प्रश्न 1. एक 1000 kg द्रव्यमान के रॉकेट को ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि रॉकेट की गैसों की निकास चाल 500 m/s है, तो रॉकेट को 20 m/s² का प्रारंभिक त्वरण प्रदान करने के लिए ईंधन की खपत की न्यूनतम दर (dm/dt) क्या होगी? (g = 10 m/s² लें)
Q1. A rocket of mass 1000 kg is programmed for a vertical launch. If the exhaust speed of its gases is 500 m/s, the rate of fuel consumption (dm/dt) to provide it with an initial upward acceleration of 20 m/s² is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: B) 60 kg/s
Correct Answer: B) 60 kg/s
स्पष्टीकरण: ऊपर की ओर नेट बल का समीकरण:
F_thrust – mg = ma ⇒ v_ex × (dm/dt) = m(g + a)
मान रखने पर:
500 × (dm/dt) = 1000 × (10 + 20)
500 × (dm/dt) = 1000 × 30 = 30000 ⇒ dm/dt = 30000 / 500 = 60 kg/s।
F_thrust – mg = ma ⇒ v_ex × (dm/dt) = m(g + a)
मान रखने पर:
500 × (dm/dt) = 1000 × (10 + 20)
500 × (dm/dt) = 1000 × 30 = 30000 ⇒ dm/dt = 30000 / 500 = 60 kg/s।
Explanation: The equation of motion for upward thrust is:
F_thrust – mg = ma ⇒ v_ex × (dm/dt) = m(g + a)
Substituting the values:
500 × (dm/dt) = 1000 × (10 + 20)
500 × (dm/dt) = 1000 × 30 = 30000 ⇒ dm/dt = 30000 / 500 = 60 kg/s.
F_thrust – mg = ma ⇒ v_ex × (dm/dt) = m(g + a)
Substituting the values:
500 × (dm/dt) = 1000 × (10 + 20)
500 × (dm/dt) = 1000 × 30 = 30000 ⇒ dm/dt = 30000 / 500 = 60 kg/s.
प्रश्न 2. 60 kg द्रव्यमान का एक व्यक्ति एक लिफ्ट में खड़ा है जो 2 m/s² के त्वरण से नीचे की ओर जा रही है। व्यक्ति का आभासी भार (Apparent weight) कितना होगा? (g = 10 m/s² लें)
Q2. A man of mass 60 kg stands in a lift which is moving downwards with a constant acceleration of 2 m/s². The apparent weight of the man is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: B) 480 N
Correct Answer: B) 480 N
स्पष्टीकरण: जब लिफ्ट नीचे की ओर त्वरित होती है, तो आभासी भार (अभिक्रिया बल R) घटता है:
R = m(g – a)
मान रखने पर:
R = 60(10 – 2) = 60 × 8 = 480 N।
R = m(g – a)
मान रखने पर:
R = 60(10 – 2) = 60 × 8 = 480 N।
Explanation: When the lift accelerates downwards, the apparent weight (normal reaction R) is given by:
R = m(g – a)
Substituting the values:
R = 60(10 – 2) = 60 × 8 = 480 N.
R = m(g – a)
Substituting the values:
R = 60(10 – 2) = 60 × 8 = 480 N.
प्रश्न 3. विराम अवस्था में रखा हुआ 9 kg द्रव्यमान का एक बम अचानक दो टुकड़ों 3 kg और 6 kg में फट जाता है। यदि 3 kg वाले टुकड़े का वेग 16 m/s है, तो 6 kg वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा (Kinetic energy) कितनी होगी?
Q3. A bomb of mass 9 kg initially at rest explodes into two pieces of masses 3 kg and 6 kg. If the velocity of the 3 kg piece is 16 m/s, the kinetic energy of the 6 kg piece is:
सही उत्तर: B) 192 J
Correct Answer: B) 192 J
स्पष्टीकरण: संवेग संरक्षण सिद्धांत के अनुसार (चूँकि प्रारंभिक संवेग = 0):
m₁v₁ + m₂v₂ = 0 ⇒ 3 × 16 + 6 × v₂ = 0 ⇒ v₂ = -8 m/s
गतिज ऊर्जा का सूत्र: K.E. = (1/2)m₂v₂²
K.E. = (1/2) × 6 × (-8)² = 3 × 64 = 192 J।
m₁v₁ + m₂v₂ = 0 ⇒ 3 × 16 + 6 × v₂ = 0 ⇒ v₂ = -8 m/s
गतिज ऊर्जा का सूत्र: K.E. = (1/2)m₂v₂²
K.E. = (1/2) × 6 × (-8)² = 3 × 64 = 192 J।
Explanation: According to the law of conservation of linear momentum (Initial momentum = 0):
m₁v₁ + m₂v₂ = 0 ⇒ 3 × 16 + 6 × v₂ = 0 ⇒ v₂ = -8 m/s (moving in opposite direction).
The kinetic energy of the 6 kg piece is: K.E. = (1/2)m₂v₂² = (1/2) × 6 × (8)² = 3 × 64 = 192 J.
m₁v₁ + m₂v₂ = 0 ⇒ 3 × 16 + 6 × v₂ = 0 ⇒ v₂ = -8 m/s (moving in opposite direction).
The kinetic energy of the 6 kg piece is: K.E. = (1/2)m₂v₂² = (1/2) × 6 × (8)² = 3 × 64 = 192 J.
प्रश्न 4. द्रव्यमान m का एक गुटका एक डोरी से ऊर्ध्वाधर रूप से लटका हुआ है। यदि इस पर एक क्षैतिज बल F आरोपित किया जाता है जिससे डोरी ऊर्ध्वाधर से कोण θ बनाती है, तो साम्यावस्था में डोरी में तनाव (Tension) क्या होगा?
Q4. A block of mass m is suspended vertically by a string. If a horizontal force F is applied on it so that the string makes an angle θ with the vertical, then in equilibrium, the tension in the string is:
सही उत्तर: D) A और C दोनों सही हैं
Correct Answer: D) Both A and C are correct
स्पष्टीकरण: बलों को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर:
– ऊर्ध्वाधर संतुलन: T cosθ = mg ⇒ T = mg / cosθ
– क्षैतिज संतुलन: T sinθ = F ⇒ T = F / sinθ
अतः तनाव को व्यक्त करने वाले दोनों विकल्प गणितीय रूप से सही हैं।
– ऊर्ध्वाधर संतुलन: T cosθ = mg ⇒ T = mg / cosθ
– क्षैतिज संतुलन: T sinθ = F ⇒ T = F / sinθ
अतः तनाव को व्यक्त करने वाले दोनों विकल्प गणितीय रूप से सही हैं।
Explanation: Resolving the forces into horizontal and vertical components:
– Vertically: T cosθ = mg ⇒ T = mg / cosθ
– Horizontally: T sinθ = F ⇒ T = F / sinθ
Thus, both mathematical representations for tension are correct.
– Vertically: T cosθ = mg ⇒ T = mg / cosθ
– Horizontally: T sinθ = F ⇒ T = F / sinθ
Thus, both mathematical representations for tension are correct.
प्रश्न 5. खुरदरे आनत तल पर रखे गुटके का बिना फिसले रुके रहने का अधिकतम झुकाव कोण (जिसे विराम कोण या Angle of Repose कहते हैं), स्थैतिक घर्षण गुणांक (μs) से किस प्रकार संबंधित है?
Q5. The maximum angle of inclination of a rough inclined plane for which a block placed on it remains at rest without slipping (known as angle of repose, θ) is related to static friction coefficient (μs) as:
सही उत्तर: C) θ = tan⁻¹(μs)
Correct Answer: C) θ = tan⁻¹(μs)
स्पष्टीकरण: झुकाव कोण θ बढ़ने पर गुटके पर नीचे की ओर कार्य करने वाला बल mg sinθ होता है और सीमांत स्थैतिक घर्षण बल f_s = μs mg cosθ होता है।
फिसलने की सीमांत स्थिति में:
mg sinθ = μs mg cosθ ⇒ sinθ / cosθ = μs ⇒ tanθ = μs ⇒ θ = tan⁻¹(μs)।
फिसलने की सीमांत स्थिति में:
mg sinθ = μs mg cosθ ⇒ sinθ / cosθ = μs ⇒ tanθ = μs ⇒ θ = tan⁻¹(μs)।
Explanation: At the verge of sliding down the incline, the component of gravity down the slope balances the limiting static friction:
mg sinθ = μs mg cosθ ⇒ tanθ = μs ⇒ θ = tan⁻¹(μs).
mg sinθ = μs mg cosθ ⇒ tanθ = μs ⇒ θ = tan⁻¹(μs).
प्रश्न 6. 4 kg और 6 kg के दो द्रव्यमान एक घर्षणरहित घिरनी (frictionless pulley) के ऊपर से गुजरने वाली हल्की डोरी से जुड़े हैं। इस निकाय (Atwood’s machine) का त्वरण क्या होगा? (g = 10 m/s² लें)
Q6. Two masses of 4 kg and 6 kg are connected by a light string passing over a frictionless pulley. The acceleration of the system is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: A) 2 m/s²
Correct Answer: A) 2 m/s²
स्पष्टीकरण: एटवुड मशीन के लिए त्वरण का सूत्र:
a = (m₂ – m₁)g / (m₁ + m₂)
मान रखने पर (m₂ = 6 kg, m₁ = 4 kg):
a = (6 – 4) × 10 / (4 + 6) = 2 × 10 / 10 = 2 m/s²।
a = (m₂ – m₁)g / (m₁ + m₂)
मान रखने पर (m₂ = 6 kg, m₁ = 4 kg):
a = (6 – 4) × 10 / (4 + 6) = 2 × 10 / 10 = 2 m/s²।
Explanation: The acceleration of the masses in an Atwood machine is given by:
a = (m₂ – m₁)g / (m₁ + m₂)
Substituting the values (m₂ = 6 kg, m₁ = 4 kg):
a = (6 – 4) × 10 / (4 + 6) = 2 m/s².
a = (m₂ – m₁)g / (m₁ + m₂)
Substituting the values (m₂ = 6 kg, m₁ = 4 kg):
a = (6 – 4) × 10 / (4 + 6) = 2 m/s².
प्रश्न 7. 2 kg द्रव्यमान का एक गुटका क्षैतिज फर्श पर रखा है, जहाँ स्थैतिक घर्षण गुणांक μs = 0.4 है। यदि इस गुटके पर 2.8 N का क्षैतिज बल लगाया जाता है, तो गुटके पर लगने वाला वास्तविक घर्षण बल (frictional force) कितना होगा? (g = 10 m/s² लें)
Q7. A block of mass 2 kg is placed on a horizontal floor where the coefficient of static friction is μs = 0.4. If a horizontal force of 2.8 N is applied to the block, the frictional force acting on it is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: B) 2.8 N
Correct Answer: B) 2.8 N
स्पष्टीकरण:
– अधिकतम (सीमांत) स्थैतिक घर्षण बल: f_s(max) = μs R = μs mg = 0.4 × 2 × 10 = 8.0 N
– चूँकि आरोपित बल (2.8 N) सीमांत घर्षण बल (8.0 N) से कम है, इसलिए गुटका गति नहीं करेगा।
– ऐसी स्थिति में स्थैतिक घर्षण बल स्व-समायोजित (self-adjusting) होता है और आरोपित बल के ठीक बराबर होता है। अतः घर्षण बल **2.8 N** होगा।
– अधिकतम (सीमांत) स्थैतिक घर्षण बल: f_s(max) = μs R = μs mg = 0.4 × 2 × 10 = 8.0 N
– चूँकि आरोपित बल (2.8 N) सीमांत घर्षण बल (8.0 N) से कम है, इसलिए गुटका गति नहीं करेगा।
– ऐसी स्थिति में स्थैतिक घर्षण बल स्व-समायोजित (self-adjusting) होता है और आरोपित बल के ठीक बराबर होता है। अतः घर्षण बल **2.8 N** होगा।
Explanation:
– Limiting static friction: f_s(max) = μs R = μs mg = 0.4 × 2 × 10 = 8.0 N.
– Since the applied force (2.8 N) is less than the maximum static friction (8.0 N), the block does not move.
– Static friction is self-adjusting in nature and balances the applied force. Hence, the actual frictional force is **2.8 N**.
– Limiting static friction: f_s(max) = μs R = μs mg = 0.4 × 2 × 10 = 8.0 N.
– Since the applied force (2.8 N) is less than the maximum static friction (8.0 N), the block does not move.
– Static friction is self-adjusting in nature and balances the applied force. Hence, the actual frictional force is **2.8 N**.
प्रश्न 8. एक 100 m त्रिज्या वाले वृत्ताकार मोड़ को सुरक्षित डिज़ाइन चाल 20 m/s के लिए बैंक (banked) किया गया है। सड़क का बैंकिंग कोण (banking angle, θ) क्या होना चाहिए? (g = 10 m/s² लें)
Q8. A circular curve of radius 100 m is banked for a design speed of 20 m/s. The banking angle (θ) of the road should be: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: B) tan⁻¹(0.4)
Correct Answer: B) tan⁻¹(0.4)
स्पष्टीकरण: बैंकिंग सिद्धांत के अनुसार:
tanθ = v² / (r × g)
मान रखने पर:
tanθ = (20)² / (100 × 10) = 400 / 1000 = 0.4 ⇒ θ = tan⁻¹(0.4)।
tanθ = v² / (r × g)
मान रखने पर:
tanθ = (20)² / (100 × 10) = 400 / 1000 = 0.4 ⇒ θ = tan⁻¹(0.4)।
Explanation: The banking angle θ of a road is given by the formula:
tanθ = v² / (rg)
Substituting the given values:
tanθ = (20)² / (100 × 10) = 400 / 1000 = 0.4 ⇒ θ = tan⁻¹(0.4).
tanθ = v² / (rg)
Substituting the given values:
tanθ = (20)² / (100 × 10) = 400 / 1000 = 0.4 ⇒ θ = tan⁻¹(0.4).
प्रश्न 9. किसी कण पर कार्य करने वाला बल F⃗ = (3t² î + 2t ĵ) N है। समय अंतराल t = 0 s से t = 2 s के बीच कण के संवेग में होने वाला सदिश परिवर्तन (vector change in momentum) क्या होगा?
Q9. A force F⃗ = (3t² î + 2t ĵ) N acts on a particle. The vector change in momentum of the particle between t = 0 s and t = 2 s is:
सही उत्तर: A) 8 î + 4 ĵ
Correct Answer: A) 8 î + 4 ĵ
स्पष्टीकरण: न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, संवेग में परिवर्तन आवेग (Impulse) के बराबर होता है:
Δp⃗ = ∫ F⃗ dt = ∫ (3t² î + 2t ĵ) dt (सीमा 0 से 2)
Δp⃗ = [t³ î + t² ĵ] (0 से 2 तक)
Δp⃗ = (2³ – 0³) î + (2² – 0²) ĵ = 8 î + 4 ĵ (N·s या kg·m/s)।
Δp⃗ = ∫ F⃗ dt = ∫ (3t² î + 2t ĵ) dt (सीमा 0 से 2)
Δp⃗ = [t³ î + t² ĵ] (0 से 2 तक)
Δp⃗ = (2³ – 0³) î + (2² – 0²) ĵ = 8 î + 4 ĵ (N·s या kg·m/s)।
Explanation: According to Newton’s second law, change in momentum is the integral of force over time:
Δp⃗ = ∫ F⃗ dt = ∫ (3t² î + 2t ĵ) dt (from 0 to 2 s)
Δp⃗ = [t³ î + t² ĵ] evaluated from 0 to 2
Δp⃗ = (8 – 0) î + (4 – 0) ĵ = 8 î + 4 ĵ.
Δp⃗ = ∫ F⃗ dt = ∫ (3t² î + 2t ĵ) dt (from 0 to 2 s)
Δp⃗ = [t³ î + t² ĵ] evaluated from 0 to 2
Δp⃗ = (8 – 0) î + (4 – 0) ĵ = 8 î + 4 ĵ.
प्रश्न 10. 150 g द्रव्यमान की एक क्रिकेट गेंद 20 m/s की गति से आकर बल्ले से टकराती है और टकराकर समान गति से उसी मार्ग पर वापस लौट जाती है। यदि संपर्क समय 0.01 s हो, तो बल्ले द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल कितना होगा?
Q10. A cricket ball of mass 150 g moving with a velocity of 20 m/s is hit by a bat so that it returns back along the same path with the same speed. If the contact time is 0.01 s, the average force exerted on the ball by the bat is:
सही उत्तर: B) 600 N
Correct Answer: B) 600 N
स्पष्टीकरण:
– द्रव्यमान m = 150 g = 0.15 kg
– प्रारंभिक वेग u = -20 m/s, अंतिम वेग v = +20 m/s
– संवेग परिवर्तन Δp = m(v – u) = 0.15 × [20 – (-20)] = 0.15 × 40 = 6 kg·m/s
– औसत बल F_avg = Δp / Δt = 6 / 0.01 = 600 N।
– द्रव्यमान m = 150 g = 0.15 kg
– प्रारंभिक वेग u = -20 m/s, अंतिम वेग v = +20 m/s
– संवेग परिवर्तन Δp = m(v – u) = 0.15 × [20 – (-20)] = 0.15 × 40 = 6 kg·m/s
– औसत बल F_avg = Δp / Δt = 6 / 0.01 = 600 N।
Explanation:
– Mass m = 150 g = 0.15 kg
– Initial velocity u = -20 m/s, Final velocity v = +20 m/s
– Change in momentum Δp = m(v – u) = 0.15 × [20 – (-20)] = 6 kg·m/s
– Average force F_avg = Δp / Δt = 6 / 0.01 = 600 N.
– Mass m = 150 g = 0.15 kg
– Initial velocity u = -20 m/s, Final velocity v = +20 m/s
– Change in momentum Δp = m(v – u) = 0.15 × [20 – (-20)] = 6 kg·m/s
– Average force F_avg = Δp / Δt = 6 / 0.01 = 600 N.
प्रश्न 11. 0.5 kg द्रव्यमान के एक पत्थर को 1 m लंबी डोरी से बांधकर एक क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर 4 m/s की नियत चाल से घुमाया जाता है। डोरी में उत्पन्न तनाव (Tension) क्या होगा?
Q11. A stone of mass 0.5 kg tied to a string of length 1 m is whirled in a horizontal circle with a constant speed of 4 m/s. The tension in the string is:
सही उत्तर: C) 8 N
Correct Answer: C) 8 N
स्पष्टीकरण: क्षैतिज वृत्त में आवश्यक अभिकेंद्र बल (Centripetal force) डोरी के तनाव (T) से प्राप्त होता है:
T = m × v² / r
मान रखने पर:
T = 0.5 × (4)² / 1 = 0.5 × 16 = 8 N।
T = m × v² / r
मान रखने पर:
T = 0.5 × (4)² / 1 = 0.5 × 16 = 8 N।
Explanation: The tension in the string provides the necessary centripetal force for horizontal circular motion:
T = mv² / r
Substituting the values:
T = 0.5 × (4)² / 1 = 8 N.
T = mv² / r
Substituting the values:
T = 0.5 × (4)² / 1 = 8 N.
प्रश्न 12. न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार, जब कोई घोड़ा गाड़ी (cart) को खींचता है, तो वह बल जो घोड़े को आगे बढ़ने में प्रत्यक्ष रूप से मदद करता है, किसके द्वारा लगाया जाता है?
Q12. According to Newton’s laws of motion, when a horse pulls a cart, the force that directly helps the horse to move forward is exerted by:
सही उत्तर: C) मैदान (जमीन) द्वारा घोड़े पर (The ground on the horse)
Correct Answer: C) The ground on the horse
स्पष्टीकरण: न्यूटन के तीसरे नियम (क्रिया-प्रतिक्रिया) के अनुसार, घोड़ा अपने पैरों से जमीन को पीछे की ओर तिरछा धकेलता है (क्रिया)। इसके जवाब में, जमीन घोड़े पर आगे की ओर एक प्रतिक्रिया बल लगाती है (प्रतिक्रिया), जिससे घोड़ा आगे बढ़ता है।
Explanation: To move forward, the horse pushes the ground backward with its hooves at an angle (Action). According to Newton’s third law, the ground exerts an equal and opposite reaction force forward on the horse (Reaction). This reaction force enables the horse to walk forward.
प्रश्न 13. 1 kg, 2 kg और 3 kg द्रव्यमान के तीन गुटके एक घर्षणरहित क्षैतिज मेज पर एक-दूसरे के संपर्क में रखे हैं। यदि 1 kg वाले गुटके पर 12 N का क्षैतिज बल लगाया जाता है, तो 2 kg और 3 kg द्रव्यमान वाले गुटकों के बीच संपर्क बल (Contact force) कितना होगा?
Q13. Three blocks of masses 1 kg, 2 kg and 3 kg are in contact on a frictionless horizontal table. If a force of 12 N is applied to the 1 kg block, the contact force between the 2 kg and 3 kg blocks is:
सही उत्तर: B) 6 N
Correct Answer: B) 6 N
स्पष्टीकरण:
– संपूर्ण निकाय का कुल त्वरण: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / (1 + 2 + 3) = 12 / 6 = 2 m/s²
– 2 kg और 3 kg के बीच का संपर्क बल केवल 3 kg के गुटके को त्वरित करने के लिए जिम्मेदार है।
– संपर्क बल F_contact = m₃ × a = 3 kg × 2 m/s² = 6 N।
– संपूर्ण निकाय का कुल त्वरण: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / (1 + 2 + 3) = 12 / 6 = 2 m/s²
– 2 kg और 3 kg के बीच का संपर्क बल केवल 3 kg के गुटके को त्वरित करने के लिए जिम्मेदार है।
– संपर्क बल F_contact = m₃ × a = 3 kg × 2 m/s² = 6 N।
Explanation:
– Common acceleration of the system: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / (1 + 2 + 3) = 2 m/s².
– The contact force between the 2 kg and 3 kg blocks is the force required to accelerate only the 3 kg block.
– F_contact = m₃ × a = 3 × 2 = 6 N.
– Common acceleration of the system: a = F / (m₁ + m₂ + m₃) = 12 / (1 + 2 + 3) = 2 m/s².
– The contact force between the 2 kg and 3 kg blocks is the force required to accelerate only the 3 kg block.
– F_contact = m₃ × a = 3 × 2 = 6 N.
प्रश्न 14. एक गुटका 45° कोण वाले खुरदरे आनत तल (inclined plane) पर नियत वेग (constant velocity) से नीचे फिसलता है। तल और गुटके के बीच गतिक घर्षण गुणांक (μk) कितना होगा?
Q14. A block slides down a rough inclined plane of inclination 45° with a constant velocity. The coefficient of kinetic friction (μk) between the block and the plane is:
सही उत्तर: B) 1.0
Correct Answer: B) 1.0
स्पष्टीकरण: नियत वेग से फिसलने का अर्थ है कि गुटके का त्वरण शून्य (a = 0) है।
– अतः नीचे की ओर बल = विरोधी घर्षण बल
– mg sinθ = μk mg cosθ ⇒ μk = tanθ
– यहाँ θ = 45° है: μk = tan(45°) = 1.0।
– अतः नीचे की ओर बल = विरोधी घर्षण बल
– mg sinθ = μk mg cosθ ⇒ μk = tanθ
– यहाँ θ = 45° है: μk = tan(45°) = 1.0।
Explanation: A constant velocity implies that acceleration is zero (a = 0).
– Therefore, the component of gravitational force down the incline balances the kinetic friction:
– mg sinθ = μk mg cosθ ⇒ μk = tanθ.
– For θ = 45°: μk = tan(45°) = 1.0.
– Therefore, the component of gravitational force down the incline balances the kinetic friction:
– mg sinθ = μk mg cosθ ⇒ μk = tanθ.
– For θ = 45°: μk = tan(45°) = 1.0.
प्रश्न 15. 1000 kg द्रव्यमान की एक लिफ्ट ऊपर की ओर 1 m/s² के त्वरण से गतिमान है। लिफ्ट को सहारा देने वाले केबल में तनाव (Tension) क्या होगा? (g = 10 m/s² लें)
Q15. An elevator of mass 1000 kg is moving upwards with an acceleration of 1 m/s². The tension in the supporting cable is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: B) 11000 N
Correct Answer: B) 11000 N
स्पष्टीकरण: ऊपर की ओर त्वरित गति के लिए केबल में तनाव का सूत्र:
T = m(g + a)
मान रखने पर:
T = 1000 × (10 + 1) = 1000 × 11 = 11000 N।
T = m(g + a)
मान रखने पर:
T = 1000 × (10 + 1) = 1000 × 11 = 11000 N।
Explanation: For upward acceleration, the tension in the elevator cable is:
T = m(g + a)
Substituting the values:
T = 1000 × (10 + 1) = 11000 N.
T = m(g + a)
Substituting the values:
T = 1000 × (10 + 1) = 11000 N.
प्रश्न 16. 5 kg द्रव्यमान की एक बंदूक से 20 g की एक गोली 500 m/s के वेग से दागी जाती है। बंदूक का प्रतिक्षेप वेग (Recoil velocity) क्या होगा?
Q16. A gun of mass 5 kg fires a bullet of mass 20 g with a velocity of 500 m/s. The recoil velocity of the gun is:
सही उत्तर: B) -2 m/s
Correct Answer: A) -2 m/s
स्पष्टीकरण: संवेग संरक्षण सिद्धांत के अनुसार:
M_gun × V_recoil + m_bullet × v_bullet = 0
– M_gun = 5 kg
– m_bullet = 20 g = 0.02 kg
5 × V_recoil + 0.02 × 500 = 0 ⇒ 5 × V_recoil + 10 = 0 ⇒ V_recoil = -2 m/s (ऋणात्मक चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है)।
M_gun × V_recoil + m_bullet × v_bullet = 0
– M_gun = 5 kg
– m_bullet = 20 g = 0.02 kg
5 × V_recoil + 0.02 × 500 = 0 ⇒ 5 × V_recoil + 10 = 0 ⇒ V_recoil = -2 m/s (ऋणात्मक चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है)।
Explanation: According to momentum conservation:
M_gun × V_recoil + m_bullet × v_bullet = 0
– M_gun = 5 kg, m_bullet = 20 g = 0.02 kg
5 × V_recoil + (0.02 × 500) = 0 ⇒ 5 × V_recoil = -10 ⇒ V_recoil = -2 m/s.
M_gun × V_recoil + m_bullet × v_bullet = 0
– M_gun = 5 kg, m_bullet = 20 g = 0.02 kg
5 × V_recoil + (0.02 × 500) = 0 ⇒ 5 × V_recoil = -10 ⇒ V_recoil = -2 m/s.
प्रश्न 17. द्रव्यमान m के एक गुटके को एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सामने क्षैतिज बल F लगाकर दबाया जाता है। यदि दीवार और गुटके के बीच घर्षण गुणांक μ है, तो गुटके को नीचे गिरने से रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल F कितना होगा?
Q17. A block of mass m is pressed against a vertical wall with a horizontal force F. If the coefficient of friction between the wall and the block is μ, the minimum force F required to prevent the block from falling is:
सही उत्तर: A) mg / μ
Correct Answer: A) mg / μ
स्पष्टीकरण: बलों का संतुलन:
– क्षैतिज दिशा में प्रतिक्रिया बल: R = F
– नीचे की ओर गिरने से रोकने के लिए ऊर्ध्वाधर घर्षण बल भार को संतुलित करना चाहिए: f_friction = mg
– अधिकतम सीमांत घर्षण बल का सूत्र: f_max = μ R = μ F
– संतुलन के लिए: μ F ≥ mg ⇒ F_min = mg / μ।
– क्षैतिज दिशा में प्रतिक्रिया बल: R = F
– नीचे की ओर गिरने से रोकने के लिए ऊर्ध्वाधर घर्षण बल भार को संतुलित करना चाहिए: f_friction = mg
– अधिकतम सीमांत घर्षण बल का सूत्र: f_max = μ R = μ F
– संतुलन के लिए: μ F ≥ mg ⇒ F_min = mg / μ।
Explanation: Analyzing the forces:
– Normal force exerted by the wall: R = F
– Upward frictional force must balance gravity: f_friction = mg
– The maximum static friction is: f_max = μ R = μ F
– To prevent the block from slipping down: μ F ≥ mg ⇒ F_min = mg / μ.
– Normal force exerted by the wall: R = F
– Upward frictional force must balance gravity: f_friction = mg
– The maximum static friction is: f_max = μ R = μ F
– To prevent the block from slipping down: μ F ≥ mg ⇒ F_min = mg / μ.
प्रश्न 18. एक साइकिल चालक r त्रिज्या के वृत्ताकार मोड़ पर v चाल से मुड़ते समय ऊर्ध्वाधर (vertical) से θ कोण पर झुक जाता है। इन तीनों राशियों के बीच सही संबंध क्या है?
Q18. A cyclist taking a turn of radius r with a speed v bends with the vertical at an angle θ. The correct relation is:
सही उत्तर: A) tanθ = v² / (rg)
Correct Answer: A) tanθ = v² / (rg)
स्पष्टीकरण: मुड़ते समय साइकिल और चालक पर दो मुख्य बल कार्य करते हैं – गुरुत्वाकर्षण बल (mg) और जमीन द्वारा प्रतिक्रिया बल (R)। ऊर्ध्वाधर से θ कोण पर झुकने पर संतुलन की स्थिति में: tanθ = v² / (rg) होता है।
Explanation: To negotiate a curve, a cyclist must tilt inward to generate the necessary centripetal torque. The angle of bending with the vertical is given by: tanθ = v² / (rg).
प्रश्न 19. एक घर्षणरहित क्षैतिज मेज पर रखे 3 kg द्रव्यमान के गुटके A को एक डोरी से बांधा गया है, जो मेज के किनारे लगी घिरनी से गुजरते हुए लटके हुए 2 kg के गुटके B से जुड़ी है। इस स्वतंत्र निकाय का त्वरण क्या होगा? (g = 10 m/s² लें)
Q19. A block A of mass 3 kg on a smooth horizontal table is connected by a string to a hanging block B of mass 2 kg. The acceleration of the system is: (Take g = 10 m/s²)
सही उत्तर: A) 4 m/s²
Correct Answer: A) 4 m/s²
स्पष्टीकरण: इस घिरनी-मेज व्यवस्था में:
– गति कराने वाला नेट बल केवल लटके हुए गुटके का भार है: F_net = m_B × g = 2 × 10 = 20 N
– कुल गतिमान द्रव्यमान = m_A + m_B = 3 + 2 = 5 kg
– त्वरण a = F_net / M_total = 20 / 5 = 4 m/s²।
– गति कराने वाला नेट बल केवल लटके हुए गुटके का भार है: F_net = m_B × g = 2 × 10 = 20 N
– कुल गतिमान द्रव्यमान = m_A + m_B = 3 + 2 = 5 kg
– त्वरण a = F_net / M_total = 20 / 5 = 4 m/s²।
Explanation: In this arrangement:
– The net driving force is only the weight of the hanging block B: F_net = m_B × g = 2 × 10 = 20 N
– Total mass of the system being accelerated = m_A + m_B = 3 + 2 = 5 kg
– Acceleration a = F_net / M_total = 20 / 5 = 4 m/s².
– The net driving force is only the weight of the hanging block B: F_net = m_B × g = 2 × 10 = 20 N
– Total mass of the system being accelerated = m_A + m_B = 3 + 2 = 5 kg
– Acceleration a = F_net / M_total = 20 / 5 = 4 m/s².
प्रश्न 20. विराम अवस्था में रखी द्रव्यमान M की एक वस्तु अचानक विस्फोट के कारण तीन टुकड़ों में विभाजित हो जाती है जिनके द्रव्यमानों का अनुपात 1 : 1 : 2 है। यदि समान द्रव्यमान वाले दोनों टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में समान चाल v से उड़ जाते हैं, तो तीसरे (भारी) टुकड़े की चाल कितनी होगी?
Q20. A body of mass M at rest explodes into three pieces of mass ratio 1 : 1 : 2. If the two pieces of equal masses fly off perpendicular to each other with a speed v, the speed of the third (heavier) piece is:
सही उत्तर: A) v / √2
Correct Answer: A) v / √2
स्पष्टीकरण: माना टुकड़ों के द्रव्यमान m, m और 2m हैं।
– पहले दो टुकड़ों के संवेग परस्पर लंबवत हैं, अतः उनका परिणामी संवेग: p_res = √[(mv)² + (mv)²] = √2 mv
– संवेग संरक्षण के अनुसार, तीसरे टुकड़े का संवेग भी परिणाम में इसके बराबर होना चाहिए:
p₃ = 2m × v₃ = √2 mv ⇒ v₃ = √2 v / 2 = v / √2।
– पहले दो टुकड़ों के संवेग परस्पर लंबवत हैं, अतः उनका परिणामी संवेग: p_res = √[(mv)² + (mv)²] = √2 mv
– संवेग संरक्षण के अनुसार, तीसरे टुकड़े का संवेग भी परिणाम में इसके बराबर होना चाहिए:
p₃ = 2m × v₃ = √2 mv ⇒ v₃ = √2 v / 2 = v / √2।
Explanation: Let the masses be m, m, and 2m.
– The vector sum of the momentum of the first two perpendicular pieces is: P_resultant = √[(mv)² + (mv)²] = √2 mv
– To conserve momentum (initial momentum = 0), the momentum of the third piece must balance this:
p₃ = (2m) × v₃ = √2 mv ⇒ v₃ = v / √2.
– The vector sum of the momentum of the first two perpendicular pieces is: P_resultant = √[(mv)² + (mv)²] = √2 mv
– To conserve momentum (initial momentum = 0), the momentum of the third piece must balance this:
p₃ = (2m) × v₃ = √2 mv ⇒ v₃ = v / √2.
प्रश्न 21. घर्षण (Friction) के व्यावहारिक अनुभव के संदर्भ में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सदैव सत्य होता है?
Q21. Which of the following statements is always correct regarding friction?
सही उत्तर: B) सीमांत घर्षण सदैव गतिक घर्षण से अधिक होता है
Correct Answer: B) Limiting friction is always greater than kinetic friction
स्पष्टीकरण: सीमांत घर्षण (maximum static friction) वह बल है जो किसी वस्तु को गति में लाने के लिए आवश्यक होता है। एक बार जब वस्तु गति करना प्रारंभ कर देती है, तो सतहों के संपर्क बिंदुओं के बीच का इंटरलॉकिंग समय कम हो जाता है, जिससे गतिक घर्षण बल (f_k) सीमांत घर्षण (f_s) से थोड़ा कम हो जाता है।
Explanation: Limiting static friction is the maximum force that opposes the initiation of motion. Once motion is established, contact points between surfaces do not get enough time to interlock deeply, making kinetic friction slightly lower than limiting static friction (f_k < f_s(max)).
प्रश्न 22. एक भारी लॉन रोलर (lawn roller) को क्षैतिज सतह पर धकेलने (pushing) की तुलना में खींचना (pulling) अधिक आसान होता है, क्योंकि खींचने पर:
Q22. It is easier to pull a lawn roller than to push it because pulling:
सही उत्तर: B) रोलर का प्रभावी भार और अभिलम्ब प्रतिक्रिया घट जाती है
Correct Answer: B) Decreases the effective weight and normal reaction
स्पष्टीकरण:
– जब हम रोलर खींचते हैं, तो बल का एक ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर (F sinθ) कार्य करता है, जो अभिलम्ब प्रतिक्रिया बल को कम करता है: R = mg – F sinθ।
– इसके विपरीत, धकेलने पर बल का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर कार्य करता है जिससे अभिलम्ब प्रतिक्रिया बल बढ़ जाता है: R = mg + F sinθ।
चूँकि घर्षण बल प्रतिक्रिया बल के अनुक्रमानुपाती होता है, अतः खींचने पर घर्षण बल कम हो जाता है।
– जब हम रोलर खींचते हैं, तो बल का एक ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर (F sinθ) कार्य करता है, जो अभिलम्ब प्रतिक्रिया बल को कम करता है: R = mg – F sinθ।
– इसके विपरीत, धकेलने पर बल का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर कार्य करता है जिससे अभिलम्ब प्रतिक्रिया बल बढ़ जाता है: R = mg + F sinθ।
चूँकि घर्षण बल प्रतिक्रिया बल के अनुक्रमानुपाती होता है, अतः खींचने पर घर्षण बल कम हो जाता है।
Explanation:
– When pulling, the vertical component of the force acts upwards (F sinθ), reducing the normal reaction: R = mg – F sinθ.
– When pushing, the vertical component acts downwards, increasing the normal reaction: R = mg + F sinθ.
Since frictional force is directly proportional to the normal reaction (f = μR), pulling experiences less friction and is easier.
– When pulling, the vertical component of the force acts upwards (F sinθ), reducing the normal reaction: R = mg – F sinθ.
– When pushing, the vertical component acts downwards, increasing the normal reaction: R = mg + F sinθ.
Since frictional force is directly proportional to the normal reaction (f = μR), pulling experiences less friction and is easier.
प्रश्न 23. यदि किसी ऊर्ध्वाधर गतिशील लिफ्ट को सहारा देने वाला केबल अचानक टूट जाता है, तो नीचे स्वतंत्र रूप से गिरते समय लिफ्ट में खड़े व्यक्ति का आभासी भार (apparent weight) कितना होगा?
Q23. If the supporting cable of an elevator breaks suddenly, the apparent weight of a person of mass m inside the elevator during free fall becomes:
सही उत्तर: C) शून्य (Zero)
Correct Answer: C) Zero
स्पष्टीकरण: स्वतंत्र रूप से गिरते समय लिफ्ट का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है (a = g)।
– आभासी भार का सूत्र: R = m(g – a)
– a = g रखने पर: R = m(g – g) = 0।
इसे **भारहीनता (weightlessness)** की स्थिति कहा जाता है।
– आभासी भार का सूत्र: R = m(g – a)
– a = g रखने पर: R = m(g – g) = 0।
इसे **भारहीनता (weightlessness)** की स्थिति कहा जाता है।
Explanation: During a free fall, the downward acceleration of the elevator is equal to the acceleration due to gravity (a = g).
– Apparent weight: R = m(g – a)
– Substituting a = g gives: R = m(g – g) = 0.
This condition is known as weightlessness.
– Apparent weight: R = m(g – a)
– Substituting a = g gives: R = m(g – g) = 0.
This condition is known as weightlessness.
प्रश्न 24. किसी जड़त्वीय निर्देश तंत्र (Inertial frame of reference) के सापेक्ष त्वरित या घूर्णन करने वाले निर्देश तंत्र को क्या कहा जाता है?
Q24. A frame of reference that is accelerating or rotating with respect to an inertial frame of reference is called:
सही उत्तर: A) अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (Non-inertial frame of reference)
Correct Answer: A) Non-inertial frame of reference
स्पष्टीकरण: वे निर्देश तंत्र जिनमें त्वरण होता है, अजड़त्वीय निर्देश तंत्र कहलाते हैं। इन तंत्रों में न्यूटन के गति के नियम सीधे लागू नहीं होते हैं। गति के समीकरणों को संतुलित करने के लिए इनमें एक छद्म बल (Pseudo force, F_p = -ma) की कल्पना करनी पड़ती है।
Explanation: Accelerating or rotating frames are called non-inertial frames. Newton’s laws of motion are not directly valid in these frames. To apply Newton’s laws, a fictitious or pseudo force (F_p = -ma) must be introduced.
प्रश्न 25. r त्रिज्या वाले समतल सड़क के वृत्ताकार मोड़ पर कार के न फिसलने के लिए अधिकतम सुरक्षित चाल (v_max) का सही सूत्र क्या है? (जहाँ μs स्थैतिक घर्षण गुणांक है)
Q25. The maximum safe speed (v_max) of a car negotiating a flat circular turn of radius r on a road with static friction coefficient μs is given by:
सही उत्तर: A) v_max = √(μs × r × g)
Correct Answer: A) v_max = √(μs × r × g)
स्पष्टीकरण: बिना बैंकिंग वाली समतल सड़क पर मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल केवल घर्षण बल से प्राप्त होता है:
mv² / r ≤ f_static ⇒ mv² / r ≤ μs mg
v² ≤ μs rg ⇒ v_max = √(μsrg)।
mv² / r ≤ f_static ⇒ mv² / r ≤ μs mg
v² ≤ μs rg ⇒ v_max = √(μsrg)।
Explanation: On an unbanked flat road, the friction force provides the necessary centripetal force for turning:
mv² / r ≤ f_static ⇒ mv² / r ≤ μs mg
v² ≤ μs rg ⇒ v_max = √(μsrg).
mv² / r ≤ f_static ⇒ mv² / r ≤ μs mg
v² ≤ μs rg ⇒ v_max = √(μsrg).