प्रश्न 1. एक कण R त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है। आधा चक्कर पूरा करने के बाद कण द्वारा तय की गई दूरी और विस्थापन का अनुपात क्या होगा?
Q1. A particle is moving along a circular path of radius R. The ratio of the distance covered to the displacement of the particle after half a cycle is:
सही उत्तर: B) π : 2
Correct Answer: B) π : 2
स्पष्टीकरण: आधा चक्कर पूरा करने पर:
– तय की गई दूरी = अर्धपरिधि = πR
– विस्थापन = व्यास = 2R
– अनुपात = दूरी / विस्थापन = πR / 2R = π : 2।
– तय की गई दूरी = अर्धपरिधि = πR
– विस्थापन = व्यास = 2R
– अनुपात = दूरी / विस्थापन = πR / 2R = π : 2।
Explanation: Upon completing half a circular path:
– Distance covered = semi-circumference = πR
– Displacement = diameter = 2R
– Ratio = Distance / Displacement = πR / 2R = π : 2.
– Distance covered = semi-circumference = πR
– Displacement = diameter = 2R
– Ratio = Distance / Displacement = πR / 2R = π : 2.
प्रश्न 2. एक कार अपनी यात्रा की आधी दूरी चाल v₁ से तथा शेष आधी दूरी चाल v₂ से तय करती है। पूरी यात्रा के दौरान कार की औसत चाल (Average speed) क्या होगी?
Q2. A car covers the first half of the distance between two places with a speed v₁ and the second half with a speed v₂. The average speed of the car during the whole journey is:
सही उत्तर: C) 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)
Correct Answer: C) 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)
स्पष्टीकरण: यदि कुल दूरी 2d है, तो प्रथम अर्धभाग में लगा समय t₁ = d/v₁ और द्वितीय अर्धभाग में लगा समय t₂ = d/v₂ होगा।
औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 2d / (t₁ + t₂) = 2d / (d/v₁ + d/v₂) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) (हरात्मक माध्य)।
औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय = 2d / (t₁ + t₂) = 2d / (d/v₁ + d/v₂) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) (हरात्मक माध्य)।
Explanation: Let the total distance be 2d. The time taken for the first half is t₁ = d/v₁ and for the second half is t₂ = d/v₂.
Average Speed = Total Distance / Total Time = 2d / (t₁ + t₂) = 2d / (d/v₁ + d/v₂) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) (Harmonic mean).
Average Speed = Total Distance / Total Time = 2d / (t₁ + t₂) = 2d / (d/v₁ + d/v₂) = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) (Harmonic mean).
प्रश्न 3. एक सीधी रेखा में गतिशील कण का स्थान x = at² – bt³ द्वारा दिया जाता है (जहाँ a और b धनात्मक नियतांक हैं)। उस क्षण पर कण का त्वरण (Acceleration) क्या होगा जब उसका वेग शून्य हो जाता है?
Q3. The position of a particle moving along a straight line is given by x = at² – bt³ (where a and b are positive constants). The acceleration of the particle at the instant when its velocity becomes zero is:
सही उत्तर: B) -2a
Correct Answer: B) -2a
स्पष्टीकरण:
– वेग v = dx/dt = 2at – 3bt²
– वेग शून्य होने पर: 2at – 3bt² = 0 ⇒ t(2a – 3bt) = 0 ⇒ t = 2a / 3b (चूँकि t ≠ 0)
– त्वरण A = dv/dt = 2a – 6bt
– t = 2a / 3b पर त्वरण: A = 2a – 6b(2a / 3b) = 2a – 4a = -2a।
– वेग v = dx/dt = 2at – 3bt²
– वेग शून्य होने पर: 2at – 3bt² = 0 ⇒ t(2a – 3bt) = 0 ⇒ t = 2a / 3b (चूँकि t ≠ 0)
– त्वरण A = dv/dt = 2a – 6bt
– t = 2a / 3b पर त्वरण: A = 2a – 6b(2a / 3b) = 2a – 4a = -2a।
Explanation:
– Velocity v = dx/dt = 2at – 3bt²
– Setting velocity to zero: 2at – 3bt² = 0 ⇒ t(2a – 3bt) = 0 ⇒ t = 2a / 3b (since t ≠ 0)
– Acceleration A = dv/dt = 2a – 6bt
– At t = 2a / 3b, acceleration is: A = 2a – 6b(2a / 3b) = 2a – 4a = -2a.
– Velocity v = dx/dt = 2at – 3bt²
– Setting velocity to zero: 2at – 3bt² = 0 ⇒ t(2a – 3bt) = 0 ⇒ t = 2a / 3b (since t ≠ 0)
– Acceleration A = dv/dt = 2a – 6bt
– At t = 2a / 3b, acceleration is: A = 2a – 6b(2a / 3b) = 2a – 4a = -2a.
प्रश्न 4. गुरुत्व के अधीन विराम अवस्था से स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु द्वारा प्रथम, द्वितीय और तृतीय सेकंड में तय की गई दूरियों का अनुपात क्या होगा? (गैलीलियो का विषम अंक नियम)
Q4. A body falling freely from rest under gravity covers certain distances in the first, second, and third seconds of its journey. The ratio of these distances is: (Galileo’s law of odd numbers)
सही उत्तर: C) 1 : 3 : 5
Correct Answer: C) 1 : 3 : 5
स्पष्टीकरण: nवें सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र: S_n = u + (a/2)(2n – 1) है।
चूँकि पिंड विराम से गिरता है (u = 0) और गुरुत्वीय त्वरण (a = g) नियत है:
– S₁ : S₂ : S₃ = (2(1) – 1) : (2(2) – 1) : (2(3) – 1) = 1 : 3 : 5।
चूँकि पिंड विराम से गिरता है (u = 0) और गुरुत्वीय त्वरण (a = g) नियत है:
– S₁ : S₂ : S₃ = (2(1) – 1) : (2(2) – 1) : (2(3) – 1) = 1 : 3 : 5।
Explanation: The distance covered in the n-th second is given by: S_n = u + (a/2)(2n – 1).
For a body falling from rest (u = 0) under constant acceleration (a = g):
– S₁ : S₂ : S₃ = (2(1) – 1) : (2(2) – 1) : (2(3) – 1) = 1 : 3 : 5.
For a body falling from rest (u = 0) under constant acceleration (a = g):
– S₁ : S₂ : S₃ = (2(1) – 1) : (2(2) – 1) : (2(3) – 1) = 1 : 3 : 5.
प्रश्न 5. किसी वस्तु को प्रारंभिक वेग u से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। इसकी ऊपर की ओर यात्रा के **अंतिम सेकंड** में इसके द्वारा तय की गई दूरी कितनी होगी? (g = 9.8 m/s²)
Q5. A body is projected vertically upwards with an initial velocity u. The distance travelled by it during the **last second** of its upward journey is: (g = 9.8 m/s²)
सही उत्तर: A) 4.9 m
Correct Answer: A) 4.9 m
स्पष्टीकरण: गति की समरूपता (symmetry) के अनुसार, ऊपर की ओर यात्रा के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी, उच्चतम बिंदु से विराम अवस्था से नीचे गिरते हुए प्रथम सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होती है।
– अतः, h = (1/2)gt² = (1/2) × 9.8 × (1)² = 4.9 m। यह प्रारंभिक वेग u से स्वतंत्र होती है।
– अतः, h = (1/2)gt² = (1/2) × 9.8 × (1)² = 4.9 m। यह प्रारंभिक वेग u से स्वतंत्र होती है।
Explanation: By time-symmetry of motion under gravity, the distance travelled in the last second of upward journey is equal to the distance travelled in the first second of free fall starting from rest at the highest point.
– Hence, h = (1/2)gt² = (1/2) × 9.8 × (1)² = 4.9 m. This is independent of the initial velocity of projection u.
– Hence, h = (1/2)gt² = (1/2) × 9.8 × (1)² = 4.9 m. This is independent of the initial velocity of projection u.
प्रश्न 6. चाल v से चलती हुई कार को ब्रेक लगाने पर न्यूनतम दूरी s में रोका जा सकता है। यदि यही कार चाल 3v से चल रही हो, तो समान मंदक बल (retardation force) लगाने पर रुकने की न्यूनतम दूरी क्या होगी?
Q6. A car moving with a speed of v can be stopped by brakes after a minimum distance s. If the same car is moving with a speed of 3v, the minimum stopping distance under the same retardation is:
सही उत्तर: C) 9s
Correct Answer: C) 9s
स्पष्टीकरण: तृतीय गति समीकरण के अनुसार: v² = u² – 2as
कार रुकने पर अंतिम वेग v = 0 ⇒ s = u² / 2a
चूँकि मंदन (a) नियत है, अवरोधन दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है: s ∝ u²
अतः यदि प्रारंभिक चाल 3 गुना हो जाती है, तो दूरी (3)² = 9 गुना हो जाएगी, यानी 9s।
कार रुकने पर अंतिम वेग v = 0 ⇒ s = u² / 2a
चूँकि मंदन (a) नियत है, अवरोधन दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है: s ∝ u²
अतः यदि प्रारंभिक चाल 3 गुना हो जाती है, तो दूरी (3)² = 9 गुना हो जाएगी, यानी 9s।
Explanation: From the third equation of motion: v² = u² – 2as
Since the final velocity is zero (v = 0), the stopping distance is: s = u² / 2a.
Given retardation (a) is constant, s ∝ u².
Thus, if the speed becomes 3 times, the stopping distance becomes (3)² = 9 times, i.e., 9s.
Since the final velocity is zero (v = 0), the stopping distance is: s = u² / 2a.
Given retardation (a) is constant, s ∝ u².
Thus, if the speed becomes 3 times, the stopping distance becomes (3)² = 9 times, i.e., 9s.
प्रश्न 7. वेग-समय ग्राफ (v-t graph) का क्षेत्रफल निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि को प्रदर्शित करता है?
Q7. The area under a velocity-time graph (v-t graph) represents:
सही उत्तर: B) विस्थापन (Displacement)
Correct Answer: B) Displacement
स्पष्टीकरण: वेग की परिभाषा से: v = dx/dt ⇒ dx = v·dt।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: ∫dx = ∫v·dt।
यहाँ ∫v·dt वेग-समय वक्र और समय अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है, जो कुल विस्थापन के तुल्य है। (यदि दूरी निकालनी हो, तो केवल ग्राफ का परिमाण जोड़ा जाता है)।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: ∫dx = ∫v·dt।
यहाँ ∫v·dt वेग-समय वक्र और समय अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है, जो कुल विस्थापन के तुल्य है। (यदि दूरी निकालनी हो, तो केवल ग्राफ का परिमाण जोड़ा जाता है)।
Explanation: From the definition of velocity: v = dx/dt ⇒ dx = v·dt.
Integrating both sides: ∫dx = ∫v·dt.
The term ∫v·dt represents the area under the velocity-time curve, which corresponds to the displacement of the moving body.
Integrating both sides: ∫dx = ∫v·dt.
The term ∫v·dt represents the area under the velocity-time curve, which corresponds to the displacement of the moving body.
प्रश्न 8. दो प्रक्षेप्यों को समान वेग से क्रमशः θ और (90° – θ) कोणों पर प्रक्षेपित किया जाता है। उनके द्वारा प्राप्त क्षैतिज परासों (Horizontal ranges) का अनुपात क्या होगा?
Q8. Two projectiles are thrown with the same initial velocity at angles θ and (90° – θ) with the horizontal respectively. The ratio of their horizontal ranges is:
सही उत्तर: A) 1 : 1
Correct Answer: A) 1 : 1
स्पष्टीकरण: क्षैतिज परास का सूत्र: R = u²sin(2θ) / g है।
कोण (90° – θ) के लिए परास:
R₂ = u²sin[2(90° – θ)] / g = u²sin(180° – 2θ) / g = u²sin(2θ) / g = R₁।
चूँकि पूरक कोणों (complementary angles) के लिए क्षैतिज परास समान रहता है, अतः अनुपात **1:1** होगा।
कोण (90° – θ) के लिए परास:
R₂ = u²sin[2(90° – θ)] / g = u²sin(180° – 2θ) / g = u²sin(2θ) / g = R₁।
चूँकि पूरक कोणों (complementary angles) के लिए क्षैतिज परास समान रहता है, अतः अनुपात **1:1** होगा।
Explanation: The horizontal range is given by: R = u²sin(2θ) / g.
For the angle (90° – θ):
R₂ = u²sin[2(90° – θ)] / g = u²sin(180° – 2θ) / g = u²sin(2θ) / g = R₁.
Since complementary angles of projection have the same horizontal range for equal initial speeds, the ratio is **1:1**.
For the angle (90° – θ):
R₂ = u²sin[2(90° – θ)] / g = u²sin(180° – 2θ) / g = u²sin(2θ) / g = R₁.
Since complementary angles of projection have the same horizontal range for equal initial speeds, the ratio is **1:1**.
प्रश्न 9. किस प्रक्षेप्य कोण (Angle of projection) पर किसी प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास (R) उसकी अधिकतम ऊँचाई (H) के बराबर होती है?
Q9. At what angle of projection is the horizontal range (R) of a projectile equal to its maximum height (H)?
सही उत्तर: C) tan⁻¹(4)
Correct Answer: C) tan⁻¹(4)
स्पष्टीकरण: दिया गया है R = H।
– क्षैतिज परास R = u²sin(2θ) / g = 2u²sinθcosθ / g
– अधिकतम ऊँचाई H = u²sin²θ / 2g
दोनों को बराबर रखने पर:
2u²sinθcosθ / g = u²sin²θ / 2g ⇒ 2cosθ = sinθ / 2 ⇒ tanθ = 4 ⇒ θ = tan⁻¹(4)।
– क्षैतिज परास R = u²sin(2θ) / g = 2u²sinθcosθ / g
– अधिकतम ऊँचाई H = u²sin²θ / 2g
दोनों को बराबर रखने पर:
2u²sinθcosθ / g = u²sin²θ / 2g ⇒ 2cosθ = sinθ / 2 ⇒ tanθ = 4 ⇒ θ = tan⁻¹(4)।
Explanation: Given R = H.
– Horizontal Range R = u²sin(2θ) / g = 2u²sinθcosθ / g
– Maximum Height H = u²sin²θ / 2g
Equating the two:
2u²sinθcosθ / g = u²sin²θ / 2g ⇒ 2cosθ = sinθ / 2 ⇒ tanθ = 4 ⇒ θ = tan⁻¹(4).
– Horizontal Range R = u²sin(2θ) / g = 2u²sinθcosθ / g
– Maximum Height H = u²sin²θ / 2g
Equating the two:
2u²sinθcosθ / g = u²sin²θ / 2g ⇒ 2cosθ = sinθ / 2 ⇒ tanθ = 4 ⇒ θ = tan⁻¹(4).
प्रश्न 10. क्रमशः 100 m और 120 m लंबी दो रेलगाड़ियाँ समानांतर पटरियों पर विपरीत दिशाओं में क्रमशः 36 km/h और 54 km/h की चाल से चल रही हैं। वे एक-दूसरे को कितने समय में पार करेंगी?
Q10. Two trains of lengths 100 m and 120 m are moving in opposite directions on parallel tracks with speeds of 36 km/h and 54 km/h respectively. The time taken by them to cross each other is:
सही उत्तर: A) 8.8 s
Correct Answer: A) 8.8 s
स्पष्टीकरण: सापेक्ष गति के नियमानुसार:
– पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी = L₁ + L₂ = 100 m + 120 m = 220 m
– विपरीत दिशा में होने के कारण सापेक्ष चाल = v₁ + v₂
– v₁ = 36 km/h = 36 × (5/18) = 10 m/s
– v₂ = 54 km/h = 54 × (5/18) = 15 m/s
– सापेक्ष वेग = 10 + 15 = 25 m/s
– पार करने में लगा समय = कुल दूरी / सापेक्ष वेग = 220 / 25 = 8.8 s।
– पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी = L₁ + L₂ = 100 m + 120 m = 220 m
– विपरीत दिशा में होने के कारण सापेक्ष चाल = v₁ + v₂
– v₁ = 36 km/h = 36 × (5/18) = 10 m/s
– v₂ = 54 km/h = 54 × (5/18) = 15 m/s
– सापेक्ष वेग = 10 + 15 = 25 m/s
– पार करने में लगा समय = कुल दूरी / सापेक्ष वेग = 220 / 25 = 8.8 s।
Explanation: Using the concept of relative motion:
– Total distance to be covered to cross each other = L₁ + L₂ = 100 m + 120 m = 220 m
– Relative speed in opposite direction = v₁ + v₂
– v₁ = 36 km/h = 10 m/s and v₂ = 54 km/h = 15 m/s
– Relative velocity = 10 + 15 = 25 m/s
– Time taken = Total Distance / Relative Speed = 220 / 25 = 8.8 s.
– Total distance to be covered to cross each other = L₁ + L₂ = 100 m + 120 m = 220 m
– Relative speed in opposite direction = v₁ + v₂
– v₁ = 36 km/h = 10 m/s and v₂ = 54 km/h = 15 m/s
– Relative velocity = 10 + 15 = 25 m/s
– Time taken = Total Distance / Relative Speed = 220 / 25 = 8.8 s.
प्रश्न 11. एक नाविक शांत जल में 10 km/h की चाल से तैर सकता है। यदि नदी का बहाव 5 km/h हो, तो न्यूनतम दूरी के पथ पर नदी को सीधे पार करने के लिए नाविक को धारा के प्रवाह की दिशा से किस कोण पर तैरना चाहिए?
Q11. A swimmer can swim in still water with a speed of 10 km/h. If the river flows at 5 km/h, at what angle with the direction of the river flow should the swimmer swim to cross the river straight along the shortest path?
सही उत्तर: C) 120°
Correct Answer: C) 120°
स्पष्टीकरण: सीधे पार करने (shortest path) के लिए, नाविक को नदी के बहाव के विपरीत किसी कोण पर तैरना होगा।
– मान लें नाविक नदी प्रवाह के ऊर्ध्वाधर (normal) से θ कोण पर तैरता है।
– sinθ = v_r / v_m = 5 / 10 = 1/2 ⇒ θ = 30° (ऊर्ध्वाधर से बहाव के विपरीत)।
– धारा के प्रवाह की दिशा से कुल कोण = 90° + θ = 90° + 30° = 120°।
– मान लें नाविक नदी प्रवाह के ऊर्ध्वाधर (normal) से θ कोण पर तैरता है।
– sinθ = v_r / v_m = 5 / 10 = 1/2 ⇒ θ = 30° (ऊर्ध्वाधर से बहाव के विपरीत)।
– धारा के प्रवाह की दिशा से कुल कोण = 90° + θ = 90° + 30° = 120°।
Explanation: To cross the river along the shortest path, the swimmer must swim at an angle upstream to counteract the flow.
– Let the swimmer make an angle θ with the normal to the river flow.
– sinθ = v_r / v_m = 5 / 10 = 1/2 ⇒ θ = 30° (upstream from the normal).
– Total angle with the direction of flow = 90° + θ = 90° + 30° = 120°.
– Let the swimmer make an angle θ with the normal to the river flow.
– sinθ = v_r / v_m = 5 / 10 = 1/2 ⇒ θ = 30° (upstream from the normal).
– Total angle with the direction of flow = 90° + θ = 90° + 30° = 120°.
प्रश्न 12. एक कण का स्थिति सदिश (Position vector) समय के साथ निम्न प्रकार बदलता है: r⃗ = 3t î + 2t² ĵ + 5 k̂। समय t = 1 s पर कण के वेग का परिमाण (Magnitude of velocity) क्या होगा?
Q12. The position vector of a particle is given by r⃗ = 3t î + 2t² ĵ + 5 k̂. The magnitude of its velocity at time t = 1 s is:
सही उत्तर: A) 5 m/s
Correct Answer: A) 5 m/s
स्पष्टीकरण: स्थिति सदिश के अवकलन से वेग सदिश मिलता है:
– v⃗ = dr⃗/dt = d/dt (3t î + 2t² ĵ + 5 k̂) = 3 î + 4t ĵ
– t = 1 s पर: v⃗ = 3 î + 4(1) ĵ = 3 î + 4 ĵ
– वेग का परिमाण = |v⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 m/s।
– v⃗ = dr⃗/dt = d/dt (3t î + 2t² ĵ + 5 k̂) = 3 î + 4t ĵ
– t = 1 s पर: v⃗ = 3 î + 4(1) ĵ = 3 î + 4 ĵ
– वेग का परिमाण = |v⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 m/s।
Explanation: Velocity is the derivative of the position vector with respect to time:
– v⃗ = dr⃗/dt = d/dt (3t î + 2t² ĵ + 5 k̂) = 3 î + 4t ĵ
– At t = 1 s: v⃗ = 3 î + 4 ĵ
– Magnitude of velocity = |v⃗| = √(3² + 4²) = 5 m/s.
– v⃗ = dr⃗/dt = d/dt (3t î + 2t² ĵ + 5 k̂) = 3 î + 4t ĵ
– At t = 1 s: v⃗ = 3 î + 4 ĵ
– Magnitude of velocity = |v⃗| = √(3² + 4²) = 5 m/s.
प्रश्न 13. एक प्रक्षेप्य को प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy) E के साथ क्षैतिज से 60° के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। इसके पथ के उच्चतम बिंदु पर इसकी गतिज ऊर्जा कितनी होगी?
Q13. A projectile is projected with a kinetic energy E at an angle of 60° with the horizontal. Its kinetic energy at the highest point of its trajectory will be:
सही उत्तर: B) E / 4
Correct Answer: B) E / 4
स्पष्टीकरण: प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य (v_y = 0) होता है, और केवल क्षैतिज घटक शेष रहता है।
– उच्चतम बिंदु पर वेग v = u cosθ = u cos(60°) = u / 2
– गतिज ऊर्जा E’ = (1/2)mv² = (1/2)m(u/2)² = (1/4) × (1/2)mu² = E / 4।
– उच्चतम बिंदु पर वेग v = u cosθ = u cos(60°) = u / 2
– गतिज ऊर्जा E’ = (1/2)mv² = (1/2)m(u/2)² = (1/4) × (1/2)mu² = E / 4।
Explanation: At the highest point of projectile motion, the vertical component of velocity is zero (v_y = 0) and only the horizontal component remains.
– Velocity at highest point v = u cosθ = u cos(60°) = u / 2
– Kinetic energy E’ = (1/2)mv² = (1/2)m(u/2)² = E / 4.
– Velocity at highest point v = u cosθ = u cos(60°) = u / 2
– Kinetic energy E’ = (1/2)mv² = (1/2)m(u/2)² = E / 4.
प्रश्न 14. त्वरण-समय ग्राफ (a-t graph) का वक्र तथा समय-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल निम्नलिखित में से क्या दर्शाता है?
Q14. The area under the acceleration-time (a-t) graph for a given time interval represents:
सही उत्तर: C) वेग में परिवर्तन (Change in velocity)
Correct Answer: C) Change in velocity
स्पष्टीकरण: त्वरण की परिभाषा से: a = dv/dt ⇒ dv = a·dt।
दिए गए समय अंतराल t₁ से t₂ तक समाकलन करने पर:
∫dv = ∫a·dt ⇒ v₂ – v₁ = ∫a·dt।
अतः, a-t ग्राफ का क्षेत्रफल कण के **वेग में कुल परिवर्तन** को निरूपित करता है।
दिए गए समय अंतराल t₁ से t₂ तक समाकलन करने पर:
∫dv = ∫a·dt ⇒ v₂ – v₁ = ∫a·dt।
अतः, a-t ग्राफ का क्षेत्रफल कण के **वेग में कुल परिवर्तन** को निरूपित करता है।
Explanation: From the definition of acceleration: a = dv/dt ⇒ dv = a·dt.
Integrating over the interval t₁ to t₂:
∫dv = ∫a·dt ⇒ v₂ – v₁ = ∫a·dt.
Therefore, the area under the a-t graph represents the **change in velocity** during that interval.
Integrating over the interval t₁ to t₂:
∫dv = ∫a·dt ⇒ v₂ – v₁ = ∫a·dt.
Therefore, the area under the a-t graph represents the **change in velocity** during that interval.
प्रश्न 15. एक स्थिर पिंड नियत त्वरण a से चलना प्रारंभ करता है। इसके द्वारा 5वें सेकंड में तय की गई दूरी और 5 सेकंड में तय की गई कुल दूरी का अनुपात क्या होगा?
Q15. A body starts from rest with a constant acceleration a. The ratio of the distance travelled by it in the 5th second to the total distance covered in 5 seconds is:
सही उत्तर: A) 9 : 25
Correct Answer: A) 9 : 25
स्पष्टीकरण: विराम से गति प्रारंभ करने पर (u = 0):
– 5वें सेकंड में दूरी: S₅ₜₕ = (a/2)(2n – 1) = (a/2)(2(5) – 1) = 9a / 2
– 5 सेकंड में कुल दूरी: S_total = (1/2)at² = (1/2)a(5)² = 25a / 2
– अनुपात = S₅ₜₕ / S_total = (9a/2) / (25a/2) = 9 : 25।
– 5वें सेकंड में दूरी: S₅ₜₕ = (a/2)(2n – 1) = (a/2)(2(5) – 1) = 9a / 2
– 5 सेकंड में कुल दूरी: S_total = (1/2)at² = (1/2)a(5)² = 25a / 2
– अनुपात = S₅ₜₕ / S_total = (9a/2) / (25a/2) = 9 : 25।
Explanation: Given the body starts from rest (u = 0):
– Distance in 5th second: S₅ₜₕ = (a/2)(2n – 1) = (a/2)(2(5) – 1) = 9a / 2
– Total distance in 5 seconds: S_total = (1/2)at² = (1/2)a(5)² = 25a / 2
– Ratio = S₅ₜₕ / S_total = (9a/2) / (25a/2) = 9 : 25.
– Distance in 5th second: S₅ₜₕ = (a/2)(2n – 1) = (a/2)(2(5) – 1) = 9a / 2
– Total distance in 5 seconds: S_total = (1/2)at² = (1/2)a(5)² = 25a / 2
– Ratio = S₅ₜₕ / S_total = (9a/2) / (25a/2) = 9 : 25.
प्रश्न 16. एक प्रक्षेप्य का उड्डयन काल (Time of flight) T और उसकी अधिकतम ऊँचाई H है। उनके बीच सही संबंध क्या है?
Q16. If the time of flight of a projectile is T and its maximum height is H, then the relation between T and H is:
सही उत्तर: A) gT² = 8H
Correct Answer: A) gT² = 8H
स्पष्टीकरण: प्रक्षेप्य गति के सूत्रों से:
– T = 2u sinθ / g ⇒ T² = 4u² sin²θ / g²
– H = u² sin²θ / 2g ⇒ u² sin²θ = 2gH
– u² sin²θ का मान रखने पर: T² = 4(2gH) / g² = 8H / g ⇒ gT² = 8H।
– T = 2u sinθ / g ⇒ T² = 4u² sin²θ / g²
– H = u² sin²θ / 2g ⇒ u² sin²θ = 2gH
– u² sin²θ का मान रखने पर: T² = 4(2gH) / g² = 8H / g ⇒ gT² = 8H।
Explanation: From the equations of projectile motion:
– T = 2u sinθ / g ⇒ T² = 4u² sin²θ / g²
– H = u² sin²θ / 2g ⇒ u² sin²θ = 2gH
– Substituting the value of u² sin²θ: T² = 4(2gH) / g² = 8H / g ⇒ gT² = 8H.
– T = 2u sinθ / g ⇒ T² = 4u² sin²θ / g²
– H = u² sin²θ / 2g ⇒ u² sin²θ = 2gH
– Substituting the value of u² sin²θ: T² = 4(2gH) / g² = 8H / g ⇒ gT² = 8H.
प्रश्न 17. जमीन से 5 m ऊपर लगे एक नल से नियमित अंतराल पर पानी की बूंदें गिरती हैं। तीसरी बूंद नल से उसी क्षण निकलती है जिस क्षण पहली बूंद जमीन को छूती है। उस क्षण दूसरी बूंद की जमीन से ऊँचाई कितनी होगी? (g = 10 m/s²)
Q17. Water drops fall at regular intervals from a tap 5 m above the ground. The third drop leaves the tap at the instant the first drop touches the ground. The height of the second drop from the ground at that instant is: (g = 10 m/s²)
सही उत्तर: C) 3.75 m
Correct Answer: C) 3.75 m
स्पष्टीकरण: पहली बूंद को नीचे पहुँचने में लगा समय:
– h = (1/2)gt² ⇒ 5 = (1/2)(10)t² ⇒ t = 1 s।
– चूँकि अंतराल समान हैं, इसलिए बूंदों के बीच का अंतराल 0.5 s है।
– पहली बूंद 1.0 s से गिर रही है, दूसरी बूंद 0.5 s से गिर रही है, और तीसरी बूंद 0.0 s पर शुरू हुई है।
– दूसरी बूंद द्वारा नीचे की ओर तय की गई दूरी = (1/2)g(0.5)² = 5 × 0.25 = 1.25 m (नल से नीचे)।
– जमीन से दूसरी बूंद की ऊँचाई = 5 m – 1.25 m = 3.75 m।
– h = (1/2)gt² ⇒ 5 = (1/2)(10)t² ⇒ t = 1 s।
– चूँकि अंतराल समान हैं, इसलिए बूंदों के बीच का अंतराल 0.5 s है।
– पहली बूंद 1.0 s से गिर रही है, दूसरी बूंद 0.5 s से गिर रही है, और तीसरी बूंद 0.0 s पर शुरू हुई है।
– दूसरी बूंद द्वारा नीचे की ओर तय की गई दूरी = (1/2)g(0.5)² = 5 × 0.25 = 1.25 m (नल से नीचे)।
– जमीन से दूसरी बूंद की ऊँचाई = 5 m – 1.25 m = 3.75 m।
Explanation: Time taken by the first drop to reach the ground:
– h = (1/2)gt² ⇒ 5 = (1/2)(10)t² ⇒ t = 1 s.
– Since the interval is regular, the time interval between consecutive drops is 0.5 s.
– At the given instant, the first drop has traveled for 1.0 s, the second for 0.5 s, and the third is at 0 s.
– Distance fallen by the second drop = (1/2)g(0.5)² = 5 × 0.25 = 1.25 m (from the tap).
– Height of the second drop from the ground = 5 m – 1.25 m = 3.75 m.
– h = (1/2)gt² ⇒ 5 = (1/2)(10)t² ⇒ t = 1 s.
– Since the interval is regular, the time interval between consecutive drops is 0.5 s.
– At the given instant, the first drop has traveled for 1.0 s, the second for 0.5 s, and the third is at 0 s.
– Distance fallen by the second drop = (1/2)g(0.5)² = 5 × 0.25 = 1.25 m (from the tap).
– Height of the second drop from the ground = 5 m – 1.25 m = 3.75 m.
प्रश्न 18. एकसमान वृत्तीय गति (Uniform circular motion) कर रहे किसी कण के त्वरण सदिश (Acceleration vector) की दिशा क्या होती है?
Q18. In a uniform circular motion, the direction of the acceleration vector of the particle is always:
सही उत्तर: B) त्रिज्या के अनुदिश, केंद्र की ओर
Correct Answer: B) Along the radius, pointing towards the center
स्पष्टीकरण: एकसमान वृत्तीय गति में कण की चाल नियत रहती है, लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती है। इस दिशा परिवर्तन के कारण उत्पन्न त्वरण को **अभिकेंद्र त्वरण (Centripetal Acceleration)** कहते हैं। इसकी दिशा सदैव वृत्त की त्रिज्या के अनुदिश केंद्र की ओर होती है।
Explanation: In a uniform circular motion, the speed remains constant but the direction of velocity changes continuously. This change in direction gives rise to **centripetal acceleration**, which is always directed along the radius pointing towards the center of the circular path.
प्रश्न 19. एक कण x-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है जिसका स्थान समय के साथ निम्न प्रकार बदलता है: x = 9t² – t³ (जहाँ x मीटर में तथा t सेकंड में है)। कण की धनात्मक x-दिशा में अधिकतम चाल (Maximum speed) क्या होगी?
Q19. A particle moves along the x-axis such that its position is given by x = 9t² – t³ (where x is in meters and t is in seconds). The maximum speed of the particle in the positive x-direction is:
सही उत्तर: B) 27 m/s
Correct Answer: B) 27 m/s
स्पष्टीकरण:
– वेग v = dx/dt = 18t – 3t²
– वेग को अधिकतम करने के लिए, त्वरण शून्य होना चाहिए: dv/dt = 18 – 6t = 0 ⇒ t = 3 s
– t = 3 s पर वेग का मान: v_max = 18(3) – 3(3)² = 54 – 27 = 27 m/s।
– वेग v = dx/dt = 18t – 3t²
– वेग को अधिकतम करने के लिए, त्वरण शून्य होना चाहिए: dv/dt = 18 – 6t = 0 ⇒ t = 3 s
– t = 3 s पर वेग का मान: v_max = 18(3) – 3(3)² = 54 – 27 = 27 m/s।
Explanation:
– Velocity v = dx/dt = 18t – 3t²
– To find maximum velocity, set its derivative (acceleration) to zero: dv/dt = 18 – 6t = 0 ⇒ t = 3 s
– Velocity at t = 3 s is: v_max = 18(3) – 3(3)² = 54 – 27 = 27 m/s.
– Velocity v = dx/dt = 18t – 3t²
– To find maximum velocity, set its derivative (acceleration) to zero: dv/dt = 18 – 6t = 0 ⇒ t = 3 s
– Velocity at t = 3 s is: v_max = 18(3) – 3(3)² = 54 – 27 = 27 m/s.
प्रश्न 20. एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेप्य पथ (Trajectory) का समीकरण y = x√3 – gx² / 2 है। प्रक्षेप्य कोण (Angle of projection) का मान क्या होगा?
Q20. The equation of the trajectory of a projectile is given by y = x√3 – gx² / 2. The angle of projection is:
सही उत्तर: C) 60°
Correct Answer: C) 60°
स्पष्टीकरण: मानक प्रक्षेप्य पथ समीकरण से तुलना करने पर:
y = x tanθ – gx² / (2u²cos²θ)
दिए गए समीकरण y = x√3 – gx²/2 से तुलना करने पर:
tanθ = √3 ⇒ θ = 60°।
y = x tanθ – gx² / (2u²cos²θ)
दिए गए समीकरण y = x√3 – gx²/2 से तुलना करने पर:
tanθ = √3 ⇒ θ = 60°।
Explanation: Comparing with the standard equation of a projectile trajectory:
y = x tanθ – gx² / (2u²cos²θ)
From the given equation y = x√3 – gx²/2, we find:
tanθ = √3 ⇒ θ = 60°.
y = x tanθ – gx² / (2u²cos²θ)
From the given equation y = x√3 – gx²/2, we find:
tanθ = √3 ⇒ θ = 60°.
प्रश्न 21. एक प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास उसकी अधिकतम ऊँचाई का 4√3 गुना है। प्रक्षेपण का कोण कितना होगा?
Q21. The horizontal range of a projectile is 4√3 times its maximum height. The angle of projection is:
सही उत्तर: A) 30°
Correct Answer: A) 30°
स्पष्टीकरण:
– हम जानते हैं कि क्षैतिज परास और अधिकतम ऊँचाई में संबंध है: R = 4H / tanθ
– दिया गया है: R = 4√3 H
– तुलना करने पर: 4√3 H = 4H / tanθ ⇒ tanθ = 1/√3 ⇒ θ = 30°।
– हम जानते हैं कि क्षैतिज परास और अधिकतम ऊँचाई में संबंध है: R = 4H / tanθ
– दिया गया है: R = 4√3 H
– तुलना करने पर: 4√3 H = 4H / tanθ ⇒ tanθ = 1/√3 ⇒ θ = 30°।
Explanation:
– We know the relation: R = 4H / tanθ
– Given: R = 4√3 H
– Equating both: 4√3 H = 4H / tanθ ⇒ tanθ = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
– We know the relation: R = 4H / tanθ
– Given: R = 4√3 H
– Equating both: 4√3 H = 4H / tanθ ⇒ tanθ = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
प्रश्न 22. किसी कण का वेग सदिश v⃗ = (2 î + 3t ĵ) m/s है। इस कण के चलने का मार्ग (Path) कैसा होगा?
Q22. The velocity vector of a particle is given by v⃗ = (2 î + 3t ĵ) m/s. The shape of the path of the particle is:
सही उत्तर: C) परवलय (Parabola)
Correct Answer: C) Parabola
स्पष्टीकरण:
– वेग घटक: v_x = dx/dt = 2 ⇒ x = 2t ⇒ t = x / 2 (माना प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु है)
– v_y = dy/dt = 3t ⇒ y = (3/2)t²
– t का मान प्रतिस्थापित करने पर: y = (3/2)(x/2)² = (3/8)x²
– चूँकि y ∝ x² है, यह एक **परवलयाकार** मार्ग (parabolic path) है।
– वेग घटक: v_x = dx/dt = 2 ⇒ x = 2t ⇒ t = x / 2 (माना प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु है)
– v_y = dy/dt = 3t ⇒ y = (3/2)t²
– t का मान प्रतिस्थापित करने पर: y = (3/2)(x/2)² = (3/8)x²
– चूँकि y ∝ x² है, यह एक **परवलयाकार** मार्ग (parabolic path) है।
Explanation:
– Velocity components: v_x = dx/dt = 2 ⇒ x = 2t ⇒ t = x / 2 (assuming it starts from origin)
– v_y = dy/dt = 3t ⇒ y = (3/2)t²
– Substituting t: y = (3/2)(x/2)² = (3/8)x²
– Since y ∝ x², this represents a **parabolic** path.
– Velocity components: v_x = dx/dt = 2 ⇒ x = 2t ⇒ t = x / 2 (assuming it starts from origin)
– v_y = dy/dt = 3t ⇒ y = (3/2)t²
– Substituting t: y = (3/2)(x/2)² = (3/8)x²
– Since y ∝ x², this represents a **parabolic** path.
प्रश्न 23. 60 m ऊंचे टावर की चोटी से एक गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर 20 m/s के वेग से फेंका जाता है। गेंद को जमीन तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? (g = 10 m/s²)
Q23. From the top of a tower 60 m high, a ball is thrown vertically upwards with a velocity of 20 m/s. The time taken by the ball to reach the ground is: (g = 10 m/s²)
सही उत्तर: A) 6 s
Correct Answer: A) 6 s
स्पष्टीकरण: ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानते हुए:
– विस्थापन s = -60 m (शुरुआती बिंदु से नीचे की ओर)
– प्रारंभिक वेग u = +20 m/s
– त्वरण a = -g = -10 m/s²
– द्वितीय गति समीकरण से: s = ut + (1/2)at²
– -60 = 20t – (1/2)(10)t² ⇒ -60 = 20t – 5t² ⇒ 5t² – 20t – 60 = 0
– t² – 4t – 12 = 0 ⇒ (t – 6)(t + 2) = 0 ⇒ t = 6 s (चूँकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
– विस्थापन s = -60 m (शुरुआती बिंदु से नीचे की ओर)
– प्रारंभिक वेग u = +20 m/s
– त्वरण a = -g = -10 m/s²
– द्वितीय गति समीकरण से: s = ut + (1/2)at²
– -60 = 20t – (1/2)(10)t² ⇒ -60 = 20t – 5t² ⇒ 5t² – 20t – 60 = 0
– t² – 4t – 12 = 0 ⇒ (t – 6)(t + 2) = 0 ⇒ t = 6 s (चूँकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
Explanation: Taking the upward direction as positive and downward as negative:
– Displacement s = -60 m (below the starting point)
– Initial velocity u = +20 m/s
– Acceleration a = -g = -10 m/s²
– Using s = ut + (1/2)at²:
– -60 = 20t – 5t² ⇒ 5t² – 20t – 60 = 0 ⇒ t² – 4t – 12 = 0
– Solving the quadratic equation: (t – 6)(t + 2) = 0 ⇒ t = 6 s (neglecting negative time).
– Displacement s = -60 m (below the starting point)
– Initial velocity u = +20 m/s
– Acceleration a = -g = -10 m/s²
– Using s = ut + (1/2)at²:
– -60 = 20t – 5t² ⇒ 5t² – 20t – 60 = 0 ⇒ t² – 4t – 12 = 0
– Solving the quadratic equation: (t – 6)(t + 2) = 0 ⇒ t = 6 s (neglecting negative time).
प्रश्न 24. एक तैराक की शांत जल में तैरने की चाल v है तथा नदी के बहाव की चाल u है। यदि तैराक नदी को **न्यूनतम समय (minimum time)** में सीधे पार करना चाहता है, तो उसे किस दिशा में तैरना चाहिए?
Q24. A swimmer can swim with a speed of v in still water. The river flows at a speed u. If the swimmer wants to cross the river in **minimum time**, in which direction should he swim?
सही उत्तर: A) नदी के बहाव के लंबवत (Perpendicular to the river flow)
Correct Answer: A) Perpendicular to the river flow
स्पष्टीकरण: नदी को पार करने में लगा समय का सूत्र है: t = d / (v cosθ) (जहाँ d नदी की चौड़ाई है तथा θ ऊर्ध्वाधर से तैरने का कोण है)।
– समय को न्यूनतम (t_min) करने के लिए, हर (cosθ) को अधिकतम होना चाहिए।
– cosθ = 1 ⇒ θ = 0°
– अतः नाविक को नदी के बहाव के ठीक **लंबवत** दिशा में तैरना चाहिए। (यद्यपि वह प्रवाह के कारण थोड़ा आगे जाकर विस्थापित (drift) हो जाएगा)।
– समय को न्यूनतम (t_min) करने के लिए, हर (cosθ) को अधिकतम होना चाहिए।
– cosθ = 1 ⇒ θ = 0°
– अतः नाविक को नदी के बहाव के ठीक **लंबवत** दिशा में तैरना चाहिए। (यद्यपि वह प्रवाह के कारण थोड़ा आगे जाकर विस्थापित (drift) हो जाएगा)।
Explanation: The time taken to cross a river is given by: t = d / (v cosθ), where d is the width of the river and θ is the angle made with the normal to the flow.
– For time to be minimum, cosθ must be maximum, which is cosθ = 1 ⇒ θ = 0°.
– Therefore, the swimmer must swim directly **perpendicular** to the river flow.
– For time to be minimum, cosθ must be maximum, which is cosθ = 1 ⇒ θ = 0°.
– Therefore, the swimmer must swim directly **perpendicular** to the river flow.
प्रश्न 25. भिन्न-भिन्न द्रव्यमानों m₁ और m₂ की दो वस्तुओं को क्रमशः h₁ और h₂ ऊंचाइयों से नीचे गिराया जाता है। उनके द्वारा जमीन पर पहुँचने में लगे समय का अनुपात क्या होगा?
Q25. Two bodies of different masses m₁ and m₂ are dropped from heights h₁ and h₂ respectively. The ratio of the times taken by them to reach the ground is:
सही उत्तर: C) √h₁ : √h₂
Correct Answer: C) √h₁ : √h₂
स्पष्टीकरण: विराम से स्वतंत्रतापूर्वक गिरते हुए पिंड द्वारा तय दूरी: h = (1/2)gt² होती है।
– समय t = √(2h/g)
– चूँकि समय द्रव्यमान (m) पर निर्भर नहीं करता, अतः दोनों पिंडों के लिए:
– t₁ / t₂ = √(2h₁/g) / √(2h₂/g) = √h₁ / √h₂।
– समय t = √(2h/g)
– चूँकि समय द्रव्यमान (m) पर निर्भर नहीं करता, अतः दोनों पिंडों के लिए:
– t₁ / t₂ = √(2h₁/g) / √(2h₂/g) = √h₁ / √h₂।
Explanation: For a body dropped from rest, the distance traveled is: h = (1/2)gt².
– Thus, the time taken is: t = √(2h/g).
– Since the time of fall is independent of the mass of the body, the ratio of times is:
– t₁ / t₂ = √(2h₁/g) / √(2h₂/g) = √h₁ : √h₂.
– Thus, the time taken is: t = √(2h/g).
– Since the time of fall is independent of the mass of the body, the ratio of times is:
– t₁ / t₂ = √(2h₁/g) / √(2h₂/g) = √h₁ : √h₂.