प्रश्न 1. प्लांक नियतांक (h) का विमीय सूत्र (dimensional formula) निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि के समान है?
Q1. The dimensional formula of Planck’s constant (h) is equivalent to that of which of the following physical quantities?
सही उत्तर: B) कोणीय संवेग (Angular Momentum)
Correct Answer: B) Angular Momentum
स्पष्टीकरण:
समीकरण E = hν से, जहाँ E ऊर्जा और ν आवृत्ति है:
[h] = [E] / [ν] = [ML²T⁻²] / [T⁻¹] = [ML²T⁻¹]
कोणीय संवेग का विमीय सूत्र: [L] = [mvr] = [M][LT⁻¹][L] = [ML²T⁻¹]।
अतः दोनों की विमाएँ समान हैं।
समीकरण E = hν से, जहाँ E ऊर्जा और ν आवृत्ति है:
[h] = [E] / [ν] = [ML²T⁻²] / [T⁻¹] = [ML²T⁻¹]
कोणीय संवेग का विमीय सूत्र: [L] = [mvr] = [M][LT⁻¹][L] = [ML²T⁻¹]।
अतः दोनों की विमाएँ समान हैं।
Explanation:
From the equation E = hν, where E is energy and ν is frequency:
[h] = [E] / [ν] = [ML²T⁻²] / [T⁻¹] = [ML²T⁻¹].
The dimensional formula for Angular Momentum is: [L] = [mvr] = [M][LT⁻¹][L] = [ML²T⁻¹].
Thus, both have identical dimensions.
From the equation E = hν, where E is energy and ν is frequency:
[h] = [E] / [ν] = [ML²T⁻²] / [T⁻¹] = [ML²T⁻¹].
The dimensional formula for Angular Momentum is: [L] = [mvr] = [M][LT⁻¹][L] = [ML²T⁻¹].
Thus, both have identical dimensions.
प्रश्न 2. श्यानता गुणांक (coefficient of viscosity, η) का विमीय सूत्र क्या होगा?
Q2. The dimensional formula of the coefficient of viscosity (η) is:
सही उत्तर: A) [ML⁻¹T⁻¹]
Correct Answer: A) [ML⁻¹T⁻¹]
स्पष्टीकरण:
स्टोक्स के नियम (Stokes’ Law) से, श्यान बल: F = 6πηrv
η = F / (6πrv)
विमीय रूप से: [η] = [MLT⁻²] / ([L][LT⁻¹]) = [ML⁻¹T⁻¹]।
स्टोक्स के नियम (Stokes’ Law) से, श्यान बल: F = 6πηrv
η = F / (6πrv)
विमीय रूप से: [η] = [MLT⁻²] / ([L][LT⁻¹]) = [ML⁻¹T⁻¹]।
Explanation:
From Stokes’ Law, the viscous force is given by: F = 6πηrv.
η = F / (6πrv).
Dimensionally: [η] = [MLT⁻²] / ([L][LT⁻¹]) = [ML⁻¹T⁻¹].
From Stokes’ Law, the viscous force is given by: F = 6πηrv.
η = F / (6πrv).
Dimensionally: [η] = [MLT⁻²] / ([L][LT⁻¹]) = [ML⁻¹T⁻¹].
प्रश्न 3. निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता (permeability of free space, μ₀) का विमीय सूत्र निम्नलिखित में से कौन सा है?
Q3. The dimensional formula for the magnetic permeability of free space (μ₀) is:
सही उत्तर: A) [MLT⁻²A⁻²]
Correct Answer: A) [MLT⁻²A⁻²]
स्पष्टीकरण:
दो सीधे समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल:
F/L = (μ₀ I₁ I₂) / (2πd)
μ₀ = (F × 2πd) / (L × I₁ I₂)
विमीय रूप से: [μ₀] = ([MLT⁻²][L]) / ([L][A²]) = [MLT⁻²A⁻²]।
दो सीधे समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल:
F/L = (μ₀ I₁ I₂) / (2πd)
μ₀ = (F × 2πd) / (L × I₁ I₂)
विमीय रूप से: [μ₀] = ([MLT⁻²][L]) / ([L][A²]) = [MLT⁻²A⁻²]।
Explanation:
The force per unit length between two parallel current-carrying conductors is:
F/L = (μ₀ I₁ I₂) / (2πd).
Rearranging for μ₀: μ₀ = (F × 2πd) / (L × I₁ I₂).
Dimensionally: [μ₀] = ([MLT⁻²][L]) / ([L][A²]) = [MLT⁻²A⁻²].
The force per unit length between two parallel current-carrying conductors is:
F/L = (μ₀ I₁ I₂) / (2πd).
Rearranging for μ₀: μ₀ = (F × 2πd) / (L × I₁ I₂).
Dimensionally: [μ₀] = ([MLT⁻²][L]) / ([L][A²]) = [MLT⁻²A⁻²].
प्रश्न 4. यदि किसी परिपथ में प्रेरकत्व (inductance) L और प्रतिरोध (resistance) R हो, तो अनुपात L / R का विमीय सूत्र क्या होगा?
Q4. If inductance is L and resistance is R, then the dimensional formula of the ratio L / R is:
सही उत्तर: B) [M⁰L⁰T¹]
Correct Answer: B) [M⁰L⁰T¹]
स्पष्टीकरण:
अनुपात L/R को LR परिपथ का “समय नियतांक” (Time Constant, τ) कहा जाता है।
अतः इसकी विमा समय के समान होती है: [L/R] = [T] = [M⁰L⁰T¹]।
अनुपात L/R को LR परिपथ का “समय नियतांक” (Time Constant, τ) कहा जाता है।
अतः इसकी विमा समय के समान होती है: [L/R] = [T] = [M⁰L⁰T¹]।
Explanation:
The ratio L/R represents the time constant (τ) of an LR circuit.
Therefore, its dimension is identical to that of time: [L/R] = [T] = [M⁰L⁰T¹].
The ratio L/R represents the time constant (τ) of an LR circuit.
Therefore, its dimension is identical to that of time: [L/R] = [T] = [M⁰L⁰T¹].
प्रश्न 5. यदि बल (F), वेग (V) और समय (T) को मूल भौतिक राशियों के रूप में लिया जाए, तो द्रव्यमान (M) का विमीय सूत्र क्या होगा?
Q5. If Force (F), Velocity (V), and Time (T) are chosen as the fundamental physical quantities, then the dimensional formula of Mass (M) is:
सही उत्तर: A) [F V⁻¹ T¹]
Correct Answer: A) [F V⁻¹ T¹]
स्पष्टीकरण:
न्यूटन के द्वितीय नियम से: Force = Mass × Acceleration
F = M × (V / T)
M = F × T × V⁻¹ = [F V⁻¹ T¹]।
न्यूटन के द्वितीय नियम से: Force = Mass × Acceleration
F = M × (V / T)
M = F × T × V⁻¹ = [F V⁻¹ T¹]।
Explanation:
From Newton’s second law: Force = Mass × Acceleration.
Since Acceleration = Velocity / Time:
F = M × (V / T) ⇒ M = F × T / V = [F V⁻¹ T¹].
From Newton’s second law: Force = Mass × Acceleration.
Since Acceleration = Velocity / Time:
F = M × (V / T) ⇒ M = F × T / V = [F V⁻¹ T¹].
प्रश्न 6. एक ठोस घन (solid cube) का द्रव्यमान और उसकी भुजा की लंबाई मापकर उसका घनत्व (density) ज्ञात किया जाता है। यदि द्रव्यमान और लंबाई के मापन में अधिकतम त्रुटियाँ क्रमशः 3% और 2% हैं, तो घनत्व के मापन में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि कितनी होगी?
Q6. The density of a solid cube is measured by measuring its mass and the length of its sides. If the maximum errors in the measurement of mass and length are 3% and 2% respectively, the maximum percentage error in the measurement of density is:
सही उत्तर: C) 9%
Correct Answer: C) 9%
स्पष्टीकरण:
घनत्व का सूत्र: ρ = M / V = M / L³
त्रुटि का आनुपातिक सूत्र:
Δρ / ρ = ΔM / M + 3 × (ΔL / L)
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि = 3% + 3 × (2%) = 3% + 6% = 9%।
घनत्व का सूत्र: ρ = M / V = M / L³
त्रुटि का आनुपातिक सूत्र:
Δρ / ρ = ΔM / M + 3 × (ΔL / L)
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि = 3% + 3 × (2%) = 3% + 6% = 9%।
Explanation:
The formula for density is: ρ = M / V = M / L³.
The relative error expression is given by:
Δρ / ρ = ΔM / M + 3 × (ΔL / L).
Maximum percentage error = 3% + 3 × (2%) = 9%.
The formula for density is: ρ = M / V = M / L³.
The relative error expression is given by:
Δρ / ρ = ΔM / M + 3 × (ΔL / L).
Maximum percentage error = 3% + 3 × (2%) = 9%.
प्रश्न 7. सार्थक अंकों (significant figures) के नियमों के आधार पर, 9.99 m – 0.0099 m का मान कितना होगा?
Q7. Following the rules of significant figures, the value of 9.99 m – 0.0099 m is:
सही उत्तर: B) 9.98 m
Correct Answer: B) 9.98 m
स्पष्टीकरण:
घटाने पर: 9.99 – 0.0099 = 9.9801 m
जोड़ या घटाव के नियमानुसार, परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या में हैं।
यहाँ 9.99 में दशमलव के बाद केवल 2 स्थान हैं। अतः उत्तर को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित (round off) करने पर हमें **9.98 m** प्राप्त होता है।
घटाने पर: 9.99 – 0.0099 = 9.9801 m
जोड़ या घटाव के नियमानुसार, परिणाम में दशमलव के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि सबसे कम दशमलव स्थानों वाली संख्या में हैं।
यहाँ 9.99 में दशमलव के बाद केवल 2 स्थान हैं। अतः उत्तर को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित (round off) करने पर हमें **9.98 m** प्राप्त होता है।
Explanation:
Simple subtraction yields: 9.99 – 0.0099 = 9.9801 m.
In addition or subtraction, the result should be rounded off to keep the same number of decimal places as the term with the fewest decimal places.
Since 9.99 has only 2 decimal places, the final result must be rounded to 2 decimal places: **9.98 m**.
Simple subtraction yields: 9.99 – 0.0099 = 9.9801 m.
In addition or subtraction, the result should be rounded off to keep the same number of decimal places as the term with the fewest decimal places.
Since 9.99 has only 2 decimal places, the final result must be rounded to 2 decimal places: **9.98 m**.
प्रश्न 8. एक वर्नियर कैलिपर्स में मुख्य पैमाने (main scale) का 1 भाग a इकाई के बराबर है। यदि वर्नियर पैमाने का n-वां भाग मुख्य पैमाने के (n – 1)-वें भाग के संपाती (coincide) होता है, तो इस यंत्र का अल्पतमांक (least count) क्या होगा?
Q8. In a Vernier caliper, 1 division of the main scale is equal to a units. If the n-th division of the Vernier scale coincides with the (n – 1)-th division of the main scale, the least count of the instrument is:
सही उत्तर: A) a / n
Correct Answer: A) a / n
स्पष्टीकरण:
अल्पतमांक (LC) = 1 MSD – 1 VSD
प्रश्नानुसार, n VSD = (n – 1) MSD ⇒ 1 VSD = (n – 1) / n MSD
LC = 1 MSD – [(n – 1) / n] MSD = (1 / n) MSD
चूंकि 1 MSD = a, अतः LC = a / n।
अल्पतमांक (LC) = 1 MSD – 1 VSD
प्रश्नानुसार, n VSD = (n – 1) MSD ⇒ 1 VSD = (n – 1) / n MSD
LC = 1 MSD – [(n – 1) / n] MSD = (1 / n) MSD
चूंकि 1 MSD = a, अतः LC = a / n।
Explanation:
Least Count (LC) = 1 MSD – 1 VSD.
Given: n VSD = (n – 1) MSD ⇒ 1 VSD = (n – 1) / n MSD.
Thus, LC = 1 MSD – [(n – 1) / n] MSD = (1 / n) MSD.
Since 1 MSD = a, the LC = a / n.
Least Count (LC) = 1 MSD – 1 VSD.
Given: n VSD = (n – 1) MSD ⇒ 1 VSD = (n – 1) / n MSD.
Thus, LC = 1 MSD – [(n – 1) / n] MSD = (1 / n) MSD.
Since 1 MSD = a, the LC = a / n.
प्रश्न 9. एक स्क्रू गेज का चूड़ी अंतराल (pitch) 1.0 mm है और वृत्ताकार पैमाने पर 100 भाग हैं। जब जबड़ों के बीच कोई वस्तु नहीं होती है, तो वृत्ताकार पैमाने का शून्य संदर्भ रेखा से 3 भाग **नीचे** रहता है (धनात्मक त्रुटि)। जब एक तार का व्यास मापा जाता है, तो मुख्य पैमाना 2 mm और वृत्ताकार पैमाना 45 भाग दर्शाता है। तार का वास्तविक व्यास कितना है?
Q9. A screw gauge has a pitch of 1.0 mm and 100 divisions on its circular scale. When nothing is placed between the jaws, the zero of the circular scale lies 3 divisions **below** the reference line. While measuring the diameter of a wire, the main scale reads 2 mm and the circular scale reads 45 divisions. The correct diameter of the wire is:
सही उत्तर: C) 2.42 mm
Correct Answer: C) 2.42 mm
स्पष्टीकरण:
– अल्पतमांक (LC) = Pitch / Divisions = 1.0 mm / 100 = 0.01 mm
– शून्यांक त्रुटि (Zero Error) = +3 × 0.01 mm = +0.03 mm (चूंकि शून्य संदर्भ रेखा से नीचे है, अतः त्रुटि धनात्मक है)
– मापा गया पाठ्यांक = MSR + (CSR × LC) = 2 mm + (45 × 0.01 mm) = 2.45 mm
– वास्तविक व्यास = मापा गया पाठ्यांक – शून्यांक त्रुटि = 2.45 mm – 0.03 mm = 2.42 mm।
– अल्पतमांक (LC) = Pitch / Divisions = 1.0 mm / 100 = 0.01 mm
– शून्यांक त्रुटि (Zero Error) = +3 × 0.01 mm = +0.03 mm (चूंकि शून्य संदर्भ रेखा से नीचे है, अतः त्रुटि धनात्मक है)
– मापा गया पाठ्यांक = MSR + (CSR × LC) = 2 mm + (45 × 0.01 mm) = 2.45 mm
– वास्तविक व्यास = मापा गया पाठ्यांक – शून्यांक त्रुटि = 2.45 mm – 0.03 mm = 2.42 mm।
Explanation:
– Least Count (LC) = Pitch / Divisions = 1.0 mm / 100 = 0.01 mm.
– Zero Error = +3 × 0.01 mm = +0.03 mm (positive since circular scale zero is below reference line).
– Observed Reading = MSR + (CSR × LC) = 2 mm + (45 × 0.01 mm) = 2.45 mm.
– Correct Diameter = Observed Reading – Zero Error = 2.45 mm – 0.03 mm = 2.42 mm.
– Least Count (LC) = Pitch / Divisions = 1.0 mm / 100 = 0.01 mm.
– Zero Error = +3 × 0.01 mm = +0.03 mm (positive since circular scale zero is below reference line).
– Observed Reading = MSR + (CSR × LC) = 2 mm + (45 × 0.01 mm) = 2.45 mm.
– Correct Diameter = Observed Reading – Zero Error = 2.45 mm – 0.03 mm = 2.42 mm.
प्रश्न 10. एक भौतिक राशि X = (A² B^(1/2)) / (C^(1/3) D³) द्वारा व्यक्त की जाती है। यदि A, B, C और D के मापन में प्रतिशत त्रुटियाँ क्रमशः 1%, 2%, 3% और 4% हैं, तो X के निर्धारण में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि क्या होगी?
Q10. A physical quantity is represented by X = (A² B^(1/2)) / (C^(1/3) D³). If the percentage errors in the measurement of A, B, C and D are 1%, 2%, 3% and 4% respectively, the maximum percentage error in X is:
सही उत्तर: A) 16%
Correct Answer: A) 16%
स्पष्टीकरण:
समीकरण से त्रुटि का अधिकतम प्रतिशत संबंध:
ΔX/X × 100 = 2(ΔA/A × 100) + (1/2)(ΔB/B × 100) + (1/3)(ΔC/C × 100) + 3(ΔD/D × 100)
मान रखने पर:
Percentage Error = 2(1%) + (1/2)(2%) + (1/3)(3%) + 3(4%)
Percentage Error = 2% + 1% + 1% + 12% = 16%।
समीकरण से त्रुटि का अधिकतम प्रतिशत संबंध:
ΔX/X × 100 = 2(ΔA/A × 100) + (1/2)(ΔB/B × 100) + (1/3)(ΔC/C × 100) + 3(ΔD/D × 100)
मान रखने पर:
Percentage Error = 2(1%) + (1/2)(2%) + (1/3)(3%) + 3(4%)
Percentage Error = 2% + 1% + 1% + 12% = 16%।
Explanation:
The formula for the maximum fractional error is:
ΔX/X = 2(ΔA/A) + (1/2)(ΔB/B) + (1/3)(ΔC/C) + 3(ΔD/D).
Substituting the percentage values:
% error in X = 2(1%) + (1/2)(2%) + (1/3)(3%) + 3(4%) = 2% + 1% + 1% + 12% = 16%.
The formula for the maximum fractional error is:
ΔX/X = 2(ΔA/A) + (1/2)(ΔB/B) + (1/3)(ΔC/C) + 3(ΔD/D).
Substituting the percentage values:
% error in X = 2(1%) + (1/2)(2%) + (1/3)(3%) + 3(4%) = 2% + 1% + 1% + 12% = 16%.
प्रश्न 11. वैद्युत प्रतिरोध (electrical resistance, R) का विमीय सूत्र [M], [L], [T] और [A] के पदों में क्या होगा?
Q11. The dimensional formula of electrical resistance (R) in terms of [M], [L], [T] and [A] is:
सही उत्तर: A) [ML²T⁻³A⁻²]
Correct Answer: A) [ML²T⁻³A⁻²]
स्पष्टीकरण:
ओह्म के नियम से: R = V / I
चूंकि विभव V = W / q = W / (I × t), अतः:
R = W / (I² × t)
विमीय रूप से: [R] = [ML²T⁻²] / ([A²][T]) = [ML²T⁻³A⁻²]।
ओह्म के नियम से: R = V / I
चूंकि विभव V = W / q = W / (I × t), अतः:
R = W / (I² × t)
विमीय रूप से: [R] = [ML²T⁻²] / ([A²][T]) = [ML²T⁻³A⁻²]।
Explanation:
From Ohm’s Law: R = V / I.
Since potential difference is V = Work / Charge = W / (I × t):
R = W / (I² × t).
Dimensionally: [R] = [ML²T⁻²] / ([A²][T]) = [ML²T⁻³A⁻²].
From Ohm’s Law: R = V / I.
Since potential difference is V = Work / Charge = W / (I × t):
R = W / (I² × t).
Dimensionally: [R] = [ML²T⁻²] / ([A²][T]) = [ML²T⁻³A⁻²].
प्रश्न 12. स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक (Stefan-Boltzmann constant, σ) का विमीय सूत्र निम्नलिखित में से कौन सा है? (जहाँ तापमान को K से दर्शाया गया है)
Q12. The dimensional formula of the Stefan-Boltzmann constant (σ) is: (where temperature is denoted by K)
सही उत्तर: A) [MT⁻³K⁻⁴]
Correct Answer: A) [MT⁻³K⁻⁴]
स्पष्टीकरण:
स्टीफन के नियम से, उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय:
E = σ T⁴ ⇒ σ = E / T⁴
यहाँ E = Energy / (Area × Time) = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³]
अतः [σ] = [MT⁻³] / [K⁴] = [MT⁻³K⁻⁴]।
स्टीफन के नियम से, उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय:
E = σ T⁴ ⇒ σ = E / T⁴
यहाँ E = Energy / (Area × Time) = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³]
अतः [σ] = [MT⁻³] / [K⁴] = [MT⁻³K⁻⁴]।
Explanation:
According to Stefan’s Law, the energy radiated per unit area per unit time is:
E = σ T⁴ ⇒ σ = E / T⁴.
Here, E = Energy / (Area × Time) = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³].
Therefore, [σ] = [MT⁻³] / [K⁴] = [MT⁻³K⁻⁴].
According to Stefan’s Law, the energy radiated per unit area per unit time is:
E = σ T⁴ ⇒ σ = E / T⁴.
Here, E = Energy / (Area × Time) = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³].
Therefore, [σ] = [MT⁻³] / [K⁴] = [MT⁻³K⁻⁴].
प्रश्न 13. स्व-प्रेरकत्व (self-inductance, L) का विमीय सूत्र क्या होगा?
Q13. The dimensional formula of self-inductance (L) is:
सही उत्तर: A) [ML²T⁻²A⁻²]
Correct Answer: A) [ML²T⁻²A⁻²]
स्पष्टीकरण:
कुंडली में संचित चुंबकीय ऊर्जा: U = (1/2) L I²
L = 2U / I²
विमीय रूप से: [L] = [ML²T⁻²] / [A²] = [ML²T⁻²A⁻²]।
कुंडली में संचित चुंबकीय ऊर्जा: U = (1/2) L I²
L = 2U / I²
विमीय रूप से: [L] = [ML²T⁻²] / [A²] = [ML²T⁻²A⁻²]।
Explanation:
The magnetic potential energy stored in an inductor is: U = (1/2) L I².
Rearranging for L: L = 2U / I².
Dimensionally: [L] = [ML²T⁻²] / [A²] = [ML²T⁻²A⁻²].
The magnetic potential energy stored in an inductor is: U = (1/2) L I².
Rearranging for L: L = 2U / I².
Dimensionally: [L] = [ML²T⁻²] / [A²] = [ML²T⁻²A⁻²].
प्रश्न 14. दाब प्रवणता (pressure gradient) का विमीय सूत्र निम्नलिखित में से कौन सा होगा?
Q14. The dimensional formula of pressure gradient is:
सही उत्तर: A) [ML⁻²T⁻²]
Correct Answer: A) [ML⁻²T⁻²]
स्पष्टीकरण:
दाब प्रवणता = प्रति इकाई दूरी पर होने वाला दाब परिवर्तन = dP / dx
[dP] = [Force / Area] = [MLT⁻²] / [L²] = [ML⁻¹T⁻²]
अतः दाब प्रवणता की विमा = [ML⁻¹T⁻²] / [L] = [ML⁻²T⁻²]।
दाब प्रवणता = प्रति इकाई दूरी पर होने वाला दाब परिवर्तन = dP / dx
[dP] = [Force / Area] = [MLT⁻²] / [L²] = [ML⁻¹T⁻²]
अतः दाब प्रवणता की विमा = [ML⁻¹T⁻²] / [L] = [ML⁻²T⁻²]।
Explanation:
Pressure gradient is defined as the change in pressure per unit distance: dP / dx.
Since [dP] = [Pressure] = [ML⁻¹T⁻²] and [dx] = [L]:
[Pressure Gradient] = [ML⁻¹T⁻²] / [L] = [ML⁻²T⁻²].
Pressure gradient is defined as the change in pressure per unit distance: dP / dx.
Since [dP] = [Pressure] = [ML⁻¹T⁻²] and [dx] = [L]:
[Pressure Gradient] = [ML⁻¹T⁻²] / [L] = [ML⁻²T⁻²].
प्रश्न 15. एक सरल लोलक का आवर्तकाल सूत्र T = 2π √(L/g) है। लोलक की लंबाई का मापा गया मान 10.0 cm है जिसमें 1 mm की शुद्धता है। 50 दोलनों का कुल समय 50 s पाया गया है जिसे 1 s विभेदन (resolution) वाली घड़ी से मापा गया है। g के मापन में प्रतिशत त्रुटि कितनी होगी?
Q15. The time period of a simple pendulum is T = 2π √(L/g). The measured value of length L is 10.0 cm with 1 mm accuracy, and the time for 50 oscillations is measured as 50 s using a watch of 1 s resolution. The percentage error in the determination of g is:
सही उत्तर: B) 5%
Correct Answer: B) 5%
स्पष्टीकरण:
समीकरण T = 2π√(L/g) से, हमें प्राप्त होता है: g = 4π² L / T²
प्रतिशत त्रुटि: Δg/g × 100 = (ΔL/L × 100) + 2 × (ΔT/T × 100)
यहाँ ΔL = 0.1 cm, L = 10.0 cm
और कुल समय के पदों में आवर्तकाल की त्रुटि: ΔT/T = Δt/t = 1 s / 50 s
Δg/g × 100 = (0.1 / 10.0 × 100) + 2 × (1 / 50 × 100)
Δg/g × 100 = 1% + 2 × 2% = 5%।
समीकरण T = 2π√(L/g) से, हमें प्राप्त होता है: g = 4π² L / T²
प्रतिशत त्रुटि: Δg/g × 100 = (ΔL/L × 100) + 2 × (ΔT/T × 100)
यहाँ ΔL = 0.1 cm, L = 10.0 cm
और कुल समय के पदों में आवर्तकाल की त्रुटि: ΔT/T = Δt/t = 1 s / 50 s
Δg/g × 100 = (0.1 / 10.0 × 100) + 2 × (1 / 50 × 100)
Δg/g × 100 = 1% + 2 × 2% = 5%।
Explanation:
Squaring the time period relation: g = 4π² L / T².
The relative percentage error is: Δg/g × 100 = (ΔL/L × 100) + 2 × (ΔT/T × 100).
Given ΔL = 0.1 cm, L = 10.0 cm, Δt = 1 s, and t = 50 s:
Since ΔT/T = Δt/t:
% error in g = (0.1 / 10.0 × 100) + 2 × (1 / 50 × 100) = 1% + 4% = 5%.
Squaring the time period relation: g = 4π² L / T².
The relative percentage error is: Δg/g × 100 = (ΔL/L × 100) + 2 × (ΔT/T × 100).
Given ΔL = 0.1 cm, L = 10.0 cm, Δt = 1 s, and t = 50 s:
Since ΔT/T = Δt/t:
% error in g = (0.1 / 10.0 × 100) + 2 × (1 / 50 × 100) = 1% + 4% = 5%.
प्रश्न 16. निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि के युग्म (pair) का विमीय सूत्र समान है?
Q16. Which of the following pairs of physical quantities has the same dimensions?
सही उत्तर: A) बल आघूर्ण और कार्य (Torque and Work)
Correct Answer: A) Torque and Work
स्पष्टीकरण:
– बल आघूर्ण का विमीय सूत्र = [ML²T⁻²]
– कार्य का विमीय सूत्र = [ML²T⁻²]
अतः इन दोनों राशियों की विमाएँ समान हैं। (अन्य विकल्पों में मात्रक एवं विमाएँ भिन्न हैं)।
– बल आघूर्ण का विमीय सूत्र = [ML²T⁻²]
– कार्य का विमीय सूत्र = [ML²T⁻²]
अतः इन दोनों राशियों की विमाएँ समान हैं। (अन्य विकल्पों में मात्रक एवं विमाएँ भिन्न हैं)।
Explanation:
– Torque = Force × perpendicular distance ⇒ [ML²T⁻²].
– Work = Force × displacement ⇒ [ML²T⁻²].
Both quantities share identical dimensions.
– Torque = Force × perpendicular distance ⇒ [ML²T⁻²].
– Work = Force × displacement ⇒ [ML²T⁻²].
Both quantities share identical dimensions.
प्रश्न 17. गहरे पानी में पानी की तरंगों का वेग v, उनकी तरंगदैर्घ्य (wavelength, λ), पानी के घनत्व (ρ) और गुरुत्वीय त्वरण (g) पर निर्भर कर सकता है। विमीय विश्लेषण द्वारा इनके बीच सही संबंध स्थापित कीजिए:
Q17. The velocity v of water waves in deep water may depend on their wavelength (λ), density of water (ρ), and acceleration due to gravity (g). Using dimensional analysis, the correct relation between them is:
सही उत्तर: A) v² ∝ λ g
Correct Answer: A) v² ∝ λ g
स्पष्टीकरण:
मान लें कि v ∝ λᵃ ρᵇ gᶜ
विमीय रूप से: [LT⁻¹] = [L]ᵃ [ML⁻³]ᵇ [LT⁻²]ᶜ = [M]ᵇ [L]ᵃ⁻³ᵇ⁺ᶜ [T]⁻²ᶜ
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
– द्रव्यमान की घात से: b = 0 (वेग घनत्व पर निर्भर नहीं करता)
– समय की घात से: -2c = -1 ⇒ c = 1/2
– लंबाई की घात से: a – 3b + c = 1 ⇒ a + 1/2 = 1 ⇒ a = 1/2
अतः v ∝ λ^(1/2) g^(1/2) ⇒ v² ∝ λ g।
मान लें कि v ∝ λᵃ ρᵇ gᶜ
विमीय रूप से: [LT⁻¹] = [L]ᵃ [ML⁻³]ᵇ [LT⁻²]ᶜ = [M]ᵇ [L]ᵃ⁻³ᵇ⁺ᶜ [T]⁻²ᶜ
दोनों पक्षों की विमाओं की तुलना करने पर:
– द्रव्यमान की घात से: b = 0 (वेग घनत्व पर निर्भर नहीं करता)
– समय की घात से: -2c = -1 ⇒ c = 1/2
– लंबाई की घात से: a – 3b + c = 1 ⇒ a + 1/2 = 1 ⇒ a = 1/2
अतः v ∝ λ^(1/2) g^(1/2) ⇒ v² ∝ λ g।
Explanation:
Let v ∝ λᵃ ρᵇ gᶜ.
Equating dimensions: [LT⁻¹] = [L]ᵃ [ML⁻³]ᵇ [LT⁻²]ᶜ = [M]ᵇ [L]ᵃ⁻³ᵇ⁺ᶜ [T]⁻²ᶜ.
Comparing powers on both sides:
– For M: b = 0.
– For T: -2c = -1 ⇒ c = 1/2.
– For L: a – 3b + c = 1 ⇒ a + 1/2 = 1 ⇒ a = 1/2.
Hence, v ∝ λ^(1/2) g^(1/2) ⇒ v² ∝ λ g.
Let v ∝ λᵃ ρᵇ gᶜ.
Equating dimensions: [LT⁻¹] = [L]ᵃ [ML⁻³]ᵇ [LT⁻²]ᶜ = [M]ᵇ [L]ᵃ⁻³ᵇ⁺ᶜ [T]⁻²ᶜ.
Comparing powers on both sides:
– For M: b = 0.
– For T: -2c = -1 ⇒ c = 1/2.
– For L: a – 3b + c = 1 ⇒ a + 1/2 = 1 ⇒ a = 1/2.
Hence, v ∝ λ^(1/2) g^(1/2) ⇒ v² ∝ λ g.
प्रश्न 18. एक धातु की चादर की लंबाई, चौड़ाई और मोटाई क्रमशः 4.234 m, 1.005 m और 2.01 cm हैं। उचित सार्थक अंकों (significant figures) में चादर का आयतन कितना होगा?
Q18. The length, breadth and thickness of a metal sheet are 4.234 m, 1.005 m and 2.01 cm respectively. The volume of the sheet to correct significant figures is:
सही उत्तर: A) 0.0855 m³
Correct Answer: A) 0.0855 m³
स्पष्टीकरण:
– लंबाई l = 4.234 m (सार्थक अंक = 4)
– चौड़ाई b = 1.005 m (सार्थक अंक = 4)
– मोटाई t = 2.01 cm = 0.0201 m (सार्थक अंक = 3)
गुणनफल के नियमानुसार, परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या सबसे कम सार्थक अंक वाली माप के समान होनी चाहिए (अर्थात् 3 सार्थक अंक)।
आयतन = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.0855289… m³
इसे 3 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर हमें **0.0855 m³** प्राप्त होता है।
– लंबाई l = 4.234 m (सार्थक अंक = 4)
– चौड़ाई b = 1.005 m (सार्थक अंक = 4)
– मोटाई t = 2.01 cm = 0.0201 m (सार्थक अंक = 3)
गुणनफल के नियमानुसार, परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या सबसे कम सार्थक अंक वाली माप के समान होनी चाहिए (अर्थात् 3 सार्थक अंक)।
आयतन = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.0855289… m³
इसे 3 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर हमें **0.0855 m³** प्राप्त होता है।
Explanation:
– Length l = 4.234 m (4 significant figures)
– Breadth b = 1.005 m (4 significant figures)
– Thickness t = 2.01 cm = 0.0201 m (3 significant figures)
According to the multiplication rule, the final result should be rounded to contain as many significant figures as the measurement with the least significant figures (which is 3 in this case).
Volume = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.0855289… m³.
Rounding off to 3 significant figures gives **0.0855 m³**.
– Length l = 4.234 m (4 significant figures)
– Breadth b = 1.005 m (4 significant figures)
– Thickness t = 2.01 cm = 0.0201 m (3 significant figures)
According to the multiplication rule, the final result should be rounded to contain as many significant figures as the measurement with the least significant figures (which is 3 in this case).
Volume = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.0855289… m³.
Rounding off to 3 significant figures gives **0.0855 m³**.
प्रश्न 19. निर्वात में विद्युत क्षेत्र में संचित ऊर्जा घनत्व (energy density – प्रति इकाई आयतन की ऊर्जा, 1/2 ε₀E²) का विमीय सूत्र क्या होगा?
Q19. The dimensional formula for the electrostatic energy density (energy per unit volume, 1/2 ε₀E²) stored in an electric field in vacuum is:
सही उत्तर: A) [ML⁻¹T⁻²]
Correct Answer: A) [ML⁻¹T⁻²]
स्पष्टीकरण:
ऊर्जा घनत्व का अर्थ है प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा।
Energy density = Energy / Volume
विमीय रूप से: [u] = [ML²T⁻²] / [L³] = [ML⁻¹T⁻²]।
अतः 1/2 ε₀E² का विमीय सूत्र भी यही होगा।
ऊर्जा घनत्व का अर्थ है प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा।
Energy density = Energy / Volume
विमीय रूप से: [u] = [ML²T⁻²] / [L³] = [ML⁻¹T⁻²]।
अतः 1/2 ε₀E² का विमीय सूत्र भी यही होगा।
Explanation:
Energy density is defined as energy stored per unit volume.
Energy Density = Energy / Volume.
Dimensionally: [u] = [ML²T⁻²] / [L³] = [ML⁻¹T⁻²].
Therefore, the expression 1/2 ε₀E² shares this same dimension.
Energy density is defined as energy stored per unit volume.
Energy Density = Energy / Volume.
Dimensionally: [u] = [ML²T⁻²] / [L³] = [ML⁻¹T⁻²].
Therefore, the expression 1/2 ε₀E² shares this same dimension.
प्रश्न 20. एक स्क्रू गेज के वृत्ताकार पैमाने पर 50 भाग हैं और इसका चूड़ी अंतराल (pitch) 0.5 mm है। जब स्क्रू गेज के जबड़ों को बंद किया जाता है, तो वृत्ताकार पैमाने का 46-वां भाग संदर्भ रेखा (reference line) के ठीक संपाती होता है। इस यंत्र की शून्यांक त्रुटि (zero error) क्या होगी?
Q20. A screw gauge has 50 divisions on its circular scale and a pitch of 0.5 mm. When the jaws are fully closed, the 46-th division of the circular scale coincides with the reference line. The zero error of the instrument is:
सही उत्तर: A) -0.04 mm
Correct Answer: A) -0.04 mm
स्पष्टीकरण:
– अल्पतमांक (LC) = Pitch / Divisions = 0.5 mm / 50 = 0.01 mm
– चूंकि वृत्ताकार पैमाने का 46वां भाग संदर्भ रेखा से मिल रहा है (यह शून्य से पीछे है), अतः यह एक ऋणात्मक शून्यांक त्रुटि (negative zero error) है।
– ऋणात्मक त्रुटि = – (Total Divisions – Coinciding Division) × LC
– शून्यांक त्रुटि = – (50 – 46) × 0.01 mm = -4 × 0.01 mm = -0.04 mm।
– अल्पतमांक (LC) = Pitch / Divisions = 0.5 mm / 50 = 0.01 mm
– चूंकि वृत्ताकार पैमाने का 46वां भाग संदर्भ रेखा से मिल रहा है (यह शून्य से पीछे है), अतः यह एक ऋणात्मक शून्यांक त्रुटि (negative zero error) है।
– ऋणात्मक त्रुटि = – (Total Divisions – Coinciding Division) × LC
– शून्यांक त्रुटि = – (50 – 46) × 0.01 mm = -4 × 0.01 mm = -0.04 mm।
Explanation:
– Least Count (LC) = Pitch / Divisions = 0.5 mm / 50 = 0.01 mm.
– Since the 46th division is aligned with the reference line (and has not reached the zero mark), it represents a negative zero error.
– Negative Zero Error = – (Total Divisions – Coinciding Division) × LC.
– Zero Error = – (50 – 46) × 0.01 mm = -0.04 mm.
– Least Count (LC) = Pitch / Divisions = 0.5 mm / 50 = 0.01 mm.
– Since the 46th division is aligned with the reference line (and has not reached the zero mark), it represents a negative zero error.
– Negative Zero Error = – (Total Divisions – Coinciding Division) × LC.
– Zero Error = – (50 – 46) × 0.01 mm = -0.04 mm.
प्रश्न 21. चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता (magnetic field intensity, B) का विमीय सूत्र M, L, T और A के पदों में क्या है?
Q21. The dimensional formula of magnetic field intensity (B) in terms of M, L, T and A is:
सही उत्तर: A) [MT⁻²A⁻¹]
Correct Answer: A) [MT⁻²A⁻¹]
स्पष्टीकरण:
लॉरेंट्ज बल के सूत्र से: F = q v B sinθ
B = F / (q v)
विमीय रूप से: [B] = [MLT⁻²] / ([AT] × [LT⁻¹]) = [MLT⁻²] / [AL] = [MT⁻²A⁻¹]।
लॉरेंट्ज बल के सूत्र से: F = q v B sinθ
B = F / (q v)
विमीय रूप से: [B] = [MLT⁻²] / ([AT] × [LT⁻¹]) = [MLT⁻²] / [AL] = [MT⁻²A⁻¹]।
Explanation:
From the magnetic force on a charge: F = q v B sinθ.
Rearranging for B: B = F / (q v).
Dimensionally: [B] = [MLT⁻²] / ([AT] × [LT⁻¹]) = [MLT⁻²] / [AL] = [MT⁻²A⁻¹].
From the magnetic force on a charge: F = q v B sinθ.
Rearranging for B: B = F / (q v).
Dimensionally: [B] = [MLT⁻²] / ([AT] × [LT⁻¹]) = [MLT⁻²] / [AL] = [MT⁻²A⁻¹].
प्रश्न 22. एक भौतिक राशि P = (a³ b²) / (√c d) द्वारा व्यक्त की जाती है। यदि a, b, c और d के मापन में प्रतिशत त्रुटियाँ क्रमशः 1%, 3%, 4% और 2% हैं, तो P में कुल प्रतिशत त्रुटि क्या होगी?
Q22. A physical quantity P is given by P = (a³ b²) / (√c d). If the percentage errors in the measurement of a, b, c and d are 1%, 3%, 4% and 2% respectively, the total percentage error in P is:
सही उत्तर: A) 13%
Correct Answer: A) 13%
स्पष्टीकरण:
समीकरण P = (a³ b²) / (c^(1/2) d) से:
ΔP / P × 100 = 3(Δa/a × 100) + 2(Δb/b × 100) + (1/2)(Δc/c × 100) + (Δd/d × 100)
मान रखने पर:
Percentage Error = 3(1%) + 2(3%) + (1/2)(4%) + 2%
Percentage Error = 3% + 6% + 2% + 2% = 13%।
समीकरण P = (a³ b²) / (c^(1/2) d) से:
ΔP / P × 100 = 3(Δa/a × 100) + 2(Δb/b × 100) + (1/2)(Δc/c × 100) + (Δd/d × 100)
मान रखने पर:
Percentage Error = 3(1%) + 2(3%) + (1/2)(4%) + 2%
Percentage Error = 3% + 6% + 2% + 2% = 13%।
Explanation:
From the expression P = (a³ b²) / (c^(1/2) d):
ΔP/P = 3(Δa/a) + 2(Δb/b) + (1/2)(Δc/c) + (Δd/d).
Substituting the percentage values:
% error in P = 3(1%) + 2(3%) + (1/2)(4%) + 2% = 3% + 6% + 2% + 2% = 13%.
From the expression P = (a³ b²) / (c^(1/2) d):
ΔP/P = 3(Δa/a) + 2(Δb/b) + (1/2)(Δc/c) + (Δd/d).
Substituting the percentage values:
% error in P = 3(1%) + 2(3%) + (1/2)(4%) + 2% = 3% + 6% + 2% + 2% = 13%.
प्रश्न 23. एक गतिमान कण का वेग समीकरण v = a + bt + c / (d + t) द्वारा दिया गया है, जहाँ v वेग है और t समय है। नियतांकों a, b, c और d के विमीय सूत्र क्रमशः क्या होंगे?
Q23. The velocity of a moving particle is given by v = a + bt + c / (d + t), where v is velocity and t is time. The dimensional formulas of the constants a, b, c and d are respectively:
सही उत्तर: A) [LT⁻¹], [LT⁻²], [L], [T]
Correct Answer: A) [LT⁻¹], [LT⁻²], [L], [T]
स्पष्टीकरण:
विमाओं की समरूपता के सिद्धांत (Principle of Homogeneity) के अनुसार, केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है:
– हर में (d + t) होने के कारण, [d] = [t] = [T] होना चाहिए।
– [a] = [v] = [LT⁻¹]
– [bt] = [v] ⇒ [b] = [v] / [t] = [LT⁻²]
– [c / (d + t)] = [v] ⇒ [c] / [T] = [LT⁻¹] ⇒ [c] = [L]।
विमाओं की समरूपता के सिद्धांत (Principle of Homogeneity) के अनुसार, केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है:
– हर में (d + t) होने के कारण, [d] = [t] = [T] होना चाहिए।
– [a] = [v] = [LT⁻¹]
– [bt] = [v] ⇒ [b] = [v] / [t] = [LT⁻²]
– [c / (d + t)] = [v] ⇒ [c] / [T] = [LT⁻¹] ⇒ [c] = [L]।
Explanation:
According to the Principle of Homogeneity, only quantities with identical dimensions can be added or compared:
– From the denominator term (d + t): [d] = [t] = [T].
– Since each term in the sum must have the dimensions of velocity v:
– [a] = [v] = [LT⁻¹].
– [bt] = [v] ⇒ [b] = [LT⁻²].
– [c / (d + t)] = [v] ⇒ [c] / [T] = [LT⁻¹] ⇒ [c] = [L].
According to the Principle of Homogeneity, only quantities with identical dimensions can be added or compared:
– From the denominator term (d + t): [d] = [t] = [T].
– Since each term in the sum must have the dimensions of velocity v:
– [a] = [v] = [LT⁻¹].
– [bt] = [v] ⇒ [b] = [LT⁻²].
– [c / (d + t)] = [v] ⇒ [c] / [T] = [LT⁻¹] ⇒ [c] = [L].
प्रश्न 24. सौर नियतांक (Solar Constant – पृथ्वी द्वारा प्रति इकाई क्षेत्रफल पर प्रति इकाई समय में प्राप्त की जाने वाली सौर ऊर्जा) का विमीय सूत्र निम्नलिखित में से क्या होगा?
Q24. The dimensional formula of the Solar Constant (solar energy received per unit area per unit time) is:
सही उत्तर: A) [MT⁻³]
Correct Answer: A) [MT⁻³]
स्पष्टीकरण:
सौर नियतांक = Energy / (Area × Time)
विमीय सूत्र: [Solar Constant] = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³]।
सौर नियतांक = Energy / (Area × Time)
विमीय सूत्र: [Solar Constant] = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³]।
Explanation:
Solar Constant is defined as: Energy / (Area × Time).
Dimensionally: [Solar Constant] = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³].
Solar Constant is defined as: Energy / (Area × Time).
Dimensionally: [Solar Constant] = [ML²T⁻²] / ([L²][T]) = [MT⁻³].
प्रश्न 25. मात्रकों की एक नई प्रणाली में, द्रव्यमान का मूल मात्रक 10 kg, लंबाई का मूल मात्रक 100 m और समय का मूल मात्रक 100 s है। इस नई प्रणाली में 1 J ऊर्जा का मान कितना होगा?
Q25. In a new system of units, the fundamental unit of mass is 10 kg, the unit of length is 100 m and the unit of time is 100 s. The numerical value of 1 J of energy in this new system is:
सही उत्तर: A) 0.1
Correct Answer: A) 0.1
स्पष्टीकरण:
ऊर्जा का विमीय सूत्र है: [ML²T⁻²]
समीकरण n₂ = n₁ [M₁/M₂]¹ [L₁/L₂]² [T₁/T₂]⁻² का उपयोग करने पर:
यहाँ SI प्रणाली में n₁ = 1 J, M₁ = 1 kg, L₁ = 1 m, T₁ = 1 s
नई प्रणाली में M₂ = 10 kg, L₂ = 100 m, T₂ = 100 s
n₂ = 1 × [1 / 10]¹ × [1 / 100]² × [1 / 100]⁻²
n₂ = 1 × (1/10) × (1/10000) × (10000) = 1/10 = 0.1।
ऊर्जा का विमीय सूत्र है: [ML²T⁻²]
समीकरण n₂ = n₁ [M₁/M₂]¹ [L₁/L₂]² [T₁/T₂]⁻² का उपयोग करने पर:
यहाँ SI प्रणाली में n₁ = 1 J, M₁ = 1 kg, L₁ = 1 m, T₁ = 1 s
नई प्रणाली में M₂ = 10 kg, L₂ = 100 m, T₂ = 100 s
n₂ = 1 × [1 / 10]¹ × [1 / 100]² × [1 / 100]⁻²
n₂ = 1 × (1/10) × (1/10000) × (10000) = 1/10 = 0.1।
Explanation:
The dimensions of energy are [ML²T⁻²].
Using the unit conversion formula n₂ = n₁ [M₁/M₂]¹ [L₁/L₂]² [T₁/T₂]⁻²:
– In SI system (system 1): n₁ = 1, M₁ = 1 kg, L₁ = 1 m, T₁ = 1 s.
– In the new system (system 2): M₂ = 10 kg, L₂ = 100 m, T₂ = 100 s.
Substituting the values:
n₂ = 1 × [1/10]¹ × [1/100]² × [1/100]⁻² = (1/10) × (1/10000) × (10000) = 0.1.
The dimensions of energy are [ML²T⁻²].
Using the unit conversion formula n₂ = n₁ [M₁/M₂]¹ [L₁/L₂]² [T₁/T₂]⁻²:
– In SI system (system 1): n₁ = 1, M₁ = 1 kg, L₁ = 1 m, T₁ = 1 s.
– In the new system (system 2): M₂ = 10 kg, L₂ = 100 m, T₂ = 100 s.
Substituting the values:
n₂ = 1 × [1/10]¹ × [1/100]² × [1/100]⁻² = (1/10) × (1/10000) × (10000) = 0.1.