Answer: (C) The coefficient of restitution

Explanation: Newton’s law of impact states that the relative velocity of separation (v₂ – v₁) after a direct impact is proportional to the relative velocity of approach (u₁ – u₂) before the impact. The constant of proportionality is the coefficient of restitution, ‘e’. So, (v₂ – v₁) = e(u₁ – u₂).

সঠিক উত্তর: (C) স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক

ব্যাখ্যা: নিউটনের সংঘর্ষের সূত্র বলে যে একটি প্রত্যক্ষ সংঘর্ষের পরে বিচ্ছেদের আপেক্ষিক বেগ (v₂ – v₁) সংঘর্ষের আগে মিলনের আপেক্ষিক বেগের (u₁ – u₂) সমানুপাতিক। সমানুপাতিক ধ্রুবকটি হল স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক, ‘e’। সুতরাং, (v₂ – v₁) = e(u₁ – u₂)।

Correct Answer: (B) 6at + 2b

Explanation: To find acceleration, we need to differentiate the displacement function twice with respect to time. Velocity, v = dx/dt = d/dt(at³ + bt² + c) = 3at² + 2bt. Acceleration, a = dv/dt = d/dt(3at² + 2bt) = 6at + 2b.

সঠিক উত্তর: (B) 6at + 2b

ব্যাখ্যা: ত্বরণ খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের সরণ ফাংশনকে সময়ের সাপেক্ষে দুইবার অবকলন করতে হবে। বেগ, v = dx/dt = d/dt(at³ + bt² + c) = 3at² + 2bt। ত্বরণ, a = dv/dt = d/dt(3at² + 2bt) = 6at + 2b।

Correct Answer: (D) Total energy is conserved.

Explanation: While total energy is conserved for many common central forces (like inverse-square law forces, which are conservative), it is not a defining characteristic of ALL central forces. A central force is defined by its direction (always towards a point) and dependence on distance. If the central force also happens to be conservative, then energy is conserved. However, one could define a non-conservative central force where energy is not conserved. The other three options (planar path, conserved angular momentum, constant areal velocity) are direct consequences of the definition of a central force itself.

সঠিক উত্তর: (D) মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে।

ব্যাখ্যা: যদিও অনেক সাধারণ কেন্দ্রীয় বলের জন্য (যেমন ব্যস্ত-বর্গীয় সূত্র, যা সংরক্ষী) মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে, এটি সমস্ত কেন্দ্রীয় বলের একটি সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য নয়। একটি কেন্দ্রীয় বল তার দিক (সর্বদা একটি বিন্দুর দিকে) এবং দূরত্বের উপর নির্ভরতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়। যদি কেন্দ্রীয় বলটি সংরক্ষী হয়, তবে শক্তি সংরক্ষিত থাকে। তবে, কেউ একটি অসংরক্ষী কেন্দ্রীয় বল সংজ্ঞায়িত করতে পারে যেখানে শক্তি সংরক্ষিত থাকে না। অন্য তিনটি বিকল্প (সমতলীয় পথ, সংরক্ষিত কৌণিক ভরবেগ, ধ্রুবক ক্ষেত্রীয় বেগ) কেন্দ্রীয় বলের সংজ্ঞার প্রত্যক্ষ ফলাফল।

Correct Answer: (A) The net force is zero and the friction required is less than or equal to the limiting friction.

Explanation: For equilibrium, the first condition is always that the vector sum of all forces (applied, normal, weight, and friction) must be zero. The second condition, specific to a rough surface, is that the magnitude of the friction force (F_f) required to maintain this equilibrium must not exceed the maximum possible static friction (limiting friction, μ_s * N). So, F_f ≤ μ_s * N.

সঠিক উত্তর: (A) মোট বল শূন্য এবং প্রয়োজনীয় ঘর্ষণ সীমান্ত ঘর্ষণের চেয়ে কম বা সমান।

ব্যাখ্যা: সাম্যাবস্থার জন্য, প্রথম শর্ত হল সর্বদা সমস্ত বলের (প্রযুক্ত, অভিলম্ব, ওজন, এবং ঘর্ষণ) ভেক্টর যোগফল শূন্য হতে হবে। দ্বিতীয় শর্তটি, যা একটি অমসৃণ তলের জন্য নির্দিষ্ট, তা হল এই সাম্যাবস্থা বজায় রাখার জন্য প্রয়োজনীয় ঘর্ষণ বলের (F_f) মান সর্বোচ্চ সম্ভাব্য স্থিত ঘর্ষণ (সীমান্ত ঘর্ষণ, μ_s * N) অতিক্রম করতে পারবে না। সুতরাং, F_f ≤ μ_s * N।

Correct Answer: (B) The gravitational field is uniform

Explanation: The center of mass is a property of the mass distribution of the body itself. The center of gravity is the point where the net gravitational force (weight) can be considered to act. If the gravitational field ‘g’ is uniform (same magnitude and direction) over the entire extent of the body, then the center of gravity will be at the same location as the center of mass. For very large objects, ‘g’ may vary, causing a slight separation between the two points.

সঠিক উত্তর: (B) মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র সুষম হয়

ব্যাখ্যা: ভরকেন্দ্র হল বস্তুর ভর বন্টনের একটি বৈশিষ্ট্য। ভারকেন্দ্র হল সেই বিন্দু যেখানে মোট মহাকর্ষীয় বল (ওজন) ক্রিয়া করছে বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে। যদি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র ‘g’ বস্তুর সমগ্র আয়তন জুড়ে সুষম হয় (একই মান এবং দিক), তবে ভারকেন্দ্রটি ভরকেন্দ্রের একই অবস্থানে থাকবে। খুব বড় বস্তুর জন্য, ‘g’ পরিবর্তিত হতে পারে, যার ফলে দুটি বিন্দুর মধ্যে সামান্য বিচ্যুতি ঘটে।

Correct Answer: (D) Work

Explanation: Work is defined as the dot product of two vectors: force and displacement (W = F ⋅ d). The dot product of two vectors results in a scalar quantity. Impulse (change in momentum), Force, and Angular Momentum are all vector quantities, meaning they have both magnitude and direction.

সঠিক উত্তর: (D) কার্য

ব্যাখ্যা: কার্যকে দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: বল এবং সরণ (W = F ⋅ d)। দুটি ভেক্টরের ডট গুণফলের ফলে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায়। ঘাত (ভরবেগের পরিবর্তন), বল এবং কৌণিক ভরবেগ সবই ভেক্টর রাশি, যার অর্থ তাদের মান এবং দিক উভয়ই রয়েছে।

Correct Answer: (B) The vector sum of the forces is zero, but the sum of moments is non-zero.

Explanation: A couple produces a pure turning effect without any net translational force. This means the vector sum of the forces that form the couple (and any system equivalent to a couple) must be zero (ΣF = 0). However, a couple has a non-zero moment (or torque), which is what causes the rotation (ΣM ≠ 0).

সঠিক উত্তর: (B) বলগুলির ভেক্টর যোগফল শূন্য, কিন্তু মোমেন্টের যোগফল অশূন্য।

ব্যাখ্যা: একটি কাপল কোনো মোট রৈখিক বল ছাড়াই একটি শুদ্ধ ঘূর্ণন প্রভাব তৈরি করে। এর মানে হল যে কাপল গঠনকারী বলগুলির (এবং কাপলের সমতুল্য যেকোনো সিস্টেম) ভেক্টর যোগফল অবশ্যই শূন্য হবে (ΣF = 0)। যাইহোক, একটি কাপলের একটি অশূন্য মোমেন্ট (বা টর্ক) থাকে, যা ঘূর্ণনের কারণ হয় (ΣM ≠ 0)।

Correct Answer: (C) ∫ (1/a(v)) dv

Explanation: We know that acceleration a = dv/dt. If ‘a’ is a function of ‘v’, we can rearrange this differential equation to solve for time ‘t’. dt = dv / a(v). Integrating both sides gives the time taken to change velocity from v₁ to v₂: t = ∫ (from v₁ to v₂) (1/a(v)) dv.

সঠিক উত্তর: (C) ∫ (1/a(v)) dv

ব্যাখ্যা: আমরা জানি ত্বরণ a = dv/dt। যদি ‘a’ ‘v’-এর একটি ফাংশন হয়, তবে আমরা সময় ‘t’ সমাধান করার জন্য এই অবকল সমীকরণটিকে পুনরায় সাজাতে পারি। dt = dv / a(v)। উভয় দিকে সমাকলন করলে v₁ থেকে v₂ বেগে পরিবর্তন হতে সময় পাওয়া যায়: t = ∫ (v₁ থেকে v₂) (1/a(v)) dv।