प्रश्न 1. दो कणों के द्रव्यमान क्रमशः 1 kg और 3 kg हैं। वे क्रमशः निर्देशांकों (1, 2) और (-1, 3) पर स्थित हैं। इस निकाय के द्रव्यमान केंद्र (centre of mass) के निर्देशांक क्या होंगे?
Q1. Two particles of masses 1 kg and 3 kg are located at positions (1, 2) and (-1, 3) respectively. The coordinates of the centre of mass of the system are:
सही उत्तर: A) (-0.5, 2.75)
Correct Answer: A) (-0.5, 2.75)
स्पष्टीकरण:
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र:
– X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂) = (1 × 1 + 3 × (-1)) / (1 + 3) = -2 / 4 = -0.5
– Y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂) / (m₁ + m₂) = (1 × 2 + 3 × 3) / (1 + 3) = 11 / 4 = 2.75
अतः द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक **(-0.5, 2.75)** हैं।
द्रव्यमान केंद्र के सूत्र:
– X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂) = (1 × 1 + 3 × (-1)) / (1 + 3) = -2 / 4 = -0.5
– Y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂) / (m₁ + m₂) = (1 × 2 + 3 × 3) / (1 + 3) = 11 / 4 = 2.75
अतः द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक **(-0.5, 2.75)** हैं।
Explanation:
Using the formulas for the centre of mass of a two-particle system:
– X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂) = (1(1) + 3(-1)) / (1 + 3) = -2 / 4 = -0.5.
– Y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂) / (m₁ + m₂) = (1(2) + 3(3)) / (1 + 3) = 11 / 4 = 2.75.
Therefore, the coordinates of the centre of mass are **(-0.5, 2.75)**.
Using the formulas for the centre of mass of a two-particle system:
– X_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂) = (1(1) + 3(-1)) / (1 + 3) = -2 / 4 = -0.5.
– Y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂) / (m₁ + m₂) = (1(2) + 3(3)) / (1 + 3) = 11 / 4 = 2.75.
Therefore, the coordinates of the centre of mass are **(-0.5, 2.75)**.
प्रश्न 2. R त्रिज्या वाली एकसमान अर्धवृत्ताकार चकती (uniform semi-circular disc) का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र से कितनी दूरी पर स्थित होता है?
Q2. The distance of the centre of mass of a uniform semi-circular disc of radius R from its geometric centre is:
सही उत्तर: B) 4R / (3π)
Correct Answer: B) 4R / (3π)
स्पष्टीकरण:
एकसमान अर्धवृत्ताकार चकती (semi-circular disc) का द्रव्यमान केंद्र सममिति (symmetry) के कारण केंद्रीय ऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थित होता है।
– इसके केंद्र से ऊंचाई (Y-निर्देशांक) का सूत्र समाकलन द्वारा **4R / 3π** प्राप्त होता है।
– (यदि यह केवल एक अर्धवृत्ताकार वलय/semi-circular ring होता, तो इसका द्रव्यमान केंद्र केंद्र से 2R / π पर स्थित होता)।
एकसमान अर्धवृत्ताकार चकती (semi-circular disc) का द्रव्यमान केंद्र सममिति (symmetry) के कारण केंद्रीय ऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थित होता है।
– इसके केंद्र से ऊंचाई (Y-निर्देशांक) का सूत्र समाकलन द्वारा **4R / 3π** प्राप्त होता है।
– (यदि यह केवल एक अर्धवृत्ताकार वलय/semi-circular ring होता, तो इसका द्रव्यमान केंद्र केंद्र से 2R / π पर स्थित होता)।
Explanation:
For a uniform semi-circular disc of radius R, integration of mass distribution shows that the centre of mass is located on the axis of symmetry at a distance of:
– y_cm = 4R / (3π).
– (In contrast, the centre of mass of a uniform semi-circular ring lies at a distance of 2R / π).
For a uniform semi-circular disc of radius R, integration of mass distribution shows that the centre of mass is located on the axis of symmetry at a distance of:
– y_cm = 4R / (3π).
– (In contrast, the centre of mass of a uniform semi-circular ring lies at a distance of 2R / π).
प्रश्न 3. M द्रव्यमान और L लंबाई की एक पतली एकसमान छड़ (uniform thin rod) का उसके एक सिरे (one end) से गुजरने वाली तथा लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) कितना होगा?
Q3. The moment of inertia of a uniform thin rod of mass M and length L about an axis passing through one of its ends and perpendicular to its length is:
सही उत्तर: B) 1/3 M L²
Correct Answer: B) 1/3 M L²
स्पष्टीकरण:
– छड़ के द्रव्यमान केंद्र (मध्य बिंदु) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_cm = 1/12 M L²
– समांतर अक्षों के प्रमेय (Theorem of Parallel Axes) का उपयोग करने पर, एक सिरे की द्रव्यमान केंद्र से दूरी d = L/2 है:
– I_end = I_cm + M d² = 1/12 M L² + M (L/2)²
– I_end = 1/12 M L² + 1/4 M L² = (1 + 3) / 12 M L² = 4/12 M L² = 1/3 M L²।
– छड़ के द्रव्यमान केंद्र (मध्य बिंदु) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_cm = 1/12 M L²
– समांतर अक्षों के प्रमेय (Theorem of Parallel Axes) का उपयोग करने पर, एक सिरे की द्रव्यमान केंद्र से दूरी d = L/2 है:
– I_end = I_cm + M d² = 1/12 M L² + M (L/2)²
– I_end = 1/12 M L² + 1/4 M L² = (1 + 3) / 12 M L² = 4/12 M L² = 1/3 M L²।
Explanation:
– The moment of inertia of a thin rod about its central axis (centre of mass) is: I_cm = 1/12 M L².
– Using the Theorem of Parallel Axes, where the distance from the centre to one end is d = L / 2:
– I_end = I_cm + M d² = 1/12 M L² + M (L / 2)² = 1/3 M L².
– The moment of inertia of a thin rod about its central axis (centre of mass) is: I_cm = 1/12 M L².
– Using the Theorem of Parallel Axes, where the distance from the centre to one end is d = L / 2:
– I_end = I_cm + M d² = 1/12 M L² + M (L / 2)² = 1/3 M L².
प्रश्न 4. M द्रव्यमान और R त्रिज्या वाली एक एकसमान वृत्ताकार चकती (uniform circular disc) का उसके व्यास (diameter) के परितः जड़त्व आघूर्ण कितना होगा?
Q4. The moment of inertia of a uniform circular disc of mass M and radius R about any of its diameters is:
सही उत्तर: B) 1/4 M R²
Correct Answer: B) 1/4 M R²
स्पष्टीकरण:
– चकती के तल के लंबवत तथा केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_z = 1/2 M R²
– लंबवत अक्षों के प्रमेय (Theorem of Perpendicular Axes) का उपयोग करने पर, चकती के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत व्यास अक्षों X और Y के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होंगे (I_x = I_y = I_diameter):
– I_z = I_x + I_y ⇒ 1/2 M R² = 2 I_diameter ⇒ I_diameter = 1/4 M R²।
– चकती के तल के लंबवत तथा केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_z = 1/2 M R²
– लंबवत अक्षों के प्रमेय (Theorem of Perpendicular Axes) का उपयोग करने पर, चकती के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत व्यास अक्षों X और Y के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होंगे (I_x = I_y = I_diameter):
– I_z = I_x + I_y ⇒ 1/2 M R² = 2 I_diameter ⇒ I_diameter = 1/4 M R²।
Explanation:
– The moment of inertia of a disc about an axis perpendicular to its plane and passing through its centre is: I_z = 1/2 M R².
– Applying the Theorem of Perpendicular Axes for two diameters in the plane of the disc (I_x = I_y = I_dia):
– I_z = I_x + I_y ⇒ 1/2 M R² = 2 I_dia ⇒ I_dia = 1/4 M R².
– The moment of inertia of a disc about an axis perpendicular to its plane and passing through its centre is: I_z = 1/2 M R².
– Applying the Theorem of Perpendicular Axes for two diameters in the plane of the disc (I_x = I_y = I_dia):
– I_z = I_x + I_y ⇒ 1/2 M R² = 2 I_dia ⇒ I_dia = 1/4 M R².
प्रश्न 5. समान द्रव्यमान और समान त्रिज्या वाले एक वलय (ring) और एक चकती (disc) के तल के लंबवत तथा उनकी परिधि की स्पर्श रेखा (tangent perpendicular to the plane) के परितः उनकी घूर्णन त्रिज्याओं (radius of gyration) का अनुपात क्या होगा?
Q5. The ratio of the radii of gyration of a circular ring and a circular disc of same mass and radius about a tangential axis perpendicular to their planes is:
सही उत्तर: B) 2 : √3
Correct Answer: B) 2 : √3
स्पष्टीकरण:
– वलय (ring) के लिए स्पर्शरेखीय अक्ष पर: I_ring = I_cm + MR² = MR² + MR² = 2MR² ⇒ k_ring = √2 R
– चकती (disc) के लिए स्पर्शरेखीय अक्ष पर: I_disc = I_cm + MR² = 1/2 MR² + MR² = 3/2 MR² ⇒ k_disc = √(3/2) R
– दोनों का अनुपात: k_ring / k_disc = √2 / √(3/2) = √2 × √2 / √3 = 2 / √3 = 2 : √3।
– वलय (ring) के लिए स्पर्शरेखीय अक्ष पर: I_ring = I_cm + MR² = MR² + MR² = 2MR² ⇒ k_ring = √2 R
– चकती (disc) के लिए स्पर्शरेखीय अक्ष पर: I_disc = I_cm + MR² = 1/2 MR² + MR² = 3/2 MR² ⇒ k_disc = √(3/2) R
– दोनों का अनुपात: k_ring / k_disc = √2 / √(3/2) = √2 × √2 / √3 = 2 / √3 = 2 : √3।
Explanation:
– For the ring (tangential axis perpendicular to plane): I = I_cm + MR² = 2MR² ⇒ k_r = √2 R.
– For the disc (tangential axis perpendicular to plane): I = I_cm + MR² = 3/2 MR² ⇒ k_d = √(3/2) R.
– Ratio of their radii of gyration: k_r / k_d = √2 / √(3/2) = 2 / √3 = 2 : √3.
– For the ring (tangential axis perpendicular to plane): I = I_cm + MR² = 2MR² ⇒ k_r = √2 R.
– For the disc (tangential axis perpendicular to plane): I = I_cm + MR² = 3/2 MR² ⇒ k_d = √(3/2) R.
– Ratio of their radii of gyration: k_r / k_d = √2 / √(3/2) = 2 / √3 = 2 : √3.
प्रश्न 6. 2 kg m² जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) वाला एक पहिया 10 N m के नियत बल आघूर्ण (torque) के प्रभाव में घूम रहा है। पहिये में उत्पन्न कोणीय त्वरण (angular acceleration, α) कितना होगा?
Q6. A wheel of moment of inertia 2 kg m² is rotated by a constant torque of 10 N m. The angular acceleration (α) produced in the wheel is:
सही उत्तर: A) 5 rad/s²
Correct Answer: A) 5 rad/s²
स्पष्टीकरण:
घूर्णी गति का द्वितीय नियम (न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी समतुल्य): τ = I × α
– यहाँ बल आघूर्ण τ = 10 N m और जड़त्व आघूर्ण I = 2 kg m² है।
– कोणीय त्वरण: α = τ / I = 10 / 2 = 5 rad/s²।
घूर्णी गति का द्वितीय नियम (न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी समतुल्य): τ = I × α
– यहाँ बल आघूर्ण τ = 10 N m और जड़त्व आघूर्ण I = 2 kg m² है।
– कोणीय त्वरण: α = τ / I = 10 / 2 = 5 rad/s²।
Explanation:
The rotational analogue of Newton’s second law is: τ = I × α.
– Given τ = 10 N m and I = 2 kg m²:
– α = τ / I = 10 / 2 = 5 rad/s².
The rotational analogue of Newton’s second law is: τ = I × α.
– Given τ = 10 N m and I = 2 kg m²:
– α = τ / I = 10 / 2 = 5 rad/s².
प्रश्न 7. M द्रव्यमान और R त्रिज्या का एक ठोस गोला (solid sphere) अपने व्यास के परितः कोणीय वेग ω से घूर्णन कर रहा है। गोले की घूर्णी गतिज ऊर्जा (rotational kinetic energy) का सही सूत्र क्या होगा?
Q7. A solid sphere of mass M and radius R is rotating about its diameter with an angular velocity ω. The rotational kinetic energy of the sphere is:
सही उत्तर: A) 1/5 M R² ω²
Correct Answer: A) 1/5 M R² ω²
स्पष्टीकरण:
– घूर्णी गतिज ऊर्जा का सूत्र: K_rot = 1/2 I ω²
– ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = 2/5 M R²
– मान रखने पर: K_rot = 1/2 × (2/5 M R²) × ω² = 1/5 M R² ω²।
– घूर्णी गतिज ऊर्जा का सूत्र: K_rot = 1/2 I ω²
– ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = 2/5 M R²
– मान रखने पर: K_rot = 1/2 × (2/5 M R²) × ω² = 1/5 M R² ω²।
Explanation:
– Rotational kinetic energy is given by: K_rot = 1/2 I ω².
– The moment of inertia of a solid sphere about its diameter is: I = 2/5 M R².
– Substituting the value: K_rot = 1/2 × (2/5 M R²) × ω² = 1/5 M R² ω².
– Rotational kinetic energy is given by: K_rot = 1/2 I ω².
– The moment of inertia of a solid sphere about its diameter is: I = 2/5 M R².
– Substituting the value: K_rot = 1/2 × (2/5 M R²) × ω² = 1/5 M R² ω².
प्रश्न 8. एक हिम-नर्तक (ice skater) अपने हाथों को फैलाकर घूम रही है। जब वह अचानक अपने हाथों को सिकोड़ लेती है, तो उसकी कोणीय चाल (angular speed) बढ़ जाती है। इसका मुख्य कारण किस भौतिक राशि का संरक्षण है?
Q8. An ice skater spins with her arms outstretched. When she pulls her arms inward, her angular speed increases because of the conservation of:
सही उत्तर: C) कोणीय संवेग (Angular Momentum)
Correct Answer: C) Angular Momentum
स्पष्टीकरण:
बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति (τ_ext = 0) में, निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है (L = I × ω = नियतांक)।
– जब नर्तक अपने हाथ सिकोड़ती है, तो घूर्णन अक्ष के परितः उसका द्रव्यमान वितरण पास आ जाता है, जिससे उसका जड़त्व आघूर्ण (I) घट जाता है।
– कोणीय संवेग को नियत रखने के लिए, उसकी कोणीय चाल (ω) बढ़ जाती है (I_initial ω_initial = I_final ω_final)।
बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति (τ_ext = 0) में, निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है (L = I × ω = नियतांक)।
– जब नर्तक अपने हाथ सिकोड़ती है, तो घूर्णन अक्ष के परितः उसका द्रव्यमान वितरण पास आ जाता है, जिससे उसका जड़त्व आघूर्ण (I) घट जाता है।
– कोणीय संवेग को नियत रखने के लिए, उसकी कोणीय चाल (ω) बढ़ जाती है (I_initial ω_initial = I_final ω_final)।
Explanation:
In the absence of external torque (τ_ext = 0), the total angular momentum of the system remains conserved: L = I ω = constant.
– When the skater pulls her arms in, her mass is distributed closer to the axis of rotation, decreasing her moment of inertia (I).
– To keep L constant, her angular velocity (ω) must increase: I₁ ω₁ = I₂ ω₂.
In the absence of external torque (τ_ext = 0), the total angular momentum of the system remains conserved: L = I ω = constant.
– When the skater pulls her arms in, her mass is distributed closer to the axis of rotation, decreasing her moment of inertia (I).
– To keep L constant, her angular velocity (ω) must increase: I₁ ω₁ = I₂ ω₂.
प्रश्न 9. m द्रव्यमान का एक कण एक नियत वेग v से y-अक्ष के समानांतर रेखा x = d पर गतिमान है। मूल बिंदु (origin) के परितः कण का कोणीय संवेग (angular momentum) कितना होगा?
Q9. A particle of mass m moves with constant velocity v along a line x = d parallel to the y-axis. The magnitude of its angular momentum about the origin is:
सही उत्तर: B) m v d
Correct Answer: B) m v d
स्पष्टीकरण:
किसी बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग का सूत्र है: L = r_perpendicular × p = r_perpendicular × (mv)
– यहाँ r_perpendicular मूल बिंदु से कण की गति रेखा पर डाला गया लंब है।
– चूंकि रेखा x = d है, अतः लंबवत दूरी हमेशा नियत (d) रहेगी।
– कोणीय संवेग का परिमाण = **m v d** (यह समय के साथ नहीं बदलता)।
किसी बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग का सूत्र है: L = r_perpendicular × p = r_perpendicular × (mv)
– यहाँ r_perpendicular मूल बिंदु से कण की गति रेखा पर डाला गया लंब है।
– चूंकि रेखा x = d है, अतः लंबवत दूरी हमेशा नियत (d) रहेगी।
– कोणीय संवेग का परिमाण = **m v d** (यह समय के साथ नहीं बदलता)।
Explanation:
Angular momentum about a point is given by: L = r_perp × p = r_perp × (mv).
– Here, r_perp is the perpendicular distance from the origin to the line of motion x = d, which is constant and equal to d.
– Thus, the magnitude of angular momentum is **m v d** and remains constant over time.
Angular momentum about a point is given by: L = r_perp × p = r_perp × (mv).
– Here, r_perp is the perpendicular distance from the origin to the line of motion x = d, which is constant and equal to d.
– Thus, the magnitude of angular momentum is **m v d** and remains constant over time.
प्रश्न 10. M द्रव्यमान और R त्रिज्या की एक चकती (disc) ω₀ कोणीय वेग से घूम रही है। यदि चकती के दो विपरीत किनारों (opposite ends of a diameter) पर m द्रव्यमान के दो छोटे ब्लॉक धीरे से रख दिए जाएँ, तो नया कोणीय वेग कितना हो जाएगा?
Q10. A thin circular disc of mass M and radius R is rotating with angular velocity ω₀. If two identical small bodies of mass m are gently attached to its opposite ends of a diameter, the new angular velocity of the disc becomes:
सही उत्तर: B) M ω₀ / (M + 4m)
Correct Answer: B) M ω₀ / (M + 4m)
स्पष्टीकरण:
कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of Angular Momentum) से:
– प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण: I₁ = 1/2 M R²
– दो द्रव्यमान m किनारे पर जोड़ने के बाद नया जड़त्व आघूर्ण: I₂ = 1/2 M R² + 2(m R²) = R² (M/2 + 2m)
– I₁ ω₀ = I₂ ω ⇒ (1/2 M R²) ω₀ = [ R² (M/2 + 2m) ] ω
– 1/2 M ω₀ = (M/2 + 2m) ω ⇒ M ω₀ = (M + 4m) ω
– ω = M ω₀ / (M + 4m)।
कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of Angular Momentum) से:
– प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण: I₁ = 1/2 M R²
– दो द्रव्यमान m किनारे पर जोड़ने के बाद नया जड़त्व आघूर्ण: I₂ = 1/2 M R² + 2(m R²) = R² (M/2 + 2m)
– I₁ ω₀ = I₂ ω ⇒ (1/2 M R²) ω₀ = [ R² (M/2 + 2m) ] ω
– 1/2 M ω₀ = (M/2 + 2m) ω ⇒ M ω₀ = (M + 4m) ω
– ω = M ω₀ / (M + 4m)।
Explanation:
Since no external torque acts on the system, angular momentum is conserved:
– Initial Moment of Inertia: I₁ = 1/2 M R².
– Moment of Inertia after attaching two masses m at radius R: I₂ = 1/2 M R² + 2m R² = R² (M/2 + 2m).
– By conservation: I₁ ω₀ = I₂ ω.
– (1/2 M R²) ω₀ = R² (M/2 + 2m) ω ⇒ ω = M ω₀ / (M + 4m).
Since no external torque acts on the system, angular momentum is conserved:
– Initial Moment of Inertia: I₁ = 1/2 M R².
– Moment of Inertia after attaching two masses m at radius R: I₂ = 1/2 M R² + 2m R² = R² (M/2 + 2m).
– By conservation: I₁ ω₀ = I₂ ω.
– (1/2 M R²) ω₀ = R² (M/2 + 2m) ω ⇒ ω = M ω₀ / (M + 4m).
प्रश्न 11. M द्रव्यमान और R त्रिज्या का एक ठोस बेलन (solid cylinder) समतल क्षैतिज सतह पर v वेग से बिना फिसले लुढ़क (pure rolling) रहा है। बेलन की कुल गतिज ऊर्जा (total kinetic energy) कितनी होगी?
Q11. A solid cylinder of mass M and radius R is rolling without slipping with a velocity v on a flat horizontal surface. The total kinetic energy of the rolling cylinder is:
सही उत्तर: B) 3/4 M v²
Correct Answer: B) 3/4 M v²
स्पष्टीकरण:
लोटनिक गति (rolling motion) में कुल गतिज ऊर्जा = स्थानांतरीय (translational) KE + घूर्णी (rotational) KE:
K_total = 1/2 M v² + 1/2 I ω²
– ठोस बेलन के लिए: I = 1/2 M R² तथा बिना फिसले लुढ़कने की शर्त से ω = v / R
– K_total = 1/2 M v² + 1/2 (1/2 M R²) × (v/R)² = 1/2 M v² + 1/4 M v² = 3/4 M v²।
लोटनिक गति (rolling motion) में कुल गतिज ऊर्जा = स्थानांतरीय (translational) KE + घूर्णी (rotational) KE:
K_total = 1/2 M v² + 1/2 I ω²
– ठोस बेलन के लिए: I = 1/2 M R² तथा बिना फिसले लुढ़कने की शर्त से ω = v / R
– K_total = 1/2 M v² + 1/2 (1/2 M R²) × (v/R)² = 1/2 M v² + 1/4 M v² = 3/4 M v²।
Explanation:
The total kinetic energy of a rolling body is the sum of translational and rotational kinetic energy:
K_total = 1/2 M v² + 1/2 I ω².
– For a solid cylinder: I = 1/2 M R², and for pure rolling, ω = v/R.
– K_total = 1/2 M v² + 1/2 (1/2 M R²) (v/R)² = 1/2 M v² + 1/4 M v² = 3/4 M v².
The total kinetic energy of a rolling body is the sum of translational and rotational kinetic energy:
K_total = 1/2 M v² + 1/2 I ω².
– For a solid cylinder: I = 1/2 M R², and for pure rolling, ω = v/R.
– K_total = 1/2 M v² + 1/2 (1/2 M R²) (v/R)² = 1/2 M v² + 1/4 M v² = 3/4 M v².
प्रश्न 12. एक ठोस गोला (solid sphere) झुकाव कोण θ वाले एक खुरदरे नत समतल (rough inclined plane) पर बिना फिसले नीचे की ओर लुढ़क रहा है। गोले का त्वरण (acceleration) कितना होगा?
Q12. A solid sphere rolls down a rough inclined plane of inclination angle θ without slipping. The acceleration of the sphere is:
सही उत्तर: B) 5/7 g sinθ
Correct Answer: B) 5/7 g sinθ
स्पष्टीकरण:
नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड के त्वरण का सामान्य सूत्र:
a = (g sinθ) / (1 + I / M R²)
– ठोस गोले के लिए: I = 2/5 M R² ⇒ I / M R² = 2/5
– मान रखने पर: a = (g sinθ) / (1 + 2/5) = (g sinθ) / (7/5) = 5/7 g sinθ।
नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड के त्वरण का सामान्य सूत्र:
a = (g sinθ) / (1 + I / M R²)
– ठोस गोले के लिए: I = 2/5 M R² ⇒ I / M R² = 2/5
– मान रखने पर: a = (g sinθ) / (1 + 2/5) = (g sinθ) / (7/5) = 5/7 g sinθ।
Explanation:
The acceleration of a body rolling down an inclined plane without slipping is:
a = (g sinθ) / (1 + I / M R²).
– For a solid sphere: I = 2/5 M R² ⇒ I / M R² = 2/5.
– Substituting the values:
– a = (g sinθ) / (1 + 2/5) = 5/7 g sinθ.
The acceleration of a body rolling down an inclined plane without slipping is:
a = (g sinθ) / (1 + I / M R²).
– For a solid sphere: I = 2/5 M R² ⇒ I / M R² = 2/5.
– Substituting the values:
– a = (g sinθ) / (1 + 2/5) = 5/7 g sinθ.
प्रश्न 13. एक पहिये पर 20 N m का नियत बल आघूर्ण (torque) लगाया जाता है। यदि पहिया 5 चक्कर (revolutions) घूम जाता है, तो किया गया कुल कार्य कितना होगा?
Q13. A constant torque of 20 N m is applied to a flywheel. If the wheel rotates through 5 revolutions, the total work done is:
सही उत्तर: C) 200π J
Correct Answer: C) 200π J
स्पष्टीकरण:
घूर्णी गति में किया गया कार्य: W = τ × θ
– यहाँ कोणीय विस्थापन θ रेडियन में होना चाहिए।
– 1 चक्कर = 2π rad ⇒ 5 चक्कर = 5 × 2π = 10π rad
– कार्य: W = 20 N m × 10π rad = 200π J।
घूर्णी गति में किया गया कार्य: W = τ × θ
– यहाँ कोणीय विस्थापन θ रेडियन में होना चाहिए।
– 1 चक्कर = 2π rad ⇒ 5 चक्कर = 5 × 2π = 10π rad
– कार्य: W = 20 N m × 10π rad = 200π J।
Explanation:
Work done in rotational motion is given by: W = τ × θ (where θ is in radians).
– 1 revolution = 2π radians ⇒ 5 revolutions = 5 × 2π = 10π rad.
– Work done: W = 20 × 10π = 200π J.
Work done in rotational motion is given by: W = τ × θ (where θ is in radians).
– 1 revolution = 2π radians ⇒ 5 revolutions = 5 × 2π = 10π rad.
– Work done: W = 20 × 10π = 200π J.
प्रश्न 14. कोणीय संवेग (L⃗) और बल आघूर्ण (τ⃗) के बीच सही समय-दर संबंध क्या है?
Q14. The exact relation between torque (τ⃗) and angular momentum (L⃗) is:
सही उत्तर: A) τ⃗ = dL⃗ / dt
Correct Answer: A) τ⃗ = dL⃗ / dt
स्पष्टीकरण:
न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी रूप कहता है कि **कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर बल आघूर्ण के बराबर होती है**:
τ⃗ = dL⃗ / dt। यह रैखिक गति में F⃗ = dp⃗ / dt के सर्वथा समतुल्य है।
न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी रूप कहता है कि **कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर बल आघूर्ण के बराबर होती है**:
τ⃗ = dL⃗ / dt। यह रैखिक गति में F⃗ = dp⃗ / dt के सर्वथा समतुल्य है।
Explanation:
The rotational analogue of Newton’s second law states that the rate of change of angular momentum is equal to the net external torque:
τ⃗ = dL⃗ / dt. (This corresponds to F⃗ = dp⃗ / dt in translational mechanics).
The rotational analogue of Newton’s second law states that the rate of change of angular momentum is equal to the net external torque:
τ⃗ = dL⃗ / dt. (This corresponds to F⃗ = dp⃗ / dt in translational mechanics).
प्रश्न 15. झुकाव कोण θ वाले खुरदरे नत समतल पर एक ठोस बेलन (solid cylinder) के बिना फिसले शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) करने के लिए न्यूनतम स्थैतिक घर्षण गुणांक (μ_s) कितना होना चाहिए?
Q15. For a solid cylinder to roll without slipping down an inclined plane of inclination θ, the minimum coefficient of static friction (μ_s) must be:
सही उत्तर: A) 1/3 tanθ
Correct Answer: A) 1/3 tanθ
स्पष्टीकरण:
बिना फिसले लुढ़कने के लिए आवश्यक घर्षण बल: f ≤ μ_s N
– सामान्य गणना से न्यूनतम घर्षण गुणांक का सूत्र है: μ_min = (tanθ) / (1 + M R² / I)
– ठोस बेलन के लिए: I = 1/2 M R² ⇒ M R² / I = 2
– मान रखने पर: μ_min = (tanθ) / (1 + 2) = 1/3 tanθ।
(यदि μ_s इस मान से कम होगा, तो बेलन फिसलने लगेगा)।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए आवश्यक घर्षण बल: f ≤ μ_s N
– सामान्य गणना से न्यूनतम घर्षण गुणांक का सूत्र है: μ_min = (tanθ) / (1 + M R² / I)
– ठोस बेलन के लिए: I = 1/2 M R² ⇒ M R² / I = 2
– मान रखने पर: μ_min = (tanθ) / (1 + 2) = 1/3 tanθ।
(यदि μ_s इस मान से कम होगा, तो बेलन फिसलने लगेगा)।
Explanation:
For pure rolling to occur, the friction force must not exceed limiting static friction (f ≤ μ_s N).
– The minimum coefficient required is given by: μ_min = (tanθ) / (1 + M R² / I).
– For a solid cylinder: I = 1/2 M R² ⇒ M R² / I = 2.
– Substituting this value: μ_min = (tanθ) / (1 + 2) = 1/3 tanθ.
For pure rolling to occur, the friction force must not exceed limiting static friction (f ≤ μ_s N).
– The minimum coefficient required is given by: μ_min = (tanθ) / (1 + M R² / I).
– For a solid cylinder: I = 1/2 M R² ⇒ M R² / I = 2.
– Substituting this value: μ_min = (tanθ) / (1 + 2) = 1/3 tanθ.
प्रश्न 16. समान द्रव्यमान और समान त्रिज्या वाले एक ठोस गोले (I_solid) और एक खोखले गोले (I_hollow) के व्यास के परितः जड़त्व आघूर्णों की तुलना का सही संबंध क्या होगा?
Q16. For a solid sphere (I_solid) and a hollow sphere (I_hollow) of the same mass and radius, the correct comparison of their moments of inertia about their diameters is:
सही उत्तर: B) I_solid < I_hollow
Correct Answer: B) I_solid < I_hollow
स्पष्टीकरण:
– ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण: I_solid = 2/5 M R² = 0.4 M R²
– खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण: I_hollow = 2/3 M R² ≈ 0.67 M R²
– खोखले गोले का अधिकांश द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिकतम दूरी (R) पर स्थित होता है, इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है। अतः **I_solid < I_hollow**।
– ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण: I_solid = 2/5 M R² = 0.4 M R²
– खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण: I_hollow = 2/3 M R² ≈ 0.67 M R²
– खोखले गोले का अधिकांश द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिकतम दूरी (R) पर स्थित होता है, इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है। अतः **I_solid < I_hollow**।
Explanation:
– Moment of inertia of a solid sphere: I_solid = 2/5 M R² = 0.4 M R².
– Moment of inertia of a hollow sphere: I_hollow = 2/3 M R² ≈ 0.67 M R².
– Since the mass of the hollow sphere is distributed farther away from the axis of rotation (all concentrated at the shell surface of radius R), its moment of inertia is larger: **I_solid < I_hollow**.
– Moment of inertia of a solid sphere: I_solid = 2/5 M R² = 0.4 M R².
– Moment of inertia of a hollow sphere: I_hollow = 2/3 M R² ≈ 0.67 M R².
– Since the mass of the hollow sphere is distributed farther away from the axis of rotation (all concentrated at the shell surface of radius R), its moment of inertia is larger: **I_solid < I_hollow**.
प्रश्न 17. समतल सड़क पर बिना फिसले लुढ़कते (pure rolling) हुए एक पहिये के **सतह के संपर्क बिंदु (point of contact)** का तात्क्षणिक वेग (instantaneous velocity) कितना होता है?
Q17. For a wheel rolling without slipping on a flat horizontal road, the instantaneous velocity of the **point of contact** of the wheel with the ground is:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण:
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में संपर्क बिंदु पर फिसलन नहीं होती।
– संपर्क बिंदु का नेट वेग दो गतियों का परिणाम होता है: आगे की ओर स्थानांतरीय वेग (v) और घूर्णन के कारण पीछे की ओर रेखीय वेग (ωR)।
– चूंकि v = ωR, अतः संपर्क बिंदु का नेट वेग: v_net = v – ωR = v – v = 0।
– इस बिंदु को तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष (Instantaneous Axis of Rotation) माना जाता है।
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में संपर्क बिंदु पर फिसलन नहीं होती।
– संपर्क बिंदु का नेट वेग दो गतियों का परिणाम होता है: आगे की ओर स्थानांतरीय वेग (v) और घूर्णन के कारण पीछे की ओर रेखीय वेग (ωR)।
– चूंकि v = ωR, अतः संपर्क बिंदु का नेट वेग: v_net = v – ωR = v – v = 0।
– इस बिंदु को तात्क्षणिक घूर्णन अक्ष (Instantaneous Axis of Rotation) माना जाता है।
Explanation:
In pure rolling (rolling without slipping), the contact point does not slide relative to the surface.
– The net velocity of this point is the sum of translational velocity forward (v) and tangential rotational velocity backward (ωR).
– Since v = ωR for pure rolling, the net velocity of the contact point is: v_net = v – ωR = 0.
In pure rolling (rolling without slipping), the contact point does not slide relative to the surface.
– The net velocity of this point is the sum of translational velocity forward (v) and tangential rotational velocity backward (ωR).
– Since v = ωR for pure rolling, the net velocity of the contact point is: v_net = v – ωR = 0.
प्रश्न 18. a भुजा और m द्रव्यमान का एक भारी वर्गाकार घन (cube) एक खुरदरी सतह पर रखा है। यदि इसे ऊपरी किनारे पर क्षैतिज रूप से धकेला जाए, तो फिसलने से पहले इसे पलटने (topple) के लिए आवश्यक न्यूनतम बल F कितना होगा?
Q18. A uniform cube of side a and mass m rests on a rough horizontal table. If it is pushed horizontally at the top edge, the minimum force F required to topple the cube before sliding is:
सही उत्तर: B) mg / 2
Correct Answer: B) mg / 2
स्पष्टीकरण:
घन को पलटने (toppling) के लिए उसके निचले किनारे के कोने (pivot point) के परितः बलों का आघूर्ण संतुलित होना चाहिए:
– पलटने वाला बल आघूर्ण (due to F at height a): τ_topple = F × a
– रोकने वाला गुरुत्वीय बल आघूर्ण (due to mg acting at center of gravity, distance a/2 from edge): τ_restore = mg × (a/2)
– पलटने की सीमांत स्थिति में: F × a = mg × (a/2) ⇒ F = mg / 2।
घन को पलटने (toppling) के लिए उसके निचले किनारे के कोने (pivot point) के परितः बलों का आघूर्ण संतुलित होना चाहिए:
– पलटने वाला बल आघूर्ण (due to F at height a): τ_topple = F × a
– रोकने वाला गुरुत्वीय बल आघूर्ण (due to mg acting at center of gravity, distance a/2 from edge): τ_restore = mg × (a/2)
– पलटने की सीमांत स्थिति में: F × a = mg × (a/2) ⇒ F = mg / 2।
Explanation:
To topple the cube, the torque about the bottom corner (pivot point) must be balanced:
– Toppling torque due to applied force F at height a: τ_topple = F × a.
– Restoring torque due to weight mg acting through the centre of mass (distance a/2 from the pivot edge): τ_restore = mg × (a/2).
– On the verge of toppling: F × a = mg × (a/2) ⇒ F = mg / 2.
To topple the cube, the torque about the bottom corner (pivot point) must be balanced:
– Toppling torque due to applied force F at height a: τ_topple = F × a.
– Restoring torque due to weight mg acting through the centre of mass (distance a/2 from the pivot edge): τ_restore = mg × (a/2).
– On the verge of toppling: F × a = mg × (a/2) ⇒ F = mg / 2.
प्रश्न 19. एक कण पर बल F⃗ = î + 2ĵ – k̂ N कार्य कर रहा है और उसका मूल बिंदु से स्थिति सदिश (position vector) r⃗ = 2î – 3ĵ + k̂ m है। कण पर आरोपित बल आघूर्ण (torque) सदिश क्या होगा?
Q19. A force F⃗ = î + 2ĵ – k̂ N acts on a particle whose position vector with respect to the origin is r⃗ = 2î – 3ĵ + k̂ m. The torque vector about the origin is:
सही उत्तर: A) î + 3ĵ + 7k̂
Correct Answer: A) î + 3ĵ + 7k̂
स्पष्टीकरण:
बल आघूर्ण का सदिश सूत्र: τ⃗ = r⃗ × F⃗
सारणिक विधि (Determinant method) द्वारा सदिश गुणनफल:
τ⃗ = | î ĵ k̂ |
| 2 -3 1 |
| 1 2 -1 |
τ⃗ = î [ (-3)(-1) – (1)(2) ] – ĵ [ (2)(-1) – (1)(1) ] + k̂ [ (2)(2) – (-3)(1) ]
τ⃗ = î [ 3 – 2 ] – ĵ [ -2 – 1 ] + k̂ [ 4 + 3 ] = î + 3ĵ + 7k̂।
बल आघूर्ण का सदिश सूत्र: τ⃗ = r⃗ × F⃗
सारणिक विधि (Determinant method) द्वारा सदिश गुणनफल:
τ⃗ = | î ĵ k̂ |
| 2 -3 1 |
| 1 2 -1 |
τ⃗ = î [ (-3)(-1) – (1)(2) ] – ĵ [ (2)(-1) – (1)(1) ] + k̂ [ (2)(2) – (-3)(1) ]
τ⃗ = î [ 3 – 2 ] – ĵ [ -2 – 1 ] + k̂ [ 4 + 3 ] = î + 3ĵ + 7k̂।
Explanation:
Torque is the cross product of position and force vectors: τ⃗ = r⃗ × F⃗.
Using the matrix determinant method:
τ⃗ = î [ (-3)(-1) – (1)(2) ] – ĵ [ (2)(-1) – (1)(1) ] + k̂ [ (2)(2) – (-3)(1) ].
τ⃗ = î (1) – ĵ (-3) + k̂ (7) = î + 3ĵ + 7k̂.
Torque is the cross product of position and force vectors: τ⃗ = r⃗ × F⃗.
Using the matrix determinant method:
τ⃗ = î [ (-3)(-1) – (1)(2) ] – ĵ [ (2)(-1) – (1)(1) ] + k̂ [ (2)(2) – (-3)(1) ].
τ⃗ = î (1) – ĵ (-3) + k̂ (7) = î + 3ĵ + 7k̂.
प्रश्न 20. कोणीय वेग (angular velocity, ω⃗) किस प्रकार का सदिश (vector) है?
Q20. The angular velocity vector (ω⃗) is:
सही उत्तर: B) अक्षीय सदिश (Axial vector)
Correct Answer: B) Axial vector
स्पष्टीकरण:
घूर्णी गतिकी की कई राशियां (जैसे कोणीय वेग, कोणीय त्वरण, बल आघूर्ण और कोणीय संवेग) घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्दिष्ट होती हैं।
– इन सदिशों को **अक्षीय सदिश (Axial vectors)** या छद्म सदिश (pseudovectors) कहा जाता है। इनकी दिशा दाएं हाथ के पेंच नियम (Right Hand Screw Rule) द्वारा निर्धारित की जाती है।
घूर्णी गतिकी की कई राशियां (जैसे कोणीय वेग, कोणीय त्वरण, बल आघूर्ण और कोणीय संवेग) घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्दिष्ट होती हैं।
– इन सदिशों को **अक्षीय सदिश (Axial vectors)** या छद्म सदिश (pseudovectors) कहा जाता है। इनकी दिशा दाएं हाथ के पेंच नियम (Right Hand Screw Rule) द्वारा निर्धारित की जाती है।
Explanation:
Rotational parameters like angular velocity, angular acceleration, torque, and angular momentum point along the axis of rotation rather than along the plane of motion.
– These are called **axial vectors** (or pseudovectors), and their direction is defined by the Right Hand Grip/Screw Rule.
Rotational parameters like angular velocity, angular acceleration, torque, and angular momentum point along the axis of rotation rather than along the plane of motion.
– These are called **axial vectors** (or pseudovectors), and their direction is defined by the Right Hand Grip/Screw Rule.
प्रश्न 21. M द्रव्यमान और R त्रिज्या के एक ठोस गोले का उसकी परिधि की स्पर्श रेखा (tangent axis of a solid sphere) के परितः घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) क्या होगी?
Q21. The radius of gyration of a solid sphere of mass M and radius R about a tangent is:
सही उत्तर: B) √(7/5) R
Correct Answer: B) √(7/5) R
स्पष्टीकरण:
– समांतर अक्षों के प्रमेय से स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_tangent = I_cm + M R² = 2/5 M R² + M R² = 7/5 M R²
– घूर्णन त्रिज्या का सूत्र: I = M k² ⇒ 7/5 M R² = M k²
– k² = 7/5 R² ⇒ k = √(7/5) R।
– समांतर अक्षों के प्रमेय से स्पर्श रेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण: I_tangent = I_cm + M R² = 2/5 M R² + M R² = 7/5 M R²
– घूर्णन त्रिज्या का सूत्र: I = M k² ⇒ 7/5 M R² = M k²
– k² = 7/5 R² ⇒ k = √(7/5) R।
Explanation:
– Using the Theorem of Parallel Axes, the moment of inertia of a solid sphere about a tangent is: I = I_cm + M R² = 2/5 M R² + M R² = 7/5 M R².
– Radius of gyration: I = M k² ⇒ 7/5 M R² = M k².
– k = √(7/5) R.
– Using the Theorem of Parallel Axes, the moment of inertia of a solid sphere about a tangent is: I = I_cm + M R² = 2/5 M R² + M R² = 7/5 M R².
– Radius of gyration: I = M k² ⇒ 7/5 M R² = M k².
– k = √(7/5) R.
प्रश्न 22. M द्रव्यमान और L लंबाई के एक पतले एकसमान तार को मोड़कर एक वलय (circular ring) बनाया गया है। इस वलय का इसके ज्यामितीय अक्ष (axis of ring) के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?
Q22. A uniform thin rod of mass M and length L is bent into a circular ring. The moment of inertia of this ring about an axis passing through its centre and perpendicular to its plane is:
सही उत्तर: B) M L² / (4π²)
Correct Answer: B) M L² / (4π²)
स्पष्टीकरण:
– तार की लंबाई = वलय की परिधि: L = 2πR ⇒ R = L / 2π
– वलय का ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = M R²
– त्रिज्या का मान रखने पर: I = M × (L / 2π)² = M L² / (4π²)।
– तार की लंबाई = वलय की परिधि: L = 2πR ⇒ R = L / 2π
– वलय का ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = M R²
– त्रिज्या का मान रखने पर: I = M × (L / 2π)² = M L² / (4π²)।
Explanation:
– The length of the rod equals the circumference of the newly formed circular ring: L = 2πR ⇒ R = L / 2π.
– The moment of inertia of a circular ring about its natural axis is: I = M R².
– Substituting the radius: I = M (L / 2π)² = M L² / (4π²).
– The length of the rod equals the circumference of the newly formed circular ring: L = 2πR ⇒ R = L / 2π.
– The moment of inertia of a circular ring about its natural axis is: I = M R².
– Substituting the radius: I = M (L / 2π)² = M L² / (4π²).
प्रश्न 23. एक पहिया प्रति मिनट 1200 चक्कर (1200 rpm) की दर से घूम रहा है। पहिये का कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में कितना होगा?
Q23. A flywheel is rotating at a speed of 1200 rpm (revolutions per minute). The angular velocity of the wheel in rad/s is:
सही उत्तर: B) 40π rad/s
Correct Answer: B) 40π rad/s
स्पष्टीकरण:
– घूर्णन की आवृत्ति: N = 1200 rpm = 1200 / 60 rps = 20 चक्कर प्रति सेकंड
– कोणीय वेग का सूत्र: ω = 2πN
– ω = 2π × 20 = 40π rad/s।
– घूर्णन की आवृत्ति: N = 1200 rpm = 1200 / 60 rps = 20 चक्कर प्रति सेकंड
– कोणीय वेग का सूत्र: ω = 2πN
– ω = 2π × 20 = 40π rad/s।
Explanation:
– Frequency of rotation: N = 1200 rpm = 1200 / 60 rps = 20 rev/second.
– Angular velocity formula: ω = 2πN.
– ω = 2π × 20 = 40π rad/s.
– Frequency of rotation: N = 1200 rpm = 1200 / 60 rps = 20 rev/second.
– Angular velocity formula: ω = 2πN.
– ω = 2π × 20 = 40π rad/s.
प्रश्न 24. एक घूर्णन कर रहे पहिये पर बल आघूर्ण τ = 5 N m लगाया जाता है। यदि कोणीय वेग ω = 10 rad/s है, तो घूर्णी शक्ति (rotational power) कितनी होगी?
Q24. A torque of τ = 5 N m is applied to a rotating wheel. If the angular velocity of the wheel is ω = 10 rad/s, the rotational power delivered is:
सही उत्तर: A) 50 W
Correct Answer: A) 50 W
स्पष्टीकरण:
घूर्णी गति में प्रेषित शक्ति का सूत्र (रैखिक शक्ति P = Fv का घूर्णी समतुल्य) है:
Power = τ × ω
– मान रखने पर: Power = 5 N m × 10 rad/s = 50 W।
घूर्णी गति में प्रेषित शक्ति का सूत्र (रैखिक शक्ति P = Fv का घूर्णी समतुल्य) है:
Power = τ × ω
– मान रखने पर: Power = 5 N m × 10 rad/s = 50 W।
Explanation:
Rotational power delivered is the product of torque and angular velocity (analogous to P = Fv):
Power = τ × ω.
– Substituting the values:
– Power = 5 × 10 = 50 W.
Rotational power delivered is the product of torque and angular velocity (analogous to P = Fv):
Power = τ × ω.
– Substituting the values:
– Power = 5 × 10 = 50 W.
प्रश्न 25. R त्रिज्या वाले एकसमान अर्धवृत्ताकार वलय (uniform semi-circular ring) का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र से कितनी दूरी पर स्थित होता है?
Q25. The distance of the centre of mass of a uniform semi-circular ring of radius R from its geometric centre is:
सही उत्तर: A) 2R / π
Correct Answer: A) 2R / π
स्पष्टीकरण:
एकसमान पतली अर्धवृत्ताकार वलय (semi-circular thin ring) का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र से ऊर्ध्वाधर सममिति अक्ष पर निम्न ऊंचाई पर होता है:
– y_cm = 2R / π।
– (यह ध्यान रखें कि चकती/disc के लिए यह दूरी 4R / 3π होती है, जो चकती में घने द्रव्यमान वितरण के कारण केंद्र के कुछ करीब होती है)।
एकसमान पतली अर्धवृत्ताकार वलय (semi-circular thin ring) का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र से ऊर्ध्वाधर सममिति अक्ष पर निम्न ऊंचाई पर होता है:
– y_cm = 2R / π।
– (यह ध्यान रखें कि चकती/disc के लिए यह दूरी 4R / 3π होती है, जो चकती में घने द्रव्यमान वितरण के कारण केंद्र के कुछ करीब होती है)।
Explanation:
The position of the centre of mass of a uniform semi-circular thin ring from its center is calculated as:
– y_cm = 2R / π.
– (This is higher than that of a semi-circular disc, which is 4R / 3π, because the ring’s mass is distributed fully along the outer boundary).
The position of the centre of mass of a uniform semi-circular thin ring from its center is calculated as:
– y_cm = 2R / π.
– (This is higher than that of a semi-circular disc, which is 4R / 3π, because the ring’s mass is distributed fully along the outer boundary).