JEE 2026 Physics – Gravitation (Set 1)
प्रश्न 1. पृथ्वी की सतह से किस ऊंचाई h पर गुरुत्वीय त्वरण (acceleration due to gravity) का मान पृथ्वी की सतह के मान का एक-चौथाई (g / 4) रह जाएगा? (पृथ्वी की त्रिज्या R है)
Q1. At what height h above the Earth’s surface will the acceleration due to gravity become one-fourth (g / 4) of its value on the Earth’s surface? (Radius of the Earth is R)
  • A) h = R A) h = R
  • B) h = 2R B) h = 2R
  • C) h = √2 R C) h = √2 R
  • D) h = R / 2 D) h = R / 2
सही उत्तर: A) h = R Correct Answer: A) h = R
स्पष्टीकरण:
ऊंचाई के साथ गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: g’ = g × [ R / (R + h) ]²
प्रश्नानुसार, g’ = g / 4:
g / 4 = g × [ R / (R + h) ]² ⇒ 1 / 4 = [ R / (R + h) ]²
वर्गमूल लेने पर:
1 / 2 = R / (R + h) ⇒ R + h = 2R ⇒ h = R।
Explanation:
The variation of acceleration due to gravity with altitude is given by: g’ = g [ R / (R + h) ]².
Given g’ = g / 4:
g / 4 = g [ R / (R + h) ]² ⇒ 1 / 2 = R / (R + h).
Solving for h:
R + h = 2R ⇒ h = R.
प्रश्न 2. पृथ्वी की सतह से कितनी गहराई d पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह के मान का एक-चौथाई (g / 4) रह जाएगा? (पृथ्वी की त्रिज्या R है)
Q2. At what depth d below the Earth’s surface will the acceleration due to gravity become one-fourth (g / 4) of its value on the surface? (Radius of the Earth is R)
  • A) d = R / 4 A) d = R / 4
  • B) d = 3R / 4 B) d = 3R / 4
  • C) d = R / 2 C) d = R / 2
  • D) d = R / 3 D) d = R / 3
सही उत्तर: B) d = 3R / 4 Correct Answer: B) d = 3R / 4
स्पष्टीकरण:
गहराई के साथ गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: g’ = g × (1 – d / R)
प्रश्नानुसार, g’ = g / 4:
g / 4 = g × (1 – d / R) ⇒ 1 / 4 = 1 – d / R
समीकरण को हल करने पर:
d / R = 1 – 1 / 4 ⇒ d / R = 3 / 4 ⇒ d = 3R / 4।
Explanation:
The variation of acceleration due to gravity with depth is given by: g’ = g (1 – d / R).
Given g’ = g / 4:
g / 4 = g (1 – d / R) ⇒ 1 / 4 = 1 – d / R.
Solving for d:
d / R = 3 / 4 ⇒ d = 3R / 4.
प्रश्न 3. यदि किसी काल्पनिक ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का 4 गुना और उसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की 2 गुनी है, तो उस ग्रह पर पलायन वेग (escape velocity) पृथ्वी के पलायन वेग (v_e) का कितना गुना होगा?
Q3. If a hypothetical planet has a mass 4 times that of the Earth and its radius is 2 times the Earth’s radius, the escape velocity from this planet is: (where v_e is Earth’s escape velocity)
  • A) √2 v_e A) √2 v_e
  • B) 2 v_e B) 2 v_e
  • C) v_e / √2 C) v_e / √2
  • D) 4 v_e D) 4 v_e
सही उत्तर: A) √2 v_e Correct Answer: A) √2 v_e
स्पष्टीकरण:
पलायन वेग का सामान्य सूत्र: v_e = √(2GM / R)
– नए ग्रह के लिए: M’ = 4M और R’ = 2R
– नया पलायन वेग: v_e’ = √(2GM’ / R’) = √[ 2G(4M) / 2R ] = √2 × √(2GM / R) = √2 v_e।
Explanation:
The formula for escape velocity is: v_e = √(2GM / R).
– For the new planet: M’ = 4M and R’ = 2R.
– New escape velocity: v_e’ = √(2G(4M) / 2R) = √2 × √(2GM / R) = √2 v_e.
प्रश्न 4. पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा कर रहे उपग्रह के कक्षीय वेग (v_o) और सतह से पलायन वेग (v_e) के बीच सही संबंध क्या है?
Q4. The relationship between the orbital velocity (v_o) of a satellite orbiting close to the Earth’s surface and the escape velocity (v_e) from the Earth is:
  • A) v_e = v_o A) v_e = v_o
  • B) v_e = √2 v_o B) v_e = √2 v_o
  • C) v_o = √2 v_e C) v_o = √2 v_e
  • D) v_e = 2 v_o D) v_e = 2 v_o
सही उत्तर: B) v_e = √2 v_o Correct Answer: B) v_e = √2 v_o
स्पष्टीकरण:
– पृथ्वी के निकट कक्षीय वेग: v_o = √(gR) = √(GM / R)
– पलायन वेग: v_e = √(2gR) = √(2GM / R)
– दोनों संबंधों की तुलना करने पर: v_e = √2 × √(gR) = √2 v_o।
(यदि उपग्रह का वेग √2 गुना बढ़ा दिया जाए, तो वह अपनी कक्षा छोड़कर पलायन कर जाएगा)।
Explanation:
– Orbital velocity close to the surface: v_o = √(gR).
– Escape velocity from the surface: v_e = √(2gR).
– Comparing the two: v_e = √2 v_o.
(An increase in speed of a close satellite by a factor of √2 will cause it to escape Earth’s gravity).
प्रश्न 5. R त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा कर रहे एक उपग्रह का आवर्तकाल (time period) T है। यदि उपग्रह को 4R त्रिज्या की कक्षा में स्थापित कर दिया जाए, तो उसका नया आवर्तकाल कितना हो जाएगा?
Q5. A satellite in a circular orbit of radius R has a time period T. If the satellite is placed in an orbit of radius 4R, its new time period will be:
  • A) 2 T A) 2 T
  • B) 4 T B) 4 T
  • C) 8 T C) 8 T
  • D) 16 T D) 16 T
सही उत्तर: C) 8 T Correct Answer: C) 8 T
स्पष्टीकरण:
केपलर के तृतीय नियम (Kepler’s Third Law) के अनुसार, आवर्तकाल का वर्ग त्रिज्या के घन के अनुक्रमानुपाती होता है: T² ∝ R³ ⇒ T ∝ R^(3/2)
– नई त्रिज्या R’ = 4R रखने पर:
– T’ ∝ (4R)^(3/2) = (4)^(3/2) × R^(3/2) = 8 T।
Explanation:
By Kepler’s Third Law, the square of the time period is proportional to the cube of the orbital radius: T² ∝ R³ ⇒ T ∝ R^(3/2).
– For new radius R’ = 4R:
– T’ ∝ (4)^(3/2) × T = 8 T.
प्रश्न 6. केपलर का द्वितीय नियम (क्षेत्रफलीय चाल का नियम / Law of Areas) निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि के संरक्षण नियम पर आधारित है?
Q6. Kepler’s Second Law (Law of Areas) in planetary motion is a direct consequence of the conservation of:
  • A) रेखीय संवेग (Linear Momentum) A) Linear Momentum
  • B) यांत्रिक ऊर्जा (Mechanical Energy) B) Mechanical Energy
  • C) कोणीय संवेग (Angular Momentum) C) Angular Momentum
  • D) द्रव्यमान (Mass) D) Mass
सही उत्तर: C) कोणीय संवेग (Angular Momentum) Correct Answer: C) Angular Momentum
स्पष्टीकरण:
ग्रहों पर सूर्य द्वारा लगाया जाने वाला गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल (central force) है, जो हमेशा सूर्य की ओर निर्देशित होता है।
– केंद्रीय बल होने के कारण सूर्य के परितः बल आघूर्ण सदैव शून्य होता है (τ⃗ = 0)।
– बल आघूर्ण शून्य होने के कारण ग्रह का **कोणीय संवेग (L⃗) संरक्षित रहता है**।
– कोणीय संवेग संरक्षण से ही क्षेत्रफलीय चाल नियत रहती है (dA / dt = L / 2m = नियतांक)।
Explanation:
The gravitational force acting on a planet is a central force directed towards the Sun.
– Consequently, the net external torque about the Sun is zero (τ⃗ = 0).
– Zero torque implies that the **angular momentum (L⃗) is conserved**.
– Since dA / dt = L / (2m) = constant, the conservation of angular momentum leads directly to the Law of Areas.
प्रश्न 7. m द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से h = R ऊंचाई तक उठाया जाता है। इस प्रक्रिया में उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कितनी वृद्धि (change in potential energy) होगी?
Q7. A body of mass m is lifted from the Earth’s surface to a height h = R (where R is Earth’s radius). The increase in its gravitational potential energy is:
  • A) mgR A) mgR
  • B) 1/2 mgR B) 1/2 mgR
  • C) 2 mgR C) 2 mgR
  • D) 1/4 mgR D) 1/4 mgR
सही उत्तर: B) 1/2 mgR Correct Answer: B) 1/2 mgR
स्पष्टीकरण:
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का सामान्य सूत्र है: ΔU = mgh / (1 + h / R)
– यहाँ h = R रखने पर:
– ΔU = mg(R) / (1 + R / R) = mgR / (1 + 1) = 1/2 mgR।
(यह ध्यान दें कि यहाँ साधारण सूत्र mgh = mgR सीधे लागू नहीं किया जा सकता क्योंकि h बहुत बड़ा है)।
Explanation:
The general formula for the change in gravitational potential energy when lifting a mass is: ΔU = mgh / (1 + h/R).
– Substituting h = R:
– ΔU = mgR / (1 + R/R) = 1/2 mgR.
(The approximation mgh cannot be used directly since the height is not much smaller than the Earth’s radius).
प्रश्न 8. M द्रव्यमान और R त्रिज्या वाले एक एकसमान पतले गोलीय कोश (uniform thin spherical shell) के **भीतर** किसी बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता (gravitational field intensity) का मान कितना होता है?
Q8. The gravitational field intensity inside a uniform thin spherical shell of mass M and radius R at any point is:
  • A) GM / R² A) GM / R²
  • B) शून्य (Zero) B) Zero
  • C) केंद्र से दूरी के अनुसार बदलता है C) Varies with distance from the centre
  • D) -GM / R D) -GM / R
सही उत्तर: B) शून्य (Zero) Correct Answer: B) Zero
स्पष्टीकरण:
एकसमान पतले गोलीय कोश (spherical shell) के अंदर स्थित किसी भी बिंदु के लिए परिबद्ध नेट द्रव्यमान शून्य होता है।
– गॉस के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार, कोश के भीतर किसी भी बिंदु पर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता हमेशा **शून्य** होती है।
Explanation:
Inside a uniform thin hollow spherical shell, the net enclosed mass is zero.
– Applying Gauss’s Law for gravitation, the gravitational field intensity E inside the shell is always **zero** at all points.
प्रश्न 9. उपरोक्त गोलीय कोश (द्रव्यमान M, त्रिज्या R) के **भीतर** किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव (gravitational potential, V) का मान कितना होता है?
Q9. For the same uniform thin spherical shell of mass M and radius R, the gravitational potential (V) at any point inside the shell is:
  • A) शून्य (Zero) A) Zero
  • B) -GM / R (नियत) B) -GM / R (constant)
  • C) -GM / r (परिवर्ती) C) -GM / r (variable)
  • D) अनंत D) Infinite
सही उत्तर: B) -GM / R (नियत) Correct Answer: B) -GM / R (constant)
स्पष्टीकरण:
चूंकि कोश के भीतर गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है (E = 0), और हम जानते हैं कि E = -dV / dr:
– dV / dr = 0 ⇒ V = नियतांक (constant)।
– इसका अर्थ है कि कोश के भीतर प्रत्येक बिंदु पर गुरुत्वीय विभव वही रहता है जो उसकी सतह पर होता है, अर्थात् **-GM / R**।
Explanation:
Since the gravitational field inside the shell is zero (E = 0), and we have E = -dV/dr:
– dV/dr = 0 ⇒ V = constant.
– Thus, the gravitational potential inside the shell is uniform and equal to its value on the surface: V = -GM / R.
प्रश्न 10. m द्रव्यमान का एक उपग्रह पृथ्वी (द्रव्यमान M) के परितः r त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में चक्कर लगा रहा है। उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा (total mechanical energy) कितनी होगी?
Q10. A satellite of mass m is orbiting the Earth of mass M in a circular orbit of radius r. The total mechanical energy of the satellite is:
  • A) -GMm / r A) -GMm / r
  • B) -GMm / (2r) B) -GMm / (2r)
  • C) +GMm / (2r) C) +GMm / (2r)
  • D) -2GMm / r D) -2GMm / r
सही उत्तर: B) -GMm / (2r) Correct Answer: B) -GMm / (2r)
स्पष्टीकरण:
– उपग्रह की गतिज ऊर्जा (KE) = +GMm / (2r)
– उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा (PE) = -GMm / r
– कुल यांत्रिक ऊर्जा (E) = KE + PE = GMm / (2r) – GMm / r = -GMm / (2r)।
(ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि यह एक बद्ध निकाय है)।
Explanation:
– Kinetic Energy (KE) of the satellite = +GMm / (2r).
– Potential Energy (PE) of the satellite = -GMm / r.
– Total Mechanical Energy (E) = KE + PE = +GMm/(2r) – GMm/r = -GMm / (2r). (The negative sign indicates a bound system).
प्रश्न 11. उपरोक्त प्रश्न वाले उपग्रह (द्रव्यमान m, कक्षा त्रिज्या r) की बंधन ऊर्जा (binding energy) का मान कितना होगा?
Q11. For the same satellite of mass m in a circular orbit of radius r, the binding energy of the satellite is:
  • A) -GMm / (2r) A) -GMm / (2r)
  • B) GMm / (2r) B) GMm / (2r)
  • C) GMm / r C) GMm / r
  • D) शून्य D) Zero
सही उत्तर: B) GMm / (2r) Correct Answer: B) GMm / (2r)
स्पष्टीकरण:
बंधन ऊर्जा (Binding Energy) वह न्यूनतम ऊर्जा है जो किसी उपग्रह को उसकी कक्षा से मुक्त करके अनंत तक भेजने के लिए आवश्यक होती है।
– Binding Energy = – (Total Energy)
– चूँकि कुल ऊर्जा E = -GMm / (2r) है, अतः बंधन ऊर्जा = **+GMm / (2r)** होगी (यह हमेशा धनात्मक होती है)।
Explanation:
Binding energy is the minimum energy required to liberate a satellite from its orbit and send it to infinity.
– Binding Energy = – (Total Mechanical Energy).
– Since E_total = -GMm / (2r), the binding energy is **+GMm / (2r)**.
प्रश्न 12. एक भू-स्थिर उपग्रह (geostationary satellite) का आवर्तकाल कितना होता है और यह पृथ्वी की सतह से लगभग कितनी ऊंचाई पर स्थित होता है?
Q12. What is the orbital time period and the approximate height of a geostationary satellite above the Earth’s surface?
  • A) 12 hours, 18000 km A) 12 hours, 18000 km
  • B) 24 hours, 36000 km B) 24 hours, 36000 km
  • C) 24 hours, 6400 km C) 24 hours, 6400 km
  • D) 84 minutes, 400 km D) 84 minutes, 400 km
सही उत्तर: B) 24 hours, 36000 km Correct Answer: B) 24 hours, 36000 km
स्पष्टीकरण:
भू-स्थिर उपग्रह (geostationary satellite) का आवर्तकाल पृथ्वी के घूर्णन काल के समान ही **24 घंटे** होता है, जिससे यह पृथ्वी के सापेक्ष हमेशा स्थिर दिखाई देता है।
– केपलर के नियम से हल करने पर इसकी पृथ्वी की सतह से ऊंचाई लगभग **36,000 km** (वास्तविक: 35,786 km) प्राप्त होती है।
Explanation:
A geostationary satellite rotates in the same direction and with the same angular speed as the Earth. Hence, its time period is **24 hours**.
– Calculating its orbital radius using Kepler’s laws gives a height of approximately **36,000 km** above the Earth’s surface.
प्रश्न 13. पृथ्वी के अपने अक्ष पर घूर्णन (rotation) के कारण भूमध्य रेखा (equator) पर वस्तुओं का भार शून्य होने के लिए पृथ्वी का कोणीय वेग ω कितना होना चाहिए? (पृथ्वी की त्रिज्या R है)
Q13. What should be the angular velocity ω of rotation of the Earth so that a body at the equator experiences weightlessness? (Radius of the Earth is R)
  • A) √(g / R) A) √(g / R)
  • B) √(R / g) B) √(R / g)
  • C) g / R C) g / R
  • D) 2g / R D) 2g / R
सही उत्तर: A) √(g / R) Correct Answer: A) √(g / R)
स्पष्टीकरण:
घूर्णन के कारण भूमध्य रेखा पर आभासी गुरुत्वीय त्वरण: g’ = g – ω² R
भारहीनता (weightlessness) के लिए: g’ = 0 होना चाहिए:
0 = g – ω² R ⇒ ω² R = g ⇒ ω = √(g / R)।
Explanation:
The apparent acceleration due to gravity at the equator is: g’ = g – ω² R.
For weightlessness to occur at the equator, g’ = 0:
g – ω² R = 0 ⇒ ω = √(g / R).
प्रश्न 14. यदि दो बिन्दु द्रव्यमानों के बीच कोई भारी माध्यम (जैसे तेल या पानी) भर दिया जाए, तो उनके बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का मान:
Q14. If a heavy medium (such as water or oil) is introduced between two point masses, the gravitational force between them:
  • A) बढ़ जाता है (Increases) A) Increases
  • B) घट जाता है (Decreases) B) Decreases
  • C) अपरिवर्तित रहता है (Remains unchanged) C) Remains unchanged
  • D) शून्य हो जाता है D) Becomes zero
सही उत्तर: C) अपरिवर्तित रहता है (Remains unchanged) Correct Answer: C) Remains unchanged
स्पष्टीकरण:
स्थिरवैद्युत बल (electrostatic force) के विपरीत, गुरुत्वाकर्षण बल दो द्रव्यमानों के बीच के **माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है**।
– सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक G एक नियतांक है जो सर्वत्र समान रहता है, अतः बल सदैव **अपरिवर्तित** रहेगा।
Explanation:
Unlike electrostatic force, gravitational force is completely **independent of the intervening medium** between the masses.
– The universal gravitational constant G remains constant everywhere, so the force remains **unchanged**.
प्रश्न 15. पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग (escape velocity) वस्तु के द्रव्यमान (m) पर किस प्रकार निर्भर करता है?
Q15. The escape velocity of a body projected from the Earth’s surface depends on its mass m as:
  • A) v_e ∝ m¹ A) v_e ∝ m¹
  • B) v_e ∝ m⁻¹ B) v_e ∝ m⁻¹
  • C) v_e ∝ m⁰ (स्वतंत्र) C) v_e ∝ m⁰ (independent)
  • D) v_e ∝ m¹/² D) v_e ∝ m¹/²
सही उत्तर: C) v_e ∝ m⁰ (स्वतंत्र) Correct Answer: C) v_e ∝ m⁰ (independent)
स्पष्टीकरण:
पलायन वेग का सूत्र: v_e = √(2GM / R)
– यहाँ M पृथ्वी का द्रव्यमान और R पृथ्वी की त्रिज्या है।
– इस सूत्र में प्रक्षेपित वस्तु का द्रव्यमान (m) नहीं आता है, अतः पलायन वेग वस्तु के द्रव्यमान से पूर्णतः स्वतंत्र होता है: v_e ∝ m⁰।
Explanation:
The expression for escape velocity is: v_e = √(2GM / R).
– It depends only on the mass (M) and radius (R) of the celestial body (Earth) and is entirely independent of the mass (m) of the projected body: v_e ∝ m⁰.
प्रश्न 16. समान घनत्व और समान पदार्थ वाले दो ठोस गोले जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r हैं, एक-दूसरे को स्पर्श कर रहे हैं। उनके बीच लगने वाला पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण बल (gravitational force) किसके अनुक्रमानुपाती होगा?
Q16. Two uniform solid spheres of the same material and of equal radii r are touching each other. The gravitational force of attraction between them is proportional to:
  • A) r² A) r²
  • B) r⁴ B) r⁴
  • C) 1 / r² C) 1 / r²
  • D) r⁶ D) r⁶
सही उत्तर: B) r⁴ Correct Answer: B) r⁴
स्पष्टीकरण:
– गोलों के बीच की दूरी (केंद्रों के बीच) = d = 2r
– प्रत्येक गोले का द्रव्यमान: m ∝ Volume × density = (4/3 π r³) × ρ ∝ r³
– बल: F = G × m × m / d² ∝ (r³) × (r³) / (2r)² ∝ r⁶ / r² = r⁴।
Explanation:
– The distance between the centres of the two touching spheres is: d = 2r.
– Mass of each sphere: m ∝ Volume ∝ r³.
– Gravitational force: F = G × m² / d² ∝ (r³)² / (2r)² ∝ r⁶ / r² = r⁴.
प्रश्न 17. पृथ्वी के केंद्र (centre of the Earth) पर किसी वस्तु का भार (weight) कितना होगा?
Q17. The weight of a body at the centre of the Earth is:
  • A) अनंत (Infinite) A) Infinite
  • B) शून्य (Zero) B) Zero
  • C) पृथ्वी की सतह के भार के बराबर C) Same as its weight on the surface
  • D) 1/2 गुणा D) 1/2 of its surface weight
सही उत्तर: B) शून्य (Zero) Correct Answer: B) Zero
स्पष्टीकरण:
– पृथ्वी के केंद्र पर गहराई d = R हो जाती है।
– गुरुत्वीय त्वरण: g_centre = g (1 – d / R) = g (1 – R / R) = 0
– चूंकि गुरुत्वीय त्वरण शून्य है, अतः वस्तु का भार W = m × g_centre = 0 होगा।
Explanation:
– At the centre of the Earth, the depth d = R.
– The acceleration due to gravity is: g’ = g (1 – R/R) = 0.
– Consequently, the weight of the body W = mg’ = 0.
प्रश्न 18. समान द्रव्यमान m के तीन कण a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) के शीर्षों पर स्थित हैं। इस निकाय की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (total gravitational potential energy) कितनी होगी?
Q18. Three identical particles of mass m are placed at the vertices of an equilateral triangle of side a. The total gravitational potential energy of the system is:
  • A) -G m² / a A) -G m² / a
  • B) -3 G m² / a B) -3 G m² / a
  • C) -3 G m² / a² C) -3 G m² / a²
  • D) शून्य D) Zero
सही उत्तर: B) -3 G m² / a Correct Answer: B) -3 G m² / a
स्पष्टीकरण:
तीन कणों के निकाय में स्थितिज ऊर्जा के तीन युग्म (pairs) बनेंगे: (1,2), (2,3), और (3,1)।
– प्रत्येक युग्म की स्थितिज ऊर्जा: U_pair = -G m² / a
– कुल स्थितिज ऊर्जा: U_total = U₁₂ + U₂₃ + U₃₁ = 3 × (-G m² / a) = -3 G m² / a।
Explanation:
For a three-particle system, there are three unique interacting pairs: (1,2), (2,3), and (3,1).
– The potential energy of each pair is: U = -Gm² / a.
– Total potential energy: U_total = 3 × (-Gm² / a) = -3Gm² / a.
प्रश्न 19. M द्रव्यमान और R त्रिज्या वाले एक एकसमान ठोस गोले (solid sphere) के **केंद्र (centre)** पर गुरुत्वीय विभव का मान कितना होता है?
Q19. The gravitational potential at the centre of a uniform solid sphere of mass M and radius R is:
  • A) शून्य (Zero) A) Zero
  • B) -GM / R B) -GM / R
  • C) -1.5 GM / R C) -1.5 GM / R
  • D) -3GM / R D) -3GM / R
सही उत्तर: C) -1.5 GM / R Correct Answer: C) -1.5 GM / R
स्पष्टीकरण:
ठोस गोले के भीतर किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव का सूत्र:
V = -GM / (2R³) × (3R² – r²)
– केंद्र पर दूरी r = 0 रखने पर:
– V_centre = -GM / (2R³) × (3R²) = -3/2 GM / R = -1.5 GM / R।
(यह सतह के विभव का 1.5 गुना अधिक नकारात्मक होता है)।
Explanation:
The gravitational potential inside a solid sphere is given by:
V = -GM / (2R³) × (3R² – r²).
– At the centre, r = 0:
– V_centre = -3/2 GM / R = -1.5 GM / R (which is 1.5 times the potential on the surface).
प्रश्न 20. क्या किसी वस्तु का पलायन वेग (escape velocity) उसके प्रक्षेपण कोण (angle of projection) पर निर्भर करता है?
Q20. Does the escape velocity of a body depend on the angle of projection with the horizontal?
  • A) हाँ, कोण के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है A) Yes, directly proportional to the angle
  • B) नहीं, यह प्रक्षेपण कोण से पूर्णतः स्वतंत्र होता है B) No, it is entirely independent of the angle of projection
  • C) हाँ, केवल 45° पर न्यूनतम होता है C) Yes, it is minimum only at 45°
  • D) केवल ध्रुवों पर कोण पर निर्भर करता है D) It depends on the angle only at the poles
सही उत्तर: B) नहीं, यह प्रक्षेपण कोण से पूर्णतः स्वतंत्र होता है Correct Answer: B) No, it is entirely independent of the angle of projection
स्पष्टीकरण:
पलायन वेग का आधार ऊर्जा संरक्षण (conservation of mechanical energy) है।
– पृथ्वी के गुरुत्वीय क्षेत्र से बाहर (अनंत तक) जाने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा दिशा पर निर्भर नहीं करती।
– अतः पलायन वेग का मान **प्रक्षेपण कोण से स्वतंत्र** होता है (चाहे वस्तु को लंबवत ऊपर फेंका जाए या किसी कोण पर)।
Explanation:
Escape velocity is derived from energy conservation principles.
– The kinetic energy required to overcome the Earth’s binding potential energy and reach infinity is independent of direction.
– Thus, the escape velocity is **completely independent of the angle of projection**.
प्रश्न 21. पृथ्वी की सतह से बहुत कम ऊंचाई h (h << R) पर गुरुत्वीय त्वरण g’ का सन्निकट (approximate) सूत्र क्या है?
Q21. For a small altitude h (h << R) above the Earth’s surface, the approximate expression for acceleration due to gravity g’ is:
  • A) g’ = g (1 – h / R) A) g’ = g (1 – h / R)
  • B) g’ = g (1 – 2h / R) B) g’ = g (1 – 2h / R)
  • C) g’ = g (1 – h² / R²) C) g’ = g (1 – h² / R²)
  • D) g’ = g (1 + 2h / R) D) g’ = g (1 + 2h / R)
सही उत्तर: B) g’ = g (1 – 2h / R) Correct Answer: B) g’ = g (1 – 2h / R)
स्पष्टीकरण:
– वास्तविक सूत्र: g’ = g × [ 1 + h/R ]⁻²
– द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का उपयोग करने पर, चूंकि h/R << 1 है, उच्च घातों को नगण्य मानने पर:
– g’ ≈ g × (1 – 2h/R)।
(ध्यान दें कि यह सन्निकट सूत्र केवल तब मान्य है जब ऊंचाई पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत कम हो, जैसे कुछ किलोमीटर)।
Explanation:
– Exact formula: g’ = g (1 + h/R)⁻².
– Applying the Binomial Theorem for h/R << 1 and neglecting higher order terms:
– g’ ≈ g (1 – 2h/R).
प्रश्न 22. गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता (E) और गुरुत्वीय विभव (V) के बीच सही संबंध क्या है?
Q22. The relationship between gravitational field intensity (E) and gravitational potential (V) along a given direction r is:
  • A) E = dV / dr A) E = dV / dr
  • B) E = -dV / dr B) E = -dV / dr
  • C) E = ∫ V dr C) E = ∫ V dr
  • D) E = -d²V / dr² D) E = -d²V / dr²
सही उत्तर: B) E = -dV / dr Correct Answer: B) E = -dV / dr
स्पष्टीकरण:
विद्युत क्षेत्र की ही भांति, गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता **ऋणात्मक विभव प्रवणता (negative potential gradient)** के बराबर होती है: E = -dV / dr।
ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि गुरुत्वीय क्षेत्र की दिशा हमेशा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होती है।
Explanation:
Analogous to electrostatics, the gravitational field intensity is the negative gradient of gravitational potential:
E = -dV/dr.
The negative sign indicates that the field points in the direction of decreasing potential.
प्रश्न 23. एक ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षा (elliptical orbit) में गति कर रहा है। यदि सूर्य से इसकी न्यूनतम और अधिकतम दूरियाँ क्रमशः r_min और r_max हैं, तो इसकी अधिकतम और न्यूनतम चालों का अनुपात क्या होगा?
Q23. A planet moves around the Sun in an elliptical orbit. If its minimum and maximum distances from the Sun are r_min and r_max, the ratio of its maximum speed to minimum speed is:
  • A) r_min / r_max A) r_min / r_max
  • B) r_max / r_min B) r_max / r_min
  • C) (r_max / r_min)² C) (r_max / r_min)²
  • D) √(r_max / r_min) D) √(r_max / r_min)
सही उत्तर: B) r_max / r_min Correct Answer: B) r_max / r_min
स्पष्टीकरण:
कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of Angular Momentum) से, ग्रह का सूर्य के निकटतम (perihelion) और दूरस्थ (aphelion) बिंदुओं पर कोणीय संवेग समान होता है:
– m v_max r_min = m v_min r_max
– v_max / v_min = r_max / r_min।
(सूर्य के निकट आने पर ग्रह की चाल अधिकतम होती है और दूर जाने पर न्यूनतम)।
Explanation:
By conservation of angular momentum at perihelion (closest) and aphelion (farthest) positions:
– m v_max r_min = m v_min r_max.
– v_max / v_min = r_max / r_min.
प्रश्न 24. m द्रव्यमान के एक उपग्रह को पृथ्वी (द्रव्यमान M, त्रिज्या R) की सतह से r = 3R त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षा में प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा कितनी होगी?
Q24. The minimum energy required to launch a satellite of mass m from the Earth’s surface (mass M, radius R) into a circular orbit of radius r = 3R is:
  • A) GMm / (3R) A) GMm / (3R)
  • B) 5GMm / (6R) B) 5GMm / (6R)
  • C) 2GMm / (3R) C) 2GMm / (3R)
  • D) 1/3 mgR D) 1/3 mgR
सही उत्तर: B) 5GMm / (6R) Correct Answer: B) 5GMm / (6R)
स्पष्टीकरण:
– प्रारंभिक ऊर्जा (सतह पर केवल स्थितिज ऊर्जा): E_initial = -GMm / R
– कक्षा में कुल ऊर्जा (r = 3R): E_final = -GMm / (2r) = -GMm / (6R)
– आवश्यक अतिरिक्त प्रक्षेपण ऊर्जा: ΔE = E_final – E_initial = -GMm / (6R) – (-GMm / R)
– ΔE = -GMm / (6R) + GMm / R = 5GMm / (6R)।
Explanation:
– Initial energy of the satellite at rest on Earth’s surface: E_i = -GMm / R.
– Final mechanical energy of the satellite in circular orbit of radius 3R: E_f = -GMm / (2r) = -GMm / (6R).
– Required launch energy: ΔE = E_f – E_i = -GMm / (6R) – (-GMm / R) = 5GMm / (6R).
प्रश्न 25. किसी वस्तु के गुरुत्वीय द्रव्यमान (gravitational mass) और उसके जड़त्वीय द्रव्यमान (inertial mass) का अनुपात कितना होता है?
Q25. The ratio of the gravitational mass to the inertial mass of a body is equal to:
  • A) 0.5 A) 0.5
  • B) 1.0 B) 1.0
  • C) 2.0 C) 2.0
  • D) वस्तु के पदार्थ पर निर्भर करता है D) Depends on the material of the body
सही उत्तर: B) 1.0 Correct Answer: B) 1.0
स्पष्टीकरण:
– जड़त्वीय द्रव्यमान (Inertial mass) वस्तु के त्वरण का विरोध करने की माप है (m_i = F / a)।
– गुरुत्वीय द्रव्यमान (Gravitational mass) वस्तु पर लगने वाले गुरुत्वीय आकर्षण बल की माप है (m_g = F_g / g)।
– आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत (Equivalence Principle) और विभिन्न प्रयोगों के अनुसार, ये दोनों द्रव्यमान पूरी तरह से समान होते हैं। अतः इनका अनुपात हमेशा **1** होता है।
Explanation:
– Inertial mass is a measure of a body’s resistance to acceleration (m_i = F / a).
– Gravitational mass is a measure of the strength of its gravitational interaction (m_g = F_g / g).
– According to Einstein’s Equivalence Principle and precision experiments, the inertial mass and gravitational mass of a body are strictly equal. Thus, their ratio is **1.0**.
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