Topic 1: Friction & Equilibrium on Rough Surfaces
1. The coefficient of static friction (μ) is related to the angle of friction (λ) by the equation:
স্থিতি ঘর্ষণ গুণাঙ্ক (μ) এবং ঘর্ষণ কোণের (λ) মধ্যে সম্পর্কটি হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) μ = tan(λ)
Explanation: The angle of friction (λ) is the angle between the normal reaction and the resultant of the limiting friction and normal reaction. From the vector triangle, tan(λ) = F_lim / R. Since F_lim = μR, we have tan(λ) = μ.
ব্যাখ্যা: ঘর্ষণ কোণ (λ) হলো লম্ব প্রতিক্রিয়া এবং সীমাস্থ ঘর্ষণ ও লম্ব প্রতিক্রিয়ার লব্ধি বলের মধ্যবর্তী কোণ। ভেক্টর ত্রিভুজ থেকে, tan(λ) = F_lim / R। যেহেতু F_lim = μR, তাই আমরা পাই tan(λ) = μ।
2. The semi-vertical angle of the cone of friction is equal to the:
ঘর্ষণ শঙ্কুর অর্ধ-শীর্ষ কোণ কিসের সমান?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Angle of friction
Explanation: The cone of friction is the locus of the resultant reaction force. Its semi-vertical angle is the angle of friction, λ. The angle of repose equals the angle of friction only in the specific case of limiting equilibrium on an inclined plane.
ব্যাখ্যা: ঘর্ষণ শঙ্কু হলো লব্ধি প্রতিক্রিয়া বলের সঞ্চারপথ। এর অর্ধ-শীর্ষ কোণটি হলো ঘর্ষণ কোণ, λ। বিরাম কোণ শুধুমাত্র নততলের উপর সীমাস্থ সাম্যাবস্থার বিশেষ ক্ষেত্রেই ঘর্ষণ কোণের সমান হয়।
3. When a body is on the point of moving down a rough inclined plane, the force of friction acts:
যখন কোনো বস্তু একটি অমসৃণ নততলের উপর দিয়ে নীচে নামার উপক্রম করে, তখন ঘর্ষণ বল কোন দিকে কাজ করে?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Up the plane
Explanation: Friction always opposes the motion or the tendency of motion. Since the body has a tendency to move down the plane, the frictional force will act up the plane.
ব্যাখ্যা: ঘর্ষণ বল সর্বদা গতি বা গতির প্রবণতার বিরুদ্ধে কাজ করে। যেহেতু বস্তুটির নততল বরাবর নীচে নামার প্রবণতা রয়েছে, তাই ঘর্ষণ বল নততল বরাবর উপরের দিকে কাজ করবে।
4. The angle of repose (α) is the angle of inclination of a plane at which a body just begins to slide down. Its relation with the coefficient of friction (μ) is:
বিরাম কোণ (α) হলো নততলের সেই নতিকোণ যেখানে একটি বস্তু ঠিক স্লাইড করতে শুরু করে। ঘর্ষণ গুণাঙ্কের (μ) সাথে এর সম্পর্ক কী?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) μ = tan(α)
Explanation: At the angle of repose, the component of gravity down the plane (mg sin α) is exactly balanced by the limiting frictional force (μR = μmg cos α). So, mg sin α = μmg cos α, which simplifies to μ = tan α.
ব্যাখ্যা: বিরাম কোণে, নততল বরাবর অভিকর্ষের উপাংশ (mg sin α) সীমাস্থ ঘর্ষণ বল (μR = μmg cos α) দ্বারা ঠিক প্রতিমিত হয়। সুতরাং, mg sin α = μmg cos α, যা থেকে পাওয়া যায় μ = tan α।
5. For a particle in equilibrium on a rough plane curve, the resultant of the normal reaction and the frictional force must be:
একটি অমসৃণ সমতল বক্ররেখার উপর সাম্যাবস্থায় থাকা একটি কণার জন্য, লম্ব প্রতিক্রিয়া এবং ঘর্ষণ বলের লব্ধি অবশ্যই হবে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) Equal and opposite to the vector sum of all other applied forces
Explanation: For a particle to be in equilibrium, the vector sum of all forces acting on it must be zero. This means the resultant of the contact forces (normal reaction and friction) must be equal in magnitude and opposite in direction to the vector sum of all other external forces.
ব্যাখ্যা: একটি কণা সাম্যাবস্থায় থাকার জন্য, তার উপর কার্যকরী সমস্ত বলের ভেক্টর যোগফল শূন্য হতে হবে। এর অর্থ হলো স্পর্শকীয় বলগুলির (লম্ব প্রতিক্রিয়া এবং ঘর্ষণ) লব্ধি বল, অন্যান্য সমস্ত বাহ্যিক বলের ভেক্টর যোগফলের সমান এবং বিপরীতমুখী হতে হবে।
6. The force of friction is independent of:
ঘর্ষণ বল কিসের উপর নির্ভরশীল নয়?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The area of the surfaces in contact
Explanation: According to the classical laws of friction, the frictional force is independent of the apparent area of contact between the two surfaces, as long as the normal reaction remains constant.
ব্যাখ্যা: ঘর্ষণের চিরায়ত সূত্রানুসারে, ঘর্ষণ বল সংস্পর্শে থাকা দুটি তলের আপাত ক্ষেত্রফলের উপর নির্ভরশীল নয়, যতক্ষণ পর্যন্ত লম্ব প্রতিক্রিয়া স্থির থাকে।
7. The value of the coefficient of kinetic friction compared to the coefficient of static friction is generally:
চল ঘর্ষণ গুণাঙ্কের মান স্থিতি ঘর্ষণ গুণাঙ্কের তুলনায় সাধারণত:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Less
Explanation: It takes more force to start a motion (overcome static friction) than to maintain it (overcome kinetic friction). Therefore, μ_kinetic < μ_static.
ব্যাখ্যা: একটি বস্তুকে গতিশীল করতে (স্থিতি ঘর্ষণ অতিক্রম করতে) যে বল প্রয়োজন, তার গতি বজায় রাখার (চল ঘর্ষণ অতিক্রম করতে) জন্য প্রয়োজনীয় বলের চেয়ে বেশি। তাই, μ_চল < μ_স্থিতি।
8. A body of weight W is resting on a rough horizontal plane. The minimum force required to move the body is:
W ওজনের একটি বস্তু একটি অমসৃণ অনুভূমিক তলের উপর স্থির আছে। বস্তুটিকে গতিশীল করার জন্য ন্যূনতম প্রয়োজনীয় বল হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) W sin(λ)
Explanation: The minimum force P is required when it is applied at an angle λ (angle of friction) to the horizontal. By resolving forces, we can find that P_min = W sin(λ). A horizontal pull requires P = μW = W tan(λ), which is greater.
ব্যাখ্যা: ন্যূনতম বল P প্রয়োজন হয় যখন এটি অনুভূমিকের সাথে λ (ঘর্ষণ কোণ) কোণে প্রয়োগ করা হয়। বলের উপাংশ বিশ্লেষণ করে আমরা পাই, P_min = W sin(λ)। একটি অনুভূমিক টানের জন্য P = μW = W tan(λ) প্রয়োজন, যা বেশি।
9. If the force of friction is equal to the applied force, the body will:
যদি ঘর্ষণ বল প্রযুক্ত বলের সমান হয়, তাহলে বস্তুটি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) Remain at rest or move with constant velocity
Explanation: According to Newton’s First Law, if the net force is zero (applied force – friction = 0), the object’s state of motion does not change. If it was at rest, it remains at rest. If it was already moving, it continues to move with constant velocity.
ব্যাখ্যা: নিউটনের প্রথম সূত্র অনুসারে, যদি মোট বল শূন্য হয় (প্রযুক্ত বল – ঘর্ষণ বল = ০), তাহলে বস্তুর গতির অবস্থার কোনো পরিবর্তন হয় না। যদি এটি স্থির থাকে, তবে স্থির থাকবে। যদি এটি আগে থেকেই গতিশীল থাকে, তবে এটি ধ্রুব বেগে চলতে থাকবে।
10. For a particle to be in equilibrium on a rough surface, the angle between the resultant reaction and the normal must be:
একটি অমসৃণ তলের উপর একটি কণার সাম্যাবস্থায় থাকার জন্য, লব্ধি প্রতিক্রিয়া এবং লম্ব প্রতিক্রিয়ার মধ্যবর্তী কোণ অবশ্যই হবে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Less than or equal to the angle of friction (λ)
Explanation: The friction force adjusts itself to maintain equilibrium, up to its limiting value. The angle θ between the resultant reaction and the normal is given by tan(θ) = F/R. Since F ≤ μR, we have tan(θ) ≤ μ = tan(λ), which implies θ ≤ λ. It is equal to λ only at limiting equilibrium.
ব্যাখ্যা: ঘর্ষণ বল সাম্যাবস্থা বজায় রাখার জন্য নিজেকে সামঞ্জস্য করে, তার সীমাস্থ মান পর্যন্ত। লব্ধি প্রতিক্রিয়া এবং লম্ব প্রতিক্রিয়ার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, tan(θ) = F/R। যেহেতু F ≤ μR, তাই tan(θ) ≤ μ = tan(λ), যা থেকে পাই θ ≤ λ। এটি শুধুমাত্র সীমাস্থ সাম্যাবস্থায় λ এর সমান হয়।
Topic 2 & 3: Centre of Gravity & Astatic Equilibrium
11. The centre of gravity of a system of particles with masses m₁, m₂, … at positions r₁, r₂, … is given by:
m₁, m₂, … ভরের এবং r₁, r₂, … অবস্থানে থাকা কণার একটি সিস্টেমের ভারকেন্দ্রের সূত্রটি হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) (Σmᵢrᵢ) / (Σmᵢ)
Explanation: The position vector of the centre of gravity is the weighted average of the position vectors of the individual particles, where the weights are the masses of the particles. R_CG = (m₁r₁ + m₂r₂ + …)/(m₁ + m₂ + …).
ব্যাখ্যা: ভারকেন্দ্রের অবস্থান ভেক্টর হলো প্রতিটি কণার অবস্থান ভেক্টরের ভর-ভিত্তিক গড়। R_CG = (m₁r₁ + m₂r₂ + …)/(m₁ + m₂ + …)।
12. For a continuous body with density ρ(r), the x-coordinate of the centre of gravity is given by:
ρ(r) ঘনত্বযুক্ত একটি অবিচ্ছিন্ন বস্তুর জন্য, ভারকেন্দ্রের x-স্থানাঙ্কটি হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) ∫ρx dV / ∫ρ dV
Explanation: This is the continuous form of the discrete formula. ∫ρx dV represents the sum of the moments of mass elements about the yz-plane, and ∫ρ dV is the total mass of the body.
ব্যাখ্যা: এটি বিচ্ছিন্ন সূত্রের অবিচ্ছিন্ন রূপ। ∫ρx dV yz-তলের সাপেক্ষে ভর উপাদানগুলির মোমেন্টের যোগফলকে বোঝায় এবং ∫ρ dV হলো বস্তুর মোট ভর।
13. Astatic equilibrium refers to a state where a body:
অ্যাস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থা বলতে এমন একটি অবস্থা বোঝায় যেখানে একটি বস্তু:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Remains in equilibrium when the system of forces is rotated about a certain point
Explanation: Astatic equilibrium is a special type of neutral equilibrium. A system of forces has an astatic centre if, when the forces are rotated together about this centre, they remain in equilibrium.
ব্যাখ্যা: অ্যাস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থা এক বিশেষ ধরনের নিরপেক্ষ সাম্যাবস্থা। একটি বল সিস্টেমের একটি অ্যাস্ট্যাটিক কেন্দ্র থাকে যদি সেই কেন্দ্রের সাপেক্ষে বলগুলিকে একসাথে ঘোরানোর পরেও তারা সাম্যাবস্থায় থাকে।
14. For a particle in equilibrium on a smooth plane curve under gravity, the normal reaction is:
অভিকর্ষের অধীনে একটি মসৃণ সমতল বক্ররেখার উপর সাম্যাবস্থায় থাকা একটি কণার জন্য, লম্ব প্রতিক্রিয়াটি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Such that it balances the component of weight perpendicular to the tangent
Explanation: For equilibrium, the net force along the normal to the curve must be zero. The normal reaction (R) acts outwards along the normal. It must balance any component of external forces (like gravity) that acts inwards along the normal. If ψ is the angle the tangent makes with the horizontal, R = mg cos(ψ).
ব্যাখ্যা: সাম্যাবস্থার জন্য, বক্ররেখার অভিলম্ব বরাবর মোট বল শূন্য হতে হবে। লম্ব প্রতিক্রিয়া (R) অভিলম্ব বরাবর বাইরের দিকে কাজ করে। এটি বাহ্যিক বলের (যেমন অভিকর্ষ) সেই উপাংশটিকে প্রতিমিত করে যা অভিলম্ব বরাবর ভিতরের দিকে কাজ করে। যদি স্পর্শকটি অনুভূমিকের সাথে ψ কোণ করে, তাহলে R = mg cos(ψ)।
15. The centre of gravity of a uniform semi-circular lamina of radius ‘a’ is at a distance from the diameter:
‘a’ ব্যাসার্ধের একটি সুষম অর্ধ-বৃত্তাকার পাত-এর ভারকেন্দ্র ব্যাস থেকে কত দূরত্বে অবস্থিত?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) 4a / 3π
Explanation: This is a standard result obtained by integration. The centre of gravity lies on the axis of symmetry at a distance of 4a/3π from the bounding diameter.
ব্যাখ্যা: এটি সমাকলনের মাধ্যমে প্রাপ্ত একটি আদর্শ ফলাফল। ভারকেন্দ্রটি প্রতিসাম্য অক্ষের উপর সীমানার ব্যাস থেকে 4a/3π দূরত্বে অবস্থিত।
16. The condition for a system of coplanar forces to have an astatic centre is that:
একটি সমতলীয় বল সিস্টেমের অ্যাস্ট্যাটিক কেন্দ্র থাকার শর্ত হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) The resultant force is non-zero, but the resultant moment about the C.G. is zero
Explanation: For astatic equilibrium, the system of forces must reduce to a single resultant force passing through the centre of gravity of their points of application, meaning the moment about that point is zero. A zero resultant force would mean the system is in full equilibrium, which is a trivial case.
ব্যাখ্যা: অ্যাস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থার জন্য, বল সিস্টেমটিকে অবশ্যই একটি একক লব্ধি বলে পর্যবসিত হতে হবে যা তাদের প্রয়োগ বিন্দুর ভারকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, অর্থাৎ সেই বিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট শূন্য। একটি শূন্য লব্ধি বলের অর্থ হলো সিস্টেমটি সম্পূর্ণ সাম্যাবস্থায় আছে, যা একটি সাধারণ ক্ষেত্র।
17. For a particle to be in equilibrium on a smooth curve y=f(x) under gravity, the condition is:
অভিকর্ষের অধীনে একটি মসৃণ বক্ররেখা y=f(x) এর উপর একটি কণার সাম্যাবস্থার শর্ত হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) dy/dx = 0
Explanation: For equilibrium under gravity on a smooth curve, the only external force is weight (acting vertically). The normal reaction is perpendicular to the tangent. For the forces to balance, the tangent must be horizontal so that the weight is fully balanced by the normal reaction. A horizontal tangent means the slope dy/dx = 0.
ব্যাখ্যা: একটি মসৃণ বক্ররেখায় অভিকর্ষের অধীনে সাম্যাবস্থার জন্য, একমাত্র বাহ্যিক বল হলো ওজন (উল্লম্বভাবে কার্যকরী)। লম্ব প্রতিক্রিয়া স্পর্শকের উপর লম্ব। বলগুলির সাম্যাবস্থার জন্য, স্পর্শকটি অবশ্যই অনুভূমিক হতে হবে যাতে ওজন সম্পূর্ণরূপে লম্ব প্রতিক্রিয়া দ্বারা প্রতিমিত হয়। একটি অনুভূমিক স্পর্শকের অর্থ হলো ঢাল dy/dx = 0।
18. The centre of gravity of a solid hemisphere of radius ‘a’ lies on the axis of symmetry at a distance from the base:
‘a’ ব্যাসার্ধের একটি নিরেট অর্ধ-গোলকের ভারকেন্দ্র প্রতিসাম্য অক্ষের উপর ভূমি থেকে কত দূরত্বে অবস্থিত?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 3a/8
Explanation: This is another standard result from integration. The center of gravity for a solid hemisphere is located at a distance of 3a/8 from its flat circular base, along the axis of symmetry.
ব্যাখ্যা: এটি সমাকলন থেকে প্রাপ্ত আরেকটি আদর্শ ফলাফল। একটি নিরেট অর্ধ-গোলকের ভারকেন্দ্র তার সমতল বৃত্তাকার ভূমি থেকে 3a/8 দূরত্বে, প্রতিসাম্য অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
Topic 4: Virtual Work
19. The principle of virtual work states that for a system in equilibrium, the total virtual work done by all the active forces for any small virtual displacement is:
ভার্চুয়াল কার্যের নীতি অনুসারে, সাম্যাবস্থায় থাকা একটি সিস্টেমের জন্য, যেকোনো ক্ষুদ্র ভার্চুয়াল সরণের জন্য সমস্ত সক্রিয় বল দ্বারা কৃত মোট ভার্চুয়াল কার্য হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Zero
Explanation: The Principle of Virtual Work states that if a system is in equilibrium under a set of active forces, the total work done (Σ Fᵢ ⋅ δrᵢ) by these forces during an arbitrary infinitesimal (virtual) displacement (δrᵢ) consistent with the constraints is zero.
ব্যাখ্যা: ভার্চুয়াল কার্যের নীতিটি বলে যে যদি একটি সিস্টেম সক্রিয় বলের অধীনে সাম্যাবস্থায় থাকে, তবে সিস্টেমের সীমাবদ্ধতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেকোনো স্বেচ্ছাধীন ক্ষুদ্র (ভার্চুয়াল) সরণের (δrᵢ) জন্য এই বলগুলি দ্বারা কৃত মোট কার্য (Σ Fᵢ ⋅ δrᵢ) শূন্য হয়।
20. Which of the following forces does NOT appear in the equation of virtual work for a rigid body?
একটি দৃঢ় বস্তুর জন্য ভার্চুয়াল কার্যের সমীকরণে নিম্নলিখিত কোন বলটি উপস্থিত থাকে না?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Normal reaction from a smooth surface
Explanation: Forces that do no work during a virtual displacement are excluded. The normal reaction from a smooth surface is always perpendicular to the surface. Since any virtual displacement must be along the surface, the angle between the normal force and the displacement is 90°, and thus the work done is zero.
ব্যাখ্যা: ভার্চুয়াল সরণের সময় যে বলগুলি কোনো কার্য করে না, সেগুলি সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়। একটি মসৃণ তল থেকে লম্ব প্রতিক্রিয়া সর্বদা তলের উপর লম্ব থাকে। যেহেতু যেকোনো ভার্চুয়াল সরণকে অবশ্যই তলের সাথে সমান্তরাল হতে হবে, লম্ব বল এবং সরণের মধ্যবর্তী কোণ ৯০° হয়, এবং তাই কৃত কার্য শূন্য হয়।
21. The tension in an inextensible string connecting two particles of a system is an example of a force that:
একটি সিস্টেমের দুটি কণাকে সংযোগকারী একটি অপ্রসারণশীল সুতার টান এমন একটি বলের উদাহরণ যা:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Does no net work on the system as a whole
Explanation: The tension acts as an internal force. The work done by tension on one particle is equal and opposite to the work done on the other particle. Therefore, the net virtual work done by internal tension in an inextensible string is zero.
ব্যাখ্যা: সুতার টান একটি অভ্যন্তরীণ বল হিসাবে কাজ করে। একটি কণার উপর টানের দ্বারা কৃত কার্য অন্য কণার উপর কৃত কার্যের সমান এবং বিপরীত হয়। অতএব, একটি অপ্রসারণশীল সুতার অভ্যন্তরীণ টানের দ্বারা কৃত মোট ভার্চুয়াল কার্য শূন্য হয়।
22. The “Converse of the principle of virtual work” states that if the total virtual work is zero for ANY virtual displacement, then the system:
“ভার্চুয়াল কার্যের নীতির বিপরীত” বিবৃতিটি বলে যে, যদি যেকোনো ভার্চুয়াল সরণের জন্য মোট ভার্চুয়াল কার্য শূন্য হয়, তবে সিস্টেমটি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Is in equilibrium
Explanation: The converse principle is also true. If Σ Fᵢ ⋅ δrᵢ = 0 for any and all possible virtual displacements δrᵢ that are consistent with the constraints, then the system of forces must be in equilibrium.
ব্যাখ্যা: বিপরীত নীতিটিও সত্য। যদি সীমাবদ্ধতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যেকোনো এবং সমস্ত সম্ভাব্য ভার্চুয়াল সরণ δrᵢ এর জন্য Σ Fᵢ ⋅ δrᵢ = 0 হয়, তবে বলের সিস্টেমটি অবশ্যই সাম্যাবস্থায় থাকবে।
23. Virtual displacements are:
ভার্চুয়াল সরণ হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Infinitesimal, instantaneous, and consistent with the system’s constraints
Explanation: Virtual displacements are imagined, not real. They are assumed to be infinitesimal, occur at a fixed instant of time (time is not a variable), and must not violate any of the geometrical constraints of the system.
ব্যাখ্যা: ভার্চুয়াল সরণ কাল্পনিক, বাস্তব নয়। এগুলিকে অসীম ক্ষুদ্র, একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে ঘটা (সময় পরিবর্তনশীল নয়), এবং সিস্টেমের কোনো জ্যামিতিক সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন না করা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়।
24. For a conservative system, the principle of virtual work is equivalent to stating that at equilibrium, the potential energy is:
একটি সংরক্ষী সিস্টেমের জন্য, ভার্চুয়াল কার্যের নীতিটি এই বিবৃতির সমতুল্য যে সাম্যাবস্থায়, বিভব শক্তি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) Stationary (maximum, minimum, or point of inflection)
Explanation: For a conservative system, the virtual work done is the negative of the change in potential energy (δW = -δV). The principle of virtual work (δW = 0) thus implies δV = 0. This means the potential energy is at a stationary point (its first derivative with respect to the coordinate is zero).
ব্যাখ্যা: একটি সংরক্ষী সিস্টেমের জন্য, কৃত ভার্চুয়াল কার্য বিভব শক্তির পরিবর্তনের ঋণাত্মক মানের সমান (δW = -δV)। ভার্চুয়াল কার্যের নীতি (δW = 0) থেকে তাই δV = 0 পাওয়া যায়। এর অর্থ হলো বিভব শক্তি একটি স্থির বিন্দুতে রয়েছে (স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে এর প্রথম অন্তরকলজ শূন্য)।
25. Which of these forces always appears in the equation of virtual work?
এই বলগুলির মধ্যে কোনটি সর্বদা ভার্চুয়াল কার্যের সমীকরণে উপস্থিত থাকে?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Force of gravity (weight)
Explanation: Gravity is an external “active” force. When the center of gravity of an object undergoes a vertical virtual displacement, gravity does virtual work (δW = -mg δh). The other forces listed are internal or constraint forces that typically do no net work.
ব্যাখ্যা: অভিকর্ষ একটি বাহ্যিক “সক্রিয়” বল। যখন কোনো বস্তুর ভারকেন্দ্রের একটি উল্লম্ব ভার্চুয়াল সরণ ঘটে, তখন অভিকর্ষ ভার্চুয়াল কার্য করে (δW = -mg δh)। তালিকাভুক্ত অন্যান্য বলগুলি অভ্যন্তরীণ বা সীমাবদ্ধতা বল যা সাধারণত কোনো মোট কার্য করে না।
Topic 5: Forces in 3-Dimensions
26. Poinsot’s central axis is a line such that a system of forces can be reduced to:
পয়ন্সটের কেন্দ্রীয় অক্ষ হলো এমন একটি রেখা যেখানে একটি বল সিস্টেমকে পর্যবসিত করা যায়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) A force along the line and a couple whose axis is the line
Explanation: Any general system of forces acting on a rigid body can be uniquely reduced to a single force (R) acting along a line (the central axis) and a couple (G) whose axis coincides with that line. This combination is called a wrench or a screw.
ব্যাখ্যা: একটি দৃঢ় বস্তুর উপর কার্যকরী যেকোনো সাধারণ বল সিস্টেমকে অনন্যভাবে একটি একক বলে (R) যা একটি রেখা (কেন্দ্রীয় অক্ষ) বরাবর ক্রিয়াশীল, এবং একটি কাপলে (G) যার অক্ষ ওই রেখার সাথে সমাপতিত, পর্যবসিত করা যায়। এই সমন্বয়টিকে একটি রেঞ্চ বা স্ক্রু বলা হয়।
27. The combination of a force and a parallel couple is called a:
একটি বল এবং একটি সমান্তরাল কাপলের সমন্বয়কে বলা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Wrench
Explanation: A wrench is the most general representation of the effect of a force system on a rigid body. It consists of a force vector and a couple vector that are collinear (parallel). The term ‘screw’ is also used for this.
ব্যাখ্যা: একটি রেঞ্চ হলো একটি দৃঢ় বস্তুর উপর বল সিস্টেমের প্রভাবের সবচেয়ে সাধারণ উপস্থাপনা। এটি একটি বল ভেক্টর এবং একটি কাপল ভেক্টর নিয়ে গঠিত যা সমরেখ (সমান্তরাল)। এর জন্য ‘স্ক্রু’ শব্দটিও ব্যবহৃত হয়।
28. The pitch of a wrench is defined as:
একটি রেঞ্চের পিচকে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The ratio G/R
Explanation: The pitch (p) of a wrench is the ratio of the magnitude of the couple (G) to the magnitude of the force (R), i.e., p = |G|/|R|. It has dimensions of length.
ব্যাখ্যা: একটি রেঞ্চের পিচ (p) হলো কাপলের মানের (|G|) এবং বলের মানের (|R|) অনুপাত, অর্থাৎ, p = |G|/|R|। এর মাত্রা দৈর্ঘ্যের।
29. For a given system of forces (R, G_O), where G_O is the moment about the origin, the invariant is:
একটি প্রদত্ত বল সিস্টেমের (R, G_O) জন্য, যেখানে G_O হলো মূলবিন্দুর সাপেক্ষে মোমেন্ট, ইনভ্যারিয়েন্ট (অপরিবর্তনীয়) রাশিটি হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) R · G_O
Explanation: The scalar product of the resultant force vector (R) and the resultant moment vector (G) about any point is an invariant for the system. Its value does not change regardless of the point about which the moment is calculated. R · G = constant.
ব্যাখ্যা: লব্ধি বল ভেক্টর (R) এবং যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে লব্ধি মোমেন্ট ভেক্টরের (G) স্কেলার গুণফল সিস্টেমের জন্য একটি ইনভ্যারিয়েন্ট। যে বিন্দুর সাপেক্ষেই মোমেন্ট গণনা করা হোক না কেন, এর মান অপরিবর্তিত থাকে। R · G = ধ্রুবক।
30. The equation of the central axis of a system of forces (R, G_O) is given by:
একটি বল সিস্টেমের (R, G_O) কেন্দ্রীয় অক্ষের সমীকরণ হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) r = (R x G_O) / |R|² + λR
Explanation: This is the vector equation of the central axis. ‘r’ is the position vector of any point on the axis, λ is a parameter, R is the resultant force, and G_O is the moment about the origin O. The term (R x G_O) / |R|² gives the position vector of the point where the axis pierces the plane through O perpendicular to R.
ব্যাখ্যা: এটি কেন্দ্রীয় অক্ষের ভেক্টর সমীকরণ। ‘r’ হলো অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, λ একটি প্যারামিটার, R হলো লব্ধি বল, এবং G_O হলো মূলবিন্দু O-এর সাপেক্ষে মোমেন্ট। (R x G_O) / |R|² পদটি সেই বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর দেয় যেখানে অক্ষটি O-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া এবং R-এর উপর লম্ব সমতলকে ছেদ করে।
31. The moment of a force F about a line with direction vector n passing through a point A is given by: (r is the position vector of a point on the line of action of F)
A বিন্দুগামী এবং n দিক-ভেক্টরযুক্ত একটি রেখার সাপেক্ষে F বলের মোমেন্ট হলো: (r হলো F বলের ক্রিয়া রেখার উপর একটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) ((r – a) x F) · n
Explanation: The moment of the force F about the point A is M_A = (r – a) x F. The component of this moment along the line with direction vector n is the scalar triple product of the vectors (r – a), F, and the unit vector in the direction of n. If n is a unit vector, the moment is ((r – a) x F) · n.
ব্যাখ্যা: A বিন্দুর সাপেক্ষে F বলের মোমেন্ট হলো M_A = (r – a) x F। n দিক-ভেক্টরযুক্ত রেখা বরাবর এই মোমেন্টের উপাংশ হলো (r – a), F, এবং n-এর দিকে একক ভেক্টরের স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট। যদি n একটি একক ভেক্টর হয়, তবে মোমেন্ট হলো ((r – a) x F) · n।
32. The axis of a couple is a vector that is:
একটি কাপলের অক্ষ হলো একটি ভেক্টর যা:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Perpendicular to the plane of the couple
Explanation: A couple is represented by a moment vector. The direction of this vector is defined to be perpendicular to the plane containing the two forces of the couple, following the right-hand rule.
ব্যাখ্যা: একটি কাপল একটি মোমেন্ট ভেক্টর দ্বারা উপস্থাপিত হয়। এই ভেক্টরের দিকটি কাপলের দুটি বল ধারণকারী সমতলের উপর লম্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা ডান-হাতের নিয়ম অনুসরণ করে।
33. If the resultant of a system of forces is a single couple, then:
যদি একটি বল সিস্টেমের লব্ধি একটি একক কাপল হয়, তাহলে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) The resultant force R is zero, and the resultant moment G is non-zero.
Explanation: A pure couple is defined by a pair of equal and opposite forces, so their vector sum (the resultant force R) is zero. However, they produce a net turning effect, so the resultant moment G is not zero.
ব্যাখ্যা: একটি শুদ্ধ কাপল সমান এবং বিপরীতমুখী দুটি বল দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তাই তাদের ভেক্টর যোগফল (লব্ধি বল R) শূন্য। কিন্তু, তারা একটি মোট ঘূর্ণন প্রভাব তৈরি করে, তাই লব্ধি মোমেন্ট G শূন্য নয়।
34. The intensity of a wrench is:
একটি রেঞ্চের তীব্রতা (intensity) হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) The magnitude of the resultant force, |R|
Explanation: In the context of a wrench, the “intensity” refers to the magnitude of the force component, |R|. The couple component is defined by the pitch and the intensity.
ব্যাখ্যা: একটি রেঞ্চের প্রসঙ্গে, “তীব্রতা” বলতে বল উপাংশের মান, |R|-কে বোঝায়। কাপল উপাংশটি পিচ এবং তীব্রতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়।
Topic 6: Central Forces & Planetary Motion
35. Kepler’s Second Law (Law of Areas) is a direct consequence of the conservation of:
কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র (ক্ষেত্রফলের সূত্র) কিসের সংরক্ষণের প্রত্যক্ষ ফলাফল?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Angular momentum
Explanation: Gravitational force is a central force, producing no torque about the center. Since torque is the rate of change of angular momentum, zero torque implies that angular momentum is conserved. Constant angular momentum leads directly to the law of equal areas swept in equal times.
ব্যাখ্যা: মহাকর্ষীয় বল একটি কেন্দ্রীয় বল, যা কেন্দ্রের সাপেক্ষে কোনো টর্ক তৈরি করে না। যেহেতু টর্ক হলো কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার, শূন্য টর্ক বোঝায় যে কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। ধ্রুবক কৌণিক ভরবেগ সরাসরি সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করার সূত্রে পর্যবসিত হয়।
36. The path of a particle under an inverse square attractive force (like gravity) can be a:
একটি ব্যস্ত-বর্গীয় আকর্ষণীয় বলের (যেমন মহাকর্ষ) অধীনে একটি কণার গতিপথ হতে পারে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) Circle, ellipse, parabola, or hyperbola
Explanation: The shape of the orbit is determined by the total energy (E) or eccentricity (e). e=0 (circle), 0
ব্যাখ্যা: কক্ষপথের আকৃতি মোট শক্তি (E) বা উৎকেন্দ্রতা (e) দ্বারা নির্ধারিত হয়। e=0 (বৃত্ত), 0
37. Escape velocity from the surface of a planet of mass M and radius R is given by:
M ভর এবং R ব্যাসার্ধের একটি গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে মুক্তিবেগের সূত্রটি হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) √(2GM/R)
Explanation: Escape velocity is the speed where the initial kinetic energy (1/2 mv²) equals the magnitude of the gravitational potential energy (GMm/R). Solving 1/2 mv_e² = GMm/R for v_e gives v_e = √(2GM/R).
ব্যাখ্যা: মুক্তিবেগ হলো সেই গতি যেখানে প্রাথমিক গতিশক্তি (1/2 mv²) মহাকর্ষীয় বিভব শক্তির মানের (GMm/R) সমান হয়। v_e এর জন্য 1/2 mv_e² = GMm/R সমাধান করলে পাওয়া যায় v_e = √(2GM/R)।
38. For a planet in an elliptical orbit around the sun, its speed is:
সূর্যের চারপাশে একটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথে থাকা একটি গ্রহের গতি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Maximum at perihelion (closest point)
Explanation: This is a consequence of conservation of angular momentum (L = mvr). Since L is constant, when the distance (r) is minimum (at perihelion), the speed (v) must be maximum. Conversely, speed is minimum at aphelion.
ব্যাখ্যা: এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণের (L = mvr) একটি ফলাফল। যেহেতু L ধ্রুবক, যখন দূরত্ব (r) সর্বনিম্ন হয় (পেরিহেলিয়নে), তখন গতি (v) অবশ্যই সর্বোচ্চ হতে হবে। বিপরীতভাবে, অ্যাপহেলিয়নে গতি সর্বনিম্ন হয়।
39. A conservative field of force is one in which the work done by the force:
একটি সংরক্ষী বল ক্ষেত্র হলো এমন একটি ক্ষেত্র যেখানে বল দ্বারা কৃত কার্য:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Depends only on the initial and final points
Explanation: A force is conservative if the work it does on a particle moving between two points is independent of the path taken. This is equivalent to saying the work done in a closed loop is zero. A potential energy function can be defined for such forces.
ব্যাখ্যা: একটি বল সংরক্ষী হয় যদি দুটি বিন্দুর মধ্যে চলমান একটি কণার উপর তার দ্বারা কৃত কার্য গৃহীত পথের উপর নির্ভরশীল না হয়। এর সমতুল্য হলো, একটি বদ্ধ পথে কৃত কার্য শূন্য। এই ধরনের বলের জন্য একটি বিভব শক্তি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।
40. Kepler’s Third Law states that the square of the orbital period (T) of a planet is proportional to the:
কেপলারের তৃতীয় সূত্র বলে যে একটি গ্রহের পর্যায়কালের (T) বর্গ, এর সমানুপাতিক:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Cube of the semi-major axis (a³)
Explanation: Kepler’s third law, also known as the law of harmonies, states that T² ∝ a³, where T is the orbital period and ‘a’ is the semi-major axis of the elliptical orbit. The ratio T²/a³ is constant for all planets orbiting the same star.
ব্যাখ্যা: কেপলারের তৃতীয় সূত্র, যা সুরের সূত্র নামেও পরিচিত, বলে যে T² ∝ a³, যেখানে T হলো পর্যায়কাল এবং ‘a’ হলো উপবৃত্তাকার কক্ষপথের অর্ধ-পরাক্ষ। একই নক্ষত্রকে প্রদক্ষিণকারী সমস্ত গ্রহের জন্য T²/a³ অনুপাতটি ধ্রুবক।
41. The orbital velocity of a satellite in a circular orbit of radius r around a planet of mass M is:
M ভরের একটি গ্রহের চারপাশে r ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে একটি উপগ্রহের কক্ষীয় বেগ হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) √(GM/r)
Explanation: For a circular orbit, the gravitational force provides the necessary centripetal force. So, GMm/r² = mv²/r. Solving for v gives v = √(GM/r). Note that this is 1/√2 times the escape velocity at that radius.
ব্যাখ্যা: একটি বৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য, মহাকর্ষীয় বল প্রয়োজনীয় অভিকেন্দ্র বল সরবরাহ করে। সুতরাং, GMm/r² = mv²/r। v এর জন্য সমাধান করলে পাওয়া যায় v = √(GM/r)। লক্ষ্য করুন যে এটি সেই ব্যাসার্ধের মুক্তিবেগের 1/√2 গুণ।
42. A slightly disturbed orbit from a stable circular one will result in:
একটি স্থিতিশীল বৃত্তাকার কক্ষপথ থেকে সামান্য বিচলিত একটি কক্ষপথের ফল হবে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) A stable elliptical orbit precessing around the planet
Explanation: A small perturbation to a circular orbit under an inverse-square law force results in a nearby stable elliptical orbit. The orientation of this ellipse (its major axis) may slowly rotate or precess over time, especially if there are other perturbing forces.
ব্যাখ্যা: একটি ব্যস্ত-বর্গীয় বলের অধীনে একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে একটি ছোট বিচলন একটি নিকটবর্তী স্থিতিশীল উপবৃত্তাকার কক্ষপথের সৃষ্টি করে। এই উপবৃত্তের স্থিতিবিন্যাস (তার পরাক্ষ) সময়ের সাথে ধীরে ধীরে ঘুরতে বা পুরঃসরণ করতে পারে, বিশেষ করে যদি অন্যান্য বিচলনকারী বল উপস্থিত থাকে।
43. When a particle moves under gravity along a rough cycloid, the loss of energy is due to:
যখন একটি কণা অভিকর্ষের অধীনে একটি অমসৃণ সাইক্লয়েডের সাথে চলে, তখন শক্তির ক্ষয় হয় যার কারণে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Work done against friction
Explanation: In any motion on a rough surface, the mechanical energy (Kinetic + Potential) is not conserved because friction is a non-conservative force. The work done by the frictional force dissipates energy, usually as heat. The loss in total mechanical energy is equal to the work done against friction.
ব্যাখ্যা: একটি অমসৃণ তলের উপর যেকোনো গতিতে, যান্ত্রিক শক্তি (গতিশক্তি + বিভবশক্তি) সংরক্ষিত থাকে না কারণ ঘর্ষণ একটি অসংরক্ষী বল। ঘর্ষণ বল দ্বারা কৃত কার্য শক্তিকে নষ্ট করে, সাধারণত তাপ হিসাবে। মোট যান্ত্রিক শক্তির ক্ষয় ঘর্ষণের বিরুদ্ধে কৃত কার্যের সমান হয়।
44. The total energy of an artificial satellite in a stable elliptical orbit is:
একটি স্থিতিশীল উপবৃত্তাকার কক্ষপথে একটি কৃত্রিম উপগ্রহের মোট শক্তি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Negative
Explanation: For any bound orbit (circular or elliptical), the system’s total mechanical energy (Kinetic + Potential) must be negative. A total energy of zero corresponds to a parabolic (escape) trajectory, and positive energy corresponds to a hyperbolic trajectory. The negative value signifies that the satellite is gravitationally “trapped”.
ব্যাখ্যা: যেকোনো বদ্ধ কক্ষপথের (বৃত্তাকার বা উপবৃত্তাকার) জন্য, সিস্টেমের মোট যান্ত্রিক শক্তি (গতিশক্তি + বিভবশক্তি) অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে। শূন্য মোট শক্তি একটি পরাবৃত্তাকার (মুক্তি) পথের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, এবং ধনাত্মক শক্তি একটি অধিবৃত্তাকার পথের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। ঋণাত্মক মানটি বোঝায় যে উপগ্রহটি মহাকর্ষীয়ভাবে “আবদ্ধ”।
Topic 7: Rigid Dynamics
45. The theorem of parallel axes for moment of inertia states that I = I_G + Mh², where h is:
জড়ত্ব ভ্রামকের জন্য সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি বলে I = I_G + Mh², যেখানে h হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The perpendicular distance between the two parallel axes
Explanation: The parallel axis theorem relates the moment of inertia (I) about any axis to the moment of inertia (I_G) about a parallel axis passing through the centre of mass. M is the total mass and h is the perpendicular distance between these two axes.
ব্যাখ্যা: সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামককে (I) ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামকের (I_G) সাথে সম্পর্কিত করে। M হলো মোট ভর এবং h হলো এই দুটি অক্ষের মধ্যে লম্ব দূরত্ব।
46. The theorem of perpendicular axes for a planar lamina states I_z = I_x + I_y. This is applicable only for:
একটি সমতল পাতের জন্য লম্ব অক্ষ উপপাদ্যটি হলো I_z = I_x + I_y। এটি শুধুমাত্র যার জন্য প্রযোজ্য:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Planar lamina (2D objects)
Explanation: The perpendicular axis theorem is specifically for planar objects. It states that the moment of inertia about an axis perpendicular to the plane of the lamina (z-axis) is the sum of the moments of inertia about two perpendicular axes in the plane of the lamina (x and y axes) that intersect at the same point.
ব্যাখ্যা: লম্ব অক্ষ উপপাদ্যটি বিশেষভাবে সমতলীয় বস্তুর জন্য। এটি বলে যে পাতের সমতলের উপর লম্ব একটি অক্ষের (z-অক্ষ) সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক হলো পাতের সমতলে অবস্থিত দুটি লম্ব অক্ষের (x এবং y অক্ষ) সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামকের যোগফলের সমান, যারা একই বিন্দুতে ছেদ করে।
47. D’Alembert’s principle transforms a dynamics problem into a statics problem by introducing a/an:
ডি’অ্যালামবার্টের নীতি একটি গতিবিদ্যার সমস্যাকে স্থিতিবিদ্যার সমস্যায় রূপান্তরিত করে কীসের মাধ্যমে?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Inertial force or reversed effective force (-ma)
Explanation: D’Alembert’s principle rewrites Newton’s second law (F=ma) as F – ma = 0. It treats the term “-ma” as a fictitious “inertial force”. This creates a system of forces (real forces + inertial force) that is in “dynamic equilibrium”, allowing the use of principles from statics.
ব্যাখ্যা: ডি’অ্যালামবার্টের নীতি নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রকে (F=ma) F – ma = 0 হিসাবে পুনরায় লেখে। এটি “-ma” পদটিকে একটি কাল্পনিক “জাড্য বল” হিসাবে বিবেচনা করে। এটি একটি বলের সিস্টেম (প্রকৃত বল + জাড্য বল) তৈরি করে যা “গতিশীল সাম্যাবস্থায়” থাকে, যা স্থিতিবিদ্যার নীতি ব্যবহার করার অনুমতি দেয়।
48. For a rigid body rotating about a fixed axis, its kinetic energy is given by:
একটি স্থির অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান একটি দৃঢ় বস্তুর গতিশক্তি হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 1/2 Iω²
Explanation: This is the rotational analogue of translational kinetic energy (1/2 mv²). Here, I is the moment of inertia (rotational analogue of mass) and ω is the angular velocity (rotational analogue of linear velocity).
ব্যাখ্যা: এটি রৈখিক গতিশক্তির (1/2 mv²) ঘূর্ণন প্রতিরূপ। এখানে, I হলো জড়ত্ব ভ্রামক (ভরের ঘূর্ণন প্রতিরূপ) এবং ω হলো কৌণিক বেগ (রৈখিক বেগের ঘূর্ণন প্রতিরূপ)।
49. A compound pendulum is a rigid body free to rotate about a:
একটি যৌগিক দোলক হলো একটি দৃঢ় বস্তু যা একটি … সাপেক্ষে ঘুরতে পারে।
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Horizontal axis not passing through its centre of mass
Explanation: A compound pendulum is any rigid body that oscillates under gravity about a fixed horizontal axis of suspension that does not pass through its center of gravity. A simple pendulum is an idealized point mass, while a compound pendulum is a realistic extended body.
ব্যাখ্যা: একটি যৌগিক দোলক হলো যেকোনো দৃঢ় বস্তু যা একটি স্থির অনুভূমিক আলম্বন অক্ষের সাপেক্ষে অভিকর্ষের অধীনে দোল খায় এবং এই অক্ষটি তার ভারকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় না। একটি সরল দোলক একটি আদর্শ বিন্দু ভর, যেখানে একটি যৌগিক দোলক একটি বাস্তবসম্মত বিস্তৃত বস্তু।
50. In Lagrangian mechanics, a cyclic coordinate is a generalized coordinate that does not appear explicitly in the:
ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে, একটি সাইক্লিক স্থানাঙ্ক হলো এমন একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক যা স্পষ্টভাবে উপস্থিত থাকে না:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Lagrangian (L)
Explanation: If a generalized coordinate q_k is cyclic (or ignorable), it means that the Lagrangian L = T – V is not an explicit function of q_k (∂L/∂q_k = 0). According to Lagrange’s equations, this implies that the corresponding generalized momentum p_k = ∂L/∂(dq_k/dt) is conserved.
ব্যাখ্যা: যদি একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক q_k সাইক্লিক (বা উপেক্ষাযোগ্য) হয়, তবে এর অর্থ হলো ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান L = T – V, q_k এর একটি স্পষ্ট ফাংশন নয় (∂L/∂q_k = 0)। ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণ অনুসারে, এটি বোঝায় যে সংশ্লিষ্ট সাধারণীকৃত ভরবেগ p_k = ∂L/∂(dq_k/dt) সংরক্ষিত থাকে।
51. The principal axes of inertia are the axes for which:
প্রধান জড়ত্ব অক্ষগুলি হলো সেই অক্ষ যার জন্য:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) All products of inertia are zero
Explanation: The principal axes are a special set of three mutually perpendicular axes passing through a point, for which the products of inertia (I_xy, I_yz, I_zx) are all zero. The inertia tensor becomes a diagonal matrix when expressed in the basis of principal axes.
ব্যাখ্যা: প্রধান অক্ষগুলি হলো একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া তিনটি পারস্পরিক লম্ব অক্ষের একটি বিশেষ সেট, যার জন্য জড়ত্বের গুণফল (I_xy, I_yz, I_zx) সবই শূন্য হয়। প্রধান অক্ষের ভিত্তিতে প্রকাশ করা হলে জড়ত্ব টেনসর একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সে পরিণত হয়।
52. The momental ellipsoid at a point O has the property that the square of its radius vector in any direction is inversely proportional to the:
O বিন্দুতে মোমেন্টাল উপগোলকের ধর্ম হলো যে কোনো দিকে এর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের বর্গ, এর ব্যস্তানুপাতিক:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Moment of inertia about that direction as an axis
Explanation: The momental ellipsoid (or inertia ellipsoid) is a geometric representation of the inertia tensor. Its equation is I_x x² + I_y y² + I_z z² = 1 (in principal axes). The distance from the origin to a point on the ellipsoid is 1/√(I), where I is the moment of inertia about the axis along that direction.
ব্যাখ্যা: মোমেন্টাল উপগোলক (বা জড়ত্ব উপগোলক) হলো জড়ত্ব টেনসরের একটি জ্যামিতিক উপস্থাপনা। এর সমীকরণ হলো I_x x² + I_y y² + I_z z² = 1 (প্রধান অক্ষে)। মূলবিন্দু থেকে উপগোলকের উপর একটি বিন্দুর দূরত্ব হলো 1/√(I), যেখানে I হলো সেই দিক বরাবর অক্ষের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক।
53. The principle of conservation of angular momentum states that if the net external torque on a system is zero, its angular momentum:
কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণ নীতি বলে যে যদি একটি সিস্টেমের উপর মোট বাহ্যিক টর্ক শূন্য হয়, তবে তার কৌণিক ভরবেগ:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Remains constant
Explanation: The rotational equivalent of Newton’s second law is τ = dL/dt (Torque = rate of change of angular momentum). If the net external torque τ is zero, then dL/dt = 0, which means the angular momentum vector L is a constant.
ব্যাখ্যা: নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের ঘূর্ণন প্রতিরূপ হলো τ = dL/dt (টর্ক = কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার)। যদি মোট বাহ্যিক টর্ক τ শূন্য হয়, তবে dL/dt = 0, যার অর্থ কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর L একটি ধ্রুবক।
54. An equimomental system is a set of particles that has the same:
একটি ইকুইমোমেন্টাল সিস্টেম হলো কণার একটি সেট যার একই:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Total mass, centre of mass, and moments of inertia as a rigid body
Explanation: An equimomental system is a simplified set of point masses that dynamically represents a complex rigid body. To be equimomental, the system must have the same total mass, the same center of mass, and the same moments and products of inertia about all axes as the original rigid body.
ব্যাখ্যা: একটি ইকুইমোমেন্টাল সিস্টেম হলো বিন্দু ভরের একটি সরলীকৃত সেট যা গতিশীলভাবে একটি জটিল দৃঢ় বস্তুকে প্রতিনিধিত্ব করে। ইকুইমোমেন্টাল হওয়ার জন্য, সিস্টেমটির অবশ্যই মূল দৃঢ় বস্তুর মতো একই মোট ভর, একই ভরকেন্দ্র এবং সমস্ত অক্ষের সাপেক্ষে একই জড়ত্ব ভ্রামক এবং জড়ত্বের গুণফল থাকতে হবে।
55. For pure rolling of a solid of revolution on a rough plane, the relationship between linear velocity (v) and angular velocity (ω) is: (r is the radius of the contact circle)
একটি অমসৃণ তলের উপর একটি ঘূর্ণনশীল নিরেট বস্তুর শুদ্ধ গড়ানোর জন্য, রৈখিক বেগ (v) এবং কৌণিক বেগের (ω) মধ্যে সম্পর্কটি হলো: (r হলো স্পর্শ বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) v = ωr
Explanation: Pure rolling is the condition where there is no slipping at the point of contact. This means the velocity of the point on the body in contact with the surface is zero relative to the surface. This condition is met when the linear velocity of the center of mass, v, is equal to ωr.
ব্যাখ্যা: শুদ্ধ গড়ান হলো সেই অবস্থা যেখানে স্পর্শ বিন্দুতে কোনো পিছলে যাওয়া নেই। এর অর্থ হলো তলের সংস্পর্শে থাকা বস্তুর বিন্দুর বেগ তলের সাপেক্ষে শূন্য। এই শর্তটি পূরণ হয় যখন ভরকেন্দ্রের রৈখিক বেগ, v, ωr এর সমান হয়।
56. The moment of momentum of a rigid body moving about a fixed axis is:
একটি স্থির অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান একটি দৃঢ় বস্তুর ভরবেগের ভ্রামক (কৌণিক ভরবেগ) হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Iω
Explanation: “Moment of momentum” is another term for angular momentum (L). For a rigid body rotating about a fixed axis, the angular momentum is the product of its moment of inertia (I) about that axis and its angular velocity (ω). L = Iω.
ব্যাখ্যা: “ভরবেগের ভ্রামক” হলো কৌণিক ভরবেগের (L) আরেকটি নাম। একটি স্থির অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান একটি দৃঢ় বস্তুর জন্য, কৌণিক ভরবেগ হলো সেই অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়ত্ব ভ্রামক (I) এবং তার কৌণিক বেগের (ω) গুণফল। L = Iω।
57. The number of generalized coordinates required to specify the configuration of a system is called its:
একটি সিস্টেমের কনফিগারেশন নির্দিষ্ট করার জন্য প্রয়োজনীয় সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের সংখ্যাকে বলা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) Degrees of freedom
Explanation: The degrees of freedom of a mechanical system is the number of independent parameters that define its configuration. This is equal to the minimum number of generalized coordinates needed to describe the system’s state.
ব্যাখ্যা: একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের স্বাধীনতার মাত্রা হলো স্বাধীন প্যারামিটারের সংখ্যা যা তার কনফিগারেশনকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি সিস্টেমের অবস্থা বর্ণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের ন্যূনতম সংখ্যার সমান।
58. If a generalized coordinate q_k is cyclic, the corresponding generalized momentum p_k is:
যদি একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক q_k সাইক্লিক হয়, তবে সংশ্লিষ্ট সাধারণীকৃত ভরবেগ p_k:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Conserved
Explanation: A coordinate q_k is cyclic if ∂L/∂q_k = 0. Lagrange’s equation for this coordinate is d/dt(∂L/∂(dq_k/dt)) – ∂L/∂q_k = 0. Since ∂L/∂q_k = 0, this becomes d/dt(p_k) = 0, which means the generalized momentum p_k = ∂L/∂(dq_k/dt) is conserved (constant in time).
ব্যাখ্যা: একটি স্থানাঙ্ক q_k সাইক্লিক হয় যদি ∂L/∂q_k = 0 হয়। এই স্থানাঙ্কের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণ হলো d/dt(∂L/∂(dq_k/dt)) – ∂L/∂q_k = 0। যেহেতু ∂L/∂q_k = 0, এটি d/dt(p_k) = 0 হয়ে যায়, যার অর্থ সাধারণীকৃত ভরবেগ p_k = ∂L/∂(dq_k/dt) সংরক্ষিত থাকে (সময়ের সাথে ধ্রুবক)।
59. An impulsive action on a rigid body causes a sudden change in its:
একটি দৃঢ় বস্তুর উপর ঘাত বলের ক্রিয়া এর … এর হঠাৎ পরিবর্তন ঘটায়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Momentum (linear and angular)
Explanation: An impulse (J = ∫F dt) is a very large force acting for a very short time. It causes a finite change in momentum (Δp = J). The position of the body does not change instantaneously. The momentum changes, which in turn changes the velocity.
ব্যাখ্যা: একটি ঘাত (J = ∫F dt) হলো খুব অল্প সময়ের জন্য কার্যকরী একটি খুব বড় বল। এটি ভরবেগের একটি সসীম পরিবর্তন ঘটায় (Δp = J)। বস্তুর অবস্থান তাৎক্ষণিকভাবে পরিবর্তিত হয় না। ভরবেগ পরিবর্তিত হয়, যা ফলস্বরূপ বেগের পরিবর্তন ঘটায়।
60. The Routhian function is constructed to:
রাউথিয়ান ফাংশনটি নির্মাণ করা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Deal with systems that have both cyclic and non-cyclic coordinates
Explanation: The Routhian is a hybrid function, part Lagrangian and part Hamiltonian. It is useful for simplifying problems where some coordinates are cyclic. It treats the non-cyclic coordinates in a Lagrangian way and the cyclic coordinates in a Hamiltonian way (using their conserved momenta).
ব্যাখ্যা: রাউথিয়ান একটি হাইব্রিড ফাংশন, আংশিক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান এবং আংশিক হ্যামিলটোনিয়ান। এটি সেইসব সমস্যা সরল করার জন্য দরকারী যেখানে কিছু স্থানাঙ্ক সাইক্লিক। এটি অ-সাইক্লিক স্থানাঙ্কগুলিকে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পদ্ধতিতে এবং সাইক্লিক স্থানাঙ্কগুলিকে হ্যামিলটোনিয়ান পদ্ধতিতে (তাদের সংরক্ষিত ভরবেগ ব্যবহার করে) বিবেচনা করে।
61. For a solid sphere rolling down a rough inclined plane, what provides the torque for angular acceleration?
একটি অমসৃণ নততল বরাবর গড়িয়ে নামা একটি নিরেট গোলকের জন্য, কৌণিক ত্বরণের জন্য টর্ক কে সরবরাহ করে?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Force of static friction
Explanation: The component of gravity and the normal reaction both act through the center of mass, so they produce no torque about the center. The force of static friction acts at the point of contact, a distance ‘r’ from the center, and it is this force that provides the necessary torque (τ = F_friction * r) to cause the angular acceleration.
ব্যাখ্যা: অভিকর্ষের উপাংশ এবং লম্ব প্রতিক্রিয়া উভয়ই ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে কাজ করে, তাই তারা কেন্দ্রের সাপেক্ষে কোনো টর্ক তৈরি করে না। স্থিতি ঘর্ষণ বল স্পর্শ বিন্দুতে কাজ করে, যা কেন্দ্র থেকে ‘r’ দূরত্বে অবস্থিত, এবং এই বলটিই কৌণিক ত্বরণ ঘটানোর জন্য প্রয়োজনীয় টর্ক (τ = F_friction * r) সরবরাহ করে।
62. The kinetic energy of a rigid body moving in 2D (plane motion) is expressed as:
2D-তে (সমতল গতি) চলমান একটি দৃঢ় বস্তুর গতিশক্তি প্রকাশ করা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 1/2 Mv_cm² + 1/2 I_cm ω²
Explanation: This is Koenig’s theorem. The total kinetic energy of a body in plane motion is the sum of the translational kinetic energy of its center of mass (1/2 Mv_cm²) and the rotational kinetic energy about its center of mass (1/2 I_cm ω²).
ব্যাখ্যা: এটি কোয়েনিগ-এর উপপাদ্য। সমতল গতিতে থাকা একটি বস্তুর মোট গতিশক্তি হলো তার ভরকেন্দ্রের রৈখিক গতিশক্তি (1/2 Mv_cm²) এবং তার ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে ঘূর্ণন গতিশক্তির (1/2 I_cm ω²) যোগফল।
63. The Lagrangian L is defined as:
ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান L-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) T – V (Kinetic Energy – Potential Energy)
Explanation: The Lagrangian (L) is a fundamental quantity in analytical mechanics. It is defined as the difference between the total kinetic energy (T) and the total potential energy (V) of the system.
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান (L) বিশ্লেষণাত্মক বলবিদ্যার একটি মৌলিক রাশি। এটিকে সিস্টেমের মোট গতিশক্তি (T) এবং মোট বিভব শক্তির (V) মধ্যে পার্থক্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
64. The angular momentum of a rigid body moving in 2D about the origin ‘O’ is: (r_cm is position of C.M., p_cm is momentum of C.M.)
2D-তে চলমান একটি দৃঢ় বস্তুর মূলবিন্দু ‘O’-এর সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগ হলো: (r_cm হলো C.M.-এর অবস্থান, p_cm হলো C.M.-এর ভরবেগ)
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) r_cm x p_cm + I_cm ω
Explanation: The total angular momentum about an arbitrary origin O is the sum of two parts: the angular momentum of the center of mass about O (as if it were a point particle, L_orbital = r_cm x p_cm) and the angular momentum of the body’s rotation about its center of mass (the “spin” angular momentum, L_spin = I_cm ω).
ব্যাখ্যা: একটি স্বেচ্ছাধীন মূলবিন্দু O-এর সাপেক্ষে মোট কৌণিক ভরবেগ দুটি অংশের যোগফল: O-এর সাপেক্ষে ভরকেন্দ্রের কৌণিক ভরবেগ (যেন এটি একটি বিন্দু কণা, L_orbital = r_cm x p_cm) এবং ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে বস্তুর ঘূর্ণনের কৌণিক ভরবেগ (“স্পিন” কৌণিক ভরবেগ, L_spin = I_cm ω)।
65. The time period of a compound pendulum is minimum when the distance of the axis of suspension from the C.G. is equal to:
একটি যৌগিক দোলকের দোলনকাল সর্বনিম্ন হয় যখন আলম্বন অক্ষের C.G. থেকে দূরত্ব এর সমান হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The radius of gyration (k)
Explanation: The time period T is given by T = 2π√((k²+h²)/gh), where h is the distance from C.G. To find the minimum T, we can differentiate T² with respect to h and set it to zero. This condition gives h = k, where k is the radius of gyration about the C.G.
ব্যাখ্যা: দোলনকাল T = 2π√((k²+h²)/gh) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে h হলো C.G. থেকে দূরত্ব। সর্বনিম্ন T খুঁজে পেতে, আমরা h-এর সাপেক্ষে T²-কে অন্তরকলন করে শূন্যের সমান করতে পারি। এই শর্তটি h = k দেয়, যেখানে k হলো C.G.-এর সাপেক্ষে চক্রগতির ব্যাসার্ধ।
66. The moment of inertia of a thin circular ring of mass M and radius R about its diameter is:
M ভর এবং R ব্যাসার্ধের একটি পাতলা বৃত্তাকার রিংয়ের তার ব্যাসের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 1/2 MR²
Explanation: Let I_z be the moment of inertia about the axis perpendicular to the ring’s plane, so I_z = MR². By the perpendicular axes theorem, for any two perpendicular diameters (x and y axes), I_x + I_y = I_z. Since I_x = I_y by symmetry, 2I_diameter = MR², which gives I_diameter = 1/2 MR².
ব্যাখ্যা: ধরা যাক I_z হলো রিংয়ের তলের উপর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক, সুতরাং I_z = MR²। লম্ব অক্ষ উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো দুটি লম্ব ব্যাসের (x এবং y অক্ষ) জন্য, I_x + I_y = I_z। প্রতিসাম্যের কারণে I_x = I_y হওয়ায়, 2I_ব্যাস = MR², যা থেকে পাওয়া যায় I_ব্যাস = 1/2 MR²।
67. If a solid cylinder and a hollow cylinder of the same mass and radius roll down an incline, which one reaches the bottom first?
যদি একই ভর ও ব্যাসার্ধের একটি নিরেট চোঙ এবং একটি ফাঁপা চোঙ একটি নততল বরাবর গড়িয়ে নামে, কোনটি প্রথমে নীচে পৌঁছাবে?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Solid cylinder
Explanation: The acceleration down the incline is a = g sin(θ) / (1 + I/MR²). The solid cylinder has I = 1/2 MR², so its ‘a’ is larger. The hollow cylinder has I = MR², so its ‘a’ is smaller. A larger acceleration means it reaches the bottom first.
ব্যাখ্যা: নততল বরাবর ত্বরণ হলো a = g sin(θ) / (1 + I/MR²)। নিরেট চোঙের I = 1/2 MR², তাই তার ‘a’ বেশি। ফাঁপা চোঙের I = MR², তাই তার ‘a’ কম। বেশি ত্বরণ মানে এটি প্রথমে নীচে পৌঁছাবে।
68. The principle of conservation of energy for a rigid body states that the work done by non-conservative forces equals the change in:
একটি দৃঢ় বস্তুর জন্য শক্তি সংরক্ষণ নীতি বলে যে অসংরক্ষী বল দ্বারা কৃত কার্য, এর পরিবর্তনের সমান:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Total mechanical energy (KE + PE)
Explanation: The work-energy theorem in its most general form states that the total work done on a system equals the change in its kinetic energy (W_total = ΔKE). If we separate the work into conservative (W_c) and non-conservative (W_nc) parts, W_c + W_nc = ΔKE. Since W_c = -ΔPE, we get W_nc = ΔKE + ΔPE = ΔE_mechanical.
ব্যাখ্যা: কার্য-শক্তি উপপাদ্যের সবচেয়ে সাধারণ রূপটি বলে যে একটি সিস্টেমে কৃত মোট কার্য তার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান (W_মোট = ΔKE)। যদি আমরা কার্যকে সংরক্ষী (W_c) এবং অসংরক্ষী (W_nc) অংশে ভাগ করি, W_c + W_nc = ΔKE। যেহেতু W_c = -ΔPE, আমরা পাই W_nc = ΔKE + ΔPE = ΔE_যান্ত্রিক।
69. For a system of forces to reduce to a single force, the necessary condition is:
একটি বল সিস্টেমকে একটি একক বলে পর্যবসিত করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) R · G = 0
Explanation: A system (R, G) reduces to a wrench with force R and couple of magnitude G_min = |R · G| / |R|. For the system to reduce to a single force, the couple part of the wrench must be zero. This means G_min = 0, which requires the invariant R · G to be zero. This implies R and G are perpendicular.
ব্যাখ্যা: একটি সিস্টেম (R, G) একটি রেঞ্চে পর্যবসিত হয় যার বল R এবং কাপলের মান G_min = |R · G| / |R|। সিস্টেমটিকে একটি একক বলে পর্যবসিত করার জন্য, রেঞ্চের কাপল অংশটি শূন্য হতে হবে। এর অর্থ G_min = 0, যার জন্য ইনভ্যারিয়েন্ট R · G শূন্য হওয়া প্রয়োজন। এটি বোঝায় যে R এবং G পরস্পর লম্ব।
70. The motion of a spinning top is an example of:
একটি ঘূর্ণায়মান লাটিমের গতি কিসের উদাহরণ?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) General 3D motion about a fixed point
Explanation: A spinning top rotates about its own axis (spin), while this axis itself rotates about the vertical (precession), and the angle of inclination may change (nutation). This complex motion occurs while one point (the tip) is fixed on the ground.
ব্যাখ্যা: একটি ঘূর্ণায়মান লাটিম তার নিজের অক্ষের চারপাশে ঘোরে (স্পিন), যখন এই অক্ষটি নিজেই উল্লম্বের চারপাশে ঘোরে (পুরঃসরণ), এবং নতি কোণ পরিবর্তিত হতে পারে (নুটেশন)। এই জটিল গতিটি ঘটে যখন একটি বিন্দু (ডগা) মাটিতে স্থির থাকে।
71. Lagrange’s equations of motion are a set of:
ল্যাগ্রাঞ্জের গতিসূত্রগুলি হলো একটি সেট:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Second-order differential equations
Explanation: The Lagrange equation is d/dt(∂L/∂(dq/dt)) – ∂L/∂q = 0. Since L is a function of q and its first time derivative dq/dt, the term ∂L/∂(dq/dt) is a function of dq/dt. Taking its time derivative d/dt(…) introduces the second derivative d²q/dt². Thus, they are second-order ODEs in the generalized coordinates q.
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণ হলো d/dt(∂L/∂(dq/dt)) – ∂L/∂q = 0। যেহেতু L, q এবং এর প্রথম সময় অন্তরকলজ dq/dt এর একটি ফাংশন, তাই ∂L/∂(dq/dt) পদটি dq/dt এর একটি ফাংশন। এর সময় অন্তরকলজ d/dt(…) নিলে দ্বিতীয় অন্তরকলজ d²q/dt² আসে। সুতরাং, এগুলি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক q-এর দ্বিতীয়-ক্রমের ODE।
72. A particle moving in a central force field always moves in a:
একটি কেন্দ্রীয় বল ক্ষেত্রে চলমান একটি কণা সর্বদা একটি … তে চলে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Plane
Explanation: A central force always acts along the line connecting the particle and the force center. This means the force vector is always in the plane defined by the initial velocity vector and the position vector. As there is no force component perpendicular to this plane, the particle never leaves it. This is a direct consequence of the conservation of the angular momentum vector L = r x p.
ব্যাখ্যা: একটি কেন্দ্রীয় বল সর্বদা কণা এবং বল কেন্দ্রকে সংযোগকারী রেখা বরাবর কাজ করে। এর মানে হলো বল ভেক্টরটি সর্বদা প্রাথমিক বেগ ভেক্টর এবং অবস্থান ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমতলে থাকে। যেহেতু এই সমতলের উপর লম্ব কোনো বলের উপাংশ নেই, কণাটি কখনই এটি ছেড়ে যায় না। এটি কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর L = r x p এর সংরক্ষণের একটি প্রত্যক্ষ ফলাফল।
73. The principle of conservation of linear momentum applies when the net external ____ on the system is zero.
রৈখিক ভরবেগ সংরক্ষণ নীতি প্রযোজ্য হয় যখন সিস্টেমে মোট বাহ্যিক ____ শূন্য হয়।
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Force
Explanation: According to Newton’s second law for a system, F_ext_net = dP/dt, where P is the total linear momentum. If the net external force is zero, then dP/dt = 0, which means the total linear momentum P is conserved.
ব্যাখ্যা: একটি সিস্টেমের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে, F_ext_net = dP/dt, যেখানে P হলো মোট রৈখিক ভরবেগ। যদি মোট বাহ্যিক বল শূন্য হয়, তবে dP/dt = 0, যার অর্থ মোট রৈখিক ভরবেগ P সংরক্ষিত থাকে।
74. What is the moment of inertia of a solid sphere of mass M and radius R about its diameter?
M ভর এবং R ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলকের তার ব্যাসের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক কত?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) 2/5 MR²
Explanation: This is a standard result for a solid sphere, usually derived using integration by considering the sphere as a stack of infinitesimally thin disks. The moment of inertia is I = 2/5 MR².
ব্যাখ্যা: এটি একটি নিরেট গোলকের জন্য একটি আদর্শ ফলাফল, যা সাধারণত গোলকটিকে অসীম পাতলা চাকতির একটি স্ট্যাক হিসাবে বিবেচনা করে সমাকলনের মাধ্যমে পাওয়া যায়। জড়ত্ব ভ্রামক হলো I = 2/5 MR²।
75. The law of friction F ≤ μN is an empirical law, which means it is:
ঘর্ষণের সূত্র F ≤ μN একটি গবেষণালব্ধ সূত্র, যার অর্থ এটি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Based on observation and experiment
Explanation: Empirical laws are formulations based on experimental data and observations, rather than being derived purely from fundamental theory. The laws of friction are a good approximation for many macroscopic situations but are not fundamental like Newton’s laws of motion.
ব্যাখ্যা: গবেষণালব্ধ সূত্রগুলি পরীক্ষামূলক তথ্য এবং পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে তৈরি, মৌলিক তত্ত্ব থেকে বিশুদ্ধভাবে উদ্ভূত নয়। ঘর্ষণের সূত্রগুলি অনেক ম্যাক্রোস্কোপিক পরিস্থিতির জন্য একটি ভাল অনুমান কিন্তু নিউটনের গতিসূত্রের মতো মৌলিক নয়।
76. The work done by a couple M during a small angular displacement dθ is:
একটি ক্ষুদ্র কৌণিক সরণ dθ এর সময় একটি কাপল M দ্বারা কৃত কার্য হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): D) M · dθ
Explanation: Work done by a force is F · dr. The rotational analogue is that work done by a torque (or couple moment) M is M · dθ, where dθ is the vector representing the infinitesimal angular displacement. If M and dθ are in the same direction, it simplifies to the scalar product M dθ.
ব্যাখ্যা: একটি বল দ্বারা কৃত কার্য হলো F · dr। এর ঘূর্ণন প্রতিরূপ হলো যে একটি টর্ক (বা কাপল মোমেন্ট) M দ্বারা কৃত কার্য M · dθ, যেখানে dθ হলো অসীম ক্ষুদ্র কৌণিক সরণকে প্রতিনিধিত্বকারী ভেক্টর। যদি M এবং dθ একই দিকে থাকে, তবে এটি স্কেলার গুণফল M dθ তে সরলীকৃত হয়।
77. The centre of gravity and centre of mass coincide if:
ভারকেন্দ্র এবং ভরকেন্দ্র সমাপতিত হয় যদি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) The gravitational field is uniform
Explanation: The centre of mass depends only on the distribution of mass. The centre of gravity depends on the distribution of weight. If the gravitational field (g) is uniform over the entire body, then weight (mg) is directly proportional to mass (m) everywhere, and the two points coincide. For very large objects like mountains, they are slightly different.
ব্যাখ্যা: ভরকেন্দ্র শুধুমাত্র ভরের বণ্টনের উপর নির্ভর করে। ভারকেন্দ্র ওজনের বণ্টনের উপর নির্ভর করে। যদি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র (g) পুরো বস্তুর উপর সুষম হয়, তবে ওজন (mg) সর্বত্র ভরের (m) সাথে সরাসরি সমানুপাতিক হয়, এবং দুটি বিন্দু সমাপতিত হয়। পাহাড়ের মতো খুব বড় বস্তুর জন্য, তারা সামান্য ভিন্ন হয়।
78. An astatic centre exists for a system of coplanar forces if:
একটি সমতলীয় বল সিস্টেমের জন্য একটি অ্যাস্ট্যাটিক কেন্দ্র বিদ্যমান থাকে যদি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) The resultant force R is not zero
Explanation: A non-trivial astatic center exists for any system of coplanar forces for which the resultant force R is not zero. If R were zero, the system would either be in equilibrium or reduce to a couple, and the concept becomes less meaningful or changes.
ব্যাখ্যা: যেকোনো সমতলীয় বল সিস্টেমের জন্য একটি অ-তুচ্ছ অ্যাস্ট্যাটিক কেন্দ্র বিদ্যমান থাকে যার জন্য লব্ধি বল R শূন্য নয়। যদি R শূন্য হত, তবে সিস্টেমটি হয় সাম্যাবস্থায় থাকত অথবা একটি কাপলে পর্যবসিত হত, এবং ধারণাটি কম অর্থপূর্ণ বা পরিবর্তিত হয়ে যেত।
79. A particle sliding down a smooth vertical circle, starting from rest at the highest point, leaves the circle when it has descended a vertical height of:
সর্বোচ্চ বিন্দু থেকে স্থির অবস্থা থেকে শুরু করে একটি মসৃণ উল্লম্ব বৃত্ত বরাবর স্লাইড করা একটি কণা বৃত্তটি ছেড়ে যায় যখন এটি একটি উল্লম্ব উচ্চতা … অতিক্রম করে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) R/3
Explanation: The particle leaves the circle when the normal reaction N becomes zero. By conserving energy and applying Newton’s second law in the radial direction (N + mg cosθ = mv²/R), we find that N=0 when cosθ = 2/3. The vertical height descended is h = R(1 – cosθ) = R(1 – 2/3) = R/3.
ব্যাখ্যা: কণাটি বৃত্তটি ছেড়ে যায় যখন লম্ব প্রতিক্রিয়া N শূন্য হয়ে যায়। শক্তি সংরক্ষণ এবং ব্যাসার্ধ বরাবর নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র (N + mg cosθ = mv²/R) প্রয়োগ করে, আমরা পাই যে N=0 হয় যখন cosθ = 2/3। অতিক্রান্ত উল্লম্ব উচ্চতা হলো h = R(1 – cosθ) = R(1 – 2/3) = R/3।
80. If a force F is conservative, which of the following is true?
যদি একটি বল F সংরক্ষী হয়, তবে নিম্নলিখিত কোনটি সত্য?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) ∇ x F = 0 (Curl is zero)
Explanation: A necessary and sufficient condition for a force field F to be conservative is that its curl is zero everywhere (∇ x F = 0). This is equivalent to saying the force can be expressed as the negative gradient of a scalar potential energy function (F = -∇V).
ব্যাখ্যা: একটি বল ক্ষেত্র F সংরক্ষী হওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্ত হলো যে এর কার্ল সর্বত্র শূন্য (∇ x F = 0)। এটি বলার সমতুল্য যে বলটিকে একটি স্কেলার বিভব শক্তি ফাংশনের ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে (F = -∇V)।
81. The axis about which the moment of inertia is maximum or minimum is always a:
যে অক্ষের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হয় তা সর্বদা একটি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Principal axis
Explanation: The moments of inertia about axes passing through a point have stationary values (maximum, minimum, or saddle point) along the directions of the principal axes of inertia for that point.
ব্যাখ্যা: একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষগুলির সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামকের স্থির মান (সর্বোচ্চ, সর্বনিম্ন, বা স্যাডল পয়েন্ট) সেই বিন্দুর জন্য প্রধান জড়ত্ব অক্ষগুলির দিক বরাবর থাকে।
82. For a solid cone of height h, the C.G. is at a height from the base:
h উচ্চতার একটি নিরেট শঙ্কুর জন্য, ভারকেন্দ্রটি ভূমি থেকে কত উচ্চতায় অবস্থিত?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) h/4
Explanation: For a solid right circular cone, the center of gravity is located on the axis of the cone at a height of h/4 from its base.
ব্যাখ্যা: একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর জন্য, ভারকেন্দ্রটি শঙ্কুর অক্ষের উপর তার ভূমি থেকে h/4 উচ্চতায় অবস্থিত।
83. If a body is in astatic equilibrium, it is always in:
যদি একটি বস্তু অ্যাস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থায় থাকে, তবে এটি সর্বদা … এ থাকে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Neutral equilibrium
Explanation: Astatic equilibrium is a special case of neutral equilibrium. Neutral equilibrium means the body remains in equilibrium if slightly displaced. Astatic equilibrium is a stronger condition where it remains in equilibrium even for finite rotations about the astatic centre.
ব্যাখ্যা: অ্যাস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থা নিরপেক্ষ সাম্যাবস্থার একটি বিশেষ ক্ষেত্র। নিরপেক্ষ সাম্যাবস্থার অর্থ হলো সামান্য সরালেও বস্তুটি সাম্যাবস্থায় থাকে। অ্যাস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থা একটি শক্তিশালী শর্ত যেখানে এটি অ্যাস্ট্যাটিক কেন্দ্রের সাপেক্ষে সসীম ঘূর্ণনের জন্যও সাম্যাবস্থায় থাকে।
84. The product of inertia I_xy for a body is defined as:
একটি বস্তুর জন্য জড়ত্বের গুণফল I_xy কে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) -∫xy dm
Explanation: The standard definition of the components of the inertia tensor is I_ij = ∫(r²δ_ij – x_i x_j) dm. For i≠j, this gives I_xy = -∫xy dm, I_yz = -∫yz dm, etc. Note: Some physics texts omit the negative sign, but in mechanics, it’s conventional.
ব্যাখ্যা: জড়ত্ব টেনসরের উপাংশগুলির আদর্শ সংজ্ঞা হলো I_ij = ∫(r²δ_ij – x_i x_j) dm। i≠j এর জন্য, এটি I_xy = -∫xy dm, I_yz = -∫yz dm, ইত্যাদি দেয়। দ্রষ্টব্য: কিছু পদার্থবিজ্ঞানের বই ঋণাত্মক চিহ্নটি বাদ দেয়, কিন্তু বলবিদ্যায় এটি প্রচলিত।
85. The condition for a solid of revolution to have pure rolling on an inclined plane is that the friction is:
একটি নততলের উপর একটি ঘূর্ণনশীল নিরেট বস্তুর শুদ্ধ গড়ানোর শর্ত হলো ঘর্ষণটি:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Static friction and less than or equal to μ_s * N
Explanation: For pure rolling (no slipping), the force required to provide the angular acceleration must be provided by static friction. This required static friction must be less than the maximum available static friction (μ_s * N). If it exceeds this value, slipping will occur.
ব্যাখ্যা: শুদ্ধ গড়ানোর জন্য (পিছলে না যাওয়া), কৌণিক ত্বরণ সরবরাহ করার জন্য প্রয়োজনীয় বল স্থিতি ঘর্ষণ দ্বারা সরবরাহ করতে হবে। এই প্রয়োজনীয় স্থিতি ঘর্ষণটি অবশ্যই সর্বোচ্চ উপলব্ধ স্থিতি ঘর্ষণ (μ_s * N) থেকে কম বা সমান হতে হবে। যদি এটি এই মান অতিক্রম করে, তবে পিছলে যাওয়া ঘটবে।
86. An impulse J is applied to a rigid body. The change in its linear momentum is:
একটি দৃঢ় বস্তুর উপর একটি ঘাত J প্রয়োগ করা হয়। এর রৈখিক ভরবেগের পরিবর্তন হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) J
Explanation: This is the definition of the impulse-momentum theorem. The impulse (J = ∫F dt) applied to a body is equal to the change in its linear momentum (Δp = p_final – p_initial). Thus, Δp = J.
ব্যাখ্যা: এটি ঘাত-ভরবেগ উপপাদ্যের সংজ্ঞা। একটি বস্তুর উপর প্রযুক্ত ঘাত (J = ∫F dt) তার রৈখিক ভরবেগের পরিবর্তনের (Δp = p_final – p_initial) সমান। সুতরাং, Δp = J।
87. A system with N particles, free to move in 3D, has how many degrees of freedom?
N সংখ্যক কণা বিশিষ্ট একটি সিস্টেম, যা 3D-তে অবাধে চলতে পারে, তার স্বাধীনতার মাত্রা কত?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) 3N
Explanation: Each particle, being free to move in 3D space, requires 3 coordinates (e.g., x, y, z) to specify its position. With no constraints connecting them, the total number of independent coordinates (degrees of freedom) for N particles is 3 + 3 + … (N times) = 3N.
ব্যাখ্যা: প্রতিটি কণা, 3D মহাকাশে অবাধে চলতে সক্ষম হওয়ায়, তার অবস্থান নির্দিষ্ট করার জন্য 3টি স্থানাঙ্ক (যেমন, x, y, z) প্রয়োজন। তাদের সংযোগকারী কোনো সীমাবদ্ধতা না থাকলে, N সংখ্যক কণার জন্য মোট স্বাধীন স্থানাঙ্কের সংখ্যা (স্বাধীনতার মাত্রা) হলো 3 + 3 + … (N বার) = 3N।
88. The period of a simple pendulum of length L is T. The period of a compound pendulum with length of equivalent simple pendulum L is:
L দৈর্ঘ্যের একটি সরল দোলকের দোলনকাল T। L সমতুল্য সরল দোলকের দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি যৌগিক দোলকের দোলনকাল:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Equal to T
Explanation: The concept of the “length of the equivalent simple pendulum” (L) for a compound pendulum is defined as the length of a simple pendulum that has the same period. Therefore, by definition, their periods are equal.
ব্যাখ্যা: একটি যৌগিক দোলকের জন্য “সমতুল্য সরল দোলকের দৈর্ঘ্য” (L) ধারণাটি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে এটি সেই সরল দোলকের দৈর্ঘ্য যার দোলনকাল একই। অতএব, সংজ্ঞা অনুসারে, তাদের দোলনকাল সমান।
89. The force of friction always acts in a direction ______ to the intended motion.
ঘর্ষণ বল সর্বদা উদ্দেশ্যপ্রণোদিত গতির ______ দিকে কাজ করে।
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Opposite
Explanation: The defining characteristic of friction (both static and kinetic) is that it opposes the relative motion or tendency of relative motion between surfaces in contact.
ব্যাখ্যা: ঘর্ষণের (স্থিতি এবং চল উভয়) সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য হলো এটি সংস্পর্শে থাকা তলগুলির মধ্যে আপেক্ষিক গতি বা আপেক্ষিক গতির প্রবণতার বিরোধিতা করে।
90. A wrench of zero pitch is equivalent to:
শূন্য পিচের একটি রেঞ্চ কিসের সমতুল্য?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) A single force
Explanation: Pitch p = G_min / R. If the pitch is zero (and R is not zero), then the minimum couple G_min must be zero. A system with a resultant force R and zero resultant couple is, by definition, a single force.
ব্যাখ্যা: পিচ p = G_min / R। যদি পিচ শূন্য হয় (এবং R শূন্য না হয়), তবে ন্যূনতম কাপল G_min অবশ্যই শূন্য হতে হবে। একটি সিস্টেম যার লব্ধি বল R এবং শূন্য লব্ধি কাপল আছে, তা সংজ্ঞা অনুসারে, একটি একক বল।
91. The number of generalized coordinates to describe a rigid body moving in a plane (2D) is:
একটি সমতলে (2D) চলমান একটি দৃঢ় বস্তুকে বর্ণনা করার জন্য সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের সংখ্যা হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 3
Explanation: To describe the position of a rigid body in a plane, we need two coordinates for the translation of its center of mass (e.g., x, y) and one coordinate for its rotation about an axis perpendicular to the plane (e.g., θ). Total = 2 + 1 = 3.
ব্যাখ্যা: একটি সমতলে একটি দৃঢ় বস্তুর অবস্থান বর্ণনা করতে, আমাদের তার ভরকেন্দ্রের রৈখিক গতির জন্য দুটি স্থানাঙ্ক (যেমন, x, y) এবং সমতলের উপর লম্ব একটি অক্ষের সাপেক্ষে তার ঘূর্ণনের জন্য একটি স্থানাঙ্ক (যেমন, θ) প্রয়োজন। মোট = ২ + ১ = ৩।
92. In the equation of motion for a rigid body about a fixed axis, τ = Iα, ‘τ’ represents the:
একটি স্থির অক্ষের সাপেক্ষে একটি দৃঢ় বস্তুর গতিসূত্রে τ = Iα, ‘τ’ প্রতিনিধিত্ব করে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Total external torque about the axis of rotation
Explanation: This equation is the rotational analog of F=ma. It states that the net external torque (τ) about the axis of rotation is equal to the product of the moment of inertia (I) about that axis and the angular acceleration (α).
ব্যাখ্যা: এই সমীকরণটি F=ma-এর ঘূর্ণন প্রতিরূপ। এটি বলে যে ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে মোট বাহ্যিক টর্ক (τ), সেই অক্ষের সাপেক্ষে জড়ত্ব ভ্রামক (I) এবং কৌণিক ত্বরণের (α) গুণফলের সমান।
93. A body is in stable equilibrium if its potential energy is at a:
একটি বস্তু স্থিতিশীল সাম্যাবস্থায় থাকে যদি তার বিভব শক্তি একটি … তে থাকে:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) Local minimum
Explanation: At a local minimum of potential energy, any small displacement will increase the potential energy. The system will then experience a restoring force (F = -dV/dx) that pushes it back towards the equilibrium point, hence it is stable.
ব্যাখ্যা: বিভব শক্তির একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দুতে, যেকোনো ছোট সরণ বিভব শক্তিকে বাড়িয়ে তুলবে। সিস্টেমটি তখন একটি প্রত্যর্পণকারী বল (F = -dV/dx) অনুভব করবে যা এটিকে সাম্যাবস্থার দিকে ফিরিয়ে আনবে, তাই এটি স্থিতিশীল।
94. The units of Pitch of a wrench are:
একটি রেঞ্চের পিচের একক হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Length
Explanation: Pitch is defined as p = |G|/|R|, where G is the moment (Force x Length) and R is the force. The units are (Force * Length) / Force = Length.
ব্যাখ্যা: পিচকে p = |G|/|R| হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে G হলো মোমেন্ট (বল x দৈর্ঘ্য) এবং R হলো বল। এককগুলি হলো (বল * দৈর্ঘ্য) / বল = দৈর্ঘ্য।
95. For a particle on a rough horizontal surface, the limiting friction is directly proportional to the:
একটি অমসৃণ অনুভূমিক তলের উপর একটি কণার জন্য, সীমাস্থ ঘর্ষণ সরাসরি এর সমানুপাতিক:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): A) Weight of the particle
Explanation: The law of limiting friction states F_lim = μ_s * N. On a horizontal surface, the normal reaction N is equal to the weight of the particle (mg). Therefore, F_lim is directly proportional to the weight.
ব্যাখ্যা: সীমাস্থ ঘর্ষণের সূত্রটি হলো F_lim = μ_s * N। একটি অনুভূমিক তলের উপর, লম্ব প্রতিক্রিয়া N কণার ওজনের (mg) সমান। অতএব, F_lim ওজনের সাথে সরাসরি সমানুপাতিক।
96. An artificial satellite is an example of motion under which law of force?
একটি কৃত্রিম উপগ্রহ কোন বলের সূত্রের অধীনে গতির একটি উদাহরণ?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Inverse Square Law (F ∝ 1/r²)
Explanation: The primary force governing the motion of satellites (both natural and artificial) is the gravitational force from the central body (e.g., Earth). Newton’s Law of Universal Gravitation is an inverse square law.
ব্যাখ্যা: উপগ্রহের (প্রাকৃতিক এবং কৃত্রিম উভয়) গতি নিয়ন্ত্রণকারী প্রাথমিক বল হলো কেন্দ্রীয় বস্তু (যেমন, পৃথিবী) থেকে মহাকর্ষীয় বল। নিউটনের সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র একটি ব্যস্ত-বর্গীয় সূত্র।
97. The centre of suspension and centre of oscillation of a compound pendulum are:
একটি যৌগিক দোলকের আলম্বন কেন্দ্র এবং দোলন কেন্দ্র:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Interchangeable
Explanation: A key property of the compound pendulum is that if you suspend it from the centre of oscillation, the old centre of suspension becomes the new centre of oscillation, and the period of oscillation remains the same. This property is called interchangeability or reversibility.
ব্যাখ্যা: যৌগিক দোলকের একটি মূল ধর্ম হলো যে যদি আপনি এটিকে দোলন কেন্দ্র থেকে আলম্বিত করেন, তবে পুরানো আলম্বন কেন্দ্রটি নতুন দোলন কেন্দ্র হয়ে যায়, এবং দোলনের সময়কাল একই থাকে। এই ধর্মটিকে বিনিময়যোগ্যতা বা প্রত্যাবর্তিতা বলা হয়।
98. Virtual work is a concept used primarily in:
ভার্চুয়াল কার্য একটি ধারণা যা প্রধানত ব্যবহৃত হয়:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) Statics
Explanation: The principle of virtual work is a powerful tool for finding the equilibrium positions of mechanical systems. While it can be extended to dynamics (via D’Alembert’s principle), its primary and most direct application is in statics.
ব্যাখ্যা: ভার্চুয়াল কার্যের নীতিটি যান্ত্রিক সিস্টেমের সাম্যাবস্থা খুঁজে বের করার জন্য একটি শক্তিশালী হাতিয়ার। যদিও এটি গতিবিদ্যায় প্রসারিত করা যেতে পারে (ডি’অ্যালামবার্টের নীতির মাধ্যমে), এর প্রাথমিক এবং সবচেয়ে সরাসরি প্রয়োগ স্থিতিবিদ্যায়।
99. An impulsive force is characterized by a:
একটি ঘাত বলের বৈশিষ্ট্য হলো:
Correct Answer (সঠিক উত্তর): C) Very large force acting for a very short time
Explanation: The defining feature of an impulsive force (like hitting a ball with a bat) is its large magnitude and very short duration of application. The product of this large force and short time, called the impulse, is finite.
ব্যাখ্যা: একটি ঘাত বলের (যেমন ব্যাট দিয়ে বলকে আঘাত করা) সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য হলো এর বিশাল মান এবং প্রয়োগের খুব সংক্ষিপ্ত সময়কাল। এই বিশাল বল এবং সংক্ষিপ্ত সময়ের গুণফল, যাকে ঘাত বলা হয়, সসীম।
100. The number of degrees of freedom for a single particle constrained to move on a fixed surface (like a sphere’s surface) is:
একটি স্থির তলের (যেমন একটি গোলকের পৃষ্ঠ) উপর চলতে সীমাবদ্ধ একটি একক কণার স্বাধীনতার মাত্রা কত?
Correct Answer (সঠিক উত্তর): B) 2
Explanation: A free particle in space has 3 degrees of freedom (x, y, z). The constraint of staying on a surface is defined by one equation (e.g., x²+y²+z²=R² for a sphere). This one constraint equation removes one degree of freedom. So, the degrees of freedom = 3 – 1 = 2. (e.g., latitude and longitude).
ব্যাখ্যা: মহাকাশে একটি মুক্ত কণার স্বাধীনতার মাত্রা ৩ (x, y, z)। একটি তলের উপর থাকার সীমাবদ্ধতা একটি সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় (যেমন, একটি গোলকের জন্য x²+y²+z²=R²)। এই একটি সীমাবদ্ধতা সমীকরণ একটি স্বাধীনতার মাত্রা কমিয়ে দেয়। সুতরাং, স্বাধীনতার মাত্রা = ৩ – ১ = ২। (যেমন, অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশ)।