प्रश्न 1. एक ही पदार्थ के बने दो तारों की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात क्रमशः 1 : 2 और 1 : 2 है। यदि इन दोनों तारों पर समान भार (equal force) लटकाया जाए, तो उनकी लंबाइयों में होने वाली वृद्धि (elongation) का अनुपात क्या होगा?
Q1. Two wires of the same material have lengths and radii in the ratio 1 : 2 and 1 : 2 respectively. If they are stretched by the same force, the ratio of their elongations is:
सही उत्तर: B) 2 : 1
Correct Answer: B) 2 : 1
स्पष्टीकरण:
यंग गुणांक का सूत्र है: Y = (F × L) / (A × ΔL) = (F × L) / (π r² × ΔL)
– विरूपण (elongation): ΔL = (F × L) / (π r² × Y) ⇒ ΔL ∝ L / r² (चूँकि F और Y दोनों तारों के लिए समान हैं)।
– अनुपातों की तुलना करने पर: ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (r₂ / r₁)²
– ΔL₁ / ΔL₂ = (1 / 2) × (2 / 1)² = (1 / 2) × 4 = 2 / 1 = 2 : 1।
यंग गुणांक का सूत्र है: Y = (F × L) / (A × ΔL) = (F × L) / (π r² × ΔL)
– विरूपण (elongation): ΔL = (F × L) / (π r² × Y) ⇒ ΔL ∝ L / r² (चूँकि F और Y दोनों तारों के लिए समान हैं)।
– अनुपातों की तुलना करने पर: ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (r₂ / r₁)²
– ΔL₁ / ΔL₂ = (1 / 2) × (2 / 1)² = (1 / 2) × 4 = 2 / 1 = 2 : 1।
Explanation:
Young’s modulus is given by: Y = (F L) / (A ΔL) = (F L) / (π r² ΔL).
– Elongation is: ΔL = (F L) / (π r² Y) ⇒ ΔL ∝ L / r² (since F and Y are constant).
– Ratio of elongations: ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (r₂ / r₁)² = (1 / 2) × (2 / 1)² = 2 : 1.
Young’s modulus is given by: Y = (F L) / (A ΔL) = (F L) / (π r² ΔL).
– Elongation is: ΔL = (F L) / (π r² Y) ⇒ ΔL ∝ L / r² (since F and Y are constant).
– Ratio of elongations: ΔL₁ / ΔL₂ = (L₁ / L₂) × (r₂ / r₁)² = (1 / 2) × (2 / 1)² = 2 : 1.
प्रश्न 2. किसी खींचे हुए तार के प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy density, u) का सही सूत्र क्या है?
Q2. The elastic potential energy stored per unit volume (energy density, u) in a stretched wire is:
सही उत्तर: D) उपरोक्त A और C दोनों सत्य हैं
Correct Answer: D) Both A and C are correct
स्पष्टीकरण:
– ऊर्जा घनत्व (Energy density) का मूल सूत्र: u = 1/2 × प्रतिबल (Stress) × विकृति (Strain) (अतः विकल्प A सत्य है)।
– हुक के नियम (Hooke’s Law) से: Stress = Y × Strain ⇒ Strain = Stress / Y
– इस मान को रखने पर: u = 1/2 × Stress × (Stress / Y) = 1/2 × (Stress)² / Y (अतः विकल्प C भी सत्य है)।
– ऊर्जा घनत्व (Energy density) का मूल सूत्र: u = 1/2 × प्रतिबल (Stress) × विकृति (Strain) (अतः विकल्प A सत्य है)।
– हुक के नियम (Hooke’s Law) से: Stress = Y × Strain ⇒ Strain = Stress / Y
– इस मान को रखने पर: u = 1/2 × Stress × (Stress / Y) = 1/2 × (Stress)² / Y (अतः विकल्प C भी सत्य है)।
Explanation:
– The basic formula for elastic potential energy density is: u = 1/2 × Stress × Strain (Option A is correct).
– Using Hooke’s Law: Strain = Stress / Y.
– Substituting this: u = 1/2 × (Stress)² / Y (Option C is also correct). Therefore, both A and C are mathematically correct representations.
– The basic formula for elastic potential energy density is: u = 1/2 × Stress × Strain (Option A is correct).
– Using Hooke’s Law: Strain = Stress / Y.
– Substituting this: u = 1/2 × (Stress)² / Y (Option C is also correct). Therefore, both A and C are mathematically correct representations.
प्रश्न 3. किसी पदार्थ के लिए व्यावहारिक रूप से प्वासों अनुपात (Poisson’s ratio, σ) की सही परास (range) क्या होती है?
Q3. Practically, the range of Poisson’s ratio (σ) for most real materials is:
सही उत्तर: B) 0 to 0.5
Correct Answer: B) 0 to 0.5
स्पष्टीकरण:
– इलास्टिसिटी सिद्धांत के अनुसार, प्वासों अनुपात का सैद्धांतिक (theoretical) मान -1 से +0.5 के बीच होता है।
– लेकिन वास्तविक या व्यावहारिक पदार्थों (practical materials) के लिए इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। अतः व्यावहारिक सीमा **0 से 0.5** के बीच होती है।
– इलास्टिसिटी सिद्धांत के अनुसार, प्वासों अनुपात का सैद्धांतिक (theoretical) मान -1 से +0.5 के बीच होता है।
– लेकिन वास्तविक या व्यावहारिक पदार्थों (practical materials) के लिए इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। अतः व्यावहारिक सीमा **0 से 0.5** के बीच होती है।
Explanation:
– Theoretically, the range of Poisson’s ratio is between -1 and +0.5 based on elasticity formulas.
– However, practically, real materials do not expand laterally when stretched (which would yield a negative value). Hence, the practical range is **0 to 0.5**.
– Theoretically, the range of Poisson’s ratio is between -1 and +0.5 based on elasticity formulas.
– However, practically, real materials do not expand laterally when stretched (which would yield a negative value). Hence, the practical range is **0 to 0.5**.
प्रश्न 4. एक हाइड्रोलिक लिफ्ट (hydraulic press) में छोटे पिस्टन का क्षेत्रफल 10 cm² है जिस पर 50 N का बल लगाया जाता है। बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल 100 cm² है। बड़ा पिस्टन कितना अधिकतम बल (Force) सहन या उठा सकता है?
Q4. In a hydraulic press, a force of 50 N is applied to a small piston of area 10 cm². If the area of the larger piston is 100 cm², the maximum force exerted by the larger piston is:
सही उत्तर: B) 500 N
Correct Answer: B) 500 N
स्पष्टीकरण:
पास्कल के नियमानुसार (Pascal’s Law), बंद द्रव में सभी बिंदुओं पर दाब परिवर्तन समान रूप से संचरित होता है: P₁ = P₂
– F₁ / A₁ = F₂ / A₂
– 50 / 10 = F₂ / 100 ⇒ 5 = F₂ / 100 ⇒ F₂ = 500 N।
पास्कल के नियमानुसार (Pascal’s Law), बंद द्रव में सभी बिंदुओं पर दाब परिवर्तन समान रूप से संचरित होता है: P₁ = P₂
– F₁ / A₁ = F₂ / A₂
– 50 / 10 = F₂ / 100 ⇒ 5 = F₂ / 100 ⇒ F₂ = 500 N।
Explanation:
According to Pascal’s Law, the pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every portion of the fluid:
– P₁ = P₂ ⇒ F₁ / A₁ = F₂ / A₂.
– Substituting the values: 50 / 10 = F₂ / 100 ⇒ F₂ = 500 N.
According to Pascal’s Law, the pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every portion of the fluid:
– P₁ = P₂ ⇒ F₁ / A₁ = F₂ / A₂.
– Substituting the values: 50 / 10 = F₂ / 100 ⇒ F₂ = 500 N.
प्रश्न 5. एक लकड़ी का गुटका पानी में इस प्रकार तैरता है कि उसका 2/3 भाग पानी के भीतर (submerged) डूबा रहता है। लकड़ी का आपेक्षिक घनत्व (density of wood) क्या होगा? (पानी का घनत्व 1000 kg/m³ है)
Q5. A block of wood floats in water with 2/3 of its volume submerged. The density of the wood is: (Density of water is 1000 kg/m³)
सही उत्तर: B) 667 kg/m³
Correct Answer: B) 667 kg/m³
स्पष्टीकरण:
प्लवन के नियम (Law of Floatation) से, तैरती हुई वस्तु का भार = विस्थापित द्रव का भार:
– V × ρ_wood × g = V_in × ρ_water × g
– ρ_wood = (V_in / V) × ρ_water
प्रश्नानुसार, V_in = 2/3 V:
– ρ_wood = (2 / 3) × 1000 ≈ 667 kg/m³।
प्लवन के नियम (Law of Floatation) से, तैरती हुई वस्तु का भार = विस्थापित द्रव का भार:
– V × ρ_wood × g = V_in × ρ_water × g
– ρ_wood = (V_in / V) × ρ_water
प्रश्नानुसार, V_in = 2/3 V:
– ρ_wood = (2 / 3) × 1000 ≈ 667 kg/m³।
Explanation:
By the Law of Floatation, the weight of the floating body equals the weight of the displaced liquid:
– V × ρ_wood × g = V_submerged × ρ_water × g.
– ρ_wood = (V_submerged / V) × ρ_water.
Given V_submerged = 2/3 V:
– ρ_wood = 2/3 × 1000 = 666.7 ≈ 667 kg/m³.
By the Law of Floatation, the weight of the floating body equals the weight of the displaced liquid:
– V × ρ_wood × g = V_submerged × ρ_water × g.
– ρ_wood = (V_submerged / V) × ρ_water.
Given V_submerged = 2/3 V:
– ρ_wood = 2/3 × 1000 = 666.7 ≈ 667 kg/m³.
प्रश्न 6. श्यान माध्यम (viscous medium) में गुरुत्व के अधीन स्वतंत्र रूप से गिरती हुई एक छोटी गोलाकार बूंद का सीमांत वेग (terminal velocity, v_t) उसकी त्रिज्या (r) पर किस प्रकार निर्भर करता है?
Q6. The terminal velocity (v_t) of a tiny spherical drop falling freely through a viscous medium under gravity varies with its radius (r) as:
सही उत्तर: B) v_t ∝ r²
Correct Answer: B) v_t ∝ r²
स्पष्टीकरण:
स्टोक्स के नियम के अनुसार सीमांत वेग का सूत्र है:
v_t = 2/9 × [ r² (ρ_body – ρ_medium) g ] / η
चूँकि अन्य सभी राशियाँ नियत हैं, अतः सीमांत वेग बूंद की त्रिज्या के वर्ग के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है: v_t ∝ r²।
स्टोक्स के नियम के अनुसार सीमांत वेग का सूत्र है:
v_t = 2/9 × [ r² (ρ_body – ρ_medium) g ] / η
चूँकि अन्य सभी राशियाँ नियत हैं, अतः सीमांत वेग बूंद की त्रिज्या के वर्ग के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है: v_t ∝ r²।
Explanation:
According to Stokes’ Law, the terminal velocity of a falling sphere is:
v_t = 2/9 × [ r² (ρ_s – ρ_f) g ] / η.
Since all other parameters are constant for a given fluid and material:
– v_t ∝ r².
According to Stokes’ Law, the terminal velocity of a falling sphere is:
v_t = 2/9 × [ r² (ρ_s – ρ_f) g ] / η.
Since all other parameters are constant for a given fluid and material:
– v_t ∝ r².
प्रश्न 7. सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, जब धाराप्रवाही द्रव एक असमान अनुप्रस्थ काट वाली नली से गुजरता है और नली की त्रिज्या आधी (radius is halved) कर दी जाती है, तो द्रव के प्रवाह का वेग कितना हो जाएगा?
Q7. According to the equation of continuity, when a liquid flows through a horizontal pipe of varying cross-section, if the radius of the pipe is halved, the velocity of flow becomes:
सही उत्तर: B) चार गुना (Four times)
Correct Answer: B) Four times
स्पष्टीकरण:
सांतत्य समीकरण से: A₁ v₁ = A₂ v₂
नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वृत्ताकार होता है: A = π r²
– π r₁² × v₁ = π r₂² × v₂ ⇒ v₂ / v₁ = (r₁ / r₂)²
– त्रिज्या आधी करने पर (r₂ = r₁ / 2):
– v₂ / v₁ = [ r₁ / (r₁/2) ]² = 2² = 4 ⇒ v₂ = 4 v₁।
सांतत्य समीकरण से: A₁ v₁ = A₂ v₂
नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वृत्ताकार होता है: A = π r²
– π r₁² × v₁ = π r₂² × v₂ ⇒ v₂ / v₁ = (r₁ / r₂)²
– त्रिज्या आधी करने पर (r₂ = r₁ / 2):
– v₂ / v₁ = [ r₁ / (r₁/2) ]² = 2² = 4 ⇒ v₂ = 4 v₁।
Explanation:
From the equation of continuity: A₁ v₁ = A₂ v₂.
Since cross-sectional area of a pipe is circular: A = π r².
– π r₁² v₁ = π r₂² v₂ ⇒ v₂ = v₁ × (r₁ / r₂)².
– If the radius is halved (r₂ = r₁ / 2):
– v₂ = v₁ × (2)² = 4 v₁.
From the equation of continuity: A₁ v₁ = A₂ v₂.
Since cross-sectional area of a pipe is circular: A = π r².
– π r₁² v₁ = π r₂² v₂ ⇒ v₂ = v₁ × (r₁ / r₂)².
– If the radius is halved (r₂ = r₁ / 2):
– v₂ = v₁ × (2)² = 4 v₁.
प्रश्न 8. एक खुली टंकी में द्रव की सतह से h गहराई पर बने एक छोटे छिद्र से निकलने वाले द्रव का बहिःस्राव वेग (velocity of efflux, v) कितना होगा? (टॉरिसेली का नियम)
Q8. According to Torricelli’s law of efflux, the speed of efflux (v) of a liquid through a small hole at a depth h below the free surface in an open tank is:
सही उत्तर: C) √(2g h)
Correct Answer: C) √(2g h)
स्पष्टीकरण:
बर्नूली के प्रमेय (Bernoulli’s Theorem) के अनुप्रयोग से, टंकी के मुक्त पृष्ठ और छिद्र पर ऊर्जा की तुलना करने पर टॉरिसेली का बहिःस्राव वेग सूत्र प्राप्त होता है:
v = √(2g h)।
यह वेग उसी वेग के समान होता है जो कोई पिंड विराम से h ऊँचाई से गिरने पर प्राप्त करता है।
बर्नूली के प्रमेय (Bernoulli’s Theorem) के अनुप्रयोग से, टंकी के मुक्त पृष्ठ और छिद्र पर ऊर्जा की तुलना करने पर टॉरिसेली का बहिःस्राव वेग सूत्र प्राप्त होता है:
v = √(2g h)।
यह वेग उसी वेग के समान होता है जो कोई पिंड विराम से h ऊँचाई से गिरने पर प्राप्त करता है।
Explanation:
Applying Bernoulli’s Theorem between the top surface of the liquid and the orifice, Torricelli’s theorem yields the velocity of efflux as:
v = √(2g h).
This speed is identical to the speed acquired by a freely falling body dropped from a height h.
Applying Bernoulli’s Theorem between the top surface of the liquid and the orifice, Torricelli’s theorem yields the velocity of efflux as:
v = √(2g h).
This speed is identical to the speed acquired by a freely falling body dropped from a height h.
प्रश्न 9. T पृष्ठ तनाव (surface tension) और R त्रिज्या वाली एक द्रव की बूंद (liquid drop) के भीतर अतिरिक्त दाब (excess pressure, ΔP) का सही सूत्र क्या होगा?
Q9. The excess pressure (ΔP) inside a spherical liquid drop of radius R and surface tension T is:
सही उत्तर: B) 2T / R
Correct Answer: B) 2T / R
स्पष्टीकरण:
द्रव की बूंद (liquid drop) के पास केवल **एक मुक्त सतह (one free surface)** होती है।
– कार्य-ऊर्जा संतुलन से बूंद के भीतर अतिरिक्त दाब का मान प्राप्त होता है: ΔP = 2T / R।
द्रव की बूंद (liquid drop) के पास केवल **एक मुक्त सतह (one free surface)** होती है।
– कार्य-ऊर्जा संतुलन से बूंद के भीतर अतिरिक्त दाब का मान प्राप्त होता है: ΔP = 2T / R।
Explanation:
A liquid drop has only **one free surface** in contact with air.
– The excess pressure inside the liquid drop due to surface tension forces is given by: ΔP = 2T / R.
A liquid drop has only **one free surface** in contact with air.
– The excess pressure inside the liquid drop due to surface tension forces is given by: ΔP = 2T / R.
प्रश्न 10. साबुन के एक बुलबुले (soap bubble, त्रिज्या R, पृष्ठ तनाव T) के भीतर अतिरिक्त दाब (excess pressure) का मान कितना होगा?
Q10. The excess pressure (ΔP) inside a soap bubble of radius R and surface tension T is:
सही उत्तर: C) 4T / R
Correct Answer: C) 4T / R
स्पष्टीकरण:
साबुन के बुलबुले (soap bubble) की दीवार बहुत पतली होती है और इसके पास **दो मुक्त सतहें (two free surfaces)** होती हैं (एक भीतर हवा के साथ और दूसरी बाहर हवा के साथ)।
– अतः अतिरिक्त दाब का मान द्रव की बूंद की तुलना में दोगुना होता है: ΔP = 2 × (2T / R) = 4T / R।
साबुन के बुलबुले (soap bubble) की दीवार बहुत पतली होती है और इसके पास **दो मुक्त सतहें (two free surfaces)** होती हैं (एक भीतर हवा के साथ और दूसरी बाहर हवा के साथ)।
– अतः अतिरिक्त दाब का मान द्रव की बूंद की तुलना में दोगुना होता है: ΔP = 2 × (2T / R) = 4T / R।
Explanation:
A soap bubble in air has a very thin film of liquid, giving it **two free surfaces** (one inside and one outside).
– Therefore, the excess pressure is double that of a liquid drop: ΔP = 4T / R.
A soap bubble in air has a very thin film of liquid, giving it **two free surfaces** (one inside and one outside).
– Therefore, the excess pressure is double that of a liquid drop: ΔP = 4T / R.
प्रश्न 11. ज्यूरिन के नियम (Jurin’s Law) के अनुसार, केशिका नली (capillary tube, त्रिज्या r) में द्रव की ऊंचाई (h) का सही सूत्र क्या है? (जहाँ स्पर्श कोण θ है)
Q11. According to Jurin’s Law, the height h to which a liquid rises in a capillary tube of radius r is given by:
सही उत्तर: A) h = (2T cosθ) / (r ρ g)
Correct Answer: A) h = (2T cosθ) / (r ρ g)
स्पष्टीकरण:
केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने या नीचे गिरने की ऊंचाई का सूत्र गुरुत्वीय बल और पृष्ठ तनाव बल के संतुलन से निकाला जाता है:
h = (2T cosθ) / (r ρ g)।
– यहाँ से स्पष्ट है कि संकीर्ण नली (कम r) में द्रव अधिक ऊंचाई तक चढ़ता है (h ∝ 1 / r)।
केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने या नीचे गिरने की ऊंचाई का सूत्र गुरुत्वीय बल और पृष्ठ तनाव बल के संतुलन से निकाला जाता है:
h = (2T cosθ) / (r ρ g)।
– यहाँ से स्पष्ट है कि संकीर्ण नली (कम r) में द्रव अधिक ऊंचाई तक चढ़ता है (h ∝ 1 / r)।
Explanation:
The capillary rise formula is derived by balancing upward surface tension force with the weight of the liquid column:
h = (2T cosθ) / (r ρ g).
– It shows that the liquid rise is inversely proportional to the tube’s radius (h ∝ 1 / r).
The capillary rise formula is derived by balancing upward surface tension force with the weight of the liquid column:
h = (2T cosθ) / (r ρ g).
– It shows that the liquid rise is inversely proportional to the tube’s radius (h ∝ 1 / r).
प्रश्न 12. स्टोक्स के नियम (Stokes’ Law) के अनुसार, η श्यानता गुणांक वाले माध्यम में v वेग से गति कर रहे r त्रिज्या के गोले पर लगने वाला श्यान बल (viscous drag force, F) कितना होगा?
Q12. According to Stokes’ Law, the viscous drag force (F) acting on a sphere of radius r moving with velocity v through a fluid of viscosity coefficient η is:
सही उत्तर: A) F = 6π η r v
Correct Answer: A) F = 6π η r v
स्पष्टीकरण:
स्टोक्स के नियम के अनुसार, श्यान माध्यम में गतिशील छोटी गोलाकार वस्तुओं पर गति की विपरीत दिशा में लगने वाला प्रतिरोधी बल (drag force) निम्न सूत्र से दिया जाता है:
F = 6π η r v।
स्टोक्स के नियम के अनुसार, श्यान माध्यम में गतिशील छोटी गोलाकार वस्तुओं पर गति की विपरीत दिशा में लगने वाला प्रतिरोधी बल (drag force) निम्न सूत्र से दिया जाता है:
F = 6π η r v।
Explanation:
Stokes’ Law describes the retarding force experienced by a small spherical body moving through a viscous fluid medium:
F = 6π η r v.
Stokes’ Law describes the retarding force experienced by a small spherical body moving through a viscous fluid medium:
F = 6π η r v.
प्रश्न 13. T पृष्ठ तनाव वाले साबुन के घोल से एक R त्रिज्या का बुलबुला (soap bubble) फूंकने में किया गया आवश्यक कार्य (Work done) कितना होगा?
Q13. The work done in blowing a spherical soap bubble of radius R from a soap solution of surface tension T is:
सही उत्तर: B) 8π R² T
Correct Answer: B) 8π R² T
स्पष्टीकरण:
किया गया कार्य = पृष्ठ ऊर्जा में हुई कुल वृद्धि:
W = T × ΔA
– साबुन के बुलबुले में दो मुक्त सतहें होती हैं, अतः कुल बढ़ा हुआ क्षेत्रफल: ΔA = 2 × (4π R²) = 8π R²
– कार्य: W = 8π R² T।
(यदि यह द्रव की बूंद होती, तो किया गया कार्य केवल 4π R² T होता)।
किया गया कार्य = पृष्ठ ऊर्जा में हुई कुल वृद्धि:
W = T × ΔA
– साबुन के बुलबुले में दो मुक्त सतहें होती हैं, अतः कुल बढ़ा हुआ क्षेत्रफल: ΔA = 2 × (4π R²) = 8π R²
– कार्य: W = 8π R² T।
(यदि यह द्रव की बूंद होती, तो किया गया कार्य केवल 4π R² T होता)।
Explanation:
Work done equals the increase in surface free energy: W = T × ΔA.
– A soap bubble has two free surfaces, so the total surface area generated is: ΔA = 2 × (4π R²) = 8π R².
– Therefore, work done: W = 8π R² T.
Work done equals the increase in surface free energy: W = T × ΔA.
– A soap bubble has two free surfaces, so the total surface area generated is: ΔA = 2 × (4π R²) = 8π R².
– Therefore, work done: W = 8π R² T.
प्रश्न 14. T पृष्ठ तनाव वाली एक बड़ी द्रव की बूंद (त्रिज्या R) को तोड़कर समान आकार की n छोटी बूंदों में विभाजित करने में किया गया कुल कार्य कितना होगा?
Q14. The work done in breaking a larger liquid drop of radius R and surface tension T into n identical smaller droplets is:
सही उत्तर: A) 4π R² T (n¹/³ – 1)
Correct Answer: A) 4π R² T (n¹/³ – 1)
स्पष्टीकरण:
आयतन संरक्षण से: 4/3 π R³ = n × (4/3 π r³) ⇒ r = R / n¹/³
– प्रारंभिक क्षेत्रफल: A_i = 4π R²
– अंतिम क्षेत्रफल: A_f = n × 4π r² = n × 4π (R/n¹/³)² = 4π R² n¹/³
– बढ़ा हुआ क्षेत्रफल: ΔA = 4π R² (n¹/³ – 1)
– कार्य: W = T × ΔA = 4π R² T (n¹/³ – 1)। (इस प्रक्रिया में द्रव का तापमान गिरता है क्योंकि कार्य करने में आंतरिक ऊर्जा व्यय होती है)।
आयतन संरक्षण से: 4/3 π R³ = n × (4/3 π r³) ⇒ r = R / n¹/³
– प्रारंभिक क्षेत्रफल: A_i = 4π R²
– अंतिम क्षेत्रफल: A_f = n × 4π r² = n × 4π (R/n¹/³)² = 4π R² n¹/³
– बढ़ा हुआ क्षेत्रफल: ΔA = 4π R² (n¹/³ – 1)
– कार्य: W = T × ΔA = 4π R² T (n¹/³ – 1)। (इस प्रक्रिया में द्रव का तापमान गिरता है क्योंकि कार्य करने में आंतरिक ऊर्जा व्यय होती है)।
Explanation:
By conservation of volume: V_big = n × V_small ⇒ R³ = n r³ ⇒ r = R / n¹/³.
– Initial area: A_i = 4π R².
– Final area: A_f = n × 4π r² = 4π R² n¹/³.
– Increase in area: ΔA = 4π R² (n¹/³ – 1).
– Work done: W = T ΔA = 4π R² T (n¹/³ – 1).
By conservation of volume: V_big = n × V_small ⇒ R³ = n r³ ⇒ r = R / n¹/³.
– Initial area: A_i = 4π R².
– Final area: A_f = n × 4π r² = 4π R² n¹/³.
– Increase in area: ΔA = 4π R² (n¹/³ – 1).
– Work done: W = T ΔA = 4π R² T (n¹/³ – 1).
प्रश्न 15. तापमान बढ़ने पर द्रवों (liquids) और गैसों (gases) के श्यानता गुणांक (coefficient of viscosity, η) पर क्या प्रभाव पड़ता है?
Q15. With the increase in temperature, the coefficient of viscosity (η) of liquids and gases respectively:
सही उत्तर: C) द्रवों का घटता है और गैसों का बढ़ता है
Correct Answer: C) Decreases for liquids and increases for gases
स्पष्टीकरण:
– द्रवों में श्यानता का कारण उनके अणुओं के बीच लगने वाला ससंजक बल (cohesive force) होता है। तापमान बढ़ने पर यह बल कमजोर हो जाता है, जिससे द्रवों की श्यानता **घटती** है।
– गैसों में श्यानता का कारण गैस अणुओं का विसरण (diffusion/collisions) होता है। तापमान बढ़ने पर अणुओं की यादृच्छिक गति (random motion) तेज हो जाती है, जिससे गैसों की श्यानता **बढ़ती** है।
– द्रवों में श्यानता का कारण उनके अणुओं के बीच लगने वाला ससंजक बल (cohesive force) होता है। तापमान बढ़ने पर यह बल कमजोर हो जाता है, जिससे द्रवों की श्यानता **घटती** है।
– गैसों में श्यानता का कारण गैस अणुओं का विसरण (diffusion/collisions) होता है। तापमान बढ़ने पर अणुओं की यादृच्छिक गति (random motion) तेज हो जाती है, जिससे गैसों की श्यानता **बढ़ती** है।
Explanation:
– In liquids, viscosity is due to cohesive forces between molecules. As temperature rises, thermal agitation weakens these bonds, so viscosity of liquids **decreases**.
– In gases, viscosity is due to molecular momentum transfer. Higher temperature increases molecular thermal velocities and collisions, so viscosity of gases **increases**.
– In liquids, viscosity is due to cohesive forces between molecules. As temperature rises, thermal agitation weakens these bonds, so viscosity of liquids **decreases**.
– In gases, viscosity is due to molecular momentum transfer. Higher temperature increases molecular thermal velocities and collisions, so viscosity of gases **increases**.
प्रश्न 16. सामान्यतः तापमान बढ़ने पर द्रवों के पृष्ठ तनाव (surface tension) पर क्या प्रभाव पड़ता है?
Q16. With the increase in temperature, the surface tension of a liquid generally:
सही उत्तर: B) घटता है (Decreases)
Correct Answer: B) Decreases
स्पष्टीकरण:
तापमान बढ़ने पर द्रव के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है, जिससे उनके बीच का ससंजक बल (cohesive force) कमजोर पड़ने लगता है।
– चूंकि पृष्ठ तनाव ससंजक बल के कारण ही होता है, अतः तापमान बढ़ने पर पृष्ठ तनाव **घटता** है। (क्रांतिक तापमान/critical temperature पर पृष्ठ तनाव शून्य हो जाता है)।
तापमान बढ़ने पर द्रव के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है, जिससे उनके बीच का ससंजक बल (cohesive force) कमजोर पड़ने लगता है।
– चूंकि पृष्ठ तनाव ससंजक बल के कारण ही होता है, अतः तापमान बढ़ने पर पृष्ठ तनाव **घटता** है। (क्रांतिक तापमान/critical temperature पर पृष्ठ तनाव शून्य हो जाता है)।
Explanation:
As the temperature of a liquid increases, molecular thermal kinetic energy increases, which weakens the cohesive intermolecular attractions.
– Consequently, the surface tension of the liquid **decreases** with increasing temperature (it becomes zero at the critical temperature).
As the temperature of a liquid increases, molecular thermal kinetic energy increases, which weakens the cohesive intermolecular attractions.
– Consequently, the surface tension of the liquid **decreases** with increasing temperature (it becomes zero at the critical temperature).
प्रश्न 17. काँच की साफ नली में पानी और काँच की सतह के बीच स्पर्श कोण (angle of contact) कैसा होता है?
Q17. For a clean glass capillary tube containing pure water, the angle of contact is:
सही उत्तर: A) न्यूनकोण (Acute angle, θ < 90°)
Correct Answer: A) Acute angle (θ < 90°)
स्पष्टीकरण:
जो द्रव काँच को भिगोते हैं (जैसे पानी), उनके लिए आसंजक बल (adhesive force) का मान ससंजक बल (cohesive force) से अधिक होता है।
– ऐसे द्रवों के लिए स्पर्श कोण **न्यूनकोण (acute angle)** होता है और मेनिस्कस का आकार अवतल (concave) होता है।
– (काँच और पारे/mercury के बीच स्पर्श कोण अधिककोण होता है क्योंकि पारा काँच को नहीं भिगोता)।
जो द्रव काँच को भिगोते हैं (जैसे पानी), उनके लिए आसंजक बल (adhesive force) का मान ससंजक बल (cohesive force) से अधिक होता है।
– ऐसे द्रवों के लिए स्पर्श कोण **न्यूनकोण (acute angle)** होता है और मेनिस्कस का आकार अवतल (concave) होता है।
– (काँच और पारे/mercury के बीच स्पर्श कोण अधिककोण होता है क्योंकि पारा काँच को नहीं भिगोता)।
Explanation:
Liquids that wet the walls of the container (such as water on clean glass) have adhesive forces greater than cohesive forces.
– For these liquids, the angle of contact is **acute (θ < 90°)** (pure water on clean glass has an angle of nearly 0°), forming a concave meniscus.
Liquids that wet the walls of the container (such as water on clean glass) have adhesive forces greater than cohesive forces.
– For these liquids, the angle of contact is **acute (θ < 90°)** (pure water on clean glass has an angle of nearly 0°), forming a concave meniscus.
प्रश्न 18. समान त्रिज्या r वाली पानी की दो बूंदें आपस में मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं। यदि प्रत्येक छोटी बूंद का सीमांत वेग v है, तो नई बड़ी बूंद का सीमांत वेग कितना होगा?
Q18. Two identical water drops of radius r falling with terminal velocity v merge to form a single larger drop. The terminal velocity of the new larger drop is:
सही उत्तर: C) 2²/³ v
Correct Answer: C) 2²/³ v
स्पष्टीकरण:
– आयतन संरक्षण से बड़ी बूंद की त्रिज्या R:
– 4/3 π R³ = 2 × (4/3 π r³) ⇒ R = 2¹/³ r
– हम जानते हैं कि सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है: v_t ∝ r²
– नया सीमांत वेग: v’ / v = (R / r)² = (2¹/³)² = 2²/³ ⇒ v’ = 2²/³ v।
– आयतन संरक्षण से बड़ी बूंद की त्रिज्या R:
– 4/3 π R³ = 2 × (4/3 π r³) ⇒ R = 2¹/³ r
– हम जानते हैं कि सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होता है: v_t ∝ r²
– नया सीमांत वेग: v’ / v = (R / r)² = (2¹/³)² = 2²/³ ⇒ v’ = 2²/³ v।
Explanation:
– By conservation of volume, the radius R of the merged drop is: 4/3 π R³ = 2 × 4/3 π r³ ⇒ R = 2¹/³ r.
– Since terminal velocity satisfies v_t ∝ r²:
– v’ / v = (R / r)² = (2¹/³)² = 2²/³ ⇒ v’ = 2²/³ v.
– By conservation of volume, the radius R of the merged drop is: 4/3 π R³ = 2 × 4/3 π r³ ⇒ R = 2¹/³ r.
– Since terminal velocity satisfies v_t ∝ r²:
– v’ / v = (R / r)² = (2¹/³)² = 2²/³ ⇒ v’ = 2²/³ v.
प्रश्न 19. बर्नूली का प्रमेय (Bernoulli’s Theorem) निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि के संरक्षण नियम पर आधारित है?
Q19. Bernoulli’s Theorem for fluid flow is a statement of the law of conservation of:
सही उत्तर: C) ऊर्जा (Energy)
Correct Answer: C) Energy
स्पष्टीकरण:
बर्नूली का प्रमेय आदर्श द्रवों (अश्यान और असम्पीड्य) के धाराप्रवाही प्रवाह में ऊर्जा संरक्षण को व्यक्त करता है।
– इस नियम के अनुसार, प्रवाह के प्रत्येक बिंदु पर प्रति इकाई आयतन की कुल ऊर्जा (दाब ऊर्जा + गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) नियत रहती है:
– P + 1/2 ρ v² + ρ g h = नियतांक।
बर्नूली का प्रमेय आदर्श द्रवों (अश्यान और असम्पीड्य) के धाराप्रवाही प्रवाह में ऊर्जा संरक्षण को व्यक्त करता है।
– इस नियम के अनुसार, प्रवाह के प्रत्येक बिंदु पर प्रति इकाई आयतन की कुल ऊर्जा (दाब ऊर्जा + गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) नियत रहती है:
– P + 1/2 ρ v² + ρ g h = नियतांक।
Explanation:
Bernoulli’s Theorem is based on the law of conservation of energy applied to streamline flow of an ideal fluid (non-viscous and incompressible).
– It states that the sum of pressure energy, kinetic energy, and potential energy per unit volume is constant along a streamline:
– P + 1/2 ρ v² + ρ g h = constant.
Bernoulli’s Theorem is based on the law of conservation of energy applied to streamline flow of an ideal fluid (non-viscous and incompressible).
– It states that the sum of pressure energy, kinetic energy, and potential energy per unit volume is constant along a streamline:
– P + 1/2 ρ v² + ρ g h = constant.
प्रश्न 20. F तनाव बल लगाने पर एक तार में उत्पन्न विरूपण (elongation) x है। तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy, U) कितनी होगी?
Q20. A wire is stretched by a tension force F resulting in an elongation x. The elastic potential energy U stored in the wire is:
सही उत्तर: B) 1/2 F × x
Correct Answer: B) 1/2 F × x
स्पष्टीकरण:
तार को खींचने में किया गया कार्य ही उसमें स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
– विरूपण शून्य से x तक होने के दौरान औसत बल F_avg = (0 + F) / 2 = 1/2 F होता है।
– संचित ऊर्जा: Work = Average Force × Displacement = 1/2 F × x।
तार को खींचने में किया गया कार्य ही उसमें स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
– विरूपण शून्य से x तक होने के दौरान औसत बल F_avg = (0 + F) / 2 = 1/2 F होता है।
– संचित ऊर्जा: Work = Average Force × Displacement = 1/2 F × x।
Explanation:
The work done in stretching the wire is stored as elastic potential energy.
– Since the tension force varies linearly from 0 to F, the average force is F_avg = 1/2 F.
– Energy stored: U = Work Done = F_avg × x = 1/2 F × x.
The work done in stretching the wire is stored as elastic potential energy.
– Since the tension force varies linearly from 0 to F, the average force is F_avg = 1/2 F.
– Energy stored: U = Work Done = F_avg × x = 1/2 F × x.
प्रश्न 21. ρ_s घनत्व वाले एक ठोस पिंड का हवा में भार W है। जब इसे ρ_l घनत्व वाले द्रव में पूरी तरह डुबोया जाता है, तो पिंड का आभासी भार (apparent weight, W’) क्या होगा?
Q21. A solid of density ρ_s has weight W in air. When completely immersed in a liquid of density ρ_l, the apparent weight W’ of the solid is:
सही उत्तर: A) W × (1 – ρ_l / ρ_s)
Correct Answer: A) W × (1 – ρ_l / ρ_s)
स्पष्टीकरण:
आर्किमिडीज के सिद्धांत (Archimedes’ Principle) से, आभासी भार = वास्तविक भार – उत्प्लावन बल (buoyancy force):
– W_app = V ρ_s g – V ρ_l g = V ρ_s g [ 1 – ρ_l / ρ_s ]
– चूंकि W = V ρ_s g (हवा में वास्तविक भार), अतः आभासी भार:
– W’ = W × (1 – ρ_l / ρ_s)।
आर्किमिडीज के सिद्धांत (Archimedes’ Principle) से, आभासी भार = वास्तविक भार – उत्प्लावन बल (buoyancy force):
– W_app = V ρ_s g – V ρ_l g = V ρ_s g [ 1 – ρ_l / ρ_s ]
– चूंकि W = V ρ_s g (हवा में वास्तविक भार), अतः आभासी भार:
– W’ = W × (1 – ρ_l / ρ_s)।
Explanation:
By Archimedes’ Principle, the apparent weight of the immersed body is the actual weight minus the buoyant force:
– W’ = W – F_b = V ρ_s g – V ρ_l g.
– Factoring out V ρ_s g (which is W):
– W’ = W × (1 – ρ_l / ρ_s).
By Archimedes’ Principle, the apparent weight of the immersed body is the actual weight minus the buoyant force:
– W’ = W – F_b = V ρ_s g – V ρ_l g.
– Factoring out V ρ_s g (which is W):
– W’ = W × (1 – ρ_l / ρ_s).
प्रश्न 22. किसी द्रव के क्रांतिक वेग (critical velocity, v_c – वह अधिकतम वेग जहाँ तक प्रवाह धाराप्रवाही रहता है) का मान श्यानता गुणांक (η), घनत्व (ρ) और नली के व्यास (D) पर किस प्रकार निर्भर करता है?
Q22. The critical velocity (v_c) of flow of a liquid through a tube of diameter D is related to viscosity η and density ρ as:
सही उत्तर: A) v_c = R_e η / (ρ D)
Correct Answer: A) v_c = R_e η / (ρ D)
स्पष्टीकरण:
रेनॉल्ड्स संख्या (Reynolds Number) का सूत्र है: R_e = (ρ v D) / η
– क्रांतिक वेग की स्थिति में v = v_c:
– v_c = R_e η / (ρ D)।
(जहाँ R_e रेनॉल्ड्स संख्या है। यदि R_e < 2000 हो, तो प्रवाह धाराप्रवाही/streamline होता है)।
रेनॉल्ड्स संख्या (Reynolds Number) का सूत्र है: R_e = (ρ v D) / η
– क्रांतिक वेग की स्थिति में v = v_c:
– v_c = R_e η / (ρ D)।
(जहाँ R_e रेनॉल्ड्स संख्या है। यदि R_e < 2000 हो, तो प्रवाह धाराप्रवाही/streamline होता है)।
Explanation:
Reynolds number is defined as: R_e = (ρ v D) / η.
– Rearranging for critical velocity v_c:
– v_c = R_e η / (ρ D).
Reynolds number is defined as: R_e = (ρ v D) / η.
– Rearranging for critical velocity v_c:
– v_c = R_e η / (ρ D).
प्रश्न 23. भारहीनता की स्थिति (जैसे अंतरिक्ष यान) में, केशिका नली (capillary tube) में पानी के चढ़ने की ऊंचाई कितनी होगी?
Q23. In a satellite in a state of weightlessness (zero gravity), the height to which water rises in a capillary tube of length L is:
सही उत्तर: B) नली की कुल लंबाई L तक
Correct Answer: B) Up to the full length of the tube L
स्पष्टीकरण:
– ज्यूरिन के नियम के अनुसार: h = (2T cosθ) / (r ρ g)
– भारहीनता की स्थिति में आभासी गुरुत्वीय त्वरण g = 0 हो जाता है।
– g ⇒ 0 होने पर, सैद्धांतिक रूप से h ⇒ ∞ होना चाहिए।
– अतः पानी केशिका नली के ऊपरी छोर (very top) तक चढ़ जाएगा। चूंकि वहाँ पृष्ठ तनाव बल दिशा बदल लेता है, इसलिए पानी बाहर नहीं गिरेगा बल्कि ऊपरी किनारे पर एक गोलाकार सतह बना लेगा।
– ज्यूरिन के नियम के अनुसार: h = (2T cosθ) / (r ρ g)
– भारहीनता की स्थिति में आभासी गुरुत्वीय त्वरण g = 0 हो जाता है।
– g ⇒ 0 होने पर, सैद्धांतिक रूप से h ⇒ ∞ होना चाहिए।
– अतः पानी केशिका नली के ऊपरी छोर (very top) तक चढ़ जाएगा। चूंकि वहाँ पृष्ठ तनाव बल दिशा बदल लेता है, इसलिए पानी बाहर नहीं गिरेगा बल्कि ऊपरी किनारे पर एक गोलाकार सतह बना लेगा।
Explanation:
– From Jurin’s Law: h = (2T cosθ) / (r ρ g).
– In a weightless environment, the effective acceleration due to gravity is g = 0.
– As g ⇒ 0, mathematically h ⇒ ∞.
– Therefore, water will rise to the very top end of the tube (length L). It will not overflow because the meniscus adjusts its angle of contact at the edge to balance the force.
– From Jurin’s Law: h = (2T cosθ) / (r ρ g).
– In a weightless environment, the effective acceleration due to gravity is g = 0.
– As g ⇒ 0, mathematically h ⇒ ∞.
– Therefore, water will rise to the very top end of the tube (length L). It will not overflow because the meniscus adjusts its angle of contact at the edge to balance the force.
प्रश्न 24. द्रवों के धाराप्रवाही प्रवाह (streamline flow) के संदर्भ में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Q24. Which of the following is correct regarding the streamline flow of a fluid?
सही उत्तर: D) उपरोक्त सभी कथन सत्य हैं
Correct Answer: D) All of the above are correct
स्पष्टीकरण:
धाराप्रवाही प्रवाह (streamline/laminar flow) के बुनियादी लक्षण हैं:
– किसी निश्चित बिंदु से गुजरने वाले प्रत्येक कण का वेग (परिमाण और दिशा) नियत रहता है (विकल्प B सत्य है)।
– दो धारा रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काट सकतीं, क्योंकि यदि वे काटेंगी, तो कटान बिंदु पर वेग की दो दिशाएं होंगी जो असंभव है (विकल्प A सत्य है)।
– प्रवाह तभी तक धाराप्रवाही रहता है जब तक वेग क्रांतिक वेग से कम हो (विकल्प C सत्य है)।
धाराप्रवाही प्रवाह (streamline/laminar flow) के बुनियादी लक्षण हैं:
– किसी निश्चित बिंदु से गुजरने वाले प्रत्येक कण का वेग (परिमाण और दिशा) नियत रहता है (विकल्प B सत्य है)।
– दो धारा रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काट सकतीं, क्योंकि यदि वे काटेंगी, तो कटान बिंदु पर वेग की दो दिशाएं होंगी जो असंभव है (विकल्प A सत्य है)।
– प्रवाह तभी तक धाराप्रवाही रहता है जब तक वेग क्रांतिक वेग से कम हो (विकल्प C सत्य है)।
Explanation:
Streamline flow has the following fundamental properties:
– Streamlines can never intersect because at the point of intersection, a fluid particle would have two different directions of velocity, which is impossible (A is correct).
– The velocity of particles passing through a specific point is uniform in time (B is correct).
– Streamline flow only occurs when the flow speed is below the critical velocity threshold (C is correct). Therefore, all statements are correct.
Streamline flow has the following fundamental properties:
– Streamlines can never intersect because at the point of intersection, a fluid particle would have two different directions of velocity, which is impossible (A is correct).
– The velocity of particles passing through a specific point is uniform in time (B is correct).
– Streamline flow only occurs when the flow speed is below the critical velocity threshold (C is correct). Therefore, all statements are correct.
प्रश्न 25. किसी पदार्थ की संपीड्यता (compressibility, C) का मान क्या होता है?
Q25. The compressibility (C) of a substance is defined as:
सही उत्तर: A) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक का व्युत्क्रम (Reciprocal of Bulk Modulus)
Correct Answer: A) Reciprocal of Bulk Modulus
स्पष्टीकरण:
संपीड़्यता (Compressibility) यह दर्शाती है कि किसी पदार्थ को दबाना कितना आसान है।
– परिभाषा के अनुसार, **आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus, B)** के व्युत्क्रम को संपीड़्यता कहते हैं: C = 1 / B।
– गैसों की संपीड्यता बहुत अधिक होती है, जबकि ठोस और द्रवों की संपीड्यता नगण्य होती है।
संपीड़्यता (Compressibility) यह दर्शाती है कि किसी पदार्थ को दबाना कितना आसान है।
– परिभाषा के अनुसार, **आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk Modulus, B)** के व्युत्क्रम को संपीड़्यता कहते हैं: C = 1 / B।
– गैसों की संपीड्यता बहुत अधिक होती है, जबकि ठोस और द्रवों की संपीड्यता नगण्य होती है।
Explanation:
Compressibility is a measure of how easily a substance’s volume decreases under pressure.
– Mathematically, it is defined as the reciprocal of the **Bulk Modulus (B)** of the material:
– C = 1 / B.
Compressibility is a measure of how easily a substance’s volume decreases under pressure.
– Mathematically, it is defined as the reciprocal of the **Bulk Modulus (B)** of the material:
– C = 1 / B.