प्रश्न 1. सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion) कर रहे किसी कण के तात्क्षणिक वेग (velocity) और तात्क्षणिक त्वरण (acceleration) के बीच कलांतर (Phase difference) कितना होता है?
Q1. In Simple Harmonic Motion (SHM), the phase difference between instantaneous velocity and instantaneous acceleration is:
सही उत्तर: B) π / 2 rad (या 90°)
Correct Answer: B) π / 2 rad (or 90°)
स्पष्टीकरण:
– विस्थापन समीकरण: x = A sin(ωt)
– वेग: v = dx/dt = Aω cos(ωt) = Aω sin(ωt + π/2) (विस्थापन से 90° आगे)
– त्वरण: a = dv/dt = -Aω² sin(ωt) = Aω² sin(ωt + π) (विस्थापन से 180° आगे)
– अतः, वेग और त्वरण के बीच कलांतर = π – π/2 = π/2 rad (90°) होता है।
– विस्थापन समीकरण: x = A sin(ωt)
– वेग: v = dx/dt = Aω cos(ωt) = Aω sin(ωt + π/2) (विस्थापन से 90° आगे)
– त्वरण: a = dv/dt = -Aω² sin(ωt) = Aω² sin(ωt + π) (विस्थापन से 180° आगे)
– अतः, वेग और त्वरण के बीच कलांतर = π – π/2 = π/2 rad (90°) होता है।
Explanation:
– Displacement: x = A sin(ωt).
– Velocity: v = Aω cos(ωt) = Aω sin(ωt + π/2) (leads displacement by 90°).
– Acceleration: a = -ω²x = Aω² sin(ωt + π) (leads displacement by 180°).
– Therefore, the phase difference between velocity and acceleration is: π – π/2 = π/2 rad (90°).
– Displacement: x = A sin(ωt).
– Velocity: v = Aω cos(ωt) = Aω sin(ωt + π/2) (leads displacement by 90°).
– Acceleration: a = -ω²x = Aω² sin(ωt + π) (leads displacement by 180°).
– Therefore, the phase difference between velocity and acceleration is: π – π/2 = π/2 rad (90°).
प्रश्न 2. एक कण आयाम (amplitude) A के साथ सरल आवर्त गति (SHM) कर रहा है। माध्य स्थिति (mean position) से किस विस्थापन (x) पर कण की चाल उसकी अधिकतम चाल की आधी (v_max / 2) होगी?
Q2. A particle executes Simple Harmonic Motion (SHM) with amplitude A. At what displacement (x) from the mean position is its speed half of its maximum speed?
सही उत्तर: B) x = √3 A / 2
Correct Answer: B) x = √3 A / 2
स्पष्टीकरण:
– तात्क्षणिक चाल का सूत्र: v = ω√(A² – x²)
– अधिकतम चाल: v_max = ωA
– दिया गया है: v = v_max / 2 ⇒ ω√(A² – x²) = ωA / 2
– दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: A² – x² = A² / 4 ⇒ x² = A² – A²/4 = 3A²/4 ⇒ x = √3 A / 2।
– तात्क्षणिक चाल का सूत्र: v = ω√(A² – x²)
– अधिकतम चाल: v_max = ωA
– दिया गया है: v = v_max / 2 ⇒ ω√(A² – x²) = ωA / 2
– दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: A² – x² = A² / 4 ⇒ x² = A² – A²/4 = 3A²/4 ⇒ x = √3 A / 2।
Explanation:
– Speed in SHM: v = ω√(A² – x²).
– Maximum speed: v_max = ωA.
– Given: v = v_max / 2 ⇒ ω√(A² – x²) = ωA / 2.
– Squaring both sides: A² – x² = A² / 4 ⇒ x² = 3A²/4 ⇒ x = √3 A / 2.
– Speed in SHM: v = ω√(A² – x²).
– Maximum speed: v_max = ωA.
– Given: v = v_max / 2 ⇒ ω√(A² – x²) = ωA / 2.
– Squaring both sides: A² – x² = A² / 4 ⇒ x² = 3A²/4 ⇒ x = √3 A / 2.
प्रश्न 3. सरल आवर्त गति कर रहे किसी कण का माध्य स्थिति से किस विस्थापन (x) पर उसकी गतिज ऊर्जा (K.E.) और स्थितिज ऊर्जा (P.E.) आपस में बराबर होंगी? (जहाँ A गति का आयाम है)
Q3. At what displacement (x) from the mean position is the kinetic energy (K.E.) of a particle executing SHM equal to its potential energy (P.E.)? (where A is the amplitude)
सही उत्तर: B) x = A / √2
Correct Answer: B) x = A / √2
स्पष्टीकरण:
– स्थितिज ऊर्जा: P.E. = (1/2)kx²
– गतिज ऊर्जा: K.E. = (1/2)k(A² – x²)
– दिया गया है K.E. = P.E. ⇒ (1/2)k(A² – x²) = (1/2)kx²
– A² – x² = x² ⇒ A² = 2x² ⇒ x² = A² / 2 ⇒ x = A / √2।
– स्थितिज ऊर्जा: P.E. = (1/2)kx²
– गतिज ऊर्जा: K.E. = (1/2)k(A² – x²)
– दिया गया है K.E. = P.E. ⇒ (1/2)k(A² – x²) = (1/2)kx²
– A² – x² = x² ⇒ A² = 2x² ⇒ x² = A² / 2 ⇒ x = A / √2।
Explanation:
– Potential Energy: P.E. = (1/2)kx².
– Kinetic Energy: K.E. = (1/2)k(A² – x²).
– Given K.E. = P.E. ⇒ (1/2)k(A² – x²) = (1/2)kx².
– A² – x² = x² ⇒ A² = 2x² ⇒ x = A / √2.
– Potential Energy: P.E. = (1/2)kx².
– Kinetic Energy: K.E. = (1/2)k(A² – x²).
– Given K.E. = P.E. ⇒ (1/2)k(A² – x²) = (1/2)kx².
– A² – x² = x² ⇒ A² = 2x² ⇒ x = A / √2.
प्रश्न 4. यदि एक सरल लोलक (simple pendulum) की लंबाई को 44% बढ़ा दिया जाए, तो उसके आवर्तकाल (Time period) में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
Q4. If the length of a simple pendulum is increased by 44%, then its time period increases by:
सही उत्तर: C) 20%
Correct Answer: C) 20%
स्पष्टीकरण: सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र: T = 2π√(l / g) ⇒ T ∝ √l
– माना प्रारंभिक लंबाई l₁ = l है, तो नया आवर्तकाल T₁ ∝ √l होगा।
– नई लंबाई l₂ = l + 44% of l = 1.44 l
– नया आवर्तकाल T₂ ∝ √(1.44 l) = 1.2 √l = 1.2 T₁
– प्रतिशत वृद्धि = [(T₂ – T₁) / T₁] × 100 = (1.2 – 1) × 100 = 20%।
– माना प्रारंभिक लंबाई l₁ = l है, तो नया आवर्तकाल T₁ ∝ √l होगा।
– नई लंबाई l₂ = l + 44% of l = 1.44 l
– नया आवर्तकाल T₂ ∝ √(1.44 l) = 1.2 √l = 1.2 T₁
– प्रतिशत वृद्धि = [(T₂ – T₁) / T₁] × 100 = (1.2 – 1) × 100 = 20%।
Explanation: The time period of a simple pendulum is: T = 2π√(l / g) ⇒ T ∝ √l.
– Let initial length l₁ = l ⇒ T₁ ∝ √l.
– New length l₂ = l + 0.44l = 1.44l.
– New time period T₂ ∝ √(1.44l) = 1.2 √l = 1.2 T₁.
– Percentage increase = [(T₂ – T₁) / T₁] × 100 = 0.2 × 100 = 20%.
– Let initial length l₁ = l ⇒ T₁ ∝ √l.
– New length l₂ = l + 0.44l = 1.44l.
– New time period T₂ ∝ √(1.44l) = 1.2 √l = 1.2 T₁.
– Percentage increase = [(T₂ – T₁) / T₁] × 100 = 0.2 × 100 = 20%.
प्रश्न 5. बल नियतांकों k₁ और k₂ वाली दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम (series combination) में जोड़ा गया है। इस संयोजन का प्रभावी स्प्रिंग नियतांक (equivalent spring constant) क्या होगा?
Q5. Two springs of spring constants k₁ and k₂ are connected in series. The equivalent spring constant of the combination is:
सही उत्तर: B) k₁k₂ / (k₁ + k₂)
Correct Answer: B) k₁k₂ / (k₁ + k₂)
स्पष्टीकरण: जब स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम (series) में जोड़ा जाता है, तो दोनों पर तनाव बल समान रहता है लेकिन कुल खिंचाव दोनों के खिंचाव के योग के बराबर होता है।
– 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ = (k₁ + k₂) / k₁k₂
– k_eq = k₁k₂ / (k₁ + k₂) (यह संधारित्रों के श्रेणीक्रम या प्रतिरोधकों के समांतर क्रम संयोजन के तुल्य होता है)।
– 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ = (k₁ + k₂) / k₁k₂
– k_eq = k₁k₂ / (k₁ + k₂) (यह संधारित्रों के श्रेणीक्रम या प्रतिरोधकों के समांतर क्रम संयोजन के तुल्य होता है)।
Explanation: In a series combination of springs, the stretching force is identical in both, but the total displacement is the sum of individual displacements:
– 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ = (k₁ + k₂) / k₁k₂.
– k_eq = k₁k₂ / (k₁ + k₂).
– 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂ = (k₁ + k₂) / k₁k₂.
– k_eq = k₁k₂ / (k₁ + k₂).
प्रश्न 6. एक प्रगामी तरंग (progressive wave) का समीकरण y = 0.5 sin(10π t – 2π x) है (जहाँ x, y मीटर में तथा t सेकंड में हैं)। इस तरंग का वेग (wave velocity) कितना होगा?
Q6. A progressive wave is represented by the equation y = 0.5 sin(10π t – 2π x) (where x, y are in meters and t is in seconds). The velocity of the wave is:
सही उत्तर: B) 5 m/s
Correct Answer: B) 5 m/s
स्पष्टीकरण: मानक प्रगामी तरंग समीकरण से तुलना करने पर:
y = A sin(ωt – kx)
दिए गए समीकरण से:
– कोणीय आवृत्ति ω = 10π rad/s
– संचरण नियतांक (wave number) k = 2π m⁻¹
– तरंग वेग का सूत्र: v = ω / k = 10π / 2π = 5 m/s।
y = A sin(ωt – kx)
दिए गए समीकरण से:
– कोणीय आवृत्ति ω = 10π rad/s
– संचरण नियतांक (wave number) k = 2π m⁻¹
– तरंग वेग का सूत्र: v = ω / k = 10π / 2π = 5 m/s।
Explanation: Comparing with the standard wave equation:
y = A sin(ωt – kx).
From the given equation:
– Angular frequency ω = 10π rad/s.
– Wave number k = 2π m⁻¹.
– Wave velocity: v = ω / k = 10π / 2π = 5 m/s.
y = A sin(ωt – kx).
From the given equation:
– Angular frequency ω = 10π rad/s.
– Wave number k = 2π m⁻¹.
– Wave velocity: v = ω / k = 10π / 2π = 5 m/s.
प्रश्न 7. गैसों में ध्वनि के वेग के सूत्र में लाप्लास संशोधन (Laplace’s correction) की आवश्यकता इसलिए पड़ी क्योंकि तरंग संचरण के दौरान गैसों का संपीडन और विरलन (compressions and rarefactions) किस प्रक्रम के तहत होता है?
Q7. Laplace’s correction in the formula for the speed of sound in a gas is based on the assumption that compressions and rarefactions occur through:
सही उत्तर: B) रुद्धोष्म प्रक्रम (Adiabatic process)
Correct Answer: B) Adiabatic process
स्पष्टीकरण: न्यूटन ने पहले माना था कि ध्वनि तरंगों का संचरण बहुत धीमे समतापीय प्रक्रम में होता है। लेकिन लाप्लास ने सुधारा कि वायु में संपीडन और विरलन इतनी तीव्रता से होते हैं कि माध्यम को परिवेश के साथ ऊष्मा बदलने का समय नहीं मिलता। अतः यह प्रक्रम **रुद्धोष्म (adiabatic)** होता है, जिससे ध्वनि का सही वेग v = √(γP/ρ) प्राप्त होता है।
Explanation: Newton assumed that the temperature of the medium remains constant (isothermal). Laplace corrected this by pointing out that sound compressions and rarefactions take place so rapidly that heat does not have time to flow. Thus, the process is **adiabatic**, giving the correct formula v = √(γP/ρ).
प्रश्न 8. एक **बंद आर्गन पाइप (closed organ pipe)** में उत्पन्न होने वाले ओवरटोन/हारमोनिक्स (harmonics) किस प्रकार के होते हैं?
Q8. In a closed organ pipe (closed at one end), the harmonics present are:
सही उत्तर: B) केवल विषम हारमोनिक्स (Only odd harmonics)
Correct Answer: B) Only odd harmonics
स्पष्टीकरण: एक तरफ से बंद पाइप में परावर्तन के कारण बंद सिरे पर हमेशा निस्पंद (node) और खुले सिरे पर प्रस्पंद (antinode) बनता है।
– इसके कंपन के कारण उत्पन्न आवृत्तियों का अनुपात f₁ : f₂ : f₃ = 1 : 3 : 5 : 7 … होता है।
– अतः बंद पाइप में **केवल विषम हारमोनिक्स (odd harmonics)** ही उत्पन्न होते हैं। (खुले आर्गन पाइप में सम और विषम दोनों प्रकार के हारमोनिक्स 1:2:3:4… उपस्थित होते हैं)।
– इसके कंपन के कारण उत्पन्न आवृत्तियों का अनुपात f₁ : f₂ : f₃ = 1 : 3 : 5 : 7 … होता है।
– अतः बंद पाइप में **केवल विषम हारमोनिक्स (odd harmonics)** ही उत्पन्न होते हैं। (खुले आर्गन पाइप में सम और विषम दोनों प्रकार के हारमोनिक्स 1:2:3:4… उपस्थित होते हैं)।
Explanation: In an organ pipe closed at one end, the boundary conditions require a node at the closed end and an antinode at the open end.
– The resulting frequencies of the standing wave modes are in the ratio f₁ : f₃ : f₅ = 1 : 3 : 5 ….
– Therefore, **only odd harmonics** are generated.
– The resulting frequencies of the standing wave modes are in the ratio f₁ : f₃ : f₅ = 1 : 3 : 5 ….
– Therefore, **only odd harmonics** are generated.
प्रश्न 9. एक **खुले आर्गन पाइप (open organ pipe)** की मूल आवृत्ति (fundamental frequency) f₀ है। यदि इस पाइप के एक सिरे को बंद कर दिया जाए, तो नई मूल आवृत्ति क्या हो जाएगी?
Q9. An open organ pipe has a fundamental frequency f₀. If one end of this pipe is closed, its new fundamental frequency will be:
सही उत्तर: B) f₀ / 2
Correct Answer: B) f₀ / 2
स्पष्टीकरण:
– खुले आर्गन पाइप की मूल आवृत्ति का सूत्र: f_open = v / 2L = f₀
– जब एक सिरा बंद कर दिया जाता है, तो बंद पाइप की मूल आवृत्ति: f_closed = v / 4L
– दोनों की तुलना करने पर: f_closed = (1/2) × (v / 2L) = f₀ / 2 (यानी मूल आवृत्ति आधी हो जाती है तथा ध्वनि अधिक भारी सुनाई देती है)।
– खुले आर्गन पाइप की मूल आवृत्ति का सूत्र: f_open = v / 2L = f₀
– जब एक सिरा बंद कर दिया जाता है, तो बंद पाइप की मूल आवृत्ति: f_closed = v / 4L
– दोनों की तुलना करने पर: f_closed = (1/2) × (v / 2L) = f₀ / 2 (यानी मूल आवृत्ति आधी हो जाती है तथा ध्वनि अधिक भारी सुनाई देती है)।
Explanation:
– Fundamental frequency of an open pipe: f_open = v / 2L = f₀.
– Fundamental frequency of a closed pipe of same length: f_closed = v / 4L.
– Comparing the two: f_closed = (1/2) × (v / 2L) = f₀ / 2.
– Fundamental frequency of an open pipe: f_open = v / 2L = f₀.
– Fundamental frequency of a closed pipe of same length: f_closed = v / 4L.
– Comparing the two: f_closed = (1/2) × (v / 2L) = f₀ / 2.
प्रश्न 10. दो स्वरित्र द्विभुज (tuning forks) जिनकी आवृत्तियाँ क्रमशः 250 Hz और 256 Hz हैं, एक साथ बजाए जाते हैं। प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों (beats) की संख्या कितनी होगी?
Q10. Two tuning forks of frequencies 250 Hz and 256 Hz are sounded together. The number of beats heard per second is:
सही उत्तर: C) 6
Correct Answer: C) 6
स्पष्टीकरण: विस्पंद आवृत्ति (Beat frequency) दो तरंगों की आवृत्तियों के संख्यात्मक अंतर के बराबर होती है:
f_beat = |f₁ – f₂|
f_beat = |256 Hz – 250 Hz| = 6 विस्पंद प्रति सेकंड।
f_beat = |f₁ – f₂|
f_beat = |256 Hz – 250 Hz| = 6 विस्पंद प्रति सेकंड।
Explanation: The beat frequency is equal to the absolute difference between the frequencies of the two interfering waves:
f_beat = |f₁ – f₂| = |256 – 250| = 6 beats per second.
f_beat = |f₁ – f₂| = |256 – 250| = 6 beats per second.
प्रश्न 11. आवृत्ति f का एक ध्वनि स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक (stationary observer) की ओर ध्वनि के वेग के 1 / 10 वें वेग (v_s = v / 10) से आ रहा है। प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति (apparent frequency, f’) क्या होगी?
Q11. A source of sound of frequency f is approaching a stationary observer with a speed equal to 1 / 10 of the speed of sound (v_s = v / 10). The apparent frequency (f’) heard by the observer is:
सही उत्तर: A) 1.11 f (या 10/9 f)
Correct Answer: A) 1.11 f (or 10/9 f)
स्पष्टीकरण: डॉप्लर प्रभाव (Doppler Effect) के अनुसार, जब स्रोत प्रेक्षक की ओर गति करता है:
f’ = f × [v / (v – v_s)]
– दिया गया है: v_s = v / 10
– f’ = f × [v / (v – v/10)] = f × [v / (9v/10)] = (10/9) × f ≈ 1.11 f।
चूंकि स्रोत पास आ रहा है, आभासी आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति से अधिक सुनाई देगी।
f’ = f × [v / (v – v_s)]
– दिया गया है: v_s = v / 10
– f’ = f × [v / (v – v/10)] = f × [v / (9v/10)] = (10/9) × f ≈ 1.11 f।
चूंकि स्रोत पास आ रहा है, आभासी आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति से अधिक सुनाई देगी।
Explanation: According to the Doppler Effect for sound, when the source is moving towards a stationary observer:
f’ = f × [v / (v – v_s)].
– Substituting v_s = v / 10:
– f’ = f × [v / (v – v/10)] = f × [v / (9v/10)] = (10/9)f ≈ 1.11 f.
f’ = f × [v / (v – v_s)].
– Substituting v_s = v / 10:
– f’ = f × [v / (v – v/10)] = f × [v / (9v/10)] = (10/9)f ≈ 1.11 f.
प्रश्न 12. एक ज्यावक्रीय तरंग (harmonic wave) में माध्यम के कण का अधिकतम वेग, तरंग के वेग का π गुना है। यदि तरंग का आयाम A हो, तो उसकी तरंगदैर्घ्य (wavelength, λ) क्या होगी?
Q12. The maximum particle velocity in a harmonic wave is π times the wave velocity. If the amplitude of the wave is A, the wavelength (λ) is:
सही उत्तर: B) λ = 2 A
Correct Answer: B) λ = 2 A
स्पष्टीकरण:
– कण का अधिकतम वेग: v_p(max) = Aω
– तरंग का वेग: v_w = ω / k = ω / (2π/λ) = ωλ / 2π
– दिया गया है: v_p(max) = π v_w ⇒ Aω = π × (ωλ / 2π)
– A = λ / 2 ⇒ λ = 2A।
– कण का अधिकतम वेग: v_p(max) = Aω
– तरंग का वेग: v_w = ω / k = ω / (2π/λ) = ωλ / 2π
– दिया गया है: v_p(max) = π v_w ⇒ Aω = π × (ωλ / 2π)
– A = λ / 2 ⇒ λ = 2A।
Explanation:
– Maximum particle velocity: v_p(max) = Aω.
– Wave velocity: v_w = ω / k = ωλ / 2π.
– Given: v_p(max) = π v_w ⇒ Aω = π × (ωλ / 2π).
– A = λ / 2 ⇒ λ = 2A.
– Maximum particle velocity: v_p(max) = Aω.
– Wave velocity: v_w = ω / k = ωλ / 2π.
– Given: v_p(max) = π v_w ⇒ Aω = π × (ωλ / 2π).
– A = λ / 2 ⇒ λ = 2A.
प्रश्न 13. पृथ्वी सतह पर एक सरल लोलक का आवर्तकाल T है। यदि इस लोलक को एक ऐसी लिफ्ट में रख दिया जाए जो ऊपर की ओर त्वरण a = g से त्वरित हो रही है, तो नया आवर्तकाल कितना होगा?
Q13. A simple pendulum has a time period T on the Earth’s surface. If this pendulum is placed in an elevator accelerating upwards with an acceleration a = g, the new time period is:
सही उत्तर: A) T / √2
Correct Answer: A) T / √2
स्पष्टीकरण: ऊपर की ओर त्वरित लिफ्ट में लोलक पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण (effective gravity) बढ़ जाता है:
– g_eff = g + a = g + g = 2g
– आवर्तकाल: T’ = 2π√(l / g_eff) = 2π√(l / 2g)
– T’ = [2π√(l / g)] / √2 = T / √2 (अर्थात् आवर्तकाल घट जाएगा और लोलक तेजी से दोलन करेगा)।
– g_eff = g + a = g + g = 2g
– आवर्तकाल: T’ = 2π√(l / g_eff) = 2π√(l / 2g)
– T’ = [2π√(l / g)] / √2 = T / √2 (अर्थात् आवर्तकाल घट जाएगा और लोलक तेजी से दोलन करेगा)।
Explanation: In an upward accelerating lift, the effective acceleration due to gravity increases:
– g_eff = g + a = g + g = 2g.
– Time period: T’ = 2π√(l / g_eff) = 2π√(l / 2g) = T / √2.
– g_eff = g + a = g + g = 2g.
– Time period: T’ = 2π√(l / g_eff) = 2π√(l / 2g) = T / √2.
प्रश्न 14. “अनुनाद” (Resonance) की स्थिति तब उत्पन्न होती है जब बाह्य आवर्ती बल (driving force) की आवृत्ति, निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति (natural frequency) के:
Q14. Resonance occurs when the frequency of the external periodic driving force is:
सही उत्तर: C) ठीक बराबर होती है (Equal to)
Correct Answer: C) Exactly equal to the natural frequency of the system
स्पष्टीकरण: प्रणोदित दोलनों (forced oscillations) में जब बाह्य प्रेरक बल की आवृत्ति निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति के ठीक बराबर हो जाती है, तो ऊर्जा स्थानांतरण अधिकतम होता है। इस स्थिति में कंपन का आयाम (amplitude of vibration) बहुत अधिक बढ़ जाता है, जिसे **अनुनाद (Resonance)** कहते हैं।
Explanation: Resonance is a special case of forced oscillations. It occurs when the frequency of the external periodic force matches the natural frequency of the oscillating system, resulting in a maximum transfer of energy and a large increase in the amplitude of oscillation.
प्रश्न 15. तनाव T और रैखिक द्रव्यमान घनत्व (linear mass density) μ वाले एक खींचे हुए तार पर अनुप्रस्थ तरंग (transverse wave) का वेग क्या होगा?
Q15. The speed of a transverse wave on a stretched string having tension T and mass per unit length (linear mass density) μ is:
सही उत्तर: B) v = √(T / μ)
Correct Answer: B) v = √(T / μ)
स्पष्टीकरण: खींची हुई डोरी या तार पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल डोरी के तनाव बल (T) के वर्गमूल के अनुक्रमानुपाती तथा एकांक लंबाई के द्रव्यमान (μ = m / L) के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
v = √(T / μ)।
v = √(T / μ)।
Explanation: The velocity of a transverse wave traveling on a stretched string depends on the tension T in the string and its linear mass density μ (mass per unit length):
v = √(T / μ).
v = √(T / μ).
प्रश्न 16. एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) में किसी **निस्पंद (node)** और उसके ठीक पास वाले **प्रस्पंद (antinode)** के बीच की न्यूनतम दूरी कितनी होती है? (जहाँ λ तरंगदैर्घ्य है)
Q16. In a stationary wave, the distance between any node and its adjacent antinode is:
सही उत्तर: C) λ / 4
Correct Answer: C) λ / 4
स्पष्टीकरण: अप्रगामी तरंगों में:
– दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी λ / 2 होती है।
– एक निस्पंद (जहाँ विस्थापन शून्य हो) और उसके तुरंत बाद वाले प्रस्पंद (जहाँ विस्थापन अधिकतम हो) के बीच की दूरी आधी अर्थात **λ / 4** होती है।
– दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी λ / 2 होती है।
– एक निस्पंद (जहाँ विस्थापन शून्य हो) और उसके तुरंत बाद वाले प्रस्पंद (जहाँ विस्थापन अधिकतम हो) के बीच की दूरी आधी अर्थात **λ / 4** होती है।
Explanation: In a standing (stationary) wave:
– The distance between two consecutive nodes or two consecutive antinodes is λ / 2.
– The distance between a node (point of zero amplitude) and its nearest antinode (point of maximum amplitude) is: λ / 4.
– The distance between two consecutive nodes or two consecutive antinodes is λ / 2.
– The distance between a node (point of zero amplitude) and its nearest antinode (point of maximum amplitude) is: λ / 4.
प्रश्न 17. किसी तरंग के दो बिंदुओं के बीच पथांतर (Path difference) Δx है। उनके बीच कलांतर (Phase difference, Δφ) का सही सूत्र क्या होगा?
Q17. The phase difference (Δφ) corresponding to a path difference of Δx is given by the relation:
सही उत्तर: B) Δφ = (2π / λ) Δx
Correct Answer: B) Δφ = (2π / λ) Δx
स्पष्टीकरण: ज्यावक्रीय तरंगों (harmonic waves) के लिए, एक पूर्ण तरंगदैर्घ्य λ (एक पूरे चक्र) के पथांतर के संगत कलांतर कोण 2π rad (360°) होता है।
अतः एकांक पथांतर के लिए कलांतर 2π / λ होगा, जिससे संबंध प्राप्त होता है: Δφ = (2π / λ) × Δx।
अतः एकांक पथांतर के लिए कलांतर 2π / λ होगा, जिससे संबंध प्राप्त होता है: Δφ = (2π / λ) × Δx।
Explanation: A complete spatial wavelength of λ corresponds to a full angular cycle of 2π radians (360°).
Thus, the relation between phase difference and path difference is: Δφ = (2π / λ) × Δx.
Thus, the relation between phase difference and path difference is: Δφ = (2π / λ) × Δx.
प्रश्न 18. यदि किसी ध्वनि तरंग का आयाम (amplitude) दोगुना कर दिया जाए, तो उसकी तीव्रता (intensity) में कितने गुना परिवर्तन होगा?
Q18. If the amplitude of a sound wave is doubled, the intensity of the wave increases by a factor of:
सही उत्तर: B) 4 गुना
Correct Answer: B) 4 times
स्पष्टीकरण: तरंग की तीव्रता (I) उसके कंपन के आयाम (A) के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है:
I ∝ A²
– यदि आयाम A’ = 2A कर दिया जाए, तो नई तीव्रता: I’ ∝ (2A)² = 4A² ⇒ I’ = 4I (यानी 4 गुना हो जाएगी)।
I ∝ A²
– यदि आयाम A’ = 2A कर दिया जाए, तो नई तीव्रता: I’ ∝ (2A)² = 4A² ⇒ I’ = 4I (यानी 4 गुना हो जाएगी)।
Explanation: The intensity of a wave (I) is directly proportional to the square of its amplitude (A):
I ∝ A².
– If amplitude is doubled (A’ = 2A), the new intensity is: I’ ∝ (2A)² = 4A² ⇒ I’ = 4I (increases by 4 times).
I ∝ A².
– If amplitude is doubled (A’ = 2A), the new intensity is: I’ ∝ (2A)² = 4A² ⇒ I’ = 4I (increases by 4 times).
प्रश्न 19. अनुप्रस्थ तरंगें (transverse waves) निम्नलिखित में से किस माध्यम के भीतर संचरित **नहीं** हो सकती हैं?
Q19. Transverse mechanical waves cannot propagate through:
सही उत्तर: B) गैसों के भीतर (Inside gases)
Correct Answer: B) Inside gases
स्पष्टीकरण: यांत्रिक अनुप्रस्थ तरंगों (transverse mechanical waves) के संचरण के लिए माध्यम में **अपरूपण प्रत्यास्थता (shear modulus/rigidity)** का होना आवश्यक है।
– गैसों और द्रवों (तरलों) के भीतर अपरूपण बल का विरोध करने की क्षमता नहीं होती, इसलिए तरलों के भीतर अनुप्रस्थ तरंगें संचरित नहीं हो सकतीं।
– गैसों में केवल **अनुदैर्घ्य तरंगें (longitudinal waves)** ही संचरित हो सकती हैं। (द्रव की सतह पर पृष्ठ तनाव के कारण सतही अनुप्रस्थ तरंगें बन सकती हैं, लेकिन द्रव के भीतर नहीं)।
– गैसों और द्रवों (तरलों) के भीतर अपरूपण बल का विरोध करने की क्षमता नहीं होती, इसलिए तरलों के भीतर अनुप्रस्थ तरंगें संचरित नहीं हो सकतीं।
– गैसों में केवल **अनुदैर्घ्य तरंगें (longitudinal waves)** ही संचरित हो सकती हैं। (द्रव की सतह पर पृष्ठ तनाव के कारण सतही अनुप्रस्थ तरंगें बन सकती हैं, लेकिन द्रव के भीतर नहीं)।
Explanation: Mechanical transverse waves require shear elasticity (rigidity) to propagate.
– Gases and fluids have no shear modulus and cannot oppose shearing forces. Therefore, transverse mechanical waves cannot travel **inside gases or liquids**; only longitudinal waves can propagate through them.
– Gases and fluids have no shear modulus and cannot oppose shearing forces. Therefore, transverse mechanical waves cannot travel **inside gases or liquids**; only longitudinal waves can propagate through them.
प्रश्न 20. एक स्वरित्र A की आवृत्ति 512 Hz है। यह दूसरे स्वरित्र B के साथ बजाने पर 5 विस्पंद प्रति सेकंड उत्पन्न करता है। जब B पर मोम लगा दिया जाता है, तो विस्पंद आवृत्ति घटकर 2 विस्पंद प्रति सेकंड रह जाती है। स्वरित्र B की वास्तविक मूल आवृत्ति क्या थी?
Q20. A tuning fork A of frequency 512 Hz produces 5 beats/s with another tuning fork B. When B is loaded with wax, the beat frequency decreases to 2 beats/s. The original frequency of B was:
सही उत्तर: B) 517 Hz
Correct Answer: B) 517 Hz
स्पष्टीकरण:
– दिया गया है: f_A = 512 Hz, विस्पंद = 5
– अतः B की संभावित आवृत्ति: f_B = 512 + 5 = 517 Hz या 512 – 5 = 507 Hz।
– मोम लगाने (loading with wax) से स्वरित्र का द्रव्यमान बढ़ता है, जिससे उसकी आवृत्ति **कम** हो जाती है।
– यदि f_B = 517 Hz थी, तो मोम लगाने पर इसकी आवृत्ति घटकर मान लें 514 Hz हो जाती है। अब A (512 Hz) के साथ इसका अंतर 514 – 512 = 2 (विस्पंद आवृत्ति घटकर 2 हो गई)। यह परिस्थिति प्रश्न के अनुकूल है।
– (यदि f_B = 507 Hz होती, तो मोम लगाने पर यह और घटकर मान लें 504 Hz होती, जिससे अंतर 512 – 504 = 8 यानी विस्पंद बढ़कर 8 हो जाता, जो कि गलत है)।
अतः वास्तविक आवृत्ति **517 Hz** थी।
– दिया गया है: f_A = 512 Hz, विस्पंद = 5
– अतः B की संभावित आवृत्ति: f_B = 512 + 5 = 517 Hz या 512 – 5 = 507 Hz।
– मोम लगाने (loading with wax) से स्वरित्र का द्रव्यमान बढ़ता है, जिससे उसकी आवृत्ति **कम** हो जाती है।
– यदि f_B = 517 Hz थी, तो मोम लगाने पर इसकी आवृत्ति घटकर मान लें 514 Hz हो जाती है। अब A (512 Hz) के साथ इसका अंतर 514 – 512 = 2 (विस्पंद आवृत्ति घटकर 2 हो गई)। यह परिस्थिति प्रश्न के अनुकूल है।
– (यदि f_B = 507 Hz होती, तो मोम लगाने पर यह और घटकर मान लें 504 Hz होती, जिससे अंतर 512 – 504 = 8 यानी विस्पंद बढ़कर 8 हो जाता, जो कि गलत है)।
अतः वास्तविक आवृत्ति **517 Hz** थी।
Explanation:
– Given f_A = 512 Hz and beat frequency is 5.
– Possible frequencies for B: f_B = 512 + 5 = 517 Hz or 512 – 5 = 507 Hz.
– Loading a tuning fork with wax increases its mass and therefore **decreases its frequency**.
– If f_B was 517 Hz, loading it decreases its frequency (say, to 514 Hz). The new beat frequency with A (512 Hz) becomes |514 – 512| = 2 beats/s. This matches the problem statement.
– (If f_B was 507 Hz, loading it would decrease its frequency further, making the beat frequency larger than 5, which is incorrect).
– Thus, the original frequency of B was **517 Hz**.
– Given f_A = 512 Hz and beat frequency is 5.
– Possible frequencies for B: f_B = 512 + 5 = 517 Hz or 512 – 5 = 507 Hz.
– Loading a tuning fork with wax increases its mass and therefore **decreases its frequency**.
– If f_B was 517 Hz, loading it decreases its frequency (say, to 514 Hz). The new beat frequency with A (512 Hz) becomes |514 – 512| = 2 beats/s. This matches the problem statement.
– (If f_B was 507 Hz, loading it would decrease its frequency further, making the beat frequency larger than 5, which is incorrect).
– Thus, the original frequency of B was **517 Hz**.
प्रश्न 21. एक स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय (spring-mass system) का पृथ्वी सतह पर आवर्तकाल T है। यदि इस निकाय को चंद्रमा पर ले जाया जाए (जहाँ गुरुत्वीय त्वरण g / 6 है), तो वहाँ इसका आवर्तकाल कितना होगा?
Q21. A spring-mass system has a time period T on the Earth’s surface. If this system is taken to the Moon (where gravity is g / 6), its time period will be:
सही उत्तर: A) T
Correct Answer: A) T
स्पष्टीकरण: यह लोलक और स्प्रिंग के बीच का एक महत्वपूर्ण वैचारिक अंतर है।
– सरल लोलक का आवर्तकाल गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है: T = 2π√(l / g)।
– लेकिन स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल केवल द्रव्यमान और बल नियतांक पर निर्भर करता है: T = 2π√(m / k)।
चूंकि इसमें गुरुत्वीय त्वरण (g) का कोई पद नहीं होता, इसलिए चंद्रमा पर जाने पर भी इसका आवर्तकाल अपरिवर्तित अर्थात **T** ही रहेगा।
– सरल लोलक का आवर्तकाल गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है: T = 2π√(l / g)।
– लेकिन स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल केवल द्रव्यमान और बल नियतांक पर निर्भर करता है: T = 2π√(m / k)।
चूंकि इसमें गुरुत्वीय त्वरण (g) का कोई पद नहीं होता, इसलिए चंद्रमा पर जाने पर भी इसका आवर्तकाल अपरिवर्तित अर्थात **T** ही रहेगा।
Explanation: Unlike a simple pendulum, the time period of a spring-mass system is given by: T = 2π√(m / k).
Since this expression is independent of the acceleration due to gravity (g), the time period remains **T** even on the Moon.
Since this expression is independent of the acceleration due to gravity (g), the time period remains **T** even on the Moon.
प्रश्न 22. एक बंद आर्गन पाइप (closed organ pipe) के खुले सिरे पर होने वाला अंत्य संशोधन (end correction, e) पाइप की त्रिज्या r के साथ किस प्रकार संबंधित होता है?
Q22. The end correction (e) at the open end of a closed organ pipe of radius r is approximately:
सही उत्तर: B) e ≈ 0.6 r
Correct Answer: B) e ≈ 0.6 r
स्पष्टीकरण: जब तरंग खुले सिरे से परावर्तित होती है, तो हवा के अणुओं की गतिशीलता के कारण प्रस्पंद (antinode) ठीक खुले सिरे पर न बनकर उससे थोड़ा बाहर हवा में बनता है। इस अतिरिक्त दूरी को **अंत्य संशोधन (end correction)** कहते हैं।
– एक खुले सिरे के लिए इसका मान लगभग **0.6 r** (या विशुद्ध रूप से 0.58 r) होता है।
– बंद पाइप में केवल एक खुला सिरा होता है, अतः प्रभावी लंबाई L_eff = L + 0.6r होती है।
– खुले पाइप में दोनों सिरे खुले होते हैं, अतः वहां कुल संशोधन 2e ≈ 1.2 r होता है।
– एक खुले सिरे के लिए इसका मान लगभग **0.6 r** (या विशुद्ध रूप से 0.58 r) होता है।
– बंद पाइप में केवल एक खुला सिरा होता है, अतः प्रभावी लंबाई L_eff = L + 0.6r होती है।
– खुले पाइप में दोनों सिरे खुले होते हैं, अतः वहां कुल संशोधन 2e ≈ 1.2 r होता है।
Explanation: The sound wave reflecting at the open end of a pipe actually extends slightly beyond the physical boundary before reflection occurs. This boundary offset is called the end correction (e):
– For a single open end (as in a closed organ pipe): e ≈ 0.6 r.
– For an open organ pipe (two open ends): 2e ≈ 1.2 r.
– For a single open end (as in a closed organ pipe): e ≈ 0.6 r.
– For an open organ pipe (two open ends): 2e ≈ 1.2 r.
प्रश्न 23. समान आवृत्ति और समान आयाम A की दो सरल आवर्त गतियां क्रमशः x₁ = A sin(ωt) और x₂ = A cos(ωt) द्वारा निरूपित की जाती हैं। इनके अध्यारोपण (superposition) से बनने वाली परिणामी गति का आयाम क्या होगा?
Q23. Two simple harmonic motions are represented by x₁ = A sin(ωt) and x₂ = A cos(ωt). The amplitude of the resultant motion obtained by their superposition is:
सही उत्तर: C) √2 A
Correct Answer: C) √2 A
स्पष्टीकरण:
– हम जानते हैं कि cos(ωt) = sin(ωt + π/2) होता है।
– अतः दोनों गतियों के बीच कलांतर (phase difference) θ = π/2 rad (90°) है।
– परिणामी आयाम का सूत्र: A_res = √[A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(θ)]
– A_res = √[A² + A² + 2A²cos(90°)] = √[2A² + 0] = √2 A।
– हम जानते हैं कि cos(ωt) = sin(ωt + π/2) होता है।
– अतः दोनों गतियों के बीच कलांतर (phase difference) θ = π/2 rad (90°) है।
– परिणामी आयाम का सूत्र: A_res = √[A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(θ)]
– A_res = √[A² + A² + 2A²cos(90°)] = √[2A² + 0] = √2 A।
Explanation:
– We can rewrite x₂ = A cos(ωt) as x₂ = A sin(ωt + π/2).
– The phase difference between the two waves is θ = π/2 (90°).
– Resultant amplitude: A_res = √[A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(θ)] = √[A² + A² + 2A²cos(90°)] = √2 A.
– We can rewrite x₂ = A cos(ωt) as x₂ = A sin(ωt + π/2).
– The phase difference between the two waves is θ = π/2 (90°).
– Resultant amplitude: A_res = √[A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(θ)] = √[A² + A² + 2A²cos(90°)] = √2 A.
प्रश्न 24. एक सेकंड लोलक (Seconds pendulum) का आवर्तकाल (Time period) कितना होता है?
Q24. The time period of a seconds pendulum is exactly:
सही उत्तर: B) 2 सेकंड
Correct Answer: B) 2 seconds
स्पष्टीकरण: **सेकंड लोलक (Seconds pendulum)** वह लोलक है जिसका आवर्तकाल ठीक **2 सेकंड** होता है। इसका अर्थ यह है कि लोलक को एक सिरे से दूसरे सिरे (एक दिशा के दोलन) तक जाने में ठीक 1 सेकंड का समय लगता है, और वापस मूल स्थिति में लौटने में पुनः 1 सेकंड लगता है। पृथ्वी पर इसकी लंबाई लगभग 99.4 cm (या लगभग 1 m) होती है।
Explanation: A **seconds pendulum** is defined as a pendulum whose time period of oscillation is exactly **2 seconds**. This means it takes exactly 1 second to swing from one extreme position to the other (half a period). Its length on Earth is approximately 1 meter.
प्रश्न 25. एक खींचे हुए तार के तनाव (tension) में 69% की वृद्धि की जाती है। इसकी मूल आवृत्ति (fundamental frequency) में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
Q25. The tension in a stretched string is increased by 69%. The percentage increase in its fundamental frequency of vibration is:
सही उत्तर: C) 30%
Correct Answer: C) 30%
स्पष्टीकरण: तनी हुई डोरी की आवृत्ति का सूत्र: f = (1 / 2L) × √(T / μ) ⇒ f ∝ √T
– माना प्रारंभिक तनाव T₁ = T है, तो मूल आवृत्ति f₁ ∝ √T होगी।
– नया तनाव T₂ = T + 69% of T = 1.69 T
– नई आवृत्ति f₂ ∝ √(1.69 T) = 1.3 √T = 1.3 f₁
– प्रतिशत वृद्धि = [(f₂ – f₁) / f₁] × 100 = (1.3 – 1) × 100 = 30%।
– माना प्रारंभिक तनाव T₁ = T है, तो मूल आवृत्ति f₁ ∝ √T होगी।
– नया तनाव T₂ = T + 69% of T = 1.69 T
– नई आवृत्ति f₂ ∝ √(1.69 T) = 1.3 √T = 1.3 f₁
– प्रतिशत वृद्धि = [(f₂ – f₁) / f₁] × 100 = (1.3 – 1) × 100 = 30%।
Explanation: The fundamental frequency of a stretched string is given by: f = (1 / 2L) × √(T / μ) ⇒ f ∝ √T.
– Let initial tension T₁ = T ⇒ f₁ ∝ √T.
– New tension T₂ = T + 0.69T = 1.69T.
– New frequency f₂ ∝ √(1.69T) = 1.3 √T = 1.3 f₁.
– Percentage increase = [(f₂ – f₁) / f₁] × 100 = 0.3 × 100 = 30%.
– Let initial tension T₁ = T ⇒ f₁ ∝ √T.
– New tension T₂ = T + 0.69T = 1.69T.
– New frequency f₂ ∝ √(1.69T) = 1.3 √T = 1.3 f₁.
– Percentage increase = [(f₂ – f₁) / f₁] × 100 = 0.3 × 100 = 30%.