प्रश्न 1. एक कण पर कार्य करने वाला परिवर्ती बल (variable force) F = 3x² + 2x + 5 है। कण को x = 0 से x = 2 m तक विस्थापित करने में बल द्वारा किया गया कार्य (work done) कितना होगा?
Q1. A variable force acting on a particle is given by F = 3x² + 2x + 5. The work done by this force in displacing the particle from x = 0 to x = 2 m is:
सही उत्तर: C) 22 J
Correct Answer: C) 22 J
स्पष्टीकरण:
परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन (integration) द्वारा निकाला जाता है:
W = ∫ F dx = ∫₀² (3x² + 2x + 5) dx
W = [ x³ + x² + 5x ]₀²
सीमाएँ (limits) रखने पर:
W = (2³ + 2² + 5 × 2) – 0 = (8 + 4 + 10) = 22 J।
परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य समाकलन (integration) द्वारा निकाला जाता है:
W = ∫ F dx = ∫₀² (3x² + 2x + 5) dx
W = [ x³ + x² + 5x ]₀²
सीमाएँ (limits) रखने पर:
W = (2³ + 2² + 5 × 2) – 0 = (8 + 4 + 10) = 22 J।
Explanation:
The work done by a variable force is calculated using integration:
W = ∫ F dx = ∫₀² (3x² + 2x + 5) dx.
On integrating:
W = [ x³ + x² + 5x ]₀².
Substituting the limits:
W = (2³ + 2² + 5 × 2) – 0 = 8 + 4 + 10 = 22 J.
The work done by a variable force is calculated using integration:
W = ∫ F dx = ∫₀² (3x² + 2x + 5) dx.
On integrating:
W = [ x³ + x² + 5x ]₀².
Substituting the limits:
W = (2³ + 2² + 5 × 2) – 0 = 8 + 4 + 10 = 22 J.
प्रश्न 2. एक लकड़ी के गुटके में घुसने पर एक गोली d दूरी तय करने के बाद अपना आधा वेग (half of its velocity) खो देती है। रुकने से पहले गोली गुटके के भीतर कितनी अतिरिक्त दूरी तय करेगी? (मंदन बल को नियत मानें)
Q2. A bullet fired into a wooden block loses half of its velocity after penetrating a distance d. How much further will it penetrate before coming to rest? (Assume constant retarding force)
सही उत्तर: B) d / 3
Correct Answer: B) d / 3
स्पष्टीकरण:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem) से: W = ΔK
– पहले चरण में: -F × d = 1/2 m (v/2)² – 1/2 m v² = -3/8 m v² ⇒ F × d = 3/8 m v²
– मान लें अतिरिक्त दूरी x है। पूर्णतः रुकने पर कुल विस्थापन d + x होगा:
– F × (d + x) = 1/2 m v²
– दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: (d + x) / d = (1/2 m v²) / (3/8 m v²) = 4/3
– 1 + x/d = 4/3 ⇒ x/d = 1/3 ⇒ x = d / 3।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem) से: W = ΔK
– पहले चरण में: -F × d = 1/2 m (v/2)² – 1/2 m v² = -3/8 m v² ⇒ F × d = 3/8 m v²
– मान लें अतिरिक्त दूरी x है। पूर्णतः रुकने पर कुल विस्थापन d + x होगा:
– F × (d + x) = 1/2 m v²
– दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: (d + x) / d = (1/2 m v²) / (3/8 m v²) = 4/3
– 1 + x/d = 4/3 ⇒ x/d = 1/3 ⇒ x = d / 3।
Explanation:
By Work-Energy Theorem: Work Done = Change in Kinetic Energy.
– In the first phase: -F × d = 1/2 m (v/2)² – 1/2 m v² = -3/8 m v² ⇒ F × d = 3/8 m v².
– Let x be the further penetration distance. For total stopping, total distance is d + x:
– F × (d + x) = 1/2 m v².
– Dividing the two equations: (d + x) / d = (1/2) / (3/8) = 4/3.
– 1 + x/d = 4/3 ⇒ x/d = 1/3 ⇒ x = d/3.
By Work-Energy Theorem: Work Done = Change in Kinetic Energy.
– In the first phase: -F × d = 1/2 m (v/2)² – 1/2 m v² = -3/8 m v² ⇒ F × d = 3/8 m v².
– Let x be the further penetration distance. For total stopping, total distance is d + x:
– F × (d + x) = 1/2 m v².
– Dividing the two equations: (d + x) / d = (1/2) / (3/8) = 4/3.
– 1 + x/d = 4/3 ⇒ x/d = 1/3 ⇒ x = d/3.
प्रश्न 3. एक द्विकण निकाय (two-particle system) की स्थितिज ऊर्जा (potential energy) संबंध U(x) = a / x² – b / x द्वारा दी जाती है, जहाँ a और b धनात्मक नियतांक हैं। साम्यावस्था (equilibrium) की स्थिति में दोनों कणों के बीच की दूरी क्या होगी?
Q3. The potential energy U of a two-particle system is given by U(x) = a / x² – b / x, where a and b are positive constants. The equilibrium separation distance between the particles is:
सही उत्तर: B) 2a / b
Correct Answer: B) 2a / b
स्पष्टीकरण:
बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध: F = -dU / dx
साम्यावस्था (equilibrium) पर नेट बल शून्य होना चाहिए: F = 0 ⇒ dU / dx = 0
dU/dx = d/dx [ a x⁻² – b x⁻¹ ] = -2a x⁻³ + b x⁻² = 0
-2a / x³ + b / x² = 0 ⇒ b / x² = 2a / x³ ⇒ x = 2a / b।
बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध: F = -dU / dx
साम्यावस्था (equilibrium) पर नेट बल शून्य होना चाहिए: F = 0 ⇒ dU / dx = 0
dU/dx = d/dx [ a x⁻² – b x⁻¹ ] = -2a x⁻³ + b x⁻² = 0
-2a / x³ + b / x² = 0 ⇒ b / x² = 2a / x³ ⇒ x = 2a / b।
Explanation:
The force is given by the negative derivative of potential energy: F = -dU / dx.
For equilibrium, the net force must be zero: dU / dx = 0.
– dU/dx = d/dx [ a/x² – b/x ] = -2a/x³ + b/x² = 0.
– b/x² = 2a/x³ ⇒ x = 2a/b.
The force is given by the negative derivative of potential energy: F = -dU / dx.
For equilibrium, the net force must be zero: dU / dx = 0.
– dU/dx = d/dx [ a/x² – b/x ] = -2a/x³ + b/x² = 0.
– b/x² = 2a/x³ ⇒ x = 2a/b.
प्रश्न 4. R लंबाई की एक डोरी से बंधे पत्थर को ऊर्ध्वाधर वृत्त (vertical circle) में घुमाया जाता है। डोरी के ढीले (slack) हुए बिना वृत्त को पूर्ण करने के लिए न्यूनतम बिंदु પર आवश्यक न्यूनतम चाल क्या होगी?
Q4. A stone tied to a string of length R is whirled in a vertical circle. To complete the circular loop without the string slacking, the minimum speed required at the lowest point is:
सही उत्तर: C) √(5gR)
Correct Answer: C) √(5gR)
स्पष्टीकरण:
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति (vertical circular motion) में क्रांतिक स्थिति:
– वृत्त के उच्चतम बिंदु पर तनाव शून्य होने की स्थिति में न्यूनतम चाल: v_top = √(gR)
– यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण (conservation of mechanical energy) लगाने पर, निम्नतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा शून्य मानने पर:
– 1/2 m v_lowest² = 1/2 m v_top² + mg(2R)
– v_lowest² = gR + 4gR = 5gR ⇒ v_lowest = √(5gR)।
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति (vertical circular motion) में क्रांतिक स्थिति:
– वृत्त के उच्चतम बिंदु पर तनाव शून्य होने की स्थिति में न्यूनतम चाल: v_top = √(gR)
– यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण (conservation of mechanical energy) लगाने पर, निम्नतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा शून्य मानने पर:
– 1/2 m v_lowest² = 1/2 m v_top² + mg(2R)
– v_lowest² = gR + 4gR = 5gR ⇒ v_lowest = √(5gR)।
Explanation:
In vertical circular motion, the critical boundary conditions are:
– Minimum velocity at the top point to prevent slacking: v_top = √(gR).
– Applying conservation of mechanical energy between top and bottom points:
– 1/2 m v_lowest² = 1/2 m v_top² + mg(2R).
– v_lowest² = gR + 4gR = 5gR ⇒ v_lowest = √(5gR).
In vertical circular motion, the critical boundary conditions are:
– Minimum velocity at the top point to prevent slacking: v_top = √(gR).
– Applying conservation of mechanical energy between top and bottom points:
– 1/2 m v_lowest² = 1/2 m v_top² + mg(2R).
– v_lowest² = gR + 4gR = 5gR ⇒ v_lowest = √(5gR).
प्रश्न 5. यदि किसी गतिशील पिंड की गतिज ऊर्जा (kinetic energy) में 300% की वृद्धि कर दी जाए, तो उसके रेखीय संवेग (linear momentum) में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
Q5. If the kinetic energy of a body is increased by 300%, the percentage increase in its linear momentum is:
सही उत्तर: B) 100%
Correct Answer: B) 100%
स्पष्टीकरण:
संवेग (p) और गतिज ऊर्जा (K) में संबंध: p = √(2mK) ⇒ p ∝ √K
– माना प्रारंभिक ऊर्जा K₁ = K है।
– 300% वृद्धि के बाद नई ऊर्जा: K₂ = K + 300% of K = K + 3K = 4K
– नया संवेग: p₂ ∝ √(4K) = 2 √K = 2 p₁
– संवेग में वृद्धि प्रतिशत = [ (p₂ – p₁) / p₁ ] × 100 = [ (2p₁ – p₁) / p₁ ] × 100 = 100%।
संवेग (p) और गतिज ऊर्जा (K) में संबंध: p = √(2mK) ⇒ p ∝ √K
– माना प्रारंभिक ऊर्जा K₁ = K है।
– 300% वृद्धि के बाद नई ऊर्जा: K₂ = K + 300% of K = K + 3K = 4K
– नया संवेग: p₂ ∝ √(4K) = 2 √K = 2 p₁
– संवेग में वृद्धि प्रतिशत = [ (p₂ – p₁) / p₁ ] × 100 = [ (2p₁ – p₁) / p₁ ] × 100 = 100%।
Explanation:
The relationship between momentum p and kinetic energy K is: p = √(2mK) ⇒ p ∝ √K.
– Let initial KE be K₁ = K.
– After a 300% increase, new KE is: K₂ = K + 3K = 4K.
– New momentum: p₂ ∝ √(4K) = 2 √K = 2 p₁.
– Percentage increase in momentum = [ (p₂ – p₁) / p₁ ] × 100 = [ (2 – 1) / 1 ] × 100 = 100%.
The relationship between momentum p and kinetic energy K is: p = √(2mK) ⇒ p ∝ √K.
– Let initial KE be K₁ = K.
– After a 300% increase, new KE is: K₂ = K + 3K = 4K.
– New momentum: p₂ ∝ √(4K) = 2 √K = 2 p₁.
– Percentage increase in momentum = [ (p₂ – p₁) / p₁ ] × 100 = [ (2 – 1) / 1 ] × 100 = 100%.
प्रश्न 6. निम्नलिखित में से कौन सा कथन संरक्षी बल (conservative force) के लिए सदैव सत्य होता है?
Q6. Which of the following statements is always true for a conservative force?
सही उत्तर: B) एक बंद चक्र (closed loop) में इसके द्वारा किया गया नेट कार्य हमेशा शून्य होता है
Correct Answer: B) The net work done by it in a closed loop is always zero
स्पष्टीकरण:
संरक्षी बलों (जैसे गुरुत्वीय बल, स्थिरविद्युत बल) के मूल गुण हैं:
– बल द्वारा किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र होता है और केवल प्रारंभिक तथा अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
– किसी बंद वक्र (closed path) पर किया गया कुल कार्य शून्य होता है (∮ F⃗ · dr⃗ = 0)।
– स्थितिज ऊर्जा का प्रत्यय केवल संरक्षी बलों के लिए ही परिभाषित होता है।
संरक्षी बलों (जैसे गुरुत्वीय बल, स्थिरविद्युत बल) के मूल गुण हैं:
– बल द्वारा किया गया कार्य पथ से स्वतंत्र होता है और केवल प्रारंभिक तथा अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
– किसी बंद वक्र (closed path) पर किया गया कुल कार्य शून्य होता है (∮ F⃗ · dr⃗ = 0)।
– स्थितिज ऊर्जा का प्रत्यय केवल संरक्षी बलों के लिए ही परिभाषित होता है।
Explanation:
By definition, a force is conservative if:
– The work done by it is independent of the path and depends only on initial and final positions.
– The total work done over a closed loop is zero (∮ F⃗ · dr⃗ = 0). Examples include gravitational and electrostatic forces.
By definition, a force is conservative if:
– The work done by it is independent of the path and depends only on initial and final positions.
– The total work done over a closed loop is zero (∮ F⃗ · dr⃗ = 0). Examples include gravitational and electrostatic forces.
प्रश्न 7. बल नियतांक k वाली एक स्प्रिंग को उसकी प्राकृतिक लंबाई से x₁ तक खींचा गया है। इसे x₁ से x₂ तक और अधिक खींचने में किया गया आवश्यक कार्य कितना होगा?
Q7. A spring of force constant k is stretched from its natural length by a distance x₁. The work done in stretching it further by a distance to a final elongation x₂ is:
सही उत्तर: B) 1/2 k (x₂² – x₁²)
Correct Answer: B) 1/2 k (x₂² – x₁²)
स्पष्टीकरण:
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र: U = 1/2 k x²
– प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: U₁ = 1/2 k x₁²
– अंतिम स्थितिज ऊर्जा: U₂ = 1/2 k x₂²
– बाह्य बल द्वारा किया गया आवश्यक कार्य = स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:
– W = U₂ – U₁ = 1/2 k x₂² – 1/2 k x₁² = 1/2 k (x₂² – x₁²)।
(ध्यान दें कि यह 1/2 k (x₂ – x₁)² के बराबर नहीं होता)।
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र: U = 1/2 k x²
– प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: U₁ = 1/2 k x₁²
– अंतिम स्थितिज ऊर्जा: U₂ = 1/2 k x₂²
– बाह्य बल द्वारा किया गया आवश्यक कार्य = स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:
– W = U₂ – U₁ = 1/2 k x₂² – 1/2 k x₁² = 1/2 k (x₂² – x₁²)।
(ध्यान दें कि यह 1/2 k (x₂ – x₁)² के बराबर नहीं होता)।
Explanation:
The elastic potential energy stored in a spring is U = 1/2 k x².
– Initial potential energy: U₁ = 1/2 k x₁².
– Final potential energy: U₂ = 1/2 k x₂².
– Work done = Change in potential energy:
– W = U₂ – U₁ = 1/2 k (x₂² – x₁²).
The elastic potential energy stored in a spring is U = 1/2 k x².
– Initial potential energy: U₁ = 1/2 k x₁².
– Final potential energy: U₂ = 1/2 k x₂².
– Work done = Change in potential energy:
– W = U₂ – U₁ = 1/2 k (x₂² – x₁²).
प्रश्न 8. एक पानी का पंप 10 kg/s की नियत दर से पानी खींचता है और उसे 10 m की ऊंचाई तक उठाता है। पंप द्वारा पानी उठाने में प्रयुक्त न्यूनतम शक्ति (minimum power) कितनी होगी? (g = 10 m/s² मानें)
Q8. A water pump lifts water at a constant rate of 10 kg/s to a height of 10 m. The minimum power of the pump required to lift the water is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: C) 1 kW
Correct Answer: C) 1 kW
स्पष्टीकरण:
शक्ति (Power) = प्रति सेकंड किया गया कार्य = dW / dt
– पानी को h ऊंचाई तक उठाने में किया गया कार्य W = mgh
– Power = (dm/dt) × g × h
मान रखने पर (dm/dt = 10 kg/s, g = 10 m/s², h = 10 m):
– Power = 10 × 10 × 10 = 1000 W = 1 kW।
शक्ति (Power) = प्रति सेकंड किया गया कार्य = dW / dt
– पानी को h ऊंचाई तक उठाने में किया गया कार्य W = mgh
– Power = (dm/dt) × g × h
मान रखने पर (dm/dt = 10 kg/s, g = 10 m/s², h = 10 m):
– Power = 10 × 10 × 10 = 1000 W = 1 kW।
Explanation:
Power is defined as work done per unit time: Power = dW/dt.
– Work done to lift mass m to height h is W = mgh.
– Power = (dm/dt) × g × h.
Substituting the values (dm/dt = 10 kg/s, g = 10 m/s², h = 10 m):
– Power = 10 × 10 × 10 = 1000 W = 1 kW.
Power is defined as work done per unit time: Power = dW/dt.
– Work done to lift mass m to height h is W = mgh.
– Power = (dm/dt) × g × h.
Substituting the values (dm/dt = 10 kg/s, g = 10 m/s², h = 10 m):
– Power = 10 × 10 × 10 = 1000 W = 1 kW.
प्रश्न 9. समान द्रव्यमान m की एक गतिशील गेंद एक अन्य स्थिर समान गेंद से सीधे पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर (1D elastic collision) करती है। टक्कर के बाद दोनों गेंदों के वेगों का क्या होगा?
Q9. A ball of mass m moving with velocity u collides head-on elastically with another identical ball of mass m at rest. After the collision, the velocities of the two balls are:
सही उत्तर: B) पहली गेंद स्थिर हो जाएगी और दूसरी गेंद वेग u से चलने लगेगी
Correct Answer: B) The first ball comes to rest, and the second ball moves with velocity u
स्पष्टीकरण:
पूर्णतः प्रत्यास्थ एकविमीय टक्कर (1D elastic collision, e = 1) में यदि दोनों टकराने वाले पिंडों के द्रव्यमान बिल्कुल समान हैं (m₁ = m₂), तो वे अपने वेगों को आपस में बदल लेते हैं (exchange of velocities)।
– अतः पहली गेंद जो u से गतिशील थी वह रुक जाएगी (v₁ = 0) और दूसरी गेंद जो स्थिर थी वह u वेग से गतिशील हो जाएगी (v₂ = u)।
पूर्णतः प्रत्यास्थ एकविमीय टक्कर (1D elastic collision, e = 1) में यदि दोनों टकराने वाले पिंडों के द्रव्यमान बिल्कुल समान हैं (m₁ = m₂), तो वे अपने वेगों को आपस में बदल लेते हैं (exchange of velocities)।
– अतः पहली गेंद जो u से गतिशील थी वह रुक जाएगी (v₁ = 0) और दूसरी गेंद जो स्थिर थी वह u वेग से गतिशील हो जाएगी (v₂ = u)।
Explanation:
In a perfectly elastic one-dimensional collision (e = 1) between two bodies of equal mass (m₁ = m₂), the bodies exchange their velocities after collision.
– Thus, the first ball (moving with u) comes to rest (v₁ = 0), and the second ball (originally at rest) begins to move with velocity v₂ = u.
In a perfectly elastic one-dimensional collision (e = 1) between two bodies of equal mass (m₁ = m₂), the bodies exchange their velocities after collision.
– Thus, the first ball (moving with u) comes to rest (v₁ = 0), and the second ball (originally at rest) begins to move with velocity v₂ = u.
प्रश्न 10. एक गेंद को h ऊंचाई से एक स्थिर फर्श पर गिराया जाता है। यदि टक्कर का प्रत्यावस्थान गुणांक (coefficient of restitution) e है, तो पहली टक्कर के बाद गेंद किस ऊंचाई तक उछलेगी?
Q10. A ball is dropped from a height h on a horizontal floor. If the coefficient of restitution of the collision is e, the height to which the ball rebounds after the first bounce is:
सही उत्तर: B) e² h
Correct Answer: B) e² h
स्पष्टीकरण:
– टकराने से ठीक पहले वेग: v_in = √(2gh)
– टक्कर के बाद उछाल का प्रारंभिक वेग: v_rebound = e × v_in = e √(2gh)
– प्राप्त की जाने वाली नई ऊंचाई: h’ = v_rebound² / 2g = (e² × 2gh) / 2g = e² h।
(प्रत्येक उत्तरोत्तर उछाल में ऊंचाई e² के अनुपात से कम होती जाती है)।
– टकराने से ठीक पहले वेग: v_in = √(2gh)
– टक्कर के बाद उछाल का प्रारंभिक वेग: v_rebound = e × v_in = e √(2gh)
– प्राप्त की जाने वाली नई ऊंचाई: h’ = v_rebound² / 2g = (e² × 2gh) / 2g = e² h।
(प्रत्येक उत्तरोत्तर उछाल में ऊंचाई e² के अनुपात से कम होती जाती है)।
Explanation:
– Velocity immediately before impact: v_in = √(2gh).
– Rebound velocity after bounce: v_out = e × v_in = e √(2gh).
– Height reached after rebound: h’ = v_out² / 2g = e² (2gh) / 2g = e² h.
– Velocity immediately before impact: v_in = √(2gh).
– Rebound velocity after bounce: v_out = e × v_in = e √(2gh).
– Height reached after rebound: h’ = v_out² / 2g = e² (2gh) / 2g = e² h.
प्रश्न 11. विरामावस्था से चलना शुरू करने वाला m द्रव्यमान का एक पिंड नियत शक्ति (constant power, P) के प्रभाव में त्वरित होता है। समय t पर पिंड का वेग (v) किस प्रकार समय पर निर्भर करेगा?
Q11. A body of mass m starting from rest accelerates under the action of a constant power P. The velocity v of the body at time t varies with time as:
सही उत्तर: C) v ∝ t¹/²
Correct Answer: C) v ∝ t¹/²
स्पष्टीकरण:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय से, किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:
Work = K_final – K_initial = 1/2 m v² – 0
चूंकि शक्ति P नियत है, अतः समय t में किया गया कार्य: Work = Power × time = P × t
– P t = 1/2 m v² ⇒ v² = 2Pt / m ⇒ v = √(2P/m) × t¹/²
अतः v ∝ t¹/²।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय से, किया गया कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:
Work = K_final – K_initial = 1/2 m v² – 0
चूंकि शक्ति P नियत है, अतः समय t में किया गया कार्य: Work = Power × time = P × t
– P t = 1/2 m v² ⇒ v² = 2Pt / m ⇒ v = √(2P/m) × t¹/²
अतः v ∝ t¹/²।
Explanation:
By Work-Energy Theorem, work done is equal to change in KE:
Work = 1/2 m v².
Since power P is constant, work done in time t is: Work = P × t.
– P t = 1/2 m v² ⇒ v² = 2Pt / m ⇒ v = √(2P/m) t¹/².
Thus, v ∝ t¹/².
By Work-Energy Theorem, work done is equal to change in KE:
Work = 1/2 m v².
Since power P is constant, work done in time t is: Work = P × t.
– P t = 1/2 m v² ⇒ v² = 2Pt / m ⇒ v = √(2P/m) t¹/².
Thus, v ∝ t¹/².
प्रश्न 12. स्थायी साम्यावस्था (stable equilibrium) की स्थिति में किसी निकाय की स्थितिज ऊर्जा (U) के संबंध में सही गणितीय प्रतिबंध क्या है?
Q12. For a system to be in stable equilibrium, the mathematical condition for potential energy U(x) is:
सही उत्तर: B) dU/dx = 0 और d²U/dx² > 0
Correct Answer: B) dU/dx = 0 and d²U/dx² > 0
स्पष्टीकरण:
– साम्यावस्था (equilibrium) की बुनियादी शर्त नेट बल शून्य होना है: F = -dU/dx = 0 ⇒ dU/dx = 0।
– स्थायी साम्यावस्था (stable equilibrium) में स्थितिज ऊर्जा **न्यूनतम (minimum)** होनी चाहिए। उच्च कलन (calculus) के अनुसार, न्यूनतम मान के लिए द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए: d²U/dx² > 0।
– (यदि d²U/dx² < 0 हो, तो स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है और साम्यावस्था अस्थायी कहलाती है)।
– साम्यावस्था (equilibrium) की बुनियादी शर्त नेट बल शून्य होना है: F = -dU/dx = 0 ⇒ dU/dx = 0।
– स्थायी साम्यावस्था (stable equilibrium) में स्थितिज ऊर्जा **न्यूनतम (minimum)** होनी चाहिए। उच्च कलन (calculus) के अनुसार, न्यूनतम मान के लिए द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए: d²U/dx² > 0।
– (यदि d²U/dx² < 0 हो, तो स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है और साम्यावस्था अस्थायी कहलाती है)।
Explanation:
– For any equilibrium state, the net force must be zero: F = -dU/dx = 0 ⇒ dU/dx = 0.
– For **stable equilibrium**, the potential energy must be a **local minimum**. According to calculus, the second derivative of U must be positive: d²U/dx² > 0.
– (If d²U/dx² < 0, the potential energy is maximum, denoting unstable equilibrium).
– For any equilibrium state, the net force must be zero: F = -dU/dx = 0 ⇒ dU/dx = 0.
– For **stable equilibrium**, the potential energy must be a **local minimum**. According to calculus, the second derivative of U must be positive: d²U/dx² > 0.
– (If d²U/dx² < 0, the potential energy is maximum, denoting unstable equilibrium).
प्रश्न 13. m द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक खुरदरे नत समतल (rough incline) पर फिसल कर नीचे पहुँचता है जिसकी ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h है। यदि वह नीचे v चाल से पहुँचता है, तो फिसलने के दौरान घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य (work done by friction) क्या होगा?
Q13. A block of mass m slides down a rough inclined plane of vertical height h. If it reaches the bottom with speed v, the work done by the frictional force during the slide is:
सही उत्तर: A) 1/2 m v² – mgh
Correct Answer: A) 1/2 m v² – mgh
स्पष्टीकरण:
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:
W_total = ΔK
– यहाँ केवल गुरुत्वीय बल और घर्षण बल कार्य कर रहे हैं:
– W_gravity + W_friction = K_final – K_initial
– mgh + W_friction = 1/2 m v² – 0
– W_friction = 1/2 m v² – mgh। (चूंकि 1/2 mv² < mgh, यह कार्य ऋणात्मक प्राप्त होगा)।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:
W_total = ΔK
– यहाँ केवल गुरुत्वीय बल और घर्षण बल कार्य कर रहे हैं:
– W_gravity + W_friction = K_final – K_initial
– mgh + W_friction = 1/2 m v² – 0
– W_friction = 1/2 m v² – mgh। (चूंकि 1/2 mv² < mgh, यह कार्य ऋणात्मक प्राप्त होगा)।
Explanation:
Using the Work-Energy Theorem: W_total = ΔK.
– Work is done by gravity and friction:
– W_gravity + W_friction = K_final – K_initial.
– mgh + W_friction = 1/2 m v² – 0.
– W_friction = 1/2 m v² – mgh. (This value is negative since friction opposes sliding).
Using the Work-Energy Theorem: W_total = ΔK.
– Work is done by gravity and friction:
– W_gravity + W_friction = K_final – K_initial.
– mgh + W_friction = 1/2 m v² – 0.
– W_friction = 1/2 m v² – mgh. (This value is negative since friction opposes sliding).
प्रश्न 14. m द्रव्यमान का एक पिंड v वेग से गतिशील होकर एक स्थिर M द्रव्यमान के भारी पिंड से टकराता है और दोनों आपस में चिपक जाते हैं (completely inelastic collision)। इस टक्कर के दौरान होने वाली गतिज ऊर्जा की हानि (loss in kinetic energy) कितनी होगी?
Q14. A body of mass m moving with velocity v collides completely inelastically with a stationary body of mass M, and they stick together. The loss in kinetic energy during the collision is:
सही उत्तर: A) 1/2 [ mM / (m + M) ] v²
Correct Answer: A) 1/2 [ mM / (m + M) ] v²
स्पष्टीकरण:
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा की हानि का सामान्य सूत्र है:
ΔK = 1/2 [ (m₁ m₂) / (m₁ + m₂) ] (u₁ – u₂)²
– यहाँ m₁ = m, m₂ = M, u₁ = v और u₂ = 0 है।
– मानों को रखने पर: ΔK = 1/2 [ mM / (m + M) ] v²।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा की हानि का सामान्य सूत्र है:
ΔK = 1/2 [ (m₁ m₂) / (m₁ + m₂) ] (u₁ – u₂)²
– यहाँ m₁ = m, m₂ = M, u₁ = v और u₂ = 0 है।
– मानों को रखने पर: ΔK = 1/2 [ mM / (m + M) ] v²।
Explanation:
The formula for the loss of kinetic energy in a completely inelastic collision is:
ΔK = 1/2 [ (m₁ m₂) / (m₁ + m₂) ] (u₁ – u₂)².
– Substituting m₁ = m, m₂ = M, u₁ = v, and u₂ = 0:
– ΔK = 1/2 [ mM / (m + M) ] v².
The formula for the loss of kinetic energy in a completely inelastic collision is:
ΔK = 1/2 [ (m₁ m₂) / (m₁ + m₂) ] (u₁ – u₂)².
– Substituting m₁ = m, m₂ = M, u₁ = v, and u₂ = 0:
– ΔK = 1/2 [ mM / (m + M) ] v².
प्रश्न 15. स्प्रिंग नियतांक (force constant) k वाली एक स्प्रिंग को काटकर दो बराबर भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक आधे भाग का स्प्रिंग नियतांक कितना होगा?
Q15. A spring of force constant k is cut into two equal halves. The spring constant of each half is:
सही उत्तर: C) 2k
Correct Answer: C) 2k
स्पष्टीकरण:
एक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है: k ∝ 1 / L ⇒ k × L = नियतांक।
– यदि स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग की लंबाई आधी (L’ = L/2) हो जाती है।
– नया स्प्रिंग नियतांक: k’ = k × (L / L’) = k × (L / (L/2)) = 2k।
एक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक उसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है: k ∝ 1 / L ⇒ k × L = नियतांक।
– यदि स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग की लंबाई आधी (L’ = L/2) हो जाती है।
– नया स्प्रिंग नियतांक: k’ = k × (L / L’) = k × (L / (L/2)) = 2k।
Explanation:
The spring constant k is inversely proportional to its length L: k ∝ 1 / L ⇒ k × L = constant.
– When the spring is cut into two equal halves, the length of each half becomes L’ = L / 2.
– Therefore, the spring constant of each half becomes doubled: k’ = 2k.
The spring constant k is inversely proportional to its length L: k ∝ 1 / L ⇒ k × L = constant.
– When the spring is cut into two equal halves, the length of each half becomes L’ = L / 2.
– Therefore, the spring constant of each half becomes doubled: k’ = 2k.
प्रश्न 16. एक कार विरामावस्था से चलना शुरू करती है और नियत त्वरण (constant acceleration, a) से गतिमान है। कार के इंजन द्वारा समय t पर कार को प्रेषित तात्क्षणिक शक्ति (instantaneous power) किस प्रकार समय पर निर्भर करेगी?
Q16. A car starts from rest and moves with a constant acceleration a. The instantaneous power delivered by the engine to the car at time t varies as:
सही उत्तर: A) P ∝ t
Correct Answer: A) P ∝ t
स्पष्टीकरण:
तात्क्षणिक शक्ति का सूत्र: P = F × v
– नियत त्वरण के लिए बल नियत रहता है: F = ma = नियतांक
– समय t पर वेग: v = u + at = 0 + at = at
– शक्ति: P = (ma) × (at) = m a² t
चूँकि m और a नियत हैं, अतः तात्क्षणिक शक्ति समय के अनुक्रमानुपाती होगी: P ∝ t।
तात्क्षणिक शक्ति का सूत्र: P = F × v
– नियत त्वरण के लिए बल नियत रहता है: F = ma = नियतांक
– समय t पर वेग: v = u + at = 0 + at = at
– शक्ति: P = (ma) × (at) = m a² t
चूँकि m और a नियत हैं, अतः तात्क्षणिक शक्ति समय के अनुक्रमानुपाती होगी: P ∝ t।
Explanation:
Instantaneous power is given by: P = F × v.
– For constant acceleration, the force is constant: F = ma.
– Velocity at time t is: v = at.
– Power: P = (ma) × (at) = m a² t.
Since mass m and acceleration a are constants: P ∝ t.
Instantaneous power is given by: P = F × v.
– For constant acceleration, the force is constant: F = ma.
– Velocity at time t is: v = at.
– Power: P = (ma) × (at) = m a² t.
Since mass m and acceleration a are constants: P ∝ t.
प्रश्न 17. एक ब्लॉक को घर्षणरहित 30° कोण वाले नत समतल (inclined plane) पर नीचे से ऊपर की ओर v वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। ब्लॉक रुकने से पहले नत समतल के अनुदिश कितनी दूरी d तय करेगा?
Q17. A block is projected up a frictionless inclined plane of inclination angle 30° with an initial velocity v. The distance d travelled by the block along the incline before coming to rest is:
सही उत्तर: A) v² / g
Correct Answer: A) v² / g
स्पष्टीकरण:
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण नियम के अनुसार, निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा = उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा:
1/2 m v² = mgh ⇒ h = v² / (2g)
– यहाँ h ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है। यदि तय की गई दूरी नत समतल के अनुदिश d है, तो त्रिकोणमिति से: h = d sin 30°
– d sin 30° = v² / (2g) ⇒ d (1/2) = v² / (2g) ⇒ d = v² / g।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण नियम के अनुसार, निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा = उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा:
1/2 m v² = mgh ⇒ h = v² / (2g)
– यहाँ h ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है। यदि तय की गई दूरी नत समतल के अनुदिश d है, तो त्रिकोणमिति से: h = d sin 30°
– d sin 30° = v² / (2g) ⇒ d (1/2) = v² / (2g) ⇒ d = v² / g।
Explanation:
By conservation of mechanical energy: 1/2 m v² = mgh ⇒ h = v² / (2g).
– Let d be the distance travelled along the incline. Then, h = d sin 30° = d / 2.
– Substituting this: d / 2 = v² / (2g) ⇒ d = v² / g.
By conservation of mechanical energy: 1/2 m v² = mgh ⇒ h = v² / (2g).
– Let d be the distance travelled along the incline. Then, h = d sin 30° = d / 2.
– Substituting this: d / 2 = v² / (2g) ⇒ d = v² / g.
प्रश्न 18. निम्नलिखित में से कौन सा बल एक **असंरक्षी बल (non-conservative force)** का उदाहरण है?
Q18. Which of the following forces is an example of a **non-conservative force**?
सही उत्तर: B) श्यानता बल / घर्षण बल (Viscous force / Friction)
Correct Answer: B) Viscous force / Friction
स्पष्टीकरण:
असंरक्षी बल (Non-conservative/dissipative forces) वे बल होते हैं जिनके द्वारा किसी बंद पथ में किया गया कार्य शून्य नहीं होता। यह कार्य ऊष्मीय ऊर्जा (heat) के रूप में नष्ट हो जाता है।
– घर्षण बल (friction) और तरल पदार्थों में श्यान बल (viscous force) इसके प्रमुख उदाहरण हैं।
– गुरुत्वाकर्षण बल, स्थिरविद्युत बल और स्प्रिंग बल संरक्षी बल हैं।
असंरक्षी बल (Non-conservative/dissipative forces) वे बल होते हैं जिनके द्वारा किसी बंद पथ में किया गया कार्य शून्य नहीं होता। यह कार्य ऊष्मीय ऊर्जा (heat) के रूप में नष्ट हो जाता है।
– घर्षण बल (friction) और तरल पदार्थों में श्यान बल (viscous force) इसके प्रमुख उदाहरण हैं।
– गुरुत्वाकर्षण बल, स्थिरविद्युत बल और स्प्रिंग बल संरक्षी बल हैं।
Explanation:
A force is non-conservative if the work done by it over a closed loop is non-zero, usually resulting in dissipation of mechanical energy into heat or sound.
– Frictional and viscous forces are typical examples.
– Gravitational, electrostatic, and spring forces are conservative.
A force is non-conservative if the work done by it over a closed loop is non-zero, usually resulting in dissipation of mechanical energy into heat or sound.
– Frictional and viscous forces are typical examples.
– Gravitational, electrostatic, and spring forces are conservative.
प्रश्न 19. एक विमीय संरक्षी क्षेत्र में किसी कण की स्थितिज ऊर्जा U(x) = k x³ है। कण पर कार्य करने वाला संरक्षी बल (Force) क्या होगा?
Q19. The potential energy of a particle in a one-dimensional conservative field is U(x) = k x³. The force acting on the particle is:
सही उत्तर: A) -3 k x²
Correct Answer: A) -3 k x²
स्पष्टीकरण:
बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच विमीय संबंध:
F = -dU / dx
अवकलन करने पर:
F = – d/dx [ k x³ ] = -3 k x²।
बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच विमीय संबंध:
F = -dU / dx
अवकलन करने पर:
F = – d/dx [ k x³ ] = -3 k x²।
Explanation:
The conservative force is related to the potential energy function by:
F = -dU / dx.
Differentiating with respect to x:
F = – d/dx [ k x³ ] = -3 k x².
The conservative force is related to the potential energy function by:
F = -dU / dx.
Differentiating with respect to x:
F = – d/dx [ k x³ ] = -3 k x².
प्रश्न 20. एक ही द्रव्यमान m के दो कण क्षैतिज सतह पर पूर्णतः प्रत्यास्थ तिर्यक टक्कर (oblique elastic collision) करते हैं, जहाँ एक कण विरामावस्था में था। टक्कर के बाद दोनों कणों के वेगों के बीच का कोण क्या होगा?
Q20. Two identical particles of mass m undergo an oblique, non-head-on elastic collision on a horizontal surface, where one particle was initially at rest. The angle between their final velocity vectors after the collision is:
सही उत्तर: B) 90°
Correct Answer: B) 90°
स्पष्टीकरण:
जब समान द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच तिर्यक (2D) प्रत्यास्थ टक्कर (e = 1) होती है और उनमें से एक प्रारंभ में स्थिर होता है, तो संवेग और ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांतों के अनुसार, टक्कर के बाद उनके चलने की दिशाएं हमेशा एक-दूसरे के **लंबवत (perpendicular)** होती हैं, अर्थात् उनके बीच का कोण **90°** होता है।
जब समान द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच तिर्यक (2D) प्रत्यास्थ टक्कर (e = 1) होती है और उनमें से एक प्रारंभ में स्थिर होता है, तो संवेग और ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांतों के अनुसार, टक्कर के बाद उनके चलने की दिशाएं हमेशा एक-दूसरे के **लंबवत (perpendicular)** होती हैं, अर्थात् उनके बीच का कोण **90°** होता है।
Explanation:
When two identical masses undergo a two-dimensional (oblique) elastic collision (e = 1) where one mass is initially at rest, they will move off **perpendicular to each other** after the impact. Thus, the angle between their final velocities is always **90°**.
When two identical masses undergo a two-dimensional (oblique) elastic collision (e = 1) where one mass is initially at rest, they will move off **perpendicular to each other** after the impact. Thus, the angle between their final velocities is always **90°**.
प्रश्न 21. एक गेंद को h ऊंचाई से एक फर्श पर गिराया जाता है। यदि प्रत्यावस्थान गुणांक e है, तो गेंद द्वारा स्थिर होने से पहले तय की गई कुल दूरी (total distance covered) क्या होगी?
Q21. A ball is dropped from a height h on a horizontal floor. If the coefficient of restitution is e, the total distance covered by the ball before coming to a complete rest is:
सही उत्तर: A) h [ (1 + e²) / (1 – e²) ]
Correct Answer: A) h [ (1 + e²) / (1 – e²) ]
स्पष्टीकरण:
कुल दूरी अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric progression) द्वारा निकाली जाती है:
Total Distance = h + 2h₁ + 2h₂ + 2h₃ + …
चूंकि h_n = e^(2n) h, अतः:
Total Distance = h [ 1 + 2e² + 2e⁴ + 2e⁶ + … ]
Total Distance = h [ 1 + 2e² / (1 – e²) ] = h [ (1 + e²) / (1 – e²) ]।
कुल दूरी अनंत गुणोत्तर श्रेणी (infinite geometric progression) द्वारा निकाली जाती है:
Total Distance = h + 2h₁ + 2h₂ + 2h₃ + …
चूंकि h_n = e^(2n) h, अतः:
Total Distance = h [ 1 + 2e² + 2e⁴ + 2e⁶ + … ]
Total Distance = h [ 1 + 2e² / (1 – e²) ] = h [ (1 + e²) / (1 – e²) ]।
Explanation:
The total distance covered after infinite bounces is represented by an infinite geometric progression:
Total Distance = h + 2h’ + 2h” + … = h + 2e²h + 2e⁴h + ….
Evaluating this sum yields:
Total Distance = h [ 1 + 2e²(1 + e² + e⁴ + …) ] = h [ 1 + 2e² / (1 – e²) ] = h [ (1 + e²) / (1 – e²) ].
The total distance covered after infinite bounces is represented by an infinite geometric progression:
Total Distance = h + 2h’ + 2h” + … = h + 2e²h + 2e⁴h + ….
Evaluating this sum yields:
Total Distance = h [ 1 + 2e²(1 + e² + e⁴ + …) ] = h [ 1 + 2e² / (1 – e²) ] = h [ (1 + e²) / (1 – e²) ].
प्रश्न 22. R लंबाई की एक डोरी से बंधे पत्थर को ऊर्ध्वाधर वृत्त में क्रांतिक अवस्था में घुमाया जाता है। वृत्त के सबसे निचले बिंदु (lowest point) पर डोरी में उत्पन्न तनाव (Tension, T) कितना होगा?
Q22. A stone tied to a string of length R is spun in a critical vertical circle. The tension T in the string at the lowest point of the circular loop is:
सही उत्तर: C) 6 mg
Correct Answer: C) 6 mg
स्पष्टीकरण:
निम्नतम बिंदु पर बल समीकरण:
T – mg = mv_lowest² / R ⇒ T = mg + mv_lowest² / R
– उड्डयन को सुरक्षित रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति v_lowest = √(5gR) है।
– मान रखने पर: T = mg + m(5gR) / R = mg + 5mg = 6 mg।
निम्नतम बिंदु पर बल समीकरण:
T – mg = mv_lowest² / R ⇒ T = mg + mv_lowest² / R
– उड्डयन को सुरक्षित रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति v_lowest = √(5gR) है।
– मान रखने पर: T = mg + m(5gR) / R = mg + 5mg = 6 mg।
Explanation:
At the lowest point of the vertical circle:
T – mg = mv_lowest² / R ⇒ T = mg + mv_lowest² / R.
– For critical circular motion, the minimum velocity at the bottom is v_lowest = √(5gR).
– Substituting this velocity value:
– T = mg + m(5gR) / R = mg + 5mg = 6mg.
At the lowest point of the vertical circle:
T – mg = mv_lowest² / R ⇒ T = mg + mv_lowest² / R.
– For critical circular motion, the minimum velocity at the bottom is v_lowest = √(5gR).
– Substituting this velocity value:
– T = mg + m(5gR) / R = mg + 5mg = 6mg.
प्रश्न 23. एक पिंड पर लगाया गया बल F⃗ = 2î + 3ĵ N है और उसका तात्क्षणिक वेग v⃗ = 4î + 5ĵ m/s है। इंजन द्वारा कण को प्रेषित तात्क्षणिक शक्ति (Power) कितनी होगी?
Q23. A force F⃗ = 2î + 3ĵ N acts on a body moving with instantaneous velocity v⃗ = 4î + 5ĵ m/s. The instantaneous power delivered is:
सही उत्तर: A) 23 W
Correct Answer: A) 23 W
स्पष्टीकरण:
शक्ति (Power) दो सदिशों (बल और वेग) का अदिश गुणनफल (dot product) होती है:
Power = F⃗ · v⃗
– Power = (2î + 3ĵ) · (4î + 5ĵ) = (2 × 4) + (3 × 5)
– Power = 8 + 15 = 23 W।
शक्ति (Power) दो सदिशों (बल और वेग) का अदिश गुणनफल (dot product) होती है:
Power = F⃗ · v⃗
– Power = (2î + 3ĵ) · (4î + 5ĵ) = (2 × 4) + (3 × 5)
– Power = 8 + 15 = 23 W।
Explanation:
Power is the dot product of the force vector and the velocity vector:
Power = F⃗ · v⃗.
– Power = (2î + 3ĵ) · (4î + 5ĵ) = (2 × 4) + (3 × 5) = 8 + 15 = 23 W.
Power is the dot product of the force vector and the velocity vector:
Power = F⃗ · v⃗.
– Power = (2î + 3ĵ) · (4î + 5ĵ) = (2 × 4) + (3 × 5) = 8 + 15 = 23 W.
प्रश्न 24. r त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण पर लगने वाले अभिकेंद्री बल (Centripetal force) द्वारा एक पूर्ण चक्र में किया गया कार्य कितना होता है?
Q24. The work done by a centripetal force acting on a particle of mass m in a circular orbit of radius r during one complete revolution is:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण:
कार्य का मूलभूत सूत्र: W = ∫ F⃗ · dr⃗ = ∫ F dr cosθ
– अभिकेंद्री बल (F_c) हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
– तात्क्षणिक विस्थापन (dr⃗) हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) के अनुदिश होता है।
– अतः, बल और विस्थापन के बीच का कोण हमेशा θ = 90° होता है।
– W = F dr cos 90° = 0 (कार्य हमेशा शून्य होगा, चाहे आधा चक्र हो या पूरा)।
कार्य का मूलभूत सूत्र: W = ∫ F⃗ · dr⃗ = ∫ F dr cosθ
– अभिकेंद्री बल (F_c) हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
– तात्क्षणिक विस्थापन (dr⃗) हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) के अनुदिश होता है।
– अतः, बल और विस्थापन के बीच का कोण हमेशा θ = 90° होता है।
– W = F dr cos 90° = 0 (कार्य हमेशा शून्य होगा, चाहे आधा चक्र हो या पूरा)।
Explanation:
The work done is given by: W = ∫ F_c · dr = ∫ F_c dr cosθ.
– Centripetal force acts radially inward towards the center of the circle.
– The instantaneous displacement is directed along the tangent to the circle.
– The angle θ between the centripetal force and the displacement is always 90°.
– Therefore, W = F dr cos 90° = 0.
The work done is given by: W = ∫ F_c · dr = ∫ F_c dr cosθ.
– Centripetal force acts radially inward towards the center of the circle.
– The instantaneous displacement is directed along the tangent to the circle.
– The angle θ between the centripetal force and the displacement is always 90°.
– Therefore, W = F dr cos 90° = 0.
प्रश्न 25. एक आयामी स्थितिज ऊर्जा फलन U(x) = 12x – x³ है। इस निकाय के लिए स्थायी साम्यावस्था बिंदु (stable equilibrium point) क्या होगा?
Q25. A system’s one-dimensional potential energy is defined by U(x) = 12x – x³. The point of stable equilibrium is:
सही उत्तर: B) x = -2
Correct Answer: B) x = -2
स्पष्टीकरण:
– प्रथम अवकलज शून्य करने पर (साम्यावस्था): dU/dx = 12 – 3x² = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ± 2
– द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: d²U/dx² = d/dx [ 12 – 3x² ] = -6x
– x = +2 पर: d²U/dx² = -6(2) = -12 < 0 (अस्थायी साम्यावस्था)
– x = -2 पर: d²U/dx² = -6(-2) = +12 > 0 (स्थायी साम्यावस्था क्योंकि स्थितिज ऊर्जा यहाँ न्यूनतम है)।
– प्रथम अवकलज शून्य करने पर (साम्यावस्था): dU/dx = 12 – 3x² = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ± 2
– द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: d²U/dx² = d/dx [ 12 – 3x² ] = -6x
– x = +2 पर: d²U/dx² = -6(2) = -12 < 0 (अस्थायी साम्यावस्था)
– x = -2 पर: d²U/dx² = -6(-2) = +12 > 0 (स्थायी साम्यावस्था क्योंकि स्थितिज ऊर्जा यहाँ न्यूनतम है)।
Explanation:
– For equilibrium points, find first derivative and set to zero: dU/dx = 12 – 3x² = 0 ⇒ x = ± 2.
– Find the second derivative: d²U/dx² = -6x.
– At x = +2: d²U/dx² = -12 < 0 (unstable equilibrium).
– At x = -2: d²U/dx² = 12 > 0 (stable equilibrium, minimum potential energy).
– For equilibrium points, find first derivative and set to zero: dU/dx = 12 – 3x² = 0 ⇒ x = ± 2.
– Find the second derivative: d²U/dx² = -6x.
– At x = +2: d²U/dx² = -12 < 0 (unstable equilibrium).
– At x = -2: d²U/dx² = 12 > 0 (stable equilibrium, minimum potential energy).