Neet Physics Centre of Mass and Rotational Motion

NEET 2026 Physics – Centre of Mass and Rotational Motion (Set 1)

प्रश्न 1. क्रमशः 1 kg और 3 kg द्रव्यमान के दो कण स्थिति सदिशों r₁⃗ = (2 î + 3 ĵ) m और r₂⃗ = (4 î – ĵ) m पर स्थित हैं। इस निकाय के द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass) का स्थिति सदिश क्या होगा?

Q1. Two particles of masses 1 kg and 3 kg are located at position vectors r₁⃗ = (2 î + 3 ĵ) m and r₂⃗ = (4 î – ĵ) m respectively. The position vector of the centre of mass of the system is:

A) (3 î + ĵ) m A) (3 î + ĵ) m
B) (3.5 î) m B) (3.5 î) m
C) (14 î + 3 ĵ) m C) (14 î + 3 ĵ) m
D) (2 î – ĵ) m D) (2 î – ĵ) m

सही उत्तर: B) (3.5 î) m Correct Answer: B) (3.5 î) m

स्पष्टीकरण: द्रव्यमान केंद्र का सूत्र:
r_cm⃗ = (m₁r₁⃗ + m₂r₂⃗) / (m₁ + m₂)
– r_cm⃗ = [1(2 î + 3 ĵ) + 3(4 î – ĵ)] / (1 + 3)
– r_cm⃗ = (2 î + 3 ĵ + 12 î – 3 ĵ) / 4
– r_cm⃗ = (14 î) / 4 = 3.5 î m।

Explanation: The position vector of the centre of mass is:
r_cm⃗ = (m₁r₁⃗ + m₂r₂⃗) / (m₁ + m₂)
– r_cm⃗ = [1(2 î + 3 ĵ) + 3(4 î – ĵ)] / (1 + 3)
– r_cm⃗ = (2 î + 3 ĵ + 12 î – 3 ĵ) / 4 = (14 î) / 4 = 3.5 î m.

प्रश्न 2. प्रत्येक 1 kg द्रव्यमान के तीन समान कण 2 m भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) के शीर्षों पर रखे हैं। यदि एक शीर्ष को मूल बिंदु (origin) माना जाए, तो निकाय के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक (coordinates) क्या होंगे?

Q2. Three identical particles, each of mass 1 kg, are placed at the vertices of an equilateral triangle of side 2 m. Taking one vertex as the origin, the coordinates of the centre of mass of the system are:

A) (1 m, 1/√3 m) A) (1 m, 1/√3 m)
B) (1 m, √3 m) B) (1 m, √3 m)
C) (1 m, 2/√3 m) C) (1 m, 2/√3 m)
D) (2 m, 1/√3 m) D) (2 m, 1/√3 m)

सही उत्तर: A) (1 m, 1/√3 m) Correct Answer: A) (1 m, 1/√3 m)

स्पष्टीकरण: माना पहला कण मूल बिंदु (0, 0) पर है, दूसरा (2, 0) पर और तीसरा (1, √3) पर है क्योंकि समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई a sin(60°) = 2 × √3/2 = √3 m होती है।
– X_cm = [1(0) + 1(2) + 1(1)] / (1+1+1) = 3 / 3 = 1 m
– Y_cm = [1(0) + 1(0) + 1(√3)] / 3 = √3 / 3 = 1 / √3 m।

Explanation: Let the three vertices be: (0, 0), (2, 0), and (1, √3) since height of equilateral triangle is a sin(60°) = 2 × √3/2 = √3 m.
– X_cm = [1(0) + 1(2) + 1(1)] / 3 = 1 m
– Y_cm = [1(0) + 1(0) + 1(√3)] / 3 = √3/3 = 1/√3 m.

प्रश्न 3. द्रव्यमान M और लंबाई L की एक पतली एकसमान छड़ (uniform thin rod) का उसके एक सिरे से गुजरने वाली तथा लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia) क्या होगा?

Q3. The moment of inertia of a uniform thin rod of mass M and length L about an axis perpendicular to its length and passing through one of its ends is:

A) ML² / 12 A) ML² / 12
B) ML² / 3 B) ML² / 3
C) ML² / 2 C) ML² / 2
D) ML² / 4 D) ML² / 4

सही उत्तर: B) ML² / 3 Correct Answer: B) ML² / 3

स्पष्टीकरण:
– छड़ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_cm = ML² / 12
– समानांतर अक्षों के प्रमेय (Parallel Axis Theorem) के अनुसार: I_end = I_cm + Md², जहाँ d = L/2 है।
– I_end = ML² / 12 + M(L/2)² = ML² / 12 + ML² / 4 = ML² / 3।

Explanation:
– Moment of inertia about the center of mass: I_cm = ML² / 12.
– According to the Parallel Axis Theorem: I_end = I_cm + Md², where d = L/2.
– I_end = ML² / 12 + M(L/2)² = ML² / 12 + ML² / 4 = ML² / 3.

प्रश्न 4. द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक ठोस गोले (solid sphere) का उसकी स्पर्शरेखीय अक्ष (tangent axis) के परितः जड़त्व आघूर्ण कितना होता है?

Q4. The moment of inertia of a solid sphere of mass M and radius R about a tangent is:

A) 2/5 MR² A) 2/5 MR²
B) 7/5 MR² B) 7/5 MR²
C) 3/5 MR² C) 3/5 MR²
D) 7/3 MR² D) 7/3 MR²

सही उत्तर: B) 7/5 MR² Correct Answer: B) 7/5 MR²

स्पष्टीकरण:
– ठोस गोले का व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_cm = 2/5 MR²
– समानांतर अक्षों के प्रमेय के अनुसार, गोले की सतह को छूने वाली स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
– I_tangent = I_cm + Md², जहाँ d = R है।
– I_tangent = 2/5 MR² + MR² = 7/5 MR²।

Explanation:
– Moment of inertia of a solid sphere about its diameter: I_cm = 2/5 MR².
– Using the Parallel Axis Theorem, the moment of inertia about a tangent axis is:
– I_tangent = I_cm + Md², where distance d = R.
– I_tangent = 2/5 MR² + MR² = 7/5 MR².

प्रश्न 5. द्रव्यमान M और भुजा L की एक पतली एकसमान वर्गाकार प्लेट (square plate) का उसके केंद्र से गुजरने वाली तथा प्लेट के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

Q5. A thin uniform square plate of side L has mass M. Its moment of inertia about an axis passing through its center and perpendicular to its plane is:

A) ML² / 12 A) ML² / 12
B) ML² / 6 B) ML² / 6
C) ML² / 3 C) ML² / 3
D) 2/3 ML² D) 2/3 ML²

सही उत्तर: B) ML² / 6 Correct Answer: B) ML² / 6

स्पष्टीकरण: लंबवत अक्षों के प्रमेय (Perpendicular Axes Theorem) के अनुसार: I_z = I_x + I_y
– वर्गाकार प्लेट के लिए तल में स्थित सममित अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है: I_x = I_y = ML² / 12
– अतः तल के लंबवत अक्ष के परितः: I_z = ML² / 12 + ML² / 12 = ML² / 6।

Explanation: According to the Perpendicular Axes Theorem: I_z = I_x + I_y.
– For a square plate, the moment of inertia about two mutually perpendicular symmetric coplanar axes is equal: I_x = I_y = ML² / 12.
– Thus, about the perpendicular axis: I_z = ML² / 12 + ML² / 12 = ML² / 6.

प्रश्न 6. समान द्रव्यमान और समान त्रिज्या की एक पतली वृत्ताकार रिंग (ring) और एक वृत्ताकार डिस्क (disc) का उनके तलों के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष (tangential axis) के परितः घूर्णन त्रिज्याओं (radii of gyration) का अनुपात क्या होगा?

Q6. The ratio of the radii of gyration of a circular ring and a circular disc of the same mass and radius about a tangential axis perpendicular to their planes is:

A) 2 : √3 A) 2 : √3
B) √2 : 1 B) √2 : 1
C) √3 : 2 C) √3 : 2
D) 1 : √2 D) 1 : √2

सही उत्तर: A) 2 : √3 Correct Answer: A) 2 : √3

स्पष्टीकरण:
– रिंग के लिए तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष पर जड़त्व आघूर्ण: I_ring = MR² + MR² = 2MR² ⇒ K_ring = √2 R
– डिस्क के लिए तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष पर जड़त्व आघूर्ण: I_disc = (1/2)MR² + MR² = 3/2 MR² ⇒ K_disc = √(3/2) R
– अनुपात = K_ring / K_disc = √2 / √(3/2) = √(4/3) = 2 : √3।

Explanation:
– For the ring (tangent perpendicular to plane): I_ring = MR² + MR² = 2MR² ⇒ K_ring = √2 R.
– For the disc (tangent perpendicular to plane): I_disc = (1/2)MR² + MR² = 3/2 MR² ⇒ K_disc = √(3/2) R.
– Ratio of radii of gyration: K_ring / K_disc = √2 / √(3/2) = √(4/3) = 2 : √3.

प्रश्न 7. 0.5 m त्रिज्या का एक पहिया 10 rad/s के नियत कोणीय वेग से घूम रहा है। पहिये की रिम पर स्थित किसी बिंदु का रेखीय वेग (linear velocity) कितना होगा?

Q7. A wheel of radius 0.5 m is rotating with a constant angular velocity of 10 rad/s. The linear velocity of a point on its rim is:

A) 2 m/s A) 2 m/s
B) 5 m/s B) 5 m/s
C) 10 m/s C) 10 m/s
D) 20 m/s D) 20 m/s

सही उत्तर: B) 5 m/s Correct Answer: B) 5 m/s

स्पष्टीकरण: रेखीय वेग और कोणीय वेग में संबंध:
v = ω × r
मान रखने पर:
v = 10 rad/s × 0.5 m = 5 m/s।

Explanation: The relation between linear velocity and angular velocity is given by:
v = ωr
Substituting the given values:
v = 10 rad/s × 0.5 m = 5 m/s.

प्रश्न 8. एक बल F⃗ = (2 î – 3 ĵ + 4 k̂) N बिंदु r⃗ = (3 î + 2 ĵ – 2 k̂) m पर कार्य करता है। मूल बिंदु के परितः बल आघूर्ण (Torque, τ⃗) क्या होगा?

Q8. A force F⃗ = (2 î – 3 ĵ + 4 k̂) N acts at a point r⃗ = (3 î + 2 ĵ – 2 k̂) m. The torque (τ⃗) about the origin is:

A) 2 î – 16 ĵ – 13 k̂ A) 2 î – 16 ĵ – 13 k̂
B) -2 î + 16 ĵ + 13 k̂ B) -2 î + 16 ĵ + 13 k̂
C) 2 î + 16 ĵ – 13 k̂ C) 2 î + 16 ĵ – 13 k̂
D) -2 î – 16 ĵ + 13 k̂ D) -2 î – 16 ĵ + 13 k̂

सही उत्तर: A) 2 î – 16 ĵ – 13 k̂ Correct Answer: A) 2 î – 16 ĵ – 13 k̂

स्पष्टीकरण: बल आघूर्ण सदिश गुणनफल होता है: τ⃗ = r⃗ × F⃗
सारणिक विधि (Determinant method) द्वारा:
τ⃗ = | î ĵ k̂ |
| 3 2 -2 |
| 2 -3 4 |
τ⃗ = î [2(4) – (-2)(-3)] – ĵ [3(4) – (-2)(2)] + k̂ [3(-3) – 2(2)]
τ⃗ = î (8 – 6) – ĵ (12 + 4) + k̂ (-9 – 4) = 2 î – 16 ĵ – 13 k̂ N·m।

Explanation: Torque is given by the cross product: τ⃗ = r⃗ × F⃗.
Using determinant expansion:
τ⃗ = î [2(4) – (-2)(-3)] – ĵ [3(4) – (-2)(2)] + k̂ [3(-3) – 2(2)]
τ⃗ = î (8 – 6) – ĵ (12 + 4) + k̂ (-9 – 4) = 2 î – 16 ĵ – 13 k̂ N·m.

प्रश्न 9. 5 kg m² जड़त्व आघूर्ण वाले एक पहिये पर 100 N·m का बल आघूर्ण लगाया जाता है। पहिये में उत्पन्न कोणीय त्वरण (angular acceleration) कितना होगा?

Q9. A torque of 100 N·m is applied to a wheel having a moment of inertia of 5 kg m². The angular acceleration produced in the wheel is:

A) 10 rad/s² A) 10 rad/s²
B) 20 rad/s² B) 20 rad/s²
C) 50 rad/s² C) 50 rad/s²
D) 5 rad/s² D) 5 rad/s²

सही उत्तर: B) 20 rad/s² Correct Answer: B) 20 rad/s²

स्पष्टीकरण: घूर्णी गति के द्वितीय नियम से:
τ = I × α
अतः कोणीय त्वरण:
α = τ / I = 100 N·m / 5 kg m² = 20 rad/s²।

Explanation: From the rotational analogue of Newton’s second law:
τ = Iα
Thus, the angular acceleration is:
α = τ / I = 100 / 5 = 20 rad/s².

प्रश्न 10. 2 kg द्रव्यमान का एक कण रेखा y = 3 m के अनुदिश 4 m/s के नियत वेग से गति कर रहा है। मूल बिंदु के परितः इस कण का कोणीय संवेग (angular momentum) कितना होगा?

Q10. A particle of mass 2 kg is moving with a constant velocity of 4 m/s along the line y = 3 m. The magnitude of its angular momentum about the origin is:

A) 12 kg m²/s A) 12 kg m²/s
B) 24 kg m²/s B) 24 kg m²/s
C) 8 kg m²/s C) 8 kg m²/s
D) शून्य D) Zero

सही उत्तर: B) 24 kg m²/s Correct Answer: B) 24 kg m²/s

स्पष्टीकरण:
– कोणीय संवेग का परिमाण L = m × v × r_perpendicular
– यहाँ, कण x-अक्ष के समानांतर रेखा y = 3 m पर चल रहा है, इसलिए मूल बिंदु से इसकी लंबवत दूरी r_perpendicular = 3 m है।
– L = 2 kg × 4 m/s × 3 m = 24 kg m²/s।

Explanation:
– Angular momentum magnitude is given by L = m v d, where d is the perpendicular distance from the origin to the line of motion.
– Here, the particle moves along y = 3 m (parallel to the x-axis), so d = 3 m.
– L = 2 kg × 4 m/s × 3 m = 24 kg m²/s.

प्रश्न 11. द्रव्यमान M और त्रिज्या r की एक पतली वृत्ताकार रिंग अपने अक्ष के परितः ω कोणीय वेग से घूम रही है। यदि प्रत्येक m द्रव्यमान की दो वस्तुओं को रिंग के व्यास के विपरीत सिरों पर धीरे से रख दिया जाए, तो रिंग का नया कोणीय वेग क्या होगा?

Q11. A thin circular ring of mass M and radius r is rotating about its axis with a constant angular velocity ω. Two objects, each of mass m, are gently attached to the opposite ends of a diameter of the ring. The new angular velocity of the ring is:

A) Mω / (M + m) A) Mω / (M + m)
B) Mω / (M + 2m) B) Mω / (M + 2m)
C) (M + 2m)ω / M C) (M + 2m)ω / M
D) (M – 2m)ω / (M + 2m) D) (M – 2m)ω / (M + 2m)

सही उत्तर: B) Mω / (M + 2m) Correct Answer: B) Mω / (M + 2m)

स्पष्टीकरण: बाहरी बल आघूर्ण की अनुपस्थिति में कोणीय संवेग संरक्षित रहता है (I₁ω₁ = I₂ω₂):
– प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण: I₁ = Mr², प्रारंभिक कोणीय वेग ω₁ = ω
– अंतिम जड़त्व आघूर्ण: I₂ = Mr² + 2(mr²) = (M + 2m)r²
– संवेग संरक्षण से: Mr² × ω = (M + 2m)r² × ω₂ ⇒ ω₂ = Mω / (M + 2m)।

Explanation: In the absence of external torque, the total angular momentum is conserved (I₁ω₁ = I₂ω₂):
– Initial Moment of Inertia: I₁ = Mr² and initial angular velocity ω₁ = ω.
– New Moment of Inertia: I₂ = Mr² + 2(mr²) = (M + 2m)r².
– Conserving angular momentum: Mr² × ω = (M + 2m)r² × ω₂ ⇒ ω₂ = Mω / (M + 2m).

प्रश्न 12. 2 kg द्रव्यमान और 0.2 m त्रिज्या का एक ठोस बेलन (solid cylinder) अपनी ज्यामितीय अक्ष के परितः 5 rad/s के कोणीय वेग से घूम रहा है। बेलन की घूर्णन गतिज ऊर्जा (rotational kinetic energy) कितनी होगी?

Q12. A solid cylinder of mass 2 kg and radius 0.2 m is rotating about its geometric axis with an angular velocity of 5 rad/s. Its rotational kinetic energy is:

A) 0.25 J A) 0.25 J
B) 0.5 J B) 0.5 J
C) 1.0 J C) 1.0 J
D) 0.125 J D) 0.125 J

सही उत्तर: B) 0.5 J Correct Answer: B) 0.5 J

स्पष्टीकरण:
– ठोस बेलन का ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = (1/2)MR² = (1/2) × 2 × (0.2)² = 0.04 kg m²
– घूर्णन गतिज ऊर्जा: K_rot = (1/2) I ω² = (1/2) × 0.04 × (5)² = (1/2) × 0.04 × 25 = 0.5 J।

Explanation:
– Moment of inertia of a solid cylinder: I = (1/2)MR² = (1/2) × 2 × (0.2)² = 0.04 kg m².
– Rotational kinetic energy: K_rot = (1/2)Iω² = (1/2) × 0.04 × (5)² = 0.5 J.

प्रश्न 13. 2 kg m² जड़त्व आघूर्ण का एक फ्लाईव्हील (flywheel) 60 rpm (चक्कर प्रति मिनट) की दर से घूम रहा है। इसे रोकने के लिए किया गया कार्य (work done) कितना होगा?

Q13. A flywheel of moment of inertia 2 kg m² is rotating at 60 rpm. The work done to stop it completely is:

A) 2π² J A) 2π² J
B) 4π² J B) 4π² J
C) 8π² J C) 8π² J
D) 120 J D) 120 J

सही उत्तर: B) 4π² J Correct Answer: B) 4π² J

स्पष्टीकरण: किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होगा (कार्य-ऊर्जा प्रमेय):
– कोणीय आवृत्ति f = 60 rpm = 1 चक्कर/सेकंड
– कोणीय वेग ω = 2πf = 2π rad/s
– किया गया कार्य W = (1/2) I ω² = (1/2) × 2 × (2π)² = 4π² J (लगभग 39.5 J)।

Explanation: Work done equals the change in rotational kinetic energy of the flywheel:
– Frequency f = 60 rpm = 1 rps.
– Angular velocity ω = 2πf = 2π rad/s.
– Work done W = (1/2)Iω² = (1/2) × 2 × (2π)² = 4π² J.

प्रश्न 14. एक क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़क रहे (rolling without slipping) एक ठोस गोले (solid sphere) की घूर्णन गतिज ऊर्जा और उसकी कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या होगा?

Q14. For a solid sphere rolling without slipping on a horizontal surface, the ratio of its rotational kinetic energy to its total kinetic energy is:

A) 2 : 5 A) 2 : 5
B) 2 : 7 B) 2 : 7
C) 5 : 7 C) 5 : 7
D) 1 : 2 D) 1 : 2

सही उत्तर: B) 2 : 7 Correct Answer: B) 2 : 7

स्पष्टीकरण:
– घूर्णन गतिज ऊर्जा K_rot = (1/2) I ω² = (1/2) (2/5 MR²) (v/R)² = (1/5) Mv²
– रैखिक गतिज ऊर्जा K_trans = (1/2) Mv²
– कुल गतिज ऊर्जा K_total = K_trans + K_rot = (1/2)Mv² + (1/5)Mv² = (7/10)Mv²
– अनुपात = K_rot / K_total = (1/5)Mv² / [(7/10)Mv²] = 2 : 7।

Explanation:
– Rotational K.E.: K_rot = (1/2)Iω² = (1/2)(2/5 MR²)(v/R)² = (1/5)Mv².
– Translational K.E.: K_trans = (1/2)Mv².
– Total K.E.: K_total = K_rot + K_trans = (1/5)Mv² + (1/2)Mv² = (7/10)Mv².
– Ratio: K_rot / K_total = (1/5) / (7/10) = 2 : 7.

प्रश्न 15. समान द्रव्यमान और समान त्रिज्या का एक ठोस बेलन और एक ठोस गोला विराम अवस्था से एक ही आनत तल (inclined plane) पर बिना फिसले नीचे की ओर लुढ़कना प्रारंभ करते हैं। इनमें से किसका त्वरण (acceleration) अधिक होगा और वह नीचे पहले पहुँचेगा?

Q15. A solid cylinder and a solid sphere of the same mass and radius start rolling down the same inclined plane from rest without slipping. Which one will have a greater acceleration and reach the bottom first?

A) ठोस बेलन (Solid cylinder) A) Solid cylinder
B) ठोस गोला (Solid sphere) B) Solid sphere
C) दोनों समान समय पर पहुँचेंगे C) Both will reach at the same time
D) यह आनत तल के कोण पर निर्भर करता है D) Depends on the inclination angle of the plane

सही उत्तर: B) ठोस गोला (Solid sphere) Correct Answer: B) Solid sphere

स्पष्टीकरण: लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण होता है: a = g sinθ / (1 + K²/R²), जहाँ K²/R² जड़त्व आघूर्ण का आकार नियतांक है।
– ठोस गोले के लिए: K²/R² = 2/5 = 0.4 ⇒ a_sphere = g sinθ / 1.4
– ठोस बेलन के लिए: K²/R² = 1/2 = 0.5 ⇒ a_cylinder = g sinθ / 1.5
– चूँकि गोले का हर (denominator) छोटा है, अतः गोले का त्वरण अधिक होगा और वह पहले नीचे पहुँचेगा।

Explanation: The acceleration of a rolling body down an incline is given by: a = g sinθ / (1 + K²/R²).
– For a solid sphere: K²/R² = 2/5 = 0.4 ⇒ a_sphere = g sinθ / 1.4.
– For a solid cylinder: K²/R² = 1/2 = 0.5 ⇒ a_cylinder = g sinθ / 1.5.
– Since a_sphere > a_cylinder, the solid sphere has a greater acceleration and reaches the bottom first.

प्रश्न 16. द्रव्यमान M और त्रिज्या R की एक वृत्ताकार रिंग (ring) विराम से h ऊँचाई वाले आनत तल पर बिना फिसले नीचे की ओर लुढ़कती है। तल के सबसे निचले बिंदु पर पहुँचने पर इसका रेखीय वेग (linear velocity) कितना होगा?

Q16. A ring of mass M and radius R rolls down an inclined plane of height h from rest without slipping. Its linear velocity at the bottom of the plane is:

A) √(2gh) A) √(2gh)
B) √(gh) B) √(gh)
C) √(4gh/3) C) √(4gh/3)
D) √(10gh/7) D) √(10gh/7)

सही उत्तर: B) √(gh) Correct Answer: B) √(gh)

स्पष्टीकरण: ऊर्जा संरक्षण के अनुसार, तल के शीर्ष पर कुल स्थितिज ऊर्जा = सबसे नीचे कुल गतिज ऊर्जा:
Mgh = (1/2) Mv² (1 + K²/R²)
– रिंग के लिए K²/R² = 1 होता है।
– Mgh = (1/2) Mv² (1 + 1) = Mv² ⇒ v = √(gh)।

Explanation: By conservation of energy, loss in potential energy = gain in total rolling kinetic energy:
Mgh = (1/2)Mv² (1 + K²/R²).
– For a ring, K²/R² = 1.
– Mgh = (1/2)Mv² (2) = Mv² ⇒ v = √(gh).

प्रश्न 17. किसी घूर्णन करते हुए पिंड के कोणीय संवेग (angular momentum) में परिवर्तन की दर उस पर लगने वाले किसके बराबर होती है?

Q17. The rate of change of angular momentum of a rotating body is equal to the:

A) घूर्णन गतिज ऊर्जा (Rotational kinetic energy) A) Rotational kinetic energy
B) बल आघूर्ण (Torque) B) Torque
C) कोणीय त्वरण (Angular acceleration) C) Angular acceleration
D) रेखीय संवेग (Linear momentum) D) Linear momentum

सही उत्तर: B) बल आघूर्ण (Torque) Correct Answer: B) Torque

स्पष्टीकरण: न्यूटन के द्वितीय नियम के घूर्णी समतुल्य के अनुसार, कोणीय संवेग (L⃗) के परिवर्तन की दर बाह्य बल आघूर्ण (τ⃗) के बराबर होती है:
τ⃗ = dL⃗ / dt।

Explanation: According to the rotational analogue of Newton’s second law of motion, the rate of change of angular momentum (L⃗) of a system is equal to the external torque (τ⃗) acting on it:
τ⃗ = dL⃗ / dt.

प्रश्न 18. भौतिकी में एक “बल युग्म” (couple) का निर्माण किसके द्वारा होता है?

Q18. In physics, a “couple” consists of:

A) दो समान परिमाण और एक ही दिशा वाले बल (Two equal and collinear forces) A) Two forces equal in magnitude and acting along the same direction
B) दो विपरीत दिशा में कार्य करने वाले असमान बल B) Two unequal forces acting in opposite directions
C) दो समान परिमाण वाले विपरीत बल जिनकी क्रिया-रेखाएँ भिन्न हों C) Two forces of equal magnitude acting in opposite directions along different lines of action
D) दो परस्पर लंबवत बल D) Two forces acting perpendicular to each other

सही उत्तर: C) दो समान परिमाण वाले विपरीत बल जिनकी क्रिया-रेखाएँ भिन्न हों Correct Answer: C) Two forces of equal magnitude acting in opposite directions along different lines of action

स्पष्टीकरण: बल युग्म (couple) का निर्माण समान परिमाण और विपरीत दिशा वाले दो बलों द्वारा होता है जो अलग-अलग क्रिया-रेखाओं (different lines of action) पर कार्य करते हैं। बल युग्म का कुल परिणामी बल हमेशा शून्य होता है, इसलिए यह केवल शुद्ध घूर्णी गति (pure rotational motion) उत्पन्न करता है, रेखीय गति नहीं।

Explanation: A couple is defined as a pair of forces equal in magnitude, opposite in direction, and whose lines of action do not coincide. Since the net translation force of a couple is zero, it only produces pure rotation.

प्रश्न 19. किसी दृढ़ पिंड (rigid body) के पूर्ण यांत्रिक साम्यावस्था (mechanical equilibrium) में होने के लिए आवश्यक प्रतिबंध (conditions) क्या हैं?

Q19. For a rigid body to be in complete mechanical equilibrium, the necessary conditions are:

A) कुल बाह्य बल शून्य होना चाहिए (Net external force = 0) A) Net external force must be zero
B) कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य होना चाहिए (Net external torque = 0) B) Net external torque must be zero
C) कुल रेखीय संवेग निरंतर बढ़ना चाहिए C) Net linear momentum must increase continuously
D) A और B दोनों सत्य होने चाहिए D) Both A and B must be satisfied

सही उत्तर: D) A और B दोनों सत्य होने चाहिए Correct Answer: D) Both A and B must be satisfied

स्पष्टीकरण: पूर्ण यांत्रिक साम्यावस्था के लिए पिंड को दो प्रकार की साम्यावस्था में होना चाहिए:
1. **स्थानांतरीय साम्यावस्था (Translational equilibrium):** नेट बाह्य बल शून्य हो (∑F⃗ = 0)।
2. **घूर्णी साम्यावस्था (Rotational equilibrium):** नेट बाह्य बल आघूर्ण शून्य हो (∑τ⃗ = 0)।

Explanation: Complete mechanical equilibrium requires:
1. **Translational equilibrium:** The vector sum of all external forces is zero (∑F⃗ = 0).
2. **Rotational equilibrium:** The vector sum of all external torques is zero (∑τ⃗ = 0).
Therefore, both conditions A and B must be met simultaneously.

प्रश्न 20. “कोणीय आवेग” (Angular impulse) निम्नलिखित में से किस राशि के परिवर्तन के बराबर होता है?

Q20. “Angular impulse” is equivalent to the change in:

A) घूर्णन गतिज ऊर्जा (Rotational K.E.) A) Rotational K.E.
B) कोणीय संवेग (Angular momentum) B) Angular momentum
C) कोणीय वेग (Angular velocity) C) Angular velocity
D) जड़त्व आघूर्ण (Moment of inertia) D) Moment of inertia

सही उत्तर: B) कोणीय संवेग (Angular momentum) Correct Answer: B) Angular momentum

स्पष्टीकरण: रेखीय गति में जिस प्रकार रैखिक आवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है, उसी प्रकार घूर्णी गति में कोणीय आवेग बल आघूर्ण का समय के साथ समाकलन (∫τ·dt) होता है, जो **कोणीय संवेग में कुल परिवर्तन** (ΔL) के बराबर होता है।

Explanation: Just as linear impulse equals the change in linear momentum, angular impulse (∫τ dt) is equal to the change in **angular momentum** (ΔL) of the body.

प्रश्न 21. एकसमान द्रव्यमान घनत्व वाले R त्रिज्या के एक अर्धवृत्ताकार पतले तार (semicircular wire) के द्रव्यमान केंद्र की उसके ज्यामितीय केंद्र से दूरी क्या होगी?

Q21. The distance of the centre of mass of a uniform thin semicircular wire of radius R from its geometric centre is:

A) 2R / π A) 2R / π
B) 4R / 3π B) 4R / 3π
C) R / π C) R / π
D) 3R / 4π D) 3R / 4π

सही उत्तर: A) 2R / π Correct Answer: A) 2R / π

स्पष्टीकरण: एकसमान अर्धवृत्ताकार छल्ले या तार (semicircular ring/wire) के लिए, सममिति के कारण द्रव्यमान केंद्र केंद्र से गुजरने वाली सममित अक्ष पर स्थित होता है। इसकी मूल बिंदु (ज्यामितीय केंद्र) से दूरी का सूत्र **2R / π** होता है।

Explanation: For a uniform thin semicircular wire of radius R, symmetric considerations put the center of mass along the symmetry axis at a distance of **2R / π** from the geometric center.

प्रश्न 22. R त्रिज्या की एकसमान अर्धवृत्ताकार डिस्क (semicircular disc) के द्रव्यमान केंद्र की उसके ज्यामितीय केंद्र से दूरी क्या होगी?

Q22. The distance of the centre of mass of a uniform semicircular disc of radius R from its geometric centre is:

A) 2R / π A) 2R / π
B) 4R / 3π B) 4R / 3π
C) 3R / 8 C) 3R / 8
D) R / 2 D) R / 2

सही उत्तर: B) 4R / 3π Correct Answer: B) 4R / 3π

स्पष्टीकरण: एकसमान अर्धवृत्ताकार प्लेट या डिस्क (semicircular plate/disc) का द्रव्यमान केंद्र ज्यामितीय केंद्र से सममित अक्ष के अनुदिश **4R / 3π** दूरी पर स्थित होता है। (यह मान अर्धवृत्ताकार छल्ले के 2R / π से थोड़ा कम होता है क्योंकि डिस्क का द्रव्यमान केंद्र की तरफ अधिक केंद्रित होता है)।

Explanation: The centre of mass of a uniform thin semicircular disc of radius R lies along its axis of symmetry at a distance of **4R / 3π** from its straight edge (geometric center).

प्रश्न 23. द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक एकसमान ठोस बेलन (solid cylinder) का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र क्या है?

Q23. The moment of inertia of a uniform solid cylinder of mass M and radius R about its geometric longitudinal axis is:

A) MR² A) MR²
B) 1/2 MR² B) 1/2 MR²
C) 2/5 MR² C) 2/5 MR²
D) 1/12 MR² D) 1/12 MR²

सही उत्तर: B) 1/2 MR² Correct Answer: B) 1/2 MR²

स्पष्टीकरण: एक ठोस बेलन को कई पतली वृत्ताकार डिस्क के रूप में संचित माना जा सकता है। चूँकि प्रत्येक डिस्क का अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण 1/2 mR² होता है, अतः ठोस बेलन का उसकी लंबाई के अनुदिश जाने वाली ज्यामितीय अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण भी **1/2 MR²** होता है।

Explanation: A solid cylinder can be thought of as a stack of thin circular discs. Since each disc has a moment of inertia of 1/2 mR² about its axis, the total moment of inertia of a solid cylinder of mass M and radius R about its central axis is **1/2 MR²**.

प्रश्न 24. एक आइस स्केटर (ice skater) घूमते समय अचानक अपने फैले हुए हाथों को समेट लेती है। इसके कारण उसका जड़त्व आघूर्ण घट जाता है। संवेग संरक्षण के आधार पर उसकी घूर्णन की चाल (angular velocity):

Q24. An ice skater spinning on ice suddenly folds her arms inward. This decreases her moment of inertia. By conservation of angular momentum, her angular velocity:

A) घट जाएगी (Decreases) A) Decreases
B) बढ़ जाएगी (Increases) B) Increases
C) अपरिवर्तित रहेगी C) Remains unchanged
D) शून्य हो जाएगी D) Becomes zero

सही उत्तर: B) बढ़ जाएगी (Increases) Correct Answer: B) Increases

स्पष्टीकरण: चूंकि बाहरी बल आघूर्ण शून्य है, कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा: I × ω = नियतांक।
हाथ सिकोड़ने से द्रव्यमान अक्ष के निकट आ जाता है, जिससे जड़त्व आघूर्ण (I) घटता है। I घटने के कारण कोणीय वेग (ω) **बढ़ जाता है**, जिससे वह और तेजी से घूमने लगती है।

Explanation: In the absence of external torque, the angular momentum of the system is conserved: Iω = constant.
Bringing the arms closer to the body reduces the distribution of mass from the axis of rotation, thereby decreasing the moment of inertia (I). Consequently, her angular velocity (ω) **increases** to keep the product Iω constant.

प्रश्न 25. 3 kg m² जड़त्व आघूर्ण का एक पहिया 10 rad/s के कोणीय वेग से घूम रहा है। मोटर बंद करने के बाद पहिये को 2 s में रोकने के लिए आवश्यक मंदक बल आघूर्ण (retardation torque) कितना होगा?

Q25. A flywheel of moment of inertia 3 kg m² is rotating with an angular velocity of 10 rad/s. If the motor is switched off, the retarding torque required to stop it in 2 s is:

A) 5 N·m A) 5 N·m
B) 15 N·m B) 15 N·m
C) 30 N·m C) 30 N·m
D) 7.5 N·m D) 7.5 N·m

सही उत्तर: B) 15 N·m Correct Answer: B) 15 N·m

स्पष्टीकरण:
– कोणीय मंदन: α = (ω_final – ω_initial) / t = (0 – 10) / 2 = -5 rad/s²
– आवश्यक बल आघूर्ण का परिमाण: τ = I × |α| = 3 kg m² × 5 rad/s² = 15 N·m।

Explanation:
– Required angular deceleration: α = (ω_final – ω_initial) / t = (0 – 10) / 2 = -5 rad/s².
– Magnitude of retarding torque: τ = I × |α| = 3 × 5 = 15 N·m.