प्रश्न 1. बायो-सेवर्ट नियम (Biot-Savart Law) का सही सदिश निरूपण (vector representation) निम्नलिखित में से कौन सा है?
Q1. Which of the following is the correct vector form of the Biot-Savart Law?
सही उत्तर: D) A और B दोनों सत्य हैं
Correct Answer: D) Both A and B are correct
स्पष्टीकरण: बायो-सेवर्ट नियम का अदिश रूप dB = (μ₀/4π) × (I dl sinθ / r²) होता है।
सदिश रूप में:
– एकांक सदिश r̂ के पदों में: d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r̂) / r²] (विकल्प A)
– दूरी सदिश r⃗ के पदों में (चूँकि r̂ = r⃗/r): d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r⃗) / r³] (विकल्प B)
अतः दोनों ही निरूपण पूर्णतः सही हैं।
सदिश रूप में:
– एकांक सदिश r̂ के पदों में: d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r̂) / r²] (विकल्प A)
– दूरी सदिश r⃗ के पदों में (चूँकि r̂ = r⃗/r): d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r⃗) / r³] (विकल्प B)
अतः दोनों ही निरूपण पूर्णतः सही हैं।
Explanation: The Biot-Savart Law is mathematically expressed as:
– In terms of unit vector r̂: d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r̂) / r²].
– In terms of position vector r⃗ (substituting r̂ = r⃗/r): d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r⃗) / r³].
Thus, both A and B are correct representations.
– In terms of unit vector r̂: d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r̂) / r²].
– In terms of position vector r⃗ (substituting r̂ = r⃗/r): d&vec;B = (μ₀/4π) × [I (d&vec;l × r⃗) / r³].
Thus, both A and B are correct representations.
प्रश्न 2. त्रिज्या R की एक वृत्ताकार कुंडली (circular loop) जिसमें विद्युत धारा I प्रवाहित हो रही है, के **केंद्र (center)** पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता (B) का मान क्या होगा?
Q2. The magnetic field intensity (B) at the center of a circular loop of radius R carrying a current I is given by:
सही उत्तर: A) B = μ₀ I / 2R
Correct Answer: A) B = μ₀ I / 2R
स्पष्टीकरण: बायो-सेवर्ट नियम का उपयोग करके वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात किया जाता है:
B = μ₀ I / 2R
– (यदि कुंडली में N फेरे हों, तो केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ N I / 2R होगा)।
– (ध्यान दें कि सीधे लंबे तार के लिए हर में π आता है: B = μ₀ I / 2πr)।
B = μ₀ I / 2R
– (यदि कुंडली में N फेरे हों, तो केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ N I / 2R होगा)।
– (ध्यान दें कि सीधे लंबे तार के लिए हर में π आता है: B = μ₀ I / 2πr)।
Explanation: Using the Biot-Savart Law, the magnetic field at the center of a circular current-carrying loop is derived as:
B = μ₀ I / 2R.
If the loop consists of N turns, the field becomes B = μ₀ N I / 2R.
B = μ₀ I / 2R.
If the loop consists of N turns, the field becomes B = μ₀ N I / 2R.
प्रश्न 3. एक अत्यधिक लंबी परिनालिका (long solenoid) की प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या n है। यदि इसमें I विद्युत धारा प्रवाहित हो, तो इसके **भीतर अक्षीय बिंदु** पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का मान क्या होगा?
Q3. A long solenoid has n turns per unit length. If a current I flows through it, the magnetic field inside the solenoid along its axis is:
सही उत्तर: B) B = μ₀ n I
Correct Answer: B) B = μ₀ n I
स्पष्टीकरण: एम्पीयर के परिपथीय नियम (Ampere’s Circuital Law) का उपयोग करके लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र निकाला जाता है:
B = μ₀ n I (जहाँ n = N / L कुल फेरे प्रति लंबाई है)।
– (परिनालिका के **सिरों/ends** पर चुंबकीय क्षेत्र का मान भीतर के मान का आधा होता है, अर्थात B_end = μ₀ n I / 2)।
B = μ₀ n I (जहाँ n = N / L कुल फेरे प्रति लंबाई है)।
– (परिनालिका के **सिरों/ends** पर चुंबकीय क्षेत्र का मान भीतर के मान का आधा होता है, अर्थात B_end = μ₀ n I / 2)।
Explanation: Using Ampere’s Circuital Law, the magnetic field inside an ideal, infinitely long solenoid is uniform and given by:
B = μ₀ n I, where n is the number of turns per unit length.
– (At the extreme ends of the solenoid, the field drops to half: B = μ₀ n I / 2).
B = μ₀ n I, where n is the number of turns per unit length.
– (At the extreme ends of the solenoid, the field drops to half: B = μ₀ n I / 2).
प्रश्न 4. द्रव्यमान m और आवेश q का एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B के लंबवत गति करता है। कण द्वारा एक पूर्ण वृत्ताकार चक्र पूरा करने में लगा आवर्तकाल (time period, T) कितना होगा?
Q4. A charged particle of mass m and charge q moves perpendicular to a uniform magnetic field B. The time period (T) of its circular motion is:
सही उत्तर: A) T = 2π m / qB
Correct Answer: A) T = 2π m / qB
स्पष्टीकरण:
– वृत्ताकार मार्ग की आवश्यक त्रिज्या: r = m v / qB
– आवर्तकाल T = 2πr / v = 2π(mv / qB) / v = 2π m / qB
– यहाँ ध्यान देने योग्य सबसे महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि आवर्तकाल (या साइक्लोट्रॉन आवृत्ति) कण के **वेग (v) और त्रिज्या (r) पर निर्भर नहीं करता है**।
– वृत्ताकार मार्ग की आवश्यक त्रिज्या: r = m v / qB
– आवर्तकाल T = 2πr / v = 2π(mv / qB) / v = 2π m / qB
– यहाँ ध्यान देने योग्य सबसे महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि आवर्तकाल (या साइक्लोट्रॉन आवृत्ति) कण के **वेग (v) और त्रिज्या (r) पर निर्भर नहीं करता है**।
Explanation:
– The radius of the circular path is determined by balancing magnetic and centripetal forces: r = mv / qB.
– The time period is: T = 2πr / v = 2π(mv / qB) / v = 2π m / qB.
– Significantly, the time period of revolution is independent of both the particle’s speed v and the path’s radius r.
– The radius of the circular path is determined by balancing magnetic and centripetal forces: r = mv / qB.
– The time period is: T = 2πr / v = 2π(mv / qB) / v = 2π m / qB.
– Significantly, the time period of revolution is independent of both the particle’s speed v and the path’s radius r.
प्रश्न 5. दो समानांतर अत्यंत लंबे सीधे तारों में समान दिशा में क्रमशः I₁ और I₂ धारा प्रवाहित हो रही है तथा उनके बीच की दूरी d है। दोनों तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला बल (force per unit length) कैसा होगा?
Q5. Two parallel infinitely long straight wires carrying currents I₁ and I₂ in the same direction are separated by a distance d. The force per unit length between them is:
सही उत्तर: A) आकर्षण बल, परिमाण = μ₀ I₁I₂ / (2πd)
Correct Answer: A) Attractive, with magnitude μ₀ I₁I₂ / (2πd)
स्पष्टीकरण:
– जब दो समानांतर तारों में धारा **एक ही दिशा** में प्रवाहित होती है, तो वे एक-दूसरे को **आकर्षित (attract)** करते हैं। (यदि धाराएं विपरीत दिशाओं में हों, तो वे प्रतिकर्षित करेंगे)।
– प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाले बल का परिमाण एम्पीयर नियम से: F / L = μ₀ I₁ I₂ / (2πd) होता है।
– जब दो समानांतर तारों में धारा **एक ही दिशा** में प्रवाहित होती है, तो वे एक-दूसरे को **आकर्षित (attract)** करते हैं। (यदि धाराएं विपरीत दिशाओं में हों, तो वे प्रतिकर्षित करेंगे)।
– प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाले बल का परिमाण एम्पीयर नियम से: F / L = μ₀ I₁ I₂ / (2πd) होता है।
Explanation:
– Parallel currents flowing in the **same direction attract** each other. (Antiparallel currents repel).
– The magnitude of the force per unit length between them is given by: F / L = μ₀ I₁ I₂ / (2πd).
– Parallel currents flowing in the **same direction attract** each other. (Antiparallel currents repel).
– The magnitude of the force per unit length between them is given by: F / L = μ₀ I₁ I₂ / (2πd).
प्रश्न 6. N फेरों, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A और विद्युत धारा I वाली एक वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण (magnetic dipole moment, M) क्या होगा?
Q6. A circular coil of N turns and cross-sectional area A carries a current I. The magnitude of its magnetic dipole moment (M) is:
सही उत्तर: B) M = N I A
Correct Answer: B) M = N I A
स्पष्टीकरण: एक धारावाही लूप एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) की तरह व्यवहार करता है।
– इसके चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का मान फेरों की संख्या, धारा और कुंडली के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है: M = N I A
– सदिश रूप में: M⃗ = N I A⃗, जहाँ क्षेत्रफल सदिश की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम से ज्ञात होती है।
– इसके चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का मान फेरों की संख्या, धारा और कुंडली के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है: M = N I A
– सदिश रूप में: M⃗ = N I A⃗, जहाँ क्षेत्रफल सदिश की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम से ज्ञात होती है।
Explanation: A planar current-carrying loop acts as a magnetic dipole.
– Its magnetic dipole moment magnitude is proportional to the current, loop area, and number of turns: M = N I A.
– In vector form: M⃗ = N I A⃗.
– Its magnetic dipole moment magnitude is proportional to the current, loop area, and number of turns: M = N I A.
– In vector form: M⃗ = N I A⃗.
प्रश्न 7. एक चल कुंडली धारामापी (moving coil galvanometer) को एमीटर (ammeter) में बदलने के लिए क्या करना चाहिए?
Q7. To convert a moving coil galvanometer of resistance G into an ammeter, one must connect:
सही उत्तर: B) समांतर क्रम में एक अल्प प्रतिरोध (शंट) (A low resistance in parallel)
Correct Answer: B) A low resistance (shunt) in parallel
स्पष्टीकरण: धारामापी अत्यंत संवेदनशील होता है और पूर्ण विक्षेप के लिए बहुत कम धारा लेता है। इसे उच्च धारा मापने वाले एमीटर में बदलने के लिए:
– कुंडली के **समांतर क्रम में एक बहुत छोटा प्रतिरोध** जोड़ा जाता है, जिसे **शंट (S)** कहते हैं।
– अधिकांश धारा शंट मार्ग से सुरक्षित बाईपास हो जाती है। शंट का मान: S = [I_g × G] / (I – I_g) होता है।
– कुंडली के **समांतर क्रम में एक बहुत छोटा प्रतिरोध** जोड़ा जाता है, जिसे **शंट (S)** कहते हैं।
– अधिकांश धारा शंट मार्ग से सुरक्षित बाईपास हो जाती है। शंट का मान: S = [I_g × G] / (I – I_g) होता है।
Explanation: A galvanometer is a highly sensitive instrument with a low current carrying capacity. To convert it into a device that can measure large currents (an ammeter):
– A **low resistance**, called a **shunt (S)**, must be connected in **parallel** with the galvanometer coil to bypass the majority of the current.
– Shunt value: S = [I_g × G] / (I – I_g).
– A **low resistance**, called a **shunt (S)**, must be connected in **parallel** with the galvanometer coil to bypass the majority of the current.
– Shunt value: S = [I_g × G] / (I – I_g).
प्रश्न 8. एक चल कुंडली धारामापी (moving coil galvanometer) को वोल्टमीटर (voltmeter) में बदलने के लिए क्या करना चाहिए?
Q8. To convert a moving coil galvanometer of resistance G into a voltmeter, one must connect:
सही उत्तर: B) श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध (A high resistance in series)
Correct Answer: B) A high resistance in series
स्पष्टीकरण: वोल्टमीटर को हमेशा परिपथ में समांतर क्रम में जोड़ा जाता है और इसका प्रतिरोध बहुत उच्च होना चाहिए ताकि यह मुख्य परिपथ से धारा न खींचे।
– धारामापी को वोल्टमीटर में बदलने के लिए इसके **श्रेणीक्रम में एक बहुत उच्च प्रतिरोध (R)** जोड़ा जाता है।
– आवश्यक श्रेणी प्रतिरोध का मान: R = (V / I_g) – G होता है।
– धारामापी को वोल्टमीटर में बदलने के लिए इसके **श्रेणीक्रम में एक बहुत उच्च प्रतिरोध (R)** जोड़ा जाता है।
– आवश्यक श्रेणी प्रतिरोध का मान: R = (V / I_g) – G होता है।
Explanation: An ideal voltmeter must have infinite resistance so that it does not draw current from the circuit branch being measured.
– To convert a galvanometer into a voltmeter, a **high resistance (R)** must be connected in **series** with it.
– Series resistance value: R = (V / I_g) – G.
– To convert a galvanometer into a voltmeter, a **high resistance (R)** must be connected in **series** with it.
– Series resistance value: R = (V / I_g) – G.
प्रश्न 9. एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B में गतिशील आवेशित कण पर लगने वाले चुंबकीय बल (magnetic force) द्वारा किया गया कार्य हमेशा कितना होता है?
Q9. The work done by a magnetic force on a charged particle moving through a uniform magnetic field is always:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण: चुंबकीय बल का सूत्र है: F_m⃗ = q(v⃗ × B⃗)।
– चुंबकीय बल सदिश हमेशा वेग सदिश के लंबवत होता है (F_m⃗ ⊥ v⃗)।
– चूंकि तात्क्षणिक विस्थापन वेग की दिशा में होता है, बल और विस्थापन के बीच का कोण हमेशा 90° होता है।
– किया गया कार्य W = F_m⃗ · ds⃗ = F_m × ds × cos(90°) = 0। (यही कारण है कि चुंबकीय बल केवल कण की गति की दिशा बदल सकता है, उसकी गतिज ऊर्जा या चाल नहीं)।
– चुंबकीय बल सदिश हमेशा वेग सदिश के लंबवत होता है (F_m⃗ ⊥ v⃗)।
– चूंकि तात्क्षणिक विस्थापन वेग की दिशा में होता है, बल और विस्थापन के बीच का कोण हमेशा 90° होता है।
– किया गया कार्य W = F_m⃗ · ds⃗ = F_m × ds × cos(90°) = 0। (यही कारण है कि चुंबकीय बल केवल कण की गति की दिशा बदल सकता है, उसकी गतिज ऊर्जा या चाल नहीं)।
Explanation: The magnetic force acting on a moving charge is: F_m⃗ = q(v⃗ × B⃗).
– The force vector F_m⃗ is mathematically perpendicular to the velocity vector v⃗ at every instant.
– Since displacement ds⃗ is collinear with v⃗, the angle between force and displacement is 90°.
– Work done W = F_m⃗ · ds⃗ = F_m ds cos(90°) = 0. (Magnetic fields can alter a particle’s direction, but never its speed or kinetic energy).
– The force vector F_m⃗ is mathematically perpendicular to the velocity vector v⃗ at every instant.
– Since displacement ds⃗ is collinear with v⃗, the angle between force and displacement is 90°.
– Work done W = F_m⃗ · ds⃗ = F_m ds cos(90°) = 0. (Magnetic fields can alter a particle’s direction, but never its speed or kinetic energy).
प्रश्न 10. जब एक आवेशित कण q एक ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र E और चुंबकीय क्षेत्र B दोनों उपस्थित हैं, तो कण पर लगने वाले कुल **लॉरेंट्ज बल (Lorentz force)** का सही सूत्र क्या होगा?
Q10. When a charged particle q moves through a region where both electric field E and magnetic field B are present, the total **Lorentz force** acting on it is:
सही उत्तर: A) F⃗ = q [ E⃗ + (v⃗ × B⃗) ]
Correct Answer: A) F⃗ = q [ E⃗ + (v⃗ × B⃗) ]
स्पष्टीकरण: जब एक आवेशित कण दोनों क्षेत्रों के संयुक्त प्रभाव में गति करता है, तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल विद्युत बल और चुंबकीय बल के सदिश योग के बराबर होता है:
F⃗ = F_e⃗ + F_m⃗ = qE⃗ + q(v⃗ × B⃗) = q [ E⃗ + (v⃗ × B⃗) ]। इसे **लॉरेंट्ज बल समीकरण** कहा जाता है।
F⃗ = F_e⃗ + F_m⃗ = qE⃗ + q(v⃗ × B⃗) = q [ E⃗ + (v⃗ × B⃗) ]। इसे **लॉरेंट्ज बल समीकरण** कहा जाता है।
Explanation: The electromagnetic force on a charge in a region containing both electric and magnetic fields is the vector sum of electrostatic and magnetic forces:
F⃗ = F_electric⃗ + F_magnetic⃗ = qE⃗ + q(v⃗ × B⃗) = q [ E⃗ + (v⃗ × B⃗) ].
F⃗ = F_electric⃗ + F_magnetic⃗ = qE⃗ + q(v⃗ × B⃗) = q [ E⃗ + (v⃗ × B⃗) ].
प्रश्न 11. पृथ्वी के **चुंबकीय ध्रुवों (magnetic poles)** पर नति कोण या नमन कोण (Angle of dip) का मान कितना होता है?
Q11. At the Earth’s **magnetic poles**, the angle of dip (inclination) is:
सही उत्तर: C) 90°
Correct Answer: C) 90°
स्पष्टीकरण: नमन कोण (Angle of dip) पृथ्वी के कुल चुंबकीय क्षेत्र और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण होता है।
– **चुंबकीय ध्रुवों (Poles) पर:** चुंबकीय सुई पूर्णतः ऊर्ध्वाधर खड़ी हो जाती है क्योंकि वहाँ चुंबकीय क्षेत्र ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है। अतः नमन कोण का मान **90°** होता है।
– **चुंबकीय भूमध्य रेखा (Equator) पर:** सुई पूर्णतः क्षैतिज रहती है, अतः वहाँ नमन कोण का मान **0°** होता है।
– **चुंबकीय ध्रुवों (Poles) पर:** चुंबकीय सुई पूर्णतः ऊर्ध्वाधर खड़ी हो जाती है क्योंकि वहाँ चुंबकीय क्षेत्र ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है। अतः नमन कोण का मान **90°** होता है।
– **चुंबकीय भूमध्य रेखा (Equator) पर:** सुई पूर्णतः क्षैतिज रहती है, अतः वहाँ नमन कोण का मान **0°** होता है।
Explanation: The angle of dip is the angle made by the Earth’s total magnetic field vector with the horizontal plane.
– **At the magnetic poles:** The magnetic field lines are completely vertical, causing the dip needle to stand vertically. Thus, the angle of dip is **90°**.
– **At the magnetic equator:** The magnetic field is completely horizontal, so the angle of dip is **0°**.
– **At the magnetic poles:** The magnetic field lines are completely vertical, causing the dip needle to stand vertically. Thus, the angle of dip is **90°**.
– **At the magnetic equator:** The magnetic field is completely horizontal, so the angle of dip is **0°**.
प्रश्न 12. एक **प्रतिचुंबकीय पदार्थ (diamagnetic substance)** की चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility, χm) का मान किस प्रकार का होता है?
Q12. The magnetic susceptibility (χm) of a **diamagnetic substance** is:
सही उत्तर: C) ऋणात्मक और अल्प (Negative and small)
Correct Answer: C) Negative and small
स्पष्टीकरण: प्रतिचुंबकीय पदार्थ (जैसे तांबा, पानी) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र का विरोध करते हैं और क्षेत्र की विपरीत दिशा में बहुत कम चुंबकीय गुण प्रदर्शित करते हैं।
– अतः इनकी चुंबकीय प्रवृत्ति (χm) **ऋणात्मक और अल्प** होती है (-1 ≤ χm < 0)।
– (अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए यह धनात्मक और अल्प होती है; लौहचुंबकीय पदार्थों के लिए धनात्मक और अत्यधिक होती है)।
– अतः इनकी चुंबकीय प्रवृत्ति (χm) **ऋणात्मक और अल्प** होती है (-1 ≤ χm < 0)।
– (अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए यह धनात्मक और अल्प होती है; लौहचुंबकीय पदार्थों के लिए धनात्मक और अत्यधिक होती है)।
Explanation: Diamagnetic substances are repelled by magnetic fields and develop a weak magnetization in the direction opposite to the applied magnetic field.
– Therefore, their magnetic susceptibility (χm) is **negative and small** (-1 ≤ χm < 0).
– Therefore, their magnetic susceptibility (χm) is **negative and small** (-1 ≤ χm < 0).
प्रश्न 13. क्यूरी के नियम (Curie’s Law) के अनुसार, एक **अनुचुंबकीय पदार्थ (paramagnetic substance)** की चुंबकीय प्रवृत्ति (χm) परम ताप (T) के साथ किस प्रकार बदलती है?
Q13. According to Curie’s Law, the magnetic susceptibility (χm) of a **paramagnetic substance** varies with absolute temperature (T) as:
सही उत्तर: B) χm ∝ 1 / T
Correct Answer: B) χm ∝ 1 / T
स्पष्टीकरण: क्यूरी के नियम के अनुसार, अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति उसके परम ताप (absolute temperature) के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
χm = C / T (जहाँ C क्यूरी नियतांक है)।
– तापमान बढ़ाने पर अणुओं की थर्मल हलचल बढ़ती है, जिससे उनके चुंबकीय द्विध्रुवों का संरेखण (alignment) बिखर जाता है और चुंबकीय गुण कमजोर पड़ जाते हैं।
χm = C / T (जहाँ C क्यूरी नियतांक है)।
– तापमान बढ़ाने पर अणुओं की थर्मल हलचल बढ़ती है, जिससे उनके चुंबकीय द्विध्रुवों का संरेखण (alignment) बिखर जाता है और चुंबकीय गुण कमजोर पड़ जाते हैं।
Explanation: Curie’s Law states that the magnetic susceptibility of a paramagnetic material is inversely proportional to its absolute temperature:
χm = C / T (where C is the Curie constant).
– Heating increases random thermal motion, which disrupts the alignment of atomic magnetic dipoles.
χm = C / T (where C is the Curie constant).
– Heating increases random thermal motion, which disrupts the alignment of atomic magnetic dipoles.
प्रश्न 14. एक खोखले तांबे की नली (hollow copper pipe) में उसकी लंबाई के अनुदिश धारा I प्रवाहित हो रही है। नली के **भीतर खाली स्थान** में किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कितना होगा?
Q14. A hollow copper pipe carries a current I along its length. The magnetic field inside the empty region of the pipe is:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण: एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, यदि हम नली के भीतर r त्रिज्या का एक बंद वृत्ताकार एम्पीरियन लूप मानें:
∮ B⃗ · d&vec;l = μ₀ I_enclosed
चूंकि धारा केवल तांबे की नली की बाहरी मोटाई/दीवारों से बहती है, एम्पीरियन लूप के भीतर परिबद्ध धारा शून्य है (I_enclosed = 0)।
अतः, नली के भीतर प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र **शून्य** होगा।
∮ B⃗ · d&vec;l = μ₀ I_enclosed
चूंकि धारा केवल तांबे की नली की बाहरी मोटाई/दीवारों से बहती है, एम्पीरियन लूप के भीतर परिबद्ध धारा शून्य है (I_enclosed = 0)।
अतः, नली के भीतर प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र **शून्य** होगा।
Explanation: Applying Ampere’s Circuital Law, if we draw an Amperian loop inside the hollow cavity of the pipe:
∮ B⃗ · d&vec;l = μ₀ I_enclosed.
Since the current flows entirely along the walls, the current enclosed by the internal loop is zero (I_enclosed = 0).
Therefore, the magnetic field inside the hollow pipe is **zero**.
∮ B⃗ · d&vec;l = μ₀ I_enclosed.
Since the current flows entirely along the walls, the current enclosed by the internal loop is zero (I_enclosed = 0).
Therefore, the magnetic field inside the hollow pipe is **zero**.
प्रश्न 15. एक चुंबकीय द्विध्रुव (dipole moment, M) को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B में रखा गया है। द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम (अर्थात स्थायी साम्यावस्था, stable equilibrium) कब होगी, जब M⃗ और B⃗ के बीच का कोण हो:
Q15. A magnetic dipole of moment M is placed in a uniform magnetic field B. The potential energy of the dipole is minimum (stable equilibrium) when the angle between M and B is:
सही उत्तर: A) 0°
Correct Answer: A) 0°
स्पष्टीकरण: चुंबकीय क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र:
U = -M⃗ · B⃗ = -MB cosθ
– **स्थायी साम्यावस्था (θ = 0°):** U = -MB cos(0°) = -MB (न्यूनतम ऊर्जा)।
– **अस्थायी साम्यावस्था (θ = 180°):** U = -MB cos(180°) = +MB (अधिकतम ऊर्जा)।
U = -M⃗ · B⃗ = -MB cosθ
– **स्थायी साम्यावस्था (θ = 0°):** U = -MB cos(0°) = -MB (न्यूनतम ऊर्जा)।
– **अस्थायी साम्यावस्था (θ = 180°):** U = -MB cos(180°) = +MB (अधिकतम ऊर्जा)।
Explanation: The potential energy of a magnetic dipole in a magnetic field is:
U = -M⃗ · B⃗ = -MB cosθ.
– **Stable equilibrium (θ = 0°):** U = -MB cos(0°) = -MB (minimum potential energy).
– **Unstable equilibrium (θ = 180°):** U = -MB cos(180°) = +MB (maximum potential energy).
U = -M⃗ · B⃗ = -MB cosθ.
– **Stable equilibrium (θ = 0°):** U = -MB cos(0°) = -MB (minimum potential energy).
– **Unstable equilibrium (θ = 180°):** U = -MB cos(180°) = +MB (maximum potential energy).
प्रश्न 16. चुंबकीय फ्लक्स (Magnetic flux, ΦB) का SI मात्रक निम्नलिखित में से कौन सा है?
Q16. The SI unit of magnetic flux (ΦB) is:
सही उत्तर: B) वेबर (Weber)
Correct Answer: B) Weber
स्पष्टीकरण: चुंबकीय फ्लक्स की परिभाषा के अनुसार, यह किसी सतह से गुजरने वाली नेट चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या की माप है: Φ_B = B⃗ · A⃗।
– इसका SI मात्रक **वेबर (Weber – Wb)** होता है।
– अन्य मात्रक: 1 Wb = 1 Tesla × m² = 1 T·m²।
– (टेस्ला चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का SI मात्रक है; गॉस इसका CGS मात्रक है, 1 T = 10⁴ Gauss)।
– इसका SI मात्रक **वेबर (Weber – Wb)** होता है।
– अन्य मात्रक: 1 Wb = 1 Tesla × m² = 1 T·m²।
– (टेस्ला चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का SI मात्रक है; गॉस इसका CGS मात्रक है, 1 T = 10⁴ Gauss)।
Explanation: Magnetic flux represents the surface integral of the normal component of the magnetic field: Φ_B = B⃗ · A⃗.
– Its SI unit is the **Weber (Wb)**.
– Dimensional equivalence: 1 Wb = 1 T·m².
– Its SI unit is the **Weber (Wb)**.
– Dimensional equivalence: 1 Wb = 1 T·m².
प्रश्न 17. हाइड्रोजन परमाणु की कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण (M) और उसके कोणीय संवेग (L) का अनुपात क्या कहलाता है तथा इसका मान कितना होता है?
Q17. The ratio of the orbital magnetic moment (M) to the orbital angular momentum (L) of an electron is known as gyromagnetic ratio. Its value is:
सही उत्तर: A) जायरोमैग्नेटिक अनुपात, मान = e / 2m_e
Correct Answer: A) Gyromagnetic ratio, value = e / 2m_e
स्पष्टीकरण: परमाणु में घूमते इलेक्ट्रॉन के लिए चुंबकीय आघूर्ण M = evr / 2 और कोणीय संवेग L = m_e v r होता है।
– दोनों का अनुपात: M / L = (evr / 2) / (m_e v r) = e / 2m_e।
– इस अनुपात को **जायरोमैग्नेटिक अनुपात (Gyromagnetic ratio)** कहा जाता है। यह एक नियतांक है और इसका मान लगभग 8.8 × 10¹⁰ C/kg होता है।
– दोनों का अनुपात: M / L = (evr / 2) / (m_e v r) = e / 2m_e।
– इस अनुपात को **जायरोमैग्नेटिक अनुपात (Gyromagnetic ratio)** कहा जाता है। यह एक नियतांक है और इसका मान लगभग 8.8 × 10¹⁰ C/kg होता है।
Explanation: For a revolving electron:
– Magnetic moment: M = evr / 2.
– Angular momentum: L = m_e v r.
– The ratio of M / L = e / 2m_e is a universal constant called the **gyromagnetic ratio**.
– Magnetic moment: M = evr / 2.
– Angular momentum: L = m_e v r.
– The ratio of M / L = e / 2m_e is a universal constant called the **gyromagnetic ratio**.
प्रश्न 18. एक अनंत लंबे सीधे तार जिसमें विद्युत धारा I प्रवाहित हो रही है, से दूरी r पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का सही सूत्र क्या होगा?
Q18. The magnetic field intensity (B) at a distance r from an infinitely long straight wire carrying a current I is:
सही उत्तर: B) B = μ₀ I / 2πr
Correct Answer: B) B = μ₀ I / 2πr
स्पष्टीकरण: एम्पीयर के नियम का उपयोग करके सीधे लंबे तार के कारण दूरी r पर बंद एम्पीरियन वलय मानकर चुंबकीय क्षेत्र निकाला जाता है:
∮ B⃗ · d&vec;l = B × 2πr = μ₀ I ⇒ B = μ₀ I / 2πr।
– (यह ध्यान रखें कि वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ I / 2r होता है, जिसमें π नहीं आता)।
∮ B⃗ · d&vec;l = B × 2πr = μ₀ I ⇒ B = μ₀ I / 2πr।
– (यह ध्यान रखें कि वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ I / 2r होता है, जिसमें π नहीं आता)।
Explanation: Applying Ampere’s law around an Amperian loop of radius r centered on the straight wire:
B × 2πr = μ₀ I ⇒ B = μ₀ I / 2πr.
B × 2πr = μ₀ I ⇒ B = μ₀ I / 2πr.
प्रश्न 19. जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में क्षेत्र की दिशा से **तिरछे कोण (acute angle θ)** पर प्रवेश करता है, तो कण का गति-पथ (trajectory) कैसा होगा?
Q19. When a charged particle enters a uniform magnetic field at an acute angle (θ) other than 90° to the field lines, its trajectory is:
सही उत्तर: C) कुण्डलिनीवत / सर्पिलाकार (Helical)
Correct Answer: C) Helical
स्पष्टीकरण:
– वेग के दो घटक होते हैं: v_parallel = v cosθ (क्षेत्र की दिशा में) और v_perpendicular = v sinθ (क्षेत्र के लंबवत)।
– लंबवत घटक के कारण कण वृत्ताकार पथ पर घूमता है।
– समानांतर घटक के कारण वह बिना बल का अनुभव किए आगे बढ़ता है।
दोनों गतियों के संयोजन से कण आगे बढ़ते हुए वृत्ताकार घूमता है, जिससे उसका मार्ग **कुण्डलिनीवत या हेलिक्स (Helical path)** बन जाता है।
– वेग के दो घटक होते हैं: v_parallel = v cosθ (क्षेत्र की दिशा में) और v_perpendicular = v sinθ (क्षेत्र के लंबवत)।
– लंबवत घटक के कारण कण वृत्ताकार पथ पर घूमता है।
– समानांतर घटक के कारण वह बिना बल का अनुभव किए आगे बढ़ता है।
दोनों गतियों के संयोजन से कण आगे बढ़ते हुए वृत्ताकार घूमता है, जिससे उसका मार्ग **कुण्डलिनीवत या हेलिक्स (Helical path)** बन जाता है।
Explanation: The velocity vector has two components:
– v_perpendicular = v sinθ: produces circular motion.
– v_parallel = v cosθ: drives the particle forward along the field lines.
The superposition of circular rotation and linear translation results in a **helical path**.
– v_perpendicular = v sinθ: produces circular motion.
– v_parallel = v cosθ: drives the particle forward along the field lines.
The superposition of circular rotation and linear translation results in a **helical path**.
प्रश्न 20. एक चल कुंडली धारामापी (moving coil galvanometer) की **धारा सुग्राहिता (Current sensitivity)** को किस प्रकार बढ़ाया जा सकता है?
Q20. The current sensitivity of a moving coil galvanometer can be increased by:
सही उत्तर: B) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता (B) को बढ़ाकर (increasing magnetic field)
Correct Answer: B) Increasing the magnetic field (B)
स्पष्टीकरण: धारा सुग्राहिता का सूत्र है:
I_s = θ / I = NBA / k
अतः सुग्राहिता बढ़ाने के लिए:
– फेरों की संख्या (N), कुंडली के क्षेत्रफल (A) और चुंबकीय क्षेत्र (B) को बढ़ाना चाहिए।
– मरोड़ी नियतांक/टॉरशनल कांस्टेंट (k) को घटाना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में केवल “B को बढ़ाकर” ही सही विकल्प है।
I_s = θ / I = NBA / k
अतः सुग्राहिता बढ़ाने के लिए:
– फेरों की संख्या (N), कुंडली के क्षेत्रफल (A) और चुंबकीय क्षेत्र (B) को बढ़ाना चाहिए।
– मरोड़ी नियतांक/टॉरशनल कांस्टेंट (k) को घटाना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में केवल “B को बढ़ाकर” ही सही विकल्प है।
Explanation: The current sensitivity is defined as:
I_s = θ / I = NBA / k.
To increase current sensitivity, one must increase N, B, or A, or decrease the restoring torque per unit twist k.
I_s = θ / I = NBA / k.
To increase current sensitivity, one must increase N, B, or A, or decrease the restoring torque per unit twist k.
प्रश्न 21. वे चुंबकीय पदार्थ जो बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा **तीव्र रूप से आकर्षित (strongly attracted)** होते हैं और स्थायी चुंबक बनाने में प्रयुक्त होते हैं, क्या कहलाते हैं?
Q21. The magnetic substances which are strongly attracted by a magnetic field and can be permanently magnetized are called:
सही उत्तर: C) लौहचुंबकीय पदार्थ (Ferromagnetic)
Correct Answer: C) Ferromagnetic substances
स्पष्टीकरण: लौहचुंबकीय पदार्थ (जैसे लोहा, कोबाल्ट, निकेल) में परमाणुओं के डोमेन (domains) होते हैं। जब इन्हें बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो ये डोमेन अत्यधिक तीव्रता से क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाते हैं, जिससे ये क्षेत्र द्वारा बहुत शक्तिशाली रूप से आकर्षित होते हैं तथा क्षेत्र हटाने पर भी अपना चुंबकत्व सुरक्षित रख सकते हैं।
Explanation: Ferromagnetic substances (such as Iron, Cobalt, and Nickel) have domain structures. They develop strong magnetization in the direction of the magnetizing field, making them strongly attracted by magnets and highly suitable for making permanent magnets.
प्रश्न 22. यदि किसी स्थान पर पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र B है और नमन कोण (dip angle) θ है, तो पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का **क्षैतिज घटक (Horizontal component, B_H)** क्या होगा?
Q22. If the total magnetic field of the Earth at a place is B and the angle of dip is θ, the horizontal component of the Earth’s magnetic field (B_H) is:
सही उत्तर: B) B_H = B cosθ
Correct Answer: B) B_H = B cosθ
स्पष्टीकरण: चुंबकीय याम्योत्तर (magnetic meridian) में पृथ्वी के कुल चुंबकीय क्षेत्र B⃗ के घटकों को वियोजित करने पर:
– क्षैतिज घटक (Horizontal component): B_H = B cosθ
– ऊर्ध्वाधर घटक (Vertical component): B_V = B sinθ
– दोनों में संबंध: tanθ = B_V / B_H।
– क्षैतिज घटक (Horizontal component): B_H = B cosθ
– ऊर्ध्वाधर घटक (Vertical component): B_V = B sinθ
– दोनों में संबंध: tanθ = B_V / B_H।
Explanation: Resolving the Earth’s total magnetic field vector B⃗ in the magnetic meridian:
– Horizontal component: B_H = B cosθ.
– Vertical component: B_V = B sinθ.
– The relation between components is tanθ = B_V / B_H.
– Horizontal component: B_H = B cosθ.
– Vertical component: B_V = B sinθ.
– The relation between components is tanθ = B_V / B_H.
प्रश्न 23. एक गतिमान प्रोटॉन (proton) को एक लंबी धारावाही परिनालिका (solenoid) के **अक्ष के अनुदिश** प्रक्षेपित किया जाता है। प्रोटॉन की गति पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Q23. A proton is projected with a constant velocity along the axis of a long current-carrying solenoid. The motion of the proton:
सही उत्तर: A) यह परिनालिका के अक्ष के अनुदिश समान वेग से चलता रहेगा
Correct Answer: A) Will continue to move with the same velocity along the axis
स्पष्टीकरण:
– परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उसकी अक्ष के अनुदिश (समानांतर) होती है।
– चूंकि प्रोटॉन को अक्ष के अनुदिश ही प्रक्षेपित किया गया है, वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण θ = 0° (या 180°) होगा।
– चुंबकीय बल का सूत्र: F_m = qvB sinθ = qvB sin(0°) = 0
– चूंकि प्रोटॉन पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं करेगा, वह बिना विचलित हुए **समान वेग से सीधी रेखा में चलता रहेगा**।
– परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उसकी अक्ष के अनुदिश (समानांतर) होती है।
– चूंकि प्रोटॉन को अक्ष के अनुदिश ही प्रक्षेपित किया गया है, वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण θ = 0° (या 180°) होगा।
– चुंबकीय बल का सूत्र: F_m = qvB sinθ = qvB sin(0°) = 0
– चूंकि प्रोटॉन पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं करेगा, वह बिना विचलित हुए **समान वेग से सीधी रेखा में चलता रहेगा**।
Explanation:
– Inside a solenoid, the magnetic field is directed along the longitudinal axis of the solenoid.
– Since the proton is projected along the axis, the angle between the velocity vector and magnetic field is θ = 0° (or 180°).
– The magnetic Lorentz force is: F = qvB sin(0°) = 0.
– With no net magnetic force acting on it, the proton continues to **move with the same velocity along the axis**.
– Inside a solenoid, the magnetic field is directed along the longitudinal axis of the solenoid.
– Since the proton is projected along the axis, the angle between the velocity vector and magnetic field is θ = 0° (or 180°).
– The magnetic Lorentz force is: F = qvB sin(0°) = 0.
– With no net magnetic force acting on it, the proton continues to **move with the same velocity along the axis**.
प्रश्न 24. एक वृत्ताकार धारावाही **टोराइड (Toroid)** के केंद्रीय खाली भीतरी भाग (empty inner space) में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का मान कितना होता है?
Q24. The magnetic field intensity in the empty inner space enclosed by a toroid is:
सही उत्तर: B) शून्य (Zero)
Correct Answer: B) Zero
स्पष्टीकरण: टोराइड एक बंद वृत्ताकार छल्ले जैसी परिनालिका होती है। एम्पीयर के नियम का उपयोग करने पर:
– टोराइड की कुंडली के भीतर (core) चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ n I होता है।
– लेकिन टोराइड के **बाहरी स्थान** और **केंद्रीय भीतरी खाली स्थान** दोनों में कोई एम्पीरियन लूप धारा को परिबद्ध नहीं करता (I_enclosed = 0)।
अतः टोराइड के भीतर खाली भाग में चुंबकीय क्षेत्र हमेशा **शून्य** होता है।
– टोराइड की कुंडली के भीतर (core) चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ n I होता है।
– लेकिन टोराइड के **बाहरी स्थान** और **केंद्रीय भीतरी खाली स्थान** दोनों में कोई एम्पीरियन लूप धारा को परिबद्ध नहीं करता (I_enclosed = 0)।
अतः टोराइड के भीतर खाली भाग में चुंबकीय क्षेत्र हमेशा **शून्य** होता है।
Explanation: A toroid is a solenoid bent into a circular ring shape.
– The magnetic field is confined entirely inside the core of the toroid (B = μ₀ n I).
– For any Amperian loop drawn in the empty inner region or outer region, the enclosed current is zero. Thus, the magnetic field in these regions is **zero**.
– The magnetic field is confined entirely inside the core of the toroid (B = μ₀ n I).
– For any Amperian loop drawn in the empty inner region or outer region, the enclosed current is zero. Thus, the magnetic field in these regions is **zero**.
प्रश्न 25. जब किसी अतिचालक (superconductor) को बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो वह चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को अपने भीतर से पूर्णतः बाहर धकेल देता है (निष्कासित करता है)। इस प्रभाव को क्या कहा जाता है?
Q25. When a superconductor is placed in a magnetic field, it expels the magnetic field lines from its interior. This phenomenon is known as:
सही उत्तर: B) माइसनर प्रभाव (Meissner effect)
Correct Answer: B) Meissner effect
स्पष्टीकरण: अतिचालक पदार्थ पूर्ण प्रतिचुंबकत्व (perfect diamagnetism) प्रदर्शित करते हैं, जिसके कारण इनकी चुंबकीय सुग्राहिता χm = -1 होती है। जब इन्हें क्रांतिक तापमान से नीचे ठंडा करके अतिचालक अवस्था में लाया जाता है, तो ये अपने भीतर से चुंबकीय बल रेखाओं को पूर्णतः बाहर धकेल देते हैं, जिससे भीतर B = 0 हो जाता है। इस परिघटना को **माइसनर प्रभाव (Meissner effect)** कहते हैं। (इसी प्रभाव के कारण चुंबकीय उत्तोलन/magnetic levitation संभव होता है)।
Explanation: Superconductors behave as perfect diamagnets with a magnetic susceptibility χm = -1. When cooled below their transition temperature, they completely expel any external magnetic field from their interior, making B = 0 inside. This is known as the **Meissner effect**.