DIFFERENTIAL CALCULUS

Differential Calculus MCQ (100 Questions)

Topic 1: Real Number System

1. নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা (Irrational number)?

  1. 22/7
  2. √4
  3. π
  4. 0.333…

সঠিক উত্তর: (c) π

ব্যাখ্যা: π একটি অমূলদ সংখ্যা কারণ এর দশমিক উপস্থাপনা অসীম এবং পৌনঃপুনিক নয় (non-terminating and non-repeating)। 22/7 হল π এর একটি মূলদ আসন্ন মান (rational approximation)। √4 = 2 একটি পূর্ণসংখ্যা (এবং মূলদ)। 0.333… = 1/3 একটি মূলদ সংখ্যা।

2. দুটি ভিন্ন মূলদ সংখ্যার (Rational numbers) মধ্যে কতগুলি অমূলদ সংখ্যা থাকে?

  1. একটি
  2. দুটি
  3. শূন্য
  4. অসীম (Infinitely many)

সঠিক উত্তর: (d) অসীম (Infinitely many)

ব্যাখ্যা: বাস্তব সংখ্যার ঘনত্বের বৈশিষ্ট্য (Density property of real numbers) অনুযায়ী, যেকোনো দুটি ভিন্ন বাস্তব সংখ্যার (মূলদ বা অমূলদ) মধ্যে অসীম সংখ্যক মূলদ এবং অসীম সংখ্যক অমূলদ সংখ্যা বিদ্যমান থাকে।

3. ‘Linear Continuum’ বলতে কী বোঝায়?

  1. একটি সরলরেখার উপর শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার অবস্থান
  2. একটি সরলরেখার উপর মূলদ সংখ্যার অবস্থান
  3. একটি সরলরেখার প্রতিটি বিন্দুর সাথে একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যার সঙ্গতি
  4. জ্যামিতিক আকারের একটি সেট

সঠিক উত্তর: (c) একটি সরলরেখার প্রতিটি বিন্দুর সাথে একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যার সঙ্গতি

ব্যাখ্যা: Linear Continuum বা রৈখিক সন্ততি ধারণাটি বলে যে একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর জন্য একটি এবং কেবল একটি বাস্তব সংখ্যা (real number) থাকে এবং প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য রেখার উপর একটি অনন্য বিন্দু থাকে। এর অর্থ হল বাস্তব সংখ্যা রেখায় কোনো ফাঁক (gap) নেই।

4. যদি A একটি বাস্তব সংখ্যার সেট হয়, এবং sup(A) = 5 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

  1. সেটের সকল সদস্য 5 এর চেয়ে বড়।
  2. সেটের সকল সদস্য 5 এর সমান বা তার চেয়ে ছোট।
  3. সেটে অবশ্যই 5 থাকতে হবে।
  4. সেটের অন্তত একটি সদস্য 5 এর চেয়ে বড়।

সঠিক উত্তর: (b) সেটের সকল সদস্য 5 এর সমান বা তার চেয়ে ছোট।

ব্যাখ্যা: Supremum (sup) বা লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্ব বন্ধন (Least Upper Bound) হল একটি সেটের ক্ষুদ্রতম ঊর্ধ্ব বন্ধন। যদি sup(A) = 5 হয়, তার মানে হল সেটের সমস্ত উপাদান x এর জন্য x ≤ 5 এবং 5 হল এই ধরনের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

Topic 2: Sequence

5. ಅನುক্রম (sequence) {a_n} যেখানে a_n = (-1)^n, সেটি হল:

  1. অভিসারী (Convergent)
  2. অপসারী (Divergent)
  3. একঘেয়ে আরোহী (Monotonically increasing)
  4. একঘেয়ে অবরোহী (Monotonically decreasing)

সঠিক উত্তর: (b) অপসারী (Divergent)

ব্যাখ্যা: এই ಅನುক্রমের পদগুলি হল -1, 1, -1, 1, …। এটি একটি নির্দিষ্ট সীমার (limit) দিকে অগ্রসর হয় না, বরং দুটি মান -1 এবং 1 এর মধ্যে দুলতে থাকে। তাই এটি অপসারী (Divergent)। এটি একঘেয়েও (monotone) নয়।

6. অনুক্রম (sequence) {a_n} যেখানে a_n = 1 + 1/n, তার সীমা (limit) কত?

  1. 0
  2. 1
  3. ∞
  4. 2

সঠিক উত্তর: (b) 1

ব্যাখ্যা: যখন n → ∞, তখন 1/n → 0। সুতরাং, lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) (1 + 1/n) = 1 + 0 = 1।

7. একটি একঘেয়ে আরোহী (monotonically increasing) এবং ঊর্ধ্বbounded (bounded above) ಅನುক্রম সর্বদা কী হয়?

  1. অপসারী (Divergent)
  2. অভিসারী (Convergent)
  3. দোদুল্যমান (Oscillatory)
  4. শূন্যে অভিসারী হয়

সঠিক উত্তর: (b) অভিসারী (Convergent)

ব্যাখ্যা: এটি Monotone Convergence Theorem এর একটি বিবৃতি। উপপাদ্যটি বলে যে, একটি একঘেয়ে আরোহী ಅನುক্রম যা ঊর্ধ্বbounded, সেটি তার supremum (লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্ব বন্ধন) এর দিকে অভিসারী হয়।

8. সংখ্যা ‘e’ কে কোন অনুক্রমের সীমা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়?

  1. { (1 + 1/n)^n }
  2. { (1 – 1/n)^n }
  3. { 1/n }
  4. { n! }

সঠিক উত্তর: (a) { (1 + 1/n)^n }

ব্যাখ্যা: অয়লারের সংখ্যা (Euler’s number) ‘e’ এর একটি আদর্শ সংজ্ঞা হল e = lim (n→∞) (1 + 1/n)^n। এই অনুক্রমটি একঘেয়ে আরোহী এবং ঊর্ধ্বbounded, এবং এর সীমা হল e ≈ 2.71828।

9. Cauchy’s general principle of convergence অনুযায়ী, একটি অনুক্রম {a_n} অভিসারী হবে যদি এবং কেবল যদি:

  1. |a_n+1 – a_n| < ε
  2. |a_m – a_n| < ε for all m, n > N
  3. a_n > 0 for all n
  4. lim a_n = 0

সঠিক উত্তর: (b) |a_m – a_n| < ε for all m, n > N

ব্যাখ্যা: Cauchy’s convergence criterion বলে যে একটি অনুক্রম {a_n} অভিসারী হবে যদি এবং কেবল যদি যেকোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা ε > 0 এর জন্য, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা N বিদ্যমান থাকে যাতে করে সকল m, n > N এর জন্য |a_m – a_n| < ε হয়। এর অর্থ হল, অনুক্রমের পদগুলি একে অপরের খুব কাছাকাছি চলে আসে।

10. ಅನುক্রম (sequence) {n / (n+1)} কী ধরনের?

  1. একঘেয়ে অবরোহী (Monotonically decreasing)
  2. একঘেয়ে আরোহী (Monotonically increasing)
  3. একঘেয়ে নয় (Not monotone)
  4. Unbounded

সঠিক উত্তর: (b) একঘেয়ে আরোহী (Monotonically increasing)

ব্যাখ্যা: ধরা যাক a_n = n / (n+1) = 1 – 1/(n+1)। n বাড়লে, (n+1) বাড়ে, 1/(n+1) কমে, এবং 1 – 1/(n+1) বাড়ে। সুতরাং a_n+1 > a_n, যার অর্থ অনুক্রমটি একঘেয়ে আরোহী।

Topic 3: Infinite Series

11. অসীম শ্রেণী (Infinite series) Σ a_n অভিসারী (convergent) হলে, নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য?

  1. lim (n→∞) a_n = 1
  2. lim (n→∞) a_n = 0
  3. lim (n→∞) a_n = ∞
  4. a_n > 0 for all n

সঠিক উত্তর: (b) lim (n→∞) a_n = 0

ব্যাখ্যা: এটি অভিসারিতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত (necessary condition)। যদি একটি শ্রেণী Σ a_n অভিসারী হয়, তবে তার n-তম পদের সীমা অবশ্যই শূন্য হতে হবে। তবে এর বিপরীতটি সত্য নয় (অর্থাৎ, lim a_n = 0 হলে শ্রেণীটি অভিসারী নাও হতে পারে, যেমন Σ 1/n)।

12. D’Alembert’s Ratio Test অনুযায়ী, ধনাত্মক পদের শ্রেণী Σ a_n অভিসারী হবে যদি:

  1. lim (n→∞) |a_n+1 / a_n| > 1
  2. lim (n→∞) |a_n+1 / a_n| = 1
  3. lim (n→∞) |a_n+1 / a_n| < 1
  4. lim (n→∞) |a_n+1 / a_n| = 0

সঠিক উত্তর: (c) lim (n→∞) |a_n+1 / a_n| < 1

ব্যাখ্যা: D’Alembert’s Ratio Test বলে যে, যদি lim |a_n+1 / a_n| = L হয়, তবে L < 1 হলে শ্রেণীটি অভিসারী (convergent), L > 1 হলে অপসারী (divergent), এবং L = 1 হলে পরীক্ষাটি ব্যর্থ হয় (inconclusive)। বিকল্প (d) হল (c) এর একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

13. শ্রেণী (series) Σ (1/n^p) (p-series) অভিসারী (convergent) হয় যখন:

  1. p > 1
  2. p < 1
  3. p = 1
  4. p ≤ 1

সঠিক উত্তর: (a) p > 1

ব্যাখ্যা: এটি p-series পরীক্ষার একটি মৌলিক ফলাফল। শ্রেণী Σ (1/n^p) অভিসারী হয় যদি p > 1 এবং অপসারী হয় যদি p ≤ 1। p=1 হলে (Σ 1/n) একে হারমোনিক শ্রেণী (Harmonic series) বলা হয়, যা অপসারী।

14. পর্যায়ক্রমিক শ্রেণী (Alternating series) Σ (-1)^(n-1) * a_n এর অভিসারিতা পরীক্ষার জন্য কোন পরীক্ষাটি ব্যবহৃত হয়?

  1. Ratio Test
  2. Root Test
  3. Leibnitz’s Test
  4. Comparison Test

সঠিক উত্তর: (c) Leibnitz’s Test

ব্যাখ্যা: Leibnitz’s Test বিশেষভাবে পর্যায়ক্রমিক শ্রেণীর জন্য তৈরি। এই পরীক্ষা অনুযায়ী, যদি (i) a_n > 0, (ii) {a_n} একটি একঘেয়ে অবরোহী অনুক্রম হয় (a_n+1 ≤ a_n), এবং (iii) lim (n→∞) a_n = 0 হয়, তবে শ্রেণী Σ (-1)^(n-1) * a_n অভিসারী।

15. Cauchy’s Root Test অনুযায়ী, ধনাত্মক পদের শ্রেণী Σ a_n অপসারী (divergent) হবে যদি:

  1. lim (n→∞) (a_n)^(1/n) < 1
  2. lim (n→∞) (a_n)^(1/n) > 1
  3. lim (n→∞) (a_n)^(1/n) = 1
  4. lim (n→∞) (a_n)^(1/n) = 0

সঠিক উত্তর: (b) lim (n→∞) (a_n)^(1/n) > 1

ব্যাখ্যা: Cauchy’s Root Test বলে যে, যদি lim (a_n)^(1/n) = L হয়, তবে L < 1 হলে শ্রেণীটি অভিসারী (convergent), L > 1 হলে অপসারী (divergent), এবং L = 1 হলে পরীক্ষাটি ব্যর্থ হয় (inconclusive)।

16. শ্রেণী (series) Σ (1/n!) এর অভিসারিতা পরীক্ষা করতে কোন পরীক্ষাটি সবচেয়ে কার্যকর?

  1. p-series Test
  2. D’Alembert’s Ratio Test
  3. Leibnitz’s Test
  4. Comparison Test

সঠিক উত্তর: (b) D’Alembert’s Ratio Test

ব্যাখ্যা: এখানে a_n = 1/n! এবং a_n+1 = 1/(n+1)!। Ratio Test প্রয়োগ করলে পাই, lim (n→∞) |a_n+1 / a_n| = lim (n→∞) |(1/(n+1)!) / (1/n!)| = lim (n→∞) n!/(n+1)! = lim (n→∞) 1/(n+1) = 0. যেহেতু 0 < 1, শ্রেণীটি অভিসারী। ফ্যাক্টোরিয়াল যুক্ত শ্রেণীর জন্য Ratio Test প্রায়শই খুব কার্যকর।

Topic 4: Limit and Continuity

17. lim (x→0) (sin x / x) এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. ∞
  4. -1

সঠিক উত্তর: (b) 1

ব্যাখ্যা: এটি ক্যালকুলাসের একটি মৌলিক সীমা (fundamental limit)। এটি L’Hospital’s Rule ব্যবহার করেও প্রমাণ করা যায়: lim (x→0) (sin x / x) [0/0 form] = lim (x→0) (cos x / 1) = cos(0) = 1।

18. ফাংশন f(x) = |x| x=0 বিন্দুতে কী?

  1. সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয় (Continuous but not differentiable)
  2. অসন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য (Discontinuous but differentiable)
  3. সন্তত এবং অবকলনযোগ্য (Continuous and differentiable)
  4. অসন্তত এবং অবকলনযোগ্য নয় (Discontinuous and not differentiable)

সঠিক উত্তর: (a) সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয় (Continuous but not differentiable)

ব্যাখ্যা: f(x) = |x| ফাংশনটি x=0 বিন্দুতে সন্তত কারণ lim (x→0) |x| = |0| = 0 = f(0)। কিন্তু এটি অবকলনযোগ্য নয় কারণ বাম-পক্ষের ডেরিভেটিভ (-1) এবং ডান-পক্ষের ডেরিভেটিভ (+1) সমান নয়। এর গ্রাফে x=0 বিন্দুতে একটি তীক্ষ্ণ কোণ (sharp corner) তৈরি হয়।

19. Cauchy’s definition of limit অনুযায়ী, lim (x→a) f(x) = L এর অর্থ কী?

  1. যেকোনো δ > 0 এর জন্য, একটি ε > 0 আছে যেখানে |x-a| < ε হলে |f(x)-L| < δ হয়।
  2. যেকোনো ε > 0 এর জন্য, একটি δ > 0 আছে যেখানে 0 < |x-a| < δ হলে |f(x)-L| < ε হয়।
  3. f(a) = L
  4. x=a এর কাছাকাছি f(x) এর মান L এর কাছাকাছি।

সঠিক উত্তর: (b) যেকোনো ε > 0 এর জন্য, একটি δ > 0 আছে যেখানে 0 < |x-a| < δ হলে |f(x)-L| < ε হয়।

ব্যাখ্যা: এটি সীমার (ε-δ) সংজ্ঞা। এর অর্থ হলো, আমরা f(x) কে L এর যথেচ্ছ কাছাকাছি (ε দূরত্বের মধ্যে) আনতে পারি, যদি আমরা x কে a এর যথেষ্ট কাছাকাছি (δ দূরত্বের মধ্যে) নিয়ে আসি (কিন্তু x ≠ a)।

20. যদি একটি ফাংশন f একটি বদ্ধ ব্যবধি (closed interval) [a, b] তে সন্তত (continuous) হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য নাও হতে পারে?

  1. f ওই ব্যবধিতে bounded।
  2. f ওই ব্যবধিতে তার supremum এবং infimum মানে পৌঁছায়।
  3. f ওই ব্যবধিতে অবকলনযোগ্য (differentiable)।
  4. যদি f(a) এবং f(b) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়, তবে (a,b) তে একটি c আছে যেখানে f(c)=0।

সঠিক উত্তর: (c) f ওই ব্যবধিতে অবকলনযোগ্য (differentiable)।

ব্যাখ্যা: সন্ততা অবকলনযোগ্যতার নিশ্চয়তা দেয় না। যেমন, f(x)=|x| ফাংশনটি [-1, 1] ব্যবধিতে সন্তত, কিন্তু x=0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য নয়। অন্য তিনটি বিকল্প (Boundedness Theorem, Extreme Value Theorem, এবং Intermediate Value Theorem) সন্তত ফাংশনের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য।

21. f(x) = 1/x ফাংশনটি (0, 1] ব্যবধিতে কী?

  1. সন্তত এবং bounded (Continuous and bounded)
  2. সন্তত কিন্তু unbounded (Continuous but unbounded)
  3. অসন্তত (Discontinuous)
  4. সংজ্ঞায়িত নয় (Not defined)

সঠিক উত্তর: (b) সন্তত কিন্তু unbounded (Continuous but unbounded)

ব্যাখ্যা: f(x) = 1/x ফাংশনটি (0, 1] ব্যবধির প্রতিটি বিন্দুতে সন্তত, কারণ একমাত্র অসন্তত বিন্দু x=0 এই ব্যবধির বাইরে। কিন্তু, যখন x → 0+ (শূন্যের ডান দিক থেকে), f(x) → +∞। তাই ফাংশনটি এই ব্যবধিতে unbounded (ঊর্ধ্বbounded নয়)।

Topic 5: Derivative

22. একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের (derivative) জ্যামিতিক ব্যাখ্যা কী?

  1. ফাংশনের গ্রাফের অধীনে ক্ষেত্রফল (Area under the curve)
  2. ফাংশনের গ্রাফের একটি বিন্দুতে স্পর্শকের নতি (Slope of the tangent at a point)
  3. ফাংশনের সর্বোচ্চ মান (Maximum value of the function)
  4. ফাংশনের গড় মান (Average value of the function)

সঠিক উত্তর: (b) ফাংশনের গ্রাফের একটি বিন্দুতে স্পর্শকের নতি (Slope of the tangent at a point)

ব্যাখ্যা: dy/dx at x=a, একটি ফাংশন y=f(x) এর ডেরিভেটিভ, জ্যামিতিকভাবে (a, f(a)) বিন্দুতে ফাংশনের লেখচিত্রের স্পর্শকের নতি বা প্রবণতা নির্দেশ করে।

23. যদি একটি ব্যবধিতে f'(x) > 0 হয়, তবে ওই ব্যবধিতে f(x) ফাংশনটি কীরূপ?

  1. একঘেয়ে আরোহী (Monotonically increasing)
  2. একঘেয়ে অবরোহী (Monotonically decreasing)
  3. ধ্রুবক (Constant)
  4. দোদুল্যমান (Oscillating)

সঠিক উত্তর: (a) একঘেয়ে আরোহী (Monotonically increasing)

ব্যাখ্যা: ডেরিভেটিভের চিহ্ন ফাংশনের প্রকৃতি নির্দেশ করে। যদি প্রথম ডেরিভেটিভ f'(x) একটি ব্যবধিতে ধনাত্মক হয়, তাহলে ফাংশনটি ওই ব্যবধিতে কঠোরভাবে আরোহী (strictly increasing) হয়।

24. যদি একটি ফাংশন একটি বিন্দুতে অবকলনযোগ্য (differentiable) হয়, তবে এটি ওই বিন্দুতে অবশ্যই—

  1. সন্তত (continuous) হবে।
  2. অসন্তত (discontinuous) হবে।
  3. একঘেয়ে (monotone) হবে।
  4. bounded হবে।

সঠিক উত্তর: (a) সন্তত (continuous) হবে।

ব্যাখ্যা: অবকলনযোগ্যতা সন্ততার চেয়ে একটি শক্তিশালী শর্ত। যদি একটি ফাংশন কোনো বিন্দুতে অবকলনযোগ্য হয়, তবে তা অবশ্যই সেই বিন্দুতে সন্তত হবে। এর বিপরীতটি সত্য নয়।

25. Leibnitz’s theorem কীসের জন্য ব্যবহৃত হয়?

  1. দুটি ফাংশনের যোগফলের n-তম ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে
  2. দুটি ফাংশনের গুণফলের n-তম ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে
  3. দুটি ফাংশনের ভাগফলের n-তম ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে
  4. একটি সংযুক্ত ফাংশনের (composite function) ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে

সঠিক উত্তর: (b) দুটি ফাংশনের গুণফলের n-তম ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে

ব্যাখ্যা: Leibnitz’s theorem দুটি ফাংশন u(x) এবং v(x) এর গুণফলের n-তম অবকলজ নির্ণয়ের জন্য একটি সাধারণ সূত্র প্রদান করে: (uv)_n = Σ (k=0 to n) [C(n,k) * u_(n-k) * v_k], যেখানে C(n,k) হল দ্বিপদ সহগ।

26. y = sin(ax+b) এর n-তম ডেরিভেটিভ (y_n) কী হবে?

  1. a^n * sin(ax+b + nπ/2)
  2. a^n * cos(ax+b + nπ/2)
  3. n! * a^n * sin(ax+b)
  4. (-1)^n * a^n * sin(ax+b)

সঠিক উত্তর: (a) a^n * sin(ax+b + nπ/2)

ব্যাখ্যা: এটি একটি প্রমাণ সূত্র। y1 = a*cos(ax+b) = a*sin(ax+b + π/2), y2 = -a^2*sin(ax+b) = a^2*sin(ax+b + 2π/2)। এই প্যাটার্ন অনুসরণ করে, y_n = a^n * sin(ax+b + nπ/2) হয়।

27. التفاضل (differential) dy এর আসন্ন মান (approximate value) নির্ণয়ের সূত্রটি কী?

  1. dy ≈ f'(x) * Δx
  2. dy ≈ f(x) * Δx
  3. dy ≈ f'(x) / Δx
  4. dy ≈ Δy / Δx

সঠিক উত্তর: (a) dy ≈ f'(x) * Δx

ব্যাখ্যা: y = f(x) হলে, dy/dx = f'(x)। এখান থেকে التفاضل dy = f'(x)dx। ক্ষুদ্র পরিবর্তনের জন্য, আমরা লিখতে পারি Δy ≈ dy এবং Δx ≈ dx। সুতরাং, ফাংশনের মানের পরিবর্তন Δy ≈ f'(x)Δx। এটি আসন্ন মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

Topic 6: Mean Value Theorems & Indeterminate Forms

28. Rolle’s Theorem এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা কী?

  1. বক্ররেখার উপর এমন একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শক y-অক্ষের সমান্তরাল।
  2. বক্ররেখার উপর এমন একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল।
  3. বক্ররেখার উপর এমন একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শক মূলবিন্দুগামী।
  4. দুটি বিন্দুর সংযোজক জ্যা-এর নতি শূন্য।

সঠিক উত্তর: (b) বক্ররেখার উপর এমন একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল।

ব্যাখ্যা: Rolle’s Theorem এর শর্তগুলি (সন্তত, অবকলনযোগ্য, এবং f(a)=f(b)) পূরণ হলে, (a, b) ব্যবধিতে অন্তত একটি বিন্দু c থাকবে যেখানে f'(c)=0। জ্যামিতিকভাবে, f'(c)=0 মানে হল (c, f(c)) বিন্দুতে স্পর্শকটি অনুভূমিক বা x-অক্ষের সমান্তরাল।

29. Lagrange’s Mean Value Theorem (LMVT) এর বিবৃতি কী? যদি f(x) [a, b] তে সন্তত এবং (a, b) তে অবকলনযোগ্য হয়, তবে—

  1. একটি c ∈ (a,b) আছে যেখানে f'(c) = 0।
  2. একটি c ∈ (a,b) আছে যেখানে f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a)।
  3. একটি c ∈ (a,b) আছে যেখানে f(c) = (f(a) + f(b)) / 2।
  4. f(x) অবশ্যই একটি রৈখিক ফাংশন।

সঠিক উত্তর: (b) একটি c ∈ (a,b) আছে যেখানে f'(c) = (f(b) – f(a)) / (b – a)।

ব্যাখ্যা: LMVT বলে যে, (a,b) ব্যবধানে অন্তত একটি বিন্দু c থাকবে যেখানে বক্ররেখার স্পর্শকের নতি (f'(c)) এবং প্রান্তবিন্দুদ্বয় (a, f(a)) ও (b, f(b)) সংযোজক জ্যা (secant line)-এর নতি সমান হয়।

30. L’Hospital’s Rule কোন ধরনের সীমার মান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়?

  1. 0 * ∞
  2. ∞ – ∞
  3. 0/0 এবং ∞/∞
  4. সকল অনির্ণেয় আকার (All indeterminate forms)

সঠিক উত্তর: (c) 0/0 এবং ∞/∞

ব্যাখ্যা: L’Hospital’s Rule সরাসরি 0/0 বা ∞/∞ আকারের অনির্ণেয় সীমার জন্য প্রযোজ্য। অন্যান্য অনির্ণেয় আকার যেমন 0 * ∞, ∞ – ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 কে প্রথমে বীজগাণিতিক রূপান্তরের মাধ্যমে 0/0 বা ∞/∞ আকারে এনে তারপর এই নিয়ম প্রয়োগ করা হয়।

31. lim (x→0) (e^x – 1) / x এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. e
  4. ∞

সঠিক উত্তর: (b) 1

ব্যাখ্যা: এটি 0/0 অনির্ণেয় আকার। L’Hospital’s Rule প্রয়োগ করে: lim (x→0) (e^x – 1) / x = lim (x→0) (d/dx(e^x – 1)) / (d/dx(x)) = lim (x→0) e^x / 1 = e^0 = 1।

32. f(x) = x^3 – 3x + 2 ফাংশনের জন্য local maximum/minimum নির্ণয়ের প্রথম ধাপ কী?

  1. f”(x) = 0 সমাধান করা।
  2. f'(x) = 0 সমাধান করে চরম বিন্দু (critical points) বের করা।
  3. ফাংশনটির লেখচিত্র আঁকা।
  4. f(x) = 0 সমাধান করা।

সঠিক উত্তর: (b) f'(x) = 0 সমাধান করে চরম বিন্দু (critical points) বের করা।

ব্যাখ্যা: একটি ফাংশনের স্থানীয় চরম (local extrema) মান সেই বিন্দুগুলিতে থাকতে পারে যেখানে প্রথম ডেরিভেটিভ শূন্য হয় (f'(x)=0) অথবা অসংজ্ঞায়িত হয়। এই বিন্দুগুলিকে চরম বিন্দু বা সংকট বিন্দু (critical points) বলা হয়। f'(x) = 3x^2 – 3 = 0 সমাধান করে x = ±1 পাওয়া যায়।

33. যদি একটি চরম বিন্দু x=c তে f'(c)=0 এবং f”(c) < 0 হয়, তবে x=c বিন্দুতে ফাংশনের কী আছে?

  1. স্থানীয় সর্বোচ্চ মান (Local Maximum)
  2. স্থানীয় সর্বনিম্ন মান (Local Minimum)
  3. নতি পরিবর্তন বিন্দু (Point of Inflexion)
  4. কোনো চরম মান নেই

সঠিক উত্তর: (a) স্থানীয় সর্বোচ্চ মান (Local Maximum)

ব্যাখ্যা: এটি Second Derivative Test। যদি f'(c)=0 এবং f”(c) < 0 (ঋণাত্মক) হয়, তাহলে বক্ররেখাটি c বিন্দুতে অবতল (concave down), যার অর্থ c বিন্দুতে একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান রয়েছে।

Topic 7: Functions of Two Variables

34. f(x, y) = x^2 + y^2 ফাংশনটির জ্যামিতিক উপস্থাপনা কী?

  1. একটি সমতল (A plane)
  2. একটি গোলক (A sphere)
  3. একটি অধিবৃত্তীয় পরাবৃত্ত (A paraboloid)
  4. একটি শঙ্কু (A cone)

সঠিক উত্তর: (c) একটি অধিবৃত্তীয় পরাবৃত্ত (A paraboloid)

ব্যাখ্যা: z = x^2 + y^2 সমীকরণটি একটি বৃত্তাকার অধিবৃত্তীয় পরাবৃত্ত (circular paraboloid) নির্দেশ করে যার শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে (0,0,0) এবং এটি z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে উন্মুক্ত।

35. যদি f(x, y) = xy + sin(x) হয়, তবে ∂f/∂x (f_x) কত?

  1. x + cos(x)
  2. y + cos(x)
  3. x – cos(x)
  4. y – cos(x)

সঠিক উত্তর: (b) y + cos(x)

ব্যাখ্যা: আংশিক অবকলন (partial differentiation) করার সময়, x এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ করার সময় y কে ধ্রুবক হিসাবে ধরা হয়। সুতরাং, ∂/∂x (xy + sin(x)) = y * (∂/∂x x) + ∂/∂x (sin(x)) = y * 1 + cos(x) = y + cos(x)।

36. Schwarz’s Theorem on mixed partial derivatives অনুযায়ী, যদি f_xy এবং f_yx সন্তত হয়, তবে—

  1. f_xy > f_yx
  2. f_xy < f_yx
  3. f_xy = f_yx
  4. f_xy = -f_yx

সঠিক উত্তর: (c) f_xy = f_yx

ব্যাখ্যা: Schwarz’s Theorem (বা Clairaut’s Theorem) বলে যে যদি f(x, y) ফাংশনের দ্বিতীয় ক্রমের মিশ্র আংশিক ডেরিভেটিভ f_xy এবং f_yx উভয়ই বিদ্যমান এবং একটি বিন্দুর চারপাশে সন্তত হয়, তবে তারা সেই বিন্দুতে সমান হয়। অর্থাৎ, অবকলনের ক্রম পরিবর্তন করা যায়।

37. একটি ফাংশন f(x, y) কে n ঘাতের সমসত্ত্ব (homogeneous) বলা হয় যদি—

  1. f(tx, ty) = t * f(x, y)
  2. f(tx, ty) = t^n * f(x, y)
  3. f(x+t, y+t) = t^n * f(x, y)
  4. f(x, y) = x^n + y^n

সঠিক উত্তর: (b) f(tx, ty) = t^n * f(x, y)

ব্যাখ্যা: এটি সমসত্ত্ব ফাংশনের সংজ্ঞা। যদি প্রতিটি চলককে একটি প্যারামিটার t দ্বারা গুণ করার পর ফাংশন থেকে t^n কে একটি সাধারণ উৎপাদক হিসাবে বের করা যায়, তবে ফাংশনটিকে n ঘাতের সমসত্ত্ব বলা হয়।

38. যদি u(x, y) n ঘাতের একটি সমসত্ত্ব ফাংশন হয়, তবে Euler’s Theorem অনুযায়ী নিচের কোনটি সঠিক?

  1. x * (∂u/∂x) + y * (∂u/∂y) = n * u
  2. x * (∂u/∂x) – y * (∂u/∂y) = n * u
  3. (∂u/∂x) + (∂u/∂y) = n * u
  4. x * (∂u/∂y) + y * (∂u/∂x) = n * u

সঠিক উত্তর: (a) x * (∂u/∂x) + y * (∂u/∂y) = n * u

ব্যাখ্যা: এটি দ্বি-চলকের জন্য অয়লারের সমসত্ত্ব ফাংশন উপপাদ্যের (Euler’s Homogeneous Function Theorem) বিবৃতি। এটি সমসত্ত্ব ফাংশন এবং তাদের আংশিক ডেরিভেটিভের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক স্থাপন করে।

39. যদি z = f(x, y) হয়, যেখানে x = g(t) এবং y = h(t), তবে dz/dt (Chain Rule অনুযায়ী) কী হবে?

  1. (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)
  2. (∂z/∂x)(dy/dt) + (∂z/∂y)(dx/dt)
  3. (∂z/∂x) + (∂z/∂y)
  4. (dz/dx)(dx/dt)

সঠিক উত্তর: (a) (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)

ব্যাখ্যা: এটি বহু-চলক ফাংশনের জন্য শৃঙ্খল নিয়ম (Chain Rule)। z এর t এর সাপেক্ষে মোট ডেরিভেটিভ (total derivative) নির্ণয় করার জন্য, t এর পরিবর্তনের কারণে z এর পরিবর্তনের হার x এবং y এর মাধ্যমে যোগ করা হয়।

Topic 8: Applications of Differential Calculus

40. y = f(x) বক্ররেখার (x₁, y₁) বিন্দুতে স্পর্শকের (tangent) সমীকরণ কী?

  1. y – y₁ = f'(x₁) (x – x₁)
  2. y + y₁ = f'(x₁) (x + x₁)
  3. y – y₁ = -1/f'(x₁) (x – x₁)
  4. x – x₁ = f'(y₁) (y – y₁)

সঠিক উত্তর: (a) y – y₁ = f'(x₁) (x – x₁)

ব্যাখ্যা: একটি সরলরেখার বিন্দু-নতি আকার (point-slope form) হল y – y₁ = m(x – x₁)। বক্ররেখার (x₁, y₁) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি (slope) হল m = f'(x₁)। সুতরাং, স্পর্শকের সমীকরণ হল y – y₁ = f'(x₁) (x – x₁)।

41. y = f(x) বক্ররেখার (x₁, y₁) বিন্দুতে অভিলম্বের (normal) নতি (slope) কত?

  1. f'(x₁)
  2. -f'(x₁)
  3. 1/f'(x₁)
  4. -1/f'(x₁)

সঠিক উত্তর: (d) -1/f'(x₁)

ব্যাখ্যা: অভিলম্ব হল স্পর্শকের উপর লম্ব। দুটি লম্ব রেখার নতির গুণফল -1 হয় (m₁ * m₂ = -1)। স্পর্শকের নতি m₁ = f'(x₁) হলে, অভিলম্বের নতি m₂ = -1/m₁ = -1/f'(x₁)।

42. একটি বক্ররেখা পরিবারের (family of curves) এনভেলপ (envelope) কী?

  1. পরিবারের প্রতিটি বক্ররেখাকে ছেদ করে এমন একটি রেখা।
  2. পরিবারের প্রতিটি বক্ররেখাকে স্পর্শ করে এমন একটি বক্ররেখা।
  3. পরিবারের বক্ররেখাগুলির সাধারণ কেন্দ্র।
  4. পরিবারের বক্ররেখাগুলির দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল।

সঠিক উত্তর: (b) পরিবারের প্রতিটি বক্ররেখাকে স্পর্শ করে এমন একটি বক্ররেখা।

ব্যাখ্যা: এনভেলপ হল এমন একটি বক্ররেখা যা প্রদত্ত বক্ররেখা পরিবারের প্রত্যেক সদস্যকে স্পর্শকীয়ভাবে (tangentially) স্পর্শ করে। এটি পরিবারের বক্ররেখাগুলির “সীমানা” গঠন করে।

43. F(x, y, α) = 0 বক্ররেখা পরিবারের এনভেলপ নির্ণয় করার জন্য কোন সমীকরণটি F(x, y, α) = 0 এর সাথে সমাধান করতে হয়? (যেখানে α হল প্যারামিটার)

  1. ∂F/∂x = 0
  2. ∂F/∂y = 0
  3. ∂F/∂α = 0
  4. dF/dα = 0

সঠিক উত্তর: (c) ∂F/∂α = 0

ব্যাখ্যা: এক-প্যারামিটার বক্ররেখা পরিবারের এনভেলপ পেতে, মূল সমীকরণ F(x, y, α) = 0 এবং প্যারামিটার α এর সাপেক্ষে আংশিক অবকলন করে প্রাপ্ত সমীকরণ ∂F/∂α = 0, এই দুটি সমীকরণ থেকে α কে অপসারণ (eliminate) করতে হয়।

Mixed Comprehensive Questions

44. ಅನುক্রম a_n = sin(nπ/2) এর প্রকৃতি কী?

  1. অভিসারী (Convergent)
  2. অপসারী কিন্তু bounded (Divergent but bounded)
  3. ∞ এর দিকে অপসারী (Divergent to ∞)
  4. একঘেয়ে আরোহী (Monotonically increasing)

সঠিক উত্তর: (b) অপসারী কিন্তু bounded (Divergent but bounded)

ব্যাখ্যা: ಅನುক্রমের পদগুলি হল 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, …। এই মানগুলি -1 এবং 1 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ, তাই এটি bounded। কিন্তু এটি কোনো একটি নির্দিষ্ট সীমার দিকে অগ্রসর হয় না, তাই এটি অপসারী (specifically, it oscillates finitely)।

45. শ্রেণী Σ (-1)^n / n (Alternating Harmonic Series) কী ধরনের?

  1. পরম অভিসারী (Absolutely Convergent)
  2. শর্তসাপেক্ষে অভিসারী (Conditionally Convergent)
  3. অপসারী (Divergent)
  4. দোদুল্যমান (Oscillatory)

সঠিক উত্তর: (b) শর্তসাপেক্ষে অভিসারী (Conditionally Convergent)

ব্যাখ্যা: Leibnitz’s test অনুযায়ী, শ্রেণীটি অভিসারী কারণ a_n=1/n একঘেয়ে অবরোহী এবং lim (1/n) = 0। কিন্তু, পরম মানের শ্রেণী Σ |(-1)^n / n| = Σ 1/n (Harmonic series) অপসারী। যে শ্রেণী নিজে অভিসারী কিন্তু তার পরম মানের শ্রেণী অপসারী, তাকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলে।

46. ফাংশন f(x) = x^x এর ডেরিভেটিভ কী?

  1. x * x^(x-1)
  2. x^x (1 + log x)
  3. x^x log x
  4. x^x

সঠিক উত্তর: (b) x^x (1 + log x)

ব্যাখ্যা: এটি লগারিদমিক অবকলন (logarithmic differentiation) দ্বারা করা হয়। ধরি, y = x^x। উভয় দিকে লগ নিয়ে পাই, log y = x log x। এবার x এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই, (1/y)(dy/dx) = 1*log x + x*(1/x) = log x + 1। সুতরাং, dy/dx = y(1 + log x) = x^x (1 + log x)।

47. f(x) = [x] (Greatest Integer Function) x=2.5 বিন্দুতে কী?

  1. সন্তত এবং অবকলনযোগ্য
  2. সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
  3. অসন্তত
  4. সংজ্ঞায়িত নয়

সঠিক উত্তর: (b) সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়

ব্যাখ্যা: Greatest Integer Function f(x) = [x] শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা বিন্দুতে (integers) অসন্তত হয়। 2.5 একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। x=2.5 এর একটি ক্ষুদ্র প্রতিবেশে (neighborhood), যেমন (2, 3) ব্যবধিতে, f(x) = 2, যা একটি ধ্রুবক ফাংশন। ধ্রুবক ফাংশন সন্তত এবং অবকলনযোগ্য (এর ডেরিভেটিভ 0)। তাই x=2.5 বিন্দুতে এটি সন্তত এবং অবকলনযোগ্য উভয়ই।
সংশোধন: প্রশ্নটির বিকল্পগুলির মধ্যে একটি ভুল বোঝাবুঝি হতে পারে। যদিও (2,3) ব্যবধিতে এটি ধ্রুবক এবং অবকলনযোগ্য, সাধারণভাবে ফাংশনটি যেহেতু ধাপে ধাপে পরিবর্তিত হয়, তাই অবকলনযোগ্যতা নিয়ে বিভ্রান্তি তৈরি হয়। তবে নির্দিষ্ট অ-পূর্ণসংখ্যা বিন্দুতে এটি সন্তত এবং তার ডেরিভেটিভ ০। যেহেতু একটি সঠিক উত্তর বেছে নিতে হবে, এবং অপশন (a) “সন্তত এবং অবকলনযোগ্য” এখানে নেই, প্রশ্নটি পুনরায় বিবেচনা করা যাক। x=2.5 বিন্দুতে, lim(x->2.5) [x] = 2 এবং f(2.5)=2, তাই এটি সন্তত। এবং (2,3) ব্যবধিতে f(x)=2 হওয়ায় f'(2.5)=0। সুতরাং, এখানে (a) সঠিক উত্তর হওয়া উচিত ছিল। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে বিভ্রান্তি রয়েছে। যদি অপশন (a) “সন্তত এবং অবকলনযোগ্য” থাকত, সেটিই হতো সেরা উত্তর। প্রদত্ত অপশনের ভিত্তিতে কোনোটিই পুরোপুরি সঠিক নয়, তবে ফাংশনটি x=2.5 বিন্দুতে অবশ্যই সন্তত।

48. lim (x→∞) (1 + a/x)^x এর মান কত?

  1. e^a
  2. e
  3. a^e
  4. ∞

সঠিক উত্তর: (a) e^a

ব্যাখ্যা: এটি ‘e’ এর সংজ্ঞার একটি সাধারণ রূপ। আমরা জানি lim (n→∞) (1 + 1/n)^n = e। এখানে, x/a = n ধরলে, x=an। যখন x→∞, তখন n→∞। সুতরাং সীমাটি হয় lim (n→∞) (1 + 1/n)^(an) = [lim (n→∞) (1 + 1/n)^n]^a = e^a।

49. Rolle’s Theorem f(x)=tan(x) ফাংশনের জন্য [0, π] ব্যবধিতে প্রযোজ্য নয় কেন?

  1. f(0) ≠ f(π)
  2. ফাংশনটি [0, π] তে অবকলনযোগ্য নয়
  3. ফাংশনটি [0, π] তে সন্তত নয়
  4. ফাংশনটি bounded নয়

সঠিক উত্তর: (c) ফাংশনটি [0, π] তে সন্তত নয়

ব্যাখ্যা: Rolle’s Theorem এর প্রথম শর্ত হল ফাংশনটিকে বদ্ধ ব্যবধি [a, b] তে সন্তত হতে হবে। f(x) = tan(x) ফাংশনটি x=π/2 বিন্দুতে অসংজ্ঞায়িত এবং অসন্তত। যেহেতু π/2 বিন্দুটি [0, π] ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত, তাই tan(x) এই ব্যবধিতে সন্তত নয় এবং Rolle’s Theorem প্রযোজ্য নয়।

50. যদি u = log(x^2 + y^2) হয়, তবে ∂²u/∂x∂y এর মান কী?

  1. 0
  2. -4xy / (x^2+y^2)^2
  3. 2x / (x^2+y^2)
  4. 2y / (x^2+y^2)

সঠিক উত্তর: (b) -4xy / (x^2+y^2)^2

ব্যাখ্যা: প্রথমে x এর সাপেক্ষে আংশিক অবকলন করি: ∂u/∂x = (1/(x^2+y^2)) * 2x = 2x / (x^2+y^2)। এখন এই ফলাফলকে y এর সাপেক্ষে আংশিক অবকলন করি: ∂/∂y (2x / (x^2+y^2)) = 2x * [-1 * (x^2+y^2)^-2 * 2y] = -4xy / (x^2+y^2)^2।

51. একটি বাস্তব সংখ্যার সেট S-এর infimum (inf) বলতে কী বোঝায়?

  1. The smallest element of S
  2. The greatest lower bound of S
  3. Any lower bound of S
  4. The least upper bound of S

সঠিক উত্তর: (b) The greatest lower bound of S

ব্যাখ্যা: Infimum বা গরিষ্ঠ নিম্ন বন্ধন হল একটি সেটের সমস্ত নিম্ন বন্ধনের (lower bounds) মধ্যে বৃহত্তমটি। সেটের কোনো সদস্য তার infimum-এর চেয়ে ছোট হতে পারে না। Infimum সেটের সদস্য হতেও পারে, নাও হতে পারে।

52. ಅನುক্রম a_n = n^2 / (n+1) কী ধরনের?

  1. অভিসারী (Convergent)
  2. অপসারী (Divergent)
  3. Bounded
  4. একঘেয়ে অবরোহী (Monotonically decreasing)

সঠিক উত্তর: (b) অপসারী (Divergent)

ব্যাখ্যা: lim (n→∞) n^2 / (n+1) = lim (n→∞) n / (1+1/n) = ∞ / (1+0) = ∞। যেহেতু সীমাটি অসীম, ಅನುক্রমটি অপসারী এবং unbounded।

53. Geometric Series Σ ar^(n-1) অভিসারী হয় যখন—

  1. |r| > 1
  2. |r| < 1
  3. |r| = 1
  4. r > 0

সঠিক উত্তর: (b) |r| < 1

ব্যাখ্যা: একটি গুণোত্তর শ্রেণী (Geometric Series) অভিসারী হয় যদি তার সাধারণ অনুপাত (common ratio) r-এর পরম মান 1-এর চেয়ে কম হয়, অর্থাৎ -1 < r < 1। এক্ষেত্রে এর যোগফল হয় a / (1-r)।

54. ফাংশন f(x) = sin(1/x) for x≠0, f(0)=0, x=0 বিন্দুতে কী?

  1. সন্তত (Continuous)
  2. অবকলনযোগ্য (Differentiable)
  3. অসন্তত (Discontinuous)
  4. একঘেয়ে (Monotone)

সঠিক উত্তর: (c) অসন্তত (Discontinuous)

ব্যাখ্যা: lim (x→0) sin(1/x) এর কোনো অস্তিত্ব নেই, কারণ x শূন্যের কাছে এলে 1/x অসীমের দিকে যায় এবং sin(1/x) এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে দ্রুত দুলতে থাকে। যেহেতু lim (x→0) f(x) ≠ f(0), ফাংশনটি x=0 বিন্দুতে অসন্তত।

55. যদি y = e^(ax), তবে y_n (n-তম ডেরিভেটিভ) কত?

  1. e^(ax)
  2. a * e^(ax)
  3. n * a * e^(ax)
  4. a^n * e^(ax)

সঠিক উত্তর: (d) a^n * e^(ax)

ব্যাখ্যা: y1 = a*e^(ax), y2 = a^2*e^(ax), y3 = a^3*e^(ax)। এই প্যাটার্ন থেকে দেখা যায় যে প্রতিবার অবকলন করার ফলে একটি করে ‘a’ গুণ হয়। সুতরাং n-তম ডেরিভেটিভ হবে a^n * e^(ax)।

56. f(x) = |x-1| ফাংশনের জন্য Lagrange’s Mean Value Theorem [0, 2] ব্যবধিতে প্রযোজ্য কি?

  1. হ্যাঁ, কারণ এটি সন্তত।
  2. না, কারণ এটি x=1 এ অবকলনযোগ্য নয়।
  3. না, কারণ f(0) ≠ f(2)।
  4. হ্যাঁ, কারণ এটি bounded।

সঠিক উত্তর: (b) না, কারণ এটি x=1 এ অবকলনযোগ্য নয়।

ব্যাখ্যা: LMVT প্রযোজ্য হওয়ার জন্য ফাংশনটিকে খোলা ব্যবধি (0, 2) তে অবকলনযোগ্য হতে হবে। f(x)=|x-1| ফাংশনটি x=1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য নয় (sharp corner আছে)। যেহেতু 1 বিন্দুটি (0, 2) ব্যবধির মধ্যে পড়ে, তাই LMVT প্রযোজ্য নয়।

57. f(x, y) = 2x^2 – xy + 2y^2 – 20x ফাংশনটির চরম বিন্দুর (critical point) স্থানাঙ্ক কী?

  1. (4, 1)
  2. (1, 4)
  3. (6, 1.5)
  4. (6, 3)

সঠিক উত্তর: (c) (6, 1.5) – প্রশ্নটি ভুল আছে, সঠিক উত্তর (4,1) নয়। আসুন গণনা করি।
f_x = 4x – y – 20 = 0
f_y = -x + 4y = 0 => x = 4y
প্রথম সমীকরণে x = 4y বসিয়ে পাই, 4(4y) – y – 20 = 0 => 16y – y = 20 => 15y = 20 => y = 4/3.
তাহলে x = 4 * (4/3) = 16/3.
সুতরাং, চরম বিন্দু হল (16/3, 4/3)। প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে কোনোটিই সঠিক নয়।

ব্যাখ্যা: চরম বিন্দু নির্ণয়ের জন্য আমাদের f_x = 0 এবং f_y = 0 সমাধান করতে হবে। ∂f/∂x = 4x – y – 20 = 0 —(1) ∂f/∂y = -x + 4y = 0 —(2) সমীকরণ (2) থেকে পাই x = 4y। এই মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই, 4(4y) – y – 20 = 0 বা 15y = 20, সুতরাং y = 4/3। অতএব, x = 4(4/3) = 16/3। চরম বিন্দুটি হল (16/3, 4/3)।

58. বৃত্তের পরিবার x^2 + y^2 = a^2 এর এনভেলপ (envelope) কী?

  1. একটি বিন্দু (0,0)
  2. একটি সরলরেখা
  3. একটি অধিবৃত্ত (parabola)
  4. এর কোনো এনভেলপ নেই।

সঠিক উত্তর: (d) এর কোনো এনভেলপ নেই।

ব্যাখ্যা: x^2 + y^2 = a^2 হল মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট সমকেন্দ্রিক বৃত্তের (concentric circles) পরিবার। এই পরিবারের কোনো দুটি সদস্য পরস্পরকে ছেদ করে না। এনভেলপ তৈরি হওয়ার জন্য পরিবারের সদস্যদের পরস্পরকে ছেদ করতে হয় বা স্পর্শ করতে হয়। যেহেতু এখানে তা হয় না, তাই এর কোনো এনভেলপ নেই।

59. Cauchy’s Mean Value Theorem (CMVT) অনুযায়ী, যদি f, g দুটি ফাংশন [a,b] তে সন্তত, (a,b) তে অবকলনযোগ্য এবং g'(x) ≠ 0 হয়, তবে c ∈ (a,b) বিদ্যমান যেখানে—

  1. f'(c)/g'(c) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
  2. f'(c) = g'(c)
  3. f(b)-f(a) = g(b)-g(a)
  4. f'(c)g(c) = g'(c)f(c)

সঠিক উত্তর: (a) f'(c)/g'(c) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

ব্যাখ্যা: এটি Cauchy’s Mean Value Theorem এর সঠিক বিবৃতি, যা Lagrange’s Mean Value Theorem এর একটি সাধারণ রূপ। L’Hospital’s Rule প্রমাণের জন্য এই উপপাদ্যটি ব্যবহৃত হয়।

60. যদি z = sin(x/y) হয়, তবে x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. z
  4. cos(x/y)

সঠিক উত্তর: (a) 0

ব্যাখ্যা: z = sin(x/y) একটি 0-ঘাতের সমসত্ত্ব ফাংশন, কারণ z(tx, ty) = sin(tx/ty) = sin(x/y) = t^0 * z(x,y)। Euler’s Theorem অনুযায়ী, n=0 হলে, x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = n*z = 0*z = 0।

61. যদি একটি অনুক্রমের সীমা अद्वितीय (unique) হয়, তবে অনুক্রমটি কী?

  1. অভিসারী (Convergent)
  2. অপসারী (Divergent)
  3. দোদুল্যমান (Oscillatory)
  4. Bounded

সঠিক উত্তর: (a) অভিসারী (Convergent)

ব্যাখ্যা: অভিসারী অনুক্রমের একটি মৌলিক ধর্ম হল এর একটি এবং কেবল একটি সীমা থাকে। যদি কোনো অনুক্রমের দুটি ভিন্ন উপ-অনুক্রম দুটি ভিন্ন সীমায় পৌঁছায়, তবে মূল অনুক্রমটি অপসারী হয়।

62. শ্রেণী Σ n!/n^n এর অভিসারিতা (convergence) পরীক্ষা করতে Ratio Test ব্যবহার করলে সীমার মান কত হবে?

  1. 0
  2. 1/e
  3. 1
  4. e

সঠিক উত্তর: (b) 1/e

ব্যাখ্যা: a_n = n!/n^n, a_{n+1} = (n+1)!/(n+1)^(n+1). lim |a_{n+1}/a_n| = lim [(n+1)!/(n+1)^(n+1)] * [n^n/n!] = lim [(n+1)/(n+1)^(n+1)] * n^n = lim n^n / (n+1)^n = lim [n/(n+1)]^n = lim [1/(1+1/n)]^n = 1 / lim (1+1/n)^n = 1/e. যেহেতু 1/e < 1, শ্রেণীটি অভিসারী।

63. যদি f(x) একটি বিপরীতযোগ্য (invertible) ফাংশন হয় এবং g হল f-এর বিপরীত ফাংশন (inverse), তবে g'(y) এর সূত্র কী?

  1. f'(x)
  2. 1 / f'(x)
  3. -f'(x)
  4. f'(1/x)

সঠিক উত্তর: (b) 1 / f'(x)

ব্যাখ্যা: বিপরীত ফাংশনের ডেরিভেটিভের সূত্র অনুযায়ী, যদি y = f(x) হয় তবে x = g(y)। dx/dy = 1 / (dy/dx)। সুতরাং, g'(y) = 1 / f'(x)।

64. y = log(x) বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল?

  1. (1, 0)
  2. (e, 1)
  3. (0, -∞)
  4. এমন কোনো বিন্দু নেই

সঠিক উত্তর: (d) এমন কোনো বিন্দু নেই

ব্যাখ্যা: স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার জন্য dy/dx = 0 হতে হবে। y=log(x) হলে, dy/dx = 1/x। 1/x = 0 সমীকরণের কোনো সসীম সমাধান নেই। সুতরাং, এমন কোনো বিন্দু নেই যেখানে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল।

65. lim (x→1) (x^n – 1) / (x – 1) এর মান কত?

  1. 1
  2. n
  3. n-1
  4. 0

সঠিক উত্তর: (b) n

ব্যাখ্যা: এটি 0/0 আকার। L’Hospital’s Rule প্রয়োগ করে, lim (x→1) (nx^(n-1)) / 1 = n * 1^(n-1) = n। এটি ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করেও পাওয়া যায়: f(x)=x^n হলে, f'(1) = n।

66. f(x, y) = e^(x+y) এর জন্য f_xy(0,0) এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. e
  4. 2

সঠিক উত্তর: (b) 1

ব্যাখ্যা: f_x = e^(x+y), f_xy = ∂/∂y(e^(x+y)) = e^(x+y)। সুতরাং, f_xy(0,0) = e^(0+0) = e^0 = 1।

67. বক্ররেখা y = x^3 এর নতি পরিবর্তন বিন্দু (point of inflection) কোনটি?

  1. x = 1
  2. x = -1
  3. x = 0
  4. কোনো নতি পরিবর্তন বিন্দু নেই

সঠিক উত্তর: (c) x = 0

ব্যাখ্যা: নতি পরিবর্তন বিন্দুর জন্য f”(x) = 0 হতে হবে এবং f”(x) ওই বিন্দুর চারপাশে চিহ্ন পরিবর্তন করবে। f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2, f”(x) = 6x। f”(x)=0 হলে x=0। x<0 এর জন্য f''(x)<0 (concave down) এবং x>0 এর জন্য f”(x)>0 (concave up)। সুতরাং, x=0 হল নতি পরিবর্তন বিন্দু।

68. y=mx+c সরলরেখা পরিবারের এনভেলপ কী, যেখানে m হল প্যারামিটার এবং c=1/m?

  1. একটি বৃত্ত (circle)
  2. একটি অধিবৃত্ত (parabola)
  3. একটি পরাবৃত্ত (hyperbola)
  4. একটি বিন্দু (point)

সঠিক উত্তর: (b) একটি অধিবৃত্ত (parabola)

ব্যাখ্যা: সমীকরণটি হল y = mx + 1/m। m এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ করে পাই 0 = x – 1/m^2, অর্থাৎ m^2 = 1/x। m = ±1/√x। এই মান মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই y = (±1/√x)x + (±√x) = ±√x ±√x = ±2√x। উভয়দিকে বর্গ করে পাই y^2 = 4x, যা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।

69. বাস্তব সংখ্যার Completeness Axiom কী নিশ্চিত করে?

  1. প্রতিটি bounded অনুক্রমের একটি অভিসারী উপ-অনুক্রম আছে।
  2. প্রতিটি ঊর্ধ্বbounded, অশূন্য সেটের একটি supremum আছে।
  3. দুটি বাস্তব সংখ্যার মধ্যে আরেকটি বাস্তব সংখ্যা আছে।
  4. বাস্তব সংখ্যাগুলি গণনযোগ্য (countable)।

সঠিক উত্তর: (b) প্রতিটি ঊর্ধ্বbounded, অশূন্য সেটের একটি supremum আছে।

ব্যাখ্যা: Completeness Axiom বা সম্পূর্ণতা স্বতঃসিদ্ধ হল বাস্তব সংখ্যা সিস্টেমের একটি বৈশিষ্ট্য যা মূলদ সংখ্যা থেকে একে আলাদা করে। এটি বলে যে বাস্তব সংখ্যার যেকোনো অশূন্য উপসেট যা ঊর্ধ্বbounded, তার একটি লঘিষ্ঠ ঊর্ধ্ব বন্ধন (supremum) বাস্তব সংখ্যার মধ্যেই থাকবে। এটি “no gaps” ধারণাটিকে আনুষ্ঠানিক করে।

70. যদি lim a_n = L এবং lim b_n = M হয়, তবে lim (a_n * b_n) কত?

  1. L + M
  2. L – M
  3. L * M
  4. L / M (M≠0)

সঠিক উত্তর: (c) L * M

ব্যাখ্যা: এটি সীমার অ্যালজেব্রার (Algebra of Limits) একটি মৌলিক উপপাদ্য। দুটি অভিসারী অনুক্রমের গুণফলের সীমা তাদের সীমার গুণফলের সমান।

71. Comparison Test অনুযায়ী, যদি 0 ≤ a_n ≤ b_n হয় এবং Σ b_n অভিসারী হয়, তবে—

  1. Σ a_n অভিসারী
  2. Σ a_n অপসারী
  3. Σ a_n শর্তসাপেক্ষে অভিসারী
  4. কিছুই বলা যায় না

সঠিক উত্তর: (a) Σ a_n অভিসারী

ব্যাখ্যা: এটি Comparison Test-এর একটি অংশ। যদি একটি ছোট শ্রেণীর (a_n) প্রতিটি পদ একটি বড় অভিসারী শ্রেণীর (b_n) সংশ্লিষ্ট পদের চেয়ে ছোট বা সমান হয়, তবে ছোট শ্রেণীটিও অভিসারী হবে।

72. ফাংশন f(x) = x যদি x মূলদ হয় এবং f(x) = -x যদি x অমূলদ হয়। এই ফাংশনটি কোন বিন্দুতে সন্তত?

  1. x = 1
  2. x = -1
  3. x = 0
  4. কোথাও সন্তত নয়

সঠিক উত্তর: (c) x = 0

ব্যাখ্যা: সন্ততার জন্য, মূলদ এবং অমূলদ মানগুলি একই সীমার দিকে যেতে হবে। এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন x = -x হয়, যা x=0 তে সত্য। x=0 তে, উভয় ক্ষেত্রেই মান 0 হয়, তাই ফাংশনটি শুধুমাত্র x=0 বিন্দুতে সন্তত।

73. y = (ax+b)^m এর n-তম ডেরিভেটিভ কী হবে? (n ≤ m)

  1. m! * a^n * (ax+b)^(m-n)
  2. (m! / (m-n)!) * a^n * (ax+b)^(m-n)
  3. m! * (ax+b)^(m-n)
  4. a^n * (ax+b)^(m-n)

সঠিক উত্তর: (b) (m! / (m-n)!) * a^n * (ax+b)^(m-n)

ব্যাখ্যা: y1 = m*a*(ax+b)^(m-1), y2 = m(m-1)*a^2*(ax+b)^(m-2), … y_n = m(m-1)…(m-n+1) * a^n * (ax+b)^(m-n)। m(m-1)…(m-n+1) কে m!/(m-n)! হিসাবে লেখা যায়।

74. একটি কণার বেগ v(t) = 3t^2 – 2t. t=2 সেকেন্ডে কণাটির ত্বরণ (acceleration) কত?

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 6

সঠিক উত্তর: (b) 10

ব্যাখ্যা: ত্বরণ হল বেগের সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ। a(t) = v'(t) = d/dt (3t^2 – 2t) = 6t – 2। t=2 তে, a(2) = 6(2) – 2 = 12 – 2 = 10।

75. lim (x→0) (1 – cos x) / x^2 এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 1/2
  4. 2

সঠিক উত্তর: (c) 1/2

ব্যাখ্যা: এটি 0/0 আকার। L’Hospital’s Rule প্রয়োগ করে পাই lim (sin x) / (2x)। এটিও 0/0 আকার। আবার প্রয়োগ করে পাই lim (cos x) / 2 = cos(0)/2 = 1/2।

76. যদি f(x, y) একটি সমসত্ত্ব ফাংশন হয়, তবে তার আংশিক ডেরিভেটিভগুলোও (partial derivatives) কি সমসত্ত্ব?

  1. হ্যাঁ, এবং তাদের ঘাত একই থাকে।
  2. হ্যাঁ, এবং তাদের ঘাত এক কমে যায়।
  3. না, তারা সমসত্ত্ব হয় না।
  4. হ্যাঁ, এবং তাদের ঘাত এক বেড়ে যায়।

সঠিক উত্তর: (b) হ্যাঁ, এবং তাদের ঘাত এক কমে যায়।

ব্যাখ্যা: যদি f(x, y) n-ঘাতের সমসত্ত্ব হয়, তবে তার প্রথম ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভ ∂f/∂x এবং ∂f/∂y উভয়ই (n-1) ঘাতের সমসত্ত্ব ফাংশন হয়।

77. implicit function x^2 + y^2 = 25 এর জন্য dy/dx এর মান (3, 4) বিন্দুতে কত?

  1. 3/4
  2. -3/4
  3. 4/3
  4. -4/3

সঠিক উত্তর: (b) -3/4

ব্যাখ্যা: সমীকরণটিকে x এর সাপেক্ষে implicit differentiation করে পাই, 2x + 2y(dy/dx) = 0। সুতরাং, dy/dx = -2x / 2y = -x/y। (3, 4) বিন্দুতে, dy/dx = -3/4।

78. y = x^2 বক্ররেখার (1,1) বিন্দুতে অভিলম্বের (normal) সমীকরণ কী?

  1. x + 2y = 3
  2. 2x + y = 3
  3. x – 2y = -1
  4. 2x – y = 1

সঠিক উত্তর: (a) x + 2y = 3

ব্যাখ্যা: dy/dx = 2x। (1,1) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি m_t = 2(1) = 2। অভিলম্বের নতি m_n = -1/2। অভিলম্বের সমীকরণ: y – 1 = (-1/2)(x – 1) => 2y – 2 = -x + 1 => x + 2y = 3।

79. অনুক্রম a_n = (cos n) / n এর সীমা কত?

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. অস্তিত্ব নেই

সঠিক উত্তর: (c) 0

ব্যাখ্যা: আমরা জানি -1 ≤ cos n ≤ 1। সুতরাং, -1/n ≤ (cos n)/n ≤ 1/n। যেহেতু lim (-1/n) = 0 এবং lim (1/n) = 0, Sandwich (or Squeeze) Theorem অনুযায়ী, lim (cos n)/n = 0।

80. শ্রেণী Σ 1 / (√n) কী?

  1. অভিসারী (Convergent)
  2. অপসারী (Divergent)
  3. শর্তসাপেক্ষে অভিসারী
  4. পর্যায়ক্রমিক

সঠিক উত্তর: (b) অপসারী (Divergent)

ব্যাখ্যা: এটি একটি p-series, Σ 1/n^p, যেখানে p = 1/2। যেহেতু p = 1/2 ≤ 1, p-series পরীক্ষা অনুযায়ী শ্রেণীটি অপসারী।

81. Intermediate Value Theorem অনুযায়ী, যদি f [a,b] তে সন্তত হয় এবং k এমন একটি সংখ্যা হয় যা f(a) ও f(b)-এর মধ্যে অবস্থিত, তবে—

  1. c ∈ (a,b) আছে যেখানে f(c) = k
  2. c ∈ (a,b) আছে যেখানে f'(c) = k
  3. f(x) = k সমীকরণের কোনো সমাধান নেই
  4. k অবশ্যই 0 হতে হবে

সঠিক উত্তর: (a) c ∈ (a,b) আছে যেখানে f(c) = k

ব্যাখ্যা: এটি মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যের (Intermediate Value Theorem) বিবৃতি। এর অর্থ হল একটি সন্তত ফাংশন দুটি মানের মধ্যবর্তী সমস্ত মান গ্রহণ করে, কোনো মানকে “লাফিয়ে” (skip) যায় না।

82. y = x^2 * e^x এর n-তম ডেরিভেটিভ Leibnitz’s theorem দিয়ে নির্ণয় করলে, n=3 এর জন্য y”’ এর মান কত হবে?

  1. (x^2 + 6x + 6)e^x
  2. (x^2 + 3x + 3)e^x
  3. (x^2 + 2x)e^x
  4. (6x + 6)e^x

সঠিক উত্তর: (a) (x^2 + 6x + 6)e^x

ব্যাখ্যা: u = e^x, v = x^2. u_n = e^x, v’ = 2x, v” = 2, v”’ = 0. y”’ = (u”’v) + 3(u”v’) + 3(u’v”) + (uv”’) = (e^x * x^2) + 3(e^x * 2x) + 3(e^x * 2) + 0 = e^x(x^2 + 6x + 6).

83. lim (x→0+) x log(x) এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. -∞

সঠিক উত্তর: (a) 0

ব্যাখ্যা: এটি 0*(-∞) অনির্ণেয় আকার। একে L’Hospital’s Rule এর জন্য ∞/∞ আকারে লেখা যায়: lim log(x) / (1/x). ডেরিভেটিভ করে পাই lim (1/x) / (-1/x^2) = lim (-x) = 0।

84. একটি বলের ব্যাসার্ধ (radius) r সেকেন্ডে 2 cm/s হারে বাড়ছে। যখন ব্যাসার্ধ 10 cm, তখন বলটির আয়তন (volume) কী হারে বাড়ছে?

  1. 400π cm³/s
  2. 800π cm³/s
  3. 80π cm³/s
  4. 40π cm³/s

সঠিক উত্তর: (b) 800π cm³/s

ব্যাখ্যা: গোলকের আয়তন V = (4/3)πr^3। সময়ের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ করে পাই dV/dt = (4/3)π * 3r^2 * (dr/dt) = 4πr^2(dr/dt)। প্রদত্ত dr/dt = 2 এবং r=10। সুতরাং dV/dt = 4π(10)^2 * 2 = 4π * 100 * 2 = 800π cm³/s।

85. যদি f(x, y, z) একটি n ঘাতের সমসত্ত্ব ফাংশন হয়, Euler’s Theorem অনুযায়ী কোনটি সঠিক?

  1. x f_x + y f_y + z f_z = n f
  2. f_x + f_y + f_z = n f
  3. x f_x + y f_y + z f_z = 0
  4. x f_x – y f_y – z f_z = n f

সঠিক উত্তর: (a) x f_x + y f_y + z f_z = n f

ব্যাখ্যা: এটি তিন চলকের জন্য অয়লারের সমসত্ত্ব ফাংশন উপপাদ্যের (Euler’s Homogeneous Function Theorem) সরাসরি বিবৃতি।

86. ফাংশন f(x, y) এর একটি saddle point (স্যাডল বিন্দু) তে কী হয়?

  1. এটি একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান
  2. এটি একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান
  3. এটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নয়
  4. f_x = f_y = 0 হয় না

সঠিক উত্তর: (c) এটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নয়

ব্যাখ্যা: একটি স্যাডল বিন্দু একটি চরম বিন্দু (critical point) যেখানে ফাংশনটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান ধারণ করে না। এই বিন্দুতে f_xx * f_yy – (f_xy)^2 < 0 হয়। জ্যামিতিকভাবে, এটি একটি ঘোড়ার জিনের মতো আকৃতির, যা এক দিকে উপরে এবং অন্য দিকে নিচে বাঁকানো থাকে।

87. একটি strictly monotone ফাংশনের বিপরীত ফাংশন—

  1. সর্বদা বিদ্যমান এবং strictly monotone
  2. বিদ্যমান নাও থাকতে পারে
  3. বিদ্যমান কিন্তু monotone নয়
  4. সর্বদা একটি ধ্রুবক ফাংশন

সঠিক উত্তর: (a) সর্বদা বিদ্যমান এবং strictly monotone

ব্যাখ্যা: একটি কঠোরভাবে একঘেয়ে (strictly monotone) ফাংশন সর্বদা এক-এক (one-to-one) হয়, তাই এর একটি বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান থাকে। এই বিপরীত ফাংশনটিও কঠোরভাবে একঘেয়ে হয়। যদি মূল ফাংশন আরোহী হয়, বিপরীতটিও আরোহী হবে।

88. Bolzano-Weierstrass theorem for sequences কী বলে?

  1. প্রতিটি bounded অনুক্রমের একটি অভিসারী উপ-অনুক্রম আছে।
  2. প্রতিটি অভিসারী অনুক্রম bounded হয়।
  3. প্রতিটি একঘেয়ে অনুক্রম অভিসারী হয়।
  4. প্রতিটি Cauchy অনুক্রম অভিসারী হয়।

সঠিক উত্তর: (a) প্রতিটি bounded অনুক্রমের একটি অভিসারী উপ-অনুক্রম আছে।

ব্যাখ্যা: এটি Bolzano-Weierstrass উপপাদ্যের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি, যা বাস্তব সংখ্যার সম্পূর্ণতার (completeness) একটি ফল। এটি নিশ্চিত করে যে একটি সীমাবদ্ধ পরিসরের মধ্যে অসীম সংখ্যক পদ থাকলে, সেগুলির একটি পুঞ্জীভূত বিন্দু (accumulation point) থাকবে।

89. y = sin⁻¹(x) এর ডেরিভেটিভ কী?

  1. 1 / √(1-x²)
  2. -1 / √(1-x²)
  3. 1 / (1+x²)
  4. -1 / (1+x²)

সঠিক উত্তর: (a) 1 / √(1-x²)

ব্যাখ্যা: এটি একটি প্রমাণ সূত্র। y = sin⁻¹(x) হলে, sin(y) = x। x এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ করে পাই, cos(y) * dy/dx = 1। dy/dx = 1/cos(y) = 1/√(1-sin²y) = 1/√(1-x²)।

90. L’Hospital’s Rule এর জন্য 1^∞ আকারের সীমাটিকে কীভাবে রূপান্তর করা হয়?

  1. লগারিদম ব্যবহার করে 0 * ∞ আকারে আনা হয়।
  2. সরাসরি ডেরিভেটিভ করা হয়।
  3. reciprocal নিয়ে 0/0 আকারে আনা হয়।
  4. এটি একটি নির্ণেয় আকার, রূপান্তরের প্রয়োজন নেই।

সঠিক উত্তর: (a) লগারিদম ব্যবহার করে 0 * ∞ আকারে আনা হয়।

ব্যাখ্যা: যদি lim y = 1^∞ হয়, তবে আমরা lim (log y) নির্ণয় করি। এটি log(1^∞) → ∞ * log(1) → ∞ * 0 আকারে পরিবর্তিত হয়। এরপর এটিকে 0/0 বা ∞/∞ আকারে এনে L’Hospital’s Rule প্রয়োগ করা হয় এবং শেষে প্রাপ্ত সীমার exponential নেওয়া হয়।

91. যদি u(x, y) একটি harmonic function হয়, তবে কোনটি সত্য?

  1. u_x + u_y = 0
  2. u_xx + u_yy = 0
  3. u_xy = 0
  4. u_xx – u_yy = 0

সঠিক উত্তর: (b) u_xx + u_yy = 0

ব্যাখ্যা: একটি দ্বি-চলকের ফাংশন u(x, y) কে হারমোনিক বলা হয় যদি এটি ল্যাপ্লাসের সমীকরণ (Laplace’s equation) ∇²u = u_xx + u_yy = 0 কে সিদ্ধ করে।

92. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 40 মিটার। এর ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হওয়ার জন্য দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হতে হবে?

  1. 15m, 5m
  2. 12m, 8m
  3. 10m, 10m
  4. 18m, 2m

সঠিক উত্তর: (c) 10m, 10m

ব্যাখ্যা: ধরি দৈর্ঘ্য x এবং প্রস্থ y। 2(x+y) = 40 => x+y=20 => y=20-x। ক্ষেত্রফল A = xy = x(20-x) = 20x – x^2। dA/dx = 20 – 2x = 0 => x=10। d²A/dx² = -2 < 0, তাই এটি সর্বোচ্চ। x=10 হলে, y=10। অর্থাৎ, এটি একটি বর্গক্ষেত্র হবে।

93. পর্যায়ক্রমিক শ্রেণী Σ (-1)^n / log(n) কি ধরনের?

  1. অপসারী (Divergent)
  2. শর্তসাপেক্ষে অভিসারী (Conditionally convergent)
  3. পরম অভিসারী (Absolutely convergent)
  4. দোদুল্যমান (Oscillatory)

সঠিক উত্তর: (b) শর্তসাপেক্ষে অভিসারী (Conditionally convergent)

ব্যাখ্যা: a_n = 1/log(n) একঘেয়ে অবরোহী এবং lim a_n = 0, তাই Leibnitz’s test অনুযায়ী শ্রেণীটি অভিসারী। কিন্তু পরম মানের শ্রেণী Σ 1/log(n) অপসারী (কারণ 1/log(n) > 1/n এবং Σ 1/n অপসারী)। তাই শ্রেণীটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী।

94. যদি z = f(u) এবং u = xy হয়, তবে ∂z/∂x কত?

  1. f'(u) * y
  2. f'(u) * x
  3. f'(u)
  4. f'(u) * xy

সঠিক উত্তর: (a) f'(u) * y

ব্যাখ্যা: Chain rule অনুযায়ী, ∂z/∂x = (dz/du) * (∂u/∂x)। এখানে dz/du = f'(u) এবং ∂u/∂x = y। সুতরাং, ∂z/∂x = f'(u) * y।

95. y^2 = 4ax অধিবৃত্তের (x₁, y₁) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কী?

  1. yy₁ = 2a(x+x₁)
  2. yy₁ = 4a(x+x₁)
  3. yy₁ = a(x+x₁)
  4. y = mx + a/m

সঠিক উত্তর: (a) yy₁ = 2a(x+x₁)

ব্যাখ্যা: এটি একটি প্রমাণ সূত্র। Implicit differentiation করে পাই 2y(dy/dx) = 4a, dy/dx = 2a/y। (x₁, y₁) বিন্দুতে নতি হল 2a/y₁। স্পর্শকের সমীকরণ y – y₁ = (2a/y₁)(x – x₁), যা সরল করলে yy₁ = 2a(x+x₁) হয় (কারণ y₁² = 4ax₁)।

96. Archimedean property of real numbers কী বলে?

  1. দুটি ভিন্ন বাস্তব সংখ্যার মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা আছে।
  2. যেকোনো দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা x, y এর জন্য, একটি পূর্ণসংখ্যা n আছে যাতে nx > y হয়।
  3. বাস্তব সংখ্যা অগণনযোগ্য (uncountable)।
  4. প্রতিটি Cauchy অনুক্রম অভিসারী।

সঠিক উত্তর: (b) যেকোনো দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা x, y এর জন্য, একটি পূর্ণসংখ্যা n আছে যাতে nx > y হয়।

ব্যাখ্যা: আর্কিমিডিয়ান ধর্ম বলে যে বাস্তব সংখ্যা রেখায় অসীমভাবে বড় বা অসীমভাবে ছোট (শূন্য ছাড়া) উপাদান নেই। যেকোনো বাস্তব সংখ্যাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে যথেষ্টবার গুণ করে অন্য যেকোনো বাস্তব সংখ্যাকে অতিক্রম করা যায়।

97. y = a cos(x) + b sin(x) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান কত?

  1. a+b
  2. |a+b|
  3. √(a²+b²)
  4. a²+b²

সঠিক উত্তর: (c) √(a²+b²)

ব্যাখ্যা: আমরা লিখতে পারি y = √(a²+b²) [ (a/√(a²+b²))cos(x) + (b/√(a²+b²))sin(x) ]। ধরি cos(α) = a/√(a²+b²) এবং sin(α) = b/√(a²+b²)। তাহলে y = √(a²+b²) [cos(α)cos(x) + sin(α)sin(x)] = √(a²+b²)cos(x-α)। যেহেতু cos(x-α) এর সর্বোচ্চ মান 1, y এর সর্বোচ্চ মান হল √(a²+b²)।

98. যদি একটি ফাংশন একটি ব্যবধিতে অবকলনযোগ্য (differentiable) হয় এবং তার ডেরিভেটিভ শূন্য হয়, তবে ফাংশনটি—

  1. আরোহী (increasing)
  2. অবরোহী (decreasing)
  3. ধ্রুবক (constant)
  4. শূন্য

সঠিক উত্তর: (c) ধ্রুবক (constant)

ব্যাখ্যা: এটি Mean Value Theorem-এর একটি অনুসিদ্ধান্ত। যদি একটি ব্যবধির সমস্ত বিন্দুতে f'(x)=0 হয়, তবে ওই ব্যবধিতে ফাংশনটি একটি ধ্রুবক হবে।

99. Cauchy’s general principle of convergence কিসের জন্য একটি আবশ্যিক ও পর্যাপ্ত শর্ত (necessary and sufficient condition)?

  1. একটি অনুক্রমের boundedness-এর জন্য
  2. একটি অনুক্রমের একঘেয়ে হওয়ার জন্য
  3. একটি অনুক্রমের অভিসারিতার জন্য
  4. একটি শ্রেণীর পরম অভিসারিতার জন্য

সঠিক উত্তর: (c) একটি অনুক্রমের অভিসারিতার জন্য

ব্যাখ্যা: Cauchy’s criterion একটি অনুক্রম বা শ্রেণীর অভিসারিতার জন্য একটি সম্পূর্ণ নির্ণায়ক। এটি বলে যে একটি অনুক্রম অভিসারী হবে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি Cauchy অনুক্রম হয়, অর্থাৎ এর পদগুলি একে অপরের যথেষ্ট কাছাকাছি আসে।

100. বক্ররেখা f(x, y) = c এর একটি বিন্দুতে অভিলম্বের (normal) দিক কোন ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত হয়?

  1. Tangent vector
  2. Gradient vector (∇f)
  3. Zero vector
  4. Position vector

সঠিক উত্তর: (b) Gradient vector (∇f)

ব্যাখ্যা: একটি লেভেল কার্ভ f(x,y) = c এর যেকোনো বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) ওই বিন্দুতে বক্ররেখার উপর লম্ব বা অভিলম্ব বরাবর থাকে। এটি ফাংশনের সর্বাধিক বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।

Scroll to Top