NEET 2026 Physics – Kinetic Theory of Gases (Set 1)
प्रश्न 1. परम ताप (absolute temperature) T पर किसी आदर्श गैस के एक अणु की औसत अनुवादकीय गतिज ऊर्जा (average translational kinetic energy) क्या होगी?
Q1. The average translational kinetic energy of a single molecule of an ideal gas at absolute temperature T is:
  • A) 3/2 R T A) 3/2 R T
  • B) 3/2 k_B T B) 3/2 k_B T
  • C) 1/2 k_B T C) 1/2 k_B T
  • D) 3 k_B T D) 3 k_B T
सही उत्तर: B) 3/2 k_B T Correct Answer: B) 3/2 k_B T
स्पष्टीकरण: गैस के अणुगति सिद्धांत के अनुसार:
– प्रति मोल (per mole) औसत गतिज ऊर्जा: E = 3/2 RT होती है।
– प्रति अणु (per molecule) औसत गतिज ऊर्जा: E = 3/2 (R / N_A) T = 3/2 k_B T होती है (जहाँ k_B बोल्ट्ज़मान नियतांक है)। यह गैस के स्वभाव पर निर्भर नहीं करती है।
Explanation: According to the kinetic theory of gases:
– Average kinetic energy per mole of gas: E = 3/2 RT.
– Average kinetic energy per molecule: E = 3/2 (R/N_A)T = 3/2 k_B T, where k_B is the Boltzmann constant. It is independent of the mass or type of gas molecule.
प्रश्न 2. किस तापमान पर हाइड्रोजन अणुओं (H₂) का वर्ग माध्य मूल वेग (RMS speed), 47°C पर ऑक्सीजन अणुओं (O₂) के वर्ग माध्य मूल वेग के बराबर होगा?
Q2. At what temperature is the root mean square (RMS) speed of hydrogen molecules (H₂) equal to that of oxygen molecules (O₂) at 47°C?
  • A) 20 K A) 20 K
  • B) 80 K B) 80 K
  • C) 40 K C) 40 K
  • D) 320 K D) 320 K
सही उत्तर: A) 20 K Correct Answer: A) 20 K
स्पष्टीकरण: वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र: v_rms = √(3RT / M)
– दिया गया है: v_rms(H) = v_rms(O) ⇒ √(3RT_H / M_H) = √(3RT_O / M_O)
– T_H / M_H = T_O / M_O
– T_O = 47 + 273 = 320 K, M_O = 32 g/mol, M_H = 2 g/mol
– T_H / 2 = 320 / 32 ⇒ T_H / 2 = 10 ⇒ T_H = 20 K।
Explanation: The root mean square velocity is given by: v_rms = √(3RT / M).
– Since v_rms(H) = v_rms(O) ⇒ T_H / M_H = T_O / M_O.
– T_O = 47 + 273 = 320 K, M_O = 32 g/mol, M_H = 2 g/mol.
– T_H / 2 = 320 / 32 = 10 ⇒ T_H = 20 K.
प्रश्न 3. किसी गैस के अणुओं की अति संभावित चाल (Most probable speed, v_mp), औसत चाल (Average speed, v_avg) और वर्ग माध्य मूल चाल (RMS speed, v_rms) का सही अनुपात क्या होगा?
Q3. The ratio of most probable speed (v_mp), average speed (v_avg) and root mean square speed (v_rms) of gas molecules is:
  • A) √2 : √(8/π) : √3 A) √2 : √(8/π) : √3
  • B) √3 : √(8/π) : √2 B) √3 : √(8/π) : √2
  • C) √(8/π) : √3 : √2 C) √(8/π) : √3 : √2
  • D) 1 : 2 : 3 D) 1 : 2 : 3
सही उत्तर: A) √2 : √(8/π) : √3 Correct Answer: A) √2 : √(8/π) : √3
स्पष्टीकरण: मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वेग वितरण के अनुसार:
– अति संभावित चाल: v_mp = √(2RT/M)
– औसत चाल: v_avg = √(8RT / πM)
– वर्ग माध्य मूल चाल: v_rms = √(3RT/M)
– अनुपात: v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3 ≈ 1 : 1.128 : 1.224।
Explanation: According to Maxwell’s speed distribution:
– Most probable speed v_mp = √(2RT/M).
– Average speed v_avg = √(8RT / πM).
– RMS speed v_rms = √(3RT/M).
– Ratio: v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3 ≈ 1 : 1.128 : 1.224.
प्रश्न 4. आणविक व्यास d और संख्या घनत्व (number density, n) के पदों में गैस के अणुओं के माध्य मुक्त पथ (Mean free path, λ) का सही सूत्र क्या है?
Q4. The mean free path (λ) of a gas molecule of molecular diameter d and number density n is given by the expression:
  • A) λ = 1 / (π d² n) A) λ = 1 / (π d² n)
  • B) λ = 1 / (√2 π d² n) B) λ = 1 / (√2 π d² n)
  • C) λ = √2 π d² n C) λ = √2 π d² n
  • D) λ = 1 / (2π d n) D) λ = 1 / (2π d n)
सही उत्तर: B) λ = 1 / (√2 π d² n) Correct Answer: B) λ = 1 / (√2 π d² n)
स्पष्टीकरण: दो क्रमिक टक्करों के बीच गैस अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी को **माध्य मुक्त पथ (Mean free path)** कहा जाता है। इसका विशुद्ध गणितीय सूत्र मैक्सवेल के सापेक्ष गति संशोधन के बाद निम्न प्रकार व्यक्त किया जाता है:
λ = 1 / (√2 π d² n) (जहाँ n = N/V अणुओं की प्रति इकाई आयतन संख्या है)।
Explanation: The mean free path is the average distance traveled by a moving gas molecule between successive collisions. Taking relative molecular motion into account, Maxwell derived the formula:
λ = 1 / (√2 π d² n), where n is the number of molecules per unit volume.
प्रश्न 5. परम ताप T पर किसी आदर्श गैस के 1 mole की कुल अनुवादकीय गतिज ऊर्जा (translational kinetic energy) कितनी होगी?
Q5. The total translational kinetic energy of 1 mole of an ideal gas at absolute temperature T is:
  • A) 1/2 R T A) 1/2 R T
  • B) 3/2 R T B) 3/2 R T
  • C) 5/2 R T C) 5/2 R T
  • D) k_B T D) k_B T
सही उत्तर: B) 3/2 R T Correct Answer: B) 3/2 R T
स्पष्टीकरण: ऊर्जा के सम-विभाजन नियम के अनुसार, प्रत्येक दिशा (स्वतंत्रता की कोटि) में प्रति मोल औसत अनुवादकीय गतिज ऊर्जा (1/2)RT होती है। चूँकि त्रिविम क्षेत्र (three dimensions) में गति के लिए 3 अनुवादकीय कोटियाँ होती हैं, अतः 1 मोल की कुल अनुवादकीय गतिज ऊर्जा **3/2 RT** होगी।
Explanation: Every gas molecule has 3 translational degrees of freedom. By the law of equipartition of energy, the kinetic energy per mole per degree of freedom is (1/2)RT. Thus, the total translational kinetic energy of 1 mole is 3/2 RT.
प्रश्न 6. घनत्व ρ और वर्ग माध्य मूल वेग v_rms के पदों में किसी आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब (Pressure, P) किस सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है?
Q6. The pressure (P) exerted by an ideal gas of density ρ is related to its RMS speed (v_rms) by:
  • A) P = 1/2 ρ v_rms² A) P = 1/2 ρ v_rms²
  • B) P = 1/3 ρ v_rms² B) P = 1/3 ρ v_rms²
  • C) P = 3/2 ρ v_rms² C) P = 3/2 ρ v_rms²
  • D) P = ρ v_rms² D) P = ρ v_rms²
सही उत्तर: B) P = 1/3 ρ v_rms² Correct Answer: B) P = 1/3 ρ v_rms²
स्पष्टीकरण: अणुगति सिद्धांत के अनुसार, बन्द पात्र में गैस के अणुओं की निरंतर टक्करों के कारण दीवार पर आरोपित दाब का मूलभूत समीकरण है:
P = (1/3) (mN / V) v_rms²
चूँकि कुल द्रव्यमान / कुल आयतन = घनत्व (ρ = mN / V) होता है, अतः P = (1/3) ρ v_rms²।
Explanation: According to the kinetic theory of gases, the pressure exerted by an ideal gas on the walls of the container is:
P = (1/3) (mN / V) v_rms².
Since total mass per unit volume is density (ρ = mN / V), the equation becomes: P = (1/3) ρ v_rms².
प्रश्न 7. दाब P और परम ताप T के पदों में किसी गैस के माध्य मुक्त पथ (Mean free path, λ) की निर्भरता क्या होगी?
Q7. In terms of pressure P and absolute temperature T, the mean free path (λ) of an ideal gas is proportional to:
  • A) λ ∝ P / T A) λ ∝ P / T
  • B) λ ∝ T / P B) λ ∝ T / P
  • C) λ ∝ 1 / (P × T) C) λ ∝ 1 / (P × T)
  • D) λ ∝ P × T D) λ ∝ P × T
सही उत्तर: B) λ ∝ T / P Correct Answer: B) λ ∝ T / P
स्पष्टीकरण: माध्य मुक्त पथ का मूल सूत्र है: λ ∝ 1 / n (जहाँ n संख्या घनत्व है)।
– आदर्श गैस नियम से: PV = N k_B T ⇒ N / V = n = P / (k_B T)
– n का मान प्रतिस्थापित करने पर: λ ∝ 1 / [P / (k_B T)] ⇒ λ ∝ T / P।
अर्थात् तापमान बढ़ने पर माध्य मुक्त पथ बढ़ता है तथा दाब बढ़ने पर यह घटता है।
Explanation: The mean free path is: λ ∝ 1 / n, where n is the number density.
– From the ideal gas law: PV = N k_B T ⇒ n = N / V = P / (k_B T).
– Substituting n gives: λ ∝ 1 / [P / (k_B T)] ⇒ λ ∝ T / P.
प्रश्न 8. एक **अ-रेखीय त्रिक-परमाणुक (non-linear triatomic)** गैस अणु (जैसे जलवाष्प H₂O) की सामान्य तापमान पर कुल स्वतंत्रता की कोटियाँ (degrees of freedom) कितनी होती हैं?
Q8. At normal temperatures, a **non-linear triatomic** gas molecule (such as water vapor H₂O) possesses how many degrees of freedom?
  • A) 3 A) 3
  • B) 5 B) 5
  • C) 6 C) 6
  • D) 7 D) 7
सही उत्तर: C) 6 Correct Answer: C) 6
स्पष्टीकरण:
– एकपरमाणुक अणु: 3 (केवल अनुवादकीय/translational)।
– रेखीय द्वि/त्रिक-परमाणुक अणु: 5 (3 अनुवादकीय + 2 घूर्णी/rotational)।
– अ-रेखीय त्रिक-परमाणुक अणु (non-linear triatomic): त्रिविम में घूमने के लिए इसके पास 3 अनुवादकीय और 3 घूर्णी स्वतंत्र गतियाँ होती हैं। अतः कुल कोटियाँ **6** होती हैं। (उच्च तापमान पर कंपन मोड भी जुड़ सकते हैं)।
Explanation:
– Monatomic molecule: 3 translational degrees of freedom.
– Linear diatomic/triatomic molecule: 5 (3 translational + 2 rotational).
– Non-linear triatomic molecule (e.g., H₂O): It has 3 translational and 3 rotational modes, making a total of **6** degrees of freedom (excluding vibrational modes at normal temperatures).
प्रश्न 9. एक **अ-रेखीय त्रिक-परमाणुक** गैस के लिए नियत दाब और नियत आयतन की विशिष्ट ऊष्मा धारिताओं का अनुपात (γ = C_p / C_v) सामान्य तापमान पर क्या होगा?
Q9. At normal temperatures, the ratio of molar specific heats (γ = C_p / C_v) for a **non-linear triatomic** gas is:
  • A) 1.67 A) 1.67
  • B) 1.40 B) 1.40
  • C) 1.33 C) 1.33
  • D) 1.50 D) 1.50
सही उत्तर: C) 1.33 Correct Answer: C) 1.33
स्पष्टीकरण: अ-रेखीय त्रिक-परमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि f = 6 होती है।
– विशिष्ट ऊष्मा अनुपात का सूत्र: γ = 1 + (2 / f)
– मान रखने पर: γ = 1 + (2 / 6) = 1 + 1/3 = 4/3 ≈ 1.33।
Explanation: For a non-linear triatomic gas, the degree of freedom is f = 6.
– The ratio of specific heats is given by: γ = 1 + (2 / f).
– Substituting the value: γ = 1 + (2 / 6) = 4/3 ≈ 1.33.
प्रश्न 10. एक बंद पात्र में 2 g हाइड्रोजन (H₂) और 8 g हीलियम (He) गैसों का मिश्रण थर्मल साम्यावस्था (समान तापमान) में रखा गया है। हाइड्रोजन के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा और हीलियम के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या होगा?
Q10. A vessel contains a mixture of 2 g of hydrogen (H₂) and 8 g of helium (He) in thermal equilibrium. The ratio of the average kinetic energy per molecule of hydrogen to that of helium is:
  • A) 1 : 2 A) 1 : 2
  • B) 2 : 1 B) 2 : 1
  • C) 1 : 1 C) 1 : 1
  • D) 1 : 4 D) 1 : 4
सही उत्तर: C) 1 : 1 Correct Answer: C) 1 : 1
स्पष्टीकरण: यह एक बहुत ही सामान्य वैचारिक जाल (conceptual trap) है।
– किसी भी गैस के एक अणु की औसत अनुवादकीय गतिज ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है: E = 3/2 k_B T।
– चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में थर्मल साम्यावस्था में हैं, उनका तापमान समान होगा।
– तापमान समान होने के कारण, दोनों गैसों के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा पूर्णतः समान होगी। अतः अनुपात **1:1** होगा। (अणुओं के द्रव्यमान का इस पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता)।
Explanation: This is a conceptual trap.
– The average translational kinetic energy of a gas molecule depends only on its absolute temperature: E = 3/2 k_B T.
– Since both gases are in thermal equilibrium in the same vessel, they share the same temperature.
– Therefore, the average kinetic energy per molecule is identical for both gases, resulting in a ratio of **1:1** (independent of molecular mass).
प्रश्न 11. एक गैस का कोणीय वर्ग माध्य मूल वेग (RMS speed) v है। यदि गैस का परम ताप दोगुना कर दिया जाए और गैस के अणु अपने घटक परमाणुओं में टूट जाएँ (dissociate into atoms), तो नया वर्ग माध्य मूल वेग क्या हो जाएगा?
Q11. The RMS speed of molecules of a diatomic gas is v. If the absolute temperature is doubled and the molecules dissociate into atoms, the new RMS speed of the atoms will be:
  • A) v A) v
  • B) √2 v B) √2 v
  • C) 2 v C) 2 v
  • D) 4 v D) 4 v
सही उत्तर: C) 2 v Correct Answer: C) 2 v
स्पष्टीकरण: वर्ग माध्य मूल वेग का मूल सूत्र: v_rms = √(3RT / M)
– मान लें प्रारंभिक स्थिति में: v₁ = √(3RT / M) = v
– नई स्थिति में, तापमान दोगुना होता है (T’ = 2T) और अणु परमाणुओं में टूट जाते हैं, जिससे मोलर द्रव्यमान आधा हो जाता है (M’ = M / 2)।
– नया वेग: v_rms’ = √[3R(2T) / (M/2)] = √[4 × (3RT / M)] = 2 × √(3RT / M) = 2v।
Explanation: The RMS speed is: v = √(3RT / M).
– Under new conditions, the temperature is doubled (T’ = 2T) and the molecules dissociate into atoms, so the molar mass is halved (M’ = M / 2).
– The new RMS speed is: v’ = √[3R(2T) / (M/2)] = √[4 × (3RT / M)] = 2v.
प्रश्न 12. एक बंद बेलनाकार पात्र में भरी आदर्श गैस का दाब P और तापमान T है। यदि गैस के द्रव्यमान को दोगुना तथा उसके आयतन को आधा कर दिया जाए और तापमान को नियत रखा जाए, तो नया दाब क्या होगा?
Q12. A cylinder contains an ideal gas at pressure P and temperature T. If the mass of the gas is doubled, its volume is halved while the temperature is kept constant, the new pressure of the gas will be:
  • A) P A) P
  • B) 2 P B) 2 P
  • C) 4 P C) 4 P
  • D) P / 2 D) P / 2
सही उत्तर: C) 4 P Correct Answer: C) 4 P
स्पष्टीकरण: आदर्श गैस नियम के अनुसार:
PV = nRT = (m / M_0) RT ⇒ P = (mRT) / (M_0 V)
चूँकि तापमान (T) और गैस का प्रकार (M_0) नियत हैं, दाब सीधे द्रव्यमान के अनुक्रमानुपाती तथा आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
P ∝ m / V
– नया दाब: P’ ∝ (2m) / (V / 2) = 4 × (m / V) ⇒ P’ = 4P।
Explanation: From the ideal gas equation:
PV = nRT = (m / M_0) RT ⇒ P = (mRT) / (M_0 V).
Since temperature T is kept constant:
P ∝ m / V.
– New pressure: P’ ∝ (2m) / (V / 2) = 4 × (m / V) ⇒ P’ = 4P.
प्रश्न 13. एक मोल द्विपरमाणुक ऑक्सीजन गैस (O₂) को एक मोल एकपरमाणुक हीलियम गैस (He) के साथ मिलाया जाता है। इस गैसीय मिश्रण की नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता (C_v) क्या होगी?
Q13. One mole of diatomic oxygen gas (O₂) is mixed with one mole of monatomic helium gas (He). The equivalent molar specific heat at constant volume (C_v) of the mixture is:
  • A) 2 R A) 2 R
  • B) 3 R / 2 B) 3 R / 2
  • C) 5 R / 2 C) 5 R / 2
  • D) 3 R D) 3 R
सही उत्तर: A) 2 R Correct Answer: A) 2 R
स्पष्टीकरण: मिश्रण के लिए कोणीय विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र है:
C_v(mix) = (n₁C_v₁ + n₂C_v₂) / (n₁ + n₂)
– द्विपरमाणुक O₂ के लिए (n₁ = 1, C_v₁ = 5R/2)
– एकपरमाणुक He के लिए (n₂ = 1, C_v₂ = 3R/2)
– C_v(mix) = [1 × (5R/2) + 1 × (3R/2)] / (1 + 1) = (8R / 2) / 2 = 2 R।
Explanation: The equivalent specific heat of a mixture is given by:
C_v(mix) = (n₁C_v₁ + n₂C_v₂) / (n₁ + n₂).
– For oxygen (O₂): n₁ = 1, C_v₁ = 5R/2.
– For helium (He): n₂ = 1, C_v₂ = 3R/2.
– C_v(mix) = [(5R/2) + (3R/2)] / 2 = 4R / 2 = 2R.
प्रश्न 14. यदि किसी गैस के अणुओं का 27°C पर वर्ग माध्य मूल वेग (RMS speed) v है, तो किस तापमान पर इसका वर्ग माध्य मूल वेग 2v हो जाएगा?
Q14. If the RMS speed of gas molecules at 27°C is v, then the temperature at which the RMS speed becomes 2v is:
  • A) 54°C A) 54°C
  • B) 108°C B) 108°C
  • C) 927°C C) 927°C
  • D) 327°C D) 327°C
सही उत्तर: C) 927°C Correct Answer: C) 927°C
स्पष्टीकरण:
– हम जानते हैं कि वर्ग माध्य मूल वेग परम ताप के वर्गमूल के अनुक्रमानुपाती होता है: v_rms ∝ √T
– v₂ / v₁ = √(T₂ / T₁) ⇒ 2v / v = √(T₂ / T₁) ⇒ 2 = √(T₂ / T₁)
– दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: T₂ / T₁ = 4 ⇒ T₂ = 4 × T₁
– प्रारंभिक ताप T₁ = 27 + 273 = 300 K
– नया ताप T₂ = 4 × 300 = 1200 K
– सेल्सियस में: 1200 – 273 = 927°C।
Explanation:
– The RMS velocity is proportional to the square root of the absolute temperature: v_rms ∝ √T.
– v₂ / v₁ = √(T₂ / T₁) ⇒ 2 = √(T₂ / T₁) ⇒ T₂ = 4 T₁.
– Given T₁ = 27 + 273 = 300 K.
– T₂ = 4 × 300 = 1200 K.
– In Celsius scale: 1200 – 273 = 927°C.
प्रश्न 15. गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, गैस के अणुओं और बन्द पात्र की दीवारों के बीच होने वाली टक्करें (collisions) किस प्रकार की होती हैं?
Q15. According to the kinetic theory of gases, the collisions between gas molecules and the walls of the container are assumed to be:
  • A) पूर्णतः अप्रत्यास्थ (Perfectly inelastic) A) Perfectly inelastic
  • B) पूर्णतः प्रत्यास्थ (Perfectly elastic) B) Perfectly elastic
  • C) आंशिक रूप से अप्रत्यास्थ C) Partially inelastic
  • D) केवल अणुओं के आकार पर निर्भर करता है D) Depend only on the size of molecules
सही उत्तर: B) पूर्णतः प्रत्यास्थ (Perfectly elastic) Correct Answer: B) Perfectly elastic
स्पष्टीकरण: गैसों के अणुगति सिद्धांत (assumptions of KTG) का एक मूलभूत नियम है कि गैस के अणुओं की आपस में तथा पात्र की दीवारों के साथ होने वाली सभी टक्करें **पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic)** होती हैं। इसका अर्थ है कि टक्करों के दौरान निकाय की कुल गतिज ऊर्जा और कुल रेखीय संवेग पूर्णतः संरक्षित रहते हैं, और ऊष्मा के रूप में कोई ऊर्जा नष्ट नहीं होती।
Explanation: A fundamental postulate of the kinetic theory of gases is that the collisions of gas molecules with each other and with the walls of the vessel are **perfectly elastic**. This means that there is no loss of kinetic energy during the collisions.
प्रश्न 16. डाल्टन का आंशिक दाब का नियम (Dalton’s Law of Partial Pressures) निम्नलिखित में से किस गैसीय निकाय के लिए लागू होता है?
Q16. Dalton’s law of partial pressures is applicable only to:
  • A) परस्पर क्रिया करने वाली वास्तविक गैसों के मिश्रण पर A) A mixture of reacting real gases
  • B) परस्पर क्रिया न करने वाली आदर्श गैसों के मिश्रण पर (Non-reacting ideal gases) B) A mixture of non-reacting ideal gases
  • C) किसी भी ठोस-गैस मिश्रण पर C) Any solid-gas mixture
  • D) केवल अत्यधिक उच्च दाब वाली गैसों पर D) Gases at very high pressures only
सही उत्तर: B) परस्पर क्रिया न करने वाली आदर्श गैसों के मिश्रण पर (Non-reacting ideal gases) Correct Answer: B) A mixture of non-reacting ideal gases
स्पष्टीकरण: डाल्टन के नियम के अनुसार, एक बंद पात्र में भरी हुई **परस्पर रासायनिक क्रिया न करने वाली** गैसों के मिश्रण का कुल दाब, प्रत्येक गैस द्वारा अकेले लगाए गए आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है: P_total = P₁ + P₂ + P₃ + …। (यदि गैसें आपस में क्रिया कर लें, तो नया यौगिक बनने के कारण अणुओं की संख्या बदल जाएगी और यह नियम लागू नहीं होगा)।
Explanation: Dalton’s law of partial pressures states that the total pressure of a mixture of **non-reacting ideal gases** is equal to the sum of the partial pressures of individual gases: P = P₁ + P₂ + …. It fails if the gases react chemically with each other.
प्रश्न 17. सार्वत्रिक गैस नियतांक (R) का विमीय सूत्र निम्नलिखित में से क्या होता है?
Q17. The dimensional formula of the universal gas constant (R) is:
  • A) [M¹L²T⁻²K⁻¹mol⁻¹] A) [M¹L²T⁻²K⁻¹mol⁻¹]
  • B) [M¹L¹T⁻²K⁻¹mol⁻¹] B) [M¹L¹T⁻²K⁻¹mol⁻¹]
  • C) [M¹L²T⁻¹K⁻¹mol⁻¹] C) [M¹L²T⁻¹K⁻¹mol⁻¹]
  • D) [M¹L²T⁻²K¹mol⁻¹] D) [M¹L²T⁻²K¹mol⁻¹]
सही उत्तर: A) [M¹L²T⁻²K⁻¹mol⁻¹] Correct Answer: A) [M¹L²T⁻²K⁻¹mol⁻¹]
स्पष्टीकरण: आदर्श गैस नियम से: PV = nRT ⇒ R = PV / nT
– दाब की विमा [P] = [M¹L⁻¹T⁻²], आयतन की विमा [V] = [L³]
– R = [M¹L⁻¹T⁻²] [L³] / ([mol] [K]) = [M¹L²T⁻²K⁻¹mol⁻¹] (जो कि कार्य प्रति केल्विन प्रति मोल के समान है)।
Explanation: From the ideal gas equation: PV = nRT ⇒ R = PV / (nT).
– Dimensions of PV (Work) = [M¹L²T⁻²].
– Dimensions of n = [mol], T = [K].
– Dimensions of R = [M¹L²T⁻²K⁻¹mol⁻¹].
प्रश्न 18. स्थिर आयतन (constant volume) पर किसी गैस का दाब उसके परम ताप के अनुक्रमानुपाती होता है। यह नियम क्या कहलाता है?
Q18. At constant volume, the pressure of a given mass of gas is directly proportional to its absolute temperature. This law is known as:
  • A) बॉयल का नियम (Boyle’s Law) A) Boyle’s Law
  • B) चार्ल्स का नियम (Charles’s Law) B) Charles’s Law
  • C) गे-लुसाक का नियम (Gay-Lussac’s Law) C) Gay-Lussac’s Law
  • D) आवोगाद्रो का नियम D) Avogadro’s Law
सही उत्तर: C) गे-लुसाक का नियम (Gay-Lussac’s Law) Correct Answer: C) Gay-Lussac’s Law
स्पष्टीकरण: गैसों के विभिन्न नियम इस प्रकार हैं:
– **बॉयल का नियम:** स्थिर ताप पर P ∝ 1 / V
– **चार्ल्स का नियम:** स्थिर दाब पर V ∝ T
– **गे-लुसाक का नियम:** स्थिर आयतन पर P ∝ T।
Explanation: The gas laws are defined as:
– **Boyle’s Law:** P ∝ 1 / V at constant temperature.
– **Charles’s Law:** V ∝ T at constant pressure.
– **Gay-Lussac’s Law:** P ∝ T at constant volume.
प्रश्न 19. मैक्सवेल के आणविक वेग वितरण वक्र (velocity distribution curve) का उच्चतम शिखर (peak) निम्नलिखित में से किस वेग को निरूपित करता है?
Q19. The peak of Maxwell’s molecular speed distribution curve represents:
  • A) वर्ग माध्य मूल वेग (RMS speed) A) Root mean square speed
  • B) औसत वेग (Average speed) B) Average speed
  • C) अति संभावित वेग (Most probable speed) C) Most probable speed
  • D) शून्य वेग D) Zero speed
सही उत्तर: C) अति संभावित वेग (Most probable speed) Correct Answer: C) Most probable speed
स्पष्टीकरण: मैक्सवेल के वितरण वक्र का उच्चतम शिखर (peak) वह गति है जो निकाय के **अधिकतम संख्या में अणुओं** द्वारा धारण की जाती है। इसी कारण इस वेग को **अति संभावित वेग (most probable speed – v_mp)** कहा जाता है। इसका मान v_rms और v_avg दोनों से कम होता है।
Explanation: The peak of the Maxwell-Boltzmann speed distribution curve represents the speed possessed by the **maximum fraction of molecules** in the gas. This speed is defined as the **most probable speed**.
प्रश्न 20. एक आदर्श एकपरमाणुक गैस (monatomic gas) के पास केवल कौन सी स्वतंत्रता की कोटियाँ (degrees of freedom) होती हैं?
Q20. An ideal monatomic gas molecule possesses:
  • A) केवल 3 अनुवादकीय स्वतंत्रता की कोटियाँ (Only 3 translational degrees) A) Only 3 translational degrees of freedom
  • B) 3 अनुवादकीय और 2 घूर्णी कोटियाँ B) 3 translational and 2 rotational degrees of freedom
  • C) केवल 3 घूर्णी कोटियाँ C) Only 3 rotational degrees of freedom
  • D) 3 अनुवादकीय, 2 घूर्णी और 2 कंपनीय कोटियाँ D) 3 translational, 2 rotational and 2 vibrational degrees of freedom
सही उत्तर: A) केवल 3 अनुवादकीय स्वतंत्रता की कोटियाँ (Only 3 translational degrees) Correct Answer: A) Only 3 translational degrees of freedom
स्पष्टीकरण: एकपरमाणुक गैस (जैसे हीलियम) के अणु में केवल एक अकेला परमाणु होता है। बिंदु-द्रव्यमान संरचना होने के कारण इसका अपने अक्ष पर घूर्णन का जड़त्व आघूर्ण नगण्य होता है, जिससे इसकी घूर्णी ऊर्जा शून्य होती है। अतः इसके पास केवल त्रिविम अंतरिक्ष में चलने के लिए **3 अनुवादकीय स्वतंत्रता की कोटियाँ (translational degrees of freedom)** होती हैं।
Explanation: A monatomic gas molecule is treated as a point mass. Its rotational moment of inertia is negligible, meaning it cannot store rotational energy. It only has **3 translational degrees of freedom** representing motion along the x, y, and z axes.
प्रश्न 21. थर्मल साम्यावस्था (thermal equilibrium) में किसी पात्र में बंद आदर्श गैस के अणुओं का **औसत वेग** (Average velocity) कितना होता है?
Q21. In thermal equilibrium, the **average velocity** of the molecules of an ideal gas in a container is:
  • A) वर्ग माध्य मूल वेग के बराबर A) Equal to the RMS speed
  • B) शून्य (Zero) B) Zero
  • C) अत्यंत उच्च मान C) A very high positive value
  • D) सिंक के तापमान पर निर्भर करता है D) Dependent on the sink temperature
सही उत्तर: B) शून्य (Zero) Correct Answer: B) Zero
स्पष्टीकरण: यहाँ “चाल” (speed) और “वेग” (velocity) के अंतर को समझना आवश्यक है।
– कोणीय गति या चाल हमेशा धनात्मक होती है, अतः औसत चाल (average speed) अशून्य धनात्मक मान होती है।
– परन्तु, “वेग” एक सदिश राशि है। थर्मल साम्यावस्था में अणुओं की गति पूर्णतः यादृच्छिक (random) होती है। जितनी संख्या में अणु एक दिशा में जाते हैं, उतनी ही संभावना है कि उतने ही अणु विपरीत दिशा में गति करें। इस कारण सभी अणुओं के वेगों का सदिश योग हमेशा **शून्य** होता है।
Explanation: Average *velocity* is a vector quantity. Since the gas molecules move randomly in all possible directions with equal probability, the vector sum of their velocities is **zero**. (Note that the average *speed* is non-zero).
प्रश्न 22. किसी गैस में ध्वनि के वेग (velocity of sound, v_s) और उसी गैस के अणुओं के वर्ग माध्य मूल वेग (RMS velocity, v_rms) का अनुपात क्या होगा?
Q22. For any gas, the ratio of the velocity of sound (v_s) to the RMS velocity (v_rms) of the molecules is:
  • A) √(γ / 3) A) √(γ / 3)
  • B) √(3 / γ) B) √(3 / γ)
  • C) γ / 3 C) γ / 3
  • D) √(γ / 2) D) √(γ / 2)
सही उत्तर: A) √(γ / 3) Correct Answer: A) √(γ / 3)
स्पष्टीकरण: दोनों के सूत्र इस प्रकार हैं:
– गैस में ध्वनि की चाल (लाप्लास संशोधन): v_s = √(γRT / M)
– गैस अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल: v_rms = √(3RT / M)
– दोनों का अनुपात: v_s / v_rms = √[(γRT/M) / (3RT/M)] = √(γ / 3)। (चूँकि γ < 3 है, अतः ध्वनि का वेग हमेशा अणुओं के वर्ग माध्य मूल वेग से कम होता है)।
Explanation: The expressions are:
– Velocity of sound in gas: v_s = √(γRT / M).
– RMS speed of gas molecules: v_rms = √(3RT / M).
– Ratio: v_s / v_rms = √(γ / 3).
प्रश्न 23. जब एक आदर्श एकपरमाणुक गैस (γ = 5/3) को नियत दाब (constant pressure) पर गर्म किया जाता है, तो दी गई ऊष्मा ऊर्जा का कौन सा अंश (fraction) उसकी आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने में प्रयुक्त होता है?
Q23. When an ideal monatomic gas (γ = 5/3) is heated at constant pressure, the fraction of heat energy supplied which goes to increase the internal energy of the gas is:
  • A) 2/5 (या 40%) A) 2/5 (or 40%)
  • B) 3/5 (या 60%) B) 3/5 (or 60%)
  • C) 3/7 (या 43%) C) 3/7 (or 43%)
  • D) 100% D) 100%
सही उत्तर: B) 3/5 (या 60%) Correct Answer: B) 3/5 (or 60%)
स्पष्टीकरण: नियत दाब पर दी गई ऊष्मा ΔQ = n C_p ΔT होती है, और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ΔU = n C_v ΔT होता है।
– आनुपातिक अंश = ΔU / ΔQ = (n C_v ΔT) / (n C_p ΔT) = C_v / C_p = 1 / γ
– एकपरमाणुक गैस के लिए γ = 5/3 रखने पर:
– अंश = 1 / (5/3) = 3/5 = 0.6 (यानी 60%)। (शेष 40% भाग बाहरी कार्य करने में व्यय होता है)।
Explanation: At constant pressure, heat supplied is ΔQ = n C_p ΔT, and internal energy change is ΔU = n C_v ΔT.
– Required fraction: ΔU / ΔQ = C_v / C_p = 1 / γ.
– For a monatomic gas, γ = 5/3.
– Fraction = 1 / (5/3) = 3/5 = 0.60 (or 60%).
प्रश्न 24. बॉयल का नियम (Boyle’s Law, P ∝ 1/V) केवल किस परिस्थिति के अंतर्गत आदर्श गैसों के लिए पूर्णतः मान्य होता है?
Q24. Boyle’s Law (P ∝ 1/V) is valid for an ideal gas under the conditions of:
  • A) स्थिर दाब और स्थिर द्रव्यमान A) Constant pressure and constant mass
  • B) स्थिर तापमान और स्थिर द्रव्यमान (Constant temperature and mass) B) Constant temperature and constant mass
  • C) केवल स्थिर आयतन C) Constant volume only
  • D) तापमान और दाब दोनों के बदलने पर D) Varying temperature and pressure
सही उत्तर: B) स्थिर तापमान और स्थिर द्रव्यमान (Constant temperature and mass) Correct Answer: B) Constant temperature and constant mass
स्पष्टीकरण: रॉबर्ट बॉयल के नियम के अनुसार, यदि गैस के द्रव्यमान (मोलों की संख्या n) और उसके **तापमान (T)** को स्थिर रखा जाए, तो गैस का दाब उसके आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है: PV = नियतांक। यदि तापमान या गैस की मात्रा बदलती है, तो यह नियम लागू नहीं होता।
Explanation: Boyle’s law states that the pressure of a given mass of an ideal gas is inversely proportional to its volume, provided that both the **temperature (T)** and the quantity/mass of the gas are held constant: PV = constant.
प्रश्न 25. बोल्ट्ज़मान नियतांक (k_B) सार्वत्रिक गैस नियतांक (R) और आवोगाद्रो संख्या (N_A) से किस प्रकार संबंधित है?
Q25. The Boltzmann constant (k_B) is related to the universal gas constant (R) and Avogadro’s number (N_A) by the relation:
  • A) k_B = R × N_A A) k_B = R × N_A
  • B) k_B = R / N_A B) k_B = R / N_A
  • C) k_B = N_A / R C) k_B = N_A / R
  • D) k_B = 1 / (R × N_A) D) k_B = 1 / (R × N_A)
सही उत्तर: B) k_B = R / N_A Correct Answer: B) k_B = R / N_A
स्पष्टीकरण: बोल्ट्ज़मान नियतांक वास्तव में **प्रति अणु गैस नियतांक** (gas constant per molecule) है।
– इसकी गणना सार्वत्रिक गैस नियतांक (R = 8.314 J/mol·K) को आवोगाद्रो संख्या (N_A = 6.023 × 10²³ mol⁻¹) से विभाजित करके की जाती है:
– k_B = R / N_A ≈ 1.38 × 10⁻²³ J/K।
Explanation: The Boltzmann constant (k_B) is the gas constant per molecule. It is defined as the ratio of the universal gas constant (R) to Avogadro’s number (N_A):
k_B = R / N_A ≈ 1.38 × 10⁻²³ J/K.
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