WBSSC SLST Physics XI & XII : Mechanics and General Properties of Matter

Explanation: Work is the product of force and displacement, but it is a scalar quantity because it is defined by the dot product of the force and displacement vectors. It has magnitude but no direction.
ব্যাখ্যা: কার্য হলো বল এবং সরণের গুণফল, কিন্তু এটি একটি স্কেলার রাশি কারণ এটি বল এবং সরণ ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়। এর মান আছে কিন্তু কোনো দিক নেই।

Explanation: The magnitude of the cross product of two vectors A and B is given by |A||B|sin(θ), where θ is the angle between them. For parallel vectors, θ = 0°, and sin(0°) = 0. Thus, the cross product is a null vector.
ব্যাখ্যা: দুটি ভেক্টর A এবং B-এর ক্রস প্রোডাক্টের মান হলো |A||B|sin(θ), যেখানে θ হলো তাদের মধ্যবর্তী কোণ। সমান্তরাল ভেক্টরের ক্ষেত্রে, θ = 0° এবং sin(0°) = 0 হয়। তাই, ক্রস প্রোডাক্ট একটি শূন্য ভেক্টর হয়।

Explanation: A unit vector is a vector of length (magnitude) 1. It is used to specify a direction. Any vector can be divided by its magnitude to get a unit vector in the same direction.
ব্যাখ্যা: একটি একক ভেক্টর হলো এমন একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য (মান) ১। এটি দিক নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়। যেকোনো ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে একই দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

Explanation: In Lagrangian mechanics, the Lagrangian (L) of a system is defined as the difference between its kinetic energy (T) and potential energy (V).
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে, একটি সিস্টেমের ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান (L) তার গতিশক্তি (T) এবং স্থিতিশক্তির (V) পার্থক্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

Explanation: In Hamiltonian mechanics, the Hamiltonian (H) of a system is defined as the sum of its kinetic energy (T) and potential energy (V). For many conservative systems, it represents the total energy.
ব্যাখ্যা: হ্যামিলটোনিয়ান মেকানিক্সে, একটি সিস্টেমের হ্যামিলটোনিয়ান (H) তার গতিশক্তি (T) এবং স্থিতিশক্তির (V) যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অনেক সংরক্ষণশীল সিস্টেমের জন্য, এটি মোট শক্তিকে প্রতিনিধিত্ব করে।

Explanation: Just as linear momentum (mass × velocity) describes an object’s motion in a straight line, angular momentum (moment of inertia × angular velocity) describes an object’s rotational motion.
ব্যাখ্যা: যেমন রৈখিক ভরবেগ (ভর × বেগ) একটি বস্তুর সরলরৈখিক গতি বর্ণনা করে, তেমনি কৌণিক ভরবেগ (জড়তা ভ্রামক × কৌণিক বেগ) একটি বস্তুর ঘূর্ণন গতি বর্ণনা করে।

Explanation: The rate of change of angular momentum is equal to the net external torque. If the net external torque is zero, the angular momentum does not change, i.e., it is conserved (remains constant).
ব্যাখ্যা: কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হার মোট বাহ্যিক টর্কের সমান। যদি মোট বাহ্যিক টর্ক শূন্য হয়, তবে কৌণিক ভরবেগের কোনো পরিবর্তন হয় না, অর্থাৎ এটি সংরক্ষিত থাকে (ধ্রুবক থাকে)।

Explanation: The moment of inertia (I = Σmr²) is a measure of an object’s resistance to rotational acceleration. It depends on the total mass and how that mass is distributed relative to the axis of rotation.
ব্যাখ্যা: জড়তা ভ্রামক (I = Σmr²) হলো একটি বস্তুর ঘূর্ণন ত্বরণের বিরুদ্ধে প্রতিরোধের পরিমাপ। এটি মোট ভর এবং ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে সেই ভরের বণ্টনের উপর নির্ভর করে।

Explanation: The perpendicular axes theorem states that I_z = I_x + I_y, where x and y axes are in the plane of the body and the z-axis is perpendicular to it. This theorem is valid only for planar objects (2D objects or laminae).
ব্যাখ্যা: লম্ব অক্ষের উপপাদ্য অনুসারে I_z = I_x + I_y, যেখানে x এবং y অক্ষ বস্তুর তলে অবস্থিত এবং z-অক্ষ তার উপর লম্ব। এই উপপাদ্যটি শুধুমাত্র সমতলীয় বস্তুর (2D বস্তু বা ল্যামিনা) জন্য প্রযোজ্য।

Explanation: The parallel axis theorem relates the moment of inertia about any axis to the moment of inertia about a parallel axis through the center of mass. The formula is I = I_cm + Md², where M is the total mass and d is the perpendicular distance between the axes.
ব্যাখ্যা: সমান্তরাল অক্ষের উপপাদ্য যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামককে ভরকেন্দ্রগামী একটি সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের সাথে সম্পর্কিত করে। সূত্রটি হলো I = I_cm + Md², যেখানে M হলো মোট ভর এবং d হলো অক্ষ দুটির মধ্যে লম্ব দূরত্ব।

Explanation: Centripetal force is the force that keeps an object moving in a circular path. It is always directed radially inward, towards the center of the circle.
ব্যাখ্যা: কেন্দ্রমুখী বল হলো সেই বল যা একটি বস্তুকে বৃত্তাকার পথে গতিশীল রাখে। এর দিক সর্বদা ব্যাসার্ধ বরাবর ভিতরের দিকে, অর্থাৎ বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে থাকে।

Explanation: Centrifugal force is an apparent outward force that is experienced in a rotating (non-inertial) frame of reference. It is not a real force exerted by another object, but rather a consequence of inertia.
ব্যাখ্যা: অপকেন্দ্র বল হলো একটি আপাত বাহ্যিক বল যা একটি ঘূর্ণায়মান (অ-জড়ত্বীয়) নির্দেশতন্ত্রে অনুভূত হয়। এটি অন্য কোনো বস্তু দ্বারা প্রযুক্ত বাস্তব বল নয়, বরং জড়তার ফলস্বরূপ উদ্ভূত হয়।

Explanation: The Earth is not a perfect sphere; it is slightly flattened at the poles and bulged at the equator. Since the distance from the center of the Earth to the poles is less than to the equator, ‘g’ is maximum at the poles. The Earth’s rotation also slightly reduces the effective ‘g’ at the equator.
ব্যাখ্যা: পৃথিবী একটি নিখুঁত গোলক নয়; এটি মেরু অঞ্চলে সামান্য চাপা এবং বিষুবরেখায় ফোলা। যেহেতু পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে মেরু অঞ্চলের দূরত্ব বিষুবরেখার দূরত্বের চেয়ে কম, তাই ‘g’-এর মান মেরু অঞ্চলে সর্বোচ্চ হয়। পৃথিবীর ঘূর্ণনও বিষুবরেখায় কার্যকরী ‘g’-এর মান কিছুটা কমিয়ে দেয়।

Explanation: Kepler’s second law states that a line segment joining a planet and the Sun sweeps out equal areas during equal intervals of time. This is a direct consequence of the conservation of angular momentum, as the gravitational force exerted by the Sun on the planet produces zero torque.
ব্যাখ্যা: কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে, একটি গ্রহ এবং সূর্যকে সংযোগকারী রেখাংশ সমান সময়ের ব্যবধানে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণের একটি প্রত্যক্ষ ফল, কারণ গ্রহের উপর সূর্যের মহাকর্ষীয় বল কোনো টর্ক তৈরি করে না।

Explanation: Young’s modulus is the ratio of stress (Force/Area) to strain (dimensionless). Therefore, its unit is the same as the unit of stress, which is Newtons per square meter (N/m²) or Pascal (Pa).
ব্যাখ্যা: ইয়ং-এর গুণাঙ্ক হলো পীড়ন (বল/ক্ষেত্রফল) এবং বিকৃতির (এককহীন) অনুপাত। সুতরাং, এর একক পীড়নের এককের সমান, যা হলো নিউটন প্রতি বর্গমিটার (N/m²) বা প্যাসকেল (Pa)।

Explanation: Torsion refers to the twisting of an object due to an applied torque. A torsional oscillation occurs when a twisted object is released and oscillates back and forth.
ব্যাখ্যা: টরশন বলতে একটি প্রযুক্ত টর্কের কারণে বস্তুর মোচড়ানোকে বোঝায়। যখন একটি মোচড়ানো বস্তুকে ছেড়ে দেওয়া হয় এবং এটি সামনে-পিছনে দুলতে থাকে, তখন টরশনাল দোলন ঘটে।

Explanation: Surface tension arises from the cohesive forces (attraction between like molecules) among liquid molecules. The molecules at the surface are pulled inwards by the molecules below them, creating a ‘skin’ or tension on the surface.
ব্যাখ্যা: তরল অণুগুলির মধ্যে সংসক্তি বলের (একই ধরনের অণুর মধ্যে আকর্ষণ) কারণে পৃষ্ঠটান সৃষ্টি হয়। পৃষ্ঠের অণুগুলি তাদের নীচের অণুগুলির দ্বারা ভিতরের দিকে আকৃষ্ট হয়, যা পৃষ্ঠে একটি ‘চামড়া’ বা টান তৈরি করে।

Explanation: For a liquid drop, there is only one surface separating the liquid from the air. The excess pressure inside is given by the formula ΔP = 2T/r. For a soap bubble, which has two surfaces, the excess pressure is 4T/r.
ব্যাখ্যা: একটি তরল ফোঁটার ক্ষেত্রে, তরল এবং বায়ুকে পৃথককারী একটি মাত্র পৃষ্ঠ থাকে। ভিতরের অতিরিক্ত চাপের সূত্র হলো ΔP = 2T/r। একটি সাবান বুদবুদের ক্ষেত্রে, যার দুটি পৃষ্ঠ থাকে, অতিরিক্ত চাপ হয় 4T/r।

Explanation: Poiseuille’s formula gives the volume flow rate (Q) of a viscous fluid through a cylindrical pipe of length L and radius r, under a pressure difference ΔP. It is valid for laminar (non-turbulent) flow. Q = (πΔPr⁴)/(8ηL).
ব্যাখ্যা: পোয়াজুঁই-এর সূত্র একটি L দৈর্ঘ্য এবং r ব্যাসার্ধের নলের মধ্য দিয়ে ΔP চাপ পার্থক্যের অধীনে একটি সান্দ্র তরলের আয়তন প্রবাহের হার (Q) প্রদান করে। এটি ধারারেখ (অ-বিক্ষুব্ধ) প্রবাহের জন্য প্রযোজ্য। Q = (πΔPr⁴)/(8ηL)।

Explanation: Stokes’ law states that the viscous drag force F on a small sphere of radius ‘r’ moving with velocity ‘v’ through a fluid of viscosity ‘η’ is given by F = 6πηrv. Thus, the force is directly proportional to the radius ‘r’.
ব্যাখ্যা: স্টোকসের সূত্র অনুসারে, ‘η’ সান্দ্রতাযুক্ত একটি তরলের মধ্য দিয়ে ‘v’ বেগে চলমান ‘r’ ব্যাসার্ধের একটি ছোট গোলকের উপর সান্দ্র টান বল F = 6πηrv দ্বারা দেওয়া হয়। সুতরাং, বল ব্যাসার্ধ ‘r’-এর সাথে সরাসরি সমানুপাতিক।

Explanation: The Reynolds number (Re) is the ratio of inertial forces to viscous forces. Low Re values indicate laminar flow, where viscous forces are dominant. High Re values indicate turbulent flow, where inertial forces are dominant.
ব্যাখ্যা: রেনল্ডস সংখ্যা (Re) হলো জড়ত্বীয় বল এবং সান্দ্র বলের অনুপাত। কম Re মান ধারারেখ প্রবাহ নির্দেশ করে, যেখানে সান্দ্র বল প্রভাবশালী। উচ্চ Re মান বিক্ষুব্ধ প্রবাহ নির্দেশ করে, যেখানে জড়ত্বীয় বল প্রভাবশালী।

Explanation: The dot product of two vectors is commutative, meaning the order of the vectors does not change the result. A · B = |A||B|cos(θ) and B · A = |B||A|cos(θ), which are equal.
ব্যাখ্যা: দুটি ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট বিনিময় সূত্র মেনে চলে, অর্থাৎ ভেক্টরগুলির ক্রম পরিবর্তন করলে ফলাফল পরিবর্তন হয় না। A · B = |A||B|cos(θ) এবং B · A = |B||A|cos(θ), যা সমান।

Explanation: For a conservative system where the potential energy does not depend on velocity and the transformation equations do not depend explicitly on time, the Hamiltonian H is equal to the total mechanical energy, T + V.
ব্যাখ্যা: একটি সংরক্ষণশীল সিস্টেমের জন্য যেখানে স্থিতিশক্তি বেগের উপর নির্ভর করে না এবং রূপান্তর সমীকরণগুলি স্পষ্টভাবে সময়ের উপর নির্ভর করে না, সেখানে হ্যামিলটোনিয়ান H মোট যান্ত্রিক শক্তি T + V-এর সমান হয়।

Explanation: The radius of gyration is the distance from the axis of rotation to a point where the entire mass of the body could be concentrated without changing its moment of inertia. It is defined by the relation I = MK², or K = √(I/M).
ব্যাখ্যা: চক্রগতির ব্যাসার্ধ হলো ঘূর্ণন অক্ষ থেকে সেই বিন্দুর দূরত্ব যেখানে বস্তুর সমগ্র ভরকে কেন্দ্রীভূত করলে তার জড়তা ভ্রামকের কোনো পরিবর্তন হয় না। এটি I = MK² বা K = √(I/M) সম্পর্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়।

Explanation: The acceleration due to gravity decreases as one goes deeper into the Earth. The value at a depth ‘d’ is given by g’ = g(1 – d/R), where R is the radius of the Earth. At the center of the Earth (d=R), g’ becomes zero.
ব্যাখ্যা: পৃথিবীর গভীরে গেলে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হ্রাস পায়। ‘d’ গভীরতায় এর মান g’ = g(1 – d/R) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে R হলো পৃথিবীর ব্যাসার্ধ। পৃথিবীর কেন্দ্রে (d=R), g’-এর মান শূন্য হয়ে যায়।

Explanation: Kepler’s third law, the law of periods, states that the square of the orbital period of a planet is directly proportional to the cube of the semi-major axis of its orbit.
ব্যাখ্যা: কেপলারের তৃতীয় সূত্র, বা পর্যায়কালের সূত্র, অনুসারে একটি গ্রহের পর্যায়কালের বর্গ তার কক্ষপথের অর্ধ-পরাক্ষের ঘনকের সরাসরি সমানুপাতিক।

Explanation: Elasticity is the property of a body by virtue of which it tends to regain its original size and shape when the applied force is removed.
ব্যাখ্যা: স্থিতিস্থাপকতা হলো কোনো বস্তুর সেই ধর্ম যার গুণে প্রযুক্ত বল অপসারণ করলে এটি তার আসল আকার এবং আকৃতি ফিরে পাওয়ার চেষ্টা করে।

Explanation: For a cantilever beam clamped at one end and loaded at the other, the depression (δ) is given by the formula δ = WL³ / (3YI), where Y is Young’s modulus and I is the geometrical moment of inertia. Thus, the depression is proportional to the cube of the length (L³).
ব্যাখ্যা: একটি প্রান্তে আটকানো এবং অন্য প্রান্তে ভারযুক্ত ক্যান্টিলিভার বিমের জন্য, অবনমন (δ) সূত্র δ = WL³ / (3YI) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে Y হলো ইয়ং-এর গুণাঙ্ক এবং I হলো জ্যামিতিক জড়তা ভ্রামক। সুতরাং, অবনমন দৈর্ঘ্যের ঘনকের (L³) সমানুপাতিক।

Explanation: When the adhesive forces (between liquid and solid) are stronger than the cohesive forces (within the liquid), the liquid tends to spread out and wet the solid surface. This results in an acute angle of contact (e.g., water on clean glass).
ব্যাখ্যা: যখন আসঞ্জন বল (তরল ও কঠিনের মধ্যে) সংসক্তি বলের (তরলের মধ্যে) চেয়ে শক্তিশালী হয়, তখন তরলটি ছড়িয়ে পড়ে এবং কঠিন পৃষ্ঠকে ভিজিয়ে দেয়। এর ফলে একটি সূক্ষ্মকোণী সংস্পর্শ কোণ তৈরি হয় (যেমন, পরিষ্কার কাঁচের উপর জল)।

Explanation: In liquids, viscosity is caused by intermolecular cohesive forces. As temperature increases, the kinetic energy of molecules increases, which weakens the cohesive forces. This leads to a decrease in viscosity. (Note: For gases, viscosity increases with temperature).
ব্যাখ্যা: তরলে, সান্দ্রতা আন্তঃআণবিক সংসক্তি বলের কারণে হয়। তাপমাত্রা বাড়লে অণুগুলির গতিশক্তি বৃদ্ধি পায়, যা সংসক্তি বলকে দুর্বল করে দেয়। এর ফলে সান্দ্রতা হ্রাস পায়। (দ্রষ্টব্য: গ্যাসের ক্ষেত্রে, তাপমাত্রা বৃদ্ধিতে সান্দ্রতা বৃদ্ধি পায়)।

Explanation: This is the scalar triple product. The magnitude of B × C gives the area of the parallelogram formed by vectors B and C. The dot product of A with this area vector gives the volume of the parallelepiped formed by the three vectors A, B, and C.
ব্যাখ্যা: এটি স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্ট। B × C-এর মান ভেক্টর B এবং C দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল দেয়। এই ক্ষেত্রফল ভেক্টরের সাথে A-এর ডট প্রোডাক্ট তিনটি ভেক্টর A, B, এবং C দ্বারা গঠিত সমান্তরাল ষড়তলকের আয়তন প্রদান করে।

Explanation: A square matrix is called singular if its determinant is zero. A singular matrix does not have an inverse.
ব্যাখ্যা: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে সিঙ্গুলার বলা হয় যদি তার নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স (inverse) থাকে না।

Explanation: The primary advantage of the Lagrangian formulation is the use of generalized coordinates, which are a set of independent coordinates sufficient to describe the configuration of the system. This simplifies problems with constraints.
ব্যাখ্যা: ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ফর্মুলেশনের প্রধান সুবিধা হলো জেনারেলাইজড কোঅর্ডিনেটগুলির ব্যবহার, যা সিস্টেমের কনফিগারেশন বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট স্বাধীন স্থানাঙ্কের একটি সেট। এটি সীমাবদ্ধতাযুক্ত সমস্যাগুলিকে সহজ করে তোলে।

Explanation: By pulling her arms in, the skater decreases her moment of inertia (I). Since angular momentum (L = Iω) is conserved (assuming no external torque), a decrease in I must be compensated by an increase in angular velocity (ω), causing her to spin faster.
ব্যাখ্যা: হাত ভিতরের দিকে টেনে আনার মাধ্যমে স্কেটার তার জড়তা ভ্রামক (I) কমিয়ে দেয়। যেহেতু কৌণিক ভরবেগ (L = Iω) সংরক্ষিত থাকে (কোনো বাহ্যিক টর্ক নেই ধরে), I-এর হ্রাস কৌণিক বেগ (ω)-এর বৃদ্ধি দ্বারা পূরণ হয়, যার ফলে সে দ্রুত ঘুরতে থাকে।

Explanation: The absolute gravitational potential energy is defined as zero at infinity. At a distance (R+h) from the center of the Earth, it is -GMm/(R+h). The term ‘mgh’ is an approximation for the *change* in potential energy when h is much smaller than R.
ব্যাখ্যা: পরম মহাকর্ষীয় স্থিতিশক্তি অসীমে শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে (R+h) দূরত্বে, এটি -GMm/(R+h)। ‘mgh’ রাশিটি স্থিতিশক্তির *পরিবর্তনের* একটি আসন্ন মান যখন h, R-এর তুলনায় অনেক ছোট।

Explanation: Due to the symmetrical nature of the loading and support, the beam will bend downwards the most at the point where the load is applied, which is the center.
ব্যাখ্যা: ভার প্রয়োগ এবং অবলম্বনের প্রতিসম প্রকৃতির কারণে, বিমটি সেই বিন্দুতে সবচেয়ে বেশি নীচের দিকে বেঁকে যাবে যেখানে ভার প্রয়োগ করা হয়েছে, অর্থাৎ কেন্দ্রে।

Explanation: Evaporation is a process where the most energetic molecules escape from the liquid surface. This reduces the average kinetic energy of the remaining molecules, leading to a decrease in the liquid’s temperature, i.e., cooling.
ব্যাখ্যা: বাষ্পীভবন এমন একটি প্রক্রিয়া যেখানে সবচেয়ে শক্তিমান অণুগুলি তরল পৃষ্ঠ থেকে বেরিয়ে যায়। এটি অবশিষ্ট অণুগুলির গড় গতিশক্তি কমিয়ে দেয়, যার ফলে তরলের তাপমাত্রা হ্রাস পায়, অর্থাৎ শীতলতা সৃষ্টি হয়।

Explanation: The flow rate Q is proportional to the fourth power of the radius (r⁴). This means a small change in the radius will cause a very large change in the flow rate. For example, halving the radius reduces the flow rate by a factor of 16.
ব্যাখ্যা: প্রবাহের হার Q ব্যাসার্ধের চতুর্থ ঘাতের (r⁴) সমানুপাতিক। এর মানে হলো ব্যাসার্ধের একটি ছোট পরিবর্তন প্রবাহের হারে একটি খুব বড় পরিবর্তন ঘটাবে। উদাহরণস্বরূপ, ব্যাসার্ধ অর্ধেক করলে প্রবাহের হার ১৬ গুণ কমে যায়।

Explanation: A vector is defined by its magnitude and direction. As long as these two properties are not changed, the vector is considered the same, regardless of its starting point. This is the property of a free vector.
ব্যাখ্যা: একটি ভেক্টর তার মান এবং দিক দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়। যতক্ষণ পর্যন্ত এই দুটি বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন না হয়, ভেক্টরটিকে একই বলে মনে করা হয়, তার প্রারম্ভিক বিন্দু যাই হোক না কেন। এটি একটি মুক্ত ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য।

Explanation: In the formula for the period of a torsional pendulum, ‘I’ is the moment of inertia of the oscillating body and ‘C’ is the torsional constant (or rigidity) of the wire, which is the restoring torque per unit angular displacement (twist).
ব্যাখ্যা: একটি মোচড় দোলকের পর্যায়কালের সূত্রে, ‘I’ হলো দোদুল্যমান বস্তুর জড়তা ভ্রামক এবং ‘C’ হলো তারের মোচড় ধ্রুবক (বা দৃঢ়তা), যা প্রতি একক কৌণিক সরণের (মোচড়ের) জন্য প্রত্যয়নী টর্ক।

Explanation: Angular momentum (L) can be expressed as L = Iω or L = r × p. Using L = Iω, the units are (kg·m²)(rad/s) = kg·m²/s. Using L = r × p, the units are (m)(kg·m/s) = kg·m²/s.
ব্যাখ্যা: কৌণিক ভরবেগ (L) কে L = Iω বা L = r × p হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। L = Iω ব্যবহার করে, এককগুলি হলো (kg·m²)(rad/s) = kg·m²/s। L = r × p ব্যবহার করে, এককগুলি হলো (m)(kg·m/s) = kg·m²/s।

Explanation: Work done is given by W = F · d = Fd cos(θ). The centripetal force is always directed towards the center, while the instantaneous displacement (velocity) is tangential to the circle. The angle between the force and displacement is always 90°. Since cos(90°) = 0, the work done is zero.
ব্যাখ্যা: কৃত কার্য W = F · d = Fd cos(θ) দ্বারা দেওয়া হয়। কেন্দ্রমুখী বল সর্বদা কেন্দ্রের দিকে নির্দেশিত থাকে, যখন তাৎক্ষণিক সরণ (বেগ) বৃত্তের স্পর্শক বরাবর থাকে। বল এবং সরণের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা 90°। যেহেতু cos(90°) = 0, তাই কৃত কার্য শূন্য।

Explanation: The gravitational force on a mass ‘m’ on the Earth’s surface is F = GMm/R². By Newton’s second law, this force is also F = mg. Equating the two, mg = GMm/R², which simplifies to g = GM/R².
ব্যাখ্যা: পৃথিবীর পৃষ্ঠে ‘m’ ভরের উপর মহাকর্ষীয় বল হলো F = GMm/R²। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে, এই বল F = mg। দুটিকে সমান করলে, mg = GMm/R², যা থেকে পাওয়া যায় g = GM/R²।

Explanation: A geostationary satellite has an orbital period of 24 hours, matching the Earth’s rotation. To achieve this, it must be placed in a circular orbit at an altitude of approximately 35,786 km (often rounded to 36,000 km) above the equator.
ব্যাখ্যা: একটি ভূ-সমলয় উপগ্রহের পর্যায়কাল ২৪ ঘন্টা, যা পৃথিবীর ঘূর্ণনের সাথে মিলে যায়। এটি অর্জন করতে, এটিকে বিষুবরেখার উপরে প্রায় ৩৫,৭৮৬ কিমি (প্রায় ৩৬,০০০ কিমি) উচ্চতায় একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে স্থাপন করতে হয়।

Explanation: Hooke’s law is the fundamental principle of elasticity. It states that for small deformations, the stress applied to an elastic material is directly proportional to the strain it produces. Stress = E × Strain, where E is the modulus of elasticity.
ব্যাখ্যা: হুকের সূত্র হলো স্থিতিস্থাপকতার মৌলিক নীতি। এটি বলে যে ছোট বিকৃতির জন্য, একটি স্থিতিস্থাপক উপাদানের উপর প্রযুক্ত পীড়ন তার দ্বারা উৎপাদিত বিকৃতির সরাসরি সমানুপাতিক। পীড়ন = E × বিকৃতি, যেখানে E হলো স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক।

Explanation: Surface tension (T) can also be defined as the surface energy per unit area. Therefore, the work done (which is stored as surface energy) to increase the surface area by ΔA is W = T × ΔA.
ব্যাখ্যা: পৃষ্ঠটান (T) কে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে পৃষ্ঠ শক্তি হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। অতএব, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ΔA বৃদ্ধি করতে কৃত কার্য (যা পৃষ্ঠ শক্তি হিসাবে সঞ্চিত থাকে) হলো W = T × ΔA।

Explanation: Surface tension causes a liquid to minimize its surface area. For a given volume, a sphere has the smallest possible surface area. Therefore, small drops, where gravity is negligible, assume a spherical shape.
ব্যাখ্যা: পৃষ্ঠটানের কারণে একটি তরল তার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সর্বনিম্ন করতে চায়। একটি নির্দিষ্ট আয়তনের জন্য, একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সবচেয়ে কম। তাই, ছোট ফোঁটা, যেখানে মহাকর্ষ নগণ্য, একটি গোলাকার আকৃতি ধারণ করে।

Explanation: As a body falls, the viscous drag force increases with velocity. Terminal velocity is the constant speed that a freely falling object eventually reaches when the resistance of the medium (viscous drag + buoyant force) equals the force of gravity. At this point, the net force is zero, and the acceleration is zero.
ব্যাখ্যা: একটি বস্তু যখন পড়ে, তখন বেগের সাথে সান্দ্র টান বল বৃদ্ধি পায়। প্রান্তীয় বেগ হলো সেই ধ্রুবক গতি যা একটি মুক্তভাবে পতনশীল বস্তু অবশেষে পৌঁছায় যখন মাধ্যমের প্রতিরোধ (সান্দ্র টান + প্লবতা বল) মহাকর্ষ বলের সমান হয়। এই অবস্থায়, মোট বল শূন্য এবং ত্বরণ শূন্য হয়।

Explanation: Let the two vectors have magnitude P. The resultant R is given by R² = P² + P² + 2P·P cos(θ). If R = P, then P² = 2P² + 2P² cos(θ). This simplifies to 1 = 2 + 2cos(θ), so 2cos(θ) = -1, and cos(θ) = -1/2. Therefore, θ = 120°.
ব্যাখ্যা: ধরা যাক দুটি ভেক্টরের মান P। লব্ধি R হলো R² = P² + P² + 2P·P cos(θ)। যদি R = P হয়, তবে P² = 2P² + 2P² cos(θ)। এটি সরল করলে হয় 1 = 2 + 2cos(θ), সুতরাং 2cos(θ) = -1, এবং cos(θ) = -1/2। অতএব, θ = 120°।

Explanation: From the formula F = ηA(dv/dx), we can find the unit of η as (Force) / (Area × Velocity Gradient) = (N) / (m² × (m/s)/m) = N·s/m². This unit is also called the Pascal-second (Pa·s).
ব্যাখ্যা: F = ηA(dv/dx) সূত্র থেকে, η-এর একক পাওয়া যায় (বল) / (ক্ষেত্রফল × বেগের নতি) = (N) / (m² × (m/s)/m) = N·s/m²। এই এককটিকে প্যাসকেল-সেকেন্ড (Pa·s)ও বলা হয়।

Explanation: The magnitude of the cross product is |A||B|sin(θ). For the cross product to be zero, either |A|=0, |B|=0, or sin(θ)=0. If the vectors are non-zero, then sin(θ)=0, which means θ = 0° (parallel) or θ = 180° (anti-parallel).
ব্যাখ্যা: ক্রস প্রোডাক্টের মান হলো |A||B|sin(θ)। ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হতে হলে, হয় |A|=0, |B|=0, অথবা sin(θ)=0 হতে হবে। যদি ভেক্টরগুলি অশূন্য হয়, তবে sin(θ)=0, যার অর্থ θ = 0° (সমান্তরাল) অথবা θ = 180° (বিপরীত-সমান্তরাল)।

Explanation: Hamilton’s equations are a set of first-order differential equations (∂H/∂p_i = q̇_i and ∂H/∂q_i = -ṗ_i), which are often easier to solve than the second-order Lagrange’s equations.
ব্যাখ্যা: হ্যামিলটনের সমীকরণগুলি হলো প্রথম-ক্রমের অন্তরকল সমীকরণের একটি সেট (∂H/∂p_i = q̇_i এবং ∂H/∂q_i = -ṗ_i), যা প্রায়শই দ্বিতীয়-ক্রমের ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণের চেয়ে সমাধান করা সহজ।

Explanation: For a thin ring, all its mass (M) is located at a distance R from the center. Therefore, the moment of inertia I = Σmr² becomes I = MR², as r is constant and equal to R for all mass elements.
ব্যাখ্যা: একটি পাতলা রিং-এর জন্য, তার সমস্ত ভর (M) কেন্দ্র থেকে R দূরত্বে অবস্থিত। সুতরাং, জড়তা ভ্রামক I = Σmr² হয়ে যায় I = MR², কারণ সমস্ত ভর উপাদানের জন্য r ধ্রুবক এবং R-এর সমান।

Explanation: The formula for escape velocity is v_e = √(2GM/R). This formula depends on the mass (M) and radius (R) of the planet (Earth), but not on the mass (m) of the object that is escaping.
ব্যাখ্যা: মুক্তিবেগের সূত্রটি হলো v_e = √(2GM/R)। এই সূত্রটি গ্রহের (পৃথিবীর) ভর (M) এবং ব্যাসার্ধ (R)-এর উপর নির্ভর করে, কিন্তু যে বস্তুটি মুক্তি পাচ্ছে তার ভর (m)-এর উপর নির্ভর করে না।

Explanation: Viscosity is a measure of a fluid’s internal friction or its resistance to flow. Honey is more viscous than water, meaning it resists flow more strongly.
ব্যাখ্যা: সান্দ্রতা হলো একটি তরলের অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ বা তার প্রবাহের বিরুদ্ধে প্রতিরোধের একটি পরিমাপ। মধু জলের চেয়ে বেশি সান্দ্র, যার অর্থ এটি প্রবাহকে আরও দৃঢ়ভাবে প্রতিরোধ করে।

Explanation: The dot product is given by A · B = |A||B|cos(θ). For perpendicular vectors, the angle θ = 90°, and cos(90°) = 0. Therefore, the dot product is zero.
ব্যাখ্যা: ডট প্রোডাক্ট A · B = |A||B|cos(θ) দ্বারা দেওয়া হয়। লম্ব ভেক্টরের জন্য, কোণ θ = 90°, এবং cos(90°) = 0। অতএব, ডট প্রোডাক্ট শূন্য।

Explanation: This is a standard result for the moment of inertia of a uniform solid sphere about an axis passing through its center (a diameter).
ব্যাখ্যা: এটি একটি সুষম নিরেট গোলকের কেন্দ্রগামী (একটি ব্যাস) অক্ষের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামকের জন্য একটি আদর্শ ফলাফল।

Explanation: For a car to turn, it needs a force directed towards the center of the turn. On a flat, unbanked road, this force is provided by the static friction between the car’s tires and the road surface.
ব্যাখ্যা: একটি গাড়িকে বাঁক নিতে হলে, বাঁকের কেন্দ্রের দিকে একটি বল প্রয়োজন। একটি সমতল, অ-ঢালু রাস্তায়, এই বল গাড়ির টায়ার এবং রাস্তার পৃষ্ঠের মধ্যে স্থিতিশীল ঘর্ষণ দ্বারা সরবরাহ করা হয়।

Explanation: Gravitational potential at a point is defined as the work done in bringing a unit mass from infinity to that point. Since work is a scalar, potential is also a scalar quantity. It has magnitude but no direction.
ব্যাখ্যা: একটি বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভবকে অসীম থেকে সেই বিন্দুতে একটি একক ভর আনতে কৃত কার্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যেহেতু কার্য একটি স্কেলার, তাই বিভবও একটি স্কেলার রাশি। এর মান আছে কিন্তু দিক নেই।

Explanation: A soap bubble has a thin film of liquid with air on both the inside and the outside. This means it has two surfaces (inner and outer) that contribute to the surface tension effects. Therefore, the excess pressure is twice that of a liquid drop, i.e., ΔP = 2 * (2T/r) = 4T/r.
ব্যাখ্যা: একটি সাবান বুদবুদের একটি পাতলা তরল ফিল্ম থাকে যার ভিতরে এবং বাইরে উভয় দিকেই বায়ু থাকে। এর মানে হলো এর দুটি পৃষ্ঠ (ভিতরের এবং বাইরের) রয়েছে যা পৃষ্ঠটান প্রভাবে অবদান রাখে। অতএব, অতিরিক্ত চাপ একটি তরল ফোঁটার দ্বিগুণ, অর্থাৎ ΔP = 2 * (2T/r) = 4T/r।

Explanation: Just as a force causes a linear acceleration (F=ma), a torque causes an angular acceleration (τ=Iα). Torque is the rotational equivalent of force.
ব্যাখ্যা: যেমন একটি বল রৈখিক ত্বরণ ঘটায় (F=ma), তেমনি একটি টর্ক কৌণিক ত্বরণ ঘটায় (τ=Iα)। টর্ক হলো বলের ঘূর্ণন সমতুল্য।

Explanation: At the center of the Earth, a mass would be pulled equally in all directions by the surrounding mass of the Earth. The net gravitational force, and therefore the acceleration ‘g’, is zero.
ব্যাখ্যা: পৃথিবীর কেন্দ্রে, একটি ভর পৃথিবীর চারপাশের ভর দ্বারা সমস্ত দিকে সমানভাবে আকৃষ্ট হবে। মোট মহাকর্ষীয় বল, এবং অতএব ত্বরণ ‘g’, শূন্য।

Explanation: Torsion involves the twisting of parallel planes relative to each other, which is a form of shear strain. Therefore, the modulus of elasticity that resists this deformation is the Shear Modulus, also known as the Modulus of Rigidity (η or G).
ব্যাখ্যা: টরশন বা মোচড়ে সমান্তরাল তলগুলি একে অপরের সাপেক্ষে মোচড়ায়, যা এক ধরণের কৃন্তন বিকৃতি। অতএব, যে স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক এই বিকৃতিকে প্রতিরোধ করে তা হলো কৃন্তন গুণাঙ্ক, যা দৃঢ়তা গুণাঙ্ক (η বা G) নামেও পরিচিত।

Explanation: When a beam bends, the top layers are compressed and the bottom layers are extended (under tension). In between, there is a layer, called the neutral surface or neutral axis, whose length does not change. It experiences zero stress and strain.
ব্যাখ্যা: যখন একটি বিম বাঁকে, তখন উপরের স্তরগুলি সংকুচিত হয় এবং নীচের স্তরগুলি প্রসারিত হয় (টানের অধীনে)। এর মধ্যে, একটি স্তর থাকে, যাকে নিরপেক্ষ তল বা নিরপেক্ষ অক্ষ বলা হয়, যার দৈর্ঘ্যের কোনো পরিবর্তন হয় না। এটি শূন্য পীড়ন এবং বিকৃতি অনুভব করে।

Explanation: For internal flow in a pipe, a Reynolds number below about 2000-2300 typically indicates laminar flow, where fluid particles move in smooth, parallel layers. Above 4000, the flow is generally turbulent.
ব্যাখ্যা: একটি পাইপের অভ্যন্তরীণ প্রবাহের জন্য, প্রায় ২০০০-২৩০০-এর নীচে একটি রেনল্ডস সংখ্যা সাধারণত ধারারেখ প্রবাহ নির্দেশ করে, যেখানে তরল কণাগুলি মসৃণ, সমান্তরাল স্তরে চলে। ৪০০০-এর উপরে, প্রবাহ সাধারণত বিক্ষুব্ধ হয়।

Explanation: This is a vector triple product. The cross product of two vectors (B × C) results in a vector. The cross product of another vector (A) with this resultant vector will also be a vector.
ব্যাখ্যা: এটি একটি ভেক্টর ট্রিপল প্রোডাক্ট। দুটি ভেক্টরের (B × C) ক্রস প্রোডাক্ট একটি ভেক্টর তৈরি করে। এই লব্ধি ভেক্টরের সাথে অন্য একটি ভেক্টরের (A) ক্রস প্রোডাক্টও একটি ভেক্টর হবে।

Explanation: The trace of a square matrix is defined as the sum of the elements on the main diagonal (from the top left to the bottom right).
ব্যাখ্যা: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেসকে প্রধান কর্ণের (উপরের বাম থেকে নীচের ডান পর্যন্ত) উপাদানগুলির যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

Explanation: For a system described by ‘n’ generalized coordinates (i.e., ‘n’ degrees of freedom), there will be ‘n’ corresponding Lagrange’s equations, one for each coordinate.
ব্যাখ্যা: ‘n’ সংখ্যক জেনারেলাইজড কোঅর্ডিনেট দ্বারা বর্ণিত একটি সিস্টেমের জন্য (অর্থাৎ, ‘n’ স্বাধীনতার মাত্রা), ‘n’ সংখ্যক ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণ থাকবে, প্রতিটি কোঅর্ডিনেটের জন্য একটি করে।

Explanation: Mass is the measure of inertia in linear motion (resistance to change in linear velocity). Moment of inertia is the measure of rotational inertia (resistance to change in angular velocity).
ব্যাখ্যা: ভর হলো রৈখিক গতিতে জড়তার পরিমাপ (রৈখিক বেগের পরিবর্তনে বাধা)। জড়তা ভ্রামক হলো ঘূর্ণন জড়তার পরিমাপ (কৌণিক বেগের পরিবর্তনে বাধা)।

Explanation: The satellite and everything inside it are in a constant state of free fall towards the Earth. This continuous fall, combined with its tangential velocity, is what constitutes its orbit. This state of free fall creates the sensation of weightlessness. The value of ‘g’ is not zero; it’s about 90% of the surface value in a low Earth orbit.
ব্যাখ্যা: উপগ্রহ এবং তার ভিতরের সবকিছু পৃথিবীর দিকে অবিরাম মুক্ত পতনের অবস্থায় থাকে। এই অবিরাম পতন, তার স্পর্শকীয় বেগের সাথে মিলিত হয়ে, তার কক্ষপথ গঠন করে। এই মুক্ত পতনের অবস্থা ওজনহীনতার অনুভূতি তৈরি করে। ‘g’-এর মান শূন্য নয়; নিম্ন পৃথিবীর কক্ষপথে এটি পৃষ্ঠের মানের প্রায় ৯০%।

Explanation: Brittle materials, like glass or ceramics, show little or no plastic deformation before fracturing. They break suddenly when the stress exceeds the elastic limit. Ductile materials, like copper, undergo significant plastic deformation before breaking.
ব্যাখ্যা: ভঙ্গুর পদার্থ, যেমন কাঁচ বা সিরামিক, ভাঙার আগে খুব কম বা কোনো প্লাস্টিক বিকৃতি দেখায় না। পীড়ন স্থিতিস্থাপক সীমা অতিক্রম করলে তারা হঠাৎ ভেঙে যায়। প্রসারণশীল পদার্থ, যেমন তামা, ভাঙার আগে উল্লেখযোগ্য প্লাস্টিক বিকৃতির মধ্য দিয়ে যায়।

Explanation: Surface tension can be defined in two ways: as force per unit length (N/m) or as surface energy per unit area (J/m²). These two definitions are dimensionally and numerically equivalent.
ব্যাখ্যা: পৃষ্ঠটানকে দুটি উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: প্রতি একক দৈর্ঘ্যে বল (N/m) বা প্রতি একক ক্ষেত্রফলে পৃষ্ঠ শক্তি (J/m²)। এই দুটি সংজ্ঞা মাত্রাগতভাবে এবং সংখ্যাগতভাবে সমতুল্য।

Explanation: Low surface tension allows the liquid to overcome its tendency to bead up and instead spread out easily. This is crucial for detergents to penetrate fabric fibers and for antiseptics to cover wounds effectively.
ব্যাখ্যা: কম পৃষ্ঠটান তরলকে তার ফোঁটা হয়ে যাওয়ার প্রবণতা কাটিয়ে উঠতে এবং পরিবর্তে সহজে ছড়িয়ে পড়তে দেয়। ডিটারজেন্টের জন্য কাপড়ের তন্তুতে প্রবেশ করতে এবং জীবাণুনাশকের জন্য ক্ষতকে কার্যকরভাবে আবৃত করতে এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Explanation: Stokes’ law is derived under the assumption that the flow around the sphere is laminar (smooth and non-turbulent). This condition is met when the Reynolds number is low (typically Re < 0.1).
ব্যাখ্যা: স্টোকসের সূত্রটি এই অনুমানের অধীনে উদ্ভূত হয়েছে যে গোলকের চারপাশে প্রবাহটি ধারারেখ (মসৃণ এবং অ-বিক্ষুব্ধ)। এই শর্তটি পূরণ হয় যখন রেনল্ডস সংখ্যা কম থাকে (সাধারণত Re < 0.1)।

Explanation: The magnitude of the resultant vector R is given by R = √(A² + B² + 2ABcos(θ)). R is maximum when cos(θ) is maximum, which is 1. This occurs when θ = 0°, meaning the vectors are parallel and in the same direction.
ব্যাখ্যা: লব্ধি ভেক্টর R-এর মান R = √(A² + B² + 2ABcos(θ)) দ্বারা দেওয়া হয়। R সর্বোচ্চ হয় যখন cos(θ) সর্বোচ্চ হয়, যা ১। এটি ঘটে যখন θ = 0°, যার অর্থ ভেক্টরগুলি সমান্তরাল এবং একই দিকে থাকে।

Explanation: In Hamiltonian mechanics, the state of a system is described by the set of generalized coordinates (q_i) and their corresponding generalized momenta (p_i), which are treated as independent variables. This is in contrast to the Lagrangian formulation, which uses coordinates and velocities.
ব্যাখ্যা: হ্যামিলটোনিয়ান মেকানিক্সে, একটি সিস্টেমের অবস্থা জেনারেলাইজড কোঅর্ডিনেট (q_i) এবং তাদের সংশ্লিষ্ট জেনারেলাইজড ভরবেগ (p_i)-এর সেট দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যেগুলিকে স্বাধীন চলক হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ফর্মুলেশনের বিপরীত, যা কোঅর্ডিনেট এবং বেগ ব্যবহার করে।

Explanation: This is another application of the conservation of angular momentum (L=Iω). By curling into a ball, the diver decreases his moment of inertia (I). To keep L constant, his angular velocity (ω) must increase, leading to more rotations.
ব্যাখ্যা: এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণের (L=Iω) আরেকটি প্রয়োগ। বলের মতো গুটিয়ে নেওয়ার মাধ্যমে, ডাইভার তার জড়তা ভ্রামক (I) কমিয়ে দেয়। L ধ্রুবক রাখতে, তার কৌণিক বেগ (ω) অবশ্যই বৃদ্ধি পাবে, যার ফলে আরও বেশি ঘূর্ণন ঘটবে।

Explanation: The moment of inertia (I) is an intrinsic property of a rigid body related to its mass and the geometry of its mass distribution around a specific axis. It does not depend on the state of motion (like angular velocity) of the body.
ব্যাখ্যা: জড়তা ভ্রামক (I) একটি দৃঢ় বস্তুর একটি অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য যা তার ভর এবং একটি নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে তার ভরের জ্যামিতিক বণ্টনের সাথে সম্পর্কিত। এটি বস্তুর গতির অবস্থার (যেমন কৌণিক বেগ) উপর নির্ভর করে না।

Explanation: Kepler’s first law, the law of orbits, states that every planet revolves around the Sun in an elliptical path, with the Sun situated at one of the two foci of the ellipse.
ব্যাখ্যা: কেপলারের প্রথম সূত্র, বা কক্ষপথের সূত্র, বলে যে প্রতিটি গ্রহ সূর্যকে কেন্দ্র করে একটি উপবৃত্তাকার পথে ঘোরে, এবং সূর্য উপবৃত্তের দুটি ফোকাসের মধ্যে একটিতে অবস্থিত থাকে।

Explanation: As temperature increases, the kinetic energy of the molecules increases. This weakens the intermolecular cohesive forces, which are responsible for surface tension. Consequently, surface tension decreases. At the critical temperature, it becomes zero.
ব্যাখ্যা: তাপমাত্রা বাড়ার সাথে সাথে অণুগুলির গতিশক্তি বৃদ্ধি পায়। এটি আন্তঃআণবিক সংসক্তি বলকে দুর্বল করে দেয়, যা পৃষ্ঠটানের জন্য দায়ী। ফলস্বরূপ, পৃষ্ঠটান হ্রাস পায়। সংকট তাপমাত্রায়, এটি শূন্য হয়ে যায়।

Explanation: From the formula F = ηA(dv/dx), η = F·dx / (A·dv). The dimensions are [MLT⁻²]·[L] / ([L²]·[LT⁻¹]) = [ML²T⁻²] / [L³T⁻¹] = [ML⁻¹T⁻¹].
ব্যাখ্যা: F = ηA(dv/dx) সূত্র থেকে, η = F·dx / (A·dv)। মাত্রাগুলি হলো [MLT⁻²]·[L] / ([L²]·[LT⁻¹]) = [ML²T⁻²] / [L³T⁻¹] = [ML⁻¹T⁻¹]।

Explanation: Multiplying a vector by a scalar ‘k’ scales its magnitude by |k|. If k is negative, it also reverses the vector’s direction. For k = -1, the magnitude remains the same (multiplied by |-1|=1) and the direction is reversed by 180°.
ব্যাখ্যা: একটি ভেক্টরকে ‘k’ স্কেলার দ্বারা গুণ করলে তার মান |k| গুণ হয়। যদি k ঋণাত্মক হয়, তবে এটি ভেক্টরের দিকও বিপরীত করে দেয়। k = -1 এর জন্য, মান একই থাকে (|-1|=1 দ্বারা গুণ) এবং দিক ১৮০° দ্বারা বিপরীত হয়।

Explanation: This is a standard result obtained by integrating dm·r² over the length of the rod, from -L/2 to +L/2. The moment of inertia about one end is ML²/3.
ব্যাখ্যা: এটি দণ্ডের দৈর্ঘ্য বরাবর -L/2 থেকে +L/2 পর্যন্ত dm·r² সমাকলন করে প্রাপ্ত একটি আদর্শ ফলাফল। এক প্রান্তের সাপেক্ষে জড়তা ভ্রামক হলো ML²/3।

Explanation: By tilting the road surface (banking), a component of the normal force from the road acts horizontally towards the center of the turn. This component provides some or all of the required centripetal force, reducing the reliance on friction and allowing for safer turns at higher speeds.
ব্যাখ্যা: রাস্তার পৃষ্ঠকে হেলিয়ে (ব্যাংকিং) দেওয়ার মাধ্যমে, রাস্তা থেকে প্রাপ্ত লম্ববলের একটি উপাদান বাঁকের কেন্দ্রের দিকে অনুভূমিকভাবে কাজ করে। এই উপাদানটি প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের কিছু বা সমস্ত অংশ সরবরাহ করে, ঘর্ষণের উপর নির্ভরতা কমিয়ে দেয় এবং উচ্চ গতিতে নিরাপদ বাঁক নিতে সাহায্য করে।

Explanation: When the cohesive forces within the liquid are stronger than the adhesive forces between the liquid and the solid, the liquid tends to bead up and not wet the surface. This results in an obtuse angle of contact (e.g., mercury on glass).
ব্যাখ্যা: যখন তরলের মধ্যে সংসক্তি বল, তরল এবং কঠিনের মধ্যে আসঞ্জন বলের চেয়ে শক্তিশালী হয়, তখন তরলটি ফোঁটা হয়ে যাওয়ার প্রবণতা দেখায় এবং পৃষ্ঠকে ভেজায় না। এর ফলে একটি স্থূলকোণী সংস্পর্শ কোণ তৈরি হয় (যেমন, কাঁচের উপর পারদ)।

Explanation: The identity matrix (I) acts like the number 1 in matrix multiplication (A * I = I * A = A). It has ones on the main diagonal and zeros everywhere else.
ব্যাখ্যা: অভেদ ম্যাট্রিক্স (I) ম্যাট্রিক্স গুণনের ক্ষেত্রে সংখ্যা 1-এর মতো কাজ করে (A * I = I * A = A)। এর প্রধান কর্ণে 1 এবং অন্য সব জায়গায় 0 থাকে।

Explanation: A coordinate q_k is called cyclic or ignorable if it does not appear explicitly in the Lagrangian (∂L/∂q_k = 0). The significance is that the corresponding generalized momentum (p_k) is conserved.
ব্যাখ্যা: একটি কোঅর্ডিনেট q_k-কে সাইক্লিক বা ইগনোরেবল বলা হয় যদি এটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে স্পষ্টভাবে উপস্থিত না থাকে (∂L/∂q_k = 0)। এর তাৎপর্য হলো সংশ্লিষ্ট জেনারেলাইজড ভরবেগ (p_k) সংরক্ষিত থাকে।

Explanation: This is a consequence of the conservation of angular momentum (L = mvr). To keep L constant, when the distance ‘r’ from the sun is smallest (at perihelion), the speed ‘v’ must be greatest.
ব্যাখ্যা: এটি কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণের (L = mvr) একটি ফল। L ধ্রুবক রাখতে, যখন সূর্য থেকে দূরত্ব ‘r’ সবচেয়ে কম হয় (অনুসূর অবস্থানে), তখন গতি ‘v’ অবশ্যই সর্বাধিক হতে হবে।

Explanation: Gravitational potential is work done per unit mass (W/m). The dimension of work is [ML²T⁻²] and the dimension of mass is [M]. So, the dimension of potential is [ML²T⁻²] / [M] = [L²T⁻²].
ব্যাখ্যা: মহাকর্ষীয় বিভব হলো প্রতি একক ভরে কৃত কার্য (W/m)। কার্যের মাত্রা হলো [ML²T⁻²] এবং ভরের মাত্রা হলো [M]। সুতরাং, বিভবের মাত্রা হলো [ML²T⁻²] / [M] = [L²T⁻²]।

Explanation: Torque, angular momentum, and magnetic field are all vector quantities, meaning they have both magnitude and direction. Electric potential (like gravitational potential) is a scalar quantity, defined as work per unit charge, and has only magnitude.
ব্যাখ্যা: টর্ক, কৌণিক ভরবেগ, এবং চৌম্বক ক্ষেত্র সবই ভেক্টর রাশি, অর্থাৎ তাদের মান এবং দিক উভয়ই আছে। বৈদ্যুতিক বিভব (মহাকর্ষীয় বিভবের মতো) একটি স্কেলার রাশি, যা প্রতি একক চার্জে কৃত কার্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত এবং এর কেবল মান আছে।

Explanation: For a uniform disc, the mass is distributed throughout its area. Integration shows that the moment of inertia is I = (1/2)MR². This is less than that of a ring (MR²) of the same mass and radius because some mass is closer to the axis.
ব্যাখ্যা: একটি সুষম চাকতির জন্য, ভর তার ক্ষেত্রফল জুড়ে বণ্টিত থাকে। সমাকলন দেখায় যে জড়তা ভ্রামক I = (1/2)MR²। এটি একই ভর এবং ব্যাসার্ধের একটি রিং-এর (MR²) চেয়ে কম কারণ কিছু ভর অক্ষের কাছাকাছি থাকে।

Explanation: In the rotating frame of the separator, the denser skim milk experiences a larger centrifugal force and is pushed to the outer edge, while the lighter cream (fat globules) stays closer to the center. This allows for their separation.
ব্যাখ্যা: সেপারেটরের ঘূর্ণায়মান ফ্রেমে, ঘন স্কিমড মিল্ক একটি বড় অপকেন্দ্র বল অনুভব করে এবং বাইরের দিকে ঠেলে যায়, যখন হালকা ক্রীম (চর্বির কণা) কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকে। এটি তাদের পৃথকীকরণে সাহায্য করে।

Explanation: G is a fundamental physical constant that appears in Newton’s law of universal gravitation. Its accepted value is approximately 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².
ব্যাখ্যা: G একটি মৌলিক ভৌত ধ্রুবক যা নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রে উপস্থিত থাকে। এর স্বীকৃত মান প্রায় 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²।

Explanation: The time period of a simple pendulum is T = 2π√(L/g_eff). Inside an orbiting satellite, the state of weightlessness means the effective gravity (g_eff) is zero. Since g_eff is in the denominator, T becomes infinite, meaning the pendulum will not oscillate at all.
ব্যাখ্যা: একটি সরল দোলকের পর্যায়কাল হলো T = 2π√(L/g_eff)। একটি প্রদক্ষিণকারী উপগ্রহের ভিতরে, ওজনহীনতার অবস্থা মানে কার্যকরী অভিকর্ষ (g_eff) শূন্য। যেহেতু g_eff হরে (denominator) থাকে, তাই T অসীম হয়ে যায়, যার অর্থ দোলকটি আদৌ দুলবে না।

Explanation: Breaking stress (or ultimate tensile strength) is an intrinsic property of the material itself. It is the maximum stress a material can withstand before it breaks. It does not depend on the dimensions (like length or radius) of the object.
ব্যাখ্যা: ছেদন পীড়ন (বা চরম প্রসার্য শক্তি) হলো উপাদানের একটি অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য। এটি হলো সর্বোচ্চ পীড়ন যা একটি উপাদান ভাঙার আগে সহ্য করতে পারে। এটি বস্তুর মাত্রার (যেমন দৈর্ঘ্য বা ব্যাসার্ধ) উপর নির্ভর করে না।

Explanation: The surface tension of the soup decreases with temperature. Hot soup, having lower surface tension, spreads more easily over the tongue, allowing it to contact a larger area of taste buds, which enhances its flavor.
ব্যাখ্যা: স্যুপের পৃষ্ঠটান তাপমাত্রার সাথে হ্রাস পায়। গরম স্যুপের পৃষ্ঠটান কম হওয়ায় এটি জিহ্বার উপর আরও সহজে ছড়িয়ে পড়ে, যার ফলে এটি স্বাদ কোরকের একটি বড় অংশের সংস্পর্শে আসে, যা এর স্বাদ বাড়ায়।

Explanation: An ideal fluid is a theoretical concept used to simplify fluid dynamics problems. It is defined as having zero viscosity (no internal friction) and being incompressible (its density is constant).
ব্যাখ্যা: একটি আদর্শ তরল হলো একটি তাত্ত্বিক ধারণা যা তরল গতিবিদ্যার সমস্যাগুলিকে সহজ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। একে শূন্য সান্দ্রতা (কোনো অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ নেই) এবং অসংকোচনীয় (এর ঘনত্ব ধ্রুবক) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

Explanation: The operation A – B is defined as the addition of vector A and the negative of vector B. That is, A – B = A + (-B), where -B is a vector with the same magnitude as B but in the opposite direction.
ব্যাখ্যা: A – B ক্রিয়াটি ভেক্টর A এবং ভেক্টর B-এর ঋণাত্মক ভেক্টরের যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অর্থাৎ, A – B = A + (-B), যেখানে -B হলো B-এর সমান মানের কিন্তু বিপরীত দিকের একটি ভেক্টর।

Explanation: The fundamental equation for rotational dynamics is τ_ext = dL/dt (external torque equals the rate of change of angular momentum). If τ_ext is not zero, then dL/dt is not zero, meaning L must change with time.
ব্যাখ্যা: ঘূর্ণন গতিবিদ্যার মৌলিক সমীকরণ হলো τ_ext = dL/dt (বাহ্যিক টর্ক কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তনের হারের সমান)। যদি τ_ext অশূন্য হয়, তবে dL/dt অশূন্য, যার অর্থ L অবশ্যই সময়ের সাথে পরিবর্তিত হবে।

Explanation: A beam clamped at one end (a propped cantilever) is more rigid and offers more resistance to bending than a beam that is simply supported at both ends. Therefore, for the same load, its deflection or depression will be significantly less.
ব্যাখ্যা: এক প্রান্তে আবদ্ধ একটি বিম (একটি প্রপড ক্যান্টিলিভার) উভয় প্রান্তে সরলভাবে অবলম্বিত একটি বিমের চেয়ে বেশি অনমনীয় এবং বাঁকানোর বিরুদ্ধে বেশি প্রতিরোধ ক্ষমতা দেখায়। অতএব, একই ভারের জন্য, এর বিচ্যুতি বা অবনমন উল্লেখযোগ্যভাবে কম হবে।