সঠিক উত্তর: B) ১১২০

সমাধান:

বীজগাণিতিক সূত্র a^২ – b^২ = (a – b)(a + b) ব্যবহার করে প্রতিটি পদকে ভাঙলে পাই:

(১ – ১২)(১ + ১২) × (১ – ১৩)(১ + ১৩) × … × (১ – ১১০)(১ + ১১০)

= (১২ × ৩২) × (২৩ × ৪৩) × … × (৯১০ × ১১১০)

এবার বিয়োগাত্মক ও যোগাত্মক অংশগুলোকে আলাদা করে সাজিয়ে পাই:

= (১২ × ২৩ × … × ৯১০) × (৩২ × ৪৩ × … × ১১১০)

= ১১০ × ১১২ = ১১২০।

সহজ সূত্র: এই ধরণের শ্রেণীর যোগফল সর্বদা n + ১২n হয়। এখানে n = ১০, তাই ১০ + ১২ × ১০ = ১১২০।

সঠিক উত্তর: C) ৪ জোড়া

সমাধান:

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৯x এবং ৯y, যেখানে x এবং y পরস্পর মৌলিক সংখ্যা (co-prime)।

শর্তানুসারে, ৯x + ৯y = ১৩৫

বা, ৯(x + y) = ১৩৫ ⇒ x + y = ১৫

এখন, ১৫ কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করতে হবে:

১) (১, ১৪) ⇒ গ.সা.গু ১

২) (২, ১৩) ⇒ গ.সা.গু ১

৩) (৪, ১১) ⇒ গ.সা.গু ১

৪) (৭, ৮) ⇒ গ.সা.গু ১

দ্রষ্টব্য: (৩, ১২) বা (৫, ১০) জোড়াগুলি নেওয়া যাবে না কারণ এরা পরস্পর মৌলিক নয়।

অতএব, মোট ৪ জোড়া সংখ্যা গঠন সম্ভব।

সঠিক উত্তর: A) ৫৮

সমাধান:

ধরি, মূল ভগ্নাংশটি = xy

লব ২০০% বৃদ্ধি পাওয়ায় নতুন লব হলো = x + ২০০% of x = ৩০০% of x

হর ৩৫০% বৃদ্ধি পাওয়ায় নতুন হর হলো = y + ৩৫০% of y = ৪৫০% of y

প্রশ্নানুসারে, ৩০০% of x৪৫০% of y = ৫১২

বা, ৩০০৪৫০ × xy = ৫১২

বা, ২৩ × xy = ৫১২ ⇒ xy = ৫ × ৩১২ × ২ = ৫৮।

সঠিক উত্তর: C) ২৯২.৫০ টাকা

সমাধান:

ধরি, ৯ জনের গড় খরচ = x টাকা। সুতরাং, মোট খরচ = ৯x টাকা।

৯ম ব্যক্তির খরচ = (x + ২০) টাকা।

প্রশ্নানুসারে, (৮ × ৩০) + (x + ২০) = ৯x

বা, ২৪০ + x + ২০ = ৯x

বা, ২৬০ = ৮x ⇒ x = ২৬০ / ৮ = ৩২.৫ টাকা।

মোট খরচ = ৯ × ৩২.৫ = ২৯২.৫০ টাকা।

সঠিক উত্তর: A) ২০৪ টাকা

সমাধান:

অনুপাতটি সরল আকারে প্রকাশ করতে হরগুলির (২, ৩, ৪) ল.সা.গু = ১২ দিয়ে গুণ করি:

নতুন অনুপাত = (১২ × ১২) : (২৩ × ১২) : (৩৪ × ১২)

= ৬ : ৮ : ৯

অনুপাতগুলির যোগফল = ৬ + ৮ + ৯ = ২৩

প্রথম বন্ধুর প্রাপ্ত অংশ = ৭৮২ × ৬২৩ = ৩৪ × ৬ = ২০৪ টাকা।

সঠিক উত্তর: B) ৮০০০ টাকা

সমাধান:

মিশ্রম বা এলিগেশন (Alligation) পদ্ধতি ব্যবহার করে পাই:

ঘোড়া লাভ (+২০)          গাড়ি ক্ষতি (-১০)

                     গড় লাভ (+২)

পার্থক্য নির্ণয়:

ডানদিকের অনুপাত = ২০ – ২ = ১৮

বামদিকের অনুপাত = ২ – (-১০) = ১২

ঘোড়া ও গাড়ির মূল্যের অনুপাত = ১২ : ১৮ = ২ : ৩

ঘোড়ার ক্রয়মূল্য = ২০,০০০ × ২৫ = ৮০০০ টাকা।

সঠিক উত্তর: B) ৪%

সমাধান:

(৪ – ২.৫) = ১.৫ বছরের সরল সুদ = ১০৬৭.২০ – ১০১২ = ৫৫.২০ টাকা

১ বছরের সরল সুদ = ৫৫.২০ / ১.৫ = ৩৬.৮০ টাকা

২.৫ বছরের সরল সুদ = ৩৬.৮০ × ২.৫ = ৯২ টাকা

আসল (P) = ১০১২ – ৯২ = ৯২০ টাকা

বার্ষিক সুদের হার (R) = (৩৬.৮০ / ৯২০) × ১০০% = ৪%।

সঠিক উত্তর: C) ৭ দিনে

সমাধান:

১০ জন পুরুষ ৭ দিনে করে ১ অংশ ⇒ ১ জন পুরুষ ১ দিনে করে = ১৭০ অংশ

১০ জন মহিলা ১৪ দিনে করে ১ অংশ ⇒ ১ জন মহিলা ১ দিনে করে = ১১৪০ অংশ

৫ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা একত্রে ১ দিনে করে = (৫ × ১৭০) + (১০ × ১১৪০)

= ১১৪ + ১১৪ = ২১৪ = ১৭ অংশ

অতএব, তারা একত্রে কাজটি ৭ দিনে শেষ করতে পারবেন।

সঠিক উত্তর: C) ৬০ কিমি/ঘণ্টা

সমাধান:

ধরি, গাড়ি দুটির গতিবেগ যথাক্রমে x এবং y কিমি/ঘণ্টা (x > y)।

একই অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ = x – y = ১০০ / ৫ = ২০ কিমি/ঘণ্টা

বিপরীত অভিমুখে আপেক্ষিক বেগ = x + y = ১০০ / ১ = ১০০ কিমি/ঘণ্টা

যোগ করে পাই, ২x = ১২০ ⇒ x = ৬০ কিমি/ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: C) ৩

সমাধান:

২ এর ঘাতের চক্রতা (cyclicity of powers of 2):

২^১ = ২, ২^২ = ৪, ২^৩ = ৮ (শেষ অঙ্ক ৮), ২^৪ = ১৬ (শেষ অঙ্ক ৬)

যেহেতু শেষ অঙ্কের পুনরাবৃত্তি প্রতি ৪টি ঘাত অন্তর হয়, তাই ঘাত ৩১ কে ৪ দ্বারা ভাগ করব।

৩১ / ৪ এর ভাগশেষ = ৩

অতএব, ২^৩১ এর শেষ অঙ্কটি হবে ২^৩ = ৮ এর শেষ অঙ্ক অর্থাৎ ৮।

যেকোনো সংখ্যাকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট সংখ্যাটি তার শেষ অঙ্ককে ৫ দ্বারা ভাগের সমান হয়।

৮ কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ৩।

সঠিক উত্তর: B) ৪ ঘণ্টা

সমাধান:

অনুকূলে বেগ = ৪ + ২ = ৬ কিমি/ঘণ্টা ⇒ ৬ কিমি যেতে সময় লাগে = ৬ / ৬ = ১ ঘণ্টা।

প্রতিকূলে বেগ = ৪ – ২ = ২ কিমি/ঘণ্টা ⇒ ৬ কিমি ফিরতে সময় লাগে = ৬ / ২ = ৩ ঘণ্টা।

মোট সময় = ১ + ৩ = ৪ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: C) ১২৬০ জন

সমাধান:

ছাত্রের সংখ্যা ৭০% হলে, ছাত্রীর সংখ্যা = ১০০% – ৭০% = ৩০%

প্রশ্নানুসারে, ৩০% = ৫৪০ জন

১% = ৫৪০ / ৩০ = ১৮ জন

ছাত্রের সংখ্যা (৭০%) = ১৮ × ৭০ = ১২৬০ জন।

সঠিক উত্তর: B) ৪৫ কেজি

সমাধান:

শিক্ষক যুক্ত হওয়ার পর মোট সদস্য সংখ্যা = ২৪ + ১ = ২৫ জন।

২৫ জনের মোট ওজন বৃদ্ধি পায় = ২৫ × ৪০০ গ্রাম = ১০,০০০ গ্রাম = ১০ কেজি।

শিক্ষকের ওজন = পূর্বের গড় + মোট ওজন বৃদ্ধি

শিক্ষকের ওজন = ৩৫ + ১০ = ৪৫ কেজি।

সঠিক উত্তর: A) ৭:১০:১২

সমাধান:

A-এর তুল্য মূলধন = (২০,০০০ × ৬) + (১৫,০০০ × ৬) = ১,২০,০০০ + ৯০,০০০ = ২,১০,০০০ টাকা।

B-এর তুল্য মূলধন = ২৫,০০০ × ১২ = ৩,০০,০০০ টাকা।

C-এর তুল্য মূলধন = ৩০,০০০ × ১২ = ৩,৬০,০০০ টাকা।

লভ্যাংশের অনুপাত = ২,১০,০০০ : ৩,০০,০০০ : ৩,৬০,০০০ = ২১ : ৩০ : ৩৬ = ৭ : ১০ : ১২।

সঠিক উত্তর: B) ৯১২ ঘণ্টা

সমাধান:

চৌবাচ্চাটির মোট ক্ষমতা (৮ ও ১২ এর ল.সা.গু) = ২৪ ইউনিট।

A-এর ক্ষমতা = ২৪ / ৮ = ৩ ইউনিট/ঘণ্টা, B-এর ক্ষমতা = ২৪ / ১২ = ২ ইউনিট/ঘণ্টা।

২ ঘণ্টার পর্যায়ক্রমে মোট কাজ সম্পন্ন হয় = ৩ + ২ = ৫ ইউনিট।

৮ ঘণ্টায় (৪টি পর্যায়) কাজ সম্পন্ন হয় = ৪ × ৫ = ২০ ইউনিট।

বাকি কাজ = ২৪ – ২০ = ৪ ইউনিট।

৯ম ঘণ্টায় A নলটি এসে ৩ ইউনিট কাজ করে। এখন বাকি কাজ = ৪ – ৩ = ১ ইউনিট।

১০ম ঘণ্টায় B নলটি এসে ১ ইউনিট কাজ পূর্ণ করবে। B-এর সময় লাগবে = ১২ ঘণ্টা।

মোট সময় = ৯ + ১২ = ৯১২ ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: B) ১১ বছর

সমাধান:

A-এর বর্তমান বয়স = ২৬ – ৬ = ২০ বছর।

অনুপাত অনুযায়ী, ৪ একক = ২০ বছর ⇒ ১ একক = ৫ বছর।

B-এর বর্তমান বয়স = ৩ একক = ৩ × ৫ = ১৫ বছর।

৪ বছর আগে B-এর বয়স ছিল = ১৫ – ৪ = ১১ বছর।

সঠিক উত্তর: B) ২৫.৫

সমাধান:

বন্ধনীগুলির ভেতরের যোগফল সমাধান করে পাই:

= ৩২ × ৪৩ × ৫৪ × … × ৫১৫০

এখানে দেখা যাচ্ছে লব তার পরবর্তী হরের সাথে কেটে যাচ্ছে।

অবশিষ্ট পদ = ৫১২ = ২৫.৫।

সঠিক উত্তর: B) ৭৬ টাকা

সমাধান:

ক্রয়মূল্য (CP) = ৪০০ টাকা।

ধার্যমূল্য (MP) = ৪০০ এর ১৪০% = ৫৬০ টাকা।

ছাড় = ৫৬০ এর ১৫% = ৮৪ টাকা।

বিক্রয়মূল্য (SP) = ৫৬০ – ৮৪ = ৪৭৬ টাকা।

লাভের পরিমাণ = ৪৭৬ – ৪০০ = ৭৬ টাকা।

সঠিক উত্তর: A) ৩:২

সমাধান:

যেহেতু ট্রেন দুটি একই সময়ে রওনা হয়েছে এবং মিলিত হওয়ার সময় পর্যন্ত উভয়ের অতিক্রান্ত সময় সমান, তাই গতিবেগের অনুপাত তাদের অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাতের সমান হবে।

প্রথম ট্রেনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১৮০ কিমি।

দ্বিতীয় ট্রেনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৩০০ – ১৮০ = ১২০ কিমি।

গতিবেগের অনুপাত = ১৮০ : ১২০ = ৩ : ২।

সঠিক উত্তর: B) ২:১

সমাধান:

ধরি, পূর্বের ব্যাসার্ধ = r, উচ্চতা = h।

পূর্বের আয়তন (V_১) = πr^২h

নতুন ব্যাসার্ধ = ২r, নতুন উচ্চতা = h/২।

নতুন আয়তন (V_২) = π(২r)^২(h/২) = π(৪r^২)(h/২) = ২πr^২h

নতুন আয়তন ও পূর্বের আয়তনের অনুপাত = V_২ : V_১ = ২πr^২h : πr^২h = ২ : ১।